Ejercicios, set No. 3 (a entregar a lo más tarde el 14 de septiembre)

Ejercicios, set No. 3 (a entregar a lo más tarde el 14 de septiembre)

Curso de maestrı́a
Geometrı́a Diferencial
UNAM, semestre 2017-1
Ejercicios, set No. 3 (a entregar a lo más tarde el 14 de
septiembre)
Ejercicio 0.1. (el espacio tangente a un punto de la grassmannianna Grp (Rn )) Si V ∈ Grp (Rn ))
y U ∈ Grn−p (Rn ) son transversos, construimos en la tarea 2 una carta
ψV,U : OU → Hom(V, U ).
Observamos que U se puede identificar con el espacio vectorial cociente Rn /V ası́ que tenemos
un isomorfismo pU : Hom(V, U ) → Hom(V, Rn /V ). Sea θψV,U : TV Grp (Rn ) → Hom(V, U ) el
isomorfismo construido en clase.
Demostrar que la aplicación
pU ◦ θψV,U : TV Grp (Rn ) → Hom(V, Rn /V )
no depende del subespacio U . Esto demuestra que el espacio tangente a V ∈ Grp (Rn ) puede ser
identificado de manera canónica con Hom(V, Rn /V ).
Ejercicio 0.2. (suspensión de un difeomorfismo) Sea X una variedad y f : X → X un difeomorfismo. Definimos una acción del grupo Z sobre la variedad R × X por :
n · (t, x) = (t + n, f n (x)).
1. Demostrar que esta acción de Z en R × X es propiamente discontinua y libre.
2. Demostrar que la variedad cociente de R × X por Z es una fibración localmente trivial sobre
S 1 con fibra X. La variedad (R × X)/Z se llama la suspensión de f .
Ejercicio 0.3. Sean X y Y dos variedades diferenciables con X compacta y Y conexa. Sea f :
X → Y un mapeo C ∞ que es un difeomorfismo local (es decir la aplicación tangente de f en
cualquier punto es invertible). Demostrar que f es un mapeo cubriente. Dar un contra-ejemplo si
X no es compacta.
Ejercicio 0.4. Sea E el subespacio de P(R2 ) × R2 de todos los pares (D, p) donde D es una lı́nea
de R2 , p ∈ R2 y p ∈ D, es decir el punto p pertenece a la lı́nea D.
1. Demostrar que E es una subvariedad de P(R2 ) × R2 .
2. Sea π : E → R2 la restricción a E de la segunda proyección P(R2 ) × R2 → R2 . Explicar
porque π es diferenciable. Demostrar que si p ∈ R2 − {0} la fibra π −1 (p) es un punto y que
π −1 (R2 − {0}) → R2 − {0} es un difeomorfismo global.
3. Describir la fibra π −1 (0). Demostrar que es una subvariedad de E.
4. Hacer un dibujo. El espacio de E se llama el explotado de R2 en el origen.
Ejercicio 0.5. En este ejercicio demostramos que todo conjunto cerrado de Rn es el conjunto de
ceros de una función suave.
1. Demostrar que todo abierto de Rn es unión numerable de bolas abiertas.
2. Sea F un cerrado de Rn . Escribimos :
[
Rn \ F =
B(xp , rp )
p≥0
donde B(xp , rp ) es la bola abierta de radio rp y centro xp (para algunos puntos xp y radios
rp ). Explicar porque se puede encontrar una función fp suave en Rn , cuyo soporte es la bola
cerrada de centro xp y radio rp y que toma valores estrictamente positivos en B(xp , rp ).
1
3. Si α es un multiindice α = (α1 , . . . , αn ), denotamos por ∂αf la derivada parcial
1
∂xα
1
∂αf
.
n
· · · ∂xα
n
La longitud de α es |α| = α1 + · · · + αn . Sea Mp el numero definido por :
Mp =
sup
|∂ α fp (x)|.
x∈Rn ,|α|≤p
Es decir, Mp es el supremo del valor absoluto de todas la derivadas parciales de orden menor
o igual a p de la función fp . Sea
X 1
f=
fp .
p!Mp
p≥
Demostrar que esta formula define una función C ∞ en Rn tal que f −1 (0) = F .
Ejercicio 0.6. Demostrar que la aplicación Φ del ejercicio 9 de la tarea 1 es una fibración localmente trivial. Identificar la fibra con una variedad conocida.
2