Ruido de Emisi´on en una Juntura Metal en Estado Normal

Ruido de Emisi´on en una Juntura Metal en Estado Normal

Revista Colombiana de Fı́sica,Vol. 42, No.1, 2010
Ruido de Emisión en una Juntura Metal en Estado Normal
Superconductor
Shot Noise in a Superconductor Junction Metal-Normal State.
M. Duque a , F. Fonseca b
a Grupo
b Grupo
de Superconductores Inhomoéneos, Universidad Nacional de Colombia, Departamento de Fı́sica
de Simulación de Sistemas Fı́sicos, Universidad Nacional de Colombia, Departamento de Fı́sica
Recibido xx de xxx. xxx; Aceptado xxx de xxx. xxx; Publicado en lı́nea xx de xxx. xxxx
Resumen
En este trabajo se calcula el ruido de emisión diferencial generado por un flujo de corriente a través de
una interfase metal normal - superconductor, considerando simetrı́a tipo s, dx2 −y2 y dx−y en el parámetro
de orden del superconductor. Para esto se calculan las soluciones de las ecuaciones de Bogoliubov - De
Gennes en la interfase metal normal - superconductor, considerando que el metal normal se encuentra
en x < 0 del superconductor, se determina con ayuda de dichas soluciones los coeficientes de reflexión
de Andreev (reflexiones electrón - hueco) y reflexión electrón - electrón, del cual depende el ruido de
emisión, encontrando la naturaleza de los portadores de carga y la estadı́stica de los mismos. Se observa
una dependencia del ruido de emisión diferencial con respecto a la diferencia de potencial entre el metal
normal y el superconductor, y como dicho comportamiento varı́a cuando se consideran diferentes simetrı́as
(s y d) del parámetro de orden del superconductor.
Palabras Clave: Ruido de Emisión, Superconductividad
Abstract
The shot noise emission is more sensitive to interactions between electrons. We calculates the shot noise
differential generated by a current flow through a junction normal metal - superconductor, considering
symmetry type s, dx2 −y2 and dx−y in the superconductor order parameter. For this are calculated solutions of the equations Bogoliubov - De Gennes in the junction normal metal - superconductor, where is
determined with the help of those solutions Andreev reflection coefficients (electron - hole reflections) and
reflection electron - electron, which depends the shot noise, finding the nature of the carrier’s charge and
statistics of the same. There is a dependency of shot noise differential regarding the potential difference
between the normal and superconductor metal, and as such behavior varies when considering different
symmetries (s and d) of the superconductor order parameter.
Keywords: Shot Noise, Superconductivity
Pacs: 74.45.+c, 74.40.De
c
2009.
Revista Colombiana de Fı́sica. Todos los derechos reservados.
rev.col.fis,vol.42,No 1(2010)
1. Introducción
se generalizan a superconductores inhomogéneos. Para
encontrar estas ecuaciones consideramos un hamiltoniano que describe un sistema de electrones interactuantes
como
Durante las dos décadas anteriores la fı́sica mesoscópica se ha convertido en un fascinante subcampo de la
fı́sica de la materia condensada. Un tópico de especial
importancia alrededor de está es el estudio de la dinámica del ruido y su influencia en las propiedades de los
conductores mesoscópicos [1] e interfaces que involucran sistemas superconductores [2,3]. Amplios desarrollos teóricos y experimentales se han hecho al respecto, algunos de ellos presentando nuevos desafı́os para el
estudio teórico de diversos materiales. Con este trabajo
se busca dar una idea general del comportamiento de
las fuentes de ruido, que en este caso se centraran en el
ruido conocido como Shot Noise el cual tiene su origen
al considerar la naturaleza granular de la carga [3]. Pero
es claro señalar que existen diversas fuentes de ruido las
cuales son discutidas en profundidad por Kogan en [4].
En este trabajo se presenta el tratamiento teórico del
ruido de emisión en una juntura metal en estado normal superconductor. En la sección (2), se muestra la
manera en que pueden ser descrito el comportamiento de las excitaciones elementales o cuasipartı́culas en
un superconductor por medio de las ecuaciones de Bogoliubov - De Gennes (BdG) [5]; Adicionalmente debido a que el ruido de emisión se presenta en términos
de los coeficientes de transmisión y reflexión, se determina el ruido de emisión en una juntura Metal normal/Superconductor. En la sección (3), se presenta el
tratamiento para superconductores homogéneos y el potencial de pares que es invariante bajo traslaciones. En
la sección (4) se dan las soluciones de las ecuaciones
de Bogoliubov-de Gennes que no dependen explı́citamente del tiempo. En la sección (5) se presentan las
soluciones de las ecuaciones de Bogoliubov - de Gennes
para un superconductor homogéneo. En la sección (6),
se presenta el tratameinto teórico del shot noise para
una Juntura Metal en estado Normal/Superconductor.
Por último, en la sección (7) se dan las conclusiones.
H = H0 + H1 ,
(1)
con
H0 =
XZ
drΨ̂+
α (r)He (r)Ψ̂α (r),
(2)
α
H1 =
XZ
Z
dr
+
0
0
0
dr0 Ψ̂+
α (r)Ψ̂β (r)V (r, r )Ψ̂β (r )Ψ̂α (r ),
αβ
(3)
He (r) =
2
e
1 −i~∇ − A(r) + U0 (r) − µ, (4)
2m
c
donde A(r) es el potencial vectorial debido a la presencia de campos magnéticos, U0 (r) describe cualquier
potencial escalar presente en el sistema, en él pueden
estar incluidos efectos de la red de iones, fronteras, impurezas, etc., µ es el potencial quı́mico, V (r, r0 ) representa la atracción efectiva entre electrones y Ψ̂α (r) es
el operador de campo fermiónico que destruye un electrón con spin α, en la posición r.
A partir del hamiltoniano del sistema es posible escribir
la ecuación de movimiento del operador de campo en la
imagen de Heisenberg, el cual se linealiza utilizando la
aproximación de campo medio y las transformaciones
de Bogoliubov. Las ecuaciones de BdG son
i~
i~
2. Portadores de Carga en Superconductividad
∂
1
~ − e A(~
~ r, t))2 +
u(~r, t) = (
(−i~∇
(5)
∂t
2m
c
U (~r, t) − µ)u(~r, t) + ∆(~r, t)v(~r, t).
∂
1
~ + e A(~
~ r, t))2 +
v(~r, t) = −(
(−i~∇
(6)
∂t
2m
c
U (~r, t) − µ)v(~r, t) + ∆∗ (~r, t)u(~r, t);
donde A(~r, t) es el potencial vectorial asociado con el
campo magnético total en el sistema, U (~r, t) representa el potencial escalar que puede describir impurezas,
fronteras, la red de iones y potenciales externos, µ es el
potencial quı́mico, ∆(~r, t) es el potencial de pares y su
efecto es acoplar las componentes de electrones u(~r, t)
y de hueco v(~r, t) de las cuasipartı́culas; este potencial
está dado por
En la superconductividad la corriente es la producida
por el movimiento de cuasipartı́culas las cuales pueden
ser descritas por las ecuaciones de Bogoliubov - De
Gennes (BdG) [5], estas describen el comportamiento
de las excitaciones elementales o cuasipartı́culas en un
superconductor. Estas ecuaciones fueron inicialmente
propuestas por Bogoliubov y desarrolladas posteriormente por De Gennes, en ellas se encuentran elementos
de la teorı́a de Bardeen, Cooper y Schrieffer [6] que
2
Autor Principal et al.: Titulo
D
E
∆(r, r0 ) = − V (r,r0 ) Ψ̂−β (r)Ψ̂β (r) ,


X un (r0 ) vn∗ (r) (1 − fn )

,
= − V (r,r0 )
−vn∗ (r0 ) un (r) fn
n
(7)
ciones de Bogoliubov - De Gennes independientes del
tiempo
Z
dr0 ∆(r, r0 )v(r0 ),
Z
(12)
Ev(r) = −He∗ (r)v(r) + dr0 ∆∗ (r, r0 )u(r0 )
Eu(r) = He (r)u(r) +
donde V es la constante de interacción efectiva entre
electrones en la teorı́a BCS y la suma se realiza sobre todos los números cuánticos n que caracterizan los
diferentes estados de las cuasipartı́culas (excluyendo el
spin), fn = fn (E) es la función de distribución de Fermi para cuasipartı́culas con energı́as En > 0 medidas
respecto al potencial quı́mico µ y V (r) es el potencial
de interacción neto entre electrones y conduce a la formación de pares de Cooper. La función ∆(r, r0 ) que es
proporcional a la densidad de pares de Cooper por lo
tanto caracteriza el estado superconductor.
Se puede mostrar que si existe una solución de las ecuaciones de BdG para estados con energı́a En > 0 escritas
de forma espinorial como


un (~r)
,
Ψn (~r, t) = Ψn e−iEn t/~ , Ψn = 
vn (~r)
donde u(r) es la componente electrónica de la cuasipartı́cula y v(r) la componente de hueco, de tal manera
que la función de onda de las cuasipartı́culas se puede
escribir como


u(r)
,
ϕ(r) = 
(13)
v(r)
cuando ∆(r, r0 ) = 0 las ecuaciones (12) describen
un electrón y hueco independientes, este potencial de
acople llamado potencial de pares se puede escribir como en la relación (7)
3. Superconductores homogéneos
(8)
En este tipo de superconductores el potencial de pares
es invariante bajo traslaciones y se puede escribir como
la solución
∆(r, r0 ) = ∆(r − r0 ),

Ψn̄ (~r, t) = Ψn̄ e+iEn t/~ , Ψn̄ = 
vn∗ (~r)
−u∗n (~r)

,
lo que hace posible escribir las ecuaciones (12), cuando
no hay campos magnéticos, de la forma
(9)
~2 2
∇ + U0 (r) − µ u(r)+
Eu(r) = −
2m
Z
dr0 ∆(r − r0 )v(r0 ),
~2 2
Ev(r) = − −
∇ + U0 (r) − µ v(r)+
2m
Z
dr0 ∆∗ (r − r0 )u(r0 ),
corresponde a energı́as En < 0 de tal forma que la
relación de completez se puede escribir como
X
[Ψn (~r, t)Ψ+
r 0 , t)+Ψn̄ (~r, t)Ψ+
r 0 , t)] = 1̂δ(~r−~r 0 ),
n (~
n̄ (~
n
(10)
y las relaciones de ortonormalidad de las ecuaciones de
BdG están dadas por
Z
Ψ+
r0 , t)Ψm (~r, t)d3 r =
n (~
Z
(15)
Debido a que cuando consideramos que U0 (r) es constante, las soluciones para las ecuaciones (15) son funciones propias del operador momentum por lo que
pueden ser escritas de la forma


 
u(r)
u

 = √1 eik·r  
(16)
V
v(r)
v
Ψ+
r0 , t)Ψm̄ (~r0 , t)d3 r =
n̄ (~
δn,m ,
Z
(14)
Ψ+
r0 , t)Ψm̄ (~r0 , t)d3 r = 0,
n (~
(11)
 
10
donde 1̂ =   y Ψ+
r) = (u∗n , vn∗ ).
n (~
01
Cuando el hamiltoniano dado por la relación (1) no depende explı́citamente del tiempo se obtiene las ecua-
donde V es el volumen de normalización de la muestra, u y v son constantes por determinar y k representa
el vector de onda de las cuasipartı́culas, reemplazando
(16) en (15) se obtiene un sistema homogéneo para u y
3
rev.col.fis,vol.42,No 1(2010)
v, para que dicho sistema tenga una solución no trivial
el determinante debe ser igual a cero
(k) − E
∆(k) = 0,
(17)
∆∗ (k) −(k) − E Examinando el caso en el que el potencial de pares es inhomogéneo en una dirección ∆(~r) = ∆(z), y suponiendo que el sistema es invariante bajo traslaciones en el
plano xy, las soluciones para las ecuaciones de BdG son




u(~r)
ũ(z)

 = ei~kρ ·~ρ 
,
(22)
v(~r)
ṽ(z)
obteniendo
E(k) =
p
2 (k) + |∆2 (k)|,
(18)
donde kρ2 = kx2 + ky2 y ρ2 = x2 + y 2 .
Reemplazando (22) en las ecuaciones de BdG (21) éstas
pueden ser escritas como
En este caso el potencial de pares se manifiesta como un
gap de energı́a en el espectro de las excitaciones E(k)
con respecto al espectro de los electrones en el estado
normal (k).
Para un superconductor isotrópico el gap es independiente del vector de onda de las cuasipartı́culas por lo que
presenta isotropı́a en el espacio recı́proco y puede ser
escrito como
∆(k) = ∆0 .
~2 ~ 2 i~kρ ·~ρ
~
∇ e
ũ(z)
E eikρ ·~ρ ũ(z) = −
2m ~
− EF eikρ ·~ρ ũ(z)
~
+ ∆(~r) eikρ ·~ρ ṽ(z) ,
~2
~
~ 2 ei~kρ ·~ρ ṽ(z)
∇
E eikρ ·~ρ ṽ(z) =
2m ~
− EF eikρ ·~ρ ṽ(z)
~
+ ∆∗ (~r) eikρ ·~ρ ũ(z) ,
(19)
4. Soluciones de las ecuaciones de Bogoliubov-de
Gennes
(23)
realizando los cambios de kρ2 = kx2 +ky2 y ρ2 = x2 +y 2 .
Se encuentra
Para potenciales que no dependen explı́citamente del
tiempo las soluciones de las ecuaciones de BdG (5)
pueden ser escritas según (8) donde u(~r) y v(r) cumplen
las ecuaciones de BdG
~
~2 eikρ ·~ρ
d2
~
E eikρ ·~ρ ũ(z) = −
−~kρ2 ũ(z) + 2 ũ(z)
2m
dz
~
i~
kρ ·~
ρ
− EF e
ũ(z) + ∆(~r) eikρ ·~ρ ṽ(z) ,
~2 ei~kρ ·~ρ d2
i~
kρ ·~
ρ
2
~
E e
ṽ(z) =
−kρ ṽ(z) + 2 ṽ(z)
2m
dz
~
i~
kρ ·~
ρ
− EF e
ṽ(z) + ∆∗ (~r) eikρ ·~ρ ũ(z) ,
2
1 ~ r) + U (~r) − µ u(~r)
~ − e A(~
−i~∇
2m
c
+ ∆(~r)v(~r),
e ~ 2
1 ~
i~∇ + A(~r) + U (~r) − µ v(~r)
Ev(~r) = −
2m
c
∗
+ ∆ (~r)u(~r).
(20)
Eu(~r) =
(24)
es decir
Bajo la aproximación Jellium 1 se solucionan las ecuaciones (20) [4], donde se desprecian los efectos de los
potenciales externos escalares y magnéticos, de tal manera que las ecuaciones de BdG pueden ser escritas de
la forma
2m
d2
2
~
E ũ(z) = − −kρ ũ(z) + 2 ũ(z)
~2
dz
2m
2m
− 2 EF ũ(z) + 2 ∆(~r)ṽ(z),
~ ~
(25)
2
2m
d
2
~k ṽ(z) +
Eṽ(z)
=
−
ṽ(z)
ρ
~2
dz 2
2m
2m
− 2 EF ṽ(z) + 2 ∆∗ (~r) ũ(z),
~
~
reorganizando en términos de factor común para ũ(z)
y ṽ(z) se obtiene que
~2 ~ 2
∇ u(~r) − EF u(~r) + ∆(~r)v(~r),
2m
(21)
~2 ~ 2
Ev(~r) =
∇ v(~r) − EF v(~r) + ∆∗ (~r)u(~r),
2m
donde EF es la energı́a de Fermi 2 .
Eu(~r) = −
1
Los iones forman un mar de carga positiva uniforme, cuyo potencial es considerado constante una vez se ha tomado la influencia de los
mismos en la formación del estado superconductor.
2 Esto tomando que el potencial quı́mico se puede aproximar a su valor a T = 0 para temperaturas del orden de la temperatura ambiente.
4
Autor Principal et al.: Titulo
2m
d2
~k 2 + k 2 ũ(z) − 2m ∆(~r)ṽ(z),
+
E
−
ρ
F
dz 2
~2
~2
2
d
2m
2m
0=
− 2 E − ~kρ2 − kF2 ṽ(z) + 2 ∆∗ (~r) ũ(z),
2
dz
~
~
(26)
r
0=
2 ±
k = ± kzF
2m
E,
~2
2
2
2
kzF = kF − kρ ,
2m
kF2 = 2 EF ,
~
2
2
k±
= kzF
±

  
 
ũS (z)
u+
u−
+
+

 =  +  eik z +  +  e−ik z +
+
−
ṽS (z)
v+
v+
 
 
u+
u−
−
−
 −  eik z +  −  e−ik z , (33)
+
−
v−
v−
(27)
−
+
− + − +
−
donde u+
+ , u+ , u− , u− , v+ , v+ , v− y v− son constantes
que se pueden relacionar a partir de (30) y (32) como
(28a)
∆eiϕ v+
∆eiϕ v−
√
√
; u−
,
=
E − E 2 − ∆2
E + E 2 − ∆2
(34)
donde = ±. Las constantes u±
puede escribirse de la
forma
u+
=
(28b)
(28c)
5. Soluciones de las ecuaciones de Bogoliubov - de
Gennes para un superconductor homogéneo
(35)
∆
y los factores u0
en donde se satisface que u0 = 2Ev
0
y v0 están definidos de la forma
donde uI y vI son constantes.
Utilizando la solución propuesta (29) las ecuaciones
(27) son
2m iϕ
∆e =0,
~2
u0 eiϕ +
v0 eiϕ −
v ; u−
v ,
=
v0
u0 u+
=
En el caso del superconductor homogéneo ∆(z) =cte,
el potencial de pares se puede tomar en general como
una cantidad compleja ∆(z) = |∆|eiϕ , con ∆ y ϕ constantes. Se supone entonces una solución de la forma


 
ũS (z)
u

 = eikz  I  ,
(29)
ṽS (z)
vI
2
uI (k+
− k 2 ) − vI
(32)
Teniendo en cuenta los diferentes k encontrados las
soluciones de las ecuaciones de BdG son
obteniendo
2m
d2
2
ũ(z) + k+
ũ(z) − 2 ∆(z)ṽ(z) =0,
2
dz
~
d2
2m ∗
2
ṽ(z) + k− ṽ(z) + 2 ∆ (z)ũ(z)(z) =0,
dz 2
~
donde se ha utilizado
2m p 2
E − ∆2 ≡ ±k ± ,
~2
u20
1
=
2
v02
1
=
2
√
1+
√
1−
E 2 − ∆2
E
!
E 2 − ∆2
E
!
,
(36)
.
±
Modificando la escritura de los coeficientes u±
y v
para facilitar la escritura de las ecuaciones, se define
(30a)
2m −iϕ
2
∆e
+ vI (k−
− k 2 ) =0,
(30b)
~2
para obtener soluciones no triviales para los coeficientes
u y v es necesario exigir que el determinante de la matriz que forman dichos coeficientes sea igual o cero
2
iϕ (k+ − k 2 ) − 2m
∆e
2
~
(31)
= 0,
2m −iϕ 2
~2 ∆e
(k− − k 2 ) +
−
−
u+
= C ; u = C ,
(37)
v0 e−iϕ
u0 e−iϕ
; v− = C−
,
u0
v0
(38)
uI
v+ = C+
donde
u0 eiϕ +
v0 eiϕ −
v ; C− =
v .
(39)
v0
u0 Utilizando el anterior resultado es posible escribir las
soluciones de las ecuaciones de BdG para un superconductor homogéneo con un potencial de pares inhomogéneo en dirección z, como sigue
C+ =
con lo cual se obtiene la siguiente expresión para los k
5
rev.col.fis,vol.42,No 1(2010)
Figura 1. Sistema metal normal / superconductor, un electrón que incide hacia la juntura desde el metal en el estado normal N puede ser
reflejado como electrón, como hueco o ser transmitido como electrón o como hueco en la región normal S




ũS (z)
1
+
+
+ ik z
+ −ik z 
+

 =[C+
e
+ C−
e
]
v0 −iϕ
ṽS (z)
u0 e


1
−
−
− ik z
− −ik z 
,
[C+
e
+ C−
e
]
u0 −iϕ
e
v0
(40)
Z
~2 2
Eu(r) = −
∇ u(r) − EF u(r) + dr0 ∆(r, r0 )v(r0 ),
2m
Z
~2 2
Ev(r) =
∇ v(r) + EF v(r) + dr0 ∆∗ (r, r0 )u(r0 ).
2m
(41)
Como se mostró anteriormente el potencial de pares
∆(r, r0 ) puede ser escrito como ∆(k, r) de la forma
En la siguiente sección se describirá como es el comportamiento del shot noise para la configuración NS.
Z
∞
∆(k, r) =
dr∆(r, r0 )e−ik·r
(42)
−∞
6.Shot Noise en una Juntura Metal en estado Normal / Superconductor
utilizando este resultado (42), las ecuaciones (41) puede
ser escrita de la forma
6.1. Coeficientes de Transmisión y Reflexión en un juntura Metal en Estado Normal / Superconductor
Eu(r) = −
Al hacer incidir un electrón en una juntura NS desde la
región normal hacia el superconductor, éste puede ser
reflejado como electrón (reflexión normal) o como hueco (reflexiones de Andreev). Estas reflexiones han sido
usadas para explicar las propiedades de transporte en
diferentes tipos de junturas. Las reflexiones de Andreev
han sido utilizadas en superconductores anisotrópicos
para explicar propiedades de transporte, principalmente
en junturas NS. A continuación se estudia el ruido de
emisión en una juntura de metal en el estado normal /
superconductor, mostrando la dependencia del mismo
con la simetrı́a del parámetro de orden.
Para estudiar las dispersiones de las cuasipartı́culas en
una juntura (e.g., la mostrada en la figura 1), es necesario
encontrar los coeficientes de reflexión y transmisión de
las mismas, solucionando las ecuaciones de BdG para
superconductores anisotrópicos.
Las ecuaciones de BdG (12) independientes del tiempo,
sin considerar el efecto de potenciales escalares y campos magnéticos, con µ = EF (EF energı́a de Fermi),
son
Ev(r) =
~2 2
∇ u(r) − EF u(r) + ∆(k, r)v(r),
2m
~2 2
∇ v(r) + EF v(r) + ∆∗ (k, r)u(r).
2m
(43)
en cuenta esto el potencial de pares puede ser escrito
como ∆(k, r) = ∆(k, x). Las soluciones de las ecuaciones de BdG (43) pueden ser escritas entonces como




u(r)
u(x)

 = eiky ·y 
.
v(r)
v(x)
(44)
Reemplazando las soluciones propuestas (44) en las
ecuaciones de BdG (43) se encuentra
d2 u(x)
2m
2
+ k+
u(x) − 2 ∆(k, x)v(x) = 0,
2
dx
~
d2 v(x)
2m ∗
2
+ k− v(x) + 2 ∆ (k, x)u(x) = 0,
dx2
~
con
6
(45)
Autor Principal et al.: Titulo
Figura 2. Comportamiento del ruido de emisión para un parámetro de orden de simetrı́a s.
Figura 3. Comportamiento del ruido de emisión para un parámetro de orden de simetrı́a dx2 −y2 .
2m
E,
~2
2m
2
2
k−
= k0xF
− 2 E,
~
2
kxF
= kF2 − ky2 .
2
2
k+
= k0xF
+
cte), en este caso las soluciones que se proponen son
de la forma


 
u(x)
u

 = eikx x   ,
(48)
v(x)
v
(46)
Cuando ∆(k, x) = 0 las soluciones u(x) y v(x) que
corresponden a un metal en estado normal son
con u y v constantes. Reemplazando las soluciones (48)
en las ecuaciones (43), se encuentra que los coeficientes
de la anterior expresión deben cumplir con las ecuaciones


 
 
uN (x)
1
1

 =U+ eik+ x   + U− e−ik+ x  
vN (x)
0
0
 
 
0
0
+ V+ eik− x   + V− e−ik− x   .
1
1
(47)
2
u(k+
− kx2 ) − v
2m
∆(k) = 0,
~2
(49)
2m ∗
2
2
∆
(k)
+
v(k
−
k
)
=
0.
−
x
~2
Buscando que las soluciones no sean triviales los coeficientes u y v deben cumplir
u∗
Cuando se considera un superconductor homogéneo el
potencial de pares es constante (∆(k, x) ≡ ∆(k) ≡
7
rev.col.fis,vol.42,No 1(2010)
Figura 4. Comportamiento del ruido de emisión para un parámetro de orden de simetrı́a dx−y .
2
(k+ − kx2 ) − 2m
∆(k)
2
~
=0
(50)
2m ∗
2
2 ~2 ∆ (k) (k−
− kx )
con lo que se encuentran soluciones para kx de la forma
con ε, ε0 = ± y ∆± = |∆± |eiϕ± . Con esto los coeficientes en (54) pueden ser escritos como
ε + +
ε iϕε +
u+
Cε ,
ε = u0 Cε , vε = v0 e
2m p
ε
ε
2
kx = ±k∆
, k∆
= k0xF
+ ε 2 E 2 − |∆(k)|2 ,
~
(51)
donde ε = ± y ∆(k) = ∆(kx i + ky j) = ∆(k± ), con
ε
i + ky j. Debido a que los estados que conk± = ±k∆
tribuyen a la superconductividad están cerca a la superficie de Fermi, por lo tanto es posible escribir ∆(k)
como
∆(k) ≈ ∆(kF ) ≡ ∆(b
k),
y kx puede ser escrito como
con
u±
0
(52)
1/2
(E 2 − |∆± |2 )1/2
1+
E
1/2
2
1
(E − |∆± |2 )1/2
±
v0 =
1−
.
2
E
1
=
2


uS (x)


vS (x)
2m p
kx =
=
+ ε 2 E 2 − |∆± |2 ,
~
(53)
con ∆± = ∆(b
k± ). A partir (48) y (53) las soluciones
para u(x) y v(x) son
2
k0xF
+
=C+
e

+
+ C−
e
+
−ik−
x
u−
0
con ayuda de (49) se encuentra la siguiente relación
|∆ε |eiϕε vεε
p
E − ε0 E 2 − |∆ε |2

u+
0


v0+ e−iϕ+

(58)
Suponiendo que un electrón con energı́a E incide desde la región normal hacia el superconductor, las soluciones de las ecuaciones de BdG en la región normal
según (47), pueden ser escritas como
0
0
+
ik+
x



− −iϕ−
v
e
0


 
 
 


+
+
−
uS (x)
u
u
u
+
+
−
+
v

 =eik+ x  +  + e−ik− x  −  + eik+ x  + 
−
0
− ik+ x 

+ C+
e
+
+
−
vS (x)
v+
v−
v+
+ −iϕ+
u
e
0
 


−
u
−
−
−
v
−
+ e−ik− x   ,
0
− −ik− x 
.
−
+ C−
e
v−
−iϕ−
u−
e
0
(54)
uεε =
(57)
A partir de los resultados (56) y (57) las soluciones (54)
pueden ser escritas de la forma
r
±k±
, k±
(56)
ε − −
ε iϕε −
u−
Cε
ε = u0 Cε , vε = v0 e
r
(55)
8
Autor Principal et al.: Titulo
para los números de onda dados en las ecuaciones (60)
y (62)


 
uN (x)
1
 = U1 eik+ x   +
ϕN (x) = 
vN (x)
0
 
 
1
0
U2 e−ik+ x   + V1 eik− x   , (59)
0
1
k0xF ∼
= kxF ∼
= kF cos θ,
kε =kxF + εp,
kε±
(64)
=kxF + εq± ,
con
donde
q
mE
}2 kxF
q
2
m E 2 − |∆± |
q± =
}2 kxF
2
2
k0xF
± 2mE/~2 con k0xF
= kF2 − ky2 ,
(60)
El electrón incide con un vector de onda k+
e = k+ i +
ky j, y puede reflejarse como electrón con vector de onda k−
e = −k+ i+ky j, o como hueco con vector de onda
k+
h = k− i + ky j.
En la región superconductora ∆(k, x) = ∆(k) según
(58) las soluciones de las ecuaciones de BdG son de la
forma
k± =
p=
y θ el ángulo entre la dirección de la partı́cula incidente
y el vector normal a la interfase. Estas aproximaciones
son validas si
|∆± |
<< 1
EF cos2 θ




+
uS (x)
u
+
0
+ ik+ x 
 = C+

ϕS (x) = 
e
+ −iϕ+
vS (x)
v0 e


−
u
+
0
+ −ik− x 

+ C−
e
v0− e−iϕ−


+
v0
−
− ik+

+ C+
e x
+ −iϕ+
u0 e



− 
x
− −ik−
+ C−
e


−iϕ−
u−
0e
(65)
±|
−1
dado que |∆
− 10−3 , el ángulo θ debe tenEF ≈ 10
er un valor tal que −0, 98π/2 < θ < 0,98π/2. Con lo
anterior tenemos que
∆(±k0xF i+ky j) ∼
= ∆(±kF cos θi+kF senθj) ≡ ∆± (θ).
(66)
Los potenciales ∆+ y ∆− están relacionados por
∆− (θ) = ∆+ (π − θ)
(67)
y cada uno de estos potenciales puede ser escrito como
|∆± | eiϕ± donde las fases ϕ− y ϕ+ no se pueden eliminar bajo transformaciones de calibración como ocurre
en el caso isotrópico.


v0−  ,

(61)
donde
6.2. Coeficientes de Reflexión y Transmisión
r
2m
2
E 2 − |∆± | ,
(62)
~2
ε
con ε = ± y ∆± = ∆(±k±
i + ky j) = |∆± | eiϕ±(63)
,
ε
k±
=
2
k0xF
+ε
q
Para calcular los coeficientes de reflexión y transmisión
de las cuasipartı́culas en este tipo de junturas es necesario calcular la densidad de corriente de probabilidad
de reflexión y transmisión para un electrón y para un
hueco. Estas densidades de corrientes son
Las cuasipartı́culas que están descritas por los vectores
ε
ε
de onda k+
= k+
i + ky j se mueven en un potencial
ε
ε
∆+ y aquellas con vector de onda k−
= −k−
i + ky j
se mueven en un potencial ∆− .
Cuando ε = +, la cuasipartı́cula tiene carga neta negativa, que denominamos tipo electrón Qe mientras que
si ε = −, la cuasipartı́cula tiene carga neta positiva, y
la denominamos como tipo hueco Qh .
Debido a que los estados que contribuyen a la superconductividad se encuentran cerca de la superficie de
Fermi, podemos realizar las siguientes aproximaciones
~
Re[−iu(r)∗ ∇u(r)],
m
(68)
}
∗
Jh (r) = − Re[−iv(r) ∇v(r)].
m
A partir de las densidad de corrientes de probabilidad
es posible definir los coeficientes de reflexión y transmisión electrón - electrón y electrón - hueco respectivamente como
Je (r) =
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rev.col.fis,vol.42,No 1(2010)
4e3
[Rb (1 − Rb ) + Ra (1 − Ra ) + 2Ra Rb ] ,
h
(74)
donde Ra = |She | y Ra = |See | son los coeficientes de
reflexión de Andreev y normal, respectivamente. Para
este tipo de configuración el ruido de emisión es
S=
|Jex,r |
,
|Jex,i |
|Jhx,r |
=
,
|Jex,i |
|Jex,t |
,
|Jex,i |
|Jhx,t |
=
,
|Jex,i |
Re−e =
Te−e =
Re−h
Te−h
(69)
donde los subı́ndices i, r y t, representan incidente,
reflejado y transmitido respectivamente, mientras el
subı́ndice x representa la componente de Je en dirección
x. Para encontrar estos coeficientes es necesario hacer
uso de las soluciones de las ecuaciones de BdG para
cada región de la juntura (59) y (61), remplazándolas
en las ecuaciones para los coeficientes de reflexión y
transmisión (69) se encuentra que
|U2 |2
,
Re−e =
|U1 |2
k− |V1 |2
Re−h =
,
k+ |U1 |2
|U3 |2
Te−e =
|U1 |2
k− |V2 |2
Te−h =
.
k+ |U1 |2
4e3
[Rb (1 − Rb )]
h 4e3 k− |v0 |2
k− |v0 |2
S=
1
−
h k+ |u0 |2
k+ |u0 |2
S=
7. Conclusiones
Para el sistema NS el ruido de emisión depende únicamente del coeficiente de reflexión electrón-hueco ya que
el potencial de pares no representa un potencial suficiente para crear dispersion de tipo electrón-electrón.
El ruido encontrado es sensible a la simetrı́a del
parámetro de orden superconductor ya que es posible
distinguir un corrimiento en la energı́a del máximo que
se observa comparando los resultados con simetrı́a s y
d.
El comportamiento del ruido para simetrı́a d depende
del ángulo de incidencia de las partı́culas θ normal a la
interfase y es el mismo para la simetrı́a dx2 −y2 y dx−y .
(70)
Para encontrar los coeficientes de reflexión y transmisión es necesario encontrar las amplitudes U1 , U2 ,
U3 , V1 y V2 . Para esto se utilizan las condiciones de
frontera
ϕN (0) = ϕS (0)
(75)
(71)
y
8. Agradecimientos
dϕS (x) dϕN (x) =
,
dx x=0
dx x=0
(72)
F. Fonseca agradece la financiación de este trabajo por
parte de la Universidad Nacional de Colombia, en su
División de Investigación sede Bogotá, con número de
proyecto (DIB-8003355).
Reemplazando las soluciones (59) y (61) en las condiciones de frontera (71) y (72) se encuentran las amplitudes que acompañan a las soluciones de las ecuaciones
de BdG, utilizando las ecuaciones (70) es posible encontrar las expresiones para los coeficientes de reflexión y
transmisión electrón - electrón y electrón - hueco como
Re−e
Re−h
|U2 |2
=
=0
|U1 |2
k− |v0 |2
k− |V1 |2
=
,
=
k+ |U1 |2
k+ |u0 |2
Referencias
[1] Y. M. Blanter and M. BÄuttiker, Phys. Rep. 36, 1 (2000).
[2] Y. Tanaka, T. Asai, N. Yoshida, J. Inoue, and S. Kashiwaya,
Phys Rev. B 61, R11 902 (2000).
[3] Jian-Xiu Zhu and C. S. Ting, Phys Rev. B 59, R14 165 (1999).
[4] S. Kogan, Electronic Noise and Fluctuations in Solids
(Cambridge University Press, Cambridge, 1996).
[5] P. G. de Gennes, Superconductivity of metals and alloys
(Benjamin, 1966).
[6] J. Bardeen, L. N. Cooper and J. R. Schieffer, Phys. Rev. 108,
1175 (1957).
[7] J. Bardeen, R. Kuemmel, A. Jacobs, and L. Tewort, Phys. Rev.
556, 1969 (187).
[8] W. J. Mathews, Phys. Stat. Sol. 327, 1978 (B 90).
[9] J. Schrieffer, Theory of Superconductivity (W. A. Benjamin,
1964).
[10] C. Bruder, Phys. Rev. B 41, 4017 (1990).
(73)
El comportamiento de estos coeficientes muestra que
los electrones incidentes en la interfase son dispersados
únicamente como huecos debido a la no existencia de
una barrera de potencial aislante. Siguiendo el trabajo
de Zhu and Ting [3], en el cual el ruido de emisión en
términos de los coeficientes de reflexiones normales y
reflexiones de Andreev es
10