Ejercicio 1

Álgebra y Geometría Analítica
FRM UTN
Año 2009
TRABAJO PRÁCTICO N° 7
TRANSFORMACIONES LINEALES:
Ejercicio 1: Analizar si las siguientes funciones son Transformaciones
Lineales (T.L.) en los espacios que se indican:
2
2
a) F: IR IR
3
2
b) F: IR IR
c) F: P2 IR
d) F: IR nxn IR nxn
F((x,y)) = (x2, y2)
F((x,y,z)) = (0,x+y).
F(p(x)) = p(-2)
F(A) = A+I siendo I la matriz identidad de orden n.
Ejercicio 2: Sea T una TL que aplica V en W. Pruebe que T(0V) = 0W y luego
verifique esta propiedad en las funciones del ejercicio anterior y obtenga
sus conclusiones.
Ejercicio 3: Sea T una TL que aplica V en W. Demuestre que si S es
subespacio de V, la aplicación de T sobre S es un subespacio de W.
2
Ejercicio 4: Sea T una TL que aplica IR en IR 4 tal que:
T(1,5) = (0,1,0,5)
T(5,1) = (5,0,1,0)
a) Determinar la expresión de la transformación T((v1,v2)).
b) Encontrar el transformado del vector v = (-1,1).
Ejercicio 5: Para las siguientes TL encontrar:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
el núcleo de la transformación
la imagen de la transformación
una base y la dimensión para el núcleo
una base y la dimensión para la imagen
clasificar la TL
verificar el teorema de la dimensión.
2
2
i) T: IR IR tal que T(A) = A – AT
20
ii) T: P3 P2 tal que T(a3.x3 +a2.x2 +a1.x +a0 ) = 3 a3 x2+2 a2.x + a1
3
3
iii) T: IR IR tal que T(v) =v x u siendo u = (1,1,1) y “x” producto vectorial
3
2
iv) T: IR IR tal que T((x,y,z)) = (x+y+z, x+y+z)
Ejercicio 6: Hallar la matriz asociada a cada una de las TL del ejercicio
anterior. Observar donde aparece ésta matriz en el cálculo del núcleo y de
la imagen en el ejercicio anterior.
Ejercicio 7: Dadas las siguientes matrices:
1

1 0 
1 2
0 1 
− 1 0 
0

b)
c) 
d) 
e) 
a) 
3




 0 1
0 1 
1 0
 0 − 1
0 −1


2
2
i) Interpretar geométricamente cual es la TL T: IR IR que representan.
ii) Encontrar gráficamente el trasformado de un rombo de vértices P1 (1,0) ,
P2(0,2), P3(-1,0) y P4(0,-2) para cada T.L. anterior.
2
2
Ejercicio 8: Probar que la función T que transforma: IR IR al rotar el
plano en el sentido contrario al que giran las manecillas del reloj un ángulo
positivo β , es una transformación lineal, encontrando su expresión
matricial.
Verifique que esta T.L. preserva el producto interior euclídeo en R2.
2
3
Ejercicio 9: Dada la TL T: IR IR / T(2,-1) = (1,0,1) y T(-1,2) =(0,1,1)
a) Determinar la matriz estándar asociada a la T.L.
b) Determinar la matriz asociada a la T.L. respecto de la base:
B = { (2,-1) , (-1,2) } y B’ = { (1,0,1) , (0,1,1) , (1,1,0) } en el dominio y
codominio respectivamente.
c) Usar la matriz obtenida en a) para calcular el transformado de (1,3)
d) Usar la matriz obtenida en b) para calcular el transformado de (1,3)
3
3
Ejercicio 10: Dada T: IR IR la proyección ortogonal sobre el plano
x+y+z = 0
a) Determinar la matriz asociada a la T.L. respecto a la base canónica en
IR 3
b) Determinar la matriz asociada a la T.L. respecto de las bases:
B = B’ = { (1,1,0) , (1,-1,0) , (0,0,1) } en el dominio y el codominio.
c) Encontrar la matriz de cambio de base de base canónica a la base B
d) Encontrar la matriz de cambio de base de la base B a la base canónica
21
e) Verificar que las matrices encontradas en a) y b) son semejantes.
2
2
Ejercicio 11: La matriz asociada a una T.L. T: IR IR respecto de las
bases
1 3 
B = B’ = { (1,1) , (1,2) } es 
 , encontrar la matriz asociada a la base
0 −1
canónica y el transformado del vector (2,3).
Ejercicio 12: Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o
falsas.
3
3
a) El núcleo del operador lineal identidad en IR es IR .
 3 − 2
b) 
 tiene nulidad 1.
− 1 2 
1 2
2
es la matriz estándar de una T.L. cuya imagen es IR .
c) 

0 3 
1 2
d) 
 es la matriz estándar de una T.L. cuya núcleo es {0}.
0 0 
e) la
matriz
de
coordenadas
1
B = {(1,0) , -1 , 1 } es   .
−1
del
vector
u(0,1)
en
la
base
f) la matriz de cambio de base de la base B = {(1,0) , (0,2) } a la base
1 0
canónica es 
.
0 2 
g) Si T es una TL T(0V) = 0W.
h) Si T(0V) = 0W entonces T es una T.L.
2
3
i) Si T((1,3)) = (0,0,0) y T(3,1) = (0,0,0) entonces T: IR IR es la
transformación nula.
2
2
es la
j) Si T((1,-1)) = (1,-1) y T(-1,1) = (-1,1) entonces T: IR IR
transformación identidad.
k) La imagen de una T.L. T: V W es un subespacio de W.
3
l) Si T: IR IR 8 es una T.L. el rango de la transformación (dimensión
de la imagen) es como máximo 3.
m) Si T: IR 7 IR 8 es una T.L. la nulidad de la transformación (dimensión
del núcleo) es como mínimo 0.
3
n) Si T: IR IR 7 es una T.L. entonces la matriz asociada a la
transformación es de orden 7x3.
o) Toda TL T: V W se la puede expresar matricialmente como
T(v) = A. w con v ∈ V y w ∈ W y A ∈ a IR nxn .
22
− 1 0 
p) La matriz 
 representa geométricamente una rotación de
 0 − 1
180°.
q) La matriz de cambio de base de la base canónica a la base
1 0
B = { (1,0) , (0,2) } es 
.
0 2 
r) Si A y B son matrices semejantes det(A) = det(B)
s) Si el det(A) = det(B) entonces A y B de orden nxn son semejantes.
Ejercicio 13: Indicar la respuesta correcta
1 2
a) Si 
 es la matriz
1 3
matriz de cambio de base
2
 3 − 2
i) 
[ ] ii) 

− 1 1 
3
de cambio de base de la base B a la canónica la
canónica a B es:
1
1 0
[ ] iii)  

1
0 1 
1 0
b) A = 
 entonces:
0 0 
2
i) no es T.L. [ ] ii) T: IR IR
[]
[]
1 3
iv) 

1 2
[]
v) n r a c
iii) representa una proyección
iv) es semejante a N 2 x 2 ( N 2 x 2 Matriz Nula de 2x2)
[]
v) ) n r a c
[]
[]
[]
3
3
c) Si T: IR IR tiene ImT = { (x,y,z) / y = x } entonces :
i) T es un epimorfismo [ ]
ii) nulidad = 1 [ ]
iii) la imagen es una recta que pasa por el origen
iv) NT = {(1,1,0)}
[]
v) n r a c
a
T( a2.x2 + a1.x +a0 ) =  2
 a1
 0 0  
i) el núcleo es NT = 
 [ ]
0
0



ii) el rango de T es 2 [ ]
d) Si T: P2 IR 2 x 2
[]
[]
a1 
entonces:
a0 
1 0 0 1 0 0 
iii) una base para la imagen es 
, 1 0, 0 1  [ ]
0
0

 
 


iv) la matriz asociada a la transformación es de orden 3x4
v) n r a c
[]
[]
23