Introducción a los Modelos de Markov

Introducción a los Modelos de Markov
Dean L. Urban y David O. Wallin
OBJETIVOS
Los modelos de cambio del paisaje son herramientas importantes para entender las fuerzas que
dan forma al paisaje. Una motivación para modelar es el poder extrapolar la dinámica de corto
plazo del paisaje a un plazo más largo. Esta extrapolación del status quo puede ser un marco de
referencia para evaluar escenarios de manejo alternos, o para probar hipótesis. Existe todo un
espectro de formas de estudiar el cambio del paisaje, que van desde los simples y fácilmente
interpretables, a los más realistas y menos comprensibles. Las metas de esta práctica son:
1.
2.
3.
4.
Proporcionar una introducción a la matemática de modelos de Markov simples.
Capacitar a los estudiantes para construir un modelo simple de cambio de uso de suelo
basado en probabilidades de transición.
Explorar el proceso de creación, verificación y validación de un modelo.
Estimular la especulación creativa sobre cómo podría extenderse los modelos de Markov
para incorporar mecanismos más complejos y realistas del cambio del paisaje, así como
sus restricciones.
En este ejercicio, se construirá un modelo simple de cambio del paisaje, se evaluará y se usará
como punto de partida para considerar modelos más realistas (pero más complicados). Se
comparan mapas de bosques del noroeste del Pacífico sobre tres períodos de tiempo para resumir
las tasas de transición entre distintas coberturas. Se construye un modelo simple de cambio de
paisaje a partir de estas probabilidades de transición. Este modelo se proyecta después en el
tiempo para verificar y validar el modelo. Para completar esta práctica, se requiere una PC,
calculadora, el programa markov.exe, las imágenes del paisaje (pnw72.gif, pnw85.gif,
pnw91.gif y samp200.gif), además del archivo de datos samp200.dat ubicados en el directorio
de esta práctica en el CD-ROM.
INTRODUCCION
Quizá la observación más fundamental de cambio en el paisaje surja de la medición de su estado
en dos instantes de tiempo. Por ejemplo, si tenemos mapas de cobertura de suelo, clasificados a
partir de imágenes de satélite que fueron obtenidas en dos fechas separadas por diez años,
notaremos que algunas de las celdas (o pixels) cambiaron de un tipo de cobertura a otra en ese
intervalo de tiempo.
Una forma de resumir el cambio del paisaje es simplemente anotar todas las instancias, celda por
celda, en las que el tipo de cobertura ha cambiado sobre ese intervalo de tiempo. Una manera
concisa de anotar es una matriz de conteo sin procesar, la cual, para m tipos de cobertura mide
m x m. Los elementos, nij de la matriz totalizan el número de celdas que han cambiado de un tipo
i de cobertura a un tipo j sobre un intervalo de tiempo. Una matriz de conteo sin procesar se
convierte frecuentemente a proporciones, dividiendo cada uno de los elementos por el total del
renglón correspondiente, para generar una matriz de transición P. Los elementos pij de la
matriz de transición P indican la proporción de celdas de cada tipo de cobertura que han
cambiado a cada uno de los demás tipos durante ese período de tiempo. Los elementos
diagonales de la matriz, los pi i, son la proporción de las celdas que no cambiaron.
Si bien existen una diversidad de aproximaciones para modelar el cambio del paisaje (ver
Weinstein y Shugart, 1983; Baker, 1989; Sklar y Constanza, 1991 para más detalles), muchos de
ellos comienzan con una matriz de conteo o con una matriz de transición P. Aquí se examinará el
modelo más sencillo que se basa en una matriz de transición. Este modelo servirá como el punto
de partida para contemplar modelos más realistas, pero también más complicados.
Modelos de Markov
Un modelo de Markov de primer orden (Usher, 1992) supone que para predecir el modelo del
sistema en el tiempo t + 1 sólo se necesita saber el estado del sistema en el tiempo t. El corazón
de un modelo de Markov es la matriz de transición P, la cual muestra la probabilidad de que
una celda con un tipo de cobertura i cambiará al tipo de cobertura j durante un sólo paso de
tiempo. Un paso de tiempo es el intervalo en que se observó que cambiaron los datos (esto es, el
intervalo entre la obtención de los dos mapas).
Los modelos de Markov, si bien son sencillos, tienen muchas propiedades útiles. En particular,
pueden resolverse por iteraciones para proyectar el estado del sistema. Si se escribe el estado del
sistema como vector:
xt = [x1 x2 x3 . . . ]
donde xj es la proporción de celdas del tipo i en el tiempo t, un modelo de Markov se proyecta
así:
xt+1 = xtP
esto es, el vector de estado multiplicado por la matriz de transición. La proyección siguiente para
el tiempo t + 2 es entonces:
xt+2 = xt+1 P = xt PP = xt P2
y en general, el estado del sistema en el tiempo t = t + k estará dado por:
xt+k = xt Pk
donde xt es el estado inicial del mapa. Así, el modelo puede proyectarse hacia el futuro
simplemente iterando con una operación matricial (véase el Ejercicio 2 para más detalles de
cómo hacer esto a mano).
El estado estable o de equilibrio del sistema está dado por el eigenvector de la matriz de
transición; así, existe una solución cerrada para el modelo. Recuerdese que el eigenvector de una
matriz está definido tal que si la matriz se multiplica por el eigenvector, el resultado es otra vez
el mismo vector:
x~ = x~ P
Esto es, el estado del sistema no cambia una vez que alcanza este estado. Hay algunos trucos
computacionales para estimar las soluciones estables (Usher, 1992), o puede usarse un paquete
de matemáticas (como Mathematica, MatLab) para hacer esto. Pero para modelos simples, la
solución converge rápidamente y puede estimarse simplemente proyectando el modelo unas
cuantas veces.
Representación Gráfica
El modelo indicado por la matriz de transición P también puede representarse como una gráfica
(un diagrama de “cajas y flechas”). Un ejemplo con tres coberturas podría ilustrarse como la
Figura 4.1. Una inspección superficial de la gráfica revela la dirección del flujo en el sistema y
sugiere una transición del tipo 1 al 2 y luego al 3, con algunos ciclos posibles (tal vez una
alteración) al tipo de cobertura inicial.
Proyección del Modelo
Para explorar un modelo de Markov, se inicia con un vector de estado y luego se proyecta
durante uno o más pasos de tiempo. El vector de tipos de cobertura que se obtiene en cada
iteración es la predicción de la composición total de la cobertura del paisaje para este paso de
tiempo. En los ejercicios siguientes, mostraremos cómo se logra esto.
Modelando el Cambio del Paisaje
en el Noroeste del Pacífico, EEUU
Se debatió mucho sobre el manejo de los bosques del Noroeste del Pacífico (NWP) a principios
de los noventas. El debate se centró en los efectos de la tala extensiva sobre los bosques antiguos
y la vida silvestre que depende de ellos, como el búho manchado del Norte (Stryx occidentalis) y
el mérgulo jaspeado (Brachyramphus marmoratus) (Hansen et al., 1991; Ruggiero et al., 1991),
principalmente en tierras bajo administración del Servicio Forestal. Dado que la mayoría de los
bosques antiguos en propiedad privada ya han desaparecido, la mayor explotación en los
ochentas procedía de estas tierras federales (Harris, 1984; Robbins, 1988). A mediados de los
noventas, la producción se redujo en más del 80% en relación con la producción máxima de fines
de los ochentas (FEMAT, 1993; USDA Forest Service y USDI Bureau of Land Management,
1994; Marcot y Thomas, 1997). La pregunta central durante el debate era, por cuánto tiempo
pueden mantenerse las tasas actuales de explotación antes de que los bosques antiguos
desaparezcan?
Área de estudio
La Cordillera de las Cascadas, en el estado de Oregon estuvo en el centro de este debate sobre
manejo de los bosques del NWP. El área de estudio se encuentra en tierras bajo administración
federal donde la explotación se ha llevado a cabo siguiendo un sistema de “ajuste escalonado”
con parcelas taladas de 10 a 20 hectáreas. La tasa y el patrón de estas alteraciones es algo distinto
a los que tienen lugar en propiedad privada (Spies et al., 1994) y son muy diferentes a las
alteraciones producidas por incendios durante la época previa a su colonización (Wallin et al.,
1996b).
Se obtuvieron datos espaciales para esta área a partir de imágenes Landsat Thematic Mapper,
usando métodos descritos por Cohen et al. (1995, 1998) y Wallin et al. (1996a). La cubierta
forestal se clasificó en seis edades aproximadas (Tabla 4.1). Se incluyen imágenes para tres
períodos: 1972, 1984 y 1991. Las imágenes (pnw72.gif, pnw84.gif, y pnw91.gif) pueden
examinarse con un navegador de Internet, usando las opciones del menú para abrir un archivo.
Las áreas amarillas denotan rodales jóvenes, las verde oscuro son bosques antiguos y las áreas
cafés son zonas taladas. La mancha gris en las imágenes es roca. Cada imagen tiene 500 x 500
celdas (15,625 ha) con un tamaño de celda de 25 metros.
El archivo samp200.gif muestra 200 puntos elegidos al azar sobre la imagen de 1972. El tipo de
cobertura en cada uno de ellos se tabuló en el tiempo 1 (1972), el 2 (1984) y 3 (1991) en los tres
mapas. La información se tabuló en las columnas de una matriz primaria de datos y puede
verificarse abriendo el archivo de texto samp200.dat.
A continuación se usarán los datos de cobertura de los 200 puntos muestra para construir un
modelo de Markov propio. En los siguientes ejercicios se realizarán los tres pasos principales:
desarrollo del modelo, su verificación y validación.
EJERCICIO 1.
Desarrollo del Modelo
Usará los datos de 200 puntos muestra de las imágenes NWP para calcular las probabilidades de
transición para un modelo de Markov. Las probabilidades de transición se basarán en el cambio
del paisaje de 1971 a 1984.
1. A partir de la matriz primaria de datos (samp200.dat) construya una matriz de conteo sin
procesar que contenga el número de celdas -de las 200 tomadas como muestra- que hayan
tenido una transición de un tipo i a un tipo j durante el período de tiempo t1 (1972) a t2
(1984). Recuerde que cada elemento nij de la matriz de conteo es el número de celdas
que cambiaron de un tipo i al tipo j durante el intervalo de tiempo. Imprima e ingrese sus
resultados en la Tabla 4.2 del CD.
2. Divida cada elemento de la matriz de conteo por el total de su renglón para obtener una
matriz de probabilidades pij, la probabilidad de cambio del tipo i al j. Estas probabilidades
son para un período de 12 años (1972-1984). Ingrese sus resultados en la Tabla 4.3 del
CD. Calcule sus resultados con cinco decimales.
3. Ahora, convierta la matriz de transición a un paso de tiempo anual. Esto es en parte por
razones cosméticas (la dinámica de transiciones se verá más suave), pero también nos
permitirá reconciliar el paso de tiempo de 12 años del primer período con el de 7 del
período de 1984 a 1991. Para convertir la matriz de probabilidad de transición P a un
paso de tiempo anual,
•
•
Divida cada elemento fuera de la diagonal (pij, i <> j) entre 12.
Ajuste los elementos de la diagonal pii, para que sean 1.0 – SUMA(pij). En otras
palabras, todos los renglones deben sumar 1.0. Ingrese estos resultados en la
Tabla 4.4. obtenida del CD.
4. En esta matriz (Tabla 4.4), las tasas fuera de la diagonal son ahora transiciones anuales
(sus probabilidades). Los elementos de la diagonal son ahora más grandes que en la Tabla
4.3 porque en un paso de tiempo anual menos celdas cambia y nuevamente, los renglones
de la matriz deben de sumar 1.0.
5. Ahora use la Tabla 4.5 para resumir el estado del mapa a lo largo de todos los pasos de
tiempo. El estado del mapa se representa como un vector renglón cuyos elementos son la
proporción de celdas de cada tipo de cobertura. Construya tres vectores a partir de la
matriz primaria de datos (samp200.dat). Para hacerlo, sume todas las celdas en cada
estado para cada uno de los tres años muestreados. Convierta estos números a
proporciones dividiendo cada elemento de la tabla por la suma de su renglón. (Estos
vectores pueden derivarse también de la matriz de transición. Sabe cómo?)
Con el cálculo de los vectores de estado y de la matriz de probabilidad de transición P ha
construido un modelo simple de cambio del paisaje. Lo que queda por hacer es evaluar el
modelo. Los datos de 1972 se usarán como condiciones iniciales del modelo. El segundo período
de tiempo (1984) se usará para verificar el modelo y el tercer período de tiempo (1991) lo
reservaremos para validar el modelo.
EJERCICIO 2.
Verificación del Modelo: Proyección manual de la Matriz
La verificación del modelo consiste en probar el modelo contra los datos usados para construirlo
(Haefner, 1996). En este caso, se trata de comparar la proyección del modelo de 1972 a 1984 con
los datos reales de 1984. Debido a que el modelo fue construido con estos datos, este no es una
prueba independiente del modelo; el modelo debe, de hecho, coincidir con los datos. Se
verificará el modelo inicializandolo con datos de 1972 y proyectandolos a 1984, tanto a mano
como con un programa de computadora (Markov) en el Ejercicio 3. Haga la proyección de la
primera matriz (de 1972 a 1984) a mano, siguiendo el ejemplo descrito a continuación. Para
hacer esto en una sola iteración, use la matriz de probabilidades de transición en la Tabla 4.3, la
está calculada con un paso de tiempo de 12 años.
Este ejemplo muestra una proyección genérica de la matriz usando sólo tres tipos de cobertura.
El primer paso implica multiplicar la matriz de transición P por el vector de estado.
| p11
[x1 x2 x3] . | p21
| p31
p12
p22
p32
p13 |
p23 | = [x1p11 + x2p21 + x3p31, x1p12 + x2p22 + x3p32,
p33 |
x1p13 + x2p23 + x3p33 ]
Observe los subíndices para asegurar que los elementos correctos son los que se usan: los
subíndices siempre deben coincidir (esto es, el subíndice de la x debe coincidir con el primer
subíndice de p).
Un ejemplo que usa datos reales con sólo tres tipos de cobertura se vería así:
Suponga que tiene la siguiente matriz de transición (P):
| 0.90 0.10 0.00 |
P = | 0.10 0.80 0.10 |
| 0.10 0.00 0.90 |
Ahora, suponga que todo el paisaje pertenece al tipo de cobertura 1 al comenzar:
x0 = [ 1.00 0.00 0.00 ]
La primera proyección, a t1 es:
[ (1.0) (0.9) + (0.0) (0.1) + (0.0) (0.1), (1.0) (0.1) + (0.0) (0.8) + (0.0) (0.0),
(1.0) (0.0) + (0.0) (0.1) + (0.0) (0.9) ] = [0.9 0.1 0.0]
La segunda proyección a t2 usa el vector resultante [0.9 0.1 0.0] y la matriz de transicón
original, para producir:
[0.82 0.17 0.01]
Verifique estos cálculos a mano. Vea que estos mismos datos se utilizan en el archivo de
demostración que se incluye en esta práctica (demo.dat).
EJERCICIO 3.
Proyección de la matriz usando el programa Markov.
Como era de esperarse, las proyección de matrices se hace frecuentemente con ayuda de un
programa de computadora. Aquí, usará un programa muy simple escrito en Fortran llamado
MARKOV. El programa (markov.exe) puede ejecutarse desde el símbolo del sistema o dando
doble click sobre su ícono. Los datos de demostración están incluidos (demo.dat).
Entradas del modelo
MARKOV espera leer un archivo de datos en ASCII, conteniendo la matriz de transición y el
vector de condiciones iniciales. Para estos ejercicios (con cinco tipos de cobertura) los archivos
de datos deben tener el siguiente formato:
Renglones 1-5: los elementos de la matriz de transición (use la Tabla 4.4 para un paso de tiempo
de 1 año).
Renglón 6: las condiciones iniciales (el renglón correspondiente a 1972 tomado de la Tabla 4.5).
Los datos puede separarse por espacios, una coma o tabuladores; debe usar suficiente cifras
significativas para evitar errores de redondeo (unos cinco decimales).
Resultados del modelo
El programa informará el paso de tiempo en el que la solución converge a un estado estable, o
bien, que el modelo no convergió durante la simulación. En este último caso, necesita correr
nuevamente el modelo con un tiempo más largo para permitirle que converja. La salida
producida por MARKOV consiste de una línea por paso de tiempo, informando el número del
paso de tiempo (en la columna 1) seguido de la proporción del paisaje con cada cobertura en ese
momento (columnas 2 a 6 en este ejemplo). El archivo de salida está formateado de manera que
pueda ser importado directamente a una hoja de cálculo o paquete gráfico.
Una sesión con MARKOV es como sigue:
Project a markov Model?
Name of file with input data?
And name of file for output data?
Number of patch types in model?
And number of timesteps to project?
Model failed to converge in 100 timesteps
Cuando el programa pregunta por el número de tipos de rodales, se refiere al número de tipos de
cobertura en el modelo.
Usando ahora el programa MARKOV, repita su proyección del modelo de 1972 a 1984
siguiendo estos pasos:
1. Construya un archivo de entrada (archivo texto) que incluya su matriz y vector de datos.
Déles el formato explicado en la sección de Entradas del modelo. NOTA: Puede
consultar el archivo demo.dat, pero recuerde que estos datos son para un ejemplo con
tres tipos de cobertura nada más.
2. Corra el programa durante 12 pasos de tiempo.
3. Compare sus resultados de los Ejercicios 1 y 2. Reproduce la proyección del modelo los
datos usados para construirlo? Si no reproduce los datos de 1984, qué podría explicar la
discrepancia?
SUGERENCIA: Asegurese de guardar sus archivos como textos. Cuando ejecute MARKOV,
escriba el nombre completo del archivo (incluyendo la extensión) y cuide que el archivo de
entrada no esté siendo usado por otra aplicación.
EJERCICIO 4.
Validación del Modelo
La validación de un modelo consiste en probarlo contra datos que no fueron usados para
construirlo (Haefner, 1996). Esto es importante porque constituye una prueba independiente del
modelo.
1. Usando todavía los datos de 1972 como condición inicial, utilice el programa MARKOV
para proyectar el modelo hasta 1991 (i.e. durante 19 pasos de tiempo).
2. Compare la composición pronosticada del paisaje con la composición real tabulada en la
tabla primaria de datos. Esta es una prueba para validar su modelo. La proyección del
modelo coincide con los datos de 1991? En caso negativo, qué podría explicar la
discrepancia?
3. Continúe proyectando el modelo hacia el futuro hasta que converja a un estado estable o
bien, hasta que haya menos del 10% del paisaje ocupado por bosques antiguos, lo que
ocurra primero. Cuánto durará el bosque antiguo o cuándo se equilibrará?
NOTA: Puede completar todas estas tareas con una sola proyección del modelo. Simplemente
corra el modelo por un tiempo muy largo (digamos, 2000 años). Si converge en menos tiempo,
borre los años últimos de la salida del modelo usando un editor de texto (la salida es interesante
solamente mientras haya cambio en el paisaje).
CONCLUSIONES
Con esto concluye el desarrollo, verificación y validación de un modelo de Markov simple de
cambio del paisaje. Un modelo así de simple es suficiente para algunas aplicaciones (por ej.
véase Johnson y Sharpe, 1976; Johnson, 1977; Hall et al., 1991). En otros casos, sin embargo,
este modelo sirve como punto de partida para modelos más complejos (como por ej. Turner,
1987; Baker, 1989; Acevedo et al., 1995, 1996; Wear y Bolstad, 1998; Wu y Webster, 1998;
Hong y Mladenoff, 1999a,b; Mladenoff y Baker, 1999, Urban et al., 1999). Específicamente, el
examen de algunas de las suposiciones y limitaciones de los modelos de Markov puede ser útil
para interpretar el comportamiento y los pronósticos de otros modelos. Estas consideraciones se
dan a continuación.
Consideraciones adicionales al modelar el cambio del paisaje
Un modelo de Markov simple es un punto de partida útil para abordar problemas más complejos
del modelado del paisaje. Algunos de éstos son especialmente relevantes para la dinámica del
paisaje.
Estocasticidad
Modelos similares al que se creó aquí se usan frecuentemente para proyectar un mapa hacia el
futuro cambiando cada celda del mapa de acuerdo a las probabilidades de transición. Como cada
celda sólo puede cambiar a otro estado (una celda no puede cambiar fraccionalmente), los
cambios de estado se hacen probabilísticamente. Esto crea nuevos problemas: el nuevo mapa es
sólo una de muchas posibilidades estocásticas (porque fue creado probabilísticamente). En
consecuencia, toda comparación de los resultados del modelo con un mapa real tiene que basarse
en cierto número de mapas simulados.
Importancia de la Historia
Este problema tiene que ver con la suposición de que, para predecir el estado futuro de un
sistema sólo necesitamos conocer su estado actual. En los casos en que esto es cierto, el proceso
es verdaderamente de primer orden, también conocido como una cadena de Markov. En realidad,
puede haber casos en los que se necesite información de estados previos. Estos casos llevan a
modelos de Markov de orden superior (por ej. en un modelo de segundo orden, necesitaríamos
conocer el estado del sistema en el tiempo t y t - 1 para pronosticar su estado en el tiempo t+1).
Sistemas con mayor memoria requerirían de modelos de orden aún mayor. Cuando la memoria
del sistema es muy grande, puede ser conveniente modelar la dinámica en términos de una
variable “desde un evento”, como “desde que fué deshabitada” o “desde que ocurrió la
alteración”, en vez de tratar de llevar registro de un gran número de estados previos. El Capítulo
12, Estados Estables Alternos, utiliza este método, empleando una variable “desde el incendio”
en un modelo sobre dinámica del fuego.
Estacionariedad
Como se usaron tres mapas, se podrían obtener dos modelos de Markov de primer orden del
paisaje usado en el estudio. Se podría haber obtenido una matriz de transición de 1972 a 1984 y
otra de 1984 a 1991. Existe una prueba formal para verificar la estacionariedad de estas matrices
(Usher, 1992). Las probabilidades de transición no estacionarias pueden variar a lo largo de
distintos períodos de tiempo. Las matrices no estacionarias sugieren que las fuerzas (o reglas)
que gobiernan el cambio del paisaje también cambian con el tiempo. Ciertamente, las fuerzas que
impulsan el cambio del paisaje pueden variar a través del tiempo en una región con variación
histórica de las fuerzas socioeconómicas por ejemplo, una situación que ha existido sobre la
mayor parte de los Estados Unidos a lo largo de las décadas pasadas.
En el caso de tenerse reglas de transición no estacionarias, hay dos alternativas. En el caso
discreto, pueden calcularse matrices de transición separadas para cada período de tiempo de
interés. Por ejemplo, dada una secuencia de fotos aéreas tomadas cada 10 años durante 50 años,
podrían obtenerse cuatro matrices de transición separadas. Cada matriz podría utilizarse para
proyectar dentro de un período y hasta el inicio del siguiente. Alternativamente, las transiciones
podrían expresarse explícitamente como funciones del tiempo, de manera que las reglas que
gobiernan el cambio variarán también. Este método produciría una dinámica más suave, pero
requeriría de un mecanismo de ajuste de curvas para las funciones del tiempo (al igual que los
datos necesarios para realizar el ajuste de las curvas!)
Dependencia Espacial
Una cuarta complicación se presenta si algunas de las transiciones parecen tener dependencias
espaciales. Por ejemplo, ciertas transiciones podrían tener la tendencia a ocurrir en entornos
topográficos específicos o bajo ciertas configuraciones espaciales dependiendo de los vecinos de
una celda. Estas complicaciones llevan el modelo más allá de uno de Markov simple y hacia
modelos en los que las probabilidades de transición dependen no sólo del estado actual del
sistema sino también de otras condiciones. Esto es, la matriz de transición contiene
probabilidades condicionales tales como “si la celda es tipo i y cumple con la condición k
entonces su probabilidad de pasar a tipo j es pi j| k.” La condición puede estar relacionada con el
sitio (por ej. tipo de suelo) o con la vecindad (por ej. una alteración contagiosa). Es un
procedimiento relativamente directo el tabular una matriz de transición como probabilidades
condicionales. Simplemente se construye una matriz de conteo de varios niveles, análoga a la
Tabla 4.4 que incorpore todas las condiciones de interés. Por supuesto, esto puede requerir
muchos datos. Las probabilidades condicionales se examinan en el Capítulo 12.
En cualquiera de estos modelos más complejos de cambio del paisaje, se pierde rápidamente la
capacidad de resolverlos analíticamente, de modo que los modelos complejos deben ser
“resueltos” por iteraciones hasta un estado estable (si existe tal estado). Este compromiso entre la
simplicidad y el realismo es común a cualquier trabajo de modelación.
REPORTE
El reporte de laboratorio debe incluir las siguientes secciones:
1. La Introducción debe mencionar los motivos del ejercicio y proporcionar algo de
contexto. Por ejemplo, por qué queremos modelar el cambio del paisaje?
2. La sección de Antecedentes debe enfocarse en los fundamentos y suposiciones
conceptuales de una cadena de Markov de primer orden como modelo de cambio del
paisaje. Toque los siguientes puntos:
• Trate de presentar un modelo de Markov, en forma descriptiva, tan clara y
concisamente como sea posible. Cómo funciona?
Qué suposiciones hacemos, implícitas o explícitas, al usar un modelo tan sencillo?
Dadas las suposiciones y la simplicidad de tales modelos, por qué usarlos? En
otras palabras, cuál es el valor de los modelos sencillos para evaluar el cambio del
paisaje?
3. La parte de Metodología debe enunciar, en forma concisa, los pasos seguidos para
generar el modelo. Esta sección podría concluir con la presentación del modelo como
una matriz de transición y como un diagrama, además de una tabla con los vectores de
estado
4. Los Resultados consisten de:
• Una proyección del paisaje de 1972 a 1991 y su comparación con los datos reales
para ambos años. Debe ser capaz de incluir todo esto en una figura. No necesita
incluir todo el modelo en forma tabular.
• Incluya sus cálculos a mano para la proyección a un año.
5. La Discusión debe tocar las siguientes preguntas:
• Qué tan bien se ajusta la proyección del modelo con los datos de 1991? Si no
coincide, cuáles serían las razones que usted sugiere para esta discrepancia?
• Cómo abordaría estas discrepancias (qué cambios haría al modelo o qué datos
adicionales necesitaría)?
• Esperaría que el paisaje alcance en algún momento un estado estable? Qué valor
interpretativo tiene la solución del modelo (i.e. la composición del paisaje en el
estado estable)?
• Qué se requeriría para mantener 20% del paisaje de bosques antiguos? En otras
palabras, qué tasas de transición tendrían que cambiar y por cuánto?
•
•
Agradecimientos
Las imágenes clasificadas utilizadas en esta práctica fueron desarrolladas con financiamiento
proporcionado por el USDA Forest Service New Perspectives Program, por la National Science
Foundation a través de la beca H.J.Andrews Long-Term Ecological Research (LTER) (Grant 9011663) y el Terrestrial Ecology Program de la NASA (National Aeronautics and Space
Administration) (NAGW-3745).