Tema IV: Trabajo Termodinámico

Tema IV: Trabajo Termodinámico
Contenido:
1.  Introducción
2.  Definición general de trabajo termodinámico
3.  Sistema Hidrostático
Procesos típicos
Gas ideal
4.  Trabajo termodinámico en otros sistemas
Alambre tensado
Membrana
Lámina de Dieléctrico
Varilla paramagnética
….
Silabario:
Termodinámica Clásica.
García-Colín (GC).
Capítulo 4. p. 40-55.
Calor y Termodinámica.
Zemansky-Dittman (ZD).
Capítulo 3. Secciones 3.1 a 3.8
Modern Thermodynamics.
Kandepudi-Prigogine (KP).
Capítulo 2, p. 31-32, 41-42
Complementaria:
ZD: Secs. 3.9-3-11
HC: Secs. 1.5 y 1.6
1. Introducción
Con este tema iniciamos:
Por ello, dedicamos la introducción a resumir sobre los aspectos mas
importantes del Bloque anterior dedicado a Ley Cero y a dar un panorama
general de éste nuevo Bloque.
¿y en este Bloque?
Por lo anterior, a este Bloque lo componen los siguientes tres Temas:
IV. Trabajo Termodinámico
V. Primera Ley de la Termodinámica
VI. Aplicaciones de la Primera Ley de la Termodinámica
Energía Interna
Calor
2. Definición General de Trabajo Termodinámico
Antecedente….Trabajo Mecánico:
 
dW = F ⋅ dr
Trabajo
(energía)
(1)
Desplazamiento
Fuerza
Sobre el Trabajo Total realizado sobre una partícula para llevarla de una
posición inicial a otra final :
 
= ∫ F ⋅ dr
f
Wi→ f
i
= K f − Ki
= ΔK
(2)
donde K denota a la energía cinética de la partícula (Teorema de Trabajo y
Energía Cinética).
Por otra parte y dependiendo de la naturaleza de la fuerza F, podrá ser
posible o no, relacionar al trabajo con un cambio de energía potencial
V(r):
-  Sí la fuerza es tal que:

F = −∇V (r)
(derivable de un
potencial)
(3)
Luego entonces: 

dW = −∇V (r)⋅ dr
⎧⎪⎛ ∂V (r) ⎞
⎫⎪
⎛ ∂V (r) ⎞
⎛ ∂V (r) ⎞
= − ⎨⎜
dy + ⎜
⎟⎠ dx + ⎜
⎟⎠ dz ⎬
⎟
⎝
⎝
⎝ ∂y ⎠ x,z
∂z x,y ⎪⎭
⎪⎩ ∂x y,z
= − {dV (r)}
(4)
De forma tal que, en este caso particular, el trabajo total se puede puede
escribir como:
f
Wi→ f = − ∫ dV (r)
i
De (2) y (5) se sigue que:
ΔK + ΔV = 0
= − ⎡⎣V f − Vi ⎤⎦
= −ΔV
K i + Vi = K f + V f
(5)
Ei = E f
ΔE = 0
(6)
“Si la fuerza es derivable de un potencial, la energía mecánica E se conserva.
En este sentido a estas fuerzas les llamamos fuerzas conservativas ”
- 
Sí la fuerza NO es derivable de una función potencial, entonces:


dW ≠ −∇V (r)⋅ dr
⎧⎪⎛ ∂V (r) ⎞
⎫⎪
⎛ ∂V (r) ⎞
⎛ ∂V (r) ⎞
≠ − ⎨⎜
dy + ⎜
⎟⎠ dx + ⎜
⎟⎠ dz ⎬
⎟
⎝
⎝
⎝ ∂y ⎠ x,z
∂z x,y ⎪⎭
⎪⎩ ∂x y,z
≠ − {dV (r)}
Es decir, NO es posible expresar el diferencial de trabajo como el diferencial
de una función potencial y como consecuencia no es posible calcular el
trabajo realizado por esta fuerza conociendo solamente los estados inicial y
final, necesitamos tener información de la trayectoria.
En este caso la energía mecánica no se conserva. Es por ello que a dichas
fuerzas se les denomina como fuerzas no-conservativas.
Es posible mostrar que si sobre un cuerpo actúan fuerzas conservativas y
fuerzas no-conservativas:
(nc)
Wi→
f = ΔE
ΔE ≠ 0
E ≠ constante
En Termodinámica, se hace un uso extensivo de estos conceptos y términos.
Trabajo Termodinámico
Sea F una coordenada termodinámica intensiva y λ una coordenada
termodinámica extensiva.
Se define el Trabajo Termodinámico dW como:
dW ≡ ±F d λ
Siempre y cuando:
[
]
-  F λ posea dimensiones de energía.
-  Fd λ represente algún tipo de interacción entre el sistema y sus alrededores.
Observaciones:
-  ± : selección arbitraria de signos. Existen convenciones diferentes.
-  d : para referirse a una diferencial “inexacta”.
En analogía con Mecánica, se denomina:
- F : “Fuerza Generalizada”
-  d λ : “Desplazamiento Generalizado”
Sí un sistema termodinámico interacciona con sus alrededores de
diferentes formas mecánicas, entonces el trabajo termodinámico se expresa
como la suma de los trabajos productos de dichas interacciones:
Número de
diferentes tipos
de interacción
n
dW ≡ ∑ Xi dYi
i=1
i-ésima
Fuerza
Generalizada
i-ésimo
desplazamiento
Generalizada
Reiterando que los cambios en las coordenadas termodinámicas sean tales
que el proceso sea cuasiestático.
Se estila denominar como variables conjugadas a las coordenadas
termodinámicas que participan como Fuerza y Desplazamiento
Generalizado en la expresión del trabajo. De esta forma:
n
dW ≡ ∑ Xi dYi
i=1
= X1dY1 + X1dY1 + + X n dYn
Parejas de variables conjugadas
para cada término de trabajo
= dW1 + dW1 + + dWn
n
= ∑ dWi
i=1
Trabajo Total
Si el sistema pasa de un estado termodinámico A a otro B, de forma tal que
el cambio en el desplazamiento generalizado es finito, entonces el trabajo
total realizado se expresa como:
B
WA→B ≡ ∫ F d λ
O bien:
A
B
Proceso
Termodinámico
WA→B ≡ ∫ X dY
A
Diagrama
Indicador
Trabajo
Termodinámico
(área bajo la curva)
Como se deduce de las figuras anteriores, es posible pensar en diferentes
procesos termodinámicos mediante los cuales el sistema pase del estado A
al estado B:
WA→C→B
¿WA→B?
WA→D→B
WA→B
WA→C→B ≠ WA→B ≠ WA→D→B
WA→C→B > WA→B > WA→D→B
Es decir, en general el trabajo depende del proceso (“trayectoria”) y por
tanto NO podemos expresarlo como la diferencia entre los estados A y B
de una función de estado.
“El Trabajo Termodinámico, en general, NO es una función de
estado (no es propiedad del sistema) sino una función del proceso
mismo (depende del proceso)”
Precisamente en ello estriba la distinción explícita que se hace en la notación
usada para el diferencial del trabajo termodinámico: su diferencial en general
no es exacta:
d↔d
Para distinguir si una cantidad termodinámica F es función de estado o
función de proceso, será suficiente verificar si su diferencial es exacta o no:
dF ≡ M (x, y) dx + N (x, y)dy
(exacta)
Función de
Estado
⎛ ∂M ⎞
⎛ ∂N ⎞
=
⎜⎝ ∂y ⎟⎠
⎜⎝ ∂y ⎟⎠
x
y
(inexacta)
⎛ ∂M ⎞
⎛ ∂N ⎞
≠
⎜⎝ ∂y ⎟⎠
⎜⎝ ∂y ⎟⎠
x
y
Función de
Proceso
En consecuencia de lo anterior, si un proceso termodinámico es cíclico, el
trabajo total realizado, en general, será diferente de cero:
WA→C→B
WB→D→A
+
WCiclo
=
Para concluir las generalidades sobre la definición de Trabajo
Termodinámico, plantearemos la convención de signos:
3. Trabajo Hidrostático
dW = pdV
Sin embargo, haremos uso de una convención de signos:
•  Si el trabajo realizado por el medio ambiente sobre el sistema es positivo (el sistema
adquiere energía). Entonces el Trabajo Hidrostático se definirá como positivo.
•  Si el trabajo realizado por el sistema sobre el medio ambiente es positivo (el sistema
cede energía). Entonces el Trabajo Hidrostático se definirá como negativo.
En el caso del sistema hidrostático, en virtud del carácter compresor de la
presión hidrostática y de la condición de que el proceso sea cuasi-estático e
invertible, p = pMA , tendremos que según la expresión anterior para dW:
En una Compresión:
En una Expansión:
dW = pdV < 0
dW = pdV > 0
Luego entonces, para hacer los signos consistentes con la convención,
incluimos un signo negativo:
dW = − pdV
Presión del sistema
Volumen del sistema
Coordenadas Termodinámicas
_
_
W = −
∫ p dV = −
VB
∫
p dV −
<VA
∫
VA (I )
VB (II )
VB
VA
p dV < 0
+
W = −
∫ p dV = −
∫
VA (I )
p dV −
∫
VB (II )
p dV > 0
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
W
⎡
_
= −nRT ln
Vf ⎤
⎢V ⎥
⎣ i⎦
⎡V
W = nRT ln ⎢ i
⎢⎣ V f
⎤
⎥
⎥⎦
4. Trabajo termodinámico en otros sistemas
* Alambre tensado. (Coordenadas Termodinámicas: L, θ y F)
F
F
F
F
dl
dl
dW = F ⋅ 2dl
Denotando por dL=2dl a la deformación total del alambre en presencia de la fuerza
tensora F, escribimos simplemente:
dW = F ⋅ dL
Análisis dimensional. Evidentemente:
[ F ⋅ dL ] = [ Energía ]
* Membrana. (Coordenadas Termodinámicas: A, θ y σ )
dW = F ⋅ dx
(vista de frente)
Como la Tensión Superficial σ esta definida
como:
σ≡
F
l
F
⇒ F =σL
L
Sustituyendo en la expresión para el trabajo:
dW = σ ⋅ Ldx
dx
F
En este caso: L = 2l
porque se tienen dos membranas, cada una
en contacto con la barra deslizante de
longitud l, entonces:
dW = σ ⋅ 2ldx = σ ⋅ 2da
da
(vista lateral)
l
Como el cambio de área total (considerando
las dos membranas) es dA=2da, tendremos
que:
dW = σ ⋅ dA
Análisis dimensional:
Membrana 1
Membrana 2
⎡ Fuerza
⎤
⎣
⎦
[σ ⋅ dA ] = ⎢ longitud ⋅ longitud 2 ⎥ = [ Energía ]
* Lámina dieléctrica.
Q
+
+
+
+
+
+
vacío
-Q
vacío
_
_
_
_
_
_
l
ξ
dW = ξ dq = (El)dq
Trabajo necesario
para cargar las placas
Diferencia de
Potencial
Campo Eléctrico
entre las placas
Q
-Q
_ dieléctrico
_
_
_
_
_
+
+
+
+
+
+
ξ


∫ ε 0 E • d A = q
(sin dieléctrico)
Ley de Gauss:
D ≡ ε0E +
Desplazamiento
Eléctrico
Π
V


∫ D • d A = q
(con dieléctrico)
Polarización
Dieléctrica (del
dieléctrico)
De la Ley de Gauss para el caso con dieléctrico:
DA = q ⇒ AdD = dq
Sustituyendo en la expresión del trabajo eléctrico:
dW = ξ dq = (El)dq
= (El)AdD = E(Al)D = EVdD
Diferenciando la expresión de la definición del Desplazamiento Eléctrico:
dD ≡ ε 0 dE +
entonces:
dΠ
V
dW = EVdD
dΠ ⎤
⎡
= EV ⎢ε 0 dE +
V ⎥⎦
⎣
= ε 0VEdE + EdΠ
Trabajo Eléctrico
para Cargar las
placas conductoras
Trabajo Eléctrico
para Polarizar el
Dieléctrico
dW = EdΠ