Notas de Clase del Capítulo 7

Transcripción

2009 ~ 2010
Dr. Gonzalo Urcid S. - INAOE
Cálculo Diferencial :: C07
1
2009 ~ 2010
2
2009 ~ 2010
3
2009 ~ 2010
4
2009 ~ 2010
5
1
2
3
2009 ~ 2010
6
2009 ~ 2010
7
2009 ~ 2010
8
2009 ~ 2010
9
2009 ~ 2010
10
2009 ~ 2010
11
2009 ~ 2010
12
2009 ~ 2010
13
2009 ~ 2010
14
2009 ~ 2010
15
2009 ~ 2010
16
2009 ~ 2010
17
2009 ~ 2010
18
2009 ~ 2010
19
2009 ~ 2010
20
2009 ~ 2010
21
2009 ~ 2010
22
2009 ~ 2010
23
2009 ~ 2010
24
l
dx
dt
dy
dt
y
1
m/s
2
1
m/s
4
x
a)
dl
dt
2009 ~ 2010
?
b)
x 3, y 4
dl
dt
0 o
dl
dt
0
25
l2
x2
y2
2l
dl
dt
a)
dl
dt
x 3, y 4
b) de a)
2009 ~ 2010
dl
dt
1
10
dx
dy
2y
dt
dt
dx
dy
x
y
dt
dt
x2 y 2
dl
dt
dx
dy
x
y
dt
dt
x2 y 2
2x
3
1
2
4
9 16
1
4
3
2
1
5
1
m/s
10
0 i.e. la diagonal aumenta
26
A oeste, x
dx
dt
dy
dt
vA
B sur, y
distancia z
entre A y B
vB
25 km/h
v
60 km/h
s
t
s(t ) vt
dz
dt t
2009 ~ 2010
?
2
27
z
2
x
2
y
2
dz
2z
dt
dz
dt
dz
dt
dz
dt
dx
dy
2x
2y
dt
dt
dx
dy
x
y
dt
dt
x2 y 2
y (t )vB
x(t ) 2
y (t ) 2
vA2 t vB2 t
vA2 vB2
vA2 t 2 vB2 t 2
vA2 vB2
252 602
625 3600
en particular,
2009 ~ 2010
x(t )vA
dz
dt t
vA2 vB2
4225
65
65 km/h
2
28
agua
a
1 2
V
h (3a h)
3
dV 20
a 5m ;
l/s ; h 1.25 m
dt
3
h
V
2009 ~ 2010
dh
dt h
?
1.25
29
1 2
h (3a h)
3
V
dV
dt
d
dt
dV
dt
dh
dt h
ah
2
h3
3
dh 2 dh
2ah
h
dt
dt
dh
h 2a h
dt
1.25
dh
dt
20 / 3 ltr/s
1.25 2 5 1.25 m 2
0.02 m
32.8125 s
2009 ~ 2010
ah2
h3
3
0.002
dV
dt
h 2a h
0.02 / 3 m 3/s
1.25 8.75 m 2
dm
s
30
dx
dt
x
2 cm/s
h
y
y=x/2
x
2
2
h
2009 ~ 2010
2
x
2
h
2
3x 2
4
x
;
2
dA
dt A
3
x
2
h
?
75
31
1
A 2 yh
2
si A
75
75
dA
dt
así
2009 ~ 2010
dA
dt A
x 3x
2 2
75
3 2
x de donde x 2
4
d 3 2
x
dt 4
dA
dt x
2 5
A
3 2
x
4
4
75
3
20
3 dx
x
2 dt
3
2 5 (2) 2 15
2
cm2
7.75
h
32
P
H
y
2m
O
L
s–x
por triángulos
semejantes
y
s
2
s x
1.6 m/s
y
2s
s x
dy
dt
?
x
(s – x) + x = 12 m
2009 ~ 2010
dx
dt
x 4
33
y
s
dy
s
dt
y ( s x)
s x
dy
x
dt
dy
dt
2009 ~ 2010
2
x 4
dx
y
dt
0
2s
dy
dt
2(12)
( 1.6)
2
(12 4)
sy xy
2s
y dx
s x dt
2s dx
(s x)2 dt
24 8
64 5
3
5
0.6 m/s
34
dr
dt
2 cm/s
r
a)
dV
dt
2009 ~ 2010
?
r 5
b) si
dV
dt
512 cm3 / s
5 cm
r
?
35
V
dV
dt
a)
como
dV
dt
dV
dt
b) r
2009 ~ 2010
d 4 3
r
dt 3
4 3
r
3
4
2 dr
(3r )
3
dt
4 (52 )(2) 200
r 5
dr
4 r
dt
2
8
r
2
dr
4 r
dt
2
cm3
628.32
s
dV
dt
dr
4
dt
512
8
64
cm 2
4.51 cm
36
Planteamiento general del problema de razones de cambio relacionadas:
Dada una función g de z, a su vez función del tiempo, como función ψ de
x e y, también funciones del tiempo y que son las variables relacionadas
con z, se requiere determinar la rapidez de variación de z. Como hipótesis
se conoce, en cierto instante de tiempo, los valores de x e y, así como sus
respectivas velocidades instantáneas.
Matemáticamente, dada
g ( z)
f ( x, y) ; z
( x, y) ; x, y, z funciones de t
o equivalentemente
g ( z(t ))
hallar
2009 ~ 2010
f ( x(t ), y(t )) ; z(t )
( x(t ), y(t ))
z (t )
37
g ( z)
d
g ( z)
dt
dg dz
dz dt
dz
dt
f ( x, y) ; z
d
f ( x, y )
dt
dx dy
x, y , ,
dt dt
x, y ,
dg
dz
z
Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646-1716)
dx dy
,
dt dt
( x, y )
notación de Leibniz-Bernoulli
“cociente de diferenciales”
2009 ~ 2010
Jakob Bernoulli
(1654-1705)
Johann Bernoulli
(1667-1748)
38
g ( z(t ))
[ g ( z(t ))]
f ( x(t ), y(t )) ; z(t )
[ f ( x(t ), y(t ))]
g ( z(t )) z (t )
( x(t ), y(t ), x (t ), y (t ))
z (t )
( x(t ), y(t ), x (t ), y (t ))
g ( z (t ))
z (t )
( x(t ), y(t ), x (t ), y (t ))
g ( ( x(t ), y(t )))
notación de Euler-Lagrange
“funcional prima”
2009 ~ 2010
( x(t ), y(t ))
Leonhard Euler
(1707-1783)
Joseph Louis Lagrange
(1736-1813)
39
g ( z)
f ( x, y) ; z
Dt g ( z)
Dt f ( x, y)
Dz gDt z
( x, y, Dt x, Dt y)
Dt z
( x, y, Dt x, Dt y)
Dz g z ( x, y )
Augustin Louis Cauchy
(1789-1857)
notación de Cauchy
“operador diferencial”
2009 ~ 2010
40
Problemas del texto
sugeridos a resolver
2009 ~ 2010
41

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