Unidad_11c_sol4¼B_ESO_and

SOLUCIONES
A L O S P R O B L E M A S D E E S T R AT E G I A
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UNIDADES
1. Sor teo dudoso
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DECENAS
En una pequeña isla hay un pequeño ejército; tan pequeño que solo
hay once plazas de soldado para los
doce mozos (quintos) candidatos.
Así que se hace un sorteo para elegir
al que no hace el servicio militar.
2
0
B
0
A
1
2
1
4
6
B
9
5
El sorteo se organiza con las siguientes reglas:
3
7
8
UNIDADES
El sorteo anterior no es tan fantástico como parece.
Un problema de este estilo (aunque más complejo)
suscitó una gran polémica en toda España a
propósito del sorteo de excedentes de cupo del ejército en 1997.
• Se numeran los mozos del uno al doce.
01-02-03-04-05-06-07-08-09-10-11-12
• Se elige un número, del uno al doce, sacando las dos cifras (decenas y unidades) de dos bombos según se indica en la ilustración.
A → Bombo de las decenas
B → Bombos de las unidades
— ¿Te parece justo el sorteo?
— ¿Cuál es la probabilidad de que salga elegido el mozo nº 12? ¿Y la del mozo nº 5?
— ¿Te parecería justo si la asignación inicial de números se hace al azar?
1/2
1/2
0
1
1/10
0
1/3
1/10
1/10
1/10
1/10
1
2
3
1/10
1/10
4
1/10
5
1/10
6
7
1/3
1/3
1/10
8
9
0
1
2
Es claro que el sorteo no es justo, ya que la probabilidad de obtener un número que
empiece por 0 es menor que la de obtener uno que empiece por 1.
P [05] = 1 · 1 = 1
2 10 20
P [12] = 1 · 1 = 1
2 3 6
Si la asignación de números se hace al azar, a priori las probabilidades de cada uno
coinciden, aunque posteriormente sean distintas.
Digamos que su suerte está en ese primer sorteo, es decir, 1 de probabilidad por
12
cada uno.
Unidad 11. Cálculo de probabilidades
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2. Duelo en el oeste
En un pueblo del lejano oeste, tres pistoleros se enfrentan en duelo según la costumbre del lugar:
— Cada uno se coloca en uno de los vértices de un
triángulo equilátero, provisto de una sola bala en
su revólver.
— Disparan, uno tras otro, por turno decidido mediante sorteo, sobre el adversario de su elección.
— Los tres poseen igual destreza y aciertan el blanco en un 50% de sus disparos.
¿Qué probabilidad tiene de sobrevivir el primero en disparar?
(Se supone que todos actúan inteligentemente de cara a la supervivencia).
Llamamos A, B y C a los pistoleros y suponemos que les toca disparar en ese orden.
B
Si A dispara a B y lo mata, entonces C seguro que dispara a
A. Pero si A dispara al aire para no matar a B, entonces C
puede decidir disparar a A o a B.
A
C
En este caso las probabilidades para A de quedarse con vida son mayores.
Como los tres actúan inteligentemente de cara a la supervivencia, A debe elegir el
segundo camino, disparar al aire.
Ahora le toca el turno a B. Este debe decidir disparar a C porque como A ya no tiene bala, no le puede matar.
Si B mata a C, el duelo se acaba, y si no lo mata, C puede disparar a B o a A.
Concluimos que la estrategia de A es disparar al aire y no matar a nadie y la de B
disparar a C.
La probabilidad que tiene A de sobrevivir es:
1/2
1/2
A tira
al aire
B dispara
aC
1/2
A
B mata
aC
B no mata
aC
C mata a
A
1/2
1/2
C no mata
aA
C dispara
a…
1/2
1/2
C mata a
B
B
1/2
P [SOBREVIVIR A] = 1 · 1 · 1 = 1
2 2 2 8
Unidad 11. Cálculo de probabilidades
C no mata
aB
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3 . Te t r a e d r o y o c t a e d r o
Cortando las cuatro esquinas de un tetraedro regular por los puntos medios de
las aristas, se obtiene un octaedro que ocupa un volumen de 5 dm3.
¿Qué volumen ocupaba el tetraedro completo?
VTETRAEDRO REGULAR =
a 3√ 2
12
VOCTAEDRO REGULAR =
a 3√ 2
6
Es decir, un octaedro regular tiene doble volumen que un tetraedro regular de igual
arista.
El tetraedro original se ha dividido en cuatro tetraedros regulares y un octaedro regular, todos de igual arista.
Por tanto:
VOCTAEDRO NÚCLEO = 5 dm 3
VTETRAEDRO ESQUINA = 5 dm 3
2
VTETRAEDRO ORIGINAL = 5 + 4 · 5 = 15 dm 3
2
Unidad 11. Cálculo de probabilidades