Una Solución Simple del Cubo de Rubik

Una Solución Simple
del Cubo de Rubik
Una publicación del blog Just Categories
POR J. SÁNCHEZ
mecanismo del cubo resultó ser una buena
herramienta para sus cursos como profesor.
Él le preguntaba a sus estudiantes que describieran el mecanismo interno del cubo, y
cómo este permitı́a que las partes se movieran casi libremente sin caerse.
Un tiempo después, un amigo de Ernő
Rubik, le sugirió colorear las caras con el fin
de hacer un juego comercializable. Y fue de
este modo que la fiebre por el cubo de Rubik empezó, primero en Budapest, luego en
Londres, Parı́s, Nueva York y finalmente, el
resto del mundo.
undialmente popularizado en los
M
ochentas, el cubo de Rubik es uno de
los más interesantes juegos matemáticos
que se pueden encontrar. Tal vez este éxito
se deba a sus reglas intuitivas, aunque la
solución no es fácil de encontrar. Y es por
esto que el cubo de Rubik es un hermoso
problema matemático: es un problema
difı́cil donde su comprensión no forma
parte de la complejidad. Tan pronto como
se tiene el cubo en las manos, se inicia la
parte reflexiva, donde se busca la manera
de ordenar los colores.
El primer reflejo cuando se trata de resolver el cubo, es ordenar una cara, mismo
si los bordes no tienen la buena disposición.
Aquı́, se experimenta un poco de satisfacción con esta pequeña muestra de orden entre tanto caos. Luego, comenzamos a completar una cara, pero ahora con el buen orden de los colores en la corona, llegando
ası́ a nuestra primera pequeña victoria.
Le tomó un poco más de un mes al inventor del cubo de Rubik resolverlo. Originalmente él creó el cubo de sólo un color. Como
n estas notas voy a detallar una solución
arquitecto, él estaba interesado en el estuque yo mismo encontré. Aunque exisdio de estructuras en tres dimensiones, y el ten muchas técnicas para resolver el cubo,
E
1
nes necesarias. Primero definimos un
punto de vista del cubo y luego identificamos los movimientos.
la particularidad de esta solución su forma
intuitiva y simple. No hay necesidad de memorizar una gran lista de patrones para encontrar la solución, solamente se necesitan
tres tipos de movimientos, y la última parte
del método es similar a resolver un Sudoku.
Sin embargo, no creo que esta solución sea
la adecuada si lo que se quiere es resolver
el cubo en menos de un minuto.
Antes de empezar con la descripción, vamos a hacer un boceto de la técnica. Como
se mencionó antes, completar una cara es
el primer paso de la solución, por lo que
tomamos como punto de partida una cara
completa y correctamente ordenada en sus
bordes. Si usted no sabe cómo hacer una cara, tómese un poco de tiempo e inténtelo,
seguramente va a lograrlo. De esta manera usted puede familiarizarse con los movimientos del cubo.
La segunda parte es alinear las ocho esquinas. Con una cara ya completa, solamente se necesita alinear las otras cuatro
esquinas. Para eso se van a utilizar dos tipos de movimientos. El primero es usado
para colocar las cuatro esquinas en el lugar
correcto, aunque puede pasar que tengan
alguna rotación en los colores. El segundo
se usa para orientar estas cuatro esquinas.
Ası́, en la última parte tenemos, una
cara completa y todas las ocho esquinas
correctamente ordenas. Solamente falta
completar las otras caras. Para eso usamos
el último tipo de movimiento, el cual va
a intercambiar cubos internos dejando
sin cambios todo el resto. Probablemente
se necesitará aplicar varias veces este
movimiento, pero luego de un tiempo se
llega a la solución.
Los ejes del cubo nos dan 6 posibles movimientos, los cuales son las rotaciones de
las caras externas.
Con cada rotación tenemos 3 posibilidades: una rotación de 90◦ , denotada ×1, una
rotación de 270◦ , denotada ×2, y una rotación de 270◦ grados, denotada ×3. También
se tienen 3 tipos de rotaciones internas.
Ahora vamos a empezar con las notacio2
inferiores está descrita en la siguiente imagen.
Todo esto lo vamos a usar para poder
describir los tres tipos de movimiento
necesarios para la solución del cubo.
l primer movimiento se escribe Σ y se
E
usa con la ya hecha cara superior. Esta cara será llamada, cara de referencia. La
idea con Sigma es que mantenga sin cambios la cara de referencia e intercambie dos
esquinas de la cara opuesta, que es la cara
inferior. En esta parte, no nos interesa lo
que sucede con los cubos que no están en la
cara de referencia o en las esquinas.
Se puede ver que dos esquinas fueron
intercambiadas y que las otras dos se
quedaron en el mismo lugar, una con una
rotación y la otra sin cambios.
uy similar al primer movimiento, el siM
guiente movimiento, Ω no afecta a la
cara de referencia y rota los colores de las
La acción de Σ sobre las cuatro esquinas
cuatro esquinas de la cara inferior.
3
l último tipo de movimiento, Φ, sólo inE
tercambia dos pares de cubos internos
sin afectar al resto.
Ahora los detalles de cómo los colores rotan.
Se pueden usar las letras R, G, W , B, O
y Y , para referirse a los colores de las caras. Esta notación es útil cuando se esté decidiendo cómo y cuáles cubos internos se
quieran intercambiar.
Al final del movimiento, una de las
esquinas inferiores se queda sin cambios
mientras que las otras sufrieron una rotación.
Con estos tres movimientos ahora podemos iniciar con la solución del cubo.
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donde solamente uno de los cubos de la cara
inferior esté bien orientado. Luego, se coloca el cubo de Rubik de tal manera que el
cubo orientado esté en la posición que Ω
deja sin cambios. Luego, se aplica Ω una o
dos veces. Ahora se puede ver que las todas
las esquinas están orientadas.
4. En esta parte se usa Φ para intercambiar los cubos internos. Tal vez la pregunta
sea, ¿Cómo exactamente se usa Φ?. Veamos
dos ejemplos.
Con la siguiente configuración, se necesita aplicar una sola vez Φ antes de que el
cubo de Rubik esté resuelto.
al vez se necesita un poco de práctica
para manejar sin problemas los movimientos Σ, Ω y Φ, pero eso toma sólo unos
minutos. Ahora, los pasos para la solución.
1. Complete una de cara del color que
más le guste, por ejemplo, rojo.
T
2. Vea las esquinas de la cara inferior, y
trate de alinearlas con las esquinas de la
cara de referencia usando Σ. No importa
que al final, las esquinas de la cara inferior
tengan alguna rotación en sus colores, solamente se necesita, que por ejemplo, debajo
del cubo Y − R − B, se pueda encontrar el
cubo Y − O − B.
También el uso de Φ se puede ver en una
situación como la suguiente.
3. Ahora es tiempo de orientar las esquinas. Para eso usamos Ω. Recuerde que Ω
deja sin cambios la esquina izquierda de la
cara inferior. La idea es llegar a la posición
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En este caso, para resolver el cubo de Ru- No es complicada, pero puede tomar un
bik, necesitamos hacer el intercambio de los poco de tiempo y concentración.
R
R
R
cubos B
⇐⇒ G
y W
⇐⇒ YR . Pero antes
de poder aplicar Φ, se necesita alinear los
no de los aspectos interesantes en escubos. Esto se logra, en este caso, con la
te método es que no da esa impresión
secuencia de movimientos,
artificial de las soluciones usadas en campeonatos de velocidad, donde es necesario
memorizar una gran cantidad de movimientos y patrones. Pero también, esta solución
puede ser usada para resolver otras variantes del cubo de Rubik.
Por ejemplo, el cubo 2 × 2 × 2 se resuelve usando sólo Σ y Ω. Otro ejemplo es el
Luego de que se aplica Φ, necesitamos Rubik’s Cube Mirror, que se resuelve usanvolver a la posición original. Por lo que se do la técnica que acabamos de describir. En
aplican en el orden inverso, todos los movi- este caso, el cubo tiene un solo color, pero
los cubos que lo componen, tienen formas
mientos usados para alinear los cubos.
diferentes.
Para cubos de Rubik de mayor tamaño,
como el 7 × 7 × 7, necesitarı́amos encontrar
una nueva versión de Φ.
Pero tal vez vamos a ocupar nuevas
versiones de Σ, Ω y Φ para resolver cubos
de Rubik más extraños y exóticos, como el
Lo más importante cuando usamos Φ pa- cubo de Rubik de cuatro dimensiones.
ra intercambiar cubos internos, es recorn un aspectos más técnicos del cubo de
dar los movimiento intermediarios utilizaRubik, este juego es un ejemplo de lo
dos para alinear los cubos que se quieren
que
se
llama en matemáticas, un grupo. Reintercambiar, y no confundirse cuando se
cuerde
que un grupo es un conjunto de obregresa a la posición original. Por eso, tal
jetos
junto
con una operación binaria. Esta
vez es mejor escribir los movimientos usaoperación,
usualmente
denotada ∗, cuenta
dos para alinear los cubos. Pero hay que
con
una
unidad
y
cada
elemento del grupo
tener cuidado, un error puede hacer que se
tiene
un
inverso.
tenga que volver a comenzar.
Este método necesita un poco de refleUn grupo puede describirse a partir de
xión a la hora de elegir los cubos que se sus generadores. Por ejemplo, considere un
quieren intercambiar en la última parte de reloj mecánico que marca las horas. Este rela solución, y también cuando se trata de loj puede describirse con un grupo de doce
encontrar la manera de alinear los cubos elementos {0, . . . , 11}, uno por cada hora.
para poder aplicar Φ, pero es por eso que La operación es la suma de horas. Pero se
esta última parte se parece a un Sudoku. pueden usar 1 y la operación para describir
U
E
6
los otros elementos del grupo. Por ejemplo
4 = 1 ∗ 1 ∗ 1 ∗ 1, o también podemos usar
la notación 4 = 14 . El elemento neutro 0
puede verse como 11 2.
para empezar a crear todo tipo de nuevos
resultados. Tal vez algunas variantes del
cubo de Rubik son increı́blemente complejas, pero todas ellas fueron posibles gracias
al primer cubo.F
Para más información sobre el tema:
Pida prestado o compre un Cubo de Rubik.
Para describir el grupo del cubo de Rubik
vamos a utilizar sus generadores. Primero,
fije una posición para el cubo. Los elementos del grupo serán todas los posibles movimientos finitos. Estos son completamente descrito por los movimientos básicos denotados x1 , x2 , y1 , y2 , z1 , z2 , α, β, γ. El elemento neutro del grupo se escribe 1 y representa el movimiento que no cambia nada.
Para la operación se usa la notación αx1 ,
que significa que primero se aplica x1 y luego α. Y entonces se pueden empezar a ver
algunas relaciones como x41 = 1.
Ası́, el cubo de Rubik es visto como el
grupo libre sobre el conjunto de generadores x1 , x2 , y1 , y2 , z1 , z2 , α, β, γ cocientado
por cierta lista de relaciones. Cuáles son
estas relaciones? x41 = 1, x42 = 1, y14 = 1,
z24 = 1 y α4 = 1, son algunos ejemplos.
ste simple vistazo al mundo del cubo de
E
Rubik nos muestra cómo una buena
idea nace y cómo la gente toma esta idea
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