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Ajuste coordinado de un conjunto de compensadores
estáticos de reactivos utilizando algoritmos genéticos
multiobjetivos.
Manuel Sosa Rios1 , Enrique Chaparro Viveros2
Facultad Politécnica - UNE.
Ciudad del Este - Paraguay
1 [email protected], 2 [email protected]
Resumen
El presente trabajo describe un algoritmo de ajuste coordinado de los parámetros de un
conjunto de Compensadores Estáticos de Reactivos (CER), instalados en un determinado
Sistema Eléctrico de Potencia (SEP), con el objetivo de minimizar simultáneamente: la inversión financiera total para la adquisición de los CER, el máximo desvı́o de tensión en el
SEP y la pérdida total de potencia activa. Los parámetros considerados en el procedimiento
de ajuste de cada compensador corresponden a la tensión de referencia del regulador automático de tensión asociado y a los valores mı́nimo y máximo de potencia reactiva que el
compensador es capaz de inyectar.
El método de ajuste coordinado está basado en Algoritmo Genético (AG), debido a la comprobada eficacia del AG en la optimización global de problemas tecnológicos complejos y
de gran porte. Para minimizar simultáneamente los tres objetivos descriptos, el AG se ha
adaptado para resolver problemas de optimización multiobjetivo, obteniéndose un AG MultiObjetivo (AGMO). Se han implementado dos métodos de AGMO: a) suma ponderada
de las funciones objetivos, y b) utilización de reglas de dominancia de Pareto. Este
último AGMO genera una familia de soluciones óptimas, y no una única solución, siendo
ésta su principal caracterı́stica atrayente con relación al AGMO basado en suma ponderada.
Para validar el método propuesto, se ha realizado una simulación dinámica de algunos escenarios de operación crı́ticos preestablecidos del SEP en estudio, a fin de evaluar el desempeño
dinámico de dos CER ajustados.
Descriptores: compensador estático de reactivos, ajuste coordinado, algoritmo
genético multiobjetivo.
Abstract
This paper describes a coordinated tuning algorithm of a set of Static Var Compensators
(SVC) parameters, that are installed in a determined Electric Power System (EPS); with the
objective of simultaneously minimizing: the total financial investment in the SVC acquisition, the EPS maximum voltage deviation, and the total active power loss. The parameters
considered in the tuning procedure of each compensator are the reference voltage of the
associated automatic voltage regulator, and the minimum and maximum reactive powers
that the compensator is able to inject.
The coordinated tuning method is based on Genetic Algorithm (GA), given the proven
robustness of this technique for performing global optimization of complex technological
large-scale problems. In order to simultaneously minimize the threefold objective, the GA
was adapted for solving multi-objective optimization problems, obtaining a Multi-Objective
GA (MOGA). This was performed by means of two methods: a) weighted sum of objective
functions, and b) using the Pareto dominance rules. The latter MOGA generates a family
of optimal solutions, which is its most appealing characteristic when comparing to MOGA
based on weighted sum.
The proposed method validation was carried out by performing a dynamic simulation of
some pre-established critical EPS operating scenarios with the adjusted SVC parameters.
Keywords: static var compensator, coordinated tuning, multi-Objective genetic
algorithms.
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1. Introducción.
La coordinación del ajuste de los parámetros
del CER, considerando diversos escenarios de operación en régimen permanente; permite operar a
los SEP con un óptimo perfil de tensión ante diversas perturbaciones y cercanos a sus lı́mites de
sobrecarga. Además de requerir menor inversión financiera para el dimensionamiento y localización,
los CER se caracterizan por su rapidez de respuesta ante variaciones de carga y/o cambio brusco de
topologı́a [1]. Los CER pertenecen a la familia de
los dispositivos FACTS [2], los cuales están siendo
utilizados ampliamente para el control y amortiguación rápida de la oscilación de tensión de sistemas, mejorando el desempeño operacional y la
estabilidad de tensión de los SEP bajo estudio.
En la referencia [3], el AG ajusta los parámetros del CER, el cual fue modelado como fuente variable de potencia reactiva. Considerando esta alternativa, se ha implementado un algoritmo
AG de ajuste coordinado de los parámetros del
CER, considerando diversos escenarios de operación crı́tica del SEP.
En el presente trabajo, además de la máxima
y mı́nima potencia reactiva que inyecta el compensador: Qmin y Qmax ; la tensión de referencia
VREF fue considerada como parámetro del regulador automático de tensión del CER. Los escenarios
de operación considerados se refieren a cambios de
topologı́a del sistema en régimen permanente, tales como la desconexión de importantes lı́neas de
transmisión, y parada brusca de generadores.
El AG, es un algoritmo meta-heurı́stico de optimización utilizado ampliamente en problemas
tecnológicos de gran porte debido a su comprobada eficacia en la optimización global [4]. El AG
trabaja con una población de posibles soluciones,
las cuales van siendo modificadas por operadores
probabilı́sticos de transición en dirección a la solución óptima global. La dirección de búsqueda
es guiada por una función matemática, Función
de Evaluación Global o Fitness, que representa el
desempeño del SEP, y cuyo valor numérico lo define cada solución de aquella población.
En este trabajo, el ajuste coordinado de
parámetros de un conjunto de compensadores
estáticos fue planteado como un Problema de optimización Multi-Objetivo (PMO), en el que se pretende minimizar simultáneamente tres objetivos:
la inversión financiera total en la adquisición de
un determinado número de compensadores estáticos, el máximo desvı́o de tensión y la pérdida de
potencia activa total del correspondiente SEP. La
inversión financiera para adquirir un determinado
CER es directamente proporcional a su capacidad
de compensación reactiva medida en MVAr. Para optimizar simultáneamente diversas funciones
objetivos, el AG, descripto en [4], fue adaptado
para resolver PMOs obteniéndose un AG MultiObjetivo (AGMO). Fueron desarrollados dos mecanismos de adaptación del AG [5]: a) suma ponderada de las funciones objetivo; y, b) aplicación
de las reglas de dominancia de Pareto. Este último AGMO difiere del primero en la generación de
una familia de soluciones óptimas, y no una única
solución, al final del proceso de optimización.
Para realizar la validación fueron ajustados los
parámetros de dos CERs, utilizando el procedimiento de ajuste propuesto, localizados en un determinado SEP y considerando diversos escenarios
de operación en régimen permanente. Luego fue
realizada la simulación dinámica del escenario de
operación más crı́tico para validar el desempeño
de los compensadores ajustados.
2. Modelo del compensador estático
de reactivos.
El modelo del CER considerado en el presente estudio, se describe gráficamente en la Fig. 1,
en donde se representa al compensador por bancos de capacitores y reactores maniobrables por
tiristores [6]. Se describe, también la representación del CER en régimen permanente, con las dos
regiones de operación.
Fig. 1. Compensador estático de reactivos.
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genéticos multiobjetivos.
En la representación de la Fig. 1, bCER es la
susceptancia en derivación del CER y determina
cuanta potencia reactiva será inyectada al sistema
[7]. Cuando el CER opera en la región de control el
valor de bCER varı́a linealmente, pero es un valor
fijo cuando opera fuera de los limites reactivos.
En la Fig. 2 se presenta la curva caracterı́stica
del CER que establece la relación entre la tensión
de la barra controlada1 y la inyección de potencia
reactiva del compensador [6]. Se describe además
la ecuación que representa la inyección de potencia reactiva, ecuación (2.1), y los valores lı́mites de
inyección de potencia reactiva, ecuación (2.2), los
cuales determinan la capacidad de compensación
reactiva del CER.
Fig. 2. Caracterı́sticas de tensión versus potencia reactiva inyectada.
En la Fig. 2, el sı́mbolo Vk0 se refiere a la tensión de referencia del CER instalado en la barra
controlada k. Las expresiones, Vkmin y Vkmax se refieren, respectivamente, al valor mı́nimo y máximo
de la tensión que se podrı́a esperar en la barra controlada, y están asociados a su vez, a la máxima y
a la mı́nima potencia reactiva que el compensador
es capaz de inyectar. Considerando las expresiones
matemáticas descriptas, se establece la expresión
matemática del balance de potencia reactiva en la
barra k, de la siguiente manera:
QG,k +
nX
CER
2
bCER,p · Vk,p
− QL,k −
p=1
= QG,k +
X
Qkj
j∈Ωk
nX
CER
p=1
QCER,p − QL,k −
X
Qkj
j∈Ωk
=0
(2. 3)
En la ecuación (2.3), QG,k y QL,k corresponden a la potencia reactiva generada y a la consumida en la barra controlada k, respectivamente. El
sı́mbolo Ωk se refiere a todas las barras adyacentes
a la barra k. Siendo Qkj el flujo de potencia reactiva de la barra k para la barra adyacente j. En la
ecuación (2.3) se observa también la inyección de
potencia reactiva del CER en el SEP.
1 En el presente trabajo, la barra controlada, o subestación controlada, corresponde a aquella en donde está instalado el
Compensador Estático de Reactivos, y realiza un control local sobre el módulo de la tensión de la referida barra.
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genéticos multiobjetivos.
Para la inclusión de un conjunto de compensadores en el algoritmo de Flujo de Potencia, basado
en el método de Newton-Raphson, el Jacobiano
correspondiente se modifica adicionando nuevos
componentes provenientes de la función de control de cada CER, fp |p ∈ {1, 2, ..., nCER } siendo
nCER el número de compensadores considerados
en el ajuste, y la variable de estado asociado con
la inyección de potencia reactiva de cada CER,
∆xp = QCER,p , tal como se ilustra en la ecuación
(2.4). La función de control adquiere diferentes
representaciones matemáticas, conforme el CER
esté operando en la región lı́mite capacitiva, inductiva o en la región lineal de control. Además,
se muestran los residuos ∆y de las diferentes funciones de control.
3. Formulación matemática.
El problema de ajuste coordinado de los
parámetros del CER, fue puesto como un PMO,
utilizándose el AG para la optimización simultánea de las funciones objetivos.
3.1. Estructura de la solución.
La variable de decisión (individuo), que el AG
ha de manipular y modificar para la minimización
de las funciones objetivos considerados, es un vector de parámetros de cada compensador:
x=
1
bVk0
Q1min
Q1max
p
. . . Vk0
Qpmin
Qpmax c
3.2. Funciones Objetivos
donde ib ∈ {1, 2, . . . , nb}|nb, se refiere al número total de barras de carga (tipo PQ) existente en
el SEP. Además, V y V esp corresponden al vector de tensiones nodales calculadas y especificadas,
respectivamente; teniendo en cuenta todas las condiciones de operación crı́ticas consideradas para el
ajuste coordinado.
Los valores de las tensiones nodales calculadas
provienen de la ejecución de un algoritmo de Flujo de Potencia realizado para cada escenario de
operación preestablecido. En este trabajo, el algoritmo de Flujo de Potencia utilizado está basado
en el método de Newton-Raphson. Entonces, considerando la ecuación (3.3) del vector de desvı́os
de tensión, se escoge aquella componente que posee el mayor valor numérico.
La tercera función objetivo F3 (x), se refiere a
la pérdida de potencia activa total, calculada para
el SEP en una determinada condición de operación. El valor numérico de dicha función objetivo
se calcula de acuerdo a la siguiente expresión matemática:
loss
loss
F3 =k ∆P1loss . . . ∆Pncop
k∞ | ∆Piop
=
|
ng
X
g=1
PG,g −
nb
X
generadores;
PL,ib |ng→num
ng→num barras carga
(34)
ib=1
loss
En la ecuación (3.4), ∆Piop
es la pérdida total
de potencia activa asociada a la condición de operación iop, donde iop ∈ {1, 2, . . . , ncop}|ncop, corresponde a la cantidad de escenarios de operación
preestablecidos.
3.3. Operadores Probabilı́sticos del AG
En el PMO considerado, serán minimizadas simultáneamente tres funciones objetivos. La primera función objetivo F 1(x), corresponde a la inversión financiera para la adquisición del conjunto
de compensadores estáticos; el valor numérico es
calculado a través de la siguiente ecuación:
ncer
X
F2 =k V − V esp k∞ = max{| Vib − Vibesp |} (3 3)
(3 1)
Como se indica en (3.1), x ∈ <3×p , siendo tres
los parámetros de cada compensador: tensión de
referencia Vk0 , potencia reactiva máxima Qmax ,
y potencia reactiva mı́nima Qmin . Para la representación del vector de parámetros en el AG, fue
utilizada la codificación real.
F1 =
La segunda función objetivo F 2(x), está asociada con el máximo desvı́o de tensión, y el cálculo
del valor numérico correspondiente se realiza de la
siguiente manera:
|(Qmax − Qmin )j |
El operador utilizado fue el operador de selección tipo ruleta. Para el intercambio de parámetros entre cada par de individuos fue utilizado el
cruzamiento aritmético, y la probabilidad de cruzamiento, pc = 0,6. La probabilidad de aplicación
de mutación, que altera de forma aleatoria una
componente de un individuo seleccionado en cada
generación, es constante e igual a pm = 0, 05.
j=1
=
ncer
X
4. Metodologı́a del ajuste propuesto.
βj CQCER,j
(3 2)
j=1
donde CQCER,j , corresponde a la capacidad máxima del j-ésimo CER, medida en MVAr; y βj representa las unidades monetarias/MVAr para el
correspondiente compensador.
Fueron desarrollados dos procedimientos de
ajuste coordinado, basados en el AG. Ambos procedimientos adaptan el AG tradicional descripto
en [4] para PMO. Esa adaptación resulta en un
AGMO. Cada AGMO desarrollado difiere del otro
en el cálculo del Fitness.
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genéticos multiobjetivos.
4.1 AGMO basado en las reglas de
dominancia de Pareto
Considerando el Problema de Ajuste Coordinado en estudio, las reglas de dominancia de Pareto se describen de la siguiente manera [5]:
i) Fij (xi ) ≤ Fij (xj ) | i y j ∈ {1, 2, . . . , N },
donde i 6= j y N es el tamaño de la población de
soluciones que el AG estará manipulando;
ii) 3 k | Fij (xi ) < Fij (xj ).
Las reglas de dominancia de Pareto se aplican sobre cada solución de la población; tal que
cada solución es comparada con el resto de la población para determinar el número de soluciones
que son mejores que aquella que está siendo analizada. El número de soluciones que son mejores
que una determinada solución establece el ı́ndice
de dominancia de esa solución. Entonces, el ı́ndice de dominancia de una solución define si ella es
óptima o no. Ası́, soluciones con ı́ndice de dominancia igual a cero (domina = 0) son considerados
soluciones óptimas [5]. En la Fig. 3 se describe el
pseudocódigo del AGMO basado en las reglas de
dominancia de Pareto (AGDP).
Figura 3. Pseudocódigo del AGDP y evaluación del Fitness, F(x)
El valor numérico de F(x) de cada individuo,
esta relacionado con el ı́ndice de dominancia correspondiente. Antes de la evaluación de cada solución, se realiza la ejecución del un algoritmo de
Flujo de Potencia basado en el método de NewtonRaphson, con el cual se determinan las funciones objetivos F2(x) y F3(x). El valor numérico de
F1(x) es definido por el AG a través de los operadores genéticos, con el valor de Qmin y Qmax
asociado a cada solución.
ción de F(x), permaneciendo el resto del algoritmo
igual al AG tradicional descripto en [4]. Los coeficientes en (4.1) son factores de normalización, tal
que aij = cij /Fijmax , donde ij ∈ {1, 2, 3}, y Fijmax
se refiere al máximo valor de la función objetivo
en la generación actual, mientras que el coeficiente cij es un número real tal que ck ≥ 1. Dichos
factores se utilizan para evitar que ciertos objetivos dominen sobre otros provocando convergencia
prematura [5].
4.2. AGMO basado en la suma ponderada
de objetivos.
4.3. Cálculo de la población inicial del AG.
En el AGMO basado en la suma ponderada
de las funciones objetivos consideradas (AGSP),
el Fitness F(x) de cada individuo se evalúa de la
siguiente manera:
F (x) = a1 · F1 (x) + a2 · F2 (x) + a3 · F3 (x)
(4 1)
Por lo tanto, la única modificación para obtener el AGSP, radica en el procedimiento de evalua-
Inicialmente son generados de forma aleatoria,
N −GQ−V individuos. Siendo GQ−V los individuos
obtenidos de forma determinı́stica a través de la
curva de sensibilidad Q − V . Dicha curva se obtiene de la ecuación matricial del balance de potencia
del algoritmo de Flujo de Potencia basado en el
método Newton-Raphson [6] para un incremento
de potencia reactiva y manteniendo invariante la
potencia activa (∆P = 0).
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genéticos multiobjetivos.
La ecuación (4.2) se aplica para la obtención de
la cantidad de potencia reactiva necesaria en una
barra de carga para que la tensión en la misma
se mantenga en 1 p.u., en una determinada condición de operación. Este procedimiento es utilizado también para localizar, en determinadas barras
(barras controladas), el grupo de compensadores
estáticos.
El procedimiento determinı́stico, descripto en
la ecuación (4.2), fue aplicado también para la estimación óptima de los parámetros del conjunto
de compensadores estáticos considerados en la población inicial del AG, definiendo diferentes valores para la tensión de referencia de cada CER del
conjunto considerado. Ası́, el conjunto GQ−V ayudará al AGMO correspondiente para una convergencia rápida hacia la solución óptima.
5. Análisis de los resultados
numéricos.
Para validar los procedimientos de ajuste propuestos fue considerado el sistema IEEE14 [8], pa-
En la Tabla 1 se describen los escenarios de
operación para el ajuste coordinado propuesto.
Los escenarios de operación se refieren no solamente a la desconexión de alguna Lı́nea de Transmisión (LT), sino también a la parada de un de-
ra localizar y ajustar los parámetros de dos compensadores estáticos.
5.1. Ambiente computacional.
Los algoritmos de ajuste coordinado basados
en AG: el AGSP y el AGDP fueron programados en software especializado para cálculo técnico.
También fue implementado el algoritmo de Flujo de Potencia, basado en el método de NewtonRaphson, y modificado el Jacobiano para incluir
el modelo de CER. Las simulaciones dinámicas
fueron realizadas en el programa de simulación
dinámica de sistemas de potencia ANATEM [9].
5.2. Sistema IEEE14.
El SEP considerado para validar el algoritmo de ajuste coordinado propuesto se denomina IEEE14 (Fig. 4). Se trata de un SEP utilizado tradicionalmente para estudios de estabilidad
dinámica y está formado por 14 barras, 2 generadores sı́ncronos, y 3 compensadores sı́ncronos [8].
terminado generador. Las restricciones del espacio
de búsqueda se describen en la ecuación (5.1). En
el presente trabajo, las barras controladas son las
barras PQ 13 y 14.
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genéticos multiobjetivos.
5.3. Resultados numéricos obtenidos.
Se han realizado 5 ejecuciones del AGSP para
diferentes arreglos de los pesos en el cálculo del
Fitness, el cual se ha efectuado través de la ecuación (4.1). En la Tabla 2 se muestran los mejores
resultados de ajuste coordinado.
En la Tabla 2, los parámetros ajustados del
CER instalado en la barra 13 se muestran en las
columnas 4, 5 y 6, y los parámetros ajustados del
compensador instalado en la barra 14 se muestran en las columnas 7, 8 y 9. Las últimas columnas muestran los valores obtenidos para las funciones objetivos. El mejor ajuste coordinado obtenido
por el AGSP corresponde a la fila 6 (sombreada)
debido a que presentó el menor valor para la capacidad del grupo de CER (F1 ).
La Tabla 3 muestra la familia de soluciones
óptimas obtenidas por el AGDP, en una única ejecución. El tiempo de computación requerido fue de
aproximadamente 53 s.
En la Tabla 3, los parámetros ajustados del
CER instalado en la barra 13 se encuentran en las
columnas 2, 3 y 4, mientras que los parámetros
ajustados del compensador instalado en la barra
14 se presentan en las columnas 5, 6 y 7. El mejor
conjunto de parámetros ajustados corresponde a
la solución de la fila 1, debido a que presentó la
menor compensación de reactivos necesaria para mantener la estabilidad de tensión en régimen
permanente. Incluso esta solución es mejor que el
mejor conjunto de parámetros optimizados por el
AGSP.
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genéticos multiobjetivos.
En la Tabla 4, se presentan los resultados
de Flujo de Potencia para diferentes condiciones
de operación, antes y después de ser ajustado
el conjunto de compensadores considerados. Los
parámetros ajustados de cada compensador corresponden a la solución de la fila 1 obtenida por
el AGDP, en la Tabla 3.
Para validar el desempeño dinámico del compensador, es necesario un modelo dinámico del regulador automático de tensión del CER. Para ello
se selecciona el modelo simple de primer orden [9],
presentado en la Figura 5, en la cual también se
muestran los valores estándares de los parámetros
dinámicos del regulador.
Por otro lado, la Figura 6 muestra el desempeño dinámico para la condición de operación
más crı́tica (escenario 5 de la Tabla 1) del sistema IEEE14, con el mejor conjunto de parámetros
ajustados por el AGDP (solución 1). La Figura 6
(a) muestra la simulación dinámica de la quinta
condición de operación sin los CER instalados en
el SEP, mientras que la Figura 6 (b) muestra esta misma situación pero con los CER instalados
y debidamente ajustados por la metodologı́a propuesta.
Para representar dinámicamente la quinta condición de operación, la LT 6 − 13 se desconecta al
primer segundo de la simulación. Luego, a los 2
s la LT 9 − 14 queda fuera de servicio, como se
muestra en la Figura 6. Se observa en la Figura 6
(a) un bajo perfil de tensión, menor al lı́mite in-
ferior considerado de 0,95 p.u. para las barras 13
y 14, después de la aplicación del evento descrito.
Sin embargo, en la Figura 6 (b) se aprecia como
el conjunto de compensadores ajustados restaura
estos valores de tensión.
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genéticos multiobjetivos.
6 Conclusiones.
Se observa que el AGDP posee una mayor capacidad de búsqueda combinatorial que el AGSP,
por lo que generó una mejor respuesta que el algoritmo basado en suma ponderada. Además, produce una familia de soluciones óptimas en una única ejecución del algoritmo; sin embargo, comparativamente requiere mayor tiempo computacional
debido al proceso de clasificación de las soluciones
óptimas realizadas en cada iteración.
El ajuste coordinado de los parámetros de un
conjunto de CER establece un perfil de tensión
aceptable para una operación normal en todas las
barras de carga, considerando diversas condiciones
crı́ticas de operación, comparándolo con el perfil
obtenido en ausencia de los CER, que genera un
bajo perfil de tensión inaceptable para una operación normal del SEP. Igualmente, considerando
una contingencia simple, la metodologı́a propuesta de ajuste coordinado amortigua rápidamente
las oscilaciones de tensión.
Referencias bibliográficas
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