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S5 - UAM
1.2 Ecuaciones diferenciales de 1er orden separables 1.2.2. Ecuaciones diferenciales exactas Si la ecuación diferencial + = 0 es exacta, tal que existe una función ( ) que = ( ) + ( ) (1.130) Si la función ( ) tiene derivadas parciales continuas, su diferencial es = + (1.131) comparando las ecs. (1.130) y (1.131), se tiene a) = b) = (1.132) diferenciado la ec.(1.132a) respecto a y la ec. (1.132b) repecto a , se tiene a) 2 2 = b) = (1.133) Bajo condiciones apropiadas, es de la diferenciación es indiferente, por lo que la ec. (1.133) lleva a la condición = (1.134) La ec.(1.134) representa una condición necesaria para la exactitud, pues si la ecuación diferencial es exacta, entonces la ec. (1.134) es verdadera. El teorema recíproco establece que si la ec. (1.134) se cumple, entonces + = 0 es una ecuación diferencial exacta, se puede encontrar una función ( ) tal que = y = . Para demostrar la parte de la suficiencia de este teorema, se puede dar por hecho que encontrar una función tal que satisface la ec.(1.132a), la cual está dada por = Z + () (1.135) Lo que debe hacerse ahora es mostrar la existencia de una función () tal que la ec. (1.135) satisfaga la ec. (1.132b) , ., = = ∙Z ¸ Z 0 + () o () = − (1.136) Para esto, se necesita demostrar que − Z (1.137) es una función dependiente sólo de . Lo cual es cierto si la derivada parcial con respecto a de la ec. (1.137) es cero, esto es c °Gelacio Juárez, UAM 37 1.2 Ecuaciones diferenciales de 1er orden separables ∙ ¸ Z − = = Z − Z − = − =0 (1.138) puesto que = por hipótesis. La suficiencia está por tanto demostrada. Ejemplo 1 Resuelva la ecuación 2 + (2 + cos ) = 0 (1.139) Solución. Prueba de exactitud. La ec. (1.139) es de la forma de la ec. (1.130) = 2 (1.140) = (2 + cos ) (1.141) Así = 2 (1.142) = 2 (1.143) Por lo que la ec.(1.139) es exacta. Solución general implícita. De la ec. (1.135), se obtiene por integración de la ec. (1.140): = Z + () = Z 2 + () = 2 + () (1.144) Para encontrar el valor de () se deriva la ec. (1.144) respecto a , se utiliza las ecs. (1.132)b y( 1.141), así: () = () = 2 + = (2 + cos ) = cos (1.145) (1.146) Integrando la ec. (1.146) () = sin + . Sustituyendo este resultado en la ec. (1.144) se tiene la solución general c °Gelacio Juárez, UAM 38 1.2 Ecuaciones diferenciales de 1er orden separables ( ) = 2 + sin = (1.147) Ejemplo 2 Resuelva la ecuación ¢ ¡ 2 − 1 + (2 − 1) = 0 (1.148) Solución. Prueba de exactitud. La ec. (1.148) es de la forma de la ec. (1.130) = 2 − 1 = 2 − 1 (1.149) (1.150) Así = 2 (1.151) = 2 (1.152) Por lo que la ec.(1.148) es exacta. Solución general implícita. De la ec. (1.135), se obtiene por integración de la ec. (1.150): = Z + () = Z ¡ 2 ¢ 2 2 − 1 + () = − + () 2 (1.153) Para encontrar el valor de () se deriva la ec. (1.153) respecto a , se utiliza las ecs. (1.132)b y(1.150), así: () = () = 2 + = 2 − 1 = −1 (1.154) (1.155) Integrando la ec. (1.155) () = −. Sustituyendo este resultado en la ec. (1.153) se tiene la solución general ( ) = 2 2 −− = 2 (1.156) Ejemplo 3 Resuelva la ecuación c °Gelacio Juárez, UAM 39 1.2 Ecuaciones diferenciales de 1er orden separables ¡ ¢ cos( + ) + 3 2 + 2 + cos( + ) = 0 (1.157) Solución. Prueba de exactitud. La ec. (1.158) es de la forma de la ec. (1.130) = cos( + ) (1.158) = 3 2 + 2 + cos( + ) (1.159) Así = − sin( + ) (1.160) = − sin( + ) (1.161) Por lo que la ec.(1.148) es exacta. Solución general implícita. De la ec. (1.135), se obtiene por integración de la ec. (1.158): = Z + () = Z cos( + ) + () = sin ( + ) + () (1.162) Para encontrar el valor de () se deriva la ec. (1.162) respecto a , se utiliza las ecs. (1.132)b y(1.159), así: () = () = cos ( + ) + = 3 2 + 2 + cos( + ) = 3 2 + 2 (1.163) (1.164) Integrando la ec. (1.155) () = 3 + 2 + . Sustituyendo este resultado en la ec. (1.163) se tiene la solución general ( ) = sin ( + ) + 3 + 2 = (1.165) Tarea Escriba cada ecuación en la forma + = 0, puebe que son exactas, resuelva aquellas que son exactas. c °Gelacio Juárez, UAM 40 1.2 Ecuaciones diferenciales de 1er orden separables 3 + 4 2 ¢ ¡ 2 + + (2 + 1 + 2 cos ) ¢ ¡ ¢ ¡ − − sin − − + 2 c °Gelacio Juárez, UAM = 0 − = + = 2 − 2 + = 0 ( − ) = − 2 = 0 = = 2 sin 2 cos − 1 41
