TRAZADO MERIDIONAL DE RAYOS

CAPITULO 2 - TRAZADO MERIDIONAL DE RAYOS
I. Introducción
Para el estudio de diseño óptico deben conocerse los principios básicos de la
óptica física y geométrica. Sin embargo existen algunos puntos que deben ser
tratados para evitar confusión o malos entendidos por parte del lector
A. OBJETO E IMAGEN
Todos los procedimientos de diseño de lentes están basados en los
principios de la óptica geométrica, que asume que la luz viaja a través de
rayos en línea recta en un medio homogéneo. Los rayos de luz son
refractados o reflejados en una lente o espejo, de donde proceden para
formar una imagen. Debido a las propiedades inherentes a las superficies
refractantes o reflejantes, y a la dispersión del medio refractivo, la imagen
de un punto raras veces es un punto perfecto, estando en general
afectado con aberraciones. De la naturaleza ondulatoria de la luz deriva
que la imagen más perfecta de un punto es siempre el llamado Disco de
Airy.
Debe recordarse que tanto objetos e imágenes pueden ser “reales” o
“virtuales”. El objeto presentado a la primera superficie de un sistema es
siempre real. La segunda y siguientes superficies pueden recibir luz
convergente o divergente, indicando respectivamente un objeto virtual o
real para esa superficie. Nunca debe olvidarse que en ambos casos el
índice de refracción a ser aplicado a los cálculos es aquel del espacio que
contiene los rayos entrantes a la superficie en consideración (espacio
objeto para esa superficie).
El espacio que contiene los rayos emergentes de una superficie se llama
espacio imagen, y tanto imágenes reales como virtuales se considera que
estarán en este espacio.
B. LA LEY DE REFRACCION
La ley de Snell se escribe en gral
n’ sen I’ = n sen I
donde I e I’ son respectivamente ángulos que se forman entre los rayos
incidente y refractado con la normal en el punto de incidencia, mientras
que n y n’ son los índices de refracción de los medios que contienen a los
rayos incidentes y refractados respectivamente. El índice de refracción es
la razón entre la velocidad de la luz en el aire y la velocidad de la luz en el
medio, y los índices de refracción de todo medio transparente varia con la
longitud de onda, siendo mayor para la luz azul que para la roja. El índice
de refracción en el vacío respecto al aire es aprox 0,9997, que
ocasionalmente debe tomarse en cuenta si una lente debe ser usada en
el vacío.
C. EL PLANO MERIDIANO
En este texto solo consideraremos sistemas centrados. Un punto objeto si
está sobre el eje de dicho sistema se llama objeto axial, mientras que si
no lo esta se llama punto objeto extra-axial. El plano que contiene un
punto objeto extra-axial y el eje de la lente se conoce como plano
meridiano, constituyendo un plano de simetría para todo el sistema
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D. TIPOS DE RAYOS
Si el punto objeto esta sobre el eje de la lente, trazamos solo rayos
axiales. Sin embargo, para un punto objeto extra-axial existen dos tipos
de rayos a ser trazados: rayos meridionales (en el plano meridiano) y
sesgados (delante o detrás del plano meridiano, sin intersectar al eje en
ningún punto). Cada rayo sesgado perfora al plano meridiano en el punto
objeto, y también en otro punto en el espacio imagen conocido como
diapoint del rayo. Las trayectorias de dos rayos sesgados típicos se
muestran en la Fig. 6.
Los rayos axiales y meridionales pueden ser trazados aplicando
relativamente simples formulas trigonométricas, o gráficamente si poca
precisión es admitida. Los rayos sesgados son mucho más difíciles de
trazar.
Fig. 6: un típico par de rayos sesgados (Pág. 21)
Los rayos paraxiales conforman una clase de rayos limitantes importante,
que tiene muchas aplicaciones. Están tan cerca del eje óptico que sus
aberraciones son insignificantes. Las formulas para tazado de rayos
paraxiales no contienen funciones trigonométricas, haciéndose entonces
manipulables algebraicamente. Un rayo paraxial es realmente solo una
abstracción matemática, ya que si el diafragma de una lente real fuese
cerrado hasta obtener una apertura tan pequeña que pudiera aislar solo
rayos paraxiales, la profundidad del foco se tornaría tan grande que
ninguna imagen definida podría ser localizada; aunque la posición teórica
de la imagen puede ser calculada como un limite matemático.
Para un rayo oblicuo en el plano meridiano es útil considerar dos rayos
limitantes muy cercanos al rayo trazado, uno apenas encima o debajo de
él en el plano meridiano, y el otro un rayo sagital (sesgado) justo delante
o detrás del rayo trazado. Estos se usan para el cálculo de astigmatismo.
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E. NOTACION Y CONVENCION DE SIGNOS
Para este texto se considerara la notación de Conrady, excepto para los
signos de las aberraciones. Hoy en día es universal la observación de
aberraciones no corregidas como negativas y aberraciones corregidas
como positivas.
Fig. 7: un típico rayo meridional incidente en una superficie esférica (diagrama positivo)
Para rayos meridionales, el origen de las coordenadas se sitúa en el
vértice de la superficie refractante o reflejante; con distancias medidas,
sobre el eje X, como positivas hacia la derecha y negativas hacia la
izquierda del origen (Fig. 7). Distancias transversales Y en el plano
meridiano son consideradas positivas, si sobre el eje, y negativas si
debajo de el. Para rayos sesgados, las distancias Z, en la tercera
dimensión perpendicular al plano meridiano, son generalmente
consideradas positivas cuando detrás del plano, porque luego las
dimensiones Y y Z ocupan sus direcciones normales cuando observadas
desde el espacio imagen mirando a través de la lente. Sin embargo en un
sistema centrado todas las dimensiones Z son simétricas respecto del
plano meridiano, así que cualquier fenómeno que resulte en una
dimensión +Z es emparejado por un fenómeno similar con una dimensión
idéntica –Z, como si todo el espacio Z fuera hecho imagen por un espejo
plano sobre el plano meridiano mismo.
Para los ángulos, debemos observar la cuesta U de un rayo meridional
como positiva si la rotación que nos lleva del eje al rayo esta en la misma
dirección que las agujas del reloj, y el ángulo de incidencia I como
positivo si la rotación que nos lleva de la normal al rayo esta en la
dirección contraria a la de las agujas del reloj. En el sistema Conrady la
altura del rayo paraxial y equivale a (lu), pero en el nuevo sistema
propuesto esto deviene (-lu). La presencia de estos signos negativos es
un gran inconveniente, y debemos por lo tanto continuar usando la
convención de ángulos de Conrady.
Por último, todo dato relativo a la porción de un rayo situado en el espacio
a la izquierda de una superficie, generalmente el espacio objeto, se
representa con símbolos secundarios, mientras que los datos referidos a
la porción de un rayo situado en el espacio a la derecha de una
superficie, se representan con símbolos principales. En un sistema de
espejos, donde los espacios objeto e imagen se superponen, los datos
del rayo entrante son secundarios mientras que los que se refieren al rayo
reflejado son principales, aunque ambos rayos estén físicamente en el
mismo lado del espejo.
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II. Trazado de rayos en forma gráfica
Procedimiento basado en la construcción de Snell y descrito por Dowell y van
Albada (Fig. 8).
Fig. 8: Trazado de rayos en forma gráfica
(Sigue explicación de la forma de graficar rayos con el método de Dowell ya
conocido)
Un rayo puede ser trazado gráficamente a través de una superficie asférica si la
dirección de la normal es conocida. Una superficie parabólica es particularmente
simple, ya que la subnormal de una parábola equivale al radio del vértice (Fig. 8)
III. Trazado de rayos trigonométrico en una superficie esférica
La trayectoria de un rayo meridional a través de una sola superficie esférica
refractante puede ser trazada con alta precisión a través de varios
procedimientos bien establecidos que no serán descriptos. El rayo emergente de
una superficie es luego transferido a la siguiente superficie, donde todo el
proceso se repite hasta que el rayo emerja en el lugar de la imagen final.
A. EL METODO (L, U)
Durante muchos años, especialmente cuando los logaritmos eran usados
en los cálculos, era habitual definir un rayo en relación a una superficie
nombrando a la cuesta, ángulo U, y a la intersección, longitud L. Sin
embargo este método es rara vez usado hoy en día porque L puede
convertirse en infinito, y en cualquier caso el método no sirve para radios
muy largos o superficies planas. Ninguna de estas posibilidades es
aceptable cuando se diseña un programa de computación para trazar
rayos, y consecuentemente hoy en día se aplican otros métodos.
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B. EL METODO (Q, U)
Acá el rayo es definido en relación a la superficie declarando la pendiente
del rayo, ángulo U, y la perpendicular, distancia Q del rayo desde el
vértice de la superficie. A fin de derivar en las ecuaciones de trazado de
rayos, consideramos Fig. 9ª, donde una recta paralela al rayo que pasa
por el centro de curvatura de la superficie ha sido trazada. Esta recta
divide a Q en dos partes, por lo tanto Q = r sen I + r sen U. De esta
relación encontramos que
sen I = Qc – sen U
(4a)
donde c es la curvatura de la superficie, la reciproca del radio de
curvatura.
Fig. 9: Desarrollo de las ecuaciones de trazado de rayos. (a) Radio corto; (b) universal; (c) la
transferencia
Ahora por la ley de refracción determinamos el ángulo de refracción como
sen I’ = (n / n’) sen I
(4b)
y como el ángulo PCA equivale a U + I y U’ + I’, evidentemente
U’ = U + I + I’
(4c)
Por ultimo calculamos Q’ del rayo refractado colocando “primas” en todos
los términos de la ecuación (4a)
Q’ = (sen U’ + sen I’) / c
(5)
Esta ecuación sirve cuando el radio de curvatura es bastante corto como
para que c sea largo, pero en una superficie débil de radio largo, I’ se
acerca a – U’, haciendo que Q’ sea el radio de dos números muy
pequeños; mientras que si la superficie es plana, Q’ es 0/0 e
indeterminado. Consecuentemente otras ecuaciones han sido
desarrolladas para reemplazar la ecuación (5). En la Fig. 9b dibujamos
una recta perpendicular desde el punto de incidencia P al eje de la lente y
otra perpendicular desde el vértice A de la superficie a la normal. Estas
perpendiculares intersectan en O, y por triángulos iguales vemos que
OA = OP = G. Ahora trazamos una línea paralela al rayo que pase por O
para dividir Q en dos partes, siendo la superior (G cos U) y la inferior (G
cos I). Por lo tanto Q = G (cos U + cos I), y
G= Q / (cos U + cos I)
5
La virtud de esta relación es que los cosenos son siempre positivos, y por
lo tanto G es siempre casi igual a una mitad de Q, más o menos. Bajo
ninguna circunstancia esta expresión puede ser indeterminada.
Agregando “primas”, llegamos a la relación final:
Q’ = G (cos U’ + cos I’)
(6)
Para una superficie plana, una pequeña consideración muestra que
sen U’ = (n/n’) sen U ,
Q’ = Q cos U’ / cos U
1. Transferencia
La transferencia del rayo desde una superficie a la siguiente el clara en
la Fig. 9c, en donde
Q2 =Q’1 – d sen U’1
2. Cálculos de derecha a izquierda
Las ecuaciones comunes pueden ser usadas para trazar un rayo en
una dirección de derecha a izquierda, pero ahora se nos son dados U’ y
Q’ y debemos determinar U y Q. En la transferencia debemos ahora
sumar (d sen U2) a Q2 para obtener Q’1. Recordar que los símbolos sin
“primas” se refieren a secciones de rayos a la izquierda de la superficie,
y los símbolos con “primas” a secciones de rayos a la derecha de la
superficie.
3. Resumen
Como a veces necesitamos conocer las coordenadas X, Y del punto de
incidencia de un rayo en una superficie, agregamos ecuaciones
convenientes en el resumen a continuación.
Las ecuaciones para el trazado meridional de un rayo pueden
resumirse de la siguiente manera:
sen I = Qc – sen U
sen I’ = (n / n’) sen I
(7)
U’ = U + I – I’
Sólo para radios cortos:
Q’ = (sen I’ + sen U’) / c
Universal:
G = Q / (cos U + cos I)
Q’ = G (cos U’ + cos I’)
Apertura:
Q inicial = L sen U
Transferencia:
Q2 = Q’1 – d sen U’1
Cierre:
L’ = (Q’ final ) / (sen U’ final)
Punto de incidencia
Y = sen (U + I) / c ,
X = [ 1 – cos (U + I)] / c ,
Y = G [ 1 + cos (U + I)]
X = G sen (U + I)
(8)
6
Se anticipa que los cálculos en todo este texto serán efectuados en una
pequeña calculadora electrónica en la cual senos y arcosenos se
expresan con 8 a 10 cifras significativas al apretar un botón. Solo
algunas de las cantidades computadas necesitan, por lo tanto, ser
grabadas o “memorizadas” y los ángulos serán expresados a 5
decimales de un grado, o 1/28 segundos de arco. Obviamente esta
precisión es mucho mayor que aquella con la que pueden fabricarse
partes ópticas, pero como usualmente calculamos aberraciones como la
pequeña diferencia entre dos números grandes, muy cercanos a ser
equivalentes, esta precisión extra es muy útil.
4. Casos especiales
Existen dos casos especiales que deben ser reconocidos:
a. Si el seno de I es mayor que 1.0, esto indica que el radio es
tan corto que el rayo pierde (o le erra a) toda la superficie
b. Si el seno de I’ es mayor que 1.0, esto indica reflexión total
interna
Para el trabajo manual, un arreglo conveniente al cálculo se muestra en la Tabla I.
Esto representa el trazado de un rayo marginal entrando, paralelo al eje a una altura
de 2.0, en un doblete cementado de distancia focal 12, con la siguiente estructura:
Fig. 10: Un doblete cementado (objetivo)
Nótese que en esta tabla de computación el seno de la pendiente del rayo está escrito
sobre el propio ángulo U porque se requerirá dos veces más, para la transferencia y
de nuevo para el cálculo del seno de I en la siguiente superficie. También vale la pena
registrar el coseno de U debajo del ángulo, ya que se requerirá para el cálculo de G.
Los valores X e Y han sido agregados al final de cada superficie, aunque no siempre
son necesarios. Los datos relativos a las superficies aparecen en las columnas,
mientras que los datos referidos a los espacios entre las superficies aparecen en las
líneas divisorias verticales entre los datos de la superficie.
7
Tabla I
Trazado de un rayo marginal al atravesar un doblete cementado
C. PROGRAMA PARA UNA COMPUTADORA
Al programar este procedimiento en una computadora, es por supuesto
posible usar las subrutinas de seno y arco seno disponibles, pero
generalmente es mucho más rápido trabajar con raíz cuadrada
recordando que
sen (a + b) = sen a cos b + cos a sen b
y que
cos (a + b) = cos a cos b – sen a sen b
Dadas Q, seno de U y coseno de U, las ecuaciones a ser programadas
son:
Transferencia:
Q2 = Q’1 – d sen U’1
Nota: las tres ecuaciones en (A) y (B) son idénticas, con diferentes
números sustituidos. Es por lo tanto conveniente escribir una “subrutina
de productos-cruzados del coseno” para manipular las tres ecuaciones, y
sustituir los números apropiados cada vez que se utiliza. Recordar, por
supuesto, que el coseno de un ángulo negativo es positivo. Al usar esta
8
rutina es necesario arrastrar el seno y el coseno de U’, que serán seno de
U y coseno de U para la siguiente superficie.
IV. ALGUNAS RELACIONES ÚTILES
A. LA FÓRMULA DEL ESFERÓMETRO
La relación entre la altura Y y la sagital X de una superficie esférica de
radio r es normalmente pedida. Es evidente de la Fig. 11 que
r2 = Y2 + (r – X)2 ; entonces
X = (X2 + Y2)/2r = r – (r2 – Y2) ½
Esto puede expandirse por el teorema del binomio para dar
Como r puede ser infinito, generalmente es mejor expresar X en términos
de la curva c de la superficie antes que del radio r. Escribiendo c = 1/r nos
da
X = cY2 / [1 + (1 – c2 Y2) 1/2]
(10)
Fig. 11: La fórmula del esferómetro.
Esta expresión nunca es indeterminada. Para una superficie plana, c = 0
y por supuesto X = 0 también.
B. ALGUNAS FÓRMULAS ÚTILES
Existen varias relaciones útiles entre las cantidades involucradas en el
trazado de rayos en una superficie esférica, que pueden ser derivadas
fácilmente. Algunas de ellas son
9
Las siguientes relaciones también involucran la refracción de un rayo en una superficie:
C. LA ALTURA DE INTERSECCIÓN DE DOS ESFERAS
Si decidimos que dos lentes se toquen por los bordes para facilitar su
montaje, debemos elegir una separación axial tal que las dos superficies
adyacentes intersecten en un diámetro cuyo valor esté entre el de la
apertura y el del diámetro neto de las lentes. O de nuevo, si deseamos
reducir el espesor de una lente grande a su mínimo absoluto, debemos
poder calcular el espesor para que las superficies de las lentes
intersecten en el diámetro deseado, más una pequeña adición que nos
provea el espesor de borde suficiente.
Dados r1, r2, y el espesor axial d, primero calculamos
D. EL VOLUMEN DE UNA LENTE
Para calcular el volumen de una lente, y por lo tanto su peso, dividimos la
lente en tres partes, los dos “sombreros” esféricos externos y un cilindro
central. El volumen de cada sombrero se halla mediante la fórmula de
volumen
O eliminando r obtenemos
Para varios propósitos solo es necesario usar el primer término de la
fórmula (11), lo que demuestra que el espesor “promedio” del sombrero
es aproximadamente ½ X. La lente entonces tiene el volumen de un
cilindro de espesor ½ X1 + d - ½ X2 aproximadamente, recordando que
cada X debe tener el mismo signo que su r.
10
Ejemplo: como ejemplo considérese que el espesor de la lente en la Fig.
12 tiene r1 = 20, r2 = 10, diam. = 16 y espesor de borde = 6.
Fig. 12: El volumen de una lente
Las sagitales de la superficie son X1 = 1.6697 y X2 = 4.00. Los tres
volúmenes a ser sumados son
El error en el cálculo de aproximación es solo 3%, aún para una lente
profundamente curva como esta.
E. SOLUCION PARA QUE EL ULTIMO RADIO DÉ UN U’ INDICADO
En algunos casos necesitamos determinar el último radio de una lente
para escudar un valor especificado de la pendiente U’ del rayo
emergente, dados Q y U del rayo incidente en la superficie y los índices
de refracción n y n’. Como I’ = I + (U – U’),
11
V. TRAZADO DE RAYOS EN UNA SUPERFICIE INCLINADA
Hasta aquí hemos considerado solamente sistemas de lentes cuyos centros de
curvatura yacen sobre un solo eje. Sin embargo, puede ser requerido considerar
el efecto de una leve inclinación de una superficie o elemento con el fin de
computar la “tolerancia de inclinación” para uso en la fábrica. Fórmulas
especiales son necesarias para trazar un rayo meridional a través de dicha
superficie inclinada.
A. LAS ECUACIONES DE TRAZADO DE RAYOS
Supongamos que el centro de curvatura de una superficie inclinada yace
a una distancia δ, un lado del eje de la lente. La inclinación angular ⍺ de
la superficie está dada por seno ⍺ = – δ / r , siendo ⍺ positivo para una
inclinación de sentido horario.
Fig. 13: Un rayo incidente en una superficie inclinada.
En la Fig. 13a, P es el punto de incidencia del rayo en una superficie
inclinada, C es el centro de curvatura de la superficie que dista – δ del eje
(por debajo), y el ángulo PCA es claramente igual a U + I – ⍺. Dibujamos
una línea que pase por C paralela al rayo, que intersecte la perpendicular
AL en el punto H. Así, Q es igual a LH + HA. El ángulo PCH es igual a I,
donde LH es r seno I. La longitud HA es igual a r seno HCA, donde
HCA = PCA – I = U – ⍺. Por consiguiente,
Q = r seno I + r seno (U – ⍺)
o
seno I = Qc – seno (U – ⍺)
Para completar la derivación, pasamos a la Fig. 13b. Acá el ángulo PCA
se divide en dos para intersectar la línea vertical PN en O. Por ángulos
12
congruentes POC y AOC, vemos que PO = OA = G. El ángulo APO = al
ángulo OJA = ángulo PAO = 0.
Sin embargo
(copiar)
Para relacionar Q y G, trazamos la usual perpendicular desde A al rayo
(L), y dibujamos una línea que pase por O paralela al rayo, intersectando
Q en el punto K. Entonces
(copiar)
La transferencia a la siguiente superficie es normal. Al usar estas
ecuaciones es recomendable hacer una lista con los ángulos inusuales a
medida que van surgiendo. Ellos son U – ⍺ , I + ⍺ , I’ + ⍺ , y U + I + ⍺
para calcular X e Y. Nótese que un rayo que corre a lo largo del eje es
refractado en una superficie inclinada y sale inclinado, o sea que los
rayos paraxiales no tienen sentido. Un ejemplo de trazado de rayos a
través de una superficie inclinada es dado en la Tabla II.
Un elemento de una lente que ha sido desplazado lateralmente por una
cantidad ∆, sin ser inclinado de otra manera, posee dos superficies
inclinadas como indica la Fig. 14. La inclinación de la primer superficie es
⍺1 = seno – 1 (- ∆ / r1) y la inclinación en la segunda superficie es
⍺2 = seno – 1 ( - ∆ / r2), siendo ∆ negativo si la lente es desplazada por
debajo del eje, como en el diagrama. Debe tenerse cuidado en computar
las separaciones axiales d a lo largo del eje principal del sistema y no a lo
largo del eje desplazado correspondiente al elemento descentrado de la
lente. Para pequeños desplazamientos que podrían ocurrir
accidentalmente esto no es un problema, pero si una lente ha sido
deliberadamente desplazada por alguna razón, este punto debe
observarse cuidadosamente.
Tabla II
Fig. 14: Elemento descentrado de una lente.
B. EJEMPLO DE TRAZADO DE RAYOS A TRAVÉS DE UNA SUPERFICIE
INCLINADA
Tomaremos el doblete cementado de la Tabla I e imaginaremos que la
superficie ha sido inclinada en ⍺ = 1° (sentido horario). Deberemos tener
que trazar el rayo axial, el rayo marginal superior, y el rayo marginal
inferior, porque cada uno de estos 3 rayos se trataran de forma diferente
en una superficie inclinada (ver Tabla II).
Para entender lo que ha sucedido como resultado de inclinar la superficie
en 1°, calculamos la altura a la que cada rayo emergente cruza el plano
focal paraxial:
13
rayo marginal superior: 0.147350
rayo axial: 0.127870
rayo marginal inferior: 0.148448
En la Fig. 15 se ve esta situación a gran escala comparada con el caso
anterior a que la superficie fuese inclinada. Está claro que toda la
imagen ha sido elevada, y que existe una gran cantidad de coma
introducido por la inclinación.
Fig. 15: El resultado de inclinar la superficie de una lente
VI. TRAZADO DE RAYOS EN UNA SUPERFICIE ASFÉRICA
Una superficie esférica puede definirse de varias maneras, siendo la mas simple
expresar la sagital de la superficie referido a un plano:
X = a2 Y2 + a4 Y4 + a6 Y6 + …
Sólo aparecen poderes pares de Y por la simetría axial. El primer término es todo
lo que se necesita para una superficie parabólica. Para expresar una esfera de
esta forma usamos la serie de poderes dados en la ec. (9), pero muchos
términos serán requeridos si la esfera es muy profunda.
A varios propósitos, es mejor expresar la asfera como partiendo de una esfera:
(13)
Acá c representa la curvatura de la esfera oscilante y a4, a6, … son los
coeficientes de asfericidad.
Si la superficie posee una sección cónica, podemos expresarla por
(14)
donde c es la curvatura del vértice del cono y e su excentricidad. El término
1 – e2 en esta expresión se denomina “constante cónica” ya que define la forma
de la superficie. Su valor es el siguiente:
(copiar)
Para trazar un rayo a través de una superficie esférica, debemos primero
determinar las coordenadas X e Y del punto de incidencia. La asfera está
definida por una relación entre X e Y, mientras que el rayo incidente está definido
por su Q y U. Ahora está claro de la Fig. 16 que
Fig. 16: Trazado de un rayo a través de una superficie asférica.
Q = [ X ] seno U + Y cos U
donde [ X ] ha de ser reemplazada por la expresión para la superficie asférica,
dando una ecuación para Y con el mismo orden que la asfera misma.
Para resolver esta ecuación, primero adivinamos un valor posible de Y, digamos
Y = Q. Luego evaluamos al R residual como sigue:
R = [ X ] seno U + Y cos U – Q
Obviamente el valor correcto de Y es aquel que hace R = 0. La regla de Newton
dice que
14
(una mejor Y) = (la Y original) – (R/R’)
donde R’ es la derivada de R con respecto a Y,
R’ = (dX / dY) seno U + cos U
Pocas iteraciones de esta fórmula nos darán el valor de Y que haga a R menor
que cualquier límite definido, como 0.00000001. Conociendo Y inmediatamente
encontramos X aplicando la ecuación de la asfera. Entonces procedemos así:
La pendiente de la Normal es dX/dY. Entonces
tan (U + I) = dX / dY
seno I’ = (n / n’) seno I
U’ = U + I – I’
Q’ = X seno U’ + Y cos U’
La transferencia a la siguiente superficie es standard.
Este proceso puede simplificarse en el caso de una superficie que sea una
sección cónica, porque la ecuación a ser resuelta es una cuadrática común.
Nótese que si la asfera está definida por la Ec. (14) la derivada cambia a
tan (U + I) = dX / dY = cY / [1 – c2 Y2 (1 – e2)] ½
(15)
Ejemplo: Supóngase que nuestra esfera está dada por
[ X ] = 0.1 Y2 + 0.01 Y4 – 0.001 Y6
Entonces
dX / dY = 0.2 Y + 0.04 Y3 – 0.006 Y5
con n = 1.0 y n’ = 1.523. Si nuestro rayo entrante tiene U = +10° y Q = 3.0,
entonces sucesivas iteraciones de la regla de Newton da
copiar
15
CAPITULO 3 – RAYOS PARAXIALES Y OPTICAS DE PRIMER ORDEN
Supongamos que trazamos cierto número de rayos meridionales a través de una lente
desde un punto objeto dado, variando las alturas de incidencia desde la altura del rayo
marginal Ym bajando hasta aquella de un rayo muy cercano al eje de la lente. Luego
diseñamos un gráfico (Fig. 17) conectando la altura de incidencia Y con la distancia
imagen L’. Este gráfico tendrá dos ramas, siendo la mitad debajo del eje idéntica a la
mitad por encima del eje pero invertida. La precisión de las varias ubicaciones de los
puntos es buena en el margen pero cae abruptamente cuando el rayo está muy cerca
del eje de la lente, y en realidad sobre el eje no hay precisión alguna. Por lo tanto
mediante el trazado normal de un rayo podemos diseñar todo este gráfico a excepción
de la porción que queda cerca del eje, y no podemos de ninguna manera encontrar el
punto exacto en el que el gráfico en realidad cruza al eje. Esta falla se debe, por
supuesto, a la precisión limitada de nuestras tablas matemáticas y de nuestros
procedimientos de computación.
Sin embargo, el punto exacto en el cual el gráfico cruza al eje puede hallarse como un
límite matemático. Un rayo que yace por todas partes muy cerca del eje óptico se
llama rayo “paraxial”, y podemos observar la distancia imagen paraxial I’ como el
límite hacia el que la verdadera L’ tiende al hacerse la apertura Y progresivamente
mas pequeña, o
Copiar
I. TRAZANDO UN RAYO PARAXIAL
Como tanto alturas como ángulos paraxiales son infinitesimales, podemos
determinar sus magnitudes relativas usando un nuevo set de ecuaciones para
trazado de rayos formadas al escribir los senos como equivalentes a los ángulos
en radianes, y a los cosenos iguales a 1.0. Como los infinitesimales tienen
magnitudes relativas finitas, podemos usar cualquier número finito para
representar cantidades paraxiales, pero debemos recordar asumir que cada
número ha de ser multiplicado por un factor muy pequeño como 10-50 , o sea que
un ángulo paraxial escrito 2.156878 no significa 2.156878 radianes, sino
2.156878 x 10-50 radianes. Es bastante innecesario escribir el 10-50 cada vez,
pero su existencia debe ser asumida si las cantidades paraciales han de tener
algún sentido. Por supuesto, los datos paraxiales longitudinales como l y l’ no son
infinitesimales.
A. FORMA STANDARD DE TRAZADO DE UN RAYO PARAXIAL
Una vez que esto ha sido entendido, modificando las ecuaciones (4)
podemos derivar a un set de ecuaciones para trazado de rayos
paraxiales. Escribiendo los senos como ángulos y los cosenos como
unidad, y recordando que en la región paraxial ambos Q y Q’ degeneran a
la altura paraxial del rayo y, obtenemos
(16)
con la transferencia y2 = y1 – du’1. Se notará que las cantidades
paraxiales se escriben con letras minúsculas para distinguirlas de alturas
y ángulos reales tal como son usadas al computar el trayecto de un rayo
real.
Como ejemplo, repetiremos los datos de la lente dadas en la Tabla I para
un doblete cementado, y trazaremos un rayo paraxial que la atraviesa con
estos datos iniciales y = 2.0 y u = 0 (Tabla III). Como antes, la distancia
imagen paraxial se encuentra al dividir la última y por el u’ emergente,
16
dando l’ = 11.285849. Esto es ligeramente diferente del L’ marginal, que
dio 11.293900. La diferencia es causada por la aberración esférica.
B. EL MÉTODO ( y – nu)
Debido a la naturaleza lineal de las relaciones paraxiales, podemos
fácilmente someter a las ecuaciones de trazado de rayos paraxiales a
manipulación algebraica para eliminar algunos o todos los ángulos
paraxiales, que realmente son solo cantidades auxiliares. Por ejemplo,
para eliminar los ángulos de incidencia i e i’, multiplicamos la primera de
las ecuaciones (16) por n, y la correspondiente expresión para el rayo
refractado por n’, dando
ni = nyc – un , n’i’ =n’yc – n’u’
Ahora la ley de refracción para rayos paraxiales es simplemente ni = n’i’;
por lo tanto igualando estas dos expresiones nos da
n’u’ = nu + y(n’ – n)c
(17a)
Esta fórmula puede ser usada para trazar rayos paraxiales, junto con la
transferencia
y2 = y1 + (-d/n) (n’1 u’1)
(17b)
Se notará que, escritas de esta forma, las ecuaciones (17a) y (17b) tienen
la misma forma. Esto es, en cada ecuación el nuevo valor es encontrado
al sacar el valor antiguo y sumándole el producto de la otra variable
multiplicada por una constante. Esto nos conduce a un procedimiento
notablemente conveniente y simple de trazado de rayos conocido como el
método (y – nu). En la Tabla IV hemos trazado el rayo paraxial de la
Tabla III con estas ecuaciones.
La operatoria es la siguiente. Para calcular cada número, ya sea una y o
un nu, tomamos la y o nu anteriores y le sumamos el producto del
siguiente número a la derecha multiplicado por la constante situada
inmediatamente arriba de él. Por lo tanto, comenzando por y1 y (nu)1,
primero hallamos (nu)’1 = (nu)1 + y1 (n´- n)1 c1. Luego para y2 tomamos
y1 y le sumamos el producto de (nu)’1 y –d/n, y así sucesivamente de
manera zigzagueante hasta la última superficie. La ecuación de cierre es
por supuesto,
l’ = (última y) / [última (nu)’]
Los números en la tabla de trazado de rayos (y – nu) obviamente parecen
perfectamente los números correspondientes en la Tabla III, donde el
rayo paraxial ha sido trazado por medios convencionales. La cantidad de
trabajo involucrado en el método (y – nu) es casi el mismo que el del
método directo, pero existen muchas ventajas al trazar rayos de esta
manera, como veremos.
Como la distancia imagen l’ es la misma para todos los rayos paraxiales
que salen del mismo punto objeto, podemos elegir el valor que nos plazca
tanto para el y inicial o el nu inicial, pero no ambos, ya que están
relacionados por y = lu. Muchos diseñadores usan siempre y1 = 1.0 y
calculan el valor apropiado de (nu)1. Por lo tanto, si un objeto está situado
a 50 unidades a la izquierda de la primera superficie, podríamos tomar y1
= 1.0 y (nu)1 = -0.02, recordando que l es negativo si el objeto está a la
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izquierda de la superficie. Un l positivo implica un objeto virtual a la
derecha de la primer superficie de la lente cuando rayos entrantes vienen
de la izquierda.
Al trazar un rayo paraxial de atrás para delante de derecha a izquierda,
debemos sustraer cada producto del valor previo en lugar de sumarlo,
obteniendo
nu = (nu)' - y(n´- n) c,
y1 = y2 - (-d/n) (nu)2
C. PROCEDIMIENTO INVERSO
Una ventaja del método (y – nu) sobre el procedimiento directo usando i e
i’ es que podemos, si lo deseamos, invertir el proceso y trabajar hacia
arriba desde los datos del rayo hasta los datos de la lente. Por lo tanto si
conocemos de algunas otras consideraciones la sucesión de valores y y
nu , podemos calcular los datos de la lente invirtiendo las ecuaciones
(17a) y (17b) dando
Copiar
Este es generalmente un procedimiento extremadamente útil, que no
puede ser ejecutado al usar el trazado de rayos directo.
D. METODOS DE RESOLUCIÓN DE ÁNGULOS Y DE RESOLUCIÓN DE
ALTURAS
Al hacer cambios en una lente, a veces se desea mantener o la altura de
incidencia de un rayo paraxial en una superficie determinada cambiando
el espesor precedente, o mantener la pendiente del rayo paraxial luego
de la refracción cambiando la curvatura de la superficie. Ambos pueden
ser logrados invirtiendo las ecuaciones (17a) y (17b). Para una resolución
de altura determinamos la superficie de separación previa con
d = (y1 – y2)/u’1
y para la resolución de un ángulo utilizamos
C = [(nu)’ – nu] / y (n’ – n)
La última fórmula es particularmente útil si deseamos mantener la
distancia focal de una lente mediante una elección conveniente del último
radio. Debe notarse que esta fórmula es el equivalente paraxial de la
ecuación (12), obtenida al escribir i para la tan I, (u – u’) para el seno (U U’), 1.0 para el coseno (U – U’), u e i para el seno U y seno I,
respectivamente, e y para Q.
E. EL MÉTODO (l, l´)
En las derivaciones de la ecuación (16) eliminamos los ángulos de
incidencia al ser auxiliares innecesarios. Ciertamente podemos ir mas allá
y también eliminar los ángulos de la pendiente del rayo u y u’. Para esto
dividimos la Ec. (16) por y y notamos que l = y/u, mientras l’ = y/u’. Estas
sustituciones nos dan la bien conocida expresión
(18)
en computaciones esto se usa de la forma
copiar
18
donde
copiar
la transferencia ahora es simplemente
copiar
Un ejemplo de los resultados de estos cálculos se da al final de la Tabla
IV. Recuerden que l y l’ se refieren a las porciones de un rayo que yace a
la izquierda y derecha de una superficie. Por supuesto, en los espacios
entre las superficies el rayo casi nunca alcanza al eje óptico, o sea que ni
l ni l’ es realmente reconocido.
F. UN RAYO PARAXIAL EN UNA SUPERFICIE ASFÉRICA
Al trazar un rayo paraxial, los términos esféricos no tienen efecto y solo
debemos considerar la curvatura del vértice de la superficie. Esto se da
por el coeficiente del término de segundo orden en la expansión de la
serie de poderes.
G. TRAZADO GRÁFICO DE RAYOS PARAXIALES
No podemos utilizar el proceso ordinario de trazado gráfico de rayos para
rayos paraxiales ya que caen demasiado cerca del eje como para ser
trazados. Sin embargo, podemos imaginar el set entero de curvas y
líneas a ser dibujadas y luego extendidas transversalmente 100 o más
veces. Al hacerse esto todos los círculos en el proceso ordinario se
convierten en líneas rectas transversales al eje de la lente, pero todos los
puntos que yacen sobre el eje retienen sus posiciones, incluyendo el
centro de curvatura de la superficie y los puntos objeto e imagen
paraxiales. El equivalente paraxial de la Fig. 8 aparece en la Fig. 18. La
escala lateral carece de importancia. Las alturas de incidencia son las
mismas que los valores computados y; la longitud ab es igual a nu y la
longitud cd es igual a (nu)’. Como ac es n’ – n , está claro que
(nu)’ = nu + y(n’ – n)/r de acuerdo a la Ec. (17a).
Fig. 18: Trazado gráfico de un rayo paraxial
II. TRAZADO DE RAYOS POR EL MÉTODO (W, U)
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