0.1 Grupos de Difeomorfismos Clásicos y sus Álgebras de Lie

0.1 Grupos de Difeomorfismos Clásicos y sus Álgebras de Lie

0.1
Grupos de Difeomorfismos Clásicos y sus Álgebras de Lie
Cuando una variedad diferenciable M está equipada con alguna estructura geométrica
interesante (e.j. una métrica o con alguna forma de volumen, simpléctica o de contacto)
es natural fijarnos en una familia especial de campos vectoriales sobre la variedad. A
saber, los campos vectoriales que generan grupos de difeomorfismos de un parámetro
(gdup) bajo los cuales se preservan estas estructuras. A continuación se examinan las
estructuras conocidas como clásicas.
0.1.1
Grupo de isometría. I(M, g)
Sea (M, g) una variedad diferenciable con una métrica riemanniana asignada g. Al
grupo formado por los automorfismos (isometrías) de la variedad riemanniana (M, g)
se le conoce como el grupo de isometría I(M, g) y a su correspondiente conjunto de
campos vectoriales se les llama campos de Killing. Las propiedades de los grupos de
isometría han sido extensivamente estudiadas y son conocidos muchos resultados en
diferentes casos; por ejemplo Meyer y Steenrod demostraron que el grupo de isometría
de una variedad riemanniana compacta es un grupo de Lie de dimensión finita. Los
siguientes ejemplos son grupos mucho más grandes.
0.1.2
Grupos preservadores de orientación y de la forma de volumén. Dif f+ (M )
y Dif fω (M )c
Si se tiene una variedad orientada M y se especifica una forma de volumen, ω, que
represente a la orientación, es natural fijarnos en los siguientes subgrupos:
• Dif f+ (M ) ⊂ Dif fc∞ (M ) difeomorfismos que preservan la orientación y
• Dif fω (M )c ⊂ Dif fc∞ (M ) difeomorfismos que preservan la forma de volumen.
Propiedades
a) La componente conexa de la identidad Dif fc∞ (M )o está contenida en Dif f+ (M ).
Dif fc∞ (M )o ⊂ Dif f+ (M )
No es difícil convencerce de esto usando un argumento de conexidad. Como consecuencia se tiene que si
V ∈ X(M ) ⇒ El flujo de V preserva la orientación
En efecto, como vimos anteriormente, existe una correspondencia uno a uno entre
los campos vectoriales suaves X(M ) en la variedad y las isotopías a la identidad.
Por lo tanto si ft es el flujo de V entonces,
V ∈ X ⇒ ft ∈ Iso∞ (M ) = Dif fc∞ (M )o ⊂ Dif f+ (M )
1
b) Sabemos que si ω1 y ω2 son dos formas de volumen en M ellas están relacionadas
así, ω1 = λω2 con λ una función distinta de cero en todo punto; si además las dos
formas de volumen representan la misma orientación luego λ > 0. Tomando en
cuenta este hecho podemos ver que
{φ ∈ Dif fc∞ (M )|φ∗ ω = λω, λ > 0}
{φ ∈ Dif fc∞ (M )|φ∗ ω = ω}
Dif f+ (M ) =
Dif fω (M )c =
c) Antes del siguiente punto, un recordatorio y notación.
La divergencia de un campo vectorial V ∈ X(M ) es una función Div(V ) := f ∈
C ∞ (M ) tal que LV ω = f ω, donde LV es la derivada de Lie en dirección V de la
forma de volumen ω.
La fórmula de Cartan es la fórmula que muestra como la derivada de Lie se relaciona
con la derivada exterior por medio del producto interior. Si V ∈ X(M ) y α ∈ Λn (el
espacio de n formas diferenciales) entonces
LV α = di(V )α + i(V )dα
donde i(V )ω es el producto interior de formas diferenciales, que mapea a una p
forma, σ, a un p-1 forma, i(V )σ, definida por
(i(V )σ)(ξ1 , ..., ξp ) = σ(V, ξ1 , ..., ξp ).
Denotaremos Lω (M ) al subálgebra de Lie de X(M ) que consiste de todos los campos V ∈ X(M ) que cumplen que LV ω = 0, es decir los campos vectoriales de
divergencia nula. Los flujos de estos campos definen un grupo local de difeomorfismos de un parámetro (gldup) que preserva el volumen, esto se puede notar de que
el cambio de la forma de volumen en dirección de los campos es cero por construcción.
Se tiene por la definición de una forma de volumen que el siguiente mapeo es un
isomorfismo
ω̃
ω̃(V )
:
X(M ) → Λn−1
= i(V )ω
para V ∈ X(M )
El mapeo ω̃ identifica a las n-1 formas diferenciales cerradas sobre M y a los campos vectoriales con divergencia nula. Esta proposición es fácil de probar. Por un
lado, si α ∈ Λn−1 es una forma cerrada entonces sea Vα ∈ X(M ) el campo vectorial tal que i(Vα )ω = α, se sabe que este campo existe por que ω̃ es un isomorfismo. Luego usando la fórmula de Cartan se ve que Vα tiene divergencia nula ya
que LVα ω = d(i(Vα )ω) + i(V )dω = dα = 0. Partiendo de la hipótesis donde
V ∈ Lω (M ) entonces utilizando una vez más la fórmula de Cartan, vemos que
0 = LV ω = d(i(V )ω) y por lo tanto i(V )ω es cerrada.
La proposición pasada muestra como es posible construir campos vectoriales cuyos
flujos preserven una forma de volumen (Div = 0). Por ejemplo, si β ∈ Λn−2
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entonces dβ ∈ Λn−1 es cerrada y por lo tanto (ω̃)−1 (dβ) ∈ Lω (M ), en donde
(ω̃)−1 (dβ) es el campo vectorial que cumple que i(ω̃ −1 (dβ))ω = dβ. Concluimos
que toda n-2 forma en M con soporte compacto da lugar a un gdup que preserva la
forma de volumen.
0.1.3
Grupo de difeomorfismos simplécticos. Dif fΩ (M )
Una variedad simpléctica es un par (M, Ω) con M una variedad 2n dimensional y Ω
una forma simpléctica definida en M . Esto quiere decir, una 2 forma cerrada, alternante y no degenerada o equivalentemente una 2 forma cerrada que cumple que Ωn es
una forma de volumen. Al grupo de difeomorfismos que preservan la estructura simpléctica, es decir, bajo los cuales se conserva Ω se le llama grupo de difeomorfismos
simplécticos y se denota Dif fΩ (M ). Su álgebra de Lie LΩ (M ) formada por campos vectoriales que generan gdup simplécticos es conocida como el álgebra de Lie de
campos vectoriales hamiltonianos locales.
De manera análoga que en el caso de la forma de volumen, veremos que toda función
f ∈ C ∞ dará lugar a un campo hamiltoniano. Procedemos del mismo modo que en el
caso pasado, el mapeo
ω̃
:
X(M ) → Λ1
ω̃(V )
=
i(V )Ω
para V ∈ X(M )
es un isomorfismo por la definición de una forma simpléctica. Este mapeo identifica a
los campos vectoriales hamiltonianos locales con las 1 formas cerradas y la prueba de
esta aseveración es igual que en el caso de la forma de volumen.
Sin embargo, en este caso podemos notar que toda función f ∈ C ∞ (M ) da a lugar un
campo hamiltoniano Xf ∈ LΩ (M ), que por cierto es lo que se deseaba obtener. En
efecto, si f ∈ C ∞ (M ) eso quiere decir que df ∈ Λ1 es una 1 forma cerrada y por lo
tanto es identificada con un campo vectorial hamiltoniano Xf . Sea Xf el único campo
hamiltoniano tal que i(Xf )Ω = df . Denotemos h(M ) al álgebra de Lie de los campos
vectoriales hamiltonianos globales. Al mapeo, que toma funciones en M y les asigna
un campo hamiltoniano definido como arriba se le llama el gradiente simpléctico, i.e.
grads
f
:
grads
−−−−→
C ∞ (M ) → h(M )
Xf
para f ∈ C ∞
En este contexto a Xf es llamado un campo hamiltoniano con hamiltoniano f.
Con estos conceptos es posible dotar con una estructura de álgebra de Lie a C ∞ (M ).
Definimos para f, g ∈ C ∞ (M ) el corchete de Poisson de esta manera {f, g} =
Ω(Xg , Xf ), es fácil revisar que cumple las propiedades necesarias. En este punto es
pertinente remarcar que en la literatura la definición del corchete de Poisson puede
estar invertida, en estas notas se toma esta definición por razones que serán evidentes
a continuación. El álgebra resultante (C ∞ (M, R), {, }) es el álgebra de Poisson de
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(M, Ω). Notamos que el mapeo de tomar el gradiente simpléctico es un homomorfiso de álgebras de Lie y que de hecho si M es conexo , también se tiene la siguiente
sucesión exacta corta Se(1)
grads
{0} → R → C ∞ (M ) −−−−→ h(M ) → {0}
Por último se revisará un importante teorema que nos dice que la sucesión exacta corta
Se(1) se escinde bajo ciertas condiciones, este teorema es importante por que es una
caracterización de las variedades simplécticas compactas, conexas y sin forntera. Con
este fin primero se analiza un
Lema Sea dim(M ) = 2n y U, V ∈ h(M ) entonces
Z
(Ω(U, V ))(Ω)n = 0
M
Demostración
Al ser la dim(M ) = 2n y dado que (i(U )Ω ∧ Ωn ) ∈ Λ2n+1 el espacio de las 2n+1
formas, se tiene que:
0 = i(V )(i(U )Ω ∧ Ωn )
=
=
=
i(V )i(U )Ω ∧ Ωn + (−1)1 i(U )Ω ∧ i(V )Ωn
n!
Ω(U, V )Ωn − i(U )Ω ∧
i(V )Ω ∧ Ωn−1
1!(n − 1)!
Ω(U, V )Ωn − n(dfU ∧ dfV ∧ Ωn−1 )
Por otro lado, cómo Ω es una 2 forma cerrada podemos ver que
d(fU dfV ∧ Ωn−1 )
=
dfU ∧ dfV ∧ Ωn−1 + fU d2 (fV ) ∧ Ωn−1 − fU dfV ∧ d(Ωn−1 )
=
dfU ∧ dfV ∧ Ωn−1
Por lo tanto, juntando estas dos igualdades llegamos a que
Ω(U, V )Ωn = n(dfU ∧ dfV ∧ Ωn−1 ) = d(nfU dfV ∧ Ωn−1 )
Finalmente, ya que M es una variedad compacta y sin frontera al usar el teorema de
Stokes
Z
Z
(Ω(U, V ))(Ω)n =
d(nfU dfV ∧ Ωn−1 ) = 0
M
M
obtenemos el resultado deseado.
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Teorema (Dumortier y Takens; Caracterización de la compacidad de variedades simplécticas)
La extensión Se1 se escinde ⇐⇒ La variedad simpléctica (M, Ω) es compacta
Demostración
Sólo se muestra la implicación hacia la izquierda. Entonces, demostremos que si M
es compacta luego la extensión se escinde. Es decir, que existe un homomorfismo de
álgebras de Lie
σ : h(V ) → C ∞ (M, R)
tal que
grads ◦ σ = Idh(V )
Para la primera parte, definimos σ. Sea V ∈ h(V ) y definimos σ(V ) = fV donde
fV ∈ C ∞ (M, R) es la única función que cumple que
i) i(V )Ω = dfV
R
ii) M fV Ωn = 0
Es claro que por la forma en que se definió al gradiente simpléctico, está elección
cumple grads ◦ σ = Idh(V ) .
La segunda consiste en revisar que en efecto σ es un homomorfismo de álgebras de
Lie.
• El hecho que σ(U + V ) = σ(U ) + σ(V ) se sigue directamente de la linealidad
de la forma simpléctica Ω.
• Ahora bien, sólo falta verificar que las funciones son iguales {σ(U ), σ(V )} =
σ([U, V ]). Para empezar notamos que las diferenciales de ambas funciones coinciden. En efecto, por las definiciones se sabe que
df[U,V ] = i([U, V ])Ω y d({fU , fV }) = d(Ω(V, U ))
Pero sabemos que,
i([U, V ])Ω
=
[i(U ), LV ]Ω = i(U )LV Ω − LV i(U )Ω
=
−d(i(V )i(U )Ω) − i(V )di(U )Ω = −d(Ω(U, V )) = d(Ω(V, U ))
En este desarrollo se usan los hechos que V ∈ h(V
R ) y que i(U )Ω = dfU . Ahora
bien, por un lado se tiene por construcción
que M fR[U,V ] Ωn = 0 pero con ayuda
R
del lema anterior se sabe que M {fU , fV }Ωn = M Ω(V, U )Ωn = 0 Por lo
tanto,
σ([U, V ]) = f[U,V ] = {fU , fV } = {σ(U ), σ(V )}
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