La Investigación Etnomatemática en Catamarca

Transcripción

Revista “Aportes Científicos en PHYMATH” ISSN 2313-9455
Volumen 3, Julio 2013
La Investigación Etnomatemática
en Catamarca
Juárez, Gustavo Adolfo; Navarro, Silvia Inés
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad Nacional de
Catamarca. [email protected]
Recepción: 15/02/2013
Aceptado para publicación: 14/05/2013
Resumen:
La Etnomatemática surge como una inquietud de reconocer el
desarrollo de las diversas técnicas matemáticas en diferentes
ambientes. Si bien consideramos una matemática universal, existen
variadas técnicas abordadas desde las diversas culturas, como
consecuencia de los conocimientos existentes en tales grupos
étnicos, los conocimientos luego incorporados y la adaptación de
estos a ese ambiente. Las experiencias en investigación en nuestro
ambiente son muy recientes, como lo es la Etnomatemática dentro
de la Matemática misma. Es nuestra intención aquí observar y
analizar este punto de partida y la expectativa que puede surgir en
las distintas ciencias afines.
Palabras Claves:
Matemática Aplicada.
Etnomatemática;
55
Modelos
Matemáticos;
Juárez, G. A.; Navarro, S. I.
The Etnomathematical Investigation in
Catamarca
Abstract:
The Etnomathematics arises like a restlessness of recognizing the
development of the diverse mathematical techniques in different
environment. Although we consider an universal mathematics,
diverse techniques approached from the diverse cultures exist, as
consequence of the existent knowledge in such ethnic groups, the
knowledge then incorporate and the adaptation of these to that
environment. The experiences in investigation in our environment
are very recent, as it is it the Etnomathematics inside the same
Mathematics. It is here our intention to observe and to analyze
this starting point and the expectation that it can arise in the
different similar sciences.
Keyword: Etnomathematics;
Mathematics.
Mathematical
Models;
Applied
Introducción
Primero
consideramos
adecuado
presentar
a
la
Etnomatemática, la cual surge de una propuesta realizada por
Ubiratan D’Ambrosio en oportunidad de la realización de la
conferencia anual de la Asociación Nacional de Profesores de
Matemáticas, en el año 1985, en donde explicó en una reunión a
un grupo selecto de participantes, que pensaba que el concepto de
Etnomatemática había generado suficiente interés y que era
oportuno formar un grupo de estudios. A partir de allí, junto a su
56
creador, fue enriqueciéndose un grupo de investigadores en
America Latina, hasta cubrir gran parte del planeta. El grupo
oficial de Etnomatemática actualmente se haya constituido con
una fuerte formación de manera interdisciplinaria.
La Etnomatemática se ubica como una combinación de la
matemática y la antropología cultural, a un nivel, que se pudiera
llamar “la matemática del ambiente” o la “matemática de la
comunidad”. A otro nivel, como de relación, la Etnomatemática es
la manera particular, y tal vez peculiar, en que grupos culturales
específicos cumplen las tareas de clasificar, ordenar, contar y
medir. [1]
Si bien es cierto que la utilización del prefijo “etno” se
usa para referir específicamente a sociedades originarias, no
menos es cierto que es también válida su aplicación a otros grupos,
como ser la sociedad de una nación, una comunidad obrera, un
sector profesional, o, como en nuestro caso, una comunidad que se
desarrolla en una época histórica determinada. Se debe incluir en
esta categoría de análisis situaciones simbólicas, diseños técnicos,
construcciones prácticas, métodos de cálculos, mediciones en
tiempo y espacio, formas específicas de razonamiento y otras
actividades cognoscitivas y materiales [2]. La relación entre
historia y educación matemática se manifiesta plenamente en lo
que Ubiratan D’Ambrosio denomina programa etnomatemático
que:
“...supone un tratamiento del conocimiento matemático
de modo bastante particular, es decir, un conocimiento
visto como una producción socio-cultural y como tal,
plausible de ser reconstruido históricamente...” [3].
57
La
definición
Etnomatemática
que
de
suele
naturaleza
preferir
dar
etimológica
D’Ambrosio
es,
de
de
considerarla como derivada de tres raíces: etno que comprende los
diversos ambientes social, cultural, natural. La raíz griega
mathema, que quiere decir explicar, entender, enseñar, manejarse;
y un tercer componente, thica, ligado a la raíz griega tecni que es
arte, técnicas. Así sintetizando las tres raíces se tiene artes,
técnicas de explicar, de entender, lidiar con el ambiente social,
cultural y natural. [4]
Las prácticas Etnomatemáticas pueden ser interpretadas
como aquellas que se refieren a la vida de los pueblos en contextos
políticos que determinan formas de imposición, aceptación y en
algunos
casos
pensamiento
de
resistencia.
Perero
En
cuando
éste
punto
afirma
compartimos
que
la
el
perspectiva
etnomatemática
“…es comprender la cultura, el conocimiento, la
epistemología, la historia y la política…se incluye la
acción social y el abordaje de una teoría de las ideas y un
análisis de las prácticas en un sentido multidimensional
que comprenda el sentido de la historicidad del
conocimiento” [5].
Por nuestra parte, el nexo se crea en forma indirecta
ante un discípulo de D’Ambrosio, Carlos Rodney Bazzanesi,
investigador
en
Biomatemática,
en
particular
mediante
el
Modelado Matemático Dinámico y más específicamente en los de
tipo Fuzzy. [6]
58
Nuestra tarea dentro de esta línea de investigación,
permite ver como nuestra comunidad, la intentamos matematizar
con leves propuestas iniciales, que en su momento tuvo resultados
alentadores, los cuales pasamos a detallar a continuación.
Desarrollo
1. Análisis Interdisciplinario de las magnitudes en la
Catamarca Colonial
Con el fin de mantener activas las investigaciones del
tipo histórico y matemático, surge la necesidad de interesarnos en
la Etnomatemática, a fin de ver la matematización realizada en la
época colonial en nuestra sociedad. La búsqueda nos llevó a
realizar un trabajo junto al Lic. Luis Navarro Santa Ana,
destacado historiador de nuestra Universidad. En él se relaciona
las unidades e instrumentos para mediciones utilizadas en la
época colonial, como resultado de una implementación de la
cultura española en estas tierras, logrando conocer y relacionar
magnitudes y legislaciones. [7]
En el mencionado trabajo, se rescata la esencia de las
definiciones de matemática, cultura y etno, tomando como
premisas para conceptualizar nuestra óptica y sustento científico
al conjunto de conocimientos matemáticos de una comunidad,
relacionados con su cosmovisión e historia, disponiendo de un
nexo entre la Matemática y sus prácticas.
59
El
objetivo
fundamental
de
dicho
trabajo
[7],
es
demostrar como los habitantes de la Catamarca Colonial (16831828), matematizaron su existencia; es decir, la manera como
efectivizaron
sus
cuentas,
como
midieron,
relacionaron
y
clasificaron, e incluso como infirieron en su cotidiano accionar en
un contexto circundante y circunstancial.
Así, se estudió las unidades o sistemas de medidas
utilizados local y regionalmente de las magnitudes de capacidad,
peso y volumen, en el marco tempo espacial determinado y las
equivalencias con las correspondientes en tiempos actuales, sin
dejar de lado, la mención de algunos de los instrumentos de
medición utilizados, observando su carácter local en algunos de los
casos, como la vara, que se diferenciaba de la utilizada en
provincias vecinas, o el del almud que se diferenciaba del utilizado
en España.
En este aspecto analítico resulta interesante el orden con
el que aparecen ciertas magnitudes, así pues superficie y volumen
se entremezclan. Es importante mencionar por un lado la gran
cantidad
de
medidas
correspondientes
utilizadas,
múltiplos
o
y
en
cada
submúltiplos,
caso
y
que
con
sus
existían
equivalencias entre algunas de ellas. Por otro lado, la forma de
medir involucraba a dos magnitudes que se median casi sin
distinción, tal vez por que escapaba a ellos la densidad de los
productos a medir, no el concepto, sino la forma de diferenciarlos,
o la dificultad de medirlos. Así por ejemplo, es común encontrar
un mismo nombre para una unidad, pero diferenciada si se pesaba
o se daba su volumen. En cuanto a la forma de mencionar las
magnitudes ha cambiado de manera que las fuentes de la época
60
hablan de capacidad y peso lo que actualmente se utiliza como
volumen y masa.
2. Etnomatemática y Modelos Matemáticos
Otras experiencias Etnomatemáticas propias estuvieron
ligadas a los Modelos Matemáticos. Fue precisamente, dentro de
los modelos que se consideró a los Modelos Geométricos para
estudiar la estructura de dos de los elementos más caros a nuestra
Cultura: el Poncho Catamarqueño [8] y las Vasijas de la Cultura
de la Aguada. [9], [10], [11], [12], [13], [14] y [15]
2.1. El Poncho Catamarqueño
En este trabajo, [9], se realizó una búsqueda de
información en el área artesanal, que si bien parece distante en
principio, recurre a la Matemática en forma frecuente, casi sin
darse cuenta. En efecto, desde el precio de la materia prima, en
este caso la lana, las medidas del poncho, el tiempo de ejecución,
entre otras, son variables a considerar, aun cuando existen otras
características medibles que escapan por una simple tradición:
cantidad de lana utilizada, costo de trabajo en términos de horas
trabajadas, etc..
Primero
diferenciándose
se
los
estudió
distintos
la
estructura
tipos
de
de
poncho,
un
poncho,
según
su
procedencia, identificando al Poncho Catamarqueño. Dentro de
esta particular estructura esta el moño y la cinta que esta a ambos
61
lados del campo, de color distinto; llamando campo al plano total
del poncho. Se determinaron medidas de largo, ancho, distancias
al orificio del cuello, de los flecos, y de todo otro elemento que
pudiera distinguirse en su estructura.
Las
relaciones
métricas
del
poncho,
debieron
ser
analizadas posteriormente en término de las correspondientes al
cuerpo humano. Y es por ello, que se recurrió a estudios
históricos,
donde
se
pudieran
observar
los
conocimientos
geométricos de escalas y proporciones que pudieran utilizarse en
la confección, en efecto, se utilizó las proporciones del cuerpo
humano estudiadas por el arquitecto Vitrubio (Marcus Vitruvius
Pollio), y que fueran recuperados posteriormente por Leonardo Da
Vinci.
Inicialmente pensamos en el rectángulo áureo, el cual
presenta en sus lados la relación que el largo es un múltiplo del
ancho, pero tal múltiplo es el numero áureo φ , siendo su valor
aproximado 1,618034 recordando que es un número irracional, es
decir, el largo es un múltiplo no entero del ancho. Curiosamente el
cociente entre el largo y ancho según nuestro Poncho modelo sin
flecos, con largo 2,08 [m] y ancho 1,52 [m], da un cociente de
1,3684211, lejos del valor de φ . Tomado el Poncho con flecos,
donde el largo es 2,24 [m] y el ancho 1,68 [m], resulta el cociente
de 1,33 que tampoco tiende al valor esperado.
A partir de la idea que el hombre de Vitrubio se dibuja
circunscripto en una circunferencia de centro en el ombligo, y que
pasa por tres puntos dados por los extremos de sus dedos de la
mano, cuando sus brazos están extendidos a la altura de la cabeza,
y el tercer punto es la base del cuerpo, entre los dos pies cuando
62
estos están juntos, o con la posición de piernas abiertas formando
un triángulo equilátero, hemos considerado lo siguiente: el Poncho
tiene un ancho dado por la distancia que va desde uno a otro de los
puños, cuando los brazos están extendidos, a la altura de los
hombros. Figura 1.
Figura 1: Se aprecia sobre la imagen inmortalizada por Leonardo Da
Vinci, el círculo con centro en el ombligo y que contiene a los extremos
de los dedos cuando los brazos se hallan extendidos, y a los pies. El
círculo propuesto aquí pasa por las muñecas y por la mitad de la parte
baja de las piernas, punto intermedio de la rodilla y el tobillo.
63
2.2. Las Vasijas de la Cultura de La Aguada
La Cultura de La Aguada, es una de las que mejor se
desarrolló en nuestro suelo catamarqueño, muestra de ello, esta
reflejada en las Vasijas que hoy se conservan en distintos Museos
y que son valoradas en sus estudios por distintos especialistas de
la Arqueología. Una publicación relacionada a las vasijas que se
hallan en el Museo Adán Quiroga, se analizan bajo la óptica de su
Autor, el Dr. Néstor Kriscauztki [9], y que resultó de interés para
realizar Modelado Geométrico de algunas de tales vasijas.
La Cultura La Aguada, es una de las culturas más
emblemáticas y representativas de las culturas precolombinas. Sin
lugar a dudas, La Aguada representa el momento culminante del
arte precolombino del noroeste argentino. Sus expresiones se
despliegan a través de múltiples materiales: una fina cerámica
(pintada, pulida y grabada), la metalurgia del oro y el bronce, la
escultura en piedra y el arte rupestre, grandes imágenes pintadas
en abrigos rocosos y cuevas como por ejemplo al este de la Sierra
del Ancasti (La Tunita y La Candelaria). Todas esas formas
plásticas, son portadoras de una rica iconografía de carácter
figurativo-fantástico
poblada
obsesivamente
de
imágenes
de
felinos, figuras humanas muy ataviadas, algunas con armas en sus
manos o cabezas colgando de sus brazos, con tocados o máscaras,
otras ya son seres híbridos (tal vez, la representación de la
transformación chamánica); completan el repertorio las figuras de
saurios
y
serpientes,
aves,
vampiros
y
diversas
geométricas.
64
formas
Existen diferencias bastantes netas entre el oeste de
Catamarca y La Rioja, el Valle Central y en el este de nuestra
Provincia, las diferencias son notables en sus diferentes restos
arqueológicos (cerámica, lítico, construcción de poblados, sistemas
de riego, etc.). Aunque en todos los casos hay una ideología
dominante
fácilmente
identificable
en
sus
manifestaciones
artísticas, entre cuyas representaciones se destacan, una de
aspecto felínico, el tigre o dragón de La Aguada. De manera, que
detrás de la diversidad advertimos un lenguaje común. A través de
su simbología, La Aguada se enraíza en una antigua tradición
ideológico-religiosa
que
encontramos
formando
parte
de
la
cosmovisión, el arte y espiritualidad del mundo andino. Creemos
que uno de los hilos conductores de este lenguaje común se
encuentra, en que todas estas culturas compartieron las bases de
un mismo conocimiento chamánico centrado en una íntima
relación con las plantas sagradas, así como una cosmovisión en la
que se interrelacionan profundamente lo humano, lo animal y lo
sobrenatural.
2.2.1. Modelo Matemático Geométrico de Vasijas de la
Cultura de La Aguada
Para alcanzar los objetivos de trabajo, fue necesaria una
investigación
interdisciplinaria,
búsqueda
bibliográfica
en
historia, arqueología y arte, entrevistas con especialistas de las
áreas
citadas,
y
la
interpretación
y
adaptación
de
investigaciones dentro de la Matemática.
65
tales
El
aporte
teórico
dado
por
distintas
áreas
de
la
Matemática, permite la realización de los modelados geométricos,
siendo necesario reforzar la capacidad de analizar y abstraer
características propias de la Matemática Aplicada, como así del
manejo de software disponible.
Para ello, se detallan dos casos:
a. Modelado geométrico de la silueta de una vasija de la
Para este caso, se contaban con el análisis de la forma
geométrica de la vasija, conocer técnicas y elementos que fueron
usados en la elaboración de la vasija, de las cuáles muchas se
conservan hoy en la construcción de replicas, y la utilización
correcta de conceptos de la geometría plana y del espacio.
De esta manera, la hipótesis fue hallar expresiones
matemáticas que reflejen la imagen de una vasija, tomándose como
supuesto inicial, que estas son sólidos de revolución, y de allí
analizar el perfil de la vasija. Se dice supuesto, pues las mismas no
son el resultado de una curva alrededor de un eje, pues existe una
excentricidad
consecuencia
solo
del
muy
tipo
de
próxima
a
construcción,
una
debido
circunferencia,
a
que
eran
construidas a mano y no con torno, el cuál fue un instrumento
incorporado a esta región con posterioridad, como consecuencia de
la incorporación de costumbres españolas.
66
Asimismo, el perfil de la vasija rotando alrededor de un
eje fue la propuesta, definiendo una función bivariada, que resultó
con cuatro asignaciones, en algunos casos, de acuerdo con la forma
del cuerpo, o bien, sobre como la función rotara para definir la
forma exterior completa. En efecto, el eje central se podía tomar
vertical con la vasija parada, o con una rotación alrededor de un
eje horizontal con una vasija acostada. El primero de los casos,
llevó a una función compuesta por funciones determinadas tramo
por tramo, de acuerdo a las partes de la vasija, es decir borde,
cuello, cuerpo y base (ver figura 2) y a su curvatura o linealidad.
Figura 2: Imagen de la Vasija de la Cultura de la Aguada seleccionada
para su estudio. La misma se compone de cuatro partes que allí se
indican: borde, cuello, cuerpo y base.
Con la información obtenida en el plano podemos
determinar la forma de la vasija en el espacio, mediante los
conceptos de superficie de revolución.
67
1- Modelo Geométrico del borde de la vasija
Aproximamos en el plano el borde, quedando definido
por
la
recta
de
ecuación y =
5
79
x+ .
8
16
Al
llevarla
al
espacio
tridimensional mediante superficie de revolución esta tendrá la
siguiente ecuación: z =
5
79
( x 2 + y 2 ) + , y su gráfica es:
8
16
Figura 3: Representación geométrica de la ecuación que modela el
borde la vasija
2- Modelo Geométrico del cuello de la vasija
En forma análoga, obtuvimos que en el plano el cuello
queda definido por la recta de ecuación y = −
13
1081
x+
. Al llevarla
4
40
al espacio tridimensional como superficie de revolución esta
tendrá la siguiente ecuación z = −
13
1081
(x 2 + y 2 ) +
cuya gráfica
4
40
es:
68
cuello de la vasija
3- Modelo Geométrico del cuerpo de la vasija
Obtuvimos que en el plano, el cuerpo queda definido por
la recta de ecuación ( y − 3,6) 2 = −2,6( x − 7,8) . Al llevarla al espacio
tridimensional como superficie de revolución con la siguiente
ecuación ( z − 3,6) 2 = −2,6( ( x 2 + y 2 ) − 7,8 cuya gráfica es:
69
cuerpo de la vasija
4-. Modelo Geométrico de la base de la vasija
Finalmente se obtuvo que en el plano la base quede
definida por la recta de ecuación y =
23
713
. Al llevarla al
x+
42
420
espacio tridimensional como superficie de revolución esta tendrá
la siguiente ecuación z =
23
713
(x 2 + y 2 ) +
. Gráficamente es:
42
420
Figura 6: Representación geométrica de la ecuación que modela la base
de la vasija
70
b. Clasificación de las formas geométricas de la decoración
de vasijas de la Cultura de La Aguada
Otra propuesta de trabajo sobre las vasijas de la cultura
de la aguada, fue el relacionado con las figuras que contienen en
su superficie.
En las diferentes piezas arqueológicas se visualizó los
grabados y representaciones, las cuales se dividieron para su
estudio de la siguiente manera:
1. Tipo
de
representaciones
o
motivos:
Los
motivos
analizados corresponden a elementos tales como, pucos,
ollas, pipas, vasos y estatuillas confeccionadas con
cerámica
y/o
piedra
decoradas
mediante
pigmentos
naturales o grabadas.
Guardas
Felínicas
Humanas
Figura 7: Tipos de representaciones o motivos presentes en vasijas
71
2. Tipos de relleno: corresponden al diseño interior de los
dibujos pintados o gravados, pudiendo ser cuadriculas,
líneas aproximadamente paralelas, puntos o ningún
relleno.
Cuadriculado
Rayado
Pintado
Sin relleno
Punteado
Con relieve
Figura 8: Tipos de rellenos presentes en vasijas
3. Elementos o figuras geométricas: estos elementos pueden
estar formando la figura por si sola o bien ser partes de
una figura que la componen.
72
Figura 9: Tipos de figuras geométricas presentes en vasijas
4. Agrupamiento en elementos geométricos básicos: con la
clasificación anterior y ante posibles semejanzas y por lo
tanto difícil clasificación se realizaron agrupamiento de
figuras según formas, considerando la ausencia de
instrumentos para su diseño, resultando solo triángulos,
cuadriláteros, círculos y rectas.
5. Simetría: Esta propiedad fue considerada debido a su
abundante presencia en dibujos, rectas, curvas y figuras.
73
Simetría por repetición
de un solo motivo
Simetría por repetición,
con otro no repetido
Simetría en una misma representación
Figura 10: Simetrías presentes en vasijas
3. Optimización con restricción como aporte teórico al
modelado matemático
Al realizarse la modelización de la curva del perfil de
una vasija, existió en algunos casos la asignación de dos o más
expresiones para la función. Con esto el ajuste debía ser tratado
usando puntos medidos o sea determinados con precisión y otros
que se ajustaban. De allí surgió la necesidad de realizar ajustes de
curvas con restricciones. Esto aportó a un tema importante dentro
de la optimización matemática, desarrollándose un estudio teórico
del ajuste a curvas de primer, segundo y tercer grado con
restricción a que contenga uno, dos o tres puntos dados. [14]
El método de mínimos cuadrados como herramienta en el
ajuste de curvas es muy conocido, aquí pretendemos extender el
74
mismo ante la propuesta de que el ajuste este dado por una recta
que pase por un punto determinado dentro de los datos dados.
Este trabajo de investigación permite llevar un contenido
al área de la Matemática Aplicada, mediante un aporte a la
creación de Modelos Matemáticos, como asignatura de la Carrera
Profesorado en Matemáticas.
En particular surge como necesidad de unir las trazas de
gráficas asignadas por tramos, precisamente en puntos donde se
produce el cambio de asignación de expresiones polinómicas
ajustadas. Tal problema surge al ajustar la silueta de vasijas de
barro confeccionadas por aborígenes que poblaron en el Valle de
Catamarca en el periodo entre los años 600 y 900 de nuestra era,
conocida como Cultura La Aguada.
Tales vasijas, presentan una forma casi regular por lo
que
se
decidió
estudiarlas
como
superficies
de
revolución;
previamente se planteo la investigación de su silueta en el plano,
observándose cambios en su aproximación de rectas a parábola o
cúbicas, por lo que, en el cambio de asignación presentaban en la
modelización discontinuidad, motivando a efectuar ajustes con
restricción.
Con el objeto de realizar el modelado matemático de
vasijas de barro confeccionadas por aborígenes de la Cultura de La
Aguada, se tomo una de ellas (figura 11), que se encuentra
catalogada en el Museo Adán Quiroga del Complejo Cultural
Calchaquí, en la Ciudad de Catamarca, y presentada en la obra de
Néstor Kriscautzky. [9]
75
Figura 11: Vasija de la Cultura La Aguada. Ilustración del Libro La
Cultura de La Aguada en el Museo Adán Quiroga
La silueta de la misma (figura 12) que se ilustra en la
obra citada fue analizada en tamaño real permitiendo determinar
puntos sobre los que se trabaja para luego ajustar la curva de la
silueta, mediante el método de mínimos cuadrados.
Figura 12: Silueta de Vasija de la Cultura La Aguada. Ilustración de La
Cultura de La Aguada en el Museo Adán Quiroga
76
Se trabaja sobre la división de la vasija en base, cuerpo y
borde, que sugieren los especialistas, observándose que podría
ajustarse a recta, parábola y recta respectivamente.
Figura 13: Silueta según las curvas de ajustes por MMC. Colaboración
de Eduardo Zarate.
Los ajustes mencionados en la figura 13, presentan
discontinuidad en los puntos de cambio de asignación. A fin de
evitar esto se propone adicionar restricción al ajuste, para ello se
puede elegir algún punto, en particular donde se inicia una
asignación, en los distintos ajustes. Esto implica poner restricción
al método de mínimos cuadrados. Por ello se desarrolla esta
investigación teórica a fin de aplicar luego a nuestro problema.
De esta manera se desarrolló los métodos de ajuste con
restricción siguientes:
•
Ajuste a una recta sujeto a que pase por un punto
dado, reconociendo que entre ellos existe uno
77
llamado el ajuste lineal óptimo, basado en el
punto de centro de gravedad, dependiente de las
rectas normales de regresión lineal.
•
Ajuste a una parábola sujeta a que pase por un
punto o que pase por dos puntos dados.
Resultados
Los resultados obtenidos de nuestra investigación, se
destacan por:
• Análisis Interdisciplinario de las magnitudes en la
Catamarca Colonial
Las medidas de superficie se derivan de las de longitud y
de éstas se dan las de volumen, por un crecimiento lógico de las
dimensiones; sin embargo es llamativo ver que no era frecuente
este paso, sino que, una vez que contaban con medidas de volumen
se las utilizaba para la superficie. Sin embargo, se recurre a
medidas de superficie cuando aparecen medidas de riego con las
cuales se mide la distribución de agua a las propiedades, cuando
estas, en la actualidad definen a la magnitud denominada caudal.
Se observa que no esta clara la unidad de medida, pues nos
estamos refiriendo a caudal, el cual, a través de una sección dada
es igual al volumen de fluido que la atraviesa por unidad de
tiempo, que hoy se mide en metros cúbicos por segundo. En aquel
momento, era la superficie que atraviesa durante un cierto
tiempo, la superficie podía ser cualquiera de las tres mencionadas
78
para lo cuál las compuertas tenían determinadas medidas: marco,
naranja, paja.
• El Poncho Catamarqueño
En
cuanto
al
Poncho,
partiendo
de
la
imagen
inmortalizada por Da Vinci de las relaciones dadas por Vitrubio,
realizamos el trazado de una circunferencia de centro en el
ombligo, que contenga a los dos puntos citados, o sea los puños, la
sorpresa fue encontrar que pasa por debajo de la rodilla, en el
punto intermedio entre la rodilla y el tobillo, o sea en la parte baja
de los gemelos (ver Figura 1), este punto marca el largo ideal que
tiene un Poncho para que sea apreciado por su belleza, es el largo
del poncho catamarqueño tal como se muestra en la Figura 14.
[15]
79
Figura 14: La imagen del hombre de Vitrubio con poncho de acuerdo al
círculo mostrado en la Figura 1.
• Modelado geométrico de la silueta de una vasija de la
Con el trabajo de investigación realizado respecto a las
Vasijas de la Cultura de La Aguada, podemos afirmar para uno de
los casos tratados, que el perfil de la vasija queda definido por una
función bivariada con cuatro asignaciones que al hacerla rotar
sobre la variable z , nos determina el total de la vasija que hemos
elegido para el análisis; definiendo un Modelo Geométrico.
Considerando la pieza que se encuentra en el Museo Adán Quiroga
80
en la ciudad capital de Catamarca, con el número de inventario Nº
1274 (ver figura 2).
• Modelo Geométrico del Perfil de la Vasija
Tomando finalmente a la vasija como un todo, hemos
deducido en el plano, el perfil total de la vasija por la siguiente
expresión:
5
79
⎧
y= x+
BORDE
⎪
8
16
⎪
13
1081
⎪
y=− x+
CUELLO
⎨
4
40
⎪( y − 3,6) 2 = −1,8.( x − 7,8) CUERPO
⎪
23
713
y=
x+
BASE
⎪
42
420
⎩
Por definición de superficie de revolución en el espacio
tridimensional la vasija quedará determinada por la expresión:
5
79
⎧
z = ( x2 + y 2 ) +
BORDE
⎪
8
16
⎪
13
1081
CUELLO
⎪ z = − ( x2 + y2 ) +
4
40
⎨
⎪( z − 3,6) 2 = −2,6.( x 2 + y 2 − 7,8) CUERPO
⎪
23
713
⎪
z = ( x2 + y 2 ) +
BASE
42
420
⎩
Y su gráfica es:
81
Figura 15: Modelo geométrico de la vasija de la figura 2
• Clasificación de las formas geométricas de la decoración
de vasijas de la Cultura de La Aguada
Para éste caso, en el análisis de las piezas arqueológicas
nos dio los siguientes resultados:
1. Tipo de representaciones o motivos: Casi la mitad posee
figuras Felínicas, demostrando ser una identidad del
momento cultural. En segundo lugar, con casi la cuarta
parte, están los que tienen rasgos humanos, pero como
recordemos que a veces estaban con disfraz felínico,
justifica el nombre de cultura del puma.
82
Porcentaje de Caracteristicas Sobresalientes
45
Guardas
45
40
Caracteriaticas Felinicas
35
23,3
30
25
18,3
Rasgos Humanos
13,4
20
Otras Caracteriaticas
15
10
5
0
Figura 16: Tipo de representaciones o motivos presentes en vasijas
2. Tipos de relleno: En las distintas figuras se realizan
rellenos, siendo la más frecuente el cuadriculado y líneas
paralelas. Tal vez esto por ser más sencillo para realizarlo
pues, con solo un 8,3% están los puntos, los cuales son
mucho más trabajosos.
Porcentaje de los tipos de relieves
35
Cuadrícula
31,6
35
25,1
30
25
20
15
Líneas
aproximadamente
paralelas
Puntos
8,3
10
5
Otros
0
Figura 17: Tipos de rellenos presentes en vasijas
83
3. Elementos o figuras geométricas: El grado de dificultad en
la realización de un objeto geométrico queda reflejado en
la cantidad que éstos se hallan, siendo lo frecuente
líneas, tanto paralelas como perpendiculares y entre las
figuras el triángulo.
Porcentaje de figuras o elementos geométricos
7%
16%
16%
1%
9%
1%
4%
4%
17%
11%
4%
10%
Triángulo
Cuadrado
Rectangulo
Trapecio
Rombo
Círculo
Elipse
Semielipse
Rectas paralelas
Rectas perpendiculares
Segmento
Punto
Figura 18: Tipos de figuras geométricas presentes en vasijas
4.
Agrupamiento
en
elementos
geométricos
básicos:
Consideramos necesario agrupar según cuatro grandes
grupos a los entes, debido a la imperfección que pudieran
tener algunos, y así tomar a las elipses como círculos con
pequeñas deformaciones, o rectángulos como cuadrados
por sus aproximaciones.
84
Porcentajes de entes geométricos basicos
por pieza arqueológica
90
80
83
82
87
Triángulos
72
70
60
Cuadrados
50
Círculos
40
Rectas
30
20
10
0
Figura 19: Tipos de elementos geométricos básicos presentes en vasijas
5. Simetría: A partir de los datos obtenidos podemos
concluir que es más frecuente el empleo de simetría, esto
es 73%, en los motivos decorativos de las piezas
seleccionadas. Este nos lleva a pensar, que intentaban
lograr una armonía en el dibujo pintado, cincelado o en
el relieve realizado.
• Optimización con restricción como aporte al modelado
matemático
En cuanto al modelado geométrico de las Vasijas, el
objetivo fue dar una solución al corte de la gráfica de la silueta de
la vasija de barro obtenida por ajuste. Por otro lado, el ajuste sin
restricción queda demostrado que es equivalente a uno con la
restricción de que pase por el centro de gravedad, siendo este
85
punto coincidente con la intersección de las trazas de las
ecuaciones normales de la regresión lineal entre las variables.
Figura 20: Representación del modelo de una vasija aplicando el ajuste
con restricción
Se presenta el resultado de aplicar el método de mínimos
cuadrados con restricción en el ajuste a la parábola sujeta a que
pase por los dos puntos donde se cambia la asignación, esta es:
yˆ = 0.1299739 x 2 − 0.7918225 x + 1.815216 , asegurando una continuidad
en el trazo de la silueta. Finalmente se aplica la transformación
para convertir en superficie de revolución, obteniendo las figuras
20 y 21.
86
Figura 21: Representación del modelo de una vasija aplicando el ajuste
con restricción
Conclusión
El planteo Etnomatemático realizado en las citadas
investigaciones, marca un mutuo interés de ciencias que si bien
parten de distintos objetos de estudios, es el ambiente de su
aplicación el que los vincula en sus desarrollos tempo espaciales,
sirviendo para conocer el perfil de la vida cultural bajo aspectos
aplicados de ciencias, que sin mencionarlas se apreciaban en las
actividades cotidianas a través del comercio, la industria y la
organización.
Podemos
afirmar
que
la
Etnomatemática
es
una
herramienta muy eficaz para el análisis de diversos temas de
distintas áreas de enseñanza e investigación relacionadas con las
ciencias exactas y naturales, así como también en las ciencias
87
humanas y sociales en general, lo importante es dar el enfoque
adecuado.
Agradecimientos
El presente artículo pretende dar difusión a trabajos
realizados oportunamente, los cuales fueron logrados gracias al
entusiasmo de, entre otros, de un gran colega y amigo como lo es
el Mgter en Historia Luis Navarro Santa Ana, a él nuestro
agradecimiento. Por otro lado un fuerte agradecimiento a los que
en esos momentos eran alumnos de la Asignatura Modelos
Matemáticos, y hoy recientes colegas, que mostraron interés en la
investigación Etnomatemática, Silvia Vanesa Romero, Natalia
Romina Olmos, Julia Dalila Cabeza, Julia Leiva, Rita Quinteros,
Eduardo
Miguel
Zárate,
Carlos
Sola
Marimón
y
Roberto
Rodríguez. Por último, el agradecimiento por el tiempo cedido
para las consultas en diversas áreas que fueron necesarias en cada
elaboración, a los artesanos Doña Carmen de Ríos, Sebastián
Castro, Profesora en Artesanía Estela Moreno de Extensión
Universitaria, al Dr. Néstor Kriscautzky.
88
Referencias
[1] Boletín del Grupo Internacional de Estudios de Etnomatemáticas. Santiago
de Cali. 2005.
[2] Wilhem, P. (1990) Etnomatemática. Ed. Fragma. España.
[3] D´Ambrosio Ubiratan (1990) Etnomatemática. Ed. Alica. Brasil.
[4] Blanco Álvarez Hilbert. Entrevista a Ubiratan D´Ambrosio. Pagina oficial
de Etnomatemática www.etnomatematica.org visitada desde octubre
2008.
[5] Perero, J. (2000) Etnomatemática. Ed. Facultad de Educación. Brasil.
[6] Bassanezi, Rodney Carlos (2002) Ensino aprendizagem com modelagem
matemática. Editorial Contexto. Brasil.
[7] Juarez Gustavo Adolfo, Navarro Santa Ana Luis, Navarro Silvia Inés
(2009): Análisis Etnomatemático de Pesas y Medidas en la Catamarca
Colonial (1683-1828). Comunicación en Educación Matemática.
Reunión Nacional de Unión Matemática Argentina. Revista en
Educación Matemática. Trabajo de Investigación, Vol. 25: versión en
línea www2.famaf.unc.edu.ar/rev_edu/ consultada desde 2009 a la
fecha.
[8] Romero Silvia Vanesa, Juarez Gustavo Adolfo, Navarro Silvia Inés (2009):
Una experiencia en Etnomatemática: Geometría del Poncho
Catamarqueño. Comunicación en Educación Matemática. Reunión
Nacional de Unión Matemática Argentina. Revista en Educación
Matemática. Trabajo de Investigación, Vol. 25: versión en línea
www2.famaf.unc.edu.ar/rev_edu/ consultada desde 2009 a la fecha.
[9] Kriscautzky, Néstor (2008): La Cultura Aguada en el Museo Adán Quiroga:
técnicas y motivos. Editorial Científica Universitaria. Catamarca.
[10]Juarez Gustavo Adolfo, Olmos Natalia Romina, Cabeza Julia Dalila,
Navarro Silvia Inés (2010): Modelo Geométrico de una Vasija de la
Cultura de la Aguada. Comunicación en Educación Matemática.
Reunión Nacional de Unión Matemática Argentina. Tandil. Provincia
de Buenos Aires.
[11] Leiva Julia, Quinteros Rita, Juarez Gustavo, Navarro Silvia, Navarro
Santa Ana Luis (2011): Etnogeometría de las decoraciones en vasijas
de Cultura de La Aguada. Comunicación en Educación Matemática.
Reunión Anual Unión Matemática Argentina. Tucumán.
[12]Sola Marimón Carlos, Rodríguez Roberto, Juarez Gustavo Adolfo (2010):
Volumen de sólidos de Revolución aplicado en Vasijas de Cultura de
89
La Aguada. II Congreso Internacional de Educación en Ciencia y
Tecnología. 4º Congreso de Educación en Ciencia y Tecnología.
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad Nacional de
Catamarca.
[13]Eduardo Miguel Zárate: Modelización Matemática de Vasija de Cultura de
La Aguada (2010). II Congreso Internacional de Educación en Ciencia
y Tecnología – 4º Congreso de Educación en Ciencia y Tecnología
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad Nacional de
Catamarca.
[14] Navarro Silvia Inés, Juarez Gustavo Adolfo (2010): Aporte al modelado
matemático en Etnomatemática: Ajuste lineal con restricción.
Comunicación en Educación Matemática. Reunión Nacional de Unión
Matemática Argentina. Tandil. Provincia de Buenos Aires.
[15] Sarquís Celia, Martínez Daniel, Sarquís Eduardo (2005): El poncho abrigo
del catamarqueño. Editorial Sarquís. Catamarca. Argentina.
90

La Investigación Etnomatemática en Catamarca

Transcripción

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