Primer Olimpiada UPA de Matemáticas Marzo 2015 olimpiada.mate

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Primer Olimpiada UPA de Matemáticas
Marzo 2015
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EJERCICIOS MODELO ETAPA ELIMINATORIA.
1. La siguiente tabla muestra los porcentajes de defunción de niños entre 1 y 4 años, a causa de tumores
malignos, durante el periodo de 1990 a 2001.
Año
% defunción
1990
2.2
1992
3.8
1994
3.8
1996
4.6
1998
4.9
2001
6.8
Calcula la rapidez con la que cambia el porcentaje de defunción por tumores malignos en 1996.
a) ' 0,275 % año
b) ' 0,257 % año
c) ' 0,247 % año
d) ' 0,267 % año
2. Calcula la derivada de la siguiente función: f (x) = ln(sen(x))
a) tan(x)
b)
1
sen(x)
c) In(cos(x))
d) cot(x)
3. Si f 0 (x) es negativa, entonces f (x) es decreciente.
Falso
Verdadero
4. Calcula la derivada de la siguiente función: f (x) =
eln(x)
x+1
a) 0
b)
1
x+1)
c)
1
(1+x)2
d) 1
5. Si la posición s de una partı́cula está dada por s = −2t, donde t está dado en segundos, entonces la
partı́cula tiene una velocidad de 2 unidades por segundo.
Falso
Verdadero
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EJERCICIOS MODELO ETAPA FINAL
1. Si f (x) = ex y g(x) = ln(x2 + 1), calcula la segunda derivada de la función f (g(x)).
2
2. La trayectoria de una partı́cula con respecto al tiempo está dada por t2 + et . ¿Cuál es la velocidad de la
partı́cula en el instante t = 1? Justifica tu respuesta.
a)
b)
4
4
4
2
c) 2(1 + e)
d) 1 + e
3. Utilizando únicamente los incrementos ∆x, calcula la derivada de la función f (x) =
√
2x − 1.
4. Si g 0 (2) = −10, entonces la pendiente de la recta tangente a la gráfica de g en x = 2 es igual a −10.
a) Cierto
b) Falso
5. Encuentra la ecuación de la lı́nea tangente a la curva cuya ecuación algebraica está dada por y = x2 −x+3,
en el punto x = 2.
BONUS EX.
Encuentra los puntos crı́ticos de la siguiente función f (x) =
valores máximo y mı́nimo de dicha función.
1 3
3x
− 52 x2 + 6x, más aún, determina los