De la doble rendija a la integral de camino de Feynman

Transcripción

Misterios de la Física Cuántica: De la doble rendija a la
integral de camino de Feynman
J. J. Ruiz-Lorenzo
Dep. Física, Universidad de Extremadura
http://www.eweb.unex.es/eweb/fisteor/juan
Badajoz, 24 de Abril de 2014
J. J. Ruiz-Lorenzo (UEx)
Misterios QP
Curiosidades de la Ciencia
Plan de la Charla
Experimentos de interferencia: la doble rendija.
Efectos cuánticos en sistemas “grandes”.
Richard P. Feynman.
Formulación de Feynman de la Mecánica Cuántica usando
integrales de camino.
Bibliografía.
Misterios QP
Sobre la Mecánica Cuántica
I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics.
(Richard Feynman)
Misterios QP
(Richard Feynman)
Very interesting theory- it makes no sense at all.
(Groucho Marx)
Misterios QP
(Richard Feynman)
Very interesting theory- it makes no sense at all.
(Groucho Marx)
A child of five would understand this. Send someone to fetch a child of
five.
(Groucho Marx)
Misterios QP
Cañón de balas
O bien la bala pasa por la rendija #1 (P1 ).
O en su defecto deberá pasar por la rendija #2 (P2 ).
Por lo tanto (sucesos excluyentes):
P12 = P1 + P2
Misterios QP
Ondas
La perturbación h, por ejemplo la altura de la ola, puede representarse
mediante:
h(r, t) = A cos(kr − ωt) ∝ Re Aei(kr−ωt)
k = 2π/λ es el número de ondas y ω = 2πν es la frecuencia angular.
Intensidad ∝ h(x, t)2 → |h|2 .
Recordar: eiθ = cos θ + i sin θ.
Si z = x + iy, entonces |z|2 = zz ∗ = x2 + y 2 .
Misterios QP
Interferencia
Misterios QP
Interferencia
Desde la fuente, pasando por la rendija #1, y llegando al detector
la onda recorre una distancia d: h1 ∝ eikd eiωt .
2 Desde la fuente, pasando por la rendija #2, y llegando al detector
la onda recorre una distancia d + δ: h2 ∝ eik(d+δ) eiωt .
Por lo tanto:
2πδ
2
ik∆
Intensidad ∝ |h1 + h2 | ∝ |1 + e | ∝ 1 + cos
λ
1
o equivalentemente
Intensidad ∝ |h1 + h2 |2 = |h1 |2 + |h2 |2 + 2|h1 ||h2 | cos(2πδ/λ)
Misterios QP
Interferencia
Misterios QP
Cañón de electrones
Misterios QP
Construcción de la Interferencia (electrones)
Misterios QP
Misterios QP
¿Podemos averiguar por dónde están pasando los electrones sin destruir
la interferencia?
Para determinar la posición con una precisión menor que la distancia
entre las dos rendijas ∆, necesitamos usar fotones con momento
p'
h
∆
Pero estos fotones destruyen la interferencia!!!
Misterios QP
Enredando la doble rendija...con gafas...
BBO: Cristal de Borato de Bario-beta. Se generan dos fotones entrelazados
(up y down).
QWP: Lámina de un cuarto de longitud de onda.
QWP1: Convierte un fotón con polarización y en uno con polarización
circular derecha (CD) y si llega uno con polarización x lo convierte en uno con
polarización circular izquierda (CI).
QWP2: x → CD, y → CI.
Misterios QP
Enredando la doble rendija...con gafas...
¿Podemos averiguar por dónde están pasando los electrones sin destruir
la interferencia?
Polarizaciones:
up
x
y
down (antes de QWPs)
y
x
down (QWP1-s1)
CD
CI
Misterios QP
down (QWP2-s2)
CI
CD
Enredando la doble rendija...con gafas
Misterios QP
Y las balas?
λ=
h
' 10−33 m
mv
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Interferencia moléculas orgánicas
Molécula: C48 H24 F51 P
Tris[4-(1H,1H,2H,2H-perfluorodecyl)phenyl]phosphine
Masa: 1600.60 AMU
Misterios QP
(a) The fullerene C60 (m=720 AMU, 60 atoms) serves as a size reference and
for calibration purposes; (b) The perfluoroalkylated nanosphere PFNS8
(C60[C12F25]8, m=5,672 AMU, 356 atoms) is a carbon cage with eight
perfluoroalkyl chains. (c) PFNS10 (C60[C12F25]10, m=6,910 AMU, 430
atoms) has ten side chains and is the most massive particle in the set. (d) A
single tetraphenylporphyrin TPP (C44H30N4, m=614 AMU, 78 atoms) (e)
TPPF84 (C84H26F84N4S4, m=2,814 AMU, 202 atoms) and (f) TPPF152
Misterios 430
QP atoms). The Curiosidades
(C168H94F152O8N4S4,
m=5,310 AMU,
scale bar de la Ciencia
Periodicidad las rendijas: 266 nm.
Anchura de la rendija: 90 nm.
Longitud de onda de de Broglie 1 pm.
Tamaño máximo de la molécula: 6 nm.
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Misterios QP
Richard Phillips Feynman
Richard Phillips Feynman
(1911-1988).
Graduado en el MIT (1939).
Doctorado en Princeton
(1941).
Proyecto Manhattan.
Premio Nobel de Física (1965).
Profesor en U. Cornell y en
CalTech.
Miembro de la comisión de
investigación del Challenger.
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Feynman Pintor
Misterios QP
Richard Phillips Feynman: Logros
Integral de caminos.
QED.
Diagramas de Feynman.
Helio Superfluido.
Computación Cuántica.
Partones.
Interacciones débiles.
Misterios QP
Nacimiento de la Mecánica Cuántica
W. Heisenberg. Mecánica
Matricial (Julio, 1925).
E. Schrödinger. Mecánica
Ondulatoria (Enero, 1926).
Principio de incertidumbre
(Marzo, 1927).
E. Schrodinger. Equivalencia
entre las dos Mecánicas (Mayo,
1926).
Misterios QP
Heisenberg
Misterios QP
Schrödinger
Misterios QP
Dirac y Feynman (Varsovia 1962)
F: I am Feynman.
D: I am Dirac. (Silence.)
F: It must be wonderful to be the
discoverer of that equation.
D: That was long time ago. (Pause.)
What are you working on?
F: Mesons.
D: Are you trying to discover an
equation for them?
F: It is very hard.
D: One must try.
Misterios QP
Notación para la amplitud de probabilidad:
hx|si ≡ hPartícula que llega a x|Partícula que sale de si
Podemos reescribir P12 en la nueva notación:
P12 = |hx|siambos |2
con (suma de las amplitudes)
hx|siambos agujeros abiertos = hx|sia través de 1 + hx|sia través de 2
Además (producto de las amplitudes)
hx|sia través de 1 = hx|1ih1|si
hx|siambos = hx|1ih1|si + hx|2ih2|si
Misterios QP
La amplitud de probabilidad se escribe como:
hx|si =
X
hx|αihα|iihi|si
i=1,2
α=a,b,c
Misterios QP
Misterios QP
hx|si =
X Z
Z
dxE
dxD hx|iihi|xD ihxD |xE ihxE |si
ic =1,2
Pero, ¿cómo se calculan las amplitudes de probabilidad?
Misterios QP
Nassau Tavern (Princeton, 1941)
The Development of the Space-Time View of Quantum
Electrodynamics.
R. P. Feynman. Nobel Lecture, December 11, 1965.
I went to a beer party in the Nassau Tavern in Princeton. There was a
gentleman, newly arrived from Europe (Herbert Jehle) who came and sat next
to me. Europeans are much more serious than we are in America because
they think that a good place to discuss intellectual matters is a beer party.
So, he sat by me and asked, "what are you doing" and so on, and I said, "I’m
drinking beer." Then I realized that he wanted to know what work I was
doing and I told him I was struggling with this problem, and I simply turned
to him and said, "listen, do you know any way of doing quantum mechanics,
starting with action - where the action integral comes into the quantum
mechanics?" "No", he said, "but Dirac has a paper in which the Lagrangian,
at least, comes into quantum mechanics. I will show it to you tomorrow."
Misterios QP
Nassau Tavern (Princeton, 1946)
Misterios QP
Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion, Band 3, Heft 1 (1933).
Misterios QP
Dirac y Feynman (Princeton 1948)
I said, “Do you know, in your book you make the relationship that the action
in classical mechanics is analogous to ei over h times the action, times the
Legrangian, is analogous to the operator carrier for an infinitesimal times
from one position to another, from one wave function to the next, really from
one position to another.” I said, “Did you know that they’re not only
analogous but they’re equal? Or rather proportional?” He said, “No, are they?
Are they proportional?” I said, “Yes.” So at least I found out that the
discovery which I had made which led me on, that I told you about, that they
were really proportional, was really a new thing. He himself hadn’t noticed
this, but I didn’t know. For all I knew, he always thought they were
proportional. See, I still had the belief that he thought they were proportional
and simply was explaining that. But anyway he said that he didn’t know they
were. He said, “Oh, are they?” That’s what he said. I said, “Yes they are.”
“That’s very interesting.” That was the end of the conversation...
Oral History Transcript — Dr. Richard Feynman
Misterios QP
Amplitudes de Probabilidad
Lagrangiano: L = T − V .
δt 1.
Dirac (1932):
hx0 , t + δt|x, ti ⇐⇒ exp (iδtL/~)
Feynman (1941):
hx0 , t + δt|x, ti =
1
exp (iδtL/~)
A
p
con A = 2πδt~/M .
Con L dado por:
M
L=
2
x0 − x
δt
2
−V
x + x0
2
h = 6.6 × 10−34 J s. ~ = h/(2π).
Misterios QP
Misterios QP
El Lagrangiano
L(x(t), ẋ(t)) = T − V
Ejemplo, el oscilador armónico:
m dx 2 k 2
− x
L=
2 dt
2
La acción (es un funcional)
Z
t2
S[x(t)] =
dtL
t1
La amplitud de probabilidad se escribe
X
i
hu, t2 |s, t1 i ∝
exp
S(camino)
~
Todos los
caminos que
conectan
u y s
Misterios QP
0
0
Z
∞
Z
∞
dxN hx0 , t0 |x1 , t1 ihx1 , t1 |x2 , t2 i · · · hxN , tN |x, ti
−∞
−∞
Z
Z ∞
dxN
i
1 ∞ dx1
···
exp
S[x]
= lim
→0 A −∞ A
~
−∞ A
Z t2
Z x(t0 )=x0
i
≡
Dx exp
dtL
~ t1
x(t)=x
hx, t|x , t i = lim
dx1 · · ·
→0
ti+1 − ti = y A =
p
2πi~/M .
Misterios QP
Misterios QP
Relación con la funciones de onda
La solución de la ecuación de Scrhrödinger nos dice:
|ψ(t2 )i = U (t2 , t1 )|ψ(t2 )i
[Si H no depende del tiempo U (t2 , t1 ) = exp (−iH(t2 − t1 )/~)]
que en la representación de posiciones se puede escribir como
hx2 |ψ(t2 )i = ψ(x2 , t2 ) = hx2 |U (t2 , t1 )|ψ(t1 )i
R
Introduciendo la identidad 1 = dx1 |x1 ihx1 |:
Z
ψ(x2 , t2 ) = dx1 G(x2 , t2 ; x1 , t1 )ψ(x1 , t2 )
con
G(x2 , t2 ; x1 , t1 ) = hx2 |U (t2 , t1 )|x1 i = hx2 , t2 |x1 , t1 i
Misterios QP
Principio de Fermat
Misterios QP
Acción Extrema
Ejemplo. Oscilador armónico (k = m = 1, ω = 1):
d2 x
+ x = 0, x(0) = 0, x(π/2) = 1
dt2
x(t) = sin t
Lagrangiano:
1
L=T −V =
2
Acción:
Z
dx
dt
2
1
− x2
2
π/2
S[x(t)] =
Ldt
0
Misterios QP
Acción Extrema
La acción calculada sobre la solución de las ecuaciones de Newton es:
S1 = S[sin t] = 0
Calculemos ahora la acción sobre la función sin2 t que satisface
x(0) = 0, x(π/2) = 1, pero NO las ecuaciones de Newton:
S2 = S[sin2 t] =
π
32
Nótese que S1 < S2 . En general se puede demostrar que la x(t), solución de
las ecuaciones de Newton, es un extremo (en general mínimo, pero también
podrí ser también máximo o punto de inflexión).
Misterios QP
Límite Clásico
hu, t2 |s, t1 i ∝
X
exp
Todos los
caminos que
conectan
u y s
Misterios QP
i
S(camino)
~
La última pizarra de Feynman
Misterios QP
Misterios QP
Bibliografía
R. P. Feynman, R. B. Leighton y M. Sands, Feynman Lectures on
Physics(Basic Books, 2011). Online en
http://www.feynmanlectures.caltech.edu/.
R. P. Feynman y A. R. Gibbs, Quantum Mechanics and Path
Integrals (Dover, 2010).
R. P. Feynman, Electrodinámica cuántica: La extraña teoría de la
luz y la materia (Alianza Editorial, 2004).
S. Gerlich et al, Quantum Interference of large organic molecules,
Nat. Commun 2.263 (2011).
S. P. Walborn et al., Double Slit quantum Eraser, Phys. Rev. A
65, 033818 (2002)
A. Galindo y P. Pascual, Mecánica Cuántica I (Eudema, 1989)
Misterios QP
Bibliografía
R. P. Feynman, ¿Está ud. de broma, Sr. Feynman? (Alianza
Editorial, 2004).
J. Mehra, The Beat of a Different Drum: Life and Science of
Richard P. Feynman (Clarendon Press, 1996)
J. Gleick, Genius: The Life and Science of Richard Feynman
(Abacus, 2004).
Otaviani y Miryk, Feynman (Comic) (Norma editorial, 2012).
Misterios QP
Diagramas de Feynman
Misterios QP

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