La creación de problemas de matemáticas en la formación de

Transcripción

CREACIÓN DE PROBLEMAS: SUS
POTENCIALIDADES EN LA
ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE
LAS MATEMÁTICAS
Uldarico Malaspina Jurado
[email protected]
IREM
Contenido
1. Introducción
2. ¿Qué entendemos por crear problemas de
matemáticas?
3. Ejemplos
4. Aprendizaje y creación de problemas
5. Creación de problemas y ampliación de
horizontes matemáticos
6. Comentarios y reflexiones finales
Uldarico Malaspina (IREM-PUCP)
Tuxtla Gutiérrez, 3-7 mayo 2015
Introducción
En nuestras experiencias docentes en la Pontificia
Universidad Católica del Perú, y en el IREM-PUCP,
orientadas por
• una metodología activa
• buscando el aprendizaje por descubrimiento
llegamos al convencimiento de la importancia de la
creación de problemas en los procesos de
enseñanza y aprendizaje (Malaspina, 2002).
Repensar y potenciar las experiencias docentes
Pasar a la investigación – Tesis de maestría
Sobre la importancia de crear
problemas. Algunas referencias
En diversos trabajos de investigadores en
educación matemática encontramos
expresiones que destacan la importancia de la
creación de problemas en los procesos de
enseñanza y aprendizaje.
• En 1989 el National Council of Teachers of
Mathematics (NCTM):
“Los estudiantes deben tener algunas
experiencias reconociendo y formulando sus
propios problemas, actividad que es el
corazón del hacer matemáticas” (p. 138).
• Bonotto (2013):
“El proceso de crear problemas representa una
de las formas de auténtica investigación
matemática, que adecuadamente implementada
en actividades de clase, tiene el potencial de
llegar más allá de las limitaciones de los
problemas verbales, por lo menos como son
típicamente tratados.
Impulsar la creación de problemas es una de las
formas de lograr el desarrollo de diferentes
potencialidades de los estudiantes y de estimular
una mayor flexibilidad mental”. (p. 53)
• Abu-Elwan (1999):
Los formadores de profesores, por lo general
reconocen que los futuros profesores
necesitan orientación en el desarrollo de la
destreza de abordar y resolver problemas.
Lo que a menudo se pasa por alto es el hecho
de que como profesores ellos deben ir más allá
del rol de sólo resolver problemas. El
profesional debe ser hábil en el
descubrimiento y en la creación correcta de
problemas que requieren soluciones. (p.1)
¿QUÉ ENTENDEMOS POR CREAR
PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS?
Problema A
• En la bodega A, venden paquetes de 6 vasitos
de yogur por S/. 8,00 y cada vasito individual a
S/. 1,50; pero en la bodega B, venden el
mismo producto en paquetes de 3 vasitos por
S/.4,00 y cada vasito individual a S/. 1,60.
¿Cuánto es el pago mínimo que puede hacerse
por la compra de n vasitos de yogur, según la
información dada? Explicitar la función
correspondiente.
Problema B
Lucía tiene una hoja cuadrada de papel ABCD, de 10
centímetros de lado como se ilustra en la figura.
B
C
10 cm
A
D
Su profesor le pide que realizando dobleces en la hoja
muestre de forma visual el 25% del área del cuadrado
original. ¿ De cuántas maneras Lucía podría hacer
dobleces para mostrar de forma visual el 25% del
cuadrado original?
QUÉ ENTENDEMOS POR CREAR
PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS
Para precisar lo que entendemos por crear
problemas, avanzamos en la posición adoptada en
Malaspina (2013a):
La creación de problemas de matemáticas es un
proceso mediante el cual se obtiene un nuevo
problema
• Por variación de un problema dado; o
• Por elaboración,
– Libre, a partir de una situación dada o configurada
– A partir de un requerimiento específico (matemático o
didáctico )
¿Qué hay en los problemas?
Cuatro elementos fundamentales que percibimos en los problemas:




Información,
Requerimiento,
Contexto y
Entorno matemático
• La información: datos cuantitativos o relacionales que se dan en el
problema.
• El requerimiento: lo que se pide que se encuentre, examine o
concluya, que puede ser cuantitativo o cualitativo, incluyendo
gráficos y demostraciones.
• El contexto: puede ser intra matemático o extra matemático.
• El entorno matemático: los conceptos matemáticos que
intervienen o pueden intervenir para resolver el problema.
Volvamos a la creación de problemas
Con los elementos dados, podemos ahora explicitar mejor lo
que entendemos por variación y elaboración de un problema:
• Variación de un problema dado: proceso según el cual se
construye un nuevo problema, modificando uno o más de
los cuatro elementos del problema dado.
Ejemplos muy interesantes de éstos son los que resultan al
modificar el requerimiento y plantear generalizaciones a
partir de un problema dado.
Puede conllevar el cambio de contexto,
de extra a intra matemático.
Volvamos a la creación de problemas
• Elaboración de un problema: proceso según el cual se
construye un nuevo problema,
– a partir de una situación (dada, o configurada por el autor)
• El contexto se origina en tal situación
• La información es obtenida por selección o modificación de la
información que se percibe en la situación;
• El requerimiento es una consecuencia de relaciones lógicas y
matemáticas establecidas o encontradas entre los elementos de
la información especificada, implícitas en el enunciado, dentro
de un cierto entorno matemático.
– A partir de un requerimiento específico (matemático o didáctico)
Creación, según el caso, de contexto e información adecuados.
Ejemplo 1 (Problema creado por variación)
Problema
dado
Problema creado, por variación del problema dado
En una planta nuclear se dispone de una torre de
enfriamiento de forma cilíndrica de radio 12 m y
altura 20π m tal como se indica en la figura. Se
desea establecer un circuito de circulación de agua
caliente por tubería desde el punto A hacia la
descarga por el punto B de modo que la trayectoria
de dicha tubería realice 2 vueltas completas sobre
la
superficie
cilíndrica
aprovechando
el
enfriamiento por transferencia de calor con el
medio ambiente empleándose el menor recorrido.
Además, la tubería estará conformada por tramos
de igual longitud unidos por bridas que a su vez
están anclados en puntos de apoyo.
Ejemplo 1
• Se pide:
a) Una ecuación paramétrica de la trayectoria del agua.
b) La longitud total de la tubería.
c) Si se establecen 14 puntos de apoyo en la trayectoria de la
tubería siendo A y B los extremos, determinar la posición del
2do y 13er puntos de anclaje (P y Q respectivamente).
d) Determinar el radio de curvatura de cada tramo para su
rolado respectivo.
Ejemplo 2 (Problema creado por elaboración,
a partir de una situación dada)
Situación:
María dispone de una lámina de cartulina en la cual está
representado un rectángulo de 27 cm de ancho y 36 cm de largo.
Problemas creados, por elaboración, ante la situación dada
1. Si el rectángulo dibujado representa el piso de un patio, en una
escala de 1/100, ¿cuáles serán las dimensiones de las losas
cuadradas más grandes que se usen sin partir, para embaldosar el
patio?
2. ¿Cuánto debo aumentar al ancho y disminuir al largo para obtener
un cuadrado del mismo perímetro que el rectángulo dibujado?
3. ¿Cuánto debo añadir al ancho y quitar al largo para obtener un
cuadrado cuya área sea la misma que la del rectángulo dibujado?
4. ¿Cuáles son las dimensiones del paralelepípedo recto (caja con
tapa) , de máximo volumen, que se puede construir haciendo
cortes y dobleces en la lámina?
Ejemplo 3 (Problemas creados por elaboración,
ante un requerimiento específico- Énfasis matemático)
Requerimiento específico:
Crear un problema que involucre el número 2014
Problemas creados, por elaboración, ante el requerimiento
1) ¿Cuántos paralelepípedos rectos distintos existen, con aristas de longitudes
enteras, cuyo volumen sea 2014 𝑐𝑚3 ?
Fue una oportunidad para usar inteligentemente la calculadora,
buscando factores primos de 1007. Fue entusiasmante encontrar los
factores primos
19 y 53
2) Se tiene n enteros positivos, donde cada uno de ellos tiene dos dígitos, si el
producto de esos números es múltiplo de 2014, determine el menor valor posible
de n.
3) Se tiene n enteros positivos, donde cada uno de ellos tiene tres dígitos, si el
producto de esos números es múltiplo de 2014, determine el menor valor posible
de n.
Ejemplo 4
(Problemas creados por elaboración,
ante un requerimiento específico- Énfasis didáctico)
Requerimiento específico
Crear problemas que ilustren una propiedad de la adición o de la
multiplicación en N.
Problemas creados, por elaboración, ante el requerimiento específico
1) El lunes Jaimito fue a la bodega a comprar 3 soles de pan por la
mañana; y por la tarde, compró 2 soles de mantequilla y 4 de café.
El martes, por indicación de su mamá, compró por la mañana 3
soles de pan y 2 soles de mantequilla; y por la tarde 4, soles de
café. ¿Es verdad que el total que Jaimito pagó el lunes es igual al
total que Jaimito pagó el martes?
2) Silvia compró 3 vasos de yogurt a 2 soles cada uno y 4 cajas de
jugo, también a 2 soles cada una. Obtén de dos maneras diferentes
el total que debe pagar Silvia.
APRENDIZAJE Y CREACIÓN DE
PROBLEMAS
Es muy importante que los docentes de matemáticas tengamos
la capacidad de crear problemas que sean más adecuados
• a los entornos sociales y regionales de nuestros alumnos,
• a sus motivaciones
• a sus dudas,
Un docente con tal capacidad puede convertir un problema
difícil de resolver
en varios problemas más sencillos
con dificultad gradual,
que finalmente conduzcan a la solución del problema inicial
y en el camino permita experiencias valiosas de aprendizaje.
PROBLEMAS
Una pregunta o una interpretación errada de un concepto
pueden ser puntos de partida para crear un problema cuya
solución contribuya a aclarar dudas y ampliar conocimientos.
Mal recuerdo del TF de la aritmética llevó a
proponer la búsqueda de “números perfectos” y
aspectos históricos, desde Euclides.
Invitar a los alumnos a formularse preguntas-problema en
torno a una situación matemática específica lleva a miradas
retrospectivas de lo estudiado y generalmente a ampliación
de conocimientos.
Preguntas sobre f, sabiendo que
3
𝑓
−3
𝑥 𝑑𝑥 = 8
PROBLEMAS
Elaborar problemas tomando aspectos de la realidad
cercana a los estudiantes, aportará a que tanto los que
crean los problemas como los que los resuelvan tengan
miradas más reflexivas de la realidad y encuentren las
matemáticas que hay en ella.
Problema sobre porcentajes
Problema sobre precios de vasitos de yogurt
Crear problemas con el número 2014
PROBLEMAS
Profesores con capacidad de crear problemas en el
aula, incentivarán a sus estudiantes a crear sus
propios problemas, que reflejarán no solo sus
habilidades matemáticas, sino inclusive
motivaciones personales y aspectos de su entorno
social.
Veamos dos problemas creados por niños de
primaria, ante el pedido de su profesora (Creación
libre)
PROBLEMAS
La creación de problemas en algunos enfoques
didácticos:
Brousseau (1986), en su teoría de situaciones didácticas,
nos dice que aprender un conocimiento es reconstruirlo
y que el objeto final del aprendizaje es que el alumno
pueda hacer funcionar el saber en situaciones en las que
el profesor no está presente.
Ciertamente, crear problemas forma parte de la
reconstrucción de conocimientos y permite ir más
allá de la resolución de los problemas entregados
por el profesor o de los contenidos en un texto.
PROBLEMAS
La creación de problemas en algunos enfoques
didácticos:
Chevallard, Bosch y Gascón (2005), en la teoría
antropológica de lo didáctico, nos dicen que enseñar y
aprender matemáticas corresponde a la actividad de
reconstruir organizaciones matemáticas para poderlas
utilizar en nuevas situaciones y bajo distintas condiciones.
En ese sentido, crear problemas forma parte de la
reconstrucción de organizaciones matemáticas, en
las que se consideran tipos de problemas y a éstos
como parte del “saber-hacer” matemático.
PROBLEMAS
La creación de problemas en algunos enfoques didácticos:
Font, Planas y Godino (2010), en el marco del enfoque
ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática, nos
dicen que el aprendizaje de las matemáticas consiste en
aprender a realizar una práctica operativa (de lectura y
producción de textos) y, sobre todo, una práctica discursiva
(de reflexión sobre la práctica operativa) que puede ser
reconocida como matemática por un interlocutor experto.
Implícitamente consideran la creación de problemas
como parte de la práctica operativa y discursiva,
La creación de problemas conlleva la producción de
textos y la reflexión sobre la práctica operativa
Dinamización del aprendizaje: solución
y creación de problemas
Una secuencia dinamizadora del aprendizaje









Planteamiento de problemas;
soluciones o aproximaciones a las soluciones de los problemas;
preguntas y respuestas (Qué pasaría si?)
conjeturas, demostración, refutación y afinamiento de conjeturas;
identificación de nuevos problemas;
creación de problemas;
soluciones o aproximaciones a las soluciones de los problemas creados;
variaciones de los problemas creados;
Comprensión, con una mirada global
de lo creado y lo resuelto,
de lo conjeturado,
de los métodos usados y
del contexto matemático.
En esta dinamización – no necesariamente lineal – juega papel muy
importante el profesor, que obviamente requiere tener competencias
matemáticas y didácticas para estimular a los alumnos en cada etapa.
Dinamización del aprendizaje
En particular, competencias en lo que se refiere a creación
de problemas, que es un aspecto en el que usualmente se
pone poco énfasis en todos los niveles educativos.
No se tiene en cuenta la estrecha relación que hay entre los
aspectos formativos de la creación de problemas y algunos
desafíos fundamentales que los ciudadanos, técnicos y
profesionales tenemos que afrontar en la vida cotidiana, como

identificar problemas,

plantear(se) las preguntas adecuadas,

seleccionar convenientemente la información,

hacer propuestas innovadoras,

buscar soluciones óptimas y replantear los problemas
(Malaspina, 2013b).
CREACIÓN DE PROBLEMAS Y AMPLIACIÓN
DE HORIZONTES MATEMÁTICOS
La creación de problemas genera una dinámica matemática
acompañada de lo didáctico, cuyas fronteras son difíciles de predecir,
pues ya sea por variación o por elaboración, surgen preguntas cuyas
respuestas pueden requerir un entorno matemático que va más allá de
lo inicialmente considerado.
Un problema creado inicialmente con un propósito, puede realmente
abrir posibilidades didácticas y matemáticas muy interesantes, más
allá de tal propósito, en las que no se pensó al momento de crearlo.
Esto es interesante en la perspectiva de
descubrir conocimientos
de hacer matemáticas
y contribuye a ampliar la visión que suele tenerse de las
matemáticas, como algo estático y acabado.
CREACIÓN DE PROBLEMAS Y AMPLIACIÓN DE HORIZONTES MATEMÁTICOS
En las experiencias didácticas realizadas en
talleres de formación de profesores, hemos
encontrado varios casos de descubrimiento de
nuevos horizontes matemáticos.
Algunos casos:
• Situación inicial 1 (En un taller con profesores de
secundaria)
• En la bodega A, venden paquetes de 6 vasitos de yogur
por S/. 8,00 y cada vasito individual a S/. 1,50; pero en
la bodega B, venden el mismo producto en paquetes
de 3 vasitos por S/.4,00 y cada vasito individual a S/.
1,60.
• Problema creado 1:
¿Cuánto es el pago mínimo que puede hacerse por la
compra de n vasitos de yogur, según la información
dada? Explicitar la función correspondiente.
Algunos casos:
En la bodega A, venden paquetes de 6 vasitos de yogur por S/. 8,00 y cada vasito individual
a S/. 1,50; pero en la bodega B, venden el mismo producto en paquetes de 3 vasitos por
S/.4,00 y cada vasito individual a S/. 1,60.
Problema creado 1: ¿Cuánto es el pago mínimo que puede hacerse por la
compra de n vasitos de yogur, según la información dada? Explicitar la
función correspondiente.
 Percibimos el paso de una situación particular a una general,
mediante el uso de una función que hay que definirla con la misma
información inicial dada.
 La idea es interesante y parece ser de fácil solución.
 Lo novedoso es que lleva a un tipo de función que no es conocida
en la educación secundaria.
4𝑘 𝑠𝑖 𝑛 = 3𝑘
4𝑘 + 1,5 𝑠𝑖 𝑛 = 3𝑘 + 1
𝑓 𝑛 =
4𝑘 + 2 × 1,5 𝑠𝑖 𝑛 = 3𝑘 + 2
f (n) = 4
𝑛
3
𝑛
3
+( −
𝑛
3
) × 3 × 1,5
Algunos casos:
Problema inicial 2 (En un taller con alumnos de profesorado
de educación inicial y primaria):
Pedro tiene una hoja rectangular de papel ABCD, de 20 cm de
largo por 12 cm de ancho, como se ilustra en la figura.
B
C
12 cm
A
20 cm
D
Pedro dobla la hoja de modo que el vértice C se ubica en el
lado AD y el lado CD se superpone sobre el lado AD. ¿Es
verdad que el área del trapecio que se visualiza es el 75% del
área del rectángulo ABCD? ¿Por qué?
Algunos casos:
Problema inicial 2 (En un taller con alumnos de profesorado de
educación inicial y primaria):
Problema creado 2:
Lucía tiene una hoja cuadrada de papel ABCD, de 10 centímetros
de lado como se ilustra en la figura.
B
C
10 cm
A
D
Su profesor le pide que realizando dobleces en la hoja muestre
de forma visual el 25% del área del cuadrado original. ¿ De
cuántas maneras Lucía podría hacer dobleces para mostrar de
forma visual el 25% del cuadrado original?
Problema creado 2:
• En su solución, la alumna mostró las tres maneras más
“naturales” de hacer los dobleces.
• Lo interesante del problema, es que presenta no solo un
reto alcanzable por niños de primaria, sino también que
suscita preguntarse si esas tres formas “naturales” de hacer
los dobleces son las únicas.
• Ante esta pregunta, al socializar el problema, las alumnas
encontraron dos formas más.
• Por otra parte, con la misma idea, buscamos formas de
hacer un solo doblez en la hoja cuadrada para mostrar dos
figuras con la misma área.
• Llegamos a encontrar que esas figuras pueden ser trapecios
y que hay muchos pares de tales trapecios. Así, tuvimos la
ocasión de evidenciar que hay problemas con infinitas
soluciones.
Problema creado 2:
• Notamos que usando para un rectángulo el criterio para
hacer el doblez en la hoja cuadrada de modo que se
encuentren trapecios congruentes, se obtiene también
infinitos pares de trapecios con la misma área
• Esto nos llevó a concluir que el problema propuesto por la
alumna también conlleva infinitas soluciones. (Infinitas
formas de hacer los dobleces)
• Ciertamente, la alumna no pensó en esta posibilidad al
crear su problema y disfrutó mucho al conocer los alcances
que tuvo su idea.
Situación inicial 3:
María dispone de una lámina de cartulina en la cual está
representado un rectángulo de 27 cm de ancho y 36 cm de largo.
Problema creado 3
¿Cuáles son las dimensiones del paralelepípedo recto (caja con
tapa) , de máximo volumen, que se puede construir haciendo
cortes y dobleces en la lámina?
Reacciones:
1. Diseñar un “desarrollo geométrico”
2. Conjeturar que la solución será el cubo con
aristas de longitud 9 cm.
36 cm
27 cm
9 cm
9 cm
9 cm
9 cm
9 cm
9 cm
Vol cubo = (𝟗𝒄𝒎)𝟑 = 𝟕𝟐𝟗 𝒄𝒎𝟑
9 cm
• Sin embargo
4 cm
4 cm
14 cm
4 cm
14 cm
19 cm
14 cm
Vol ppdo = (19cm)(14cm)(4cm) = 1064 𝒄𝒎𝟑
4 cm
19 cm
• Como 729 𝑐𝑚3 < 1064 𝑐𝑚3
¿el paralelepípedo recto de 19cm x 14cm x 4cm
será el de volumen máximo?
• Pero también se encuentra otro desarrollo:
5 cm
5 cm
13 cm
5 cm
17 cm
Volumen de este ppdo = (17cm)(13cm)(5cm)
= 1105 𝒄𝒎𝟑
13 cm
Consecuencias:
Buscar otras posibilidades
Trabajar el ensayo y error
A nivel universitario:
z
z
x
z
x
maximizar xyz
y
Sujeto a: 2z + 2x = 36
y + 2z = 27
𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0
Se obtiene que la solución óptima es con valores irracionales, pues x
es solución de la ecuación
𝒙𝟐 − 𝟏𝟓 𝒙 + 𝟐𝟕 = 𝟎
𝟑
Por ejemplo (12,91cm)(16,82cm)(5,09cm)
≈
1105,27
𝒄𝒎
Un hallazgo interesante:
4,5 cm
9 cm
9 cm
9 cm
9 cm
22,5 cm
9 cm
9 cm
22,5 cm
V = (22,5cm)(9cm)(9cm) = 1822,5 𝒄𝒎𝟑
¡Y no hay desperdicio de material!
4,5 cm
4,5 cm ¿Esta es la solución óptima?
¿Camino racional práctico para este
tipo de solución? ¿Software?
COMENTARIOS FINALES
1. Vemos que la creación de problemas – en
particular la variación de problemas dados –
está estrechamente ligada a la resolución de
problemas y que contribuye a
– ampliar el horizonte matemático de quien los crea,
– desarrollar su pensamiento matemático
– iniciarlo en la investigación y en el hacer matemáticas
pues brinda oportunidades – a alumnos y profesores –
para
• modificar creativamente la información recibida y plantear
nuevos requerimientos;
• hacer nuevos requerimientos con la misma información;
• proponer requerimientos de carácter general; y
• hacer mixturas razonadas de estos cambios.
COMENTARIOS FINALES
2. Consideramos esencial que en los cursos de
formación inicial y en los cursos de capacitación
de profesores, se incluya la creación de
problemas,
por su aporte a aprendizajes significativos
por contribuir a desarrollar competencias
matemáticas y didácticas que les permita,
a su vez,
desarrollar en sus alumnos la
capacidad de crear problemas.
Exhortaciones finales
• Ellerton (2013)
Durante demasiado tiempo, la resolución
exitosa de problemas se ha alabado como la
meta; ha llegado el momento de dar a la
creación de problemas un lugar prominente
pero natural en los planes de estudio y en las
clases de matemáticas. (pp. 100-101)
¡Decidámonos a crear problemas para y con nuestros
alumnos!
Explotemos las potencialidades didácticas y
matemáticas que tiene la creación de problemas.
Crear problemas contribuirá a que el alumno sienta que
es posible colaborar a la continua expansión de la
matemática.
Crear y resolver problemas contribuirá también a que
profesores y alumnos percibamos mejor la belleza de la
matemática y su didáctica, y a sentir que es posible
aportar a crear “obras de arte” en la matemática.
¡Muchas gracias!
Uldarico Malaspina
IREM – PUCP (Perú)
Referencias
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posing skills for prospective middle school teachers. The
International conference on Mathematical Education into the 21st
Century: Social challenges, Issues and approaches, 2, 1-8. Recuperado
de http://math.unipa.it/~grim/EAbu-elwan8
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Educational Studies in Mathematics. 83 (1), 37 – 55.
• Brousseau, G. (1986). Fundamentos y métodos de la didáctica de las
matemáticas. Universidad de Burdeos. Traducción de J. Centeno y
otros.
• Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón, J. (2005) Estudiar matemáticas: el
eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje. Perú: Horsori
• Font, V.; Planas, N. y Godino, J. D. (2010). Modelo para el análisis
didáctico en educación matemática. Infancia y Aprendizaje 33 (1), 89–
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Referencias
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Proceedings of 2nd International Conference on the Teaching of
Mathematics (at the undergraduate level) . Creta, Grecia. Recuperado
de http://www.math.uoc.gr/~ictm2/Proceedings/pap293.pdf
• Malaspina, U. (2013a). Variaciones de un problema. El caso de un
problema de R. Douady. UNION, Revista Iberoamericana de Educación
Matemática, 34, 141 – 149. Recuperado
dehttp://www.fisem.org/web/union/images/stories/34/archivo13.pdf
• Malaspina, U. (2013b). La enseñanza de las matemáticas y el estímulo
a la creatividad. UNO, Revista de Didáctica de las Matemáticas, 63, 41
– 49.
• National Council of Teachers of Mathematics (1991). Professional
standards for teaching mathematics. Reston, VA: NCTM

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