Introducción a la probabilidad

Introducción a la probabilidad
1.- Las piezas producidas por una planta industrial pueden tener tres tipos de defectos:
A, B y C. Se estima que un 10% de las piezas producidas presentan el defecto A; un 8%
el B; un 5% el C; un 2% A y B; un 0.5% A y C; un 1% B y C; y un 0.2% presentan los
tres defectos. Se elige al azar una pieza. Calcular:
a).Probabilidad de que no tenga ningún defecto.
b).Probabilidad de que tenga a lo sumo 1 defecto.
2.- Una empresa química americana analiza la posibilidad de instalar nuevas factorías
en Valladolid y en Bilbao. La probabilidad de que instale una factoría en Valladolid es
0.7, en Bilbao 0.4 y en alguna de ambas ciudades 0.8. Hallar:
a).La probabilidad de que se instalen factorías en ambas ciudades.
b).La probabilidad de que no se instale factoría en ninguna de las dos ciudades.
c). La probabilidad de que se instale factoría sólo en una de las ciudades.
3.- Un colectivo ecologista propone al Ayuntamiento tres medidas A, B y C para
favorecer la conservación del medio ambiente en la ribera del río. Las medidas A y C
son incompatibles y sólo se puede aplicar una de ellas. La probabilidad de que se adopte
la medida A es 0.3, la medida B 0.4 y la medida C 0.2, las medidas A y B
conjuntamente 0.2 y las medidas B y C conjuntamente 0.05. Calcular:
a).La probabilidad de que se adopten todas las medidas.
b).La probabilidad de que no se adopte ninguna.
c).Las probabilidades de que se adopten: sólo A; sólo B; sólo C.
d).La probabilidad de que se adopte B y no C.
e).La probabilidad de que se adopte sólo una de las medidas.
f).La probabilidad de que se adopte alguna de las medidas.
4.- Un determinado producto químico puede contener 3 productos tóxicos, A, B y C,
que son motivo de sanción por el Ministerio de Medio Ambiente. Por la experiencia, se
sabe que de cada 1000 unidades producidas aproximadamente 15 tienen el producto A,
17 el B, 21 el C, 10 el A y el B, 9 el B y el C, 7 el A y el C y 970 no contienen ninguno
de los tres productos. Un inspector elige una unidad al azar. Obtener:
a).La probabilidad de que la empresa sea sancionada.
b).La probabilidad de que sólo se encuentre el producto A.
c).La probabilidad de que se detecten A y B.
d).La probabilidad de que se detecte A y no C.
e).La probabilidad de que se detecten A y B y no C.
f).La probabilidad de que se detecte a lo sumo uno de los tres productos.
g).La probabilidad de que se detecte más de un producto.
5.- En una investigación química se requiere de la realización de un experimento que
puede llevarse a cabo en las siguientes condiciones:
a).A tres temperaturas diferentes T1, T2 y T3.
b).Utilizando cuatro catalizadores distintos C1, C2, C3 y C4
c).Utilizando dos agitadores diferentes A1 y A2.
Calcular de cuántas formas diferentes se pueden realizar el experimento en los
casos siguientes:
i).Se utiliza un catalizador y sólo uno cada vez.
ii).Se pueden utilizar simultáneamente cualquier número de catalizadores
entre 0 y 4.
6.- El sistema de seguridad de una central nuclear está formado por k subsistemas que
actúan simultáneamente. Cada subsistema puede encontrarse funcionando (F) o
averiado (A). Se considera que no se corre riesgo siempre que no estén estropeados más
de dos subsistemas. Responder:
a) ¿En cuántas situaciones diferentes se puede encontrar el sistema de seguridad?
b) ¿Cuántas de estas son de riesgo?
c) ¿Sirve la regla de Laplace en este problema?
7.- Los n tomos de una enciclopedia se disponen al azar en una estantería.
a).Calcular la probabilidad de que los tomos 1 y 2 aparezcan uno al lado de otro
en este orden.
b).Calcular la probabilidad de que los tomos 1 a p (p≤n) aparezcan uno al lado
de otro en este orden.
8.- En un estacionamiento hay doce lugares en hilera. Un hombre observó que había
ocho coches estacionados y que los cuatro lugares vacíos eran adyacentes. ¿Es
sorprendente esta colocación?
9.- Un proceso de producción consta de 7 pasos correspondientes a 7 máquinas. De
entre las piezas defectuosas se eligen al azar doce y se observa el tipo de defecto que
presenta cada una. (Se supone que no se puede dar más de un defecto en una pieza).
a).Imaginemos que las doce piezas presentan defectos de tipo 1 ó de tipo 3.
¿Sería conveniente revisar esas máquinas?
b).Imaginemos que ninguna de las doce piezas presenta defecto de tipo 4. ¿Es
por eso evidente que la máquina 4 funciona perfectamente?
10.- En una lotería de 10.000 billetes hay 100 premios acumulables. Una persona desea
comprar el número necesario de billetes para que la probabilidad de obtener al menos un
premio sea mayor que 1/2. ¿Cuántos billetes debe comprar?
11.- Un asiduo jugador del sorteo de la Lotería Primitiva había observado que en los
quince primeros sorteos no había aparecido el número 1. ¿Tenía razones fundadas para
dudar de la aleatoriedad del sorteo?
12.- Consideremos un sistema mecánico de r partículas indistinguibles. Es frecuente el
procedimiento de dividir el espacio en un número grande n de pequeñas regiones o
celdas, de manera que cada partícula esté asignada a una celda. Entre las teorías
existentes acerca del modo de colocación de diferentes tipos de partículas podemos
destacar:
a). Se toma como espacio de referencia para asignar probabilidades el de todas las
posibles colocaciones equiprobables considerando las partículas distinguibles.
b).Sólo se consideran colocaciones distinguibles y se considera que todas ellas son
equiprobables.
c).En cada celda puede haber a lo sumo una partícula, siendo todas las colocaciones
distinguibles equiprobables.
i).Describir cada uno de los modelos anteriores.
ii). Sea n = 5 y r = 3. Calcular la probabilidad de la configuración (*I-I*I*I-)
según cada una de las tres teorías anteriores.
13.- Se tienen 3 urnas diferentes A, B y C. ¿De cuántos modos se puede colocar en ellas
5 bolas idénticas?
14.- Una diana tiene dos círculos concéntricos de radios K y N, siendo K≤N.
Supongamos que al disparar es igualmente probable que el disparo incida sobre
cualquier parte del círculo grande. Calcular la probabilidad de dar en el círculo pequeño
al menos una vez de dos disparos.
15.- Un lote de 100 productos se somete a inspección. Se toman 5 al azar y si hay
alguno defectuoso se rechaza el lote. Calcular la probabilidad de que el lote sea
rechazado sabiendo que contiene el 5% de productos defectuosos.
16.- Una urna contiene A bolas blancas y B bolas negras. Se sacan R bolas. Calcular la
probabilidad de que sean todas blancas si se hacen las extracciones:
(a) con reemplazamiento;
(b) sin reemplazamiento.
17.- Encontrar las probabilidades de que entre 3 dígitos aleatorios aparezcan
exactamente 1, 2 ó 3 diferentes. Hacer lo mismo con 4 dígitos aleatorios.
18.- A la llegada de lotes de mercancías de 300 unidades se usa la siguiente regla de
inspección; se selecciona una muestra aleatoria de 10 unidades, si no hay más que un
producto defectuoso en la muestra se acepta el lote, en caso contrario se devuelve al
proveedor. Si la fracción defectuosa en el lote original es p, determinar la probabilidad
de aceptar el lote como función de p.
19.- Cierto producto radiactivo tiene una duración de vida activa (en años) que sigue la
ley dada por la función de densidad f(x)=K e-(1/1000) x para x>0.
a).Determinar K.
b).Hallar la probabilidad de que dicho producto tenga una vida superior a 1000.
c).Hallar la probabilidad de que la vida activa esté entre 100 y 500 años.
20.- El porcentaje de cierto producto obtenido en una reacción química es una cantidad
entre 55 y 60 según la densidad f(x)=K(x-55)+0.1. Hallar la probabilidad de que el
rendimiento sea superior al 57%.
21.- El número de llamadas que llegan a una centralita telefónica en un intervalo de
tiempo I sigue la ley:
p(k)=1/2k+1 para k=0,1,2,...
La centralita se satura si llegan en dicho intervalo más de 25 llamadas.
a).Hallar la probabilidad de saturación.
b).Hallar la probabilidad de que lleguen menos de 10 llamadas.
c).Hallar la probabilidad de que lleguen un número impar de llamadas.
22.- El número de partículas radiactivas emitidas por cierto cuerpo en una unidad de
tiempo se distribuye de la siguiente manera:
p (k) = (e-5 5k/k!
Para k=0, 1, 2,...
a).Hallar la probabilidad de que no se produzca ninguna emisión en una unidad
de tiempo.
b).Hallar la probabilidad de que se produzcan más de dos emisiones.
23.- Un depósito de agua tiene dos dispositivos de seguridad que impiden la llegada de
más agua cuando ésta alcanza un cierto nivel. Ambos dispositivos funcionan
independientemente, estimándose que el 1º funciona el 90% de las ocasiones y el 2º el
70% de las ocasiones. Calcular:
a).Seguridad del dispositivo en conjunto.
b).Probabilidad de que sólo funcione uno.
24.- Se lanzan tres dados. Si no hay dos con la misma cara, ¿cuál es la probabilidad de
que haya un 1? Sabiendo que en una tirada de diez dados hay al menos un 1, ¿cuál es la
probabilidad de que haya dos o más unos?
25.- Se busca a un ladrón que con probabilidad p se encuentra en un inmueble de 7
pisos, siendo igual la probabilidad de que se encuentre en cada uno de los pisos. Se ha
buscado en vano en los 6 primeros pisos. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre
en el 7º? Si designamos esta probabilidad por f (p), representar f (p) en función de p.
26.- Se lanza una moneda sucesivas veces, hasta que por primera vez aparece el mismo
resultado dos veces seguidas. Describir el espacio muestral y calcular la probabilidad de
los siguientes sucesos:
a).El experimento finaliza antes de la 6ª tirada.
b).Se necesitan para finalizar un número par de tiradas.
27.- Dos máquinas A y B fabrican la misma pieza, con una producción aceptable del
70% y 80% respectivamente. Del total de la producción el 40% corresponde a la
máquina A y el resto a la B. Se elige una pieza al azar y resulta no ser aceptable.
Calcular la probabilidad de que haya sido producida por la máquina A.
28.- Se tienen 20 dados normales y 2 cargados. La probabilidad de obtener 6 en estos
últimos es el doble que la de cualquier otra cara de los mismos dados. Se lanza un dado
al azar y sale 6. Hallar la probabilidad de que sea un dado cargado.
29.- Tres máquinas M1 ,M2 y M3 fabrican en serie piezas, siendo sus producciones
horarias 2000, 1000 y 1000, y sus fracciones defectuosas 0.05, 0.10 y 0.15. De la
producción de un día se toman dos piezas al azar y resultan ambas buenas. Calcular la
probabilidad de que ambas procedan de la misma máquina.
30.- Un alumno va a realizar un examen oral consistente en exponer uno de los 6
primeros temas de una asignatura. Para elegir el tema, el alumno propone lanzar un
dado que él mismo lleva. El profesor, sospechando que el dado pudiese estar trucado,
propone renumerar al azar los temas antes de lanzar el dado. Demostrar que de esta
forma todos los temas tienen la misma probabilidad de ser elegidos.
31.- Se lanza una moneda n veces. Sea A el suceso "salir al menos 2 cruces". Sea B el
suceso "salir 1 ó 2 caras". Demostrar que A y B son independientes cuando n = 3 pero
no cuando n = 4.
32.- Dos cazadores A y B divisan una pieza. Las probabilidades de acertarla están en la
proporción 2 a 1 favorable a A. Sabiendo que la probabilidad de que tirando los dos la
pieza sea abatida es de 5/8. Calcular:
a) P (Sea abatida por A). b) P (sea abatida por B). c) P (Sea abatida por A y B).
33.- Se juega a cara o cruz hasta obtener al menos 3 caras y al menos 3 cruces.
a).Probabilidad de que este resultado no se alcance hasta la décima jugada.
b).Probabilidad de que en la décima jugada aún no se haya alcanzado.
34.- Un dado se lanza tantas veces como sea necesario hasta sacar un 1.
a).Suponiendo que no ha salido 1 en la lª tirada, calcular la probabilidad de que
se necesiten más de tres tiradas.
b) Sabiendo que el número de tiradas es par, calcular la probabilidad de que sea
2.
35.- Una máquina produce artículos que pueden ser defectuosos con probabilidad 0.1.
Para mejorar la calidad se somete la producción a una inspección de tal manera que un
artículo defectuoso es detectado y rechazado con probabilidad 0.99 y un artículo no
defectuoso es rechazado por error con probabilidad 0.02. Determinar cuál es la calidad
final del producto, es decir, la probabilidad de que un artículo sea defectuoso después de
pasada la inspección.
36.- Un estudiante se sabe una proporción p de las preguntas de una asignatura. Se
realiza un examen tipo test donde cada pregunta cuenta con r respuestas igualmente
verosímiles cuando no se conoce la respuesta correcta. Determinar:
a).La probabilidad de acertar una pregunta cualquiera.
b).La probabilidad de que conociese la respuesta de una pregunta acertada.
37.- Un emisor E0 emite señales "punto" y "raya" en proporciones 3/7 y 4/7
respectivamente. Debido a la presencia de ruidos, cierto receptor E1 tiene probabilidad
1/16 de que un punto emitido por E0 sea recibido como raya, mientras que la
probabilidad de que una raya sea recibida como un punto es 1/12. El receptor E1 emite a
su vez las señales recibidas que son recibidas por otro receptor E2. El ruido en esta
transmisión es idéntico al de la primera. Calcular la probabilidad de que E0 haya emitido
un punto sabiendo que E2 ha recibido un punto y la probabilidad de que E0 haya emitido
una raya sabiendo que E2 ha recibido una raya.
38.- Se sabe que el 2% de las unidades que llegan a un almacén son defectuosas. Se
lleva a cabo un control sobre las piezas del almacén de forma que se obtiene un 3% de
falsos positivos y un 5% de falsos negativos en los resultados de la prueba (se entiende
por falso positivo que el control dé por buena una pieza que es defectuosa. De forma
análoga se define falso negativo).
a).Si una pieza supera el control, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuosa?.
b).Las unidades que no pasan el control se venden a una empresa pirata que
aplica un procedimiento corrector que no afecta a las unidades sin defecto y
corrige el 90% de las defectuosas. Un cliente compra una unidad procedente de
la empresa pirata, que resulta ser buena. Obtener la probabilidad de que
originariamente esa pieza fuese defectuosa.
39.- El sistema de refrigeración de un reactor consta de cuatro bombas idénticas que
funcionan independientemente, con una fiabilidad de 0.99 y con una capacidad de
bombeo de 100 l/s. Las normas de seguridad del reactor requieren que como mínimo
lleguen 300 l/s. Hallar la fiabilidad del sistema de seguridad.