mecanica de materiales 2 - Universidad Tecnológica de Bolívar

Transcripción

MECANICA DE MATERIALES 2
EXPERIMENTACÍON, MODELADO NUMERICO Y TEÓRICO
Octubre de 2014
Institución editora
Facultad de Ingeniería – Universidad Tecnológica de Bolívar
Los conceptos y opiniones de los artículos contenido de esta publicación son
responsabilidad de sus autores;
En ningún momento comprometen las orientaciones y políticas de la facultad de
Ingeniería de la Universidad Tecnológica de Bolívar.
Contacto:
Prof. Jairo F. Useche, Ph.D
Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica
Universidad tecnológica de Bolívar
Parque Industrial Vélez – Pombo, km.1
Tel/fax: +575 6535337/6619240
[email protected]
EXPERIMENTACÍON,
MODELADO NUMERICO Y TEÓRICO
Dirección Universitaria
Jaime Bernal Villegas
Rector
William Arellano Cartagena
Vicerrector Académico
Maria del Rosario Gutierrez de Piñeres
Vicerrectora Administrativa
Jorge Del Rio
Director de Investigaciones, Emprendimiento e Innovación
Facultad de Ingeniería
Jairo Useche Vivero
Decano Facultad de Ingeniería
Raul Padrón Carvajal
Secretario Académico
Edgardo Arrieta Ortiz
Director departamento de Ingeniería
Mecánica y Mecatrónica
EXPERIMENTACÍON,
MODELADO NUMERICO Y TEÓRICO
Cuerpo Editorial
Jairo Useche Vivero
Editor General
Comité Editorial
Prof. Jairo Useche, Ph. D
Universidad Tecnológica de Bolívar
Prof. Juan Pablo Casas, Ph.D., M.Sc.
Universidad de los Andes
Prof. Alejandro Marañón, Ph.D., M.Sc.
Prof. Jairo Useche, Ph. D
Prof. Jairo Cabrera, Ph.D
Prof. Edgardo Arrieta, M.Sc.
Prof. E.L. Albuquerque, Ph.D.
Prof. Renato Pavanello, Ph.D.
Prof. Paulo Sollero, Ph.D.
Prof. Alejandro Marañón, Ph.D.
Prof. Jose Rafael Toro, M. Sc.
Comité Científico
Diagramación y Diseño
Sharicar Méndez Villamizar
Erick Guerrero
CONTENIDO
A TRULY MESHLESS ELEMENT-FREE GUERIN METHOD BASED ON A NOVEL POINT IN
POLYGON ALGORITHM.
Autores: Kevin E. Patrón Hernández, Edgardo Arrieta. Universidad Tecnológica de
Bolívar.…………………………………………….……………………………………………………………….
8
ANÁLISIS DE MODELOS DE DAÑO PARA LA CARACTERIZACIÓN DE DUCTOS DE GAS Y
PETRÓLEO.
Autores: Johnny Ortiz, Henry Ávila, Arístides Távara. Universidad Nacional de
Trujillo.……………………………………………………………………………………………….……………
18
ESTUDIO DE LAS PROPIEDADES BAJO IMPACTOS A BAJA VELOCIDAD DE UN HONEYCOMB
CON ESFUERZO INTERNO.
Autores: Pablo Andrés Montoya Macías, Juan Pablo Casas Rodriguez, Universidad de los
Andes ……………………………………………………………………………………………………….
27
CONEXIÓN CON PERFORACIONES MÚLTIPLES EN MATERIALES ORTO TRÓPICOS.
Autores: Cesar Echavarría, Beatriz Echavarría. Universidad Nacional
Colombia……………..…………………………………………………………………………………..
de
35
ESTUDIOS DE LOS FENÓMENOS DE CONO DE AGUA Y GAS EN YACIMIENTOS DE PETRÓLEO.
Autores: Gustavo Gontijo, A.V. Diaz Jr., E.L. Albuquerque, E.L.F. Fortaleza. Universidad de
Brasilia.……………………………………………………………………………………………..……….
45
OBTENCIÓN DE CINTAS AMORFAS MEDIANTE LA TÉCNICA DEL MELT SPINNING VS.
SIMULACIÓN POR VOLÚMENES FINITOS: ESTUDIO COMPARATIVO.
Autores: Marcelo Barone, Soledad Gamarra, Marcelo Pagnola. Universidad de Buenos
Aires…………………………………………………………………………………………………………..
53
SIMULACIÓN DEL COMPORTAMIENTO DE HONEYCOMB DE ALUMINIO SOMETIDA A
CONDICIONES CUASI-ESTÁTICAS. Autores: Camilo Orrego, Juan Pablo Casas. Universidad de
los Andes.…………………………………………………………………………………….……………..
60
RESPUESTA ESTRUCTURAL DE PANELES TIPO SANDWICH CON NÚCLEO DE POLIURETANO
SOMETIDO A IMPACTOS DE BAJA VELOCIDAD. Autores: Jesus Aguiar, Jairo Useche.
U iversidad Te ológi a de Bolívar……………………………………………………………
68
EVALUACIÓN DEL DESEMPEÑO DE ESPUMAS POLIMÉRICAS DE CELDAS ABIERTAS RELLENAS
CON STF ANTE EVENTOS EXPLOSIVOS.
Autores: Vicent Steve Robinson, Juan Pablo Casas. Universidad de los
Andes…………………………………………………………………………………………………………..
75
MODELACIÓN DE UN MATERIAL ELASTÓMERO DE COMPORTAMIENTO NO-LINEAL
APLICADO EN UN FENÓMENO DE INTERACCIÓN FLUIDO-ESTRUCTURA (F-E).
Gustavo Suarez. Universidad Pontificia Bolivaria a………………………………………
85
ANÁLISIS DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES DE GALERÍAS EN EXPLOTACIÓN SUBTERRÁNEA
DE CARBÓN.
Sebastián Jaramillo, Galin Quitian, Oswaldo Bustamante. Universidad Nacional de
Colo ia………………………………………………………………………………………................
92
ANÁLISIS DE FATIGA POR IMPACTO DE UNIONES ADHESIVAS.
Juan Fernando Téllez, Juan Pablo Casas, Peter Alvarado. Universidad de los
Andes……………………………………………………………………………………………………………
103
REDES NEURONALES APLICADAS AL ENTRENAMIENTO DE RELACIONES CONSTITUTIVAS
LINEALES Y NO-LINEALES.
Fredy Mercado, Universidad de Buenos Aires. ……………………………………………..
114
FINITE ELEMENT ANALYSIS OF HIGH SPEED COMPOSITE CRAFT.
Hugo Alvarez. Cotecmar……………………………………………………………………………….
127
ANÁLISIS NUMÉRICO DE IMPACTO HIDRODINÁMICO USANDO UN MÉTODO DE PARTÍCULAS.
Autor: Jairo Cabrera. Universidad Tecnológica de Bolívar…………………………….
140
DYNAMIC CHARACTERIZATION OF HEXAGONAL CELL STRUCTURES.
Autores: Diego Avendaño, Edgar Marañón, Juan Pablo Casas. Universidad de los
Andes………………………………………………………………………………………………………….
153
ANÁLISIS POR DEFORMACIÓN PLANA DE PELÍCULAS DELGADAS MULTICAPAS MEDIANTE EL
MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS.
Emerson Escobar, Antonio Ramírez, Dubernoys Ramírez, Carlos Vidal. Universidad
Autó o a del O ide te…………………………………………………………………………
167
ESTUDIO EXPERIMENTAL Y NUMÉRICO DE PANELES TIPO SANDWICH CON NÚCLEOS
HONEYCOMB SOMETIDOS A IMPACTOS DE BAJA VELOCIDAD.
Luis Gar ia, Jairo Use he, U iversidad Te ológi a de Bolívar………………….
180
DEGRADACIÓN DE LAS PROPIEDADES MECÁNICAS DE COMPUESTOS LAMINADOS
FABRICADOS CON FIBRA DE VIDRIO POR INMERSIÓN SALINA.
Mary Arias Departamento de Ingeniería Mecánica Universidad Tecnológica de Bolívar,
Colombia…………………………………………………………………………………………………..
185
MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR CELDAS PARA ANÁLISIS DE LAMINADOS GRUESOS
UTILIZANDO – BEM.
Christian Harnish Departamento de Ingeniería Mecánica Universidad Tecnológica de
Bolívar, Colombia………………………………………………………………………………………
192
CREEP EN ACEROS HP MODIFICADOS.
G.
González
Universidad
Tecnológica
Nacional;
Bahía
Arge ti a…………………………………………………………………………………………….......
Blanca,
201
UNA APROXIMACIÓN PRELIMINAR AL COMPORTAMIENTO DEL MIEMBRO INFERIOR FRENTE
A CARGAS IMPULSIVAS MEDIANTE EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS.
J. calle Estudiante, Universidad de Los Andes, Bogotá Colombia…………………..
209
MÉTODO DE ENJAMBRE DE PARTÍCULAS Y EVOLUCIÓN DIFERENCIAL PARA LA
OPTIMIZACIÓN DE PANELES ESTRUCTURALES.
Guillermo E. Giraldo Grupo De Investigación En Materiales Y Estructuras GIMAT, Universidad
Tecnológica De Bolívar……………………………………………………………………………………
214
A truly meshless element-free Galerkin method based on a
novel “point in polygon” algorithm
Kevin E. Patrón , Edgardo W. Arrieta
Department of Mechanical Engineering, Universidad Tecnológica de Bolívar, Colombia
Abstract
It is proposed a truly meshless element-free Galerkin method (EFGM) based on a novel algorithm that solves the “point
in polygon” test efficiently for massive queries, and a fixed integration grid that contains a cloud of Gauss points and is
completely independent of the nodal distribution. The two-dimensional physical domain is projected onto this fixed grid
and numerical integration of the weak form is performed only over cells lying inside the domain and also over partially cut
cells. Our novel point in polygon algorithm indirectly recognizes the shape of the domain boundaries and automatically
selects the appropiate Gauss points whose contribution to the system matrices are significant. Thus, this approach turns the
usual mesh-based EFGM into a “truly meshless” one. The integration accuracy may be easily modified by handling several
parameters of this fixed grid and by recursively partitioning the partially cut cells. Numerical experiments exhibit a great
performance by the implemented scheme in different applications, from solving geometric problems up to two-dimensional
linear elasticity. The presented methodology may result very useful for movable boundary problems, such as those involving
crack growth in fracture mechanics and structural shape optimization, since it avoids any remeshing process.
Keywords:
search
1
meshless methods, element-free Galerkin method, fixed grid, point in polygon algorithm, k-nearest neighbor
Introduction
Over the last decade, a group of meshfree methods have been emerging to solve boundary value problems while
trying to alleviate several disadvantages that were becoming increasingly evident in the well developed and mature
Finite Element Method (FEM). The minimum requirement for these meshfree methods is that a predefined mesh is
not necessary for the field variable approximation. The element-free Galerkin method [1] (EFGM) belongs to this
category. Its shape functions create a “diffuse” (smooth) approximation which is not linked to integration cells or
elements, although makes use of background cells (which can be independent of the field nodes) with the purpose
of performing numerical integration of the weak form over the problem domain. Normally, the integrals over the
domain are computed using Gaussian integration over a set of background cells that overlaps the domain exactly
[2], so any typical FEM mesh is applicable under some requirements, and even the mesh vertices may be used as
field nodes.
It has been discovered that one main source of error associated with the cell-based integration scheme is precisely
that the local support domains of the EFG shape functions may not align with the background cells1 . A natural
path to more accurate integrations is the construction of integration cells which align with the shape function
support domains. Thus, discontinuities of the integrand are avoided within quadrature domains and the integration
of the weak form is considerably improved. However, when high-order Gauss quadrature is used in each cell, the
integration error was reported to be insignificant [3].
Several approaches have been proposed with the aim of avoiding the background cells completely and turning the
conventional EFGM into a very truly meshless method. For example, a nodal integration of the EFGM has been
1 In FEM, Gaussian quadrature is used in each element, and the supports of the shape functions corresponds to the cells used for
integration
1
2 A novel “point in polygon” algorithm
2
proposed, in which the integrals of the weak form are evaluated only at the nodes [4]. This nodal integration suffered
from spatial instability that resulted from underintegration of the weak form, whereby an additional stabilization
term should be included in the problem functional to achieve a reasonable rate of convergence. In [5] a strain
smoothing stabilization for nodal integration was proposed to eliminate spatial instability in nodal integration. On
the other hand, in [6] it was presented a new body integration technique that relies on a partition of unity by a set
of moving least squares shape functions, each defined on a small patch that belongs to a set of overlapping patches
covering the domain (moving least squares quadrature). Anyway, numerical quadrature was used to perform
the integrations over those patches and on their intersections with the domain (for those that were cut by the
boundary), and an algorithm for the patches-intersection test had to be used. Unfortunately, completely removing
the integration mesh makes the integration process, in general, much more difficult.
The two-dimensional meshless EFGM that we propose here relies on a fixed integration grid totally independent of
the nodal distribution, and a novel algorithm that solves the “point in polygon” test efficiently for massive queries,
together working as follows. At first, the physical domain is projected onto this fixed grid, which is a cell-based
structure that contains a cloud of Gauss points for integration purposes. In principle, this grid can be structured or
unstructured, although for sake of simplicity a fixed structured grid would be prefered 2 . Some cells are expected
to be outside the domain, while many other cells are completely inside the domain and a few cells partially cut by
the boundary domain. Numerical integration of the weak form is performed only over the two latter.
At last, a very simple integration scheme is carried out, which relies on taking into account only the contributions
(to the system matrices) from those Gauss points that lie inside the physical domain. Our new point in polygon
algorithm, based on an efficient k- nearest neighbor searching system, is able to speed up significantly this Gauss
points selection3 . Our algorithm indirectly recognizes the shape of the domain boundaries by discarding integration
points outside the physical domain. Thus, despite the presence of the fixed grid, this whole approach turns the
conventional mesh-based EFGM into a truly meshless one. Movable boundary problems, such as crack growth in
fracture mechanics and structural shape optimization, can be easily treated with this methodology thanks to its
versatility in tracking the shape of the boundary without any remeshing process.
2
A novel “point in polygon” algorithm
The “point in polygon” test consists in determining whether a given point in the plane lies inside, outside, or on
the boundary of a polygon. The simplest algorithm that solves this test in linear time O(n) is the “Ray casting
algorithm” or “even-odd algorithm”, which solves the problem by casting a ray from the test point and counting how
many edges of the polygon the ray intersects. Another typical linear algorithm is the “winding number algorithm”
or “angle summation algorithm” [7]. Several variants of this two algorithms have been proposed, as seen in [8] and
[9] . Many other more sophisticated algorithms have been presented, some of them make use of a background mesh
and wall-sharing relationships, as in [10] and [11]. In the present section we propose a new algorithm that also
solves this test efficiently and is very suitable for a great number of queries with the same polygon.
2.1
The main ideas
The underlying ideas behind this simple algorithm are mainly the so-called “orientation theorem”, and some criteria
for classifying a point as inside or outside the polygon. Finding the nearest neighbor vertex is a crucial step in the
latter idea, as will be discussed below.
2.1.1
The orientation theorem
This theorem is only applicable for strictly convex polygons, and states that, if a polygon is defined by a collection
of vertices in anticlockwise order, then a point which is inside the polygon will always lie to the left of each side
[12] . It’s easy to check wheter a point P (xp , yp ) lies to the left of a given side defined by the vertices Vi (xi , yi ) and
Vi+1 (xi+1, yi+1 ) through the signed area of the triangle Vi Vi+1 P , defined as follows
2
3
the structured grid can be created very easily with the bounding box of the domain
compared to brute-force algorithms
3
1 (xi − xp )
AT = 2 (yi − yp )
(xi+1 − xp ) (yi+1 − yp ) If AT is greater than zero, P lies to the left of the side. If AT is equal to zero, P lies on the side. If AT is less than
zero, P is to the right of the side.
P1 lies to the left of the side Vi Vi+1 , P2 is on Vi Vi+1 , and P3 is to the right of Vi Vi+1 .
Fig. 1: A polygon side
2.1.2
Criteria for classifying a point
In the present subsection the criteria for classifying a point (as inside, outside or on the boundary of a polygon) will
be presented. Let us consider a simple polygon formed by the union of line segments, each of these defined by two
vertices. Let us call a “loop” to a pair of line segments of the polygon that are joined together by a central vertex.
In the most general case in a simple polygon, there will be some “convex loops”, also there will be some “concave
loops” and some others will be “straight loops”, depending on the shape that they describe.
V3 V4 V5 is a straight loop. V8 V9 V1 is a concave loop. V6 V7 V8 is a convex loop.
Fig. 2: A simple polygon and several test points
4
Generally, a test point will always be far from some loops, but at the same time close to another loops. It should
be noted that, the fact that this point is inside or outside the polygon depends directly on certain geometric
relationships between the point and its “ nearest loop”, specifically on the relative position between the point and
its nearest loop, and on the shape of this loop (concave, convex or straight).
Let us begin to solve the problem by identifying the nearest loop to this test point. One of the ways to achieve this
is through the determination of the nearest neighbor vertex 4 , which would be the central node of the nearest loop.
Once the nearest neighbor vertex has been found, its succesor and predecessor vertices can be easily identified with
the vertex enumeration5 . Thus, these three vertices form the nearest loop.
On the other hand, it is very simple to determine whether a loop is convex, concave or straight. Assuming the
external boundary nodes are listed as mentioned above, the signed double area of the triangle formed by the vertices
Vi−1 Vi Vi+1 indicates the shape of the loop , as follows
xi−1
AP = xi
xi+1
yi−1
yi
yi+1
1
1
1
If Ap es greater than zero, the loop Vi−1 Vi Vi+1 is convex. If Ap is less than zero, the loop is concave. If Ap is equal
to zero, the loop is straight.
Fig. 3: A convex loop (left) and a concave loop (right)
Based on the orientation theorem, it is easy to check that, for a test point whose nearest loop is convex, the only
condition for this point to be inside the polygon is that it lies to the left of both sides of the nearest loop. Otherwise,
it may be out of the polygon or on its edge, depending on the values of the signed areas for each side of the loop.
This statement is perfectly valid for a point whose nearest loop is straight.
For example, in figure 2, the nearest loop for point P1 is the convex loop V1 V2 V3 . This point lies to the left of both
sides , so it’s inside the polygon. On the other hand, the nearest loop for point P3 is the convex loop V9 V1 V2 . This
point lies to the left of side V9 V1 but to the right of side V1 V2 , so it’s outside the polygon. The nearest loop for
point P2 is the straight loop V3 V4 V5 . This points lies to the left of both sides, so it’s inside the polygon. The case
where a point is on a side (or on the intersection of two sides, which means that coincides with a vertex) can be
easily treated according to the orientation theorem.
Now, for a point whose nearest loop is concave, if it lies to the left of at least one of the sides, then the point is
inside the polygon. If the point lies on at least one side, then necessarily the point is on the edge. Otherwise, the
point is out of the polygon. For example, in figure 2, the nearest loop for point P4 is the concave loop V5 V6 V7 . This
point lies to the left of side V5 V6 , so it’s inside the polygon. On the other hand, the nearest loop for point P5 is the
concave loop V8 V9 V1 . This point lies to the right of both sides, so it’s outside the polygon. By these criteria, any
point can be easily classified as inside, outside, or on the boundary of a polygon.
4
5
finding the nearest neighbor vertex will be discussed in the next subsection
vertices should be enumerated in increasing order in anticlockwise
3 A truly meshless element-free Galerkin method
2.1.3
5
Finding the nearest neighbor vertex
The simplest algorithm to find the nearest neighbor vertex consists in computing the Euclidean two-dimensional
distances from the test point to each of the polygon vertex and then selecting the minimum distance. The vertex
corresponding to this minimum distance will be the nearest neighbor vertex. This exhaustive search has the
advantage of being trivial to implement and exhibits great performance when the polygon has few number of
vertices. It uses O(n) storage and the nearest neighbor vertex search is done in linear time O(n).
Unfortunately, this naive approach is not suitable for queries on polygons formed by a great number of vertices. An
efficient data structure to perform the nearest neighbor vertex search is the k-d tree [13]. It is a space-partitioning
data structure for organizing points in a k-dimensional space. The k-d tree is a binary tree in which every node is
a k-dimensional point. With the aid of the distance bound and bounding box of each node, it is possible to quickly
prune parts of the tree that could not include the nearest neighbor A kd-tree of a set of n nodes uses O(n) storage
and can be constructed in O(n log n) time. With this data structure, the general k-nearest neighbor search can be
done in O(k log n) time.
In our meshless EFG implementation it has been included a Fortran 95 software called KDTREE2, developed by
Matthew B. Kennel [14] , and licensed under the terms of the Academic Free Software License. It’s an open source
package for neighbor searching in Euclidean space with k-d trees. This is our k-nearest neighbor nodes searching
system, useful for the point in polygon algorithm.
2.2
The algorithm
The general algorithm has two stages, a preprocessing phase and the processing phase. First, a kd tree may be
created (only once) with the polygon vertices, so the nearest neighbor vertex searching is speed up significantly.
This process is even less time-consuming when many searchings are performed with the same polygon vertices.
Secondly, it is necessary to determine (only once) the succesor and predecessor vertices for all of the polygon
vertices, which can be done in linear time. This information can be stored easily in an array with the aid of the
vertices enumeration. At this point, the preprocessing phase is finished.
For a polygon formed by v vertices, the storage is O(v) and the preprocessing time is O(v log v). The processing
phase consist in the test execution. First, given a test point, its closest loop is determined, and also its shape.
Second, and lastly, a simple conditional statement (based on the shape of the nearest loop) can quickly solve the
test. The expected query time with a polygon formed by v vertices and p test points is O(p log v). In contrast, with
a linear “point in polygon” algorithm, the expected query time is O(pv).
The inclusion of holes in the polygon requires a slight modification in the way the enumeration is carried out
over those nodes belonging to internal borders. For these nodes, the enumeration should be in increasing order in
clockwise. In this way, the previous criteria still holds and present no loss of generality.
As can be seen, the present algorithm is very suitable for performing massive queries with the same polygon.
3
A truly meshless element-free Galerkin method
In this section it is presented a general overview of the element-free Galerkin method and our proposed truly
meshless EFG scheme.
3.1
The element-free Galerkin method
The element-free Galerkin method (EFGM) is a meshfree method developed by T. Belytschko et. al. in 1994 [1],
based on the diffuse elements (DEM) method proposed by Nayroles in 1992 [15]. The main features of the EFGM
are as follows [2] :
1. A moving least square approximation [16] is employed for the construction of the approximation functions6 .
2. A Galerkin weak form is used to develop the discretized system equation.
3. Background cells for integration are required to carry out the intregrations involved in the weak form.
6
Also called shape functions
6
3.1.1
The EFG approximation scheme
The moving least square approximation uh (x) of the function u(x) is defined in the domain Ω by
uh (x) =
m
X
T
pj (x)aj (x) = p(x) a(x)
j
where m is the number of terms in the polynomial basis, p(x)is a basis functions (generally monomials) , and a(x)
is a vector of coefficients. a(x) is obtained at any point x by minimizing a weighted, discrete L2 norm as follows
J=
n
X
i
h
i2
T
w(x − xi ) p(xi ) a(x)−ui
where n is the number of points in the neighborhood of x for which the weight function w(x − xi ) 6= 0, and ui is
the nodal value of u at x = xi . The stationariy of J with respect to a(x) leads to the following
a(x) = A−1 (x)B(x)u
where A and B are the matrices defined by
A(x) =
n
X
i
T
w(x − xi )p(xi ) p(xi )
B(x) = [w(x − x1 )p(x1 ),w(x − x2 )p(x2 ), . . . , w(x − xn )p(xn )]
Hence, the resulting EFG approximation to a function u(x) and its ith shape function are respectively as follows
h
u (x) =
m
n X
X
i
pj (x)(A
−1
φi (x)ui
i
j
φi (x) =
(x)B(x))ji ui =
n
X
m
X
pj (x)(A−1 (x)B(x))ji
j
3.1.2
Background cells for integration
In the conventional EFGM it is necessary to establish a cell structure, independent of the nodal configuration, in
order to perform the integrations derived from the weak form system equation. In each cell, Gauss quadrature
is used. These non-overlapping cells are generally arranged in a regular pattern, and provide a structure for the
numerical integration. As stated by Beltyschko in [1], the number of quadrature points depends on the number
of nodes
√ in a cell: if m is the number of nodes in a cell, a nG × nG Gauss quadrature could be used, where
nG = m + 2. Liu in [17] indicates that the sufficient requirement on the total number of quadrature points nQ is
that nQ = (3 ∼ 9)n , where n is the total number of unfixed field nodes 7 , and plus, nQ should be at least 2/3 of n.
It is well known that these cells should overlay the whole domain, so any mesh8 similar to an unstructured FEM mesh
is applicable9 . In [2] the author recommends to employ the triangular background mesh generated on a triangulation
tecnique, and the mesh vertices may be used as field nodes in the problem domain. Nevertheless, structured grids
might be used, provided that the integrations are performed correctly over the real physical domain10 .
7
8
9
10
For 2D problems
It’s possible to state that background cells constitute a mesh
No connectivity is required, unlike FEM
The following images were taken from [18] and [19]
7
Fig. 4: Classification of grids
3.2
Our meshless EFG approach
The proposed meshless EFG approach relies on a simple integration scheme that makes use of our “point in polygon”
algoritm (see the previous section) and a fixed grid, which is created from the bounding box of the two-dimensional
problem domain. The cell size initially may be set according to the requirements exposed above, although the cell
density in the grid may be easily increased. The physical domain and its nodal representation is projected onto this
grid, as shown in figure 5.
Fig. 5: An example of a fixed grid in the integration scheme
3.2.1
The 2D integration scheme
In order to solve a boundary value problem, its Galerkin weak form is used to develop the discretized system
equation. The weak form involves performing integration over the physical domain and its boundaries. As the
domain is overlapping a fix grid that contains a cloud of integration points, it is necessary to bound the integration
limits to the physical domain. There will be cells completely inside the domain, other cells will be completely
outside the domain, and a few cells will be cut by the boundary curve, as shown in figure 6. Having this in mind,
the integration scheme relies on a simple idea : Gauss points outside the physical domain are left out from the
computation. The contributions to the system matrices come only from Gauss points inside the domain. The
boundary nodal representation is enough to perform the boundary integrals (by Gaussian quadrature) that are
involved in the Galerkin weak forms.
This integration scheme was discussed in detail in [20] . Evidently, an integration error was induced by cutting
the integration cells and using only those Gauss points that fall inside the domain. In [20], convergence results
8
4 Partial numerical results
were presented by computing the relative error against the grid spacing. Superlinear to quadratic convergence is
achieved in numerically integrating this cutting strategy.
Our novel point in polygon algorithm is able to solve efficiently the Gauss points selection. A kdtree is created
with the boundary nodes in order to represent the domain, which may be treated as a polygon. The Gauss point
density can be increased by reducing the cell size and by increasing the Gauss quadrature order. It is also possible
to recursively partition the partially cut cells in order to obtain more accurate results in the weak form integration.
Fig. 6: The two-dimensional integration scheme
This approach turns the usual mesh-based EFGM into a truly meshless EFGM because the novel algorithm indirectly
recognizes the shape of the domain boundaries by discarding integration points outside the physical domain. Thus,
despite the presence of the fixed grid, this whole approach turns the conventional mesh-based EFGM into a truly
meshless one. The only requeriment is a typical nodal boundary representation, as shown in figure 6, the algorithm
will do the rest of the process automatically.
4
Partial numerical results
A two-dimensional linear elasticity problem was solved with the proposed scheme. The weak form of this problem
includes a penalization term (due to the lack of Kronecker delta property of the shape functions) in order to impose
the boundary conditions. The typical cantilever beam subjected to a parabolic shear stress distribution is studied,
because it is often used for benchmarking numerical methods since its analytic solution is known.
Fig. 7: Cantilever beam
9
5 Conclusions
The parameters for this cantilever beam are the following: loading (integration of the distributed traction) P =
−1000, Young’s modulus : E = 3 × 107 , Poisson’s ratio : ν = 0.3, its height : D = 12, its length : L = 48, and a
unit thickness. A total of 7 × 25 nodes were used for the domain and boundary representation. For the numerical
integration a total of 4 × 10 cells were used. In each cell, a 4 × 4 Gaussian quadrature was used. A plane stress
problem is considered. The cinematic constrains are considered as shown in the figure 7.
The figure 8 shows the initial nodal representation employed for the problem domain. Besides, the analytical
solution (final configuration of the beam) and the numerical solution obtained by the proposed scheme. Compared
with the analytical result, it is observed that this meshless EFG approach produces very good results11 .
Fig. 8: Meshless EFG solution
5
Conclusions
A truly meshless element-free Galerkin method has been presented. A novel “point in polygon algorithm” has been
developed, which indirectly recognizes the shape of the domain boundaries and automatically selects an appropiate
number of Gauss points lying inside the physical domain, with the aim of performing numerical integration of the
weak form over the two-dimensional domain, and line integrals over the bondaries. A flexible cloud of Gauss points
is defined by a fixed grid completely independent of the nodal representation. In general, with the assistance of
this algorithm it is possible to efficiently perform numerical integrations over any domain described by a meshfree
nodal representation. The new meshless approach exhibits great performance in different applications, mainly on
solving geometric problems and boundary value problems with meshless methods. The presented methodology may
result very useful for movable boundary problems, such as those involving crack growth in fracture mechanics and
structural shape optimization, since it avoids any remeshing process. A natural path to improve the proposed
methodology would be to implement an algorithm that identifies the partially cut cells and recursively subdivides
them12 to perform more detailed and accurate integrations.
References
[1] Belytschko, T., Lu, Y.Y. and Gu, L. “Element-Free Galerkin Methods”. International Journal for Numerical
Methods in Engineering, Vol. 37, 229-256 (1994)
11
12
at least in the displacements solution
similar to the space partitioning carried out by quadtrees, which is easier than a refinement based on a triangulation algorithm
5 Conclusions
10
[2] Liu, G.R.(2010). “Meshfree Methods. Moving beyond the Finite Element Method”. (2nd. edition) . CRC Press,
Taylor and Francis Group.
[3] Dolbow, J., Belytschko, T. “Numerical Integration of the Galerkin Weak Form in Meshfree Methods”. Northwestern University. (1998)
[4] Beissel, S. and Belytschko, T. “Nodal integration of the element-free Galerkin method”. Comput. Methods
Appl. Mech. Engrg. 139 (1996)
[5] Chen, J. , Wu, C., Yoon, S., You, Y. “A stabilized conforming nodal integration for Galerkin mesh-free methods”.
International journal for numerical methods in engineering. (2001)
[6] Duflot, M. , Nguyen-Dang, H. “A truly meshless Galerkin method based on a moving least squares quadratures”.
Communications in Numerical Methods in Engineering (2000)
[7] Alciatore, D. “A winding number and point-in-polygon algorithm”. Colorado State University.
[8] Galetzka, M., Glauner, P. “A correct eved-odd algorithm for the point-in-polygon (PIP) problem for complex
polygons”. (2012)
[9] Gatilov, S. “Efficient angle-summation algorithm for point inclusion test and its robustness”. A. P. Ershov
Institute of Informatic Systems, Novosibirsk, Russia. (2012)
[10] Jin, Y. “An efficient inclusion test for a massive point distribution”. Lawrence Livermore National Laboratory,
California, USA. (2013).
[11] Zalik, B., Kolingerova, I. “A cell-based point in polygon algorithm suitable for large sets of points”. Computers
& Geosciences. (2001)
[12] Sloan, S. W. “A point in polygon program”. Advance Engineering Software, Vol. 7, No. 1. (1985)
[13] Bentley, J.L. “Multidimensional Binary Search Trees Used for Associative Searching”. Stanford University.
(1975)
[14] Kennel, M. B. “KDTREE2: Fortran 95 and C++ software to efficiently search for near neighbors in a multidimensional Euclidean space”. Institute for Nonlinear Science, UC San Diego. (2004)
[15] B. Nayroles, G. Touzot and P. Villon, “Generalizing the finite element method diffuse approximation and diffuse
elements”, Comput. Mech., 10, 307-318 (1992).
[16] Lancaster P. , Salkauskas K. “Surfaces Generated by Moving Least Squares Methods”. Mathematics of Computation, Vol. 37, No. 155. (1981)
[17] Liu, G. R. , Gu. Y. (2005). “An Introduction to Meshfree Methods and Their Programming”. Springer
[18] "Structured
Grid"
by
Shyam2791
Own
work.
Licensed
under
Creative
Commons
Attribution-Share
Alike
3.0
via
Wikimedia
Commons
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Structured_Grid.PNG#mediaviewer/File:Structured_Grid.PNG
[19] "Unstructured
grid"
by
Shyam2791
Own
work.
Licensed
under
Creative
Commons
Attribution-Share
Alike
3.0
via
Wikimedia
Commons
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Unstructured_grid.PNG#mediaviewer/File:Unstructured_grid.PNG
[20] Bobaru, Florin Ph.D. and Rachakonda, Srinivas, "E(FG)2: A NEW FIXED-GRID SHAPE OPTIMIZATION
METHOD" (2006). Faculty Publications from the Department of Engineering Mechanics. Paper 75.
MODELACIÓN DE UN MATERIAL ELASTÓMERO DE COMPORTAMIENTO NO LINEAL
APLICADO EN UN FENÓMENO DE INTERACCIÓN FLUIDO-ESTRUCTURA (F-E)
Suárez G.
Grupo de Matemáticas, Universidad Pontificia Bolivariana, Medellín, Colombia
[email protected]
Resumen: Se presenta el desarrollo matemático y computacional de un material elastómero de
comportamiento hiperelástico polinomial el cual ha sido implementado para representar la dinámica
estructural sometida a interacción fluido-estructura (F-E). Se calculó el comportamiento de la función
   (esfuerzo-deformación) para obtener los parámetros funcionales que componen el modelo
hiperelástico a elegir. La aplicabilidad del material fue ensayada en un fenómeno de interacción F-E,
donde la parte estructural se desarrolló con el material elastómero calculado. Se realizaron
simulaciones computacionales que reflejaron funcionalidad mecánica de la estructura, con valores del
desplazamiento del fluido de 1.5 m/s y una compresión estructural mayor al 40%.
Palabras claves: Modelación matemática, material elastómero, interacción fluido-estructura (F-E), Ley
fenomenológica, simulación computacional.
INTRODUCCIÓN
Entre estos materiales existentes, se destacan los materiales hiperelásticos, cuyo comportamiento no
lineal requiere calcular el comportamiento de la función    (esfuerzo-deformación) para obtener los
parámetros funcionales que componen el modelo hiperelástico a elegir [1-4]. Las leyes constitutivas de
los materiales hiperelásticos se derivan principalmente del potencial elástico de energía de deformación
y presentan un comportamiento en grandes deformaciones con efecto reversible [1-4]. Esta
recuperación es la memoria del material.
MATERIALES Y MÉTODOS
Se postula que existe cierta función W  E  de densidad de energía libre (o energía de deformación)
de componentes del tensor de deformaciones, definida como [1-4]:
ij
S ij 
W
 E ij
 2
W
 C ij
(1)
Dónde:
S = Los componentes del segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff y que actúa como potencial
de tensiones.
W = La función de la energía de deformación por unidad de volumen no deformado.
E = Los componentes del tensor de deformación Lagrangiana.
C = Los componentes del tensor de deformación de Cauchy-Green.
ij
ij
ij
En la presente investigación, las funciones esfuerzo-deformación para construir el modelo fueron
desarrolladas a partir de datos experimentales de laboratorio, las cuales se graficaron obteniendo las
funciones de regresión, de donde se obtienen parte de los parámetros, fig. 1. Se determinaron bases
de datos experimentales de investigaciones referentes a la utilización y caracterización de elastómeros
para representar fenómenos F-E [1-4]. La información requerida para el desarrollo de los cálculos se
presenta en las tablas siguientes. Se obtuvieron los datos experimentales para establecer el
comportamiento del material bajo estado uniaxial, ver tabla 1.
Tabla 1. Datos de Esfuerzo [Pa] vs. Deformación uniaxial.
Deformación
0,1338
0,2675
0,3567
0,6242
0,8917
1,1592
1,4268
2,051
2,586
3,0318
3,7898
4,3694
4,8153
5,172
5,4395
5,707
5,9299
6,0637
6,1975
6,3312
6,465
6,5541
6,6433
Esfuerzo
10691
16800
21383
29019
36656
41238
47347
61093
73311
85530
1,11E+05
1,37E+05
1,62E+05
1,89E+05
2,14E+05
2,38E+05
2,64E+05
2,90E+05
3,15E+05
3,41E+05
3,67E+05
3,93E+05
4,43E+05
Se determinó el interpolador de la forma Polinomial N u  3 , que estableció el comportamiento del
material bajo estado uniaxial, y se obtuvieron las constantes del modelo hiperelástico, parámetros que
fueron requeridos dentro de la formulación de la ley constitutiva aplicada en las simulaciones, ver fig. 1:
σ
Esfuerzo vs Deformación uni-axial
5,0E+05
4,5E+05
4,0E+05
3,5E+05
3,0E+05
2,5E+05
2,0E+05
1,5E+05
1,0E+05
5,0E+04
0,0E+00
0,00
1,00
2,00
3,00
Ecuación calculada: y =
ε
3495.6x3
4,00
-
24165x2
5,00
6,00
7,00
+ 68175x - 2707.9
-------y (Función tendencia) ------- vs σ (Función experimental)
Figura 1. Gráficos de Esfuerzo vs. Deformación uniaxial y descripción obtenida por métodos
matemáticos de regresión Polinomial.
Se obtuvieron los datos para establecer el comportamiento del material bajo estado biaxial, ver tabla 2:
Tabla 2. Datos de Esfuerzo [Pa] vs. Deformación biaxial.
Deformación
2,00E-02
6,00E-02
0,11
0,14
0,2
0,31
0,42
0,68
0,94
1,49
2,03
2,43
2,75
3,07
3,26
3,45
Esfuerzo
6470
10963
16607
18078
22918
30529
35736
45522
53637
67470
87116
1,01E+05
1,20E+05
1,39E+05
1,55E+05
1,70E+05
Se determinó el interpolador de la forma Polinomial Nu  3 , que estableció el comportamiento del
material bajo estado biaxial, y se obtuvieron las constantes del modelo hiperelástico, parámetros que
σ
Esfuerzo vs Deformación biaxial
1,8E+05
1,6E+05
1,4E+05
1,2E+05
1,0E+05
8,0E+04
6,0E+04
4,0E+04
2,0E+04
0,0E+00
0
0,5
1
1,5
2
ε
2,5
3
3,5
4
Ecuación Calculada: y = 6390.9x3 - 28777x2 + 70539x + 8476.3
Figura 2. Gráficos de Esfuerzo vs. Deformación biaxial y descripción obtenida por métodos
Se obtuvieron los datos para establecer el comportamiento del material bajo esfuerzos cortantes, ver
tabla 3:
Tabla 3. Datos de Esfuerzo [Pa] vs. Deformación cortante.
Deformación
0,1034
0,1724
0,2828
0,4276
0,8483
1,3862
2,0000
2,4897
3,0345
3,4483
3,7793
4,0621
Esfuerzo
11032
16547
23166
28958
41369
53779
66190
76670
89356
1,03E+05
1,14E+05
1,25E+05
material bajo esfuerzos cortantes, y se obtuvieron las constantes del modelo hiperelástico, parámetros
que fueron requeridos dentro de la formulación de la ley constitutiva aplicada en las simulaciones, ver
fig. 3:
Esfuerzo vs Deformación efecto cortante
1,4E+05
1,2E+05
1,0E+05
8,0E+04
σ
6,0E+04
4,0E+04
2,0E+04
0,0E+00
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
ε
3,00
3,50
4,00
4,50
-------y (Función tendencia) ------ vs σ (Función experimental)
Ecuación Calculada: y = 2315.9x3 - 14202x2 + 48328x + 8806.5
Figura 3. Gráficos de Esfuerzo vs. Deformación cortante y descripción obtenida por métodos
Se obtuvieron los datos para establecer el comportamiento del material a efecto volumétrico, ver tabla
4:
Tabla 4. Datos de Esfuerzo [Pa] vs. Deformación del efecto volumétrico.
Deformación Esfuerzo
0,8847
0,9127
0,9412
0,9703
1,59E+06
1,21E+06
8,15E+05
4,14E+05
material a efecto volumétrico, y se obtuvieron las constantes del modelo hiperelástico, parámetros que
σ
Esfuerzo vs Deformación efecto volumetrico
1,80E+06
1,60E+06
1,40E+06
1,20E+06
1,00E+06
8,00E+05
6,00E+05
4,00E+05
2,00E+05
0,00E+00
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
ε
Ecuación Calculada: y = 8E+07x3 - 2E+08x2 + 2E+08x - 5E+07
Figura 4. Gráficos de Esfuerzo vs. Deformación a efecto volumétrico y descripción obtenida por
métodos matemáticos de regresión Polinomial.
La descripción del modelo de la forma polinomial se sustenta a partir del primer y segundo invariante de
la deformación. El modelo fenomenológico se encuentra formulado mediante la densidad de energía de
deformación.
N
W 

I
c ij
1
 3
 I
i
2
 3
i  j 1
N
 
j
k 1
Donde:
 o  2  c1 0  c 0 1 
 J el
 1
2k
(2)
(3)
Y:
ko 
2
d
(4)
Con:
d 
 1  2 
 c10
 c 01 
(5)
La descripción del modelo de la forma polinomial se sustenta a partir del primer y segundo invariante de
la deformación. El modelo constitutivo fenomenológico utilizado se encuentra formulado mediante la
densidad de energía de deformación. Los elementos físicos que la componen son: W: Energía de
deformación potencial, donde µ 0: es el módulo de bulbo inicial, k: es el módulo cortante inicial o bulbo
inicial; Ī1: Primer invariante de deformación desviador; Ī2 : Segundo invariante de deformación
desviador; J: Determinante gradiente de la deformación elástica ( Fij ), c10, c01: Caracterización de las
constantes de material de los invariantes de deformación; d: Parámetro de incompresibilidad del
material; Nu: Número de constantes del material determinado por la suma de los Cij.
Los demás parámetros que conforman el modelo constitutivo se obtienen de las regresiones, por medio
de ajuste de los datos experimentales de las funciones del comportamiento del material a tensión y
compresión uniaxial, a tensión y compresión biaxial, el efecto de tensión y compresión plana, además de
la prueba de compresión volumétrica [4]. Para un modelo hiperelástico polinomial de 3o se debe realizar
el ajuste de los datos experimentales con una ecuación de 3o y determinar los coeficientes de polinomio
que harán parte de los parámetros que conforman la ecuación del modelo hiperelástico [1-3].
  d  c 0 1  c1 0 
2
 .....  c ij 
(6)
n
RESULTADOS
Las bases de datos experimentales fueron determinadas de la caracterización de elastómeros para
representar fenómenos estructurales. Los resultados evidencian velocidades apropiadas en el
desplazamiento del fluido dada la compresión de la estructura, con valores de 1.5 m/s y una
compresión estructural que entrega como resultado una eyección del fluido de 46% de su contenido
(fracción de eyección), Fig. 5 y 6.
Vol. *100% [ml3]
t [s]
Figura 5. Gráfica del volumen desplazado por la compresión estructural obteniendo una eyección del
fluido de 46% de su contenido (46 ml).
Figura 6. Reducción volumétrica de la estructura y apertura de dispositivos complementarios con
velocidades de 1.5 m/s.
Finalmente, se logró que el material representara la dinámica de una estructura con un comportamiento
funcional tanto en la compresión como en la recuperación de dicho modelo.
CONCLUSION
Se realizaron simulaciones computacionales que reflejaron funcionalidad mecánica de la estructura,
con valores del desplazamiento del fluido de 1.5 m/s y una compresión estructural mayor al 40%. Se
concluye que el modelo de comportamiento hiperelástico desarrollado con la ley fenomenológica
polinomial 3o garantizó apropiada compresión para construir diversidad de estructuras que confinen
fluidos sometidos a eyección dinámica. Se logró que el material interpretará: estabilidad y equilibrio
estructural en la interacción F-E, capacidad volumétrica y condiciones de trabajo, condición de las
fuerzas externas, estado de deformación de la estructura en la interacción, resistencia geométrica de la
estructura, cantidad de eyección del fluido, funcionalidad durante y después de la compresión.
REFERENCIAS
[1] G. Kluth, B. Després, “Discretization of hyperelasticity on unstructured mesh with a cell centered
Lagrangian scheme”, Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie, 2009,
France.
[2] G. Xiao-Yan and Moe Riyad, “On Stress Analysis For A Hyperelastic Material”, Sulzer Carbomedics
Inc. Austin, Texas, 2000, EEUU.
[3] M. Kaliske and H. Rothert, “On the finite element implementation of rubber-like materials at finite
strains”, Engineering Computations, Vol. 14, No. 2, p216-232. 1997.
[4] Z. Svecová, V. Cúth, J. Slabeycius, M. Kopecký, “Evaluating of Hyperelastic Material Behavior”,
Department of material engineering, Púchov, 2005. Slovak Republic.
Análisis de esfuerzos y deformaciones de galerías en explotación subterránea de
carbón
Oswaldo Bustamante.1 Sebastián Jaramillo. 2* Gali Quitian.3
1: Doctor en Ingeniería, Universidad Nacional de Colombia. Instituto de Minerales Cimex.
Medellín, Colombia.
2: Ingeniero de Minas y Metalurgia, Universidad Nacional de Colombia. Instituto de
Minerales Cimex. Medellín, Colombia.
3: Ingeniero Mecánico, Universidad Nacional de Colombia. Instituto de Minerales Cimex.
Medellín Colombia.
*[email protected]
Área temática: Modelado matemático y computacional
Resumen
El proyecto carbonífero El Bloque está ubicado en la vereda de Jonás del municipio de
Fredonia, departamento de Antioquia y en la actualidad se adelanta una explotación
subterránea con beneficio de los mantos de carbón por medio del método de cámaras y
pilares variación: ensanche de tambores.
Un macizo rocoso de carbón (o manto(s)), es un tipo de estructura sedimentaria que al ser
beneficiada por la minería, altera sus condiciones y/o características geomecánicas
naturales (iniciales), por lo que se hace necesario y pertinente conocer sus propiedades
mecánicas y así dimensionar el comportamiento y respuesta de excavaciones múltiples
bajo un campo de esfuerzos dinámicos. La mecánica de rocas tradicional tiene muy en
cuenta las características físicas y geológicas particulares de cada tipo de roca para así
poder dimensionar su comportamiento bajo la acción de esfuerzos y con base a la
estadística edificar sus modelos. Sin embargo, existe la posibilidad de estudiar los
fenómenos de lanzamientos de esfuerzos y de campo de deformación asumiendo el
macizo rocoso como un medio continúo, pudiendo así, por medio del uso de herramientas
y conceptos reológicos y de los elementos finitos (MEF) aproximar su comportamiento
mecánico.
En el acercamiento inicial se considera, estudia y analiza el comportamiento individual de
la galería principal de manto dos (2), sin afectaciones laterales ni lanzamiento de
esfuerzos provenientes de excavaciones vecinas; solo considerando la afectación de la
carga efectiva que soporta el techo de la excavación. En segunda instancia, se analiza un
galería vecina, bajo los mismos procedimientos y consideraciones anteriores; con el
objetivo final de comparar como es su comportamiento conjunto bajo un escenario de
lanzamiento de presiones.
Se reportan los resultados obtenidos a través de la simulación de las excavaciones por el
método de los elementos finitos trabajado con un programa comercial. La simulación fue
alimentada con las propiedades y caracteres mecánicos obtenidos del macizo a partir de
los estudios correspondientes y ensayos físico/mecánicos realizados tanto al manto de
carbón como a la roca suprayacente (techo). La adopción inicial es la de un estado plano
de esfuerzos y deformaciones con el fin de expandirlo a posteriori a modelos triaxiales.
Palabras claves: macizo rocoso, geomecánica, explotación subterránea, medio continuo,
elementos finitos.
Introducción
“Los fenómenos físicos de la naturaleza no pueden ser descritos directamente y todo
intento de hacerlo engendra un modelo. Existen dos de estos modelos de gran utilidad, el
modelo corpuscular y el modelo fenomenológico” (Concha & Barrientos, 1996)
La compleja naturaleza de los macizos rocosos y sus múltiples respuestas bajo un campo
de esfuerzos dinámico lleva también a una utilización de métodos analíticos y numéricos
muy distinta de la que se hace en otras ramas de la ciencia y las estructuras continuas.
En la mecánica de rocas el macizo rocoso no se puede elegir y esta premisa es
independiente del uso que se le valla a dar (macizo rocoso como elemento estructural,
macizo rocoso con potencialidades de ser explotado etc.), por lo cual, un modelo físico /
matemático para un macizo rocoso deberá estar adaptado a las condiciones de
incertidumbre y aleatoriedad de sus propiedades, imperfección y limitación de las
mediciones in situ, variabilidad en el tiempo de las cargas propias del macizo y el papel de
la tridimensionalidad de los diseños en los mismos.
Al introducir el concepto de medio continuo a la mecánica de rocas y aún más importante,
considerar un macizo rocoso como tal, se hace necesario remitirse a la definición clásica,
la cual establece que un medio continuo puede ser aproximado como el medio que no
pierde sus propiedades al ser infinitamente dividido. Dicha definición puede ser
interpretada bajo la concepción de la relación entre el volumen del medio y una propiedad
cualquiera del mismo (siendo dicha propiedad una función del volumen). Al analizar el
límite cuando el volumen tiende a cero, es muy probable encontrar lugares del espacio sin
contener materia. Esto se debe a la naturaleza estadística del movimiento de las
moléculas en esta región que, por ello, recibe el nombre de dominio de los efectos
moleculares. Pero a partir de un punto del volumen, la propiedad puede ser considerada
continua en el espacio. Si la escala de los fenómenos que son de nuestro interés es
estrictamente mayor que dicho punto (denominado límite del contorno) la mecánica del
medio continuo da resultados que pueden ser usados con seguridad. De esta manera
podemos extrapolar el concepto y considerar el macizo rocoso como el ensamblaje de
una serie de elementos estructurales interconectados mediante un número finito de nodos
(Monge & Ramirez, 2004).
Las rocas situadas a una cierta profundidad están sujetas a esfuerzos, resultado del peso
de los estratos suprayacentes, tensiones tectónicas residuales, etc. Cuando se realiza
una excavación subterránea, el campo de esfuerzos es alterado localmente y se produce
una redistribución de las tensiones originales que existen en el medio. Las tensiones que
originalmente actuaban en la roca extraída (porción de macizo), se redistribuyen y deben
ser soportadas por la roca que se encuentra en las proximidades de la excavación. Si la
roca, sin exceder su resistencia, puede soportar indefinidamente esta carga, no se hace
necesaria la colocación de un sostenimiento; sin embargo, en la mayoría de los casos, la
excavación tiende a cerrarse y sin la colocación de un sostenimiento adecuado llegaría a
colapsar. Cuando se considera la interacción macizo-fortificación se suele asumir para el
macizo un comportamiento elasto-plástico continuo controlado por el sostenimiento,
representado en el contorno interior de la excavación por una presión radial uniforme
(Rodriguez Garrido, 2003).
Al analizar las condiciones actuales de respuesta del macizo rocoso en el cual el proyecto
minero el Bloque adelanta labores (especialmente las evidencias en la galería principal de
manto 2) surge el interrogante de como estimar y/o proyectar el campo de deformación en
función del campo de esfuerzo activo (lanzamiento de esfuerzos) y de la interacción
macizo-fortificación debido a la respuesta que están brindando el techo y los hastiales de
la excavación.
Al considerar las condiciones iniciales en el problema que se está analizando, se debe
tener presente que el comportamiento del macizo se caracteriza principalmente por
presentar una respuesta (deformación y/o fractura) no lineal, anisotropía y
heterogeneidad. Para encontrar una respuesta al campo de desplazamientos y esfuerzos
generados por las condiciones anteriores se debe utilizar métodos numéricos que
garanticen soluciones convergentes a la real y para dicho estudio se utiliza el método de
los elementos finitos (MEF). Este tipo de método proporciona resultados con poco
esfuerzo, sin embargo, su punto más débil se encuentra en las suposiciones iniciales que
se deben realizar entorno al problema, por ejemplo, para el presente estudio se utiliza la
suposición de medio continuo. No obstante, es de considerar que cuanto más precisa sea
la conceptualización del problema, más precisa será la solución respecto a la respuesta
observada en campo. (Bobet, 2010)
El Método de elementos finitos es de por sí, uno de los más utilizados al momento de
analizar sistemas con medios continuos o cuasi-continuos, este método consiste en la
discretización de una región en una cantidad finita de pequeños elementos que se unen a
través de la intersección de nodos, el principio de análisis de este método está basado en
desplazamientos virtuales, los cuales establecen que, para un cuerpo en equilibrio, el total
de trabajo interno asociado con el campo de desplazamientos virtuales aplicados sobre el
cuerpo deben ser igual al trabajo externo virtual total.
Cuerpo del trabajo
Al analizar las condiciones geológico – estructurales del yacimiento, podemos concluir
que la estructura está compuesta por un sistema de bloques angulares altamente
perturbados, producto de la interacción de un considerable número de discontinuidades
propias del sistema de fallas de Cauca – Romeral (Cárdenas, 2009); dentro del cual se
destaca la falla inversa que cruza el área de concesión con actitud estructural N35W /
18NE.
Al estar inmersos en una estructura sedimentaria; es más que prioritario considerar las
diferentes unidades litológicas que la componen (columna estratigráfica), tal y como se
muestra a continuación:
Tabla 1. Columna estratigráfica proyecto carbonífero el Bloque en orden de profundidad
Fuente: Elaboración propia a partir de (Ramirez Álvarez, 2009)
Conociendo las condiciones físicas y estructurales del macizo y las unidades litológicas
que intervienen en la interacción macizo-distribución de cargas-fortificación (Arcillolita y
Manto 2) de la zona a estudiar, podemos realizar una aproximación a los principales
parámetros del macizo (como los son su resistencia a la compresión, resistencia a la
tracción y módulo de elasticidad) con el uso del criterio de Hoek & Brown generalizado.
Paralelamente a esto; podemos estimar los ángulos de fricción y las resistencias
cohesivas para cada unidad litológica ajustando una relación lineal media a la curva
generada por el criterio generalizado de Hoek & Brown (Hoek, Carranza-Torres, &
Kurcum, 2002):
Para el dominio estructural de la galería de transporte, que corresponde al techo de la
excavación, con una predominancia litológica de la Arcillolita (i.e litología que soporta las
cargas) el criterio de Hoek & Brown queda como se muestra a continuación:
Ilustración 1. Criterios de ruptura de Hoek & Brown y de Mohr & Coulomb ajustados
según el criterio de Hoek & Brown generalizado para la Arcillolita.
Fuente: Elaboración propia a partir del programa computacional ROCKLAB 1.032
Caracterizado por los siguientes parámetros:
Tabla 2. Parámetros mecánicos para la Arcillolita según el criterio de Hoek & Brown
Clasificación según
Hoek & Brown
Criterio de
Hoek &
Brown
Resistencia a la
compresión
simple (Mpa)
35
mb
GSI
40
mi
4
Criterio de MohrCoulomb Ajustado
0.112
Cohesión
(Mpa)
0.201
s
0.0001
Ángulo de
fricción (°)
23.02
a
0.511
Parámetros de
macizo rocoso
Resistencia a
la tensión
(Mpa)
Resistencia a
la
compresión
simple (Mpa)
Módulo de
elasticidad
(Mpa)
-0.035
0.335
446.46
Factor de
0.8
perturbación (D)
Módulo de
elasticidad
8750
(Mpa)
Fuente: elaboración propia a partir del programa computacional ROCKLAB 1.032
Para el dominio estructural de los pilares de protección de la cámara en desarrollo que
corresponde al carbón, el criterio de Hoek & Brown queda como se muestra a
continuación:
Ilustración 2. Criterios de ruptura de Hoek & Brown y de Mohr & Coulomb ajustados
según el criterio de Hoek & Brown generalizado para el carbón.
Fuente: Elaboración propia a partir del programa computacional ROCKLAB 1.032.
Tabla 3. Parámetros mecánicos para el carbón según el criterio de Hoek & Brown.
Clasificación según
Hoek & Brown
Criterio de
Hoek &
Brown
Criterio de MohrCoulomb
Ajustado
Resistencia a la
compresión
simple (Mpa)
39
mb
1.387
Cohesión
(Mpa)
0.316
GSI
40
s
0.0008
Ángulo de
fricción (°)
49.95
mi
15
a
0.511
Factor de
perturbación (D)
Módulo de
elasticidad
(Mpa)
0.2
10725
Parámetros de macizo
rocoso
Resistencia a
la tensión
(Mpa)
Resistencia a
la
compresión
simple (Mpa)
Módulo de
elasticidad
(Mpa)
-0.022
1.011
1276.12
Fuente: elaboración propia a partir del programa computacional ROCKLAB 1.032
A partir de la caracterización física / mecánica de las unidades litológicas que participan
en la interacción macizo – distribución de cargas – fortificación se entra a analizar la
geometría propuesta por el proyecto minero El Bloque en manto dos (2).
Debido a las dificultades de lanzamientos de esfuerzo y campo de deformaciones que se
han evidenciado en este sector de la mina; el proyecto minero El Bloque se vio obligado a
realizar un modificación al método; dejando pilares de material de interés (carbón) como
sostén permanente con el fin de evitar mayores dificultades a profundidad.
Ilustración 4. Geometría del método de explotación propuesto por el proyecto minero en
manto dos (2). Vista en planta.
Fuente: Elaboración propia
Partiendo de la geometría propuesta por el proyecto minero en el sector de manto dos (2)
y del conocimiento de la columna estratigráfica (responsable de la carga efectiva que
soporta la excavación); se lleva a cabo la simulación de la galería de transporte en el
programa computacional ANSYS R14.5 bajo los parámetros mecánicos hallados para la
Arcillolita (dominio estructural que soporta las cargas en la galería. Ver tabla 2) y los
siguientes parámetros geométricos: ancho del túnel: 2m; altura del túnel 2.5 m.
Ilustración 5. Modelo de desplazamientos totales en el eje “y” en el contorno de la
excavación (metros)
Fuente: elaboración propia a partir del programa computacional ANSYS R14.5
La distribución del campo de desplazamientos es congruente con el sentido de actuación
de la carga suprayacente a la bóveda del túnel; puesto que a medida que se redistribuye
el esfuerzo en el contorno de la excavación, el desplazamiento en el eje “y” va
disminuyendo hasta el punto tal de ser casi nulo en la base del túnel.
Considerando ahora el comportamiento del campo de esfuerzos en torno a la excavación
tenemos que:
Ilustración 6. Simulación de la distribución del esfuerzo efectivo sobre el contorno de la
excavación. (Newtons / m2).
Al analizar el comportamiento de los esfuerzos en la bóveda de la excavación, se obtiene
un aproximado de 1.95 Mpa en el punto donde comienza la redistribución debido a la
forma circular de la misma. Cuando se realiza el comparativo entre el esfuerzo actuante y
la resistencia a la compresión uniaxial de esta unidad litológica (0.335 Mpa) claramente se
evidencia una superioridad del esfuerzo proveniente de la capa suprayacente que soporta
la unidad; lo que intuitivamente llevaría a aproximar un escenario de falla. Sin embargo, el
esfuerzo de confinamiento al cual se encuentra la unidad litológica debido a la
profundidad de la excavación (con un valor máximo de 1.3 Mpa), le otorga energía al
sistema generando así un desplazamiento de la zona limítrofe estabilidad / falla propia de
la Arcillolita (Ver ilustración 1) configurando un escenario favorable para la galería de
transporte.
Considerando ahora la interacción de la galería de transporte con uno de los tambores
que configuran el método de explotación tenemos que el campo de desplazamientos
totales queda como se muestra a continuación:
Ilustración 7. Modelo de desplazamientos totales en “y” para la configuración galería –
tambor (metros).
Desde la perspectiva comparativa con la ilustración 5; tenemos una analogía en el
aumento de izquierda a derecha del campo de desplazamiento en la galería de transporte,
pero la interacción con el tambor, me genera una pérdida de simetría en este campo (en
el contorno de la galería), ocasionando así un efecto viga (pandeamineto hacia la mitad
del tambor) y una simetría respecto al eje central vertical del tambor, i.e una disminución
progresiva del centro hacía en los desplazamientos.
Considerando ahora el comportamiento del campo de esfuerzos en torno a la
configuración planteada tenemos que:
Ilustración 8. Simulación de la distribución de los esfuerzos en el eje “y”. (Newtons / m2).
Al realizar el análisis conjunto entre la ilustración 8 y la ilustración 2 (Criterio de ruptura de
Hoek & Brown y de Mohr & Coulomb ajustados según el criterio de Hoek & Brown
generalizado para el carbón) podemos apreciar que el esfuerzo que me genera el efecto
viga a lo largo del tambor (aproximadamente 6.8 Mpa) supera la resistencia a la
compresión simple del domino litológico del tambor (i.e manto de carbón) lo que conlleva
a configurar un escenario potencial de falla. Si se tiene en cuenta el esfuerzo de
confinamiento al cual se encuentra el tambor (con un valor máximo de 0.74 Mpa) y el
esfuerzo de confinamiento necesario para estar exactamente en la zona limítrofe
estabilidad / falla propia del carbón (0.72 Mpa) vemos que el desplazamiento hacia la
zona de estabilidad es mínimo; presentando así una alta probabilidad de falla en la zona
central del tambor.
Conclusiones




A través de esta investigación, se encuentra que existe la posibilidad de analizar
medios discontinuos y heterogéneos con el método de los elementos finitos;
(ampliamente utilizado en la simulación de medios continuos) esto a través de la
integración de un software como ANSYS 14.5R y un criterio empírico de
caracterización de macizos rocosos realizado a través del software ROCKLAB
1.032
A partir de los resultados arrojados por la ilustración 6 y las evidencias de campo;
podemos concluir que aunque el desplazamiento hacia la zona de estabilidad en la
gráfica esfuerzo principal mayor VS esfuerzo principal menor tiene una magnitud
considerable las evidencias de campo demuestra una tendencia marcada de un
desplazamiento hacia la zona de inestabilidad
Se hace necesario realizar mediciones in situ de los desplazamientos o
deformaciones de la clave y los hastiales de las galerías con el fin de poder
considerar modelos reológicos y de fluencia (sobre todo en la galería de
transporte); esto en función del dominio litológico y sus propiedades físicomecánicas (Arcillolita)
Se concluye que la interacción de galerías múltiples bajo escenarios de esfuerzos
dinámicos, genera un cambio local en el campo de deformaciones y una
redistribución del mismo hacia sectores que puedan sufrir fenómenos como el
efecto viga
Agradecimientos
Agradecimiento especial al instituto de minerales CIMEX de la Universidad Nacional de
Colombia sede Medellín por brindar el acompañamiento, conocimientos teóricos y aportar
el software licenciado para el desarrollo de este trabajo. Al proyecto carbonífero El
Bloque, por tener siempre las puertas abiertas y la buena disposición de brindar la
perspectiva desde las experiencias y dificultades que día a día tienen en la mina. Al
laboratorio de pavimentos por brindar el espacio y el personal necesario para llevar a
cabo la caracterización física de las muestras
Bibliografía
Bobet, A. (2010). NUMERICAL METHODS IN GEOMECHANICS, 35(1), 27–48.
Cárdenas, H. (2009). Perfil del suroeste antioqueño. Retrieved July 26, 2014, from
http://antioquia.gov.co/antioquiav1/organismos/planeacion/descargas/perfiles/Perfil_subregional_Suroeste.pdf
Concha, F., & Barrientos, A. (1996). Mecánica Racional Moderna.pdf. Concepción.
Hoek, E., Carranza-Torres, C., & Kurcum, B. (2002). Hoek & Brown failure criterion –
2002 Edition (pp. 267–273).
Monge, L. A., & Ramirez, P. (2004). Mecánica de Rocas : Fundamentos de la Ingeniería
de Taludes.
Ramirez Álvarez, Y. D. (2009). Diseño y evaluación de los ademes de madera, en la
empresa C.I CARMINALES en el municipio de Fredonia. Universidad Nacional de
Colombia - Sede Medellín.
Rivera Pinzón, L. K. (2004). Mejoramiento del rendimiento del sistema de transporte en la
mina el bloque de Fredonia Antioquia. Universidad Nacional de Colombia - Sede
Medellín.
Rodriguez Garrido, M. (2003). Evaluación del coeficiente de seguridad del sostenimiento
de galerías y túneles en función de su rigidez y distancia al frente en diferentes
macizos rocosos y caracterización mediante el método impacto-eco. Escuela técnica
superior de ingenieros de minas.
ANÁLISIS DE FATIGA POR IMPACTO EN UNIONES ADHESIVAS
Téllez Martínez, Juan Fernando*; Casas Rodríguez Juan Pablo+, Alvarado Prieto Peter•
*Departamento de Ingeniería Mecánica, Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia
[email protected]
+Departamento de Ingeniería Mecánica, Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia
[email protected]
•Departamento de Ingeniería, Fuerza Aérea Colombiana, Bogotá, Colombia
[email protected]
1. ResumenEste trabajo busca analizar la respuesta mecánica de uniones adhesivas de traslape
simple ante impactos repetitivos de baja velocidad y energía, generados por un dispositivo
de proyección vertical de masas, diseñado en la Universidad de los Andes. Dicho análisis
se realiza empleando materiales compuestos como sustrato, los cuales utilizan resina
epóxica como matriz y fibra de vidrio como refuerzo, y adhesivos estructurales epóxicos
para fabricar las uniones. Adicionalmente se analiza la influencia del espesor de la capa
de adhesivo en la resistencia mecánica de dichas uniones. Los resultados serán
analizados utilizando modelos de vida a fatiga y métodos de análisis óptico para estudiar
la falla.
2. Palabras claveFatiga por impacto; Impacto de baja velocidad; Uniones adhesivas; Traslape simple;
Energía de impacto; Espesor.
3. IntroducciónLas cargas dinámicas en una estructura generan esfuerzos repetidos que resultan en el
deterioro de las propiedades mecánicas de los materiales y eventualmente en la falla de
los mismos, dichos esfuerzos pueden tomar la forma de un patrón sinusoidal cuya
amplitud es constante y relativamente baja. Parámetros como el esfuerzo máximo (
),
esfuerzo mínimo (
), y el esfuerzo medio ( ) se suman a su descripción, este tipo de
fatiga puede también llamarse fatiga estándar. Sin embargo, recientemente ha crecido el
interés por analizar los efectos de impactos de baja velocidad en componentes y
estructuras, los cuales pueden ser causados por cargas vibrantes o por otro tipo de
eventos. Dicho fenómeno es denominado fatiga por impacto [1].
En la industria aeronáutica los vehículos se encuentran expuestos al fenómeno de fatiga
por impacto durante toda su vida útil en diversas situaciones, algunos ejemplos de dichas
situaciones son: La caída de herramientas durante el mantenimiento de las aeronaves,
golpes de aves, partículas, granizo u otro tipo de escombros durante el vuelo, decolaje y
aterrizaje, impactos repetitivos recibidos durante los aterrizajes, entre otras [2]. En la
industria automotriz puede presentarse en situaciones donde pequeños escombros del
camino son proyectados hacia diferentes componentes como al tanque de gasolina (o al
tanque de hidrógeno en automóviles híbridos, particularmente) [3], Sin embargo estos son
solo algunos ejemplos, de muchas otras situaciones que pueden ser perjudiciales en la
vida de operación de diferentes componentes. Uno de los principales objetivos en la
industria del transporte siempre ha sido la optimización del peso y es por esto que las
uniones adhesivas han tomado mayor importancia en los últimos tiempos. Gracias a su
menor peso, alta resistencia, reducción de concentradores de esfuerzos y capacidad de
unión de diferentes adherentes, en comparación con otro tipo de uniones no
permanentes, como remaches y tornillos, su utilización en diferentes aplicaciones ha
crecido rápidamente [4], sin embargo, se debe tener especial cuidado con su sensibilidad
y deterioro ante diversos factores ambientales [1]. Debido a este crecimiento se requiere
un mejor entendimiento de su respuesta mecánica ante esfuerzos de pelado, de corte y a
la combinación de ellos (entre otros) cuando se presentan condiciones de fatiga como los
mencionados anteriormente. Adicionalmente se tiene la necesidad de analizar la
influencia (desempeño y costo) de la capa de espesor del adhesivo en la resistencia de
las uniones bajo diferentes regímenes de carga.
Algunos autores han analizado la influencia del espesor de la capa de adhesivo en la
resistencia de diferentes tipos de uniones, por ejemplo Kinloch y Moore [5], hacen una
recopilación de diferentes estudios bajo condiciones cuasiestáticas donde se estudia
dicha influencia. En el primer estudio Kinloch y Shaw aplican principios de mecánica de la
fractura para estudiar la tenacidad a la fractura de las uniones adhesivas utilizando
configuraciones de doble viga en cantiléver, compuestas por acero de bajo carbono y
adhesivos epóxicos endurecidos. La Figura 1 muestra algunos de sus resultados, donde
se observa como las gráficas de tenacidad a la fractura vs espesor de la capa de
adhesivo llegan a un máximo y luego decaen hasta un valor de tenacidad a la fractura que
es independiente del espesor de la capa de adhesivo.
Figura 1. Tenacidad a la fractura vs espesor de capa de adhesivo [5].
La forma de la Figura 1 se puede explicar en términos de la zona plástica en la punta de
la grieta. Las tres secciones de la gráfica de tenacidad a la fractura vs espesor de capa de
adhesivo se pueden explicar de la siguiente forma:
i.
Para espesores de capa de adhesivo pequeños, la zona plástica es relativamente
grande. Es por esto que no puede desarrollarse completamente dentro del
adhesivo y por lo tanto la tenacidad a la fractura del mismo no alcanza su máximo.
Figura 2. Espesor de capa de adhesivo menor a la zona plástica [5].
ii.
Cuando la zona plástica en la punta de la grieta se puede desarrollar
completamente de forma ajustada dentro de la capa de adhesivo, la tenacidad a la
fractura del alcanzará su máximo. Por la presencia de los sustratos puede
presentarse una distorsión del campo de esfuerzos en la punta de la grieta y
achatar un poco la forma de la zona plástica convirtiéndola en una elipse. El
espesor en el cual sucede todo esto es igual a 2 veces el radio de la zona plástica.
Por esta razón el máximo de la tenacidad a la fractura obtenido excederá el valor
te tenacidad a la fractura del adhesivo bajo condiciones de deformación plana.
Figura 3. Zona plástica igual al espesor de la capa de adhesivo [5].
iii.
Una vez el espesor de la capa de adhesivo resulta relativamente mayor que el
tamaño de la zona plástica, la tenacidad a la fractura del adhesivo se vuelve
independiente del mismo y aproximadamente igual a la tenacidad a la fractura del
adhesivo bajo condiciones de deformación plana.
Figura 4. Espesor de capa de adhesivo mayor a la zona plástica [5].
Kinolch y Moore comparan el comportamiento de la tenacidad a la fractura vs el espesor
de la capa de adhesivo en diferentes configuraciones de uniones adhesivas, concluyendo
que dicho comportamiento es independiente de la geometría, debido a que el resultado es
recurrente en todas las pruebas realizadas.
Por otro lado existen algunos investigadores que han realizado estudios en el tema de
fatiga, un ejemplo de ello es el trabajo realizado por Casas-Rodríguez et al [1] [4], donde
se analiza el fenómeno de fatiga por impacto de baja velocidad en uniones de traslape
simple, utilizando materiales como aluminio, fibra de carbono y adhesivos epóxicos.
Dichos estudios presentan gráficas F-N y E-N comparando fatiga de amplitud constante
con fatiga por impacto, mostrando la gran influencia de este fenómeno en el deterioro de
las propiedades mecánicas de los diferentes materiales al reportar una disminución del
número de ciclos para falla de dos órdenes de magnitud en fatiga por impacto.
Adicionalmente se presentan gráficas comparativas de la velocidad de crecimiento de
grieta (siendo mucho mayores las velocidades de fatiga por impacto), demostrando lo
crítico que puede llegar a ser este fenómeno. En cuanto a los modos de falla, la fatiga por
impacto presenta fallas más evidentes y una superficie más irregular en comparación con
la fatiga de amplitud constante.
Finalmente otros autores [6] han integrado el estudio de la influencia de espesor de la
capa de adhesivo en condiciones dinámicas de carga, utilizando uniones de traslape
simple compuestas por sustratos de fibra de vidrio y adhesivos epóxicos. Dicha
investigación reporta una disminución de dos órdenes de magnitud en los ciclos para falla
al tener un aumento en la capa de espesor de adhesivo de 2,5 a 5 mm. Esto sigue
demostrando la importancia de continuar con el estudio de la influencia del espesor de la
capa de adhesivo bajo diferentes regímenes de carga.
4. MetodologíaLa metodología de la presente investigación está basada en la experimentación y se
complementa con modelos analíticos que permiten analizar la vida a fatiga de las uniones
adhesivas. Las uniones de traslape simple son fabricadas a partir de materiales
compuestos (resina epóxica y fibra de vidrio) y adhesivos epóxicos, empleados en la
fabricación de aeronaves de entrenamiento. Se analizarán uniones con 1, 5 y 10 mm de
espesor en la capa de adhesivo con el fin de determinar la influencia de dicho espesor en
la resistencia mecánica de la unión. Para cada uno de los espesores mencionados se
realizan pruebas cuasiestáticas (Esfuerzo vs Deformación) y de fatiga por impacto
(Energía de impacto vs Número de ciclos) con el fin de comparar la tendencia encontrada
en cada régimen.
4.1.
Materiales
 Fibra de vidrio pre-impregnada 7781-550 E-761LT. Fibras tejidas (0° - 90°).

Resina epóxica RhinoTM 1307 - LV

Endurecedor epóxico RhinoTM 3102 (30 min)

“Flocked cotton fiber” (Cotton flox). Relleno utilizado para el adhesivo (21%).
4.2.
Manufactura
Para las uniones de traslape simple se manufacturan paneles de 101.6 mm (Dirección 0°
de las fibras) * 177.8 mm. A partir de los cuales se obtienen probetas de 177.8 mm * 25.4
mm con 25.4 mm de traslape.
El proceso de manufactura de las probetas está compuesto por los siguientes
pasos:
-
Medición y corte de la fibra de vidrio según las dimensiones de los paneles.
-
-
Formación de los laminados (16 láminas por panel).
Proceso de curado: Alistamiento (Tela superficial, Bolsa de vacío, Cinta de sellado) y
Curado (Presión de vació y curva de calentamiento en el horno).
Unión de los paneles según los tres espesores establecidos (1, 5 y 10 mm). Se utiliza
dispositivo para control del espesor. El filete utilizado no incluye el espesor del
sustrato. Las uniones se curan a temperatura ambiente (20°C) durante 7 días.
Corte de los paneles curados y traslapados, utilizando chorro de agua de alta presión
para obtener las probetas finales.
Cada lámina de material tiene 0.009 pulgadas (0.2286 mm) de espesor. Se utilizan 16
láminas por panel que otorgan un espesor final que oscila entre 4 y 5 mm.
La manufactura de las probetas se lleva a cabo en el laboratorio de materiales
compuestos ubicado en el comando aéreo de mantenimiento (CAMAN) de la fuerza aérea
colombiana a una temperatura de 22°C y 55% de humedad relativa.
4.3.
Ensayos mecánicos
4.3.1. Pruebas cuasiestáticas
Las uniones adhesivas en configuración de traslape simple se prueban a tensión en la
máquina INSTRON 3367 de la Universidad de los Andes con el fin de determinar el
esfuerzo último de las mismas y así comparar el comportamiento del material sometido a
cargas cuasiestáticas y dinámicas. Esta prueba se realiza a una velocidad de 12.7
mm/min según la norma ASTM D3807.
4.3.2. Pruebas de fatiga por impacto
Se realizan pruebas de fatiga por impacto en las uniones adhesivas en configuración de
traslape simple, utilizando el dispositivo de impacto por proyección vertical de masas
(DIPVM) o “drop weight impact tester” de la Universidad de los Andes (Figura 5). Dicho
dispositivo cuenta con sensores láser para medir el desplazamiento, sensores
piezoeléctricos para medir la fuerza de impacto y una fotocelda que permite su acople con
una cámara de alta velocidad.
La máquina (DIPVM) cuenta con un martillo de 13.9 kg y una altura máxima de disparo es
de 1.25 m, lo cual genera una energía de impacto de 170 J y una velocidad de 4.95 m/s
aproximadamente [7]. Dichos parámetros pueden ser variados según la adición de
diferentes masas y la masa del impactor. Las pruebas se realizan utilizando energías
entre 0,6 y 3 J que corresponden a alturas de impacto entre 4,5 y 21 mm, y velocidades
de impacto entre 0,3 y 0.6 m/s. La adquisición de datos para su posterior análisis se lleva
a cabo con la ayuda del software LabView® sincronizado con máquina.
Figura 5. Dispositivo de impacto por proyección vertical de masa.
Resultados4.4.
Pruebas cuasiestáticas
La Figura 6 y la Figura 7 muestran los resultados obtenidos en las pruebas cuasiestáticas
de las probetas de traslape simple. Es evidente que un aumento en el espesor de la capa
de adhesivo genera una disminución considerable en la fuerza de ruptura de la unión.
Según lo explicado por [5], el espesor de la capa de adhesivo de 1 mm supera dos veces
el radio de la zona plástica en la punta de la grieta del adhesivo y por esto al aumentar
dicho espesor solo se observa una disminución en la resistencia mecánica de la unión.
Al comparar los resultados para los espesores de 1 y 5 mm, el esfuerzo cortante máximo
(τ máximo) disminuye en un 47,16%, para este último. De forma similar, existe una
disminución de 67,05% al comparar los espesores de 1 y 10 mm.
Figura 6. Comparación pruebas cuasiestáticas 1, 5 y 10 mm.
La Figura 7 muestra la disminución del esfuerzo cortante máximo (τ máximo) al aumentar
el espesor de la capa de adhesivo teniendo en cuenta el error porcentual presente en las
pruebas realizadas. La pendiente de dicha disminución es más pronunciada entre los
espesores de 1 y 5 mm, mientras que para los espesores de 5 a 10 mm se atenúa un
poco, incluso tendiendo a un posible valor asintótico que resulta ser el valor crítico de la
tenacidad a la fractura del adhesivo bajo condiciones de deformación plana. Este
comportamiento concuerda con lo reportado en [5], cuya explicación se basa en cirterios
de mecánica de la fractura.
Figura 7. Comparación resultados pruebas cuasiestáticas 1, 5 y 10 mm.
4.5.
Pruebas de fatiga por impacto
La Figura 8 muestra la onda característica de un impacto característico para una energía
de 0,62 J aproximadamente. El análisis de las pruebas de impacto se realiza graficando la
energía de impacto, que es la variable controlable (eje vertical primario), y la fuerza
máxima de impacto (representada por el pico de la onda), normalizada con respecto a la
carga cuasiestática máxima (eje vertical secundario), versus el número de impactos para
falla (fractura total de la unión adhesiva).
Figura 8. Onda de impacto.
La Figura 9 presenta los resultados obtenidos al someter a las uniones adhesivas en
configuración de traslape simple a impactos repetitivos. Para un solo impacto se puede
observar que la fuerza es mayor a la cuasiestática por el efecto visco elástico de los
polímeros. Sin embargo, se puede observar falla en las uniones adhesivas sometidas a 10
impactos aproximadamente con el 60% de la carga cuasiestática, para los espesores de 5
y 10 mm, lo cual representa claramente el fenómeno de fatiga por impacto y una
característica de daño acumulado en la unión adhesiva.
Una vez detectado el fenómeno se realiza la comparación de los diagramas E-N bajo
condiciones de fatiga por impacto para los tres espesores de capa de adhesivo. Como en
los resultados observados en las pruebas cuasiestáticas, la variación entre los espesores
de 1 y 5 mm es considerablemente mayor que la evidenciada entre los espesores de 5 y
10 mm, lo cual demuestra congruencia en el comportamiento de las uniones adhesivas
sometidas a diferentes regímenes de carga.
La constante de deterioro de la unión, que corresponde a la pendiente del diagrama E-N,
aumenta con el espesor de la capa de adhesivo. Por el contrario la energía necesaria
para la ruptura de la unión en un solo impacto disminuye (intercepto con el eje Y,
diagrama E-N). Ambas características describen una disminución en la resistencia de la
unión bajo condiciones de fatiga.
En general, para la mayoría de los niveles de energía de impacto las diferencias en el
número de impactos para los diferentes espesores de capa de adhesivo están entre 1 y 2
órdenes de magnitud, siendo el espesor de 1 mm el de mejor desempeño. Este
comportamiento concuerda con los resultados de las pruebas cuasiestáticas analizadas
previamente y demuestra lo crítico que resulta el aumento del espesor de la capa de
adhesivo después del valor óptimo, igual a dos veces el radio de la zona plástica en la
punta de la grieta.
1,6
3,5
1 mm
1,4
5 mm
2,5
1,2
10 mm
2
1,0
0,8
1,5
0,6
1
F impacto / F qstat.
Energìa de impacto (J)
3
0,4
0,5
0,2
0
1
10
100
1.000
0,0
10.000
Número de ciclos (Nf)
Figura 9. Comparación diagrama E-N 1, 5 y 10 mm.
4.6.
Análisis óptico de falla
La Figura 10 muestra las micrografías de la falla de las probetas de traslape simple
sometidas a fatiga por impacto, obtenidas utilizando un microscopio electrónico de barrido
JEOL-JSM 6490 LV. A partir de estas imágenes se puede observar una falla interlaminar
por el sustrato, debido a que la sección mostrada en la figura A muestra la ausencia de
las fibras en la matriz de resina epóxica y algunos rastros de fractura de las mismas,
mientras que la figura B muestra las fibras pegadas al adhesivo, las cuales fueron
arrancadas de la matriz, evidenciando la falla cohesiva por el sustrato mencionada
anteriormente.
Figura 10. MEB falla uniones traslape simple. A) Sustrato-falla interlaminar. B) Adhesivo-fibras sustrato.
Se encuentra el fenómeno de fatiga por impacto como identificable y repetible según lo
reportado en [1] y [4]. Además de esto el comportamiento de las uniones adhesivas es
congruente en condiciones cuasiestáticas y dinámicas, teniendo una explicación basada
en los conceptos de mecánica de la fractura para las primeras y generando las bases
para poder generar hipótesis acerca de las últimas.
5. Conclusiones Los resultados de fatiga por impacto se aproximan con una función logarítmico-lineal,
donde el eje X es el número de impactos para fractura y el eje Y corresponde a la
energía de impacto, según el modelo de vida a fatiga de Johnson (
).
 El diagrama E-Nf muestra un aumento considerable en la constante de deterioro (A) al
aumentar el espesor de la capa de adhesivo de 1 a 5 mm. Sin embargo, el aumento
de la constante es significativamente menor al variar dicho espesor de 5 a 10 mm.
 Aumentar el espesor de la capa de adhesivo en las uniones de traslape simple,
después de cierto valor, resulta sumamente nocivo para su resistencia tanto en
condiciones cuasiestáticas como de fatiga por impacto.
 En la presente investigación tanto en el régimen cuasi-estático como en fatiga por
impacto se encuentra el mismo tipo de falla, la cual se observa en el sustrato de
manera interfacial y demuestra alta resistencia en la unión adhesiva. Además de esto
la tendencia de la reducción de la resistencia al aumentar el espesor de la capa de
adhesivo es congruente en ambos regímenes.
6. AgradecimientosLos autores agradecen enormemente a la Universidad de los Andes quien brindó su
apoyo en la realización de las pruebas de laboratorio, a la Fuerza Aérea Colombiana
quien suministró los materiales y laboratorios para la fabricación de los especímenes
utilizados en la presente investigación.
7. Bibliografía-
[1] J. P. Casas Rodriguez, I. A. Ashcroft y V. V. Silberschmidt, «Delamination in
adhesively bonded CFRP joints: Standard fatigue, impact-fatigue and intermittent
impact,» Composites Science and Technology, nº 68, pp. 2401-2409, 2008.
[2] M. Meo, R. Vignjevic y G. Marengo, «The response of Honeycomb sandwich panels
under low velocity impact loading,» International Journal of Mechanical Sciences, pp.
1301-1325, 2005.
[3] K. Azouaoui, Z. Azari y G. Pluvinage, «Evaluation of impact fatigue damage in
glass/epoxy composite laminate,» International Journal of Fatigue, nº 32, pp. 443-452,
2010.
[4] J. P. Casas Rodríguez, I. A. Ashcroft y V. V. Silberschmidt, «Damage in adhesively
bonded CFRP joints: Sinusoidal and impact-fatigue,» Composites Science and
Technology, nº 68, pp. 2663-2670, 2008.
[5] A. J. Kinloch y D. R. Moore, «The influence of adhesive bond line thickness on the
toughness of adhesive joints,» The Application of Fracture Mechanics to Polymers,
Adhesives and Composites, 2004.
[6] I. Sridhar, J. H. Tang y N. Srikanth, «Static and fatigue failure analysis of adhesively
bonded thick composite single lap joints,» Composites Science and Technology,
2013.
[7] D. F. Avendaño, «Caracterización dinámica de estructura celular hexagonal,»
Universidad de los Andes, Bogotá D.C., 2013.
[8] I. Maekawa, «The influence of stress wave on the impact fracture strength of cracked
member,» International Journal of Impact Engineering, nº 32, pp. 351-357, 2005.
[9] W. M. Banks, D. H. Nash y O. S. David West, «An experimental study of damage
accumulation in balanced CFRP laminates due to repeated impact,» Composite
Structures, pp. 247-258, 2008.
[10] B. Khan, R. M. Rao y N. Venkataraman, «Low velocity impact fatigue studies on glass
epoxy composite laminates with varied material and test parameters-effect of incident
energy and fibre volume fraction,» Journal of Reinforced Plastics and Composites, nº
14, pp. 1150-1159, 1995.
Redes Neuronales aplicadas al entrenamiento de
Relaciones Constitutivas lineales y no lineales
Mercado N., Fredy.
Facultad de Ingenierı́a, Universidad de Buenos Aires,
Av. Paseo Colón 850, CABA, Buenos Aires, Argentina.
30 de julio de 2014
Resumen
de unidades o neuronas. Cada neurona está vinculada a las neuronas de las capas siguientes por medio
En este trabajo se emplean Redes Neuronales Ar- de una conexión (pesos sinápticos), la cual se caractetificiales (RNAs) con entrenamiento supervisado pa- riza por modificarse progresivamente conforme se enra aprender las relaciones constitutivas de materiales señan patrones a la red. A este proceso le llamaremos
elásticos lineales y no lineales isótropos con miras a aprendizaje. El objetivo propuesto en este trabajo es
emplearlas como sustitutos de la relaciones consti- lograr, mediante un método iterativo (Backpropagatutivas matriciales clásicas en códigos de elementos tion), la modificación de los pesos sinápticos de toda
finitos. Los datos de entrenamiento son generados de la red tras la enseñanza repetida de patrones o estaforma sintética debido a la ausencia de datos de en- dos (vectores) de deformaciones y sus correspondiensayos experimentales. Las RNAs elegidas son el Per- tes tensiones. Lo anterior con el fin de reemplazar la
ceptrón Simple y el Perceptrón Multicapa, mejorados RC clásica con una RC definida por la topologı́a de
mediante el algoritmo de Propagación del error hacia la RN y el valor que tengan sus pesos sinápticos, de
atrás (Backpropagation). Los resultados muestran un tal forma que:
aprendizaje satisfactorio del comportamiento deforσ = CRN ε
(2)
mación-tensión de los diferentes materiales estudiaDonde CRN es la RC dada por la Red Neuronal. Las
dos.
RN podrı́an ser útiles para aprender RCs de materiales con comportamientos altamente no lineales, don1. Introducción
de las tensiones (salidas de la red) están en función
de variables independientes (entradas de la red) que
Las Relaciones Constitutivas (RC) relacionan tenintroducen no linealidades en el comportamiento del
siones, energı́a libre y flujo de calor con las deformamaterial, como son la tasa de deformación y el enciones del contı́nuo y la temperatura [3]. En este tradurecimiento con la deformación para el caso de los
bajo limitaremos el alcance a la relación entre tensiometales. Se propone entonces entrenar redes a partir
nes y deformaciones dentro de un material isótropo.
de datos sintéticos que consideraremos producto de
Las RC pueden entenderse también desde el punto de
ensayos experimentales, y una vez entrenada procevista funcional:
deremos a comprobar la calidad de la relación consσ = Cε
(1)
titutiva encontrada y a tratar de validarla para un
Donde σ es un vector que almacena las componen- conjunto de datos de entrada diferentes a los datos
tes que definen el estado de tensiones, C es la RC de entrenamiento, es decir, desconocidos para la red.
matricial clásica de 6 x 6 componentes y ε el vector
En la primera parte del artı́culo se presentará un
que almacena las componentes que definen el estado resumen de la teorı́a del Perceptrón con Backpropade deformaciones. Los dos estados descritos y la RC gation. Luego, se tratará la temática de las RC y se
están definidos para un punto de un material.
introducirán el modelo elástico lineal 3D y el modelo
La Red Neuronal Artificial (RNA) que será em- elástico lineal 2D para deformación plana, para luego
pleada es el Perceptrón, el cual está formado por ca- mencionar detalles sobre el pre y post-procesamiento
pas, y donde cada capa posee determinado número de los datos de entrenamiento, el criterio de conver1
2
3 RELACIONES CONSTITUTIVAS
gencia y la topologı́as de la red. Por último se mostrarán tres aplicaciones del Perceptrón con Backpropagation a dos problemas lineales y uno no lineal (RC
elasto-plástica).
g(h) = tanh βh
(7)
para rango − 1 ≤ g(h) ≤ 1
Su derivada es
2.
Perceptrón Multicapa con
Backpropagation
El perceptrón es una Red Neuronal de aprendizaje
supervisado que transforma una entrada en una salida. Una topologı́a ilustrativa de un perceptrón multicapa puede ser observada en la Figura 1. El funciona-
g ′ (h) = β(1 − g 2 ) = β(1 − (tanh βh)2 )
El parámetro β a menudo es 1 [8].
2.2.
Backpropagation
Consiste en corregir los pesos wij para cada capa a
partir del error entre la salida deseada y la salida actual de la red para un patrón determinado. Los pasos
para realizar las correcciones son bastante conocidos
y se pueden hallar en la referencia [8].
El algoritmo de Backpropagation se aplica para
cada patrón presentado a la red hasta presentar
todos los patrones. A cada presentación de todos
los patrones se le llama un “epoch”. El aprendizaje
se extenderá por tantos “epoch” como sea necesario
hasta que se cumpla el criterio de convergencia o
bien hasta un número de “epochs” determinado por
el usuario de la red. Para todos los pesos de la red el
algoritmo es:
Figura 1: Red Neuronal Feed-Forward de 2 capas. Topara EPOCH=1 hasta MAXEPOCH
mada de [8].
para PATRON=1 hasta NPATRONES
∆Wij = ∆Wij + ηδi Vj
miento del Perceptrón, capa por capa, es como sigue:
fin
dado un patrón µ, la unidad escondida j recibe una
Wij = Wij + ∆Wij
entrada neta ξkµ
fin
X
hµj =
wjk ξkµ
(3)
k
3.
Relaciones constitutivas
la cual produce la salida
Vjµ = g(hµj )
La unidad de salida i recibe la entrada Vjµ
X
Wij Vjµ
hµi =
(4)
(5)
3.1.
Modelo general - 3D
El modelo clásico de la relación constitutiva lineal
entre tensiones y deformaciones para el caso más general (3D) está dado por la ecuación 8:
j
que produce la salida final
Oiµ = g(hµi )
2.1.
(6)
Función de activación
Para la función de activación g(h) normalmente se
utiliza una función sigmoidea. Esta función debe ser
diferenciable y lo normal es desear que se sature en
ambos extremos [8]. La función empleada para el caso
de estudio no lineal es:

1

σ
 ν
 11 

 
1 − ν
σ22 
 ν
 

 
1 − ν
σ33 
  = A

 
 0
 τ12 

 

 

 τ23 
 0
 


τ13
0


ν
1−ν
1
ν
1−ν
0
ν
1−ν
ν
1−ν
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1 − 2ν
2(1 − ν)
0
0
0
0
1 − 2ν
2(1 − ν)
0
0

 
 ε
  11 

0


ε22 




0
 ε 
  33 
 
 γ 
0
  12 
 
 γ 
0
  23 


1 − 2ν  γ13
2(1 − ν)
(8)
A=
E(1 − ν)
(1 + ν)(1 − 2ν)
3
4 ENTRENAMIENTO DEL PERCEPTRÓN
donde σ y τ son tensiones normales y de corte, y ε
y γ son deformaciones normales y de corte, respectivamente.
3.2.
Modelo para deformación plana 2D
Este modelo puede obtenerse a partir de la RC tridimensional de la ecuación 8. En este caso las deformaciones están sobre un plano 2D, más no las tensiones. Esto indica que:
ε33 = ε13 = ε23 = 0
(9)
σ13 = σ23 = 0
(10)
1. Se selecciona la topologı́a de la RNA que pueda
representar el problema. El artı́culo de la Referencia [9] limita esta opción sólo a redes de más
de dos capas, sin embargo el artı́culo de la Referencia [5] logra emplear una red sin capas escondidas para modelar una relación constitutiva
elástica lineal.
2. Adquisición de datos que contengan la información que caracteriza el problema muestreando el
comportamiento de un material mediante modelación numérica o experimentación real.
3. Inclusión de la RNA como una subrutina en un
programa de computadora.
Simplificando a partir de la Ecuación 8 y teniendo
Está comprobado que las RNA son aproximadores
en cuenta que para el caso de deformación plana la
universales para cualquier función con muchas variacomponente ε33 = 0 obtenemos (con γ12 = 2ε12 ):
bles independientes, donde la información sobre la
dependencia funcional es transferida a la RNA por


 
medio de un número de datos discretos que describan


1−ν
ν
0
σ
 ǫ

 11 
el valor de la función para un número suficientemente
11


 

 ν
σ22 
1−ν
0 
largo de puntos de muestra en el espacio de las va

  ǫ  (11)
 =M

 
riables de interés. El número de capas escondidas, el
(1−2ν)   22 

 0
 τ12 
0
2
número de neuronas y la repartición de pesos entre

 
 2ε12
capas escondidas deben ser definidas por el usuario.
σ33
ν
ν
0
Estas caracterı́sticas son dependientes del problema
E
y no es posible dar una prescripción general, por lo
M=
(12)
cual la práctica común es determinar la mejor confi(1 + v)(1 − 2ν)
guración topológica tratando de minimizar el número
capas ocultas y el número de neuronas por cada
4. Entrenamiento
del
Per- de
capa [1].
ceptrón
Para entrenar la red se modifican los pesos de las
interconexiones mediante un método iterativo para
obtener una señal de salida lo más próxima posible a
la salida deseada como respuesta a un patrón de entrada. A este proceso se le llama entrenamiento. Para
ello deben conocerse de antemano datos de entrada y
salida de la red. Una parte de estos datos puede ser
utilizada para entrenarla, mientras que la otra parte
puede usarse para realizar pruebas que confirmen un
correcto aprendizaje [9].
4.1.
Procedimiento
4.2.
Normalización de datos
Antes de entrenar la red tanto las variables de entrada como las de salida deberán ser normalizadas en
cierto rango. Dependiendo de la función de activación que utilicemos podemos necesitar normalizar en
un rango de 0 a 1, tal como recomiendan las referencias [14] y [10]. Esto nos llevarı́a a usar un método de
normalización ampliamente utilizado, que es
X′ =
X − 0,95Xmin
1,05Xmax − 0,95Xmin
(13)
donde X son los datos originales, y Xmin y Xmax
son
los valores mı́nimos y máximos de X, respectivaEl grupo de datos de entrada y salida puede obmente.
X ′ son los datos unificados de los correspontenerse a partir de evaluaciones numéricas o ensayos
dientes
X. Este procedimiento de pre-procesamiento
experimentales. Una vez finalizado el entrenamiento,
puede
hacer
más eficiente el entrenamiento de la red
la capacidad de generalización de la red nos permineuronal
[13].
te evaluar tensiones a partir de deformaciones desconocidas para la red. El procedimiento para modelar
Otra forma de normalizar los datos de entrada es la
relaciones constitutivas se divide en tres pasos impor- propuesta por Hashash, Jung y Ghaboussi en la Refetantes:
rencia [7]. Se emplea cuando los datos corresponden a
4
5 EJEMPLOS NUMÉRICOS
deformaciones que serán empleadas en la capa de entrada de la red neuronal. El vector de deformaciones
serı́a escalado entonces por un factor apropiado:
N
εN
i
εi
= ε
Si
tal que
−1<
N
εN
i
<1
σi =
4.3.
donde
−1<
σiN N
<1
∆wpq (t + 1) = −η
(14)
Los datos de salida también deben ser escalados
de vuelta. Siguiendo la notación de la Referencia [7]
tendrı́amos:
Siσ σiN N
dándole a cada ∆wpq (t + 1) una contribución de peso
proveniente del paso de tiempo anterior:
(15)
∂E
+ α∆wpq (t)
∂wpq
(17)
El parámetro de momentum α debe estar entre 0 y
1. A menudo se utiliza un valor de 0.9 [8].
5.
Ejemplos numéricos
5.1.
Material elástico lineal: RNA entrenada con todas las componentes del modelo de material 2D
Criterio de Convergencia
El criterio de convergencia para la red está determiEl objetivo principal de éste y de los siguientes dos
nado por el promedio de la raiz media cuadrática del capı́tulos es comprobar la posibilidad de desarrollar
error (RMS por sus siglas en inglés) entre los valores un modelo constitutivo a partir de datos obtenidos
deseados y los de salida, y está dado como,
mediante mediciones experimentales. En lugar de emplear resultados de pruebas reales se generarán datos
v
p
N u X
sintéticos, es decir, números generados por compu1
1 Xu
t
(dij − yji )2
(16) tadora para el entrenamiento. Esto debido a la falta
ERM S =
N i=1 p j=1
de datos experimentales reales.
donde ERM S es el RM S promedio, N es el número
de datos de entrenamiento o prueba, p es el número
de variables en la salida, dj (n) y yj (n) son la salida objetivo y la salida de la red para la neurona j,
respectivamente [10]. Este criterio fue el elegido para este trabajo, de modo que el proceso iterativo de
aprendizaje será detenido cuando el error ERM S sea
inferior al error permitido.
4.4.
Cantidad óptima de neuronas en
capas ocultas
El número óptimo de neuronas debe reducirse al
mı́nimo para prevenir la tendencia que tiene la red
a sobre-ajustarse a los datos [4]. Es posible implementar un algoritmo de adaptación del número de
neuronas, el cual inicia con pocas neuronas y las va
incrementando a medida que se requiera un mejor
ajuste de los pesos a los patrones de entrada y salida.
Ver referencia [6] para más información al respecto.
5.1.1.
Entrenamiento con todas las componentes del vector de deformaciones y
tensiones
Para este ejercicio se logró entrenar una relación
constitutiva elástica lineal con datos de deformaciones y tensiones que fueron obtenidos con deformaciones en un rango entre −0,0064 y +0,0064. Se creó una
matriz de datos con 64 estados de deformación (patrones de entrada) con los cuales se entrenó la red.
Las componentes de cada vector patrón son ε11 , ε22
y γ12 . Cada patrón se obtuvo evaluando E = 2,1e + 6
y ν = 0,3 en la Ecuación 11. La relación que se deberı́a encontrar luego de entrenar la red es:

2,8269e + 06
1,2115e + 06


1,2115e + 06 2,8269e + 06
C=


0
0

1,2115e + 06 1,2115e + 06
0




 (18)

8,0769e + 05

0
0
La topologı́a de la red es similar a la presentada en
la figura 2, donde se posee un Perceptrón simple con
4.5. Velocidad de convergencia
4 entradas y 4 salidas. La cuarta entrada es un valor
Para mejorar este aspecto del entrenamiento del fijo igual a 1 (umbral).
La labor del Perceptrón implementado es, entonperceptrón se utilizará la introducción de un término
de momentum para el cálculo del ∆wpq (t+1). La idea ces, lograr hallar las componentes de la relación conses darle a cada conexión wpq una inercia o momenum titutiva matricial, es decir, los pesos sinápticos de la
de forma que tienda a cambiar en la dirección de des- red. Las entradas fueron escaladas a un rango entre
censo que sienta más “fuerza”, en lugar de oscilar con -1 y 1 al igual que las salidas. Luego, el resultado
pequeñas variaciones. Este esquema se implementa de la matriz de pesos es escalada para poder obtener
5
σ=
Aε ′
Cnn ε
Aσ
(23)
Por igualdad con la ecuación 19 finalmente obtenemos la ecuación para escalar los pesos y transformarlos a componentes de la matriz constitutiva:
Aε
Aε ′
Cnn =
Cnn =
W
(24)
Aσ
Aσ
5.1.2.
Función de activación lineal
Para lograr el entrenamiento exitoso de la red se
empleó una red sin capas ocultas y una función de
activación lineal para modelar el comportamiento de
un material elástico lineal, tal como lo sugiere la referencia [5], esto es
Figura 2: Red alimentada hacia adelante para modelo
de material elástico lineal. Tomada de [5].
g(h) = h
(25)
su derivada serı́a entonces
las componentes deseadas. Para ello debemos tener
en cuenta la relación constitutiva a escala completa
producto del aprendizaje Cnn .
g ′ (h) = 1
5.1.3.
σ = Cnn ε
(19)
(26)
Escalamiento de datos de entrada y salida
El escalamiento de los datos de entrada y salida
Ahora tenemos en cuenta la relación a escala, es
decir nuestra red neuronal, donde σ ′ es el vector de se realizó de acuerdo a lo propuesto por la ecuación
′
salidas, ε′ es el vector de entradas y Cnn
= W es la 14. Las entradas fueron escaladas en un rango entre
-1 y 1, al igual que las salidas. Para esto, todos los
matriz de pesos entre las dos capas.
valores fueron divididos sobre el dato con mayor valor
′
σ ′ = Cnn
ε′ = W ε′
(20) absoluto.
Siguiendo la convención para los subı́ndices de los 5.1.4. Estados enseñados a la red
pesos hallada en los textos, y apreciada en la figura
En la figura 3 se aprecia una gráfica, donde ca2 tenemos que
da punto representa un estado de tensiones y defor

maciones. Debido a que un estado está representado
w11 w12 w13 w14


por tres deformaciones y cuatro tensiones es necesario


w21 w22 w23 w24 
graficar las deformaciones y tensiones equivalentes.

(21) Las fórmulas para el caso más general (3D), son:
W =


w31 w32 w33 w34 


√
w41 w42 w43 w44
2
[(ǫx − ǫy )2 + (ǫy − ǫz )2 + (ǫz − ǫx )2
ǫeq =
3
Ahora tenemos en cuenta las escalas de las entradas
y las salidas
+ 6(γ 2 + γ 2 + γ 2 )]1/2
(27)
xy
′
σ = Aσ σ
y
′
ε = Aε ε
(22)
donde Aσ es el número que escala las tensiones y
Aε el que escala las deformaciones, ambas, a un rango entre -1 y 1. Reemplazando en la ecuación 20 y
reordenando obtenemos
yz
zx
1
σeq = √ [(σx − σy )2 + (σy − σz )2 + (σz − σx )2
2
2
2
2
+ 6(τxy
+ τyz
+ τzx
)]1/2
(28)
6
→ 0 indica que los pesos en esas posiciones tienden
a cero conforme se disminuye el Erms,min permisible.
Figura 3: Estados enseñados a la red para modelo de
material elástico lineal e isótropo. Campo de estados
para 1000 parejas de patrones enseñadas.
5.1.5.
Resultados
5.2.
Material elástico lineal: RNA entrenada con componentes principales del modelo de material 2D
5.2.1.
Entrenamiento sólo con componentes
principales (aplicable a la realidad)
En la sección 5.1.1 se entrenó una red disponiendo de datos de deformaciones y tensiones normales y
cortantes. En ésta sección, y para éste ejercicio, tomaremos sólo las componentes normales, debido a que
los ensayos axiales reales no producen datos de deformación ni tensión cortantes por lo complejo de su
medición. Para entrenar la red se utilizará la técnica de enriquecimiento de datos propuesta por Shin &
Pande en la Referencia [12].
5.2.2.
En la tabla 1 se resumen los parámetros de simulación empleados para obtener la relación constitutiva de un material elástico, lineal e isótropo a partir de datos de deformaciones (entradas) y tensiones
(salidas). Al algoritmo de Backpropagation se le adicionó la teorı́a del momentum para el cálculo de los
deltas de pesos, como se estudió en la sección 4.5.
Parámetro
Valor
Número de Patrones
64
Constante de aprendizaje η
0.001
Constante de momentum α
0.9
Error RMS mı́nimo Erms,min
1e-10
Convergencia: Iteración, Erms
60, 9.71e-011
Rango de deformaciones de entrenamiento
−0,0064 ≤
ε ≤ +0,0064
Sobre los ensayos axiales
Una posibilidad para la obtención de los datos con
los cuales se podrı́a entrenar la red proviene de ensayos axiales sobre una muestra del material bajo estudio, la cual es sometida a ciertas configuraciones
de carga que garantizan la uniformidad del campo de
tensiones y deformaciones. Una vez los datos de tensiones y deformaciones de los ensayos son capturados,
se utilizan para entrenar la red que modela la relación
constitutiva. Las mediciones habrán sido tomadas de
mediciones sobre el volumen finito de la muestra, pero pueden ser empleadas para entrenar la relación
aunque ésta esté definida para relacionar estados que
están definidos en un sólo punto del material. Esto
debido a los campos uniformes de tensiones y deformaciones que se logran durante los experimentos.
5.2.3.
Datos de entrenamiento de la red
En lugar de usar datos experimentales reales para
el material se usarán datos generados (también
Cuadro 1: Parámetros de simulación para modelo reciben el nombre de ’sintéticos’) a partir de la ya
conocida relación constitutiva matricial. Para éste
elástico lineal isótropo.
propósito se emplearon parámetros tı́picos usados
para modelar metales con una relación constituLa relación constitutiva encontrada, luego de esca- tiva isotrópica. Definimos el módulo de Young
lar los pesos de acuerdo a la ecuación 24 es:
E = 2,1e6 P a y el coeficiente de Poisson ν = 0,3. Los
patrones de tensión y deformación serán generados


de acuerdo a lo sugerido por la Referencia [2],
2,8269e + 06 1,2115e + 06
→0
→0


donde usaremos datos de tensiones y deformaciones


1,2115e + 06 2,8269e + 06
→0
→ 0
 (29) para condiciones de carga a tensión y compresión
Cnn = 



→0
→0
8,0769e + 05 → 0
para cada uno de los dos ejes principales y serán


complementados con la técnica de enriquecimiento
1,2115e + 06 1,2115e + 06
→0
→0
7
de datos vista de la sección 5.2.4.
C = (1/2)(ε1 + ε2 )
Queremos generar datos sin términos cortantes, tal
como son obtenidos los datos experimentales de las
pruebas triaxiales, y comprobar, utilizando la técnica
de enriquecimiento de datos, que es posible obtener de
nuevo la relación constitutiva elástica lineal e isótropa. Los datos de deformaciones principales serán obtenidos mediante la siguiente relación:
 


 
σ1
1−ν
ν
 

 ǫ
 

  1
(30)
 σ2  = M  ν
1 − ν
 

 ǫ2
ν
ν
σ3
Donde σ1 y σ2 son las tensiones principales y ε1 y ε2
son las deformaciones principales. La única diferencia
entre este ejercicio y el anterior son los datos de entrenamiento de la red. En la sección 5.2.4 se describe
la técnica de enriquecimiento de datos, para aprovechar las componentes principales y generar con ellas
un set de patrones con más información disponible
para entrenar la red.
5.2.4.
Enriquecimiento de datos
Las parejas de vectores de tensiones y deformaciones que provienen de las pruebas triaxiales son
en realidad tensiones y deformaciones principales.
Esto significa que son mediciones tomadas a lo largo
de ejes ortogonales entre sı́, lo que en términos de
campos de tensiones y deformaciones implica que no
existen componentes cortantes. Si utilizáramos las
componentes principales para entrenar la red ésta
tendrı́a que extrapolar los datos cortantes, debido
a que no fue entrenada con parejas de vectores
que contuvieran esta información. Esto conducirı́a
a grandes imprecisiones en la respuesta tensióndeformación de la red.
D = (1/2)(ε1 − ε2 )
Para las tensiones:
σx = A + B cos(2θ)
σy = A − B cos(2θ)
τxy = B sin(2θ)
donde
A = (1/2)(σ1 + σ2 )
B = (1/2)(σ1 − σ2 )
Este método produce una gran cantidad de datos
dependiendo del número de transformaciones elegidas para generarlos. Entre los datos expandidos hay
muchas parejas de vectores repetidas de modo que se
necesitan procesar previamente los datos para filtrarlas. Para el entrenamiento de la red se empleará un
ángulo incremental ∆θ = 15◦ para rotar los ejes de
tensión-deformación desde −45◦ hasta +45◦ .
5.2.5.
Estados enseñados a la red
En la figura 4 se aprecia una gráfica, donde cada punto representa un estado de tensiones y deformaciones. Debido a que un estado está representado
por tres deformaciones y cuatro tensiones es necesario graficar las deformaciones y tensiones equivalentes. Ver ecuaciones 27 y 28. Los puntos graficados en
la figura 4 corresponden a estados de deformación y
tensión luego del enriquecimiento de datos.
Para superar esta limitante, Shin & Pande [12] propusieron una estrategia de enriquecimiento de datos
para crear parejas de vectores (patrones) transformando tensiones y deformaciones a valores donde las
componentes cortantes sean diferentes de cero. Para
el caso bidimensional, la transformación de un vector
de deformaciones principales rotado un ángulo θ con
respecto al eje X es como sigue:
εx = C + D cos(2θ)
εy = C − D cos(2θ)
γxy = 2D sin(2θ)
donde
Figura 4: Campo de estados para 730 parejas de patrones.
8
5.2.6.
se requiere de métodos iterativos para satisfacer las
ecuaciones del modelo en cada paso de aplicación de
la carga.
Resultados
En la tabla 3 se resumen los parámetros de simulación empleados para obtener la relación constitutiva
elástica lineal de este ejercicio. Los resultados fueron
obtenidos entrenando sólo con 76 patrones, los cua- 5.3.1. Entrenamiento con componentes principales (aplicable a la realidad)
les fueron obtenidos luego del enriquecimiento y del
filtrado de los patrones repetidos, y partiendo de tan
El objetivo más importante de este ejercicio es obsolo 16 parejas de vectores de deformaciones y ten- tener unos pesos que permitan estimar tensiones a
siones principales.
partir de deformaciones, teniendo como datos de entrada y salida sólo deformaciones y tensiones principales, que pueden ser obtenidas de ensayos reales.
Parámetro
Valor
Se logrará el objetivo si se logran pesos que permiNúmero de Patrones enseñados 76
tan buenas estimaciones al someter al elemento finito
mencionado a configuraciones de carga diferentes a
Constante de aprendizaje η
0.001
las configuraciones con las cuales se entrenó la red.
0.9
Error RMS mı́nimo Erms,min
1e-10
5.3.2.
314, 9.50e-011
Rango de deformaciones de entrenamiento
−0,0064
≤
ε ≤ +0,0064
Los pasos para la obtención de los datos de entrenamiento es como sigue:
Cuadro 2: Parámetros de simulación para modelo
La relación constitutiva encontrada, luego de escalar los pesos de acuerdo a la ecuación 24 es:

Cnn
2,8269e + 06
1,2115e + 06


1,2115e + 06 2,8269e + 06
=


→0
→0

1,2115e + 06 1,2115e + 06

→0


→0
→ 0


8,0769e + 05 → 0

→0
→0
→0
(31)
→ 0 indica que los pesos en esas posiciones tienden
a cero conforme se disminuye el Erms,min permisible.
5.3.
Material elasto-plástico no lineal:
RNA entrenada con componentes
principales
El objetivo de éste ejercicio es entrenar un perceptrón de dos capas ocultas a partir de deformaciones y tensiones obtenidas de datos sintéticos a partir
de un programa de Matlab que calcula deformaciones
y tensiones de un elemento finito sometido a cargas,
ver figura 5. El material considerado es no lineal debido a que sufre deformación plástica cuando la tensión
de Von Mises supera la tensión de fluencia. Cuando
esto sucede, el material sufre endurecimiento por deformación, lo que hace depender el estado actual del
historial de deformaciones y tensiones en ese punto.
Para modelar este tipo de problemas numéricamente
Datos de entrenamiento de la red
1. Se somete un elemento finito para modelar deformación plana elasto-plástica de 4 nodos a configuraciones incrementales de carga a tensión,
combinando 10 incrementos de carga horizontales con 10 incrementos verticales. En la figura 5
se aprecian tres estados principales de carga para
el entrenamiento.
2. Se calculan deformaciones y tensiones principales
para cada combinación de cargas. Esto dará 3
deformaciones y 4 tensiones, igual que para los
ejercicios 1 y 2 estudiados anteriormente.
3. Se realiza un enriquecimiento de datos, como sugieren Drakos & Pande en la referencia [2].
4. El punto anterior generará algunos patrones repetidos, los cuales son eliminados.
5. Se escalan los datos de entrada y salida, como se
vió en la sección 4.2.
Los estados de deformaciones y tensiones están compuestos por 3 y 4 componentes, respectivamente. Para facilitar la visualización de dichos estados los transformaremos a deformaciones y tensiones equivalentes,
igual que como vimos en la sección 5.1.4.
5.3.3.
Curva de carga: material elasto-plástico bilineal
En la figura 6 se aprecian los estados de entrenamiento sin enriquecimiento, es decir, aún no aptos
para emplearse en el entrenamiento. En ella se aprecia una zona elástica, antes para 0 ≤ σeq ≤ 2500 y
9
Figura 6: Estados de entrenamiento antes del enriquecimiento para 120 parejas de patrones. Material
elasto-plástico bajo varias configuraciones de carga.
Figura 5: 3 de 120 estados de carga para entrenamiento de RNA. Los puntos dentro del elemento poseen
estados de deformación y tensión uniformes.
Figura 7: Estados de entrenamiento después del enriquecimiento para 676 parejas de patrones.
5.3.5.
Topologı́a de la red
Luego de numerosos intentos por obtener el mejor
una plástica para 2500 ≤ σeq ≤ ∞. El endurecimiento por deformación se produce para estados dentro aprendizaje posible, se pude identificar que la topologı́a [4-12-8-4] es la que da mejores resultados por
de la zona plástica.
aproximar en menor tiempo y con mayor exactitud
los patrones deseados, con 4 neuronas de entrada (1
5.3.4. Enriquecimiento de datos
es bias) y 4 neuronas de salida, y con 2 capas ocultas
Esta generación adicional de datos es importan- de 12 y 8 neuronas cada una. La selección de ésta tote, ya que es la que permitirá poder estimar las pologı́a sigue aproximadamente la configuración que
tensiones de corte cuando se posean deformaciones muestran Drakos & Pande en la página 652 de la recon componentes cortantes. Este enriquecimiento ferencia [2].
aumenta los patrones de entrenamiento de 120 a 676,
y se realiza de igual forma que para el Ejercicio 2 en
5.3.6. Resultado del entrenamiento
la sección 5.2.4.
El objetivo es lograr estados aproximados por la
En la figura 7 se observan los estados de entrena- red lo más similares posibles a los estados de entremiento de la red después de haber efectuado el enri- namiento, inicialmente. Para este ejercicio se disminuyó la constante de aprendizaje η cada 1500 iteraquecimiento de datos.
10
6 PRUEBAS
ciones (epochs), partiendo de η = 0,05 y disminuyendola por 0.75 cada vez. Se utilizó la adición del
términos de momentum para el cálculo de ∆wij visto
en la sección 4.5. En la tabla 3 se halla un resumen de
los parámetros empleados, mientras que en la figura
8 se aprecian los estados logrados por la red luego
del proceso de aprendizaje por Backpropagation (en
rojo).
Parámetro
Valor
Número de Patrones enseñados
676
Constante de aprendizaje
η < 0,05
0.9
30000, 4.35e-03
6.1.
Prueba con estados de deformación 1
Para este caso las cargas aplicadas son dos verticales y dos horizontales, una en cada nodo con
incrementos iguales para lograr un estado uniforme
de deformaciones. La configuración de cargas puede
verse en la figura 9. El estado de deformación final
Cuadro 3: Parámetros de simulación para modelo
Figura 9: Configuración de carga 1. Rango de 500 a
9500 kgf, incrementos de 1000 kgf.
del elemento es similar al presentado en la figura 5.
En la figura 10 observamos la primera comprobación del funcionamiento del modelo constitutivo obtenido con la RNA. Los patrones de deformaciones
usados como entrada son desconocidos para la red.
Figura 8: Superposición de estados de entrenamiento
y estados aproximados por la red luego del aprendizaje.
6.
Pruebas
Se requieren pruebas para constatar que el modelo
constitutivo aprendido por la RNA es útil para estimar otros estados de tensión diferentes a los usados
para el entrenamiento. Para ello se emplearán datos
obtenidos de someter al elemento finito para defor- Figura 10: Estados para configuraciones de carga 1.
mación plana a configuraciones de carga diferentes Estado uniforme de deformaciones dentro del elemena las usadas para obtener los datos de entrenamiento. to.
11
6 PRUEBAS
6.2.
Prueba con estados de deforma- que podrı́a ser un probeta real, mientras que la curva
roja los estados predichos por la RNA.
ción 2
Las cargas aplicadas son dos verticales y una horizontal con incrementos iguales. Por su asimetrı́a los
estados de deformación dentro del elemento no son
uniformes (iguales), por lo tanto existen diferentes
estados en cada punto de integración (son 4 puntos
de Gauss, dispuestos de forma similar a los nodos, pero dentro del elemento). La configuración de cargas
puede verse en la figura 11.
Figura 13: Estados para configuraciones de carga
2. Estado no-uniforme de deformaciones dentro del
elemento. Datos para punto de Gauss 1 (abajoizquierda).
6.3.
Prueba con estados de deformación 3
La configuración de cargas para éste caso de prueba
es la que vemos en la figura 14.
El estado de deformaciones del elemento se observa
en la figura 12.
Las deformaciones del elemento plano sometido a
las cargas de la figura 14 están ilustradas en la figura
Figura 12: Gráfico de deformaciones del elemento pa- 15. Finalmente, en la figura 16 hallamos la tercera
ra Caso de prueba 2.
comprobación. Las cargas aplicadas son dos horizontales en los nodos 1 y 2, para lograr un efecto predoEn la figura 13 observamos la segunda comproba- minante de corte. Éste grupo de configuraciones de
ción del modelo de material elastoplástico. La curva carga es probablemente la más alejada de aquellas
azul identifica los estados sintéticos obtenidos por el con las cuales se entrenó la red.
7 COMENTARIOS Y CONCLUSIONES
Figura 15: Gráfico de deformaciones del elemento para Caso de prueba 3.
7.
Comentarios y Conclusiones
Caso de prueba 1: si comparamos los números
del modelo de material Cnn con los números del
modelo original C de la ecuación 18 podemos
constatar que el aprendizaje de la relación constitutiva elástica lineal isótropa a partir de datos
de tensiones y deformaciones se efectuó de forma
exitosa ya que se logró estimar los valores de las
componentes de la matriz sólo a partir de datos
de deformaciones y tensiones.
Como otro aporte que puede resultar interesante se destaca que obtener la matriz constitutiva permite también hallar las dos contantes del
material, por ahora, sólo para el modelo elástico
lineal. Las constantes que se puede hallar son el
módulo elástico o de Young E y el coeficiente de
Poisson ν.
Caso de prueba 2: Se logró obtener la relación
constitutiva a partir de parejas de patrones de
deformación y tensión principales. Esto demuestra que a partir de datos de pruebas triaxiales
reales y utilizando la técnica de enriquecimiento
de datos usada por Shin & Pande en la referencia
[12] es posible obtener las componentes de la matriz constitutiva para emplearse en modelos que
emplean materiales elásticos lineales e isótropos.
Las tres pruebas de la RNA sugieren que ante estados de deformación desconocidos para la
red, es posible obtener estados de tensión aproximados que describen el material utilizado para
extraer los datos de entrenamiento. Esto indica
que a partir de datos de deformaciones y ten-
12
Figura 16: Estados para configuraciones de carga
3. Estado no-uniforme de deformaciones dentro del
elemento. Datos para punto de Gauss 1 (abajoizquierda).
siones de un material con comportamiento nolineal también podemos obtener una estimación
del modelo si empleamos redes de múltiples capas cuyos pesos puedan ajustarse al comportamiento no lineal del material. En las pruebas, la
zona donde peores aproximaciones se obtienen es
aquella donde se da el cambio de zona de elástico a plástico, donde la función de activación no
puede aproximar fielmente el cambio discontı́nuo
de una recta a otra.
La duración de los ensayos numéricos iterativos
para entrenar el perceptrón y lograr un error
aceptable entre la salida deseada y la salida actual de la red puede ser bastante prolongada en
aquellos casos donde la cantidad de patrones a
enseñar son numerosos. Una alternativa para optimizar los tiempos de aprendizaje es paralelizar las partes del código que permitan ser paralelizadas, como los productos escalares de las
multiplicaciones de matriz por vector, donde repartirı́amos el mismo vector a varios procesos y
luego dividirı́amos la las matrices y las repartirı́amos por partes a cada proceso. Los resultados se retornarı́an después al proceso principal.
De lograr un código escalable obtendrı́amos un
ahorro en tiempo muy significativo.
Una implementación para futuros trabajos es
comprobar el comportamiento de la red para
condiciones de borde diferentes a las estudiadas,
donde se generarı́an otros estados de deformación que también deberı́an ser estudiados para
validar el modelo de material con RNAs.
El algoritmo original de back-propagation puede
REFERENCIAS
13
ser muy lento. Se han propuesto variaciones en [10] Lin, Y., and Chen, X.-M. A critical review
este algoritmo para conseguir mayores velocidaof experimental results and constitutive descripdes de aprendizaje. Los investigadores de la Retions for metals and alloys in hot working. Maferencia [7] utilizaron el algoritmo RPROP [11]
terials and design, 32 (2011), 1733–1759.
para entrenar sus modelos debido a su confiabilidad mejorada y a la relativamente baja cantidad [11] Riedmiller, M., and Braun, H. A. A direct adaptive method for faster backpropagation
de parámetros de control.
learning: The rprop algorithm. IEEE International Conference in Neural Networks, IEEE: San
Francisco, New York (1993), 586–591.
Referencias
[1] Chen, T., and Chen, H. Universal approximation to non-linear operators by neural networks
with arbitrary activation functions and its application to dynamical systems. IEEE Trans.
Neural Networks, 6 (4) (1995), 911–917.
[2] Drakos, S. I., and Pande, G. N. A neural network equivalent of hardening soil model
of plaxis. Numerical Methods in Geotechnical
Engineering (2006), 651–656.
[3] Dvorkin, E., and Goldschmit, M. Nonlinear
continua. Springer, May 2005.
[4] Flood, I., and Kartam, N. Neural networks
in civil engineering. i: principles and understanding. Journal of Computing in Civil Engineering, 8(2) (1994), 131–147.
[5] Freitag, S., Graf, W., and Kaliske, M. A
material description based on recurrent neural
networks for fuzzy data and its application within the finite element method. Computers and
Structures, 124 (2013), 29–37.
[6] Ghaboussi, J., Pecknold, D., Zhang, M.,
and Haj-Ali, R. Autoprogressive training of
neural network constitutive models. Int. J. Numer. Meth. Engng, 42 (1998), 105–126.
[7] Hashash, Y. M. A., Jung, S., and Ghaboussi, J. Numerical implementation of a neural
network based material model in finite element
analysis. Int. J. Numer. Meth. Engng, 59 (2004),
989–1005.
[8] Hertz, J., Krogh, A., and Palmer, R. G.
Introduction to the theory of neural computation,
vol. 1. Addison-Wesley, 1990.
[9] Lefik, M., Boso, D., and Schrefler, B. Artificial neural networks in numerical modelling of
composites. Computational Methods in Applied
Mechanics Engineering, 198 (2009), 1785–1804.
[12] Shin, H. S., and Pande. Enhancement of data for training neural network based constitutive models for geomaterials. Proc. of the Eighth
Intl. Symp. on Numerical Models in Geomechanics (NUMOG VIII), Rome, Italy, April (2002),
141–146.
[13] Sun, Y., Zeng, W., Zhao, Y., Qi, Y., Ma,
X., and Han, Y. Development of constitutive
relationship model of ti600 alloy using artificial
neural network. Computational Materials Science, 48 (2010), 686–691.
[14] Swingler, K. Applying Neural Networks: A
Practical Guide. Morgan Kaufmann Publishers,
California, 1996.
Finite Element Analysis for High Speed Composite Craft
H. ALVAREZ*, R. ALGARÍN*
*Department of Structures and Materials, COTECMAR Cartagena Colombia
Abstract
This paper presents a direct approach for the scantlings determination of a 12 m patrol
boat built with glass-reinforced plastic. The Finite element method is used to provide
structural criteria in order to reduce the structural weight using scantlings values below the
required by the classification society American Bureau of Shipping, structural rules for high
speed craft. This analysis is carried out using workbench 14.5 finite element software.
The response of the structure under hydrodynamic loads obtained from a linear
seakeeping software is based in the slender body theory for two dimensional analysis, in
this model the pitch, heave and surge movements were coupled in order to obtain a
planning boat dynamics model in the vertical plane. The pressure field found in the
hydrodynamic analysis was mapped into the structural model, additionally all the external
loads were balanced with inertial accelerations. The failure analysis was developed using
the Tsai –Hill failure criteria, in which the tensile and compressive strength of the layered
material are taking into account.
The results obtained were compared with the class requirements obtaining weight savings
of up to 18 percent using the finite element approach.
Keywords:
High Speed Craft, Composite, Scantlings, Finite element model.
1. Introduction
The LPR Mk II 40 is a monohull riverine patrol boat intended for fluvial assault missions,
border control, search and rescue, see Table 1 for boat particulars. Due to the
requirements of military operations the boat had to be designed with the goal of minimizing
the weight of the structure aiming to increase the boat payload, keeping the velocity
defined in preliminary design stage.
The design process for ships and boats is generally defined on the basis of rules of a ship
classification society these rules are based on structural mechanics principles and
extensive experience of the classification society gathered over the years with classed
ships. The scantlings obtained by this methodology are in general overestimated due to
the fact that the class has to cover a wide range of ship application and sizes. For ships of
high performance like military patrol boats it is imperative to obtain a profitable relationship
between weight and strength, therefore is necessary to use a calculation methodology
different to class’s common structural rules. The best alternative is to apply a direct
analysis approach for the structural calculations which is related with the use of concepts
of mechanics of materials and finite element techniques in order to reduce the weight of
the structure.
Some classification societies provide guidance notes for structural analysis for several
types of vessels, among these the ABS classification society released the “guidance notes
on structural direct analysis for high speed craft” ABS [1] in which is defined the
methodology to assess the strength of high-speed craft and high speed naval craft.
In the direct analysis the modeling and analysis process utilizes multiple levels that start
with a global model of the structure and the results of each previous level of analysis are
used to establish the areas of the structure requiring more detailed modeling and the local
loading to be re-imposed and the boundary conditions to be imposed on the finer model.
In general the direct analysis for high speed crafts is centered in the use of advanced
computational tools based upon linear seakeeping theory for calculating ship motions and
wave induced load effects in design wave conditions that best characterize the
environmental and operating condition of the craft. Once the loads have been defined,
these can be applied to the structural model for the strength evaluation.
The direct approach has been successfully applied in a wide range of vessels:
Roberto Ojeda [2] et al. presents the structural response of a fast and relatively small,
composite materials catamaran to slamming loads.
Carlos Gonçalves [3] et al. analyses the static and fatigue resistance of the main section of
a fast patrol boat, the structure was subjected to hydrodynamic and hydrostatic sea loads.
Mohammad Reza [4] et al studies the transient large deflection elastic-plastic responses of
several stiffened aluminium panels subjected to slamming impulsive loads.
Table 1. Nominal boat particulars for LPR MkII
Boat Particulars
Length
12,7 m
Breadth
2,8 m
Depth
1,53 m
Draft
0,65 m
Velocity
32 Knots
R. Sharma [5] et al presents a review identifying the major areas of computer application in
several stages of ship/floating structure design and analysis with the principal emphasis on
the methodologies, the modeling, and the integration of the design and analysis process.
2. Class based scantlings
In the preliminary design stage the scantlings for the LPR MkII were defined according
ABS [6]. For the purpose of this paper, only the thickness required for the bottom plate of
the boat is evaluated.
According the rules [6], the thickness of the shell is to be not less than given by the
following equations:
√
(1)
√
(2)
(3)
√
Where:
spacing of the shell longitudinals
factor for plate curvature in the direction parallel to s.
design pressure.
design stress.
coefficient varying with plate aspect ratio.
for bottom plating
Figure 1. Boat bottom structure (critical panels)
for bottom plating
flexural modulus of laminate
minimum flexural strength of laminate
waterline length
The most critical panels encountered in the bottom structure correspond to the panels
located in the aft of the boat, in the zone where the engine bed is placed as shown in the
Figure 1. These panels cannot be splitted adding minor stiffeners due to the space
required for the correct engine operation. Another critical zone is represented by the plates
located amidship which are subjected to the maximum pressure values.
All calculations were carried out considering material properties for orthophthalic polyester
resin reinforced with biaxial 0°/90° fabric of 870 gr/m2. The material properties were
obtained from experimental mechanical testing.
Considering the values for the parameters summarized in the Table 2, the thickness
required by class rules for the bottom shell in the most critical panel is 14.5 mm. Since the
thickness for every individual layer is 1.3 mm, is necessary to stack approximately 12
layers of biaxial fabric to complete the laminate.
Table 2. Shell thickness and calculation parameters
Aft Panel
10.55 m
712.22 mm
1
0.5
0.028
54.82 KN/m2
79 MPa
239.3 Mpa
12410 Mpa
Midship Panel
10.55 m
413.12 mm
1
0.5
0.028
96 KN/m2
79 MPa
239.3 Mpa
12410 Mpa
14.5 mm
10.18 mm
Figure 2. Pressure field
3. Direct Analysis.
In order to reduce the values required for the scantlings of the boat, there was applied a
procedure alternative to class rules guides that will be presented in the next sections.
3.1.
Loads
The first step for the analysis considers the loads definition, for this model the main loads
are represented by the hydrodynamic pressures generated during the boat navigation
considered as slamming, these loads were calculated modeling the dynamic behavior of
the boat according the slender-body theory Oscar D. Tascon et al. [7], the pressure field
was obtained for the most critical navigation condition and then mapped in the bottom hull
as shown in the Figure 2.
In the Figure 2 is observed that the critical pressure gradient is in amidship, therefore the
structural model is only focused on the analysis of midship section.
3.2.
Structural Model
The structural model is composed by the bottom shell, longitudinals, girders and bottom
transverses, also the bulkheads and boat sides are modeled as shown in the Figure 3. The
bottom shell, longitudinals and girders were built with solid laminate while the sides and
bulkheads plates were built with sandwich laminates. All laminates considers the
mechanical properties for the biaxial 0°/90° of 870 gr/m2, the core for the sandwich
laminates is a PVC foam of 100 kg/m3
Figure 3. Mid-section model
Figure 4. Boundary conditions
3.3.
Boundary Conditions
the Figure 4 shows the boundary conditions applied to the model. For the purpose of this
analysis, the free edges on the sides were fixed; additionally the aft and forward ends of
the section modeled were restrained in the longitudinal direction. Since the restrained
edges are sufficiently far from the zone of interest represented by the bottom shell, these
don’t affect significatively the displacement and stress fields in the bottom structure.
3.4.
Materials
The material property assigned to the structure is “Polyester resin reinforced with
bidirectional fabric of 870 gr/m2” for the purpose of the finite element model, the
bidirectional fabric was considered as two layers of unidirectional 304 gr/m2 and one layer
of Mat 262 gr/m2. The unidirectional layers were considered oriented to 0° and 90°
respectively as shown in the Figure 1. The elastic properties and strength limits for every
layer are summarized in the Tables 3 and 4 respectively.
,
and
represent the
elastic modulus in the principal directions of the material,
,
and
are the Poisson
modulus,
,
and
are the shear modulus. , and are the tensile strengths in
the directions longitudinal, parallel and transverse to the fibers respectively.
,
and
are the shear strengths.
Table 3. Elastic properties of materials
Unidirectional 304 gr/m2
26698 MPa
5976.5 MPa
5976.5 MPa
0.29
0.45
0.45
2523.4 MPa
2054.4 MPa
2054.4 MPa
Mat 262 gr/m2
9962.9 MPa
9962.9 MPa
9962.9 MPa
0.42
0.42
0.42
3517.2 MPa
3517.2 MPa
3517.2 MPa
Table 4. Strength limits
Unidirectional 304 gr/m2
301.12 MPa
151.68 MPa
151.68 MPa
68.9 MPa
34.45 MPa
34.45 MPa
Mat 262 gr/m2
124.1 MPa
124.1 MPa
124.1 MPa
62.05 MPa
31.03 MPa
31.03 MPa
Figure 5. Bidirectional fabric
3.5.
Elements
The shell geometry is represented by Shell 181 ANSYS [8] “4 Node Linear Quadrilateral”.
Full integration element formulation is used to improve accuracy, particularly in cases of
bending. Element size is approximately 50 mm see Figure 6.
Figure 6. Geometry’s Mesh
3.6.
Strength Limits
This analysis is completed using the Tsai-Hill failure criterion Jones [9] to assess the
structure against failure. In this criterion, either tensile or compressive strengths are used
for determining the coefficients depending on the loading condition. The coefficients are:
;
;
;
(4)
;
Hence, the Tsai-Hill Failure criterion function can be written in the form:
(
)
(
)
(
)
(5)
The margin to failure is calculated using the inverse reserve factor. The applied load
multiplied by the reserve factor gives the failure load:
(6)
The inverse reserve factor is calculated as follow:
(7)
The non-critical values of
range from zero to one and the critical values from that on.
3.7.
Results
The results presented in this section show the inverse reserve factor for the Tsai-Hill
criteria and total displacements induced by the loading discussed in section 3.1 when the
model is constrained as described in section 3.3.
Figure 7. Total deformation (mm)
Figure 8. Total deformation (mm). Perspective view from bottom
The maximum deformation (13.2 mm) occurs at the bottom plate in the portside and
starboard side as shown in the Figures 7, and 8. No criterion given by class exist for
deformation under loading, however, the values found are in the allowable limit according
to the experience of previous designs and other values reported in the literature Roberto
Ojeda [2]. So the deformation will not compromise the performance of the boat and is
deemed acceptable.
In the Figures 9 and 10 the inverse reserve factor is shown, in general this value is below
0.5 in the most critical zones whereby the structure is deemed acceptable, as inverse
reserve factors are within allowable limits considering that a value of 1 for the inverse
reserve factor indicate the structure´s failure.
Figure 9. Inverse reserve factor
Figure 10. Inverse reserve factor. Perspective view from bottom
The critical panel in the aft zone indicated in the Figure 1 was modeled individually
considering the pressure of 54.82 KN/m2 given by class as loading condition. The panel
was fixed in all edges. In the Figures 11 and 12 the total displacements and the inverse
reserve factor for the Tsai-Hill Criteria are shown, all values are in the allowable limits.
Figure 11. Aft panel. Total displacements
Figure 12. Aft panel. Inverse reserve factor.
Table 5. Scantlings comparison
CLASS ABS[6]
FEM
MIDSHIP
10,18 mm
9,1 mm
AFT ZONE
14,5 mm
11,7 mm
In Table 5 are compared the values for the shell thickness of bottom plates obtained with
the class formulation and the finite element procedure. In the midship zone was obtained a
thickness reduction of 1 layer which represent a weight saving of 12%, and the plating in
the aft zone was reduced 2 layers which represents weight a saving of 18% approximately
4. Conclusions
The LPR MkII structure was assessed with respect to ABS rules and finite element
analysis. The maximum displacements and the inverse reserve factor for the Tsai-Hill
criteria were evaluated. Weight savings of up to 18 percent were achieved using the finite
element approach.
5. References
[1]. ABS, American Bureau of Shipping . “ Guidance Notes on Structural Direct
Analysis for High-Speed Craft, 2011.
[2]. Roberto Ojeda, B. Gangadhara Prusty, Marcos Salas, “Finite element investigation
on the static response of a composite catamaran under slamming loads”, Ocean
Engineering, Volume 31, Issue 7, May 2004, Pages 901-929.
[3]. Carlos Gonçalves, Rui F. Martins, Raquel Almeida, Luís Leal das Neves, “Static
and Fatigue Behaviour of the Main Section of a Fast Patrol Boat”, Procedia
Engineering, Volume 74, 2014, Pages 161-164.
[4]. Mohammad Reza Khedmati, Masoud Pedram, “A numerical investigation into the
effects of slamming impulsive loads on the elastic–plastic response of imperfect
stiffened aluminium plates”, Thin-Walled Structures, Volume 76, March 2014,
Pages 118-144.
[5]. R. Sharma, Tae-wan Kim, Richard Lee Storch, Hans (J.J.) Hopman, Stein Ove
Erikstad, “Challenges in computer applications for ship and floating structure
design and analysis, Computer-Aided Design”, Volume 44, Issue 3, March 2012,
Pages 166-185.
[6]. ABS, American Bureau of Shipping . “ Rules for Building and Classing High-Speed
Craft”, 2013.
[7]. Oscar D. Tascon, Jaime D. Mora, Roberto J. Algarin, “ Simulation of The Dynamic
Behavior Of Ship Based On Slender –Body Theory SBT”, Ship science and
Technology, Volume 7, Issue 13, 2012.
[8]. Jones R. Mechanics of composite materials. Taylor & Francis. Philadelphia, 1999,
pp. 109-112.
[9]. Ansys 14.5.0 , “Theory Reference Manual”
SMEC 2014 – Simposio Nacional en Mecánica de Materiales y Estructura: Experimentación,
Modelado Numérico y Teórico
Análisis Numérico de Impacto Hidrodinámico usando un Método
de Partículas
Jairo H. Cabrera Tovar, PhD Ing. Naval
Facultad de Ingeniería de la Universidad Tecnológica de Bolívar, Cartagena, Bolívar
[email protected]
Resume. El presente estudio propone desarrollar e implementar un método de partículas para
analizar el problema de interacción fluido-estructura como es el fenómeno de impacto de la
proa de una embarcación en el agua, donde informaciones de presiones, posiciones y
velocidades deberán ser evaluadas en cada ciclo de la simulación. Entre las técnicas
numéricas fue seleccionado el método MPS (Moving Particle Semi-Impricit Method) que se
fundamenta en partículas y sus interacciones. Se utilizará para su validación experimental un
modelo de cuña con un ángulo de inclinación de 45º y el canal de pruebas del laboratorio de
Ingeniería Naval de la Escuela Politécnica de la Universidad de Sao Paulo.
Keywords: Método
Hidrodinámico.
de
Partículas,
MPS,
Interacción
Fluido-Estructura,
Impacto
1. INTRODUCCIÓN
El problema de interacción fluido-estructura es importante en muchas aplicaciones de la
ingeniería. El fenómeno de impacto hidrodinámico de un cuerpo solido, rígido o elástico, en
la superficie libre del agua es una de estas aplicaciones. Este fenómeno puede ser observado
en la proa de las embarcaciones navegando sobre las olas, en el poso y despegue de
hidroaviones; en el lanzamiento de balsas salva vidas y en el impacto de las olas en
estructuras oceánicas como plataformas de petróleo y en muelles, quiebra mares y otras
estructuras portuarias.
El aumento de la intensidad del campo de presiones en el agua debido al impacto
hidrodinámico causa tensiones localizadas de gran intensidad en las estructuras marítimas.
Estas tensiones pueden ocasionar fatiga del material, vibraciones locales que puede ser
transmitidas al sistema de cargas primarias de una embarcación llevando a daños estructurales
graves conforme Yamamoto et. al. (1984).
Los principios básicos del fenómeno de impacto hidrodinámico ya son conocidos hace un
tiempo considerable, mas debido a su naturaleza no lineal, su estudio analítico, generalmente
basado en hipótesis simplificadoras y métodos de linealización, posee aplicaciones limitadas y
no muestra resultados precisos.
Con el reciente desarrollo de los metodos CFD (Computer Fluid Dynamic), beneficiados
por la cresciente velocidad de procesamiento y capacidad de almacenamiento de memoria de
los computadores, se volvió una alternativa promisora el tratamiento del problema de
intereración fluido-estructura por metodos numéricos. Estos metodos son principalmente
utiles para el estudio de este tipo de fenomeno, no lineal y transitorio, permitiendo
simulaciones con relativa velocidad y en diferentes situaciones.
Métodos computacionales para la simulación de fluidos incompresibles fueron basados,
en las últimas décadas, en la discretización del dominio en células elementales, métodos
llamados de mallas – Grids o Mesh Methods – utilizando una formulación euleriana de las
ecuaciones de la mecánica de fluidos. Sin embargo, sigue siendo complejo analizar problemas
en que el contorno de la interface mude continuamente con las superficies libres, como es el
caso del fenómeno de impacto hidrodinámico, esto refleja la carencia de investigaciones de
métodos numéricos aplicados específicamente a este problema.
Recientemente se viene desarrollando una familia de métodos numéricos que dispensan el
uso de mallas – Grid-less o Meshless Methods, conocidos como Métodos de Partículas, donde
cada partícula-fluido sigue una formulación langrangiana. En este trabajo es desarrollado un
método de partículas para analizar el problema de interacción fluido-estructuras, mas
particularmente el fenómeno de impacto hidrodinámico. No habiendo la necesidad de nodos
en este método las deformaciones topológicas de las interfaces pueden ser completamente
analizadas. En este trabajo será presentado el modelamiento numérico así como la aplicación
del problema, resultados y comparaciones con datos obtenidos a partir de un ensayo
experimental.
2. ECUACIONES DE GOBIERNO
Las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes describen el movimiento de un fluido en Rn
(n=2 o 3). En esas ecuaciones las variables a ser encontradas son un vector de velocidad
n
u  x , t    u i  x , t  1  i  n  R
y uno de presión p  x , t   R n definidos por la posición x  R n e
t  0 .
Aquí limitamos la atención para fluidos incompresibles, así las ecuaciones de NavierStokes son dadas por,

t
n
ui 

j 1
n
div u 

i 1
ui
u i
x
u i
xi
 ui 
j
p
xi
 f i  x ,t 
 0
siendo las condiciones iniciales:
u  x ,0   u
0
x 
x 
x 
R ,t  0
x 
R
R
n
n

(1)
n
,t  0 
(2)

(3)
En las ecuaciones anteriores, f i  x , t  son los componentes de la fuerza externa aplicada y
conocida sobre el fluido (por ejemplo la gravedad),  es un coeficiente positivo (la
n
viscosidad),
 

i 1

2
2
xi
es el laplaciano en el espacio de las variables y
inicial conocida. Las ecuaciones de Euler son (1),(2) e (3) con

u
0
es la velocidad
igual a cero.
La Ec. (1) es justamente la Ley de Newton f  m a para un elemento de fluido sujeto a
la fuerza externa f   f i  x , t   1  i  n y las fuerzas que surgen de la presión y de la frición. La
Ec. (2) significa que el fluido es considerado incompresible.
En una formulación lagrangiana, para fluidos incompresibles y no viscosos, las
ecuaciones de conservación de la masa y conservación de momento, sin el termino de
viscosidad, toman la forma de las Ec. (4), a seguir,

t
Du
 0
 
Dt
1

(4)
P  f
Donde  , u , P e f representan la densidad, la velocidad, la presión y las fuerzas externas
actuando sobre el fluido, correspondientemente.
La ventaja del empleo de la notación vectorial por medio del operador divergente es que
la expresión queda independiente del sistemas de coordenadas adoptado.
Las Ec. (4) son las ecuaciones de Navier-Stokes en coordenadas materiales (formulación
lagrangiana) envolviendo términos de convención que son calculados directamente por el
movimiento de las partículas.
En el proceso de discretización de las Ec. (4), todos los termos expresados por operadores
diferenciales son substituidos por las interacciones entre las partículas. Con este fin serán
presentados mas adelante modelos de interacción entre estas partículas.
La aproximación padrón para resolver ecuaciones diferenciales parciales en cualquier
aplicación en la ingeniería es el uso del esquema de diferencias finitas, elementos finitos o de
volúmenes finitos. Estos métodos basados en grids poseen dos formas de describir el
movimiento material en el espacio. Se pueden usar coordenadas materiales (lagrange grid) o
un grid fijo en el espacio (Euler Grid).
Normalmente los métodos que utilizan mallas usan la ecuación de continuidad escrita
como la divergencia de la velocidad. En el método de partículas esta misma ecuación es
escrita en función de la densidad.
En este trabajo y para la aplicación del problema de interacción fluido-estructura, se
utiliza la formulación langrangiana de las ecuaciones de Navier-Stokes, Ec. (4).
3. MÉTODO DE PARTÍCULAS
Formulación Básica
La discretización espacial de las variables de estado es proporcionada por un conjunto de
puntos. En lugar de grids, el método de partículas SPH (Smooth Particle Hydrodynamic),
Lucy (1997), utiliza una función kernel para interpolar las variables de campo en cualquier
punto del dominio. Por ejemplo, una estimación del valor de una función f  x  en la
localización x es dada en forma continua por una integral de el producto de la función y una
función kernel (peso) w  x  x ' , h 
f x  
 f  x'  w  x
 x ' , h  dx '
(5)
Donde
denota la aproximación kernel, h es un parámetro que define el tamaño del
soporte del kernel, conocido como longitud de suavidad y x ' es una nueva variable
independiente.
La función kernel usualmente tiene las siguientes propiedades:
a. Soporte compacto, lo cual significa que tiene valor cero en todo punto menos en
un dominio finito dentro del rango de la longitud 2 h
w  x  x' , h   0
para
(6)
x  x'  2 h
b. Normalizada
 w x
 x ' , h  dx '  1
(7)
Estas propiedades, formuladas por Lucy (1997), garantizan que la función kernel sea
reducida a la función delta de Dirac cuando h tiende para cero,
lim w  x  x ' , h     x  x ' , h 
(8)
h 0
y por lo tanto,
f x   f x 
lim
h 0
(9)
Si la función f  x  es conocida solamente en un número finito de puntos
integral de la Ec. (5) se puede aproximar por la suma,
f x  
N

j 1
donde
m

m

j
  w x 
f x
j
j
j
x ,h

N
, la
(10)
j
j
es el volumen asociado para la partícula
j
.
La Ec. (10) constituye la base del método SPH. El valor de una variable en una
partícula, denotada por el subindice i , es calculada sumando las contibucciones de un
conjunto de partículas vecinas, denotadas por el sobre indice j y para el cual el kernel es
diferente de cero.
 
f x
i
N


j 1
m

j
j
  w x
f x
j
i
j
 x ,h

(11)
Para completar la discretización es necesário definir la función kernel. Difentes
funciones kernel han sido discutidas en la literatura, desde polinoniales hasta gausianas, como
pueden ser vistas en Monaghan y Gingold (1983), Koshizuka et. al. (1994), Koshizuka et. al.
(1995a.), Koshizuka et. al. (1995b.) y Koshizuka y Oka (1996).
Método de Partículas MPS
El método de partículas MPS (Moving Particle Semi-Implicit Method) fue presentado
inicialmente por Koshizuka y Oka (1996). Este método de naturaleza lagrangiana, fue
desarrollado para resolver las ecuaciones de gobierno de fluidos incompresibles. El MPS
requiere solamente de las propiedades de los fluidos, su posición y velocidad inicial. En la
evaluación de la incompresibilidad, se hace uso de un algoritmo semi-implícito. El MPS
dispensa el uso de mallas, discretizando el espacio por intermedio de partículas (puntos
lagrangianos), donde la solución será conocida. Todas las variables del problema son
calculadas en esos puntos, haciendo uso de una función kernel de interpolación.
En este estudio una partícula interactúa con las otras de su vecindad y delimitada por la
función de peso kernel w(r) igual a:
 re
1

w (r )   r
0

( 0  r  re )
(12)
( re  r )
donde r es la distancia entre dos partículas y re es el radio del área de interacción como es
mostrado en la figura 1. La función kernel así definida tiene soporte compacto, o sea, ella
tiene valor cero en todo punto menos en un conjunto cerrado y limitado, además es infinito en
r=0, esto provee una estabilidad numérica en los modelos incompresibles.
j
rij
i
re
Figura 1 – Área de Interacción
Modelos de Interacción entre Partículas
La densidad del número de partículas en la coordenada
localizada es calculada por la Ec. (13):
n
i

 w
r j  ri

ri
donde la partícula i esta
(13)
ji
Asumiendo que las partículas tienen una misma masa m, podemos establecer que la
densidad del fluido es proporcional al número de la densidad de la partícula según la igualdad:

i
 m N
i
m n


i
(14)
w ( r ) dv
V
De la Ec. (14) tenemos que la densidad del fluido es constante si solamente la
densidad del numero de partículas permanece también constante. Denotaremos no la constante
de la densidad del numero de partículas. Partículas situadas en la superficie libre poseen
densidad del numero de partículas menor que no. Una partícula que satisfaga la condición
n i   n 0 , donde  es constante, es tratada como partícula de la superficie o de la interface.
Según experimentos de Koshizuka y Oka (1996), un valor apropiado para  es de 0.97.
El vector gradiente con respecto a una cantidad  es definido, entre dos partículas i y
j, según la Ec. (15).



ij
j
 i
2
rj  r i
(15)
( r j  ri )
Con la finalidad de evaluar el termino de gradiente de la presión en la Ec. (4), es
necesario calcular los vectores gradientes en las posiciones de las partículas. Para esto, los
vectores gradientes entre las partículas i y su partícula vecina j son ponderados con la función
kernel, Ec. (12), y así se obtiene el vector gradiente en la partícula i, según la Ec. (16).

i

d
n
0

  i
 j
( r j  ri ) w r j  ri
2
 r  r
i
 j






ji

(16)
donde d es el número de dimensiones do espacio.
El laplaciano es un operador representando difusión. En el método MPS, difusión es
modelada por la distribución de una cantidad a partir de una partícula i para sus partículas
vecinas j usando la función kernel. Así, el modelo laplaciano puede ser expresado por la Ec.
(17).
2
 
2d

n
i
0


j

  i w r j  ri
 ,
(17)
ji
En la Ec. (17), el parámetro  representa un incremento de la variancia y es igual de
aquel de la solución analítica da Ec. (18).

 
r j  ri
2

w r j  ri

2d
ji
 wr
j
 ri

n
0

2

w ( r ) r dv
V

(18)
w ( r ) dv
V
ji
El teorema de limite central garantiza que la solución numérica se aproxime de la
solución analítica cuando el aumento de la variancia es a igual al de la solución analítica. Este
modelo laplaciano es aplicado a la ecuación de poisson de presión y los términos de difusión
en las ecuaciones de Navier-Stoke.
El Algoritmo
La ecuación de continuidad requiere la densidad del fluido constante. Si todas las
partículas tiene el mismo radio de la función peso, entonces la densidad del número de
partícula es constante e igual a no. Cuando la densidad del número de partículas temporal n *
no es igual no, n * es modificado implícitamente para no por,
n  n¢  n
*
0
(19)
El valor de n´ es representado por la divergencia de la modificación de la velocidad.
Esto es un valor de corrección de la velocidad por medio de la ecuación de conservación de la
masa:
n¢
n
0
   t  u ¢
(20)
la velocidad modificada u´ es derivada a partir del termino de gradiente de presión
implícito como:
u¢ = -
Dt
r
Pn+1
(21)
Combinando las ecuaciones anteriores obtenemos la ecuación de presión de poisson:
2
 P
n 1
 

t
n
2
*
 n
n
0
0
(22)
El campo de las presiones en un nuevo tiempo es obtenido resolviendo la Ec. (22). El
lado izquierdo de la ecuación es discretizado por el modelo laplaciano, Ec. (17), en
ecuaciones lineales simultáneas, y son resueltas usando el método de gradiente conjugado précondicionado incompleto de Cholesky (ICCG). El termino de gradiente de presión, situado en
el lado directo de la Ec. (21), es entonces calculado a partir de la Ec. (16), donde el escalar 
es substituido por Pn+1.
El algoritmo semi-implícito es presentado en la figura 2. En cada paso del tiempo, son
calculadas explícitamente las velocidades y las posiciones temporales de las partículas.
En el paso siguiente se determina la densidad del número de partículas. La ecuación de
presión de poisson es resuelta con los términos temporarios representando el desvío de la
densidad del numero de partícula, y luego después son obtenidos los valores de la presión.
Finalmente, se corrige las velocidades y las coordenadas espaciales adicionando los términos
del gradiente de presión como los valores de la presión en un nuevo tiempo.
Inicio
Datos de Entrada
Cálculo Explicito Provisional
u* = un + ! tg ; r * = r n + u² ! t !
*
Cálculo de n !
n* = # w rj ! ri
(
)
j² i
Incremento del
Tiempo
Resuelve Ecuación de Poisson de Presión
2
# P
n +1
n* ! n 0
=! 2
²t
n0
Corrección del Movimiento de la Partícula
u = u* + u ' ; r * = r n + u ' ! t
Veriﬁca
Criterio de
Parada
Fin
Figura 2 – Algoritmo Semi-Implícito de Partículas – MPS
4. ENSAYOS NUMÉRICOS Y RESULTADOS
Ensayos numéricos del fenómeno de impacto hidrodinámico fueron realizados utilizando
el método MPS. Los resultados fueron comparados con los ensayos experimentales realizado
con anterioridad y validados por Miyagi (2003) en el canal de pruebas del laboratorio de
Ingeniería Nava y Oceánica de la Escuela Politécnica de la Universidad de Sao Paulo,
EPUSP.
El procedimiento experimental fue ejecutado lanzando el modelo de impacto
bidimensional en la superficie del canal en caída libre a partir de una altura determinada. El
modelo fue instrumentado con transductores de presión como muestra la figura 3, registrando
las presiones de carácter dinámica puntuales en la cara de impacto del modelo.
El modelo de impacto utilizado en la comparación fue una cuña, confeccionada en
acrílico transparente con una masa de 4,8 Kg y un ángulo de elevación en relación a la
horizontal de 45o. La masa total incluyendo el modelo y el conjunto carro-hasta es de 18 kg.
Se simuló numéricamente el fenómeno de contacto e interacción de un fluido por medio
del método MPS. La cuña y el fluido del canal de pruebas fueron representados por 216 y
4848 partículas respectivamente, utilizándose la misma masa y dimensiones usadas en el
procedimiento experimental de Miyagi (2003). En el método MPS las paredes de contorno
son representadas por un arreglo de partículas fijas con velocidades iguales a cero. Las
paredes de la izquierda, del fondo y de la derecha son representadas por 741 partículas. La
distancia entre dos partículas vecinas es de 1.0 x10-2 m. La figura 4 ilustra el modelo
experimental y numérico de la cuña, detallando las localizaciones de toma de las presiones.
Los parámetros de cálculo de la simulación numérica son listados en la tabla 1.
La comparación de la simulación por el método de las partículas con una imagen del
fenómeno fotografiada por Miyagi (2003) es presentada en la figura 5. Se puede observar la
semejanza del cálculo numérico con el problema real.
La figura 6 representa los resultados de series temporales de presión de impacto de la
cuña de 45o medidos en 5 diferentes localizaciones de la cara del modelo de impacto, Punto 1
a Punto 5, a partir del procedimiento experimental. A altura de caída h determina la
velocidad de caída en el instante del impacto en la superficie libre. La figuras 7 y 8 ilustran
los resultados en dos localizaciones en la superficie de la cuña, mas de esta vez, utilizando el
procedimiento numérico derivado del método MPS. La velocidad de caída de la cuña es
representada numéricamente por la figura 9.
Figura 3 – Foto del modelo de cuña de ángulo de deadrise β = 45 - Miyagi (2003)
0.8
0.75
0.7
0.65
0.6
0.55
0.5
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
Figura 4 – Modelo de cuña experimental y numérico de ángulo de deadrise β = 450
Tabla 1 – Parámetros de la simulación
Número de Fluidos
Tipo de Fluido (pared)
Tipo de Fluido (pared + presión)
Densidad del Agua (Kg/m3)
Densidad (Fluido 1)
Densidad Fluido 2, 3
Coeficiente de Expansión (Fluido 0,1,2 y 3)
Tempo Máx. de Simulación
Máx. Número de Iteraciones
Máx. Incremento de Tiempo
Número Courant
Convergencia
Máx. Iteración p/ Rutina de la Presión
Mín. Iteración p/ Rutina da Presión
Distancia media entre Partículas
Radio de Interacción (Particle Number Density)
Radio de Interacción (Laplaciano)
Distancia Mín. p/ colisión
Número Dirichlet
Coeficiente de colisión
4
3
2
1000.0
1142.86
1000.0
1.0e-7
1.0
100000
1.0e-3
0.2
1.0e-6
100
10
1.0e-2
2.1
4.0
0.5
0.97
0.2
Figura 5 – Comparación de una imagen del procedimiento experimental versus
simulación numérica del fenómeno de impacto (t = 0.400250 s)
Figura 6 – Serie temporal de la presión de impacto - Cuña de β=45º - Δh=0,05m Vimp = 1,15 m/s – Miyagi (2003)
5000
4000
Pa
3000
2000
1000
0
0
0.2
0.4
Seg.
0.6
0.8
1
Figura 7 – Resultados de las simulaciones numéricas de la presión (Punto 2)
5000
4000
Pa
3000
2000
1000
0
0
0.2
0.4
Seg.
0.6
0.8
1
Figura 8 – Resultados de las simulaciones numéricas da presión (Punto 3)
-1.5
-1
-0.5
00
0.1
0.2
0.3
0.4
Figura 9 – Velocidad de caída de la cuña de 45º - Vimp =1.12 m/s
5. CONCLUSIONES
Las interacciones entre fluidos y estructuras son problemas difíciles de tratar por los
métodos convencionales. En este trabajo fue utilizado un método de partículas proveniente del
método MPS para la simulación del fenómeno de impacto hidrodinámico. La técnica fue
basada en una discretización de los operadores diferenciales, presentes en las ecuaciones de
Navier-Stoke, en modelos de interacción entre partículas.
Estableciendo un confrontamiento visual entre la simulación numérica y la experimental
en la figura 5, se observa una semejanza en la fragmentación del fluido así como en la
deformación de la superficie libre. Comparando ahora los resultados numéricos presentados
en la figuras 7 e 8, con los ensayos experimentales del procedimiento validados por Miyagi
(2003), se puede observar alguna divergencia en los valores picos de las presiones, esto se
debe a las oscilaciones numéricas implícitas y propias del método, mas se puede concluir que
la media de los valores acompañan los obtenidos experimentalmente, figura 6. La velocidad
de impacto, representada numéricamente en la figura 9, presentó un error mínimo del valor
del ensayo experimental.
Teniendo una mejor calidad de los resultados numéricos de las presiones de impacto y
corroborados por el ensayo experimental, la propuesta para la continuidad de la investigación
se concentra en su utilización de estas presiones en el calculo de las deformaciones y
tensiones del material, haciendo uso de la teoría de la elasticidad.
Agradecimientos: Al canal de Pruebas del Departamento de Engenharia Naval e Oceânica, Escola
Politécnica da Universidade de São Paulo, São Paulo, Brasil
REFERENCIAS
Monaghan J.J. e Gingold, R. A., 1983. Shock simulation by the particle method SPH.
Journal of Computational Physics Vol. 52, pp. 374-389
Yamamoto Y., Iida K., Kukasawa T., Murakami T., Arai M. e Ando A., 1984.
Analysis of structural damages of the fore body os a container ship due slamming. Journal of
the Society of Naval Architects of Japan V-155.
Koshizuka, H. Tamako, e Y. Oka, 1994. A particle method for simulating
incompressible Viscous Flow. Proc. Extended Abstract 3rd. World Congress Computational
Mechanics (WCCM III), p. 1880, Chiba, Japan.
Koshizuka, Y. Oka, e H. Tamako, 1995a. A particle method for calculating splashing
of incompressible viscous fluid. Proc. Int. Conf. Mathematics and Computations, Reactor
Physics, and Environmental Analyses. American Nuclear Society, p. 1514. Portland, Oregon.
Koshizuka, H. Tamako e Y. Oka, 1995b. A particle method for incompressible viscous
flow with fluid fragmentation. Comput. Fluid Dynamics, J., 4, 29
Koshizuka S. e Oka Y, 1996.Moving particle semi-implicit method for fragmentation
of incompressible fluid. Nucl Eng Science 123, 421-434
Lucy, L.B., 1997. A numerical approach to the testing of fusion process. Astronomical
Journal, Vol. 88, pp. 1013-1024.
Miyagi, Carlos, 2003. Análise experimental e numérica de impacto hidrodinâmico
bidimensional. Dissertação de Mestrado, Escola Politécnica da USP.
CARACTERIZACIÓN DINÁMICA DE ESTRUCTURAS
CELULARES HEXAGONALES
D. F. Avendaño, [email protected],
J. P. Casas-Rodriguez, [email protected],
A. Marañon, [email protected].
Departamento de Ingeniería Mecánica, Grupo de Investigación de Integridad Estructural,
Universidad de los Andes, CR 1 ESTE 19A-40, Bogotá, 111711, Colombia.
Resumen. El comportamiento dinámico de un honyecomb de alumninio en la dirección fuera del
plano es analizado en un rango de tasas de deformación de 200 s-1 y 300 s-1. Probetas de 9x9 a
17x17 celdas fueron empleadas para caracterizar dinamicamente el material. Este procedimiento
fue desarrollado con un Dispositivo de Impacto (Drop Weigth Testing - DWT) construido para la
investigación. El incremento de dos factores con respecto a la tasa de deformación fue evidente:
La pendiente del modulo tangente de densificación y el esfuerzo de deformación plástica de la
estructura celular hexagonal. Sobre los 200 s -1, el honeycomb fabricado con una aleación de
aluminio 5052 aumenta ligeramente su esfuerzo de deformación plástica al aumentar la tasa de
deformación, sin embargo cuando es ensayado a tasas de deformación cercanas a los 200 s -1, el
comportamiento dinámico es equivalente al cuasi estático.
Palabras clave: Estructura celular hexagonal (honeycomb), Dispositivo de Impacto (Drop Weight
Test – DWT).
1. INTRODUCCIÓN
El honeycomb de aluminio es usado comúnmente en la industria aeronáutica como núcleo de
paneles tipo sándwich como puede observarse en la Figura 1. Su uso generalizado en esta
aplicación es debido a su bajo peso; sus excelentes propiedades mecánicas; y la capacidad de
mitigar impactos a diferentes velocidades (Bitzer, 1997).
Figura 2. Estructura tipo sándwich con núcleo de honeycomb (Wadley, 2006).
El comportamiento dinámico y el mecanismo de falla de los honeycomb no están completamente
entendidos debido a la complejidad de la deformación después de que se alcanza la fluencia del
material. Cada celda hexagonal actúa como una columna a compresión que comparte las paredes
y la carga con las celdas vecinas. Cuando la falla del honeycomb ocurre, la pared de las celdas se
divide en múltiples bucles o bisagras de altura aproximadamente constante que fallan por pandeo
a medida que se aplica la carga. La deformación individual de cada columna hexagonal, así como
la forma en que esta deformación se propaga en ellas, depende de factores como: las
propiedades mecánicas del aluminio; las propiedades del adhesivo; la carga aplicada y su
dirección. De igual forma, la cinemática de la deformación puede verse afectada por algunos
parámetros de la geometría de la celda tales como: la dimensión del hexágono; el espesor de la
lámina de aluminio; el radio de conformación de las paredes; defectos de manufactura; anisotropía
de la celda debida a las juntas adhesivas; y el espesor total del material laminado entre otros (Wu
and Jiang, 1997; Zhao and Abdennadher, 2004; B. Hou, 2011; Hou et al., 2011; Xu et al., 2012).
1.1 Comportamiento del honeycomb sometido a compresión cuasi estática.
En 1963, Mc Farland (Mc Farland, 1963) desarrolló uno de los primeros modelos matemáticos
para entender el comportamiento mecánico de las estructuras hexagonales sometidas axialmente
a cargas cuasi estáticas. A pesar de que su aproximación teórica no se ajustaba completamente a
los resultados experimentales, su investigación fue el referente en el área de investigación por tres
décadas. Ashby y Medalist (Ashby, 1983) definieron la micro mecánica global de una estructura
celular basados en el comportamiento de una sola celda hexagonal. Gibson y Ashby (Gibson,
1997) definieron un modelo matemático para estimar el módulo de elasticidad, el módulo de
Poisson y el módulo de rigidez del honeycomb con base en la densidad relativa y la geometría de
la celda. Wierzbicki (Wierzbicki, 1983), formuló un modelo matemático para determinar del
esfuerzo dinámico de deformación plástica bajo condiciones cuasi estáticas basado en el
mecanismo de falla del honeycomb y teniendo en cuenta la energía disipada en este proceso.
1.2 Comportamiento del honeycomb sometido a compresión dinámica.
Diferentes metodologías experimentales han sido desarrolladas para entender el comportamiento
dinámico a compresión del honeycomb (Field et al., 2004). Esencialmente estas técnicas pueden
ser categorizadas en tres tipos: bajas (100 a 101 s-1), altas (101 a 104 s-1) e híper altas (104 a 108 s-1)
tasas de deformación.
En el rango de las bajas tasas de deformación, dispositivos gravitacionales o pendulares con
proyección de masas son empleados comúnmente (Ruiz-Herrero et al., 2005). Con este tipo de
instrumentos, una respuesta primordialmente plástica es obtenida (Field et al., 2004). En el rango
de las altas tasas de deformación, el dispositivo de Taylor y la barra de Kolsky (Split Hopkinson
Pressure Bar) son las técnicas más utilizadas. La respuesta del material en este rango de tasas de
deformación involucra componentes visco elásticas. Con tasas de deformación sobre los 104 s-1, el
comportamiento del material está más próximo al de un líquido que al de un sólido, incluso
llegando a alcanzar la vaporización (Zukas, 1982).
En este punto, es muy importante mencionar que el honeycomb empleado en este estudio, es
utilizado como atenuador de impactos de objetos incidentes que se mueven a baja velocidad y
que producen en el material una deformación plástica con bajas tasas de deformación.
El entendimiento actual del comportamiento dinámico del honeycomb a bajas tasas de
deformación ha sido desarrollado mediante experimentación directa (Xu et al., 2012), modelos
numéricos (Yamashita and Gotoh, 2005), y modelos analíticos (Zarei Mahmoudabadi y Sadighi,
2011). Independientemente de la metodología empleada, estos estudios presentan de forma
sistemática las curvas de esfuerzo deformación unitaria del honeycomb a diferentes tasas de
deformación, a partir de las cuales el esfuerzo durante la deformación plástica del material puede
ser obtenido. Aun cuando generalmente el aluminio presenta una baja sensibilidad a la tasa de
deformación (Hou et al., 2012), algunos estudios indican que cuando el honeycomb fabricado de
aluminio laminado es deformado dinámicamente por un impacto, este puede incrementar su
esfuerzo de deformación plástica hasta en un 50% con el aumento de la velocidad del impacto
(Werner Goldsmith, 1992; Goldsmith y Louie, 1995; Baker et al., 1998). Principalmente, cuatro
factores afectan el desempeño del honeycomb sometido a cargas dinámicas: la sensibilidad del
material del honeycomb a la tasa de deformación unitaria, el aire atrapado en la celda durante la
colisión, el efecto micro inercial del material y el efecto dinámico de la técnica experimental
empleada (Zhao y Abdennadher, 2004). Este trabajo se enfoca principalmente en los análisis del
primero y cuarto factor citados anteriormente.
Con objeto de caracterizar dinámicamente a compresión el honeycomb dentro del rango de bajas
tasas de deformación, se diseñó y construyó un dispositivo de impacto Drop Weight Test (DWT).
En este instrumento, la energía del impacto puede ser ajustada de acuerdo a las dimensiones de
la probeta de honeycomb para obtener un colapso a compresión completo. Algunas de las
características principales de este método son: su bajo costo, simplicidad, facilidad constructiva y
adaptabilidad a diferentes pruebas y experimentos. El objetivo principal de esta investigación es
por tanto, caracterizar dinámicamente una muestra de honeycomb hexagonal sometido a impactos
de baja velocidad, mediante un dispositivo de impacto Drop Weight Test (DWT).
2. RELACIÓN ESFUERZO DEFORMACIÓN UNITARIA EN UN HONEYCOMB
En la Figura 2 se muestra un ejemplo típico de una curva esfuerzo deformación unitaria de
honeycomb sometido a una carga cuasi estática de compresión. En la figura pueden identificarse
tres zonas: elástica, plástica y densificación. La primera está localizada entre el inicio de la
deformación unitaria y el esfuerzo límite de fluencia del honeycomb. La segunda inicia con la
deformación plástica de las paredes de las celdas y se desarrolla con la falla por pandeo de los
prismas hexagonales. En la zona plástica, el valor del esfuerzo cae inicialmente por debajo del
esfuerzo de deformación plástica de las celdas
hasta que se alcanza la compactación por
pandeo de una primera parte de la pared del prisma hexagonal, entonces el esfuerzo se recupera
mientras una sección inferior no deformada comienza a generar un segundo pliegue y este
proceso se repite hasta que el honeycomb ha sido totalmente comprimido. Después de esto, las
paredes del prisma hexagonal han fallado en diferentes etapas secuenciales por pandeo y el
esfuerzo aumenta debido a que el honeycomb completamente comprimido ya no puede disipar
más energía, entonces se elimina la carga a compresión y el ensayo finaliza.
Figura 2. Diagrama esfuerzo deformación típico del honeycomb.
En general, si el material es sensible al incremento de la tasa de deformación ̇ , un incremento en
la pendiente del módulo de elasticidad y en la magnitud del esfuerzo de deformación plástica
, pueden ser observados (Figura 2). El esfuerzo de deformación plástica es la respuesta del
honeycomb a la fuerza aplicada en una sección transversal definida, después de que el material
ha excedido su límite elástico y antes de que alcance la densificación total. Este es el principal
parámetro empleado en la caracterización del desempeño del honeycomb bajo condiciones cuasi
estática y fuerzas impulsivas. Puede ser definido como el esfuerzo promedio entre el 25% y el
75% de la deformación unitaria (ASTM D7336, 2013). El esfuerzo de deformación plástica es el
parámetro caracterizado en esta investigación.
En 1983, Wierzbicki (Wierzbicki, 1983) desarrollo una ecuación para calcular el esfuerzo de
deformación plástica bajo condiciones cuasi estáticas, como función del esfuerzo de fluencia del
material laminado que conforma las paredes del honeycomb ( ), la longitud de la arista del
hexágono ( ); y el espesor de pared de la celda hexagonal (t).
.
(1)
De acuerdo a Hou et al. (Hou et al., 2012), el esfuerzo de deformación plástica de un honeycomb
se incrementa como función de la tasa de deformación. Hou et al., atribuyen esto al efecto inercial
que ocurre en las paredes de la celda al ser aceleradas lateralmente durante la deformación
plástica. Experimentos llevados a cabo por Xu et al. (Xu et al., 2012) condujeron al desarrollo de la
siguiente expresión para calcular el esfuerzo de deformación plástica en condiciones dinámicas
:
̇
(2)
donde, ̇ es la tasa de deformación empleada por los autores para determinar el esfuerzo de
deformación plástica (1x10-3 s-1 a 2x102 s-1). Esta fórmula aplica solamente para celdas
hexagonales con una relación de aspecto
= 0.0139, la cual corresponde justamente a la del
material objeto de este estudio.
2.1 Velocidad de densificación.
Con objeto de calcular la energía requerida para compactar la probeta de honeycomb, se requiere
determinara la velocidad a la cual la densificación total del material es alcanzada. Reid (Reid y
Peng, 1997) y Harrigan (Harrigan et al., 2010), establecieron la siguiente expresión para estimar
esta velocidad empleando un modelo Rígido Perfectamente Plástico Fijo (RPPF):
√
(
),
(3)
donde,
es el esfuerzo de deformación plástica (Ecuación 2),
es la deformación unitaria de
densificación (típicamente 0.8),
es la densidad del material celular (72.1 kg/m³),
es la masa
de la probeta (ver Tabla 1) y
es la masa del martillo de impacto (13.9 kg) (ver Tabla 3).
Conocida la velocidad de densificación, la altura requerida para alcanzar la deformación del
honeycomb con el martillo de impacto puede ser determinada mediante la ecuación:
,
(4)
donde,
es la velocidad de caída seleccionada para el martillo de impacto (
constante de aceleración gravitacional.
y
es la
3. METODOLOGÍA
El honeycomb de aluminio fue caracterizado dinámicamente empleando un dispositivo DWT.
Cinco tamaños de probetas en un rango de 9x9 a 17x17 celdas hexagonales fueron ensayados en
condiciones dinámicas a tres tasas de deformación diferentes. Adicionalmente, dos probetas de
17x17 celdas fueron ensayadas a dos tasas de deformación distintas en condiciones cuasi
estáticas para comparar los resultados con la caracterización dinámica.
3.1 Material.
Probetas de honeycomb de aluminio de 1/8"-5052-0.001N-4.5x0.5" fueron empleadas en este
estudio. En la Tabla 1 se presentan la propiedades geométricas de las probetas empleadas,
donde
es el número total de celdas en un probeta de
celdas;
y
son el ancho y
largo total de la probeta y
es su sección transversal. El número mínimo de celdas requeridas
para especificar el tamaño de la probeta, se determinó de acuerdo a la norma ASTM D7336.
Tabla 1. Propiedades geométricas de las probetas.
(mm)
(mm)
Masa
(gr)
(m²)
77
30.66
27.64
0.83
8,47x10
MUESTRA
9
-4
1
9
X
2
11
X 11
116
37.11
33.17
1.20
1,23x10
3
13
x
13
163
43.56
38.70
1.82
1,69 x10
4
15
x
15
218
50.01
44.23
2.32
2,21 x10
5
17
x
17
281
56.46
49.76
2.88
2,81 x10
-3
-3
-3
-3
La Tabla 2 presenta las propiedades mecánicas del aluminio laminado 5052 que conforma las
paredes del honeycomb.
Tabla 2. Propiedades Físicas y Mecánicas del Aluminio Laminado 5052.
Propiedad (Matweb, 2013)
Módulo de Elasticidad
Esfuerzo de fluencia
Módulo de Poisson
Módulo de corte
Densidad
70.3GPa
292MPa (Xu et al., 2012)
0.33
25.9GPa
2698.4 kg/m³
3.2 Técnicas Experimentales.
Ensayos cuasi estáticos y dinámicos a baja velocidad fueron realizados para caracterizar el
material objeto de estudio, el procedimiento se describe a continuación.
3.2.1 Ensayo Cuasi Estático.
Ensayos cuasi estáticos a compresión con velocidad constante fueron realizados en una máquina
universal de ensayos de 50 kN (Instron 3367), sobre dos probetas de 17x17 celdas a dos tasas de
deformación (35x10-3 s-1 and 1x10-4 s-1). Los resultados obtenidos en este ensayo fueron usados
para calcular el esfuerzo de deformación plástica a partir de las curvas de esfuerzo deformación
unitaria a las tasas de deformación mencionadas.
3.2.2 Ensayo Dinámico.
Un dispositivo de impacto Drop Weight Test (DWT), fue desarrollado a propósito de esta
investigación. Los párrafos siguientes describen el principio de operación del instrumento (Figura
3).
Inicialmente, el martillo de impacto (Indicador 2 Figura 3) se posiciona verticalmente a la altura
deseada, mediante un motor y una transmisión por cadena sobre dos columnas guía. El soporte
del martillo se fija de manera manual con dos prensas axiales montadas en las columnas. La
probeta por ensayar es ubicada en la zona instrumentada de pruebas (Indicador 1). El ensayo
comienza cuando el martillo es liberado de su soporte y cae sobre la probeta. Durante el impacto,
se realiza la adquisición de las señales de fuerza y deformación por compresión de la probeta.
Después de la colisión entre el martillo y la probeta, ocurre un rebote elástico del primero; esto
conduce a un segundo impacto gravitacional. Con el fin de evitar esto, un conjunto de cilindros
neumáticos (Indicador 4) son ubicados en la zona de pruebas de la máquina. Estos son
sincronizados mediante un retardo de tiempo ajustable según la magnitud de la energía potencia
almacenada en el martillo al inicio de la prueba. Los parámetros de operación del dispositivo de
impacto se presentan en la Tabla 3.
Figura 3. Dispositivo de Impacto DWT (a) Vista general, (b) Área de pruebas.
Las señales de fuerza y deformación por compresión son sincronizadas en el tiempo y son
empleadas para construir las curvas de esfuerzo contra deformación unitaria de cada probeta
ensayada. En este experimento, tanto la velocidad de impacto como la tasa de deformación varían
a medida que la deformación de la probeta varía. La razón de esto es que la energía de impacto y
la altura de la probeta se reducen simultáneamente con la deformación. En consecuencia, los
valores reportados de la velocidad de impacto y tasas de deformación son calculados empleando
las condiciones iniciales del ensayo para todas las muestras (Zarei Mahmoudabadi and Sadighi,
2011).
Tabla 3. Parámetros del dispositivo de Impacto (Ver Figura 3).
Martillo (Indicador 2): 13.90±0.23 kg
SICK DT60: sensor de posición del martillo (Indicador 5), Rango de medida: (0.20 m a 5.2 m)
Altura máxima de impacto del martillo: 1.00 ± 0.01 m
Velocidad máxima de impacto: 4.42 ± 0.02 m/s
Energía potencial máxima: 136.22 ± 4.59 J
LDS 90/40-M: sensor de deformación por compresión (Indicador 3), Rango de medida: (0 a 40 mm)
-4
Altura mínima de impacto del martillo: 0.01530 ± 0.4x10 m
-3
Velocidad mínima de impacto: 0.5477 ± 0.7x10 m/s
Energía potencial mínima: 2.08 ± 0.04J
9212 Kistler: 4 Sensores piezoeléctricos de fuerza (Indicador 1):
Fuerza de compresión máxima por sensor: 22241.1 ± 2.22N
Fuerza nominal máxima a compresión: 88964.4 ± 2.22N
Fuerza de tensión máxima por sensor: 2224.1 ± 2.22 N
Fuerza nominal máxima a tensión: 8896.4 ± 2.22N
3.2.2.1 Caracterización Dinámica
Quince ensayos fueron realizados para caracterizar dinámicamente las probetas. Tres probetas de
cada muestra fueron preparadas (Tabla 1), y cada una fue ensayada a una tasa de deformación
seleccionada entre 200 y 300 s-1, con velocidades de impacto del martillo entre 2.5 y 3.8 m/s. Las
tasas de deformación fueron seleccionadas de acuerdo a dos criterios: (1) la velocidad máxima
desarrollada por el martillo de la máquina (asociado esto también a la capacidad máxima de
respuesta de los sensores piezoeléctricos), y (2) la velocidad mínima del martillo requerida para
alcanzar la densificación completa por impacto del honeycomb (Ecuación 3).
VELOCIDAD DE IMPACTO (m/s)
4,0
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
1
2
3
4
5
TAMAÑO DE PROBETA
Figura 4. Velocidad de impacto requerida para alcanzar la densificación total según el tipo de
muestra, Tabla 1 y Ecuación 3.
La Figura 4 muestra los resultados de evaluar la Ecuación 3 para diferentes tamaños de muestra.
El tamaño uno corresponde a la probeta de 9x9 celdas, el tamaño dos a una de 11x11, etc.,
(Tabla 1). La grafica de barras de la Figura 4 fue empleada para seleccionar las velocidades de
impacto apropiadas en cada experimento. Una velocidad del martillo seleccionada sobre el rango
de cada barra asegura una densificación total de la probeta; mientras que una velocidad
seleccionada dentro del rango de la barra implica simultáneamente una densificación incompleta y
un impacto perfectamente plástico. Las probetas de las muestras uno y dos pueden ser
densificadas a velocidades de impacto de 2.5m/s. Esto corresponde a una tasa de deformación de
200 s-1. A la misma tasa de deformación, probetas de las muestras tres a cinco presentaran una
densificación parcial (Figura 4). Adicionalmente, con tasas de deformación de 250 s-1 y una
velocidad inicial de impacto de 3.2 m/s, las probetas de las muestras uno a cuatro se densificarán
totalmente; mientras la muestra cinco solo lo hará parcialmente. Finalmente, a una tasa de
deformación de 300 s-1 y una velocidad inicial de impacto de 3.8 m/s, todas las probetas de las
muestras alcanzan densificación total.
3.2.3 Procesamiento de Señales.
Después del evento de impacto, el sistema de adquisición almacena las señales de fuerza y
deformación por compresión simultáneamente. El sensor laser Sick DT60 le indica al control la
altura del martillo sobre la probeta. El sensor láser LDSM 90/40 envía al control la señal de la
posición del martillo durante la deformación de la probeta. Finalmente, cuatro sensores
piezoeléctricos Kistler 9212, envían al control las señales de la fuerza de compresión ocasionada
por el impacto. La tasa de adquisición seleccionada en el módulo de control de señales en
LabVIEW® fue fijada en 100 kS/s.
4. RESULTADOS
Los resultados fueron agrupados de acuerdo a los ensayos en el rango cuasi estático (fuerza y
desplazamiento), y dinámico (fuerza de compresión, desplazamiento del matillo y tiempo). Con la
información obtenida de estos experimentos, se construyeron las curvas esfuerzo deformación
unitaria del material.
4.1 Ensayos en el rango cuasi estático.
Dos probetas de 17x17 celdas fueron comprimidas a velocidades de 25 mm/min y 0.72 mm/min,
las cuales son equivalentes a tasas de deformación de 1x10 -4 s-1 y 35x10-3 s-1, respectivamente. A
pesar de que las dos tasas de deformación tienen una diferencia de un orden de magnitud, no se
pudieron observar diferencias significativas entre las dos curvas de esfuerzo deformación, como
puede observarse en la Figura 5.
Figura 5. Curvas de fuerza contra desplazamiento de ensayos en condición cuasi estática a
1x10-4 s-1 y 35x10-3 s-1.
4.2 Ensayos en el rango dinámico.
Por cada muestra de honeycomb (Tabla 1), se prepararon tres probetas y estas fueron
respectivamente ensayadas a tasas de deformación de 200 s -1, 250 s-1 y 300 s-1. La información
del comportamiento de las señales sincronizadas de fuerza contra tiempo y desplazamiento del
martillo contra tiempo durante la compresión dinámica fue almacenada mediante el sistema de
adquisición con LabVIEW®. La información correspondiente a las señales almacenadas fue
posteriormente procesada para construir las gráficas de esfuerzo contra deformación unitaria. El
esfuerzo fue obtenido al dividir la fuerza de compresión por el área de la probeta; y la deformación
unitaria dividiendo el desplazamiento por la altura de la probeta.
Para cada curva de esfuerzo contra deformación unitaria, el valor del esfuerzo por deformación
plástica en condiciones dinámicas (
) se obtuvo como el promedio de los valores de esfuerzo
en un rango de deformación unitaria del 25% al 75%.
4.2.1
Medición de fuerza y tiempo.
La Figura 6 muestra el comportamiento de las señales de fuerza contra tiempo en una probeta de
11x11 celdas a las tres tasas de deformación especificadas más arriba. Este comportamiento es
similar al obtenido por Reid y Peng (Reid and Peng, 1997). A medida que la tasa de deformación
aumenta y por lo tanto también la velocidad de impacto, el tiempo de densificación de la probeta
se reduce. La fuerza obtenida después de la densificación también es más alta, debido a que el
material compactado ya no puede disipar la energía cinética transmitida durante el impacto. Se
puede observar también que siempre que la fuerza de densificación (pico después de 0.003 s en
la Figura 6) sea mayor o igual a la fuerza de impacto inicial (pico antes de 0.003 s en la Figura 6),
la densificación de la probeta es total y ocurre un rebote elástico del martillo siempre, de otra
forma el impacto es perfectamente plástico.
Figure 6. Curva de fuerza contra tiempo para una probeta de 11x11 a tasas de deformación de:
200 s-1, 250 s-1 y 300 s-1.
4.2.2 Medición del desplazamiento del martillo y tiempo.
La Figura 7 muestra una curva típica de desplazamiento del martillo contra tiempo durante el
impacto con la probeta de honeycomb. Esta figura muestra las señales original y filtrada para una
probeta de 11x11 celdas a una tasa de deformación de 200 s -1. El impacto comienza cuando el
martillo entra en contacto con la probeta, la cual tiene una altura de 12.7 mm. Posteriormente, la
probeta reduce su altura hasta alcanzar 1.2 mm de altura después de 8 ms. Después de este
tiempo, el martillo rebota elásticamente. La diferencia entre las señales original y filtrada de
deslazamiento contra tiempo no afecta los cálculos de
.
Figura 7. Curva desplazamiento contra tiempo para una probeta de 11x11 celdas a 200s-1.
5. ANALISIS DE RESULTADOS
Esta sección presenta los resultados de los ensayos cuasi estáticos y de compresión dinámica en
términos del esfuerzo de deformación plástica en condición dinámica y la tasa de deformación.
5.1 Comparación entre los ensayos en condición cuasi estática y compresión dinámica.
Una comparación entre las curvas de esfuerzo deformación en condiciones cuasi estáticas y
dinámicas para una probeta de 17x17 celdas se presenta en la Figura 8. Se puede observar que
cuando la tasa de deformación es menor o igual a 200 s -1, no existe una variación significativa
entre
y
. Una variación más significativa respecto a la condición cuasi estática se encuentra
al aumentar la tasa de deformación a 250 s-1 o 300 s-1.
Figura 8. Comparación condiciones dinámicas contra cuasi estáticas, probeta de 17x17 celdas.
5.2 Curvas de esfuerzo contra deformación unitaria en ensayos de compresión dinámica.
Una curva de esfuerzo contra deformación unitaria para una probeta de 13x13 celdas es
presentada en la Figura 9. Los gráficos fueron construidos considerando el rango de deformación
desde el inicio del contacto del martillo con la probeta hasta que se alcanza el esfuerzo máximo
durante la compactación de la probeta.
Figura 9. Curva de esfuerzo contra deformación unitaria de una probeta de 13x13 celdas a tres
tasas de deformación.
Se puede observar que en los casos en los cuales las muestras fueron ensayadas a velocidades
iguales o mayores a las obtenidas empleando la Ecuación 4, se consigue una densificación
completa de la probeta. Con las tasas de deformación seleccionadas para la prueba en las
probetas de 9x9 y 11x11 se obtiene una densificación total, mientras que las probetas con un
número mayor de celdas atenúan el impacto en una deformación perfectamente plástica a bajas
tasas de deformación (200 y 250s-1) y se densifican siempre a 300 s-1.
A altas tasas de deformación, la pendiente del módulo tangente de densificación se incrementa.
Este resultado es una indicación del aumento de la velocidad de impacto, y por lo tanto, de la
energía empleada en la probeta para deformarla. En este fenómeno tres casos pueden ser
observados: el primero ocurre cuando el impacto es totalmente plástico y la probeta absorbe toda
la energía sin colapsar totalmente. El segundo caso ocurre cuando la energía de impacto es
mayor que la capacidad de atenuación de la probeta pero la fuerza máxima de densificación es
menor o igual a la fuerza de impacto máxima. Finalmente, el tercer caso ocurre cuando la energía
de deformación es mayor que la capacidad de la probeta para absorber la energía del impacto y la
fuerza máxima de densificación es mayor que la fuerza máxima de impacto. El efecto de estos
tres casos puede verse en la Figura 9. En el impacto con una tasa de deformación de 200s -1, no
hay formación del módulo tangente de densificación. En los otros dos casos la pendiente del
módulo tangente se acentúa con el incremento de la tasa de deformación aplicada. A mayor
tamaño de la probeta, mayor es también la deformación requerida para obtener una densificación
completa. En las probetas más pequeñas, la densificación ocurre a valores cercanos al 80% de la
deformación unitaria, mientras que en las probetas de mayor tamaño se requiere un 90% de la
deformación unitaria para densificar. Este efecto puede ser debido simplemente a la mayor
sección transversal y el efecto inercial durante la deformación plástica de las probetas de 15x15 y
17x17 que poseen una mayor masa.
Se pudo observar en los experimentos, que al incrementar la tasa de deformación,
aumenta
ligeramente. Esto está de acuerdo con las observaciones de otros investigadores (Goldsmith y
Louie, 1995; Xu et al., 2012). La Figura 10 muestra el resultado experimental de una probeta de
9x9 celdas. En todos los tres experimentos, la compactación fue alcanzada en la probeta con una
deformación unitaria del 80%. A partir de este punto, el módulo tangente de densificación es
prácticamente constante para todas las tasas de deformación. La Figura 11 muestra los resultados
experimentales para una probeta de 17x17 celdas a tres tasas de deformación. La densificación
de la probeta se alcanza solamente a 300 s -1 y después de que la probeta ha alcanzado una
deformación unitaria de aproximadamente el 90%. Un resultado similar fue obtenido para la
probeta de 15x15 celdas.
Figura 10. Curva esfuerzo deformación para una probeta de 9x9 celdas.
Figure 11. Curva esfuerzo deformación para una probeta de 17x17 celdas.
En general, existe una gran fluctuación en el valor del esfuerzo desde el inicio de la deformación
hasta la densificación del material. Sin embargo, la amplitud de las fluctuaciones decresen a
medida que la tasa de deformación aumenta. Esto significa que cuando ̇ se incrementa, el
comportamiento mecánico del honeycomb comienza a aproximarse al modelo elástico
perfectamente plástico. Otros autores reportan un comportamiento similar al mostrado en las
Figuras 9 a 11 (Xu et al., 2012), sin embargo, la amplitud del valor del esfuerzo es menor debido a
que se empleo un equipo experimental que mantiene constante la tasa de deformación a travez de
todo el experimento. Por otra parte en el dispositivo de impacto DWT, el martillo se desacelera a
medida que la energía cinética se transforma en calor disipado y trabajo para deformar
plásticamente la probeta.
A pesar de que las fluctuaciones de la curva esfuerzo deformación dentro de la zona de
deformación plástica, están relacionadas con el mecanismo de falla de las paredes del
honeycomb (Figura 12), no existe una dependencia clara entre el número de dobleces generados
en las paredes contra el número de oscilaciones del esfuerzo. El promedio de dobleces
encontrados en las probetas fue de 8 o 9 (Ver Figura 12). Sin embargo, el número de oscilaciones
del esfuerzo es mucho mayor y se incrementa como función de la tasa de deformación (Figuras 9
a 11). Este efecto fue analizado por Hou et al. (Hou et al., 2012), para un honeycomb de aluminio
laminado 5052, con tamaños de celda hexagonal de 4.76 mm a 9.52 mm empleando una barra de
Kolsky (Split Hopkinson Pressure Bar) en un rango de tasas de deformación de 867 s-1 y 933 s-1.
En su investigación, Hou et al., empleando un modelo numérico, correlacionaron cada pico y valle
de las oscilaciones del esfuerzo dentro de la zona plástica, con el inicio y el final de la formación
de un pliegue en las paredes hexagonales de la celdas. Sin embargo, observando las curvas
experimentales mostradas en las Figuras 9 a 11, esta relación no resulta evidente en el rango de
tasas de deformación empleadas en esta investigación.
6. CONCLUSIONES
El comportamiento dinámico a compresión de un honeycomb 1/8"-5052-0.001N-4.5 encontrado en
la literatura, fue extendido en el dominio de las tasas de deformación de 200 a 300 s -1. Este
honeycomb es sensible a la tasa de deformación y muestra un leve incremento en la respuesta del
esfuerzo de deformación plástica cuando ̇ se incrementa. El honeycomb objeto de este estudio
mantiene en condiciones dinámicas, su esfuerzo deformación plástica próximo al valor cuasi
estático cuando ̇ es menor o igual a 200s-1. Finalmente, a una tasa de deformación fija, el
esfuerzo de deformación plástica no varía significativamente con el incremento de las dimensiones
de la probeta.
Figura 12. Mecanismo de falla por compresión dinámica del honeycomb.
7. AGRADECIMIENTOS
Los autores expresan su gratitud a la compañía Colombiana HELICOMPUESTOS LTDA., por
proveer el honeycomb de aluminio como material de pruebas.
También, damos un
reconocimiento muy especial al personal técnico de los laboratorios de Ingeniería Mecánica y Civil
de la Universidad de los Andes. Finalmente, expresamos nuestra gratitud a los ingenieros Andrés
Quevedo y Jorge Pavón, por su asistencia en el desarrollo del sistema de control del dispositivo
DWT.
8. REFERENCIAS
ASHBY, M., MEDALIST, R. The mechanical properties of cellular
solids. Metallurgical and Materials Transactions A: Springer
Boston. 14: 1755 - 1769 p. 1983.
ASTM(D7336). Standard Test Method for Static Energy Absorption
Properties of Honeycomb Sandwich Core Materials 2013.
B. HOU, A. O., S. ABDENNADHER, S. PATTOFATTO, Y.L. LI, H.
ZHAO. Impact behavior of honeycombs under combined
shear-compression. Part I: Experiments. International Journal
of Solids and Structures. 48: 687-697 p. 2011.
BAKER, W. E.; TOGAMI, T. C.; WEYDERT, J. C. Static and
dynamic properties of high-density metal honeycombs.
International Journal of Impact Engineering, v. 21, n. 3, p. 149163, 1998.
BITZER, T. Honeycomb technology : materials, design,
manufacturing, applications and testing. London; New York:
Chapman & Hall, 1997. ISBN 0412540509 9780412540509.
FIELD, J. E. et al. Review of experimental techniques for high rate
deformation and shock studies. International Journal of Impact
Engineering, v. 30, n. 7, p. 725-775, 2004.
GIBSON, L. J., ASHBY, M.F. Cellular Material: Structure and
Properties. Cambridge, UK.: Cambridge University Press,
1997.
GOLDSMITH, W.; LOUIE, D. L. Axial perforation of aluminum
honeycombs by projectiles. International Journal of Solids and
Structures, v. 32, n. 8–9, p. 1017-1046, 1995.
HARRIGAN, J. J.; REID, S. R.; SEYED YAGHOUBI, A. The
correct analysis of shocks in a cellular material. International
Journal of Impact Engineering, v. 37, n. 8, p. 918-927, 2010.
HOU, B. et al. Impact behavior of honeycombs under combined
shear-compression. Part II: Analysis. International Journal of
Solids and Structures, v. 48, n. 5, p. 698-705, 2011.
HOU, B. et al. Inertia effects on the progressive crushing of
aluminium honeycombs under impact loading. International
Journal of Solids and Structures, v. 49, n. 19–20, p. 27542762, 10/1/ 2012.
MATWEB. Aluminum 5052-H38.
2013. Disponible en:
http://www.matweb.com/search/DataSheet.aspx?MatGUID=03
ed379e437945a1a8dbff86c5907f74&ckck=1.
MC FARLAND, R. K., JR. Hexagonal cell structures under postbuckling axial load. AIAA Journal, p. 1380-1385, 1963.
REID, S. R.; PENG, C. Dynamic uniaxial crushing of wood.
International Journal of Impact Engineering, v. 19, n. 5–6, p.
531-570, 5// 1997.
RUIZ-HERRERO, J. L.; RODRÍGUEZ-PÉREZ, M. A.; DE SAJA, J.
A. Design and construction of an instrumented falling weight
impact tester to characterise polymer-based foams. Polymer
Testing, v. 24, n. 5, p. 641-647, 2005.
WADLEY, H. Multifunctional periodic cellular metals: Philosophical
Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical
and Engineering Sciences. 364: 31-68 p. 2006.
WERNER GOLDSMITH, J. L. S. An experimental study of energy
absorption in impact on sandwich plates. International Journal
of Impact Engineering. 12: 241-262 p. 1992.
WIERZBICKI, T. Crushing analysis of metal honeycombs:
International Journal of Impact Engineering. 1: Pages 157-174
p. 1983.
WU, E.; JIANG, W.-S. Axial crush of metallic honeycombs.
International Journal of Impact Engineering, v. 19, n. 5–6, p.
439-456, 1997.
XU, S. et al. Experimental study of the out-of-plane dynamic
compression
of
hexagonal
honeycombs.
Composite
Structures, v. 94, n. 8, p. 2326-2336, 2012.
YAMASHITA, M.; GOTOH, M. Impact behavior of honeycomb
structures with various cell specifications—numerical
simulation and experiment. International Journal of Impact
Engineering, v. 32, n. 1–4, p. 618-630, 2005.
ZAREI MAHMOUDABADI, M.; SADIGHI, M. A theoretical and
experimental study on metal hexagonal honeycomb crushing
under quasi-static and low velocity impact loading. Materials
Science and Engineering: A, v. 528, n. 15, p. 4958-4966,
2011.
ZHAO, H.; ABDENNADHER, S. On the strength enhancement
under impact loading of square tubes made from rate
insensitive metals. International Journal of Solids and
Structures, v. 41, n. 24–25, p. 6677-6697, 2004.
ZUKAS, J. A. Impact dynamics. New York: Wiley, 1982. ISBN
0471086770 9780471086772.
Análisis por deformación plana de películas
delgadas multicapas mediante el método de los
elementos finitos
Emerson Escobar Nuñez
Grupo de Investigación en Tecnologías para la Manufactura (GITEM), Departamento de
Energética y Mecánica, km 2 Vía Cali-Jamundí.
Universidad Autónoma de Occidente, Cali-Valle, Colombia.
RESUMEN
El método de los elementos finitos permite analizar muchos problemas de interés en
ingeniería desde la macro escala hasta la nanoescala. El contacto entre la cabeza y la
estructura de un disco de almacenamiento magnético de información pueden ser analizados
bajo diferentes parámetros a fin de entender los tipos de daños que se pueden generar en la
estructura del disco. En el siguiente artículo el efecto de la carga normal, el coeficiente de
fricción, y el espesor de la película de diamante tipo carbono (DLC) en los esfuerzos de von
Mises subsuperficiales fueron analizados. Los resultados mediante análisis computacional
muestran que el factor más importante en el daño subsuperficial es el coeficiente de
fricción.
1. INTRODUCCION
La necesidad de alcanzar una densidad de información por pulgada cuadrada cada vez
más alta discos duros magnéticos ha causado una reducción significativa en la distancia
libre entre la cabeza lectora y el disco duro. Como resultado de esta reducción de espacio
entre la cabeza y el disco los problemas de choque e impacto han incrementado los daños
en etapas tempranas de funcionamiento del disco, lo cual genera zonas muertas en la capa
magnética en las cuales debido a los altos esfuerzos no es posible almacenar o leer bits de
información. Los eventos de daños pueden ser inducidos por choques o impactos, o por
vibraciones en el sistema, que junto con las altas revoluciones a las que gira el disco (~7200
en un disco duro portátil) generan choques intermitentes y repetidos que generan ralladuras
y zonas muertas sobre el disco [1]. Un disco duro está constituido por diferentes películas
delgadas depositadas sobre un substrato de vidrio. Durante el funcionamiento y la vida útil
de un disco duro, se puede decir que las películas delgadas de mayor importancia en su
estructura son la película magnética y la película de diamante (DLC). La función de la
película magnética es la de almacenar la información en bits de forma paralela o
perpendicular, mientras que la película de diamante (también conocida como COC-carbon
overcoat, por sus siglas en inglés) se encarga de proteger la película magnética de daños
estructurales por medio de su elevada dureza, incrementar la resistencia a la corrosión, y
absorber químicamente una capa de lubricante nanométrica. Las propiedades mecánicas de
importancia para el modelado por el método de elementos finitos (FEA) como el módulo de
elasticidad reducido y la dureza para estructuras muy delgadas pueden ser obtenidas usando
la técnica de nanoindentación como función de la distancia de penetración durante el
contacto [2]. El esfuerzo de fluencia puede ser obtenido de forma indirecta como función
de la dureza utilizando el modelo empírico de Tabor, el cual ha probado experimentalmente
tener buena correlación para materiales dúctiles y frágiles [3], de manera similar la
resistencia cortante a la delaminación interfacial entre las diferentes películas que
conforman la estructura del disco, pueden obtenerse mediante la técnica de nanorayado,
usando una punta cono esférica [4]. Varios investigadores han analizado el contacto entre la
cabeza rígida y la estructura de un disco duro en el pasado [5]. Mediante un modelo
analítico se concluyó que cuando el coeficiente de fricción era menor a 0.3, los máximos
esfuerzos de von Mises se generaban por debajo de la superficie. Posteriormente, con un
incremento en el coeficiente de fricción los esfuerzos de von Mises se desplazaban hacia la
superficie, generando daños y desprendimiento de material. En otro estudio, los
investigadores usaron FEA para estudiar el comportamiento bajo deslizamiento y carga
normal entre el disco y la cabeza usando la condición de deformación plana [6]. Ellos
concluyeron que la magnitud del esfuerzo cortante interfacial se incrementa con el
coeficiente de fricción. Otros fenómenos de interés en condiciones de carga normal y
deslizamiento son el “rachetting” y el “shakedown”; en el primer caso en condiciones de
deslizamiento bajo carga normal, se genera un incremento en la deformación plástica
durante el inicio del primer ciclo de deslizamiento, incrementándose durante cada ciclo, sin
alcanzar una estabilización. Durante el fenómeno de “shakedown”, la deformación plástica
se incrementa durante el inicio del deslizamiento, pero después de un determinado número
de ciclos de deslizamiento, la deformación plástica no se incrementa principalmente debido
a la presencia de esfuerzos residuales. Con relación a este fenómeno fue reportado que
materiales elásticos-perfectamente plásticos sometidos a rodadura alcanzaban el shakedown
después de un ciclo de deslizamiento [7]. El objetivo del presente artículo es el de analizar
el comportamiento de las películas delgadas magnéticas que conforman la estructura de un
disco duro mediante el método de los elementos finitos usando el software comercial
ABAQUS. Las propiedades mecánicas de las diferentes películas fueron obtenidas
mediante mediciones confiables utilizando la técnica de nanoindentación.
2. ANÁLISIS POR ELEMENTOS FINITOS
2.1 Malla y validación del modelo
La geometría utilizada para la construcción del modelo por elementos finitos comprende
un segmento de la cabeza, la cual con el fin de simplificar el modelo, será considerada
como una geometría rígida (dada su elevada dureza en comparación con la estructura del
disco) en contacto con un segmento deformable de disco en lo que se considera medioespacio, es decir que en teoría el disco es infinitamente largo comparado a las dimensiones
transversales. El dominio del medio espacio debe ser definido de tal manera que el
gradiente del esfuerzo por debajo de la superficie se encuentre contenido, de tal manera que
se eviten los efectos de las condiciones de frontera. Adicionalmente, el medio espacio está
constituido por las diferentes películas delgadas con sus espesores representativos de la
estructura de un disco duro real. El tipo de elemento de contacto utilizado para generar el
modelo en elementos finitos es el CPE4R, el cual consta de cuatro nodos (interpolación
lineal) bajo la condición de deformación plana (es decir que en este caso particular, el
segmento de cabeza se considera suficientemente largo para ignorar las deformaciones a lo
largo de la longitud), a fin de reducir el cálculo computacional. El tipo de malla a emplear
en este análisis es el de elemento de transición con tamaño controlado, de tal manera que en
la vecindad de las regiones de interés (donde los esfuerzos son más significativos), el
tamaño de elemento sea menor, incrementándose gradualmente, en la dirección en la cual
los esfuerzos son menores. El tamaño mínimo de los elementos es de 0.5 nanómetros y el
tamaño máximo es de 4 nanómetros (ver Fig.1). ABAQUS/estándar fue utilizado para
modelar y resolver el problema utilizando el modelo elástico-perfectamente plástico de
Coulomb. La única razón por la cual se utilizó este modelo radica en el hecho de que una
vez los esfuerzos en las diferentes películas sobrepasen los esfuerzos de fluencia, se
generará delaminación, la cual se define como un estado en el cual el esfuerzo cortante
interfacial es superior al esfuerzo de adhesión entre las dos películas delgadas.
Adicionalmente, en este modelo se considera que si el esfuerzo cortante durante el contacto
es superior al producto del coeficiente de fricción y la presión de contacto (τ≥μP) se
generará deslizamiento parcial, de lo contrario, cuando τ<μP solo se generará contacto
permanente entre las dos superficies sin deslizamiento. En todas las simulaciones se
utilizaron tres pasos que se describen a continuación; en el paso inicial se generó un
desplazamiento normal del segmento de cabeza sobre la superficie del disco (representativa
del espesor de la película de diamante), en el segundo paso se generó deslizamiento
horizontal manteniendo el desplazamiento inicial constante, y en el último paso se retiró el
desplazamiento normal y el segmento de cabeza regreso a su posición original. En la
primera simulación se mantuvo el radio del segmento de cilindro constante al igual que el
coeficiente de fricción y se indujo un desplazamiento vertical de la cabeza sobre el disco de
2 nm. En la segunda simulación se generó un deslizamiento de 400nm manteniendo los
mismos parámetros que en la primera simulación, mientras que en la última se evaluó el
efecto del espesor de la película de DLC (ver Fig.2, y tabla1).
COC
Mag
Capa
intermedia,
Cr-V
Substrato de
vidrio
Fig.1─Sección transversal típica de un disco duro representada en una malla
Desplazamiento
(nm)
Normal
Penetration (nm)
Indentación
(2 nm verticalmente)
Rayado (400 nm lateralmente)
2
Descarga
vertical
1.8
1.6
1.4
Retorno a la posición
inicial
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
Tiempo (s)
2.5
3
3.5
4
Fig.2─Sección transversal típica de un disco duro representada en una malla
Tabla.1─Parámetros utilizados en las diferentes simulaciones
Parámetros
Desplazamiento
normal (nm)
Desplazamiento
horizontal (nm)
Coeficiente de
fricción
2.2
Simulación 1
Simulación 2
Simulación 3
2
1
5
400
400
400
1
1
1
Propiedades Mecánicas
Las propiedades mecánicas de las diferentes películas delgadas que conforman el disco
duro fueron obtenidas utilizando la técnica de nanoindentación. De la nanoindentación se
obtiene el módulo de elasticidad reducido E r, así como la dureza (H) mediante el método de
Oliver and Pharr siendo ambos una función de la profundidad de contacto (hc). El rango de
resolución del nanoindentador fue de 100 nm en carga normal y de 0.2 nm en
desplazamiento. La Fig. 3 muestra una imagen del a punta de Berkovich utilizada para
realizar las mediciones. Esta punta tiene un radio de curvatura de ~200 nm, y es utilizada
para penetraciones típicas en aplicaciones en películas delgadas Puesto que la resistencia a
la fluencia de las diferentes películas no puede ser obtenida a través de la nanoindentación,
se acudió a la relación empírica de Tabor la cual para materiales dúctiles establece que
y=2.8H, y la ecuación de Robertson para materiales frágiles, y=1.8H [8], que en el
presente estudio aplica para el COC. Las propiedades mecánicas de las diferentes películas
así como sus espesores son resumidos en la tabla 2.
Tabla.2─Propiedades mecánicas y espesores de las diferentes películas
Material
Módulo de
elasticidad
(GPa)
Módulo de
Poisson ()
Esfuerzo de
fluencia (GPa)
Espesor de la
pelicula (nm)
Vidrio
100
0.23
2.41
400
COC
160
0.33
4.14
2
Película
magnética
125
0.33
2.41
20
Película
intermedia
135
0.33
2.58
20
Cabeza
390
0.22
-
-
a)
b)
Fig.3─imagen de microscopía utilizando SEM de la punta Berkovich; a)x120, b)x1500
Puesto que el criterio de von Mises es más apropiado como criterio de falla para materiales
dúctiles (bajo esta teoría la falla ocurre cuando el esfuerzo equivalente de von Mises en un
punto es superior al esfuerzo de fluencia del material), se empleó como criterio de fluencia
en este estudio, excepto para la película de COC la cual es frágil y en cuyo caso es más
apropiado el criterio del máximo esfuerzo normal. La teoría del máximo esfuerzo normal
contempla que la falla del material ocurrirá cuando el esfuerzo en algún punto sea superior
a alguno de los tres esfuerzos principales.
3. ANALISIS DE RESULTADOS
Con base en los resultados de la simulación bajo las condiciones de desplazamiento normal
(2 nm en este caso), se obtuvo que los esfuerzos equivalente de von Mises en todas las
películas fueron inferiores al esfuerzo de fluencia de las mismas (ver Fig.4). Sin embargo,
una vez se genera deslizamiento lateral entre las dos superficies (manteniendo el
desplazamiento normal constante), los esfuerzos máximos se desplazan hacia la cima del
disco (ver Fig. 5). Como se puede apreciar en la Fig.5, los esfuerzos en la interface entre la
película magnética y la de COC sobrepasan el esfuerzo de fluencia de la película
magnética, generándose delaminación en .la interface entre ambas películas.
Adicionalmente, se debe observar que el esfuerzo máximo sobre la superficie de COC, se
genera detrás del punto real de contacto entre la cabeza y el disco. Estos resultados
coinciden con los estudios de Hamilton [5], en los cuales una esfera rígida deformaba una
superficie plana. Bajo dicha geometría se demostró que para valores de >0.3 la
deformación plástica inicia sobre la superficie y los esfuerzos máximos están detrás del
punto de contacto entre las dos superficies.
1e3 GPa
Fig.4─Contorno de esfuerzos de von Mises después de inducir un desplazamiento normal
de 2 nm sobre la cabeza lectora (paso 1).
1e3 GPa
Fluencia de la capa magnética
COC
Mag
Fig.5─Contorno de esfuerzos de von Mises después de la etapa de deslizamiento (segundo
paso).
Los esfuerzos residuales generados después de la remoción del desplazamiento lateral y el
desplazamiento normal se muestran en la Fig. 6.
Esfuerzos residuales en la capa magnética
1e3 GPa
COC
Mag
Fig.6─Contorno de los esfuerzos residuales de von Mises después de la etapa de descarga
(tercer paso).
Como se puede observar en la Fig. 6, después de retirar el desplazamiento normal de la
cabeza sobre la superficie del disco se observan esfuerzos residuales cuyo valor es máximo
en la interface entre COC y la película magnética. Este esfuerzo residual, confirma la
posibilidad de que exista delaminación entre ambas películas ya estos esfuerzos pueden
resultar en sitios donde esté presente la nucleación y propagación de grietas. La Tabla. 3
muestra el resumen de las dos primeras simulaciones para desplazamientos normales () de
2 y 1 nm respectivamente. Como se puede observar Fy hace referencia a la fuerza normal
inducida durante el contacto (vale la pena mencionar que las simulaciones son realizadas
bajo control del desplazamiento vertical) la cual no se incrementa durante el deslizamiento.
Puesto que se utilizó la condición de deformación plana, para obtener la fuerza normal se
multiplicó la fuerza por unidad de longitud arrojada por la simulación por 100 m de
longitud de la cabeza en la dirección perpendicular al plano (los valores mostrados en la
tabla. 3 están expresados en milésimas de Newton). Es interesante notar que bajo durante el
segundo ciclo de deslizamiento los esfuerzos de von Mises se incrementan ligeramente en
comparación con el primer ciclo para el caso de desplazamiento normal de 2 nm generando
fluencia en la película magnética. Sin embargo, en el caso de 1 nm de desplazamiento
normal, los esfuerzos no sobrepasaron la resistencia a la fluencia de ninguna de las
películas y los esfuerzos residuales fueron nulos como se puede observar en la Fig. 7 (como
se puede apreciar los esfuerzos residuales mostrados son casi nulos o se deben a simple
error numérico).
Tabla. 3─Resumen primera simulación bajo dos condiciones diferentes de desplazamiento
normal (vM es el esfuerzo de von Mises)

(nm)
Primer ciclo
Segundo ciclo
Deslizamiento
Deslizamiento
Esfuerzo
residual
Película
vM
(GPa)
DLC
Fy
(mN)
3.95
2
9.4
Status
vM
Fy
(GPa) (mN)
Sin
fluencia
3.99
9.4
Status
vM
(GPa)
Sin
fluencia
0
Mag
2.63
Fluencia
2.66
Fluencia
0.81
DLC
2.53
Sin
fluencia
2.53
Sin
fluencia
0
Sin
fluencia
1.68
Sin
fluencia
0
1
4.2
Mag
1.68
4.2
No existen esfuerzos residuales
DLC
1e3 GPa
MAG
INTER
Fig.7─Contorno de los esfuerzos residuales de von Mises para la segunda simulación
Adicionalmente, los esfuerzos de contacto obtenidos durante el primer paso se compararon
con los obtenidos mediante la solución Hertziana (Fig.8), Utilizando los siguientes
parámetros: =2 nm, R=1 m, *E=123 GPa, longitud de contacto (profundidad)= 100 m.
Donde  es el desplazamiento de la cabeza sobre el disco, R es el radio de curvatura de la
cabeza y *E es el módulo de elasticidad compuesto (entre la geometría de la cabeza y el
DLC).
P
Cabeza
E1, 1
R
2a
DLC
E2, 2

Fig. 8─Contacto Hertziano entre un cilindro rígido (cabeza) y una superficie plana
deformable (disco).
La deformación normal:
 
P
*
 E
 2 ln  4 R / a   1
(1)
El ancho del contacto:
a  2
PR
(2)
*
 E
El modulo equivalente de Young:
1
*
E
2

1  1
E1
2

12
(3)
E2
Donde P es la presión de contacto y 1, 2 y E1, E2 los módulos de Poisson y de elasticidad
de la cabeza y del disco deformable respectivamente. Los resultados de la solución
Hertziana arrojan valores de fuerza de contacto de 9 y 4.05 mN para 1 y 2 nm de
deformación normal respectivamente, los cuales coinciden en un grado de error mínimo
con los valores de Fy mostrados en la Tabla. 3.
Los resultados para la tercera simulación se pueden observar en la Fig. 9. En esta figura se
muestran los esfuerzos de von Mises después del segundo paso (deslizamiento). Como se
puede observar en esta figura, bajo un desplazamiento normal de 5 nm y un deslizamiento
de 400 nm tanto la película de COC como la magnética fallan por fluencia.
Fluencia en
COC
Fluencia en capa
magnética
1e3 GPa
Fig.9─Contorno de esfuerzos de von Mises después de la etapa de deslizamiento (segundo
paso) en la tercera simulación.
Es interesante mencionar que no se observó fluencia en la película de COC y en la
magnética durante el primer paso de desplazamiento normal, sin embargo una vez se dió
inicio a la etapa de deslizamiento los esfuerzos se desplazaron hacia la superficie. Como se
puede observar en la Fig. 10 (la cual muestra la geometría deformada en la etapa de
deslizamiento) la deformación en los elementos fue excesiva dificultando la convergencia
en la simulación.
Debído a los elevados esfuerzos en la película de DLC y la magnética
la simulación se detuvo
1e3 GPa
DLC
MAG
Fig.10─Contorno de esfuerzos de von Mises después de la etapa de deslizamiento en la
cual se muestra la geometría deformada.
Adicionalmente se realizó otra simulación para observar el efecto del número de ciclos o de
pasadas (etapa de deslizamiento) en la evolución de los esfuerzos de von Mises (utilizando
los mismos parámetros que la primera simulación pero con cinco ciclos de deslizamiento).
Durante estas simulaciones se observó un incremento en los esfuerzos de von Mises hasta
la tercera etapa de deslizamiento, a partir del cuarto ciclo los esfuerzos no se
incrementaron. Este fenómeno puede explicarse mediante la teoría del “shakedown” en la
cual se genera deformación plástica en las primeras etapas de deslizamiento, pero como
consecuencia del endurecimiento por deformación y los esfuerzos residuales el material
presenta comportamiento elástico, tal comportamiento elástico está sustentado en el hecho
de que los esfuerzos de von Mises no se incrementan después del tercer ciclo de
deslizamiento. El efecto del “shakedown” elástico pueden observarse en la Fig. 11, donde
se aprecia la deformación plástica inicial pero una vez se generan repetidos ciclos de carga
no se genera deformación plástica adicional.
elastic
Shakedown
elastico
shakedown
p
re
Esfuerzo

Stress



Stabilized
Respuesta elástica
elastic
estabilizada
response


Strain
p = 0



Fig.11─Shakedown elástico de una material como consecuencia de un número repetido de
ciclos de carga.
CONCLUSIONES
Simulaciones utilizando análisis por elementos finitos de películas delgadas en un disco
duro en un medio espacio fueron realizadas. Los resultados muestran que el coeficiente de
fricción es el encargado de desplazar los esfuerzos máximos por debajo y hacia la
superficie bajo condiciones de deslizamiento, fenómeno que no fue observado bajo
condiciones de desplazamiento normal. En el caso más crítico de las diferentes
simulaciones realizadas, se observó que para un desplazamiento normal superior al espesor
de la película de COC no se generó fluencia. Sin embargo un vez se inició el deslizamiento
los esfuerzos se desplazaron hacia la superficie generando fluencia en ambas películas
(COC y magnética). Adicionalmente, bajo condiciones de deslizamiento repetido solo se
observó un incremento en los esfuerzos de von Mises y deformación plástica hasta el tercer
ciclo de deslizamiento. Después del tercer ciclo de deslizamiento no se observó incremento
en los esfuerzos lo cual refuerza la teoría del shakedown elástico en la cual el
endurecimiento por deformación y los esfuerzos residuales después de un determinado
número de ciclos terminan generando un comportamiento elástico en el material. Todos
estos resultados refuerzan y explican observaciones experimentales en las cuales bajo
condiciones de contacto severo, se genera de laminación entre las películas de COC y la
magnética.
BIBLIOGRAFIA
[1]. Hamilton GM, Goodman LE (1966) The stress field created by a circular sliding
contact ASME. J Appl Mech 33:371–376.
[2]. Oliver WC, Pharr GM (1992) An improved technique for determining hardness and
elastic modulus using load and displacement sensing indentation experiments. J Mater Res
7:1562–1582.
[3]. Tabor D (1951) Hardness of metals. Oxford University Press, Oxford.
[4]. Tayebi N, Polycarpou AA, Conry FT (2004) Effects of substrate on determination of
hardness of thin films by nanoscratch and nanoindentation techniques. J Mater. Res 19:
1791-1802.
[5]. Hamilton GM (1983) Explicit equations for the stresses beneath a sliding spherical
contact. Proc Inst Mech Eng Part C J Mech Eng Sci 197:53–59.
[6]. Tian H, Saka N (1991b) Finite element analysis of an elastic-plastic two layer half
space: sliding contact. Wear 148:261–285.
[7]. Johnson KL (1992) The application of shakedown principles in rolling and sliding
contact. Eur J Mech A/Solids 11:375–394.
[8]. Robertson J (2002) Diamond-like amorphous carbon. Mater Sci Eng Rep 37:129–281.
ESTUDIO EXPERIMENTAL Y NUMÉRICO DE PANELES TIPO SÁNDWICH CON
NÚCLEO HONEYCOMB SOMETIDOS A IMPACTO DE BAJA VELOCIDAD
Luis Garcia
Universidad Tecnológica de Bolivar
Departamento de Ingeniería Mecánica
[email protected]
Resumen
Este trabajo presenta los resultados de un estudio experimental y numérico del
comportamiento de paneles tipo sándwich con núcleo honeycomb hexagonales,
circulares y láminas de fibra de vidrio con tejido woven robin sometidas a
impactos de baja velocidad utilizando indentadores planos, semiplanos, esféricos y
cónico, con distintos niveles de energía. La variación en el tiempo de la carga de
impacto es monitoreada utilizando una celda de carga diseñada para tal propósito.
El desplazamiento y velocidad indentador fueron medidas utilizando una técnica
de correlación Digital de imagen (CDI) Diseñada para tal propósito. Se utilizó
seccionamiento de las probetas para reconstruir la zona afectada por el daño. Los
efectos de la forma del indentador y energía inicial sobre la respuesta del panel y
tipo diario generado fueron estudiados. Buscando complementar los resultados
experimentales, fueron modelados numéricamente utilizando el método de los
elementos finitos atraves del software LS-DYNA(R). Fue utilizado un modelo de
daño combinado para modelar el rompimiento del panel. Los resultados numéricos
obtenidos concuerdan en alto grado con los resultados experimentales hallados.
Introducción
Una estructura tipo sándwich se
compone de materiales compuestos
en capas formado por la unión de dos
o más revestimientos delgados a un
núcleo relativamente grueso. En este
tipo de construcción el revestimiento
resiste casi todas las cargas en el
plano y fuera del plano de los
momentos de flexión. Este tipo de
estructuras son muy empleadas en la
fabricación de aeronaves, cascos de
embarcaciones y estructuras ligeras,
la estructura de sándwich con núcleo
hoyneycomb se utiliza principalmente
en los paneles laterales, techo, suelo
y carcasa cilíndrica de fuselaje en los
aviones. Generalmente la estructura
tipo sándwich es preferida por su
resistencia a la flexión y su relación
coste-eficiencia
según
sea
su
aplicación. En la vida útil de una
estructura tipo sándwich los daños
por impacto pueden ocurrir de
diversas formas en las labores de
mantenimiento en el caso de las
aeronave por las colisiones con aves,
este tipo de daños son muy
considerados dado que al sufrir un
[1] Quasi-static and low-velocity impact failure of aluminium honeycomb sandwich panels
impacto este podría no ser lo
suficientemente fuerte para atravesar
la lámina superior de la estructura
tipo sándwich pero podría generar
daños internos imperceptibles a la
supervisión visual y generar en el
material un deterioro o reducción en
sus propiedades mecánicas, por tal
motivo el estudio de impactos a bajas
velocidades es muy importante para
comprender el comportamiento del
material y sus posibles fallas al ser
sometidas a este tipo de impactos.
parcialmente;
después
son
presionados entre ellos y las dos
hojas de la cinta se fusionan en los
nodos. En este método no es
necesario utilizar adhesivos.
Los métodos más usados son
expansión y corrugado, es nuestro
caso utilizamos el método corrugado
el cual consiste corrugar las láminas
para después ser unidas mediante
adhesivo.
Metodología de elaboración
estructura sándwich.

Métodos y materiales
Actualmente existen varios métodos
de fabricación para producir un
núcleo honeycomb y
formas de
unión, como pueden ser, soldadura,
unión con adhesivos, por resistencia,
soldadura fuerte, difusión de unión y
fusión térmica. Estos métodos están
basados en como los nodos están
conectados. Por mucho el métodos
más utilizado es la unión con
adhesivos, quizás el 95% de los
núcleos de estructuras honeycomb
está fabricado de este modo. La
soldadura por resistencia, soldadura
o difusión de unión son utilizadas
exclusivamente para núcleos que
deben
enfrentar
grandes
temperaturas
o
condiciones
ambientales
muy
severas,
su
fabricación es mucho más costosa.
La máxima temperatura que resiste la
unión por adhesivos es de 750°F
(399°C). A algunos materiales
termoplásticos se les calientan los
nodos, esto produce que se fundan





de
Trabajaremos con un núcleo
de
aluminio
para
esto
seleccionamos el aluminio
5052, el cual cumple las
características necesarias para
el corrugado.
Recortamos la lámina teniendo
en cuenta la longitud y altura
que deseamos en nuestro
núcleo, obteniendo así láminas
de 280mm x 12,7mm.
Fabricamos el molde para
corrugado teniendo en cuenta
las especificaciones iniciales
entre ellas las dimensiones de
la lámina.
Limpiamos las láminas para
asegurar la adherencia según
las normas ASTM2651-01 y
ASTMD2651-01.
Para
aluminio.
Procedemos al ensamblaje del
núcleo,
el
adhesivo
seleccionado es 3M DP100.
Realizamos las láminas de
fibra de vidrio woven a 90° y a
0° sucesivamente para ambos
lados
de
la
estructura
utilizando el adhesivo 2310
ROBERTS.
PRUEBAS A REALIZAR
aun así debemos tener en cuenta los
siguientes aspectos.
La geometría del núcleo es perfecta a
diferencia
del
proceso
de
manufactura real.
La adhesión será la indicada en los
datos de fabricación y se analizara
como una superficie de adhesión
uniforme.
Los soportes serán puntuales según
permita el software LS-DYNA.
ANALISIS NUMERICO
En este se trata de llevar a un medio
virtual el impacto de bajo velocidad
mediante un indentador con una
geometría
definida
hacia
una
estructura tipo sándwich con núcleo
honeycomb para eso utilizaremos el
software LS_DYNA para el análisis
por elementos finitos observe fig. (a),
Posteriormente se realizara el análisis
del área deformada en el plano
superior y lateral de la estructura para
observar el comportamiento de la
estructura
y
posteriormente
compararlo con los resultados
experimentales como se observa en
la figura b.
(a)
Análisis por FEM con ls-dyna de impacto a bajas velocidades en estructura tipo sándwich núcleo
honeycomb’ [1]
(b)
Análisis por FEM con ls-dyna de impacto a bajas velocidades en estructura tipo sándwich núcleo
honeycomb vista superior y lateral’ [1]
Análisis experimental
Realizaremos las pruebas de impacto
con ayuda de la máquina de impacto
que está siendo rediseñada sobre la
probeta
manufacturada,
con
indentadores
de
diferentes
geometrías
para
posteriormente
realizar la comparación de los
resultados obtenidos por estos dos
métodos de análisis como se puede
observar en la fig.(c).
Comparación de resultados
Al finalizar el análisis de ambas
pruebas realizaremos la
comparación de los resultados
obtenidos anteriormente para
relacionar los resultados y observar
la exactitud de los resultados
obtenidos numéricamente fig. (d).
(C)
(d)
Pruebas de impacto de baja velocidad con un
indentador esférico en algunas probetas tipo
sándwich con núcleo honeycomb’ [1]
Comparación de resultados experimentales
y numéricos de pruebas de impacto a bajas
velocidades con indentador esférico en
estructura tipo sándwich núcleo honeycomb’
[1]
Análisis de modelos de daño para la
caracterización de ductos de gas y petróleo
J. E. Ortiz, H. Avila, A. Távara
Escuela de Ingenierı́a Mecánica.
Universidad Nacional de Trujillo
Ciudad Universitaria. Av. Juan Pablo II s/n. Trujillo. Perú
Resumen
Hoy en dı́a las contaminaciones por derrames de petróleo debido a rotura de ductos siguen
siendo importantes según organismos de control en Perú. El problema se debe entre otros
a la falta de caracterización fracto-mecánica del ducto. El Modelo Zona Cohesiva (MZC)
permite modelar fallos con bajo nivel de constricción similar al fallo de ductos; el MZC ha sido
usado en simulaciones de diversos procesos de daño, sin embargo es un tema abierto según
investigaciones respecto la incidencia de los parámetros caracterı́sticos del modelo de daño. En
el presente trabajo se evalúa la incidencia de la forma de la ley cohesiva en la evaluación del
daño en probetas. Se propone el ensayo de pelado de bloques rı́gidos para seguir la evolución
del daño mediante deducciones analı́ticas usando leyes cohesivas bilineal, parabólica, sinusoidal
y exponencial. Se han implementado las leyes cohesivas bilineal y exponencial en el método
de los elementos finitos y se modela probetas de viga doble de sección transversal variable
considerando material elástico ortótropo.
1.
Introducción
Hoy en dı́a las contaminaciones por derrames debido a rotura de ductos que transportan petróleo siguen siendo importantes según organismos de control en Perú [1], ver Figura
1. El problema se debe, entre otros, a la falta de caracterización fracto-mecánica del ducto
usualmente realizada mediante ensayos de tensión mono-axial o pruebas de impacto Charpy la
energı́a obtenida en estos ensayos no es representativa para el problema debido a que ambos
no son ensayos de fractura. En ensayos de caracterización usando Mecánica de Fractura Lineal
Elástica (MFLE) mediante probetas pre-fisuradas para determinar la tenacidad de fractura los
espesores de ductos usados no alcanzan el estado de deformación plana y el nivel de constricción en ductos a presión interna es menor que en las probetas compactas usadas para el cálculo
de tenacidad de fractura [2]. Los diagramas de estimación de fallo (FAD, siglas en ingles) construidos usando MFLE pueden sobrestimar o subestimar las cálculos según sea el caso [3][4].
Sobre esta base un cálculo de pérdida antes que rotura en un ducto (LBB, siglas en ingles de
Leak Before Break) podrı́an llevar a decisiones incorrectas. Se hace necesario caracterizar el
fallo de ductos mediante ensayos que reproduzcan el estado de tensiones más aproximados al
problema y desarrollar criterios de fallo basado en hipótesis de daño que permitan modelar el
mismo. El ensayo miniatura de punzonado (SPT, siglas en ingles de Small Punch Test) genera
un estado de tensiones biaxial y un nivel de constricción similar al estado de tensiones del ducto
1
Figura 1: Contaminación debido a rotura de ductos en la selva del Perú[1]
con presión interna ver Figura 2[2]. El ensayo es casi no destructivo debido al reducido tamaño
de las probetas lo que permitirá estimar las propiedades del metal base y zona afectada por el
calor apropiadamente. El bajo nivel de constricción en grietas en el ducto obliga a desarrollar
un criterio de daño que pueda reproducir los mecanismos de rotura dúctil del espécimen en el
ensayo de caracterización SPT ó del ducto[5] ver Figura 2b ó Figura 2c, respectivamente.
(a) Ensayo miniatura de
identación
(b) Daño del espécimen
(c) Daño en el ducto
Figura 2: Ensayo miniatura de identación
Usando el Modelo de Zona Cohesiva (MZC) se han simulado procesos de fractura en modo
I, II, III o mixto y distintos tipos de daño en materiales homogéneos y no-homogéneos. El
MZC permite modelar materiales con bajo nivel de constricción local en el frente de la grieta
[6][7][8]. Se han realizado estudios evaluando parámetros como tensión critica, abertura critica,
energı́a de fractura y otros factores que inciden al evaluar el proceso de daño. El MZC ha sido
implementado en numerosos trabajos usando el método de elementos finitos [9] y recientemente
el método de elementos de contorno [10]. Existen estudios que evalúan la incidencia de la
forma de la ley en el modelo MZC llegando a conclusiones contrarias [11][12]. La propuesta
es desarrollar un modelo basado en MZC para evaluar el daño en el ensayo SPT o cupones
de ductos. En el presente trabajo el MZC será estudiado en particular la incidencia de la
forma de la ley cohesiva para evaluar procesos de daño. En la primera parte se presenta cuatro
leyes cohesivas comúnmente usadas en el MZC y se estudia su incidencia en el despegue de
materiales perfectamente rı́gidos. En la segunda parte del trabajo se han modelado materiales
ortótropos usando las leyes cohesivas exponencial y bilineal dentro del método de los elementos
finitos.
2
2.
Modelo de zona cohesiva
La zona cohesiva es una superficie donde el material por efecto de daño sufre una discontinuidad local, se hace necesario introducir en el modelo continuo una ley que correlacione
tensiones y desplazamientos (σ − δ) que permita modelar el daño local hasta la separación de
la superficie tal como se muestra esquemáticamente en la Figura 3.
Figura 3: Ilustración del modelo de zona cohesiva.
Se han considerado cuatro leyes cohesivas usuales en estudios tales como bilineal, parabólica, sinusoidal y exponencial. Se ha asumido que la tracción máxima σmax es la resistencia
cohesiva, δmax es el desplazamiento máximo y el área bajo la curva Gc es la energı́a de fractura, ver Figura 4
(a) Modelo bilineal
(b) Modelo parabólico
(c) Modelo sinusoidal
(d) Modelo exponencial
Figura 4: Modelo cohesivos tı́picos.
Las tensiones y desplazamientos se han normalizado respecto sus valores máximos respectivos:
δ
σ
,
∆=
(1)
T =
σmax
δmax
El trabajo de separación se calcula de la siguiente forma:
Z
J = σdδ
(2)
3
El trabajo normalizado correspondiente es:
ω=
J
σmax δmax
(3)
En la Figura 4a se muestra el cohesivo bilineal cuya ley es:

0≤∆≤1
 ∆,
2 − ∆, 1 ≤ ∆ ≤ 2 (4)
T =

0,
2≤∆
El trabajo de separación es:
ω=1
(5)
En la Figura 4b se muestra el cohesivo parabólico cuya ley es:
2∆ − ∆2 , 0 ≤ ∆ ≤ 2
T =
(6)
0,
2≤∆
ω = 1,333
(7)
En la Figura 4c se muestra el cohesivo sinusoidal cuya ley es:
sin(π∆/2), 0 ≤ ∆ ≤ 2
T =
(8)
0,
2≤∆
ω = 1,273
(9)
En la Figura 4d se muestra el cohesivo exponencial cuya ley es:
T = ∆e(1−∆) , 0 ≤ ∆
(10)
ω = 2,718
(11)
3.
Ensayo de pelado de bloques rı́gidos
Considere dos bloques perfectamente rı́gidos pegados por uniones cohesivas de espesor cero
tal como se muestra en la Figura 5. El ensayo de pelado consiste en incrementar la carga
P hasta producir la nucleación de la grieta y llegar a separar las superficies; si la carga se
incrementa en forma cuasi-estática para evitar producir efectos dinámicos se puede estimar la
curva carga-desplazamiento. El trabajo realizado en este ensayo por la carga P es consumido
ı́ntegramente en separar las superficies por lo que es posible establecer la siguiente relación:
PL =
Z
L
σxdx
(12)
0
Donde L es la longitud de la base del bloque y el origen de la coordenada x está en el extremo
izquierdo de la zona cohesiva. Se introduce la normalización de la fuerza y desplazamiento de
la siguiente forma:
4
Figura 5: Ensayo de pelado de bloques rı́gidos.
f=
z=
P
Lσmax
(13)
αL
δmax
(14)
La ecuación 12 se reescribe:
1
f= 2
L
Z
L
0
1
T (∆)xdx = 2
L
Z
L
T (αx/δmax )xdx
(15)
0
Sustiyendo las ecuaciones 4, 6, 8 y 10 en la ecuación 15 se obtiene las ecuaciones de equilibrio
para los modelos cohesivos correspondientes.
La ecuación de equilibrio para el modelo cohesivo bilineal será:
z/3,
0≤z≤1
f=
(16)
1 − z/3 − 1/3z 2 ,
1≤z≤ 2
La ecuación de equilibrio para el modelo cohesivo parabólico será:
2z z 2
− ,
0≤z≤2
3
4
La ecuación de equilibrio para el modelo cohesivo sinusoidal será:
f=
πz
4
πz
z
cos( ) + 2 2 sin( ),
0≤z≤2
πz
2
π z
2
La ecuación de equilibrio para el modelo cohesivo exponencial será:
f =−
f=
e1−z
(−2 + 2ez − 2z − z 2 ),
z2
0≤z
(17)
(18)
(19)
En la Figura 6 se han graficado las relaciones 16, 17, 18 y 19.
4. Modelos cohesivos implementados en elemento finitos
En esta sección se compara las leyes cohesivas bilineal y exponencial en material con rigidez
finita para ello se ha implementado en el método de los elementos finitos y se modela una
probeta Viga Doble en Cantilever de sección Transversal Variable (VDCTV) (L = 2,5x10−1 m y
5
Figura 6: Curvas de equilibrio exactas para MZC bilineal, parabólico, sinusoidal y exponencial.
t = 1,59x10−3 m), ver Figura 7. El material considerado es elástico lineal ortótropo con módulo
elástico (Ex = 135GP a, Ey = 10GP a y Ez = 10GP a), coeficiente de Poisson (vxy = 0,3,
vyz = 0,4 y vxz = 0,3) y módulo de cizalladura (Gxy = 5GP a, Gyz = 3,5GP a y Gxz = 5GP a).
El material ortótropo permite modelar acero laminado que es usado en ductos y las propiedades
de la ley cohesiva se han asumido σmax = 2M P a y δmax = 1,3925x10−4 m.
Figura 7: Probeta de viga doble de sección variable.
4.1.
Probeta VDCTV con ley cohesiva bilineal
Se ha considerado la siguiente ley bilineal:
σ = Kn δ(1 − dn )
(20)
Donde Kn es la rigidez cohesiva y la relación r = δ/δc para valores 0.001, 0.5 y 1.0, ver
Figura 8. Las curvas P − δ para las probetas t-t, t-2t, t-3t, t-4t y t-5t, con r = 0,5 se muestran
en la Figura 9 adicionalmente se ha modelado la probeta t-t con ley cohesiva bilineal r=0.001,
0.5 y 1.0 los resultados se presentan en la Figura 10.
6
(a) Modelo bilineal
(b) Múltiples modelos bilineales
Figura 8: Modelo cohesivos bilineal
Figura 9: Curva P − δ para probeta VDCTV con ley cohesiva bilineal, r=0.5.
Figura 10: Curva P − δ para probeta VDCTV (t-t) ley cohesiva bilineal con r=0.001, 0.5 y 1.0.
4.2.
Probeta VDCTV con ley cohesiva exponencial
Se ha considerado la siguiente ley exponencial:
σ = eσmax ∆e−∆
7
(21)
Donde ∆ = δ/δ (δ es el valor de δ en σmax ). Las curvas P −δ para las probetas t-t, t-2t, t-3t,
t-4t y t-5t se muestran en la Figura 11. En la Figura 12 se presentan las curvas comparativas
P − δ para las probetas t-t, t-2t, t-3t y t-4t usando leyes cohesivas bilineal y exponencial.
Figura 11: Curva P − δ probeta VDCTV con ley cohesiva exponencial.
Figura 12: Curva comparativa P − δ para leyes cohesiva exponencial y bilineal.
5.
Discusión
En el presente trabajo se ha analizado la influencia de la forma de las leyes cohesivas sobre
la evaluación de daño en materiales, con ese propósito se han implementado leyes cohesivas
bilineales, parabólicas, sinusoidales y exponenciales. Sobre la simplificación introducida por la
hipótesis de material perfectamente rı́gido se han desarrollado procedimientos analı́ticos para
permitir la deducción de la relación carga-desplazamiento, bajo esta hipótesis se evidencia una
fuerte influencia de la forma de la ley cohesiva sobre la curva carga-desplazamiento ver Figura
6. La ley cohesiva bilineal proporciona una curva carga-desplazamiento con carga máxima
inferior que las obtenidas por las otras leyes cohesivas.
Para modelar materiales de rigidez finita se implementó los modelos cohesivos bilineal y
exponencial en el método de los elementos finitos para material elástico lineal ortótropo y
se ensayaron probetas viga doble en cantilever de sección transversal variable. Las curvas
carga-desplazamiento obtenidas están fuertemente marcadas por la rigidez de las probetas
con mayor sección transversal indistintamente con leyes cohesivas bilineal y exponencial, ver
Figuras 9 y 11, respectivamente. Cuando ambos juegos de curvas se comparan existen muy
poca diferencia entre ellas para cada probeta respectivamente ver Figura 12. En cambio cuando
8
la probeta de sección t-t es modelada con ley bilineal asumiendo r=0.001, 0.5 y 1.0 la curva
carga-desplazamiento es desplazada hacia mayores valores de carga para menores valores de r
es decir para leyes cohesivas más rı́gidas, ver Figura 10.
6.
Agradecimientos
Los autores agradecen el financiamiento del proyecto PIC06-2013 “Estudio fractomecánico
de daño en poliductos de minerı́a y petróleo con riesgo de contaminación medioambiental”
con código 260513206 del fondo Canon de Investigación de la Universidad Nacional de Trujillo
(Perú).
Referencias
[1] http://plataformaenergetica.org/system/files/pluspetrol.pdf
[2] Garcı́a T.E. , Rodrı́guez C., Belzunce F.J., Suárez C., Estimation of the mechanical properties of metallic materials by means
of the small punch test. Journal of Alloys and Compounds 582, 708717, 2014.
[3] Chiesa M., Nyhus B., Skallerund B., Thaulow C. Efficient fracture assessment of pipelines.
A constraint corrected SENT specimen approach, Engineering Fracture Mechanics. 68,
527-547, 2001.
[4] Cravero S. , Ruggieri C. Correlation of fracture behaviour in high pressure pipelines
with axial flaws using constraint design test specimens. Part I: Plane-strain analysis.
Engineering Fracture Mechanics. 72, 1344-1360, 2005.
[5] Cuesta I.I., Alegre J.M. y Barbáchano H. Aplicación del modelo de daño de GursonTvergaard-Needleman (GTN) para la simulación del ensayo miniatura de punzonado sobre
probetas prefisuradas Revista de Metalurgia, vol. 46, 53-63, 2010.
[6] Barenblatt G.I. The formation of equilibrium cracks during brittle fracture. General ideas
and hypotheses: axiallysymmetric
cracks. Journal of Applied Mathematics and Mechanics 23:434444, 1959.
[7] Dugdale DS. Yielding of steel sheets containing slits. Journal of the Mechanics and
Physics of Solids 8:100104, 1960.
[8] Needleman A. A continuum model for void nucleation by inclusion debonding. Journal of
Applied Mechanics 54:525531, 1987.
[9] Ortiz M., Pandolfi A. Finite-deformation irreversible cohesive elements for threedimensional crack-propagation analysis. International Journal for Numerical Methods in
Engineering 44: 1267-1282, 1999.
[10] Ortiz J. E. and Camanho P.P. Three-dimensional damage analysis of laminated composites using parallel boundary element method. 14th European conference on composite
materials. 7-10 June 2010, Budapest, Hungary
[11] Shet C. Chandra N., Effect of the shape of T - delta cohesive zone curves on the fracture
response. Mechanics of Advanced Materials and Structures. Vol 11: 249275, 2004.
[12] Alfano G. On the influence of the shape of the interface law on the application of cohesivezone models. Composites Science and Technology. Vol 66, 723730, 2006.
9
Universidad de los Andes. Montoya, Casas. ESTUDIO DE LAS PROPIEDADES DE UN HONEYCOMB
1
ESTUDIO DE LAS PROPIEDADES BAJO IMPACTOS A BAJA VELOCIDAD DE UN HONEYCOMB
CON REFUERZO INTERNO
Montoya, Pablo. Casas Rodriguez, Juan Pablo
[email protected], [email protected]

Resumen—El comportamiento cuasi estático y dinámico
de un Honeycomb es estudiado, incluyendo dentro de las
variables de este estudio, el efecto de reforzar internamente los
Honeycomb con Poliuretano. Las pruebas fueron realizadas
utilizando una maquina universal para el caso de condiciones
cuasi estáticas, además de un dispositivo de impacto por
proyección vertical de masas (DropWeight Test), desarrollado
en la Universidad de los Andes. Los resultados experimentales
no demuestran una relación directa entre la tasa de
deformación y el esfuerzo plateau para el Honeycomb
estudiado, sin embargo, se evidenció un incremento en la
resistencia de la probeta y del esfuerzo plateau del
Honeycomb con la presencia de Poliuretano.
formadas por paredes delgadas pegadas unas con
otras. Usualmente son de tipo hexagonal pero
también existen celdas cuadradas, circulares y
hexágonos reforzados, sobre expandidos y sub
expandidos [2]. Este tipo de estructuras son
comúnmente utilizadas en estructuras tipo sándwich
gracias a su buen desempeño a la hora de absorber
energía y transformarla en deformación mecánica.
Estas estructuras son consideras como ortotropicas
y el eje que presenta mejores propiedades es el
perpendicular a las celdas hexagonales (x3) como se
ve en la Figura 1.
Palabras claves —Esfuerzo Plateau, Honeycomb,
Poliuretano
1. INTRODUCCIÓN
El comportamiento dinámico de los materiales, es
la respuesta en el tiempo a la aplicación o variación
de cargas. En los últimos años, el estudio del
comportamiento dinámico de los honeycombs ha
despertado el interés de diferentes industrias debido
a la alta gama de aplicaciones. Sin embargo, se ha
encontrado con un nivel de complejidad en el que se
involucran diferentes ramas científicas y donde se
tiene un amplio campo para la investigación [1].
Estos estudios han sido impulsados debido a varias
industrias tales como la automotriz, aeronáutica,
aeroespacial y naval entre otros [2]; donde se tiene
algunos ejemplos de componentes que soportan
cargas dinámicas: chasises de automóviles, pisos de
los aviones comerciales o algunas tablas de
snowboard.
1.1 HONEYCOMBS
Los Honeycomb son estructuras celulares que
consisten en un arreglo de celdas abiertas que están
Figura 1. Honeycomb hexagonal [10].
Geométricamente los honeycomb se caracterizan
por el tamaño de hexágono (S), el espesor de pared
(t), el tamaño de las aristas (l, h) y el alto de pared
(T) como se puede observar en la Figura 1.
Debido a la gran complejidad que presentan estas
estructuras el estudio se ha dividido en dos grandes
campos, la respuesta cuasi estática y la respuesta
dinámica del material.
1.1.1 CONDICIONES CUASI ESTATICAS
La mecánica de falla del Honeycomb comienza
con una deformación axial elástica (se refiere a
El CUARTO SIMPOSIO NACIONAL SOBRE MECÁNICA DE MATERIALES Y ESTRUCTURAS CONTINUAS – SMEC 2014
elástico si al retirar la carga la estructura vuelve a su
geometría original sin deformaciones permanentes)
de las paredes del Honeycomb que se mantiene
hasta que empieza a ocurrir la deformación plástica
(deformación permanente de la geometría original),
esta se ve reflejada con un pandeo de las paredes de
la estructura celular en un número n de pliegues
hasta que ocurre la densificación completa del
material.
En la Figura 2 se ven claramente las tres fases
mencionadas anteriormente, la región elástica se ve
reflejada en los resultados como un aumento casi
lineal entre el esfuerzo y la deformación donde
puede o no terminar con un pico que depende si
existe precarga a la probeta o no. Comienza luego la
región plástica, en donde se estabiliza la curva a un
valor de esfuerzo (esfuerzo plateau) el cual puede
presentar pequeñas oscilaciones, que tienen su
origen debido a la formación periódica de pliegues
en la probeta. Finalmente vuelve a ocurrir un
aumento en la pendiente de la gráfica llegando a la
zona conocida como densificación donde el material
se ha pandeado y deformado completamente y no es
capaz de absorber más energía.
Experimentalmente el valor es obtenido mediante el
promedio de los esfuerzos registrados entre el 25%
y el 75% de la deformación crítica, que a su vez se
define como la deformación unitaria registrada
después de la región elástica y antes de la
densificación es decir la deformación registrada en
la zona plástica.
El modelo más desarrollado para comprender la
falla del Honeycomb fue desarrollado por
TomaszWierzbicki [5] quién dividió estas
estructuras celulares en módulos “Y”.
Figura 3. Módulo “Y” en los Honeycombs [5].
Mediante un análisis a las energías de
deformación durante el pandeo de los módulos “Y”,
Wierzbicki logró comprender que esta falla ocurría
mediante bisagras curvas y no rectas como se creía
anteriormente para finalmente obtener el esfuerzo
de deformación plástica para condiciones cuasi
estáticas.
Figura 2. Curva Esfuerzo vs Deformación
típica [18].
Tanto para las condiciones dinámicas como para
las condiciones cuasi estáticas se utiliza un
parámetro para caracterizar el Honeycomb conocido
como esfuerzo de aplastamiento o esfuerzo plateau.
Este esfuerzo caracteriza la carga que soporta la
probeta antes de ser deformada completamente por
lo que entre más alto sea este valor indica que la
probeta es capaz de absorber más energía y disiparla
en
forma
de
deformación
mecánica.
2
Figura 4. Módulo “Y” en deformación con
bisagras curvas [5].
( )
Donde
es el esfuerzo de deformación
plástica en condiciones cuasi estáticas, el espesor
de pared celular, es la arista del hexágono y
es
el esfuerzo de fluencia del material del que está
hecho el Honeycomb.
1.1.2 CONDICIONES DINAMICAS
Aunque la respuesta del Honeycomb a las
condiciones dinámicas es similar a las cuasi
estáticas, es decir que también se cuenta con un
rango elástico, uno plástico y la densificación final,
se han encontrado 4 factores que afectan la manera
como el material responde. Primero está el efecto
del fluido interno, en este caso aire, al recibir una
carga el aire contenido aumenta su presión debido al
cambio de volumen lo que podría crear una
resistencia a la absorción de energía del material.
Un segundo factor que podría afectar es la tasa de
deformación unitaria pues se cree que el
Honeycomb responde diferente a medida que esta
se aumenta y que el esfuerzo plateau es
directamente proporcional. El tercer factor es el
frente de carga ya que como se explicará más
adelante en la metodología, los parámetros de los
que depende la velocidad de la onda transmitida por
el impacto cambian y esto puede afectar la respuesta
del material celular. Finalmente el cuarto factor son
los efectos micro inerciales del Honeycomb.
Durante este trabajo se realizaron pruebas para
analizar los tres primeros factores.
ShanquinXu [10] es el autor quién ha realizado más
pruebas con el fin de buscar una caracterización
completa de este tipo de estructuras. Mediante la
realización de una gran cantidad de pruebas
variando condiciones como la tasa de deformación,
la cantidad de celdas activas en la probeta y la
referencia del aluminio utilizado para construir el
Honeycomb. Obtuvo entonces la relación para
obtener el esfuerzo dinámico de aplastamiento,
siendo una ecuación muy importante ya que es el
punto de partida para las pruebas dinámicas
realizadas en este trabajo.
Donde
dinámico,
( )
{
̇
}
es el esfuerzo de densificación
es el esfuerzo de fluencia, es el
3
espesor de pared, es la arista del hexágono y ̇ es
la tasa de deformación unitaria.
La velocidad mínima para lograr la densificación
total del Honeycomb fue un concepto desarrollado
por Harrigan [20], Reid y Peng [21], donde
mediante un modelo rígido perfectamente plástico
fijo se llegó a la siguiente ecuación:
√
{(
)
}
Donde
es la deformación unitaria de
densificación (0.8),
es la densidad del material
celular, m1 es la masa de la probeta y m2 es la masa
del martillo impactor. Teniendo este valor de
velocidad mínimo se puede hallar la altura necesaria
a la que tiene que estar el martillo impactor para
lograr esta velocidad y por ende lograr la
densificación de la probeta, teniendo en cuenta
siempre que
Donde es la velocidad elegida para la prueba y g
es la constante gravitacional.
1.2 POLIURETANO
El poliuretano es un polímero que se obtiene de
la combinación de un poliol (base hidroxílica) con
un isocianato, son materiales muy versátiles que se
moldean muy bien a figuras inusuales. Existen dos
grandes tipos de poliuretano, los primeros son los
termoestables que son espumas utilizadas como
aislantes térmicos y los segundos son los
poliuretanos termoplásticos que se utilizan
comúnmente como selladores adhesivos, juntas,
componentes de automóviles y en la industria de la
construcción por su buena resistencia estructural.
En la industria existen dos tipos de aplicaciones
para el poliuretano, cuando se necesita poliuretano
flexible, comúnmente usado como material anti
impacto para el empaquetamiento de piezas en la
industria de la paquetería. Por otro lado para las
aplicaciones donde se necesita poliuretano rígido se
utilizan normalmente como aislante térmico debido
al gas aprisionado en las celdas cerradas del
polímero. También se usan en revestimientos de
cañerías por su buen comportamiento frente al
fuego o como piezas estructurales en construcciones
o carcas de máquinas industriales.
Aunque existe una gran variedad de referencias en
la industria, las propiedades mecánicas del
poliuretano dependen de la medida de su peso
volumétrico que está normalmente entre 30 y 100
kg/m3. Cuentan con una resistencia a la tracción
entre 0.3 y 1 MPa, una resistencia a la compresión
en un rango de 0.15 y 0.9 MPa, además de un
módulo de elasticidad entre 4 y 20 MPa. Otras
propiedades de interés en el poliuretano son su
excelente grado de aislamiento térmico, su
estabilidad dimensional en temperaturas entre 200°C y 100°C y su poder adhesivo [29].
Debido a las necesidades de este trabajo de grado, el
polímero a utilizar es el de tipo rígido y será
referenciado más adelante en el documento.
2. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL
2.1 MATERIALES
Para la realización de las pruebas se utilizaron
probetas de aluminio. Estas probetas tienen un
tamaño de hexagono S de 3/16” o 4.76mm (Ver
Figura 1), tiene un grosor de pared t de 0.0015” o
0.0381mm, una altura de 3/4” o 19.05mm.
El Poliuretano utilizado es de la marca
Espumlatex y referencia TRG012 y tiene como
agente soplante o vehículo de expansión el HCFC141B y es de celda cerrada, es decir no solo tiene
aire contenido dentro de las celdas del poliuretano.
Presenta características como bajo peso, resistencia
estructural y muy buena capacidad de llenado entre
otros. Se obtiene de la combinación de un Poliol, en
este caso el Espol TRG012 y un Isocianato, el
Pronate TRG192 y la relación es de 48% y 52%
respectivamente para después realizar una agitación
de 12 segundos con el fin de tener suficiente tiempo
de introducir la mezcla dentro de la probeta.
2.2 PRUEBAS
La máquina INSTROM 3367 fue utilizada para
realizar las pruebas en condiciones cuasi estáticas.
Los parámetros de estas pruebas, como tamaño de
probeta y tasa de deformación, se obtienen de la
norma ASTM D7338 [18]. Fueron realizadas 6
4
pruebas diferentes para probetas de Honeycomb y
luego se realizaron 6 pruebas más en probetas con
Honeycomb y Poliuretano con el fin de poder
realizar una comparación directa. La velocidad de
deformación para estas pruebas fue de 12.5 mm/s
hasta lograr la densificación completa.
La realización de las pruebas en condiciones
dinámicas fue mediante un Dispositivo de Impacto
por Proyección Vertical de Masas de la Universidad
de los Andes. Se realizaron 30 pruebas en probetas
de Honeycomb para tres tasas de deformación
unitaria diferente, 200s-1, 250s-1, 300s-1 obteniendo
10 resultados por cada tasa de deformación. Se
desarrollaron pruebas espejo, es decir exactamente
iguales con probetas de Honeycomb y Poliuretano
con el fin de evaluar la respuesta del material en
estas dos condiciones.
El Dispositivo para las condiciones dinámicas
utiliza como parámetro de entrada la altura de
donde va a impactar el martillo, este tiene un peso
de 13.9 kg y mediante dos guías con rodamientos
lineales el martillo cae a la zona de impactos donde
ocurre la deformación de la probeta.
Para la recolección de datos se tienen tres
sensores en el dispositivo de impactos. Se tiene
como primer sensor un láser Sick DT60 de media
distancia ubicado en la parte superior de la máquina
y tiene como objetivo siempre registrar la altura del
martillo. El segundo sensor que tiene es un láser de
precisión LDSM 90/40 con un rango y una
resolución de 0.04mm el cual es de vital
importancia para este trabajo ya que ubicando el
mismo correctamente se tiene la deformación de la
probeta teniendo en cuenta la altura inicial de la
misma y que el fenómeno de impacto ocurra entre
el rango de lectura del sensor. Finalmente se tienen
cuatro sensores piezoeléctricos Kistler referencia
9212 con un rango máximo de 5.000 lbf cada uno y
están conectados de forma que se suman por lo que
la fuerza máxima que se puede aplicar en un
impacto sin afectar la integridad de los sensores es
de 20.000 lbf.
2.3 PROBETAS
Fueron utilizados tres tamaños de probetas para
todas las pruebas, esto en función de las tres tasas
de deformación mencionadas anteriormente. Los
Velocidad
Densificación [m/s]
2.26
2.82
3.14
Probeta
9x9
11x11
13x13
Altura Martillo [m]
0.26
0.41
0.50
Tabla 1. Propiedades de cada probeta.
Para las probetas con Poliuretano se utilizaron los
mismos tamaños y tasas de deformación. La gran
variación frente a una probeta y otra era el aumento
del peso, parámetro que será evaluado más adelante.
3.2 TASA DE DEFORMACION
Se presenta a continuación la gráfica de esfuerzo plateau
en función de la tasa de deformación para las probetas
sin poliuretano.
Esfuerzo Plateau [MPa]
tamaños de las probetas se presentan a continuación
junto con la altura a la que fue colocado el martillo
y la velocidad de densificación.
5
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
200
250
300
Tasa de Deformación [s-1]
3. RESULTADOS Y ANALISIS
3.1 CONDICIONES CUASI ESTATICAS
Se presenta a continuación la gráfica de esfuerzo
plateau en función del peso para las pruebas en
condiciones cuasi estáticas
De la misma manera se presentan los datos del esfuerzo
plateau en función de la tasa de deformación para las
probetas con poliuretano.
2,50
2,00
1,50
3,50
1,00
0,50
0,00
0
5
10
15
20
25
Peso [gr]
Esfuerzo [MPa]
Figura 6. Esfuerzo Plateau vs tasa de
deformación unitariapara las probetas sin
poliuretano.
3,00
2,50
2,00
1,50
1,00
0,50
0,00
Figura 5. Esfuerzo Plateau vs Peso para las
pruebas cuasi estáticas.
Como se esperaba, se evidencia un claro aumento en el
esfuerzo plateau de las probetas, el aumento llega a ser
de casi tres veces más en el mejor de los casos. Por otro
lado, el incrementoen el peso es evidente, con aumentos
de 3 y 4 veces entre probetas sin poliuretano y probetas
con poliuretano.
Se logra darle mayor resistencia estructural al material
en sacrificio del peso, fenómeno que se evidencia desde
a realización de las pruebas donde la deformación
unitaria que alcanza el material es menor en presencia
del poliuretano.
200
250
Tasa de
300
Deformación [s-1]
Figura 7. Esfuerzo Plateau vs tasa de
deformación unitariapara las probetas con
poliuretano.
En las pruebas realizadas, no se encontró una
relación directa entre la tasa de deformación
unitaria y el esfuerzo de plateau, se ve una
tendencia estable donde los valores de esfuerzo
plateau fluctúan en cada tasa de deformación para
las probetas de Honeycomb sin poliuretano.
Se observa en la Figura 6, que al haber ausencia
de alguna tendencia, este tipo de estructura celular y
en especial esta aleación no es sensible a la tasa de
deformación unitaria, a diferencia de lo observado
por algunos autores anteriormente [10].
Se debe tener en cuenta también, que existe una
pequeña variación de valores de esfuerzo plateau
para cada probeta, donde la variación máxima rodea
el 13% y la variación promedio es del 11%.
En las pruebas con Poliuretano, tampoco se ve
una dependencia clara entre los valores de esfuerzo
plateau y la tasa de deformación unitaria como se ve
en la Figura 7 por lo que de estas pruebas se puede
decir que el Poliuretano tampoco presenta
sensibilidad a la tasa de deformación unitaria. La
variación entre los valores se puede explicar por la
diferencia en la concentración de Poliuretano entre
probetas debido a su sensibilidad a factores como el
tiempo de agitación y la densificación de la espuma.
3.3 AIRE Y POLIURETANO
A continuación se presenta la gráfica de esfuerzo
plateau en función del peso para las pruebas de
honeycomb con poliuretano.
3,50
3,00
2,50
2,00
1,50
1,00
0,50
0,00
0
5
10
Tasa de Deformación [s-1]
15
Figura 8. Esfuerzo Plateau vs peso para las
pruebas en condiciones dinámicas.
Una de las razones por las que se busca reforzar
las probetas de Honeycomb con un fluido interno
además de darle mayor resistencia estructural, es
reemplazar el aire contenido en las celdas
6
hexagonales ya que este tiene efectos adversos en la
respuesta del material a impactos debido al aumento
de presión por la reducción del área transversal.
Como se puede apreciar en la Figura 8, el
esfuerzo plateau para las probetas con Poliuretano,
tiene un valor promedio de 2.4 MPa mientras que
para las probetas sin refuerzo interno los valores
están entre 0.74 MPa. Esto indica un aumento en el
esfuerzo plateau y en la respuesta del material de
3.5 veces cuando el poliuretano está en las probetas,
un aumento bastante considerable y que aumentaría
la gama de aplicaciones para este tipo de
estructuras.
Ahora teniendo en cuenta el peso que es un factor
fundamental, se encuentra que para las probetas sin
poliuretano, el peso está entre 2 y 4 gramos,
mientras que con poliuretano el peso aumenta y
oscila entre 6.5 y 12.5 gramos, esto quiere decir que
con poliuretano, el peso de las probetas aumenta 3.2
veces, un aumento bastante significativo también y
que comparando el aumento del peso y del esfuerzo
plateau es prácticamente 1 a 1.
El incremento en el esfuerzo plateau se puede
explicar mediante dos fenómenos. El primero es que
cuando el Honeycomb está solo, al recibir el
impacto y comenzar su deformación plástica, el
volumen donde está contenido el aire empieza a
disminuir, por lo que su presión aumenta
proporcionalmente lo que ocasiona una resistencia a
la mecánica de falla normal de la estructura celular
y no permite que este falle solamente por el impacto
sino que parte de su absorción de energía, se va en
retener el aire a presión dentro del mismo lo que
afecta negativamente el desempeño del Honeycomb
en estas condiciones. Esto cambia drásticamente
con el refuerzo de Poliuretano adentro, ya que el
aumento de presión es mucho menor, teniendo en
cuenta que la cantidad de fluido contenido (aire y
agente de expansión) es más baja por lo que el
Honeycomb puede concentrar su mecánica de falla
en responder al impacto.
El segundo fenómeno es que el Poliuretano
también cumple con su parte de absorción del
impacto debido a su buena resistencia estructural,
este se comprime de tal manera que la energía es
usada para compactar el material transformándola
en este tipo de falla y también es dispersada en
forma de calor.
Aunque todo lo mencionado anteriormente es
muy bueno, el peso es una propiedad que se
sacrifica, se encontró que es directamente
proporcional el crecimiento del esfuerzo plateau con
el aumento del peso por lo que se debe evaluar a la
hora de utilizar este tipo de montajes que propiedad
es más importante para cada aplicación en
específico, si tener un esfuerzo plateau más alto o
un peso más bajo, esto ya depende del usuario
directo quién debe evaluar cuáles son las
necesidades.
4. CONCLUSIONES
Se logró la caracterización dinámica de un
Honeycomb utilizando diferentes tasas de
deformación y evaluar las mismas condiciones de
prueba para un Honeycomb con refuerzo interno de
Poliuretano.
El Honeycomb utilizado para las pruebas no
presenta una clara sensibilidad a la tasa de
deformación unitaria sin importar si esta aumenta o
disminuye.
Se encontró una relación directamente
proporcional entre el aumento del peso por la
presencia del poliuretano y el esfuerzo plateau de
las probetas.
Finalmente se encontró que el refuerzo interno
aumenta el esfuerzo plateau del Honeycomb y por
ende su desempeño en sacrificio del peso. Por lo
tanto, para aplicaciones donde el peso pueda
aumentar un poco pero se necesite mayor absorción
de energía, esta configuración se adapta
perfectamente.
REFERENCIAS
[1] M. A. Meyers, Dynamicbehavior of materials. New York:
Wiley, 1994.
[2] T. Bitzer, “Honeycombtechnology : materials, design,
manufacturing, applications and testing”. London; New
York: Chapman & Hall, 1997.
[3] Tomado
de
“http://www.interempresas.net/MetalMecanica/Articulos/
101212-Influencia-materiales-aeronauticos-seleccionherramientas-corte-para-su-mecanizado.html”. 10 de
Marzo de 2014.
7
[4] Tomado de “http://www.plascore.com/honeycomb-coresaerospace.php”. PLASCORE. 10 de Marzo de 2014.
[5] T. Wierzbicki, "Crushinganalysis of metalhoneycombs"
vol. 1, ed: International Journal of Impact Engineering,
1983.
[6] D.
Avendaño
“Caracterizacióndinámica
de
estructurascelulares hexagonales”. Tesis de Maestría,
Universidad de los Andes. 2013.
[7] A. Wilbert, W. Y. Jang, S. Kyriakides, and J. F. Floccari,
"Buckling
and
progressive
crushing
of
laterallyloadedhoneycomb" International Journal of
Solids and Structures.
[8] Tomado
de
“http://www.hexcel.com/Resources/Honeycomb-DataSheets”. HEXCEL. 14 de Marzo de 2014
[9] Ficha
Ténica
“Sistema
de
Poliuretano
EspumlatexTRG012” . ESPUMLATEX. 15 de Abril de
2014.
[10] S. Xu, J. Beynon, D. Ruan, G. Lu. “Experimentalstudy of
the out-of-plane dynamic compression of hexagonal
honeycombs”. Composite Structures. Ed 94. PP 23262336. Mazo 2012.
[11] EcheverryLopera, J. J. (2012). “Optimizacióndelproceso
de manufactura para la fabricación y caracterización de
honeycombsevaluadosbajocondicionescuasiestáticas”.
Manuscriptsubmitted
for
publication,
Ingeniería
Mecánica, Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia.
[12] Castaño Bromberg, J. S. (2011). “Evaluación y
construcción
de
un
honeycombsometido
a
altascargasbajoondas de choque”. Manuscriptsubmitted
for publication, Ingeniería Mecánica, Universidad de los
Andes, Bogotá, Colombia.
[13] Qui, X. M., &Yu, T. X. (2011). “Some topics in
recentadvances and applications of structural impact
dynamics”
Manuscriptsubmitted
for
publication,
Mechanical Engineering, TsinghuaUniversity, Beijing,
China.
[14] Yasui, Y. (2000). “Dynamic axial crushing of multi-layer
honeycomb panels and impact tensilebehavior of the
component
member”.
Manuscriptsubmitted
for
publication, Mechanical Engineering, Tokai University,
Kanagawa, Japan.
[15] Hou, B., Zhao, H., Pattofatto, S., Liu, J. G., & Li, Y. L.
(2012). “Inertiaeffects on the progresivecrushing of
aluminium
honeycombsunder
impact
loading”
Manuscriptsubmitted for publication, School of
Aeronautics, NorthwesternPolytechnicalUniversity, Xi'an,
China.
[16] R. K. Mc Farland, Jr., "Hexagonal cell structures under
post-buckling axial load" AIAA Journal, pp. 1380-1385,
1963.
[17] E. Wu and W.-S. Jiang, "Axial crush of
metallichoneycombs" International Journal of Impact
Engineering, vol. 19, pp. 439-456, 1997.
[18] ASTM, "D7336/D7336M-12 Standard Test Method for
StaticEnergy Absorption Properties of Honeycomb
Sandwich CoreMaterials," ed, 2013.
[19] S. Xu, J. H. Beynon, D. Ruan, and T. X. Yu,
"Strengthenhancement of aluminium honeycombscaused
by
entrapped
air
underdynamic
out-of-plane
compression," International Journal
of Impact
Engineering, vol. 47, pp. 1-13, 2012.
[20] J. J. Harrigan, S. R. Reid, and A. Seyed Yaghoubi, "The
correct analysis of shocks in a cellular material"
International Journal of Impact Engineering, vol. 37, pp.
918-927, 2010.
[21] S. R. Reid and C. Peng, "Dynamicuniaxialcrushing of
woo," International Journal of Impact Engineering, vol.
19, pp. 531-570, 5// 1997.
[22] J.J.
Carrillo
“Evaluación
de
las
propiedadesmecánicasdelpoliuretanorígido
de
altadensidad”. Tesis de Pregrado, Universidad de los
Andes. 1999.
[23] MatWeb. (2014). Aluminum 5052-H38. Disponible en:
http://www.matweb.com/search/DataSheet.aspx?MatGUI
D=03ed379e437945a1a8dbff86c5907f74&ckck=1
[24] I. Elnasri, S. Pattofatto, H. Zhao, H. Tsitsiris, F. Hild, Y.
Girard. “Shockenhancement of cellular structures under
impact loading: Part I Experiments”. Journal of the
Mechanics and PhysicsSolids. Vol 55, pp. 2652-2671.
2007.
[25] M. Yamashita, M. Gotoh. “Impact behavior of
honeycombs structures withvariouscellspeficications –
numerical simulation and experiment”. International
Journal of Impact Engineering. Vol 32, pp 618-630. 2005.
[26] C. Foo, L. Seah, G. Chai. “Low-velocity impact failure of
aluminium honeycomb sandwich panels”. Composite
Structures. Vol 85, pp 20-28. 2008.
[27] H. Zarei, M. Kröger. “Optimum honeycombfilled crash
absorber design.” Materials and Design. Vol 29, pp 193204. 2008.
[28] A. Hazizan, W. Cantwell. “The lowvelocity impact
response of an aluminium honeycomb sandwich
structure.” Composites: Part B, Vol 34, pp 679-687. 2003.
[29] PU
Solutions
Elastogran.
“Elastómeros
de
poliuretanotermoplástico.”
Ellastollan
–
Propiedadesdelmaterial. Recuperado en Mayo de 2014.
Tomado
de
http://www.polyurethanes.basf.de/pu/solutions/us/functio
n/conversions:/publish/content/group/Arbeitsgebiete_und
_Produkte/Thermoplastische_Spezialelastomere/Infomate
rial/elastollan_material_es.pdf
[30] American
Chemistry
Council.
“Polyurethanes”.
Introduction, History and Industry. Recuperado en Mayo
de
2014.
Tomado
de
http://polyurethane.americanchemistry.com/Introductionto-Polyurethanes
Autores
Pablo Montoya – Ingeniería Mecánica, Universidad de los
Andes, Bogotá D.C. Colombia
Juan Pablo Casas –PhD Ingeniería Mecánica. Docente
Universidad de los Andes, Bogotá D.C. Colombia
8
Conexión con perforaciones múltiples en materiales ortotrópicos
Resumen
El comportamiento mecánico de los materiales compuestos ortotrópicos en estructuras lo
define, en gran medida, la capacidad resistente de la conexión. El diseño de una conexión
con perforaciones múltiples en materiales ortotrópicos está gobernado por la posibilidad
de falla debida a concentraciones de tensión. Infortunadamente, el desconocimiento de la
distribución de tensiones actuantes en la conexión con perforaciones múltiples no ha
permitido la optimización de la estructura. Se hace indispensable, por lo tanto, desarrollar
un modelo analítico confiable que represente debidamente el comportamiento mecánico
de la conexión múltiple.
Se presenta en este artículo un modelo analítico para calcular la concentración de
tensiones en una conexión de un material ortotrópico con múltiples perforaciones. El
modelo matemático propuesto está basado en el método de la variable compleja. Para un
estado plano de tensiones en placas ortotrópicas con múltiples perforaciones, las
tensiones pueden expresarse mediante funciones complejas. En general, las funciones de
variable compleja pueden ser estimadas usando las condiciones de frontera del problema.
En las conexiones con perforaciones, la forma y la magnitud de las tensiones depende, en
principio, de las propiedades elásticas del material compuesto ortotrópico y de las
distancias a los bordes. Para evitar las rupturas en estas conexiones, se deben controlar
las distancias de los conectadores a los bordes del elemento, las distancias entre
conectadores y el espesor del elemento conectado. Las propiedades elásticas del material
ortotrópico conectado y la geometría de la conexión determinan entonces la magnitud de
las concentraciones de tensión.
Con el método analítico desarrollado es posible estimar las tensiones en cualquier punto
de la conexión. Las tensiones pueden ser calculadas para diferentes materiales
ortotrópicos siempre y cuando las constantes elásticas básicas sean conocidas.
Mejorar el comportamiento mecánico de los materiales compuestos ortotrópicos extiende
entonces su uso como elementos estructurales.
Palabras clave:
Conexión, tensiones, ortotrópico, variable compleja
Beatriz Echavarría
Candidata Maestría en Construcción, Universidad Nacional de Colombia.
Ingeniera Departamento de Estructuras, Integral S.A.
[email protected]
César Echavarría
Ingo. M.Sc. Ph.D.
Profesor Asociado, Escuela de Construcción, Universidad Nacional de Colombia
[email protected]
1. Introducción
Las uniones con conectadores metálicos presentan idealmente un comportamiento elastoplástico. Este comportamiento resulta de la deformación plástica de los conectadores y
del material ortotrópico conectado en aplastamiento. El modo de falla depende
enormemente de la anisotropía del material conectado, del diámetro de las perforaciones,
de la geometría de la unión y del ángulo entre el esfuerzo a transmitir y los ejes
principales de la pieza conectada.
Para las uniones con falla por aplastamiento (compresión localizada), la ruptura en el
rango plástico depende de la rigidez en flexión del conectador y de la resistencia de la
pieza conectada en aplastamiento. Cuando la tensión de compresión en el borde de una
perforación sobrepasa la resistencia en compresión localizada de la sección, hay un
fenómeno de plastificación del material en la zona de contacto entre el conectador y la
pieza que provoca deformaciones excesivas y deslizamientos en la unión que conducen a
la ruptura por aplastamiento.
Fig. 1 Concentraciones de tensión en una unión (evaluación con elementos finitos)
La falla por tracción en el material ortotrópico conectado se produce como consecuencia
de la aparición de concentraciones de tensión en la vecindad de las perforaciones (ver
Fig. 1) y se pone en evidencia por un fenómeno de hendimiento y de ruptura frágil. La
fisuración causada por las tensiones de tracción es a menudo repentina y de naturaleza
frágil, se produce sin que alguna deformación importante, plastificación o cualquier otro
signo visible haya podido ser notado. En función de la geometría, la propagación rápida
de la fisura puede o no llevar a una ruptura completa de la sección.
Las uniones de materiales ortotrópicos con conectadores metálicos y los límites entre el
comportamiento frágil y dúctil han sido estudiados usando métodos analíticos (De Jong
[4], Echavarría [5]) y numéricos y experimentales (Backlund [1], Collings [2], Dano [3],
Eriksson [6], Hyer [7], Ireman [8], Li [10], Mahajerin [11], Okutan [13], Waszczak [14]). En
general, estos modelos y otros encontrados en la literatura coinciden en el uso de
distancias a los extremos adecuadas para eliminar la posibilidad de rupturas de tipo frágil
en las uniones de materiales ortotrópicos con conectadores metálicos.
2. Modelo analítico
A continuación, se estudia la aparición de concentraciones de tensión en las uniones de
materiales ortotrópicos con conectadores metálicos.
Se presenta un modelo teórico basado en el método de las funciones complejas
(Lekhnitskii [9], Muskhelishvili [12]) que permite calcular las tensiones en una unión. Se
considera una sección ortotrópica y homogénea de anchura b con una perforación
circular de diámetro d como se muestra en la Fig. 2.
Sean x y y los ejes principales de la sección. El esfuerzo F en la unión actúa en la
dirección longitudinal (eje y ). La perforación está localizada a una distancia e del borde
cargado de la sección. La holgura entre el conectador y la perforación se denomina  .
Fig. 2 Geometría de la conexión con un conectador metálico
El análisis de la conexión es esencialmente un problema de contacto de dos cuerpos.
Cuando el conectador se desplaza hace contacto con una parte de la perforación.
Normalmente, la zona de contacto es desconocida. Con el objetivo de simplificar el
análisis de las tensiones, se emplea un método inverso. Se supone además que la
perforación es cargada sin fricción sobre una parte de su borde por un conectador
infinitamente rígido de diámetro d . El esfuerzo resultante en la conexión F es igual a
2 pRt , donde p es la compresión localizada o aplastamiento promedio, R es el radio de
la perforación y t es el espesor de la sección (se considera unitario en este análisis). La
tensión  en el borde de la pieza conectada es igual a F / b .
El desarrollo completo de cada ecuación se puede encontrar en Echavarría [5].
Para un estado plano de tensiones en placas ortotrópicas, las tensiones pueden
expresarse mediante dos funciones complejas   z1  y   z2  :


 x  2 Re 12 '  z1    2 2  '  z2 
(1)
 y  2 R e  '  z1    '  z2 
(2)
 x y   2 R e 1 '  z1    2  '  z 2 
(3)
Donde   z1  y   z2  son funciones de tensión de las variables complejas z1 y z2 :
z1  x  1 y
(4)
z2  x  2 y
(5)
Los parámetros complejos de primer orden 1 y  2 son definidos por las constantes
elásticas Sij del material conectado usando las siguientes relaciones:
r a
1 
2
r a
2  
2
ra
i
(6)
2
ra
i
(7)
2
donde,
2a 
r2 
2S12  S33
(8)
S11
S 22
(9)
S11
Las coordenadas de un punto cualquiera de la conexión en un plano complejo están
dadas por:
zk 
k 
d k
d zk
R
2
1  i    1  i   
k
k
k

zk  z k 2  R 2 1   k 2
R 1  i  k 

k

zk  R 1   k
2
2
2


k
k  1, 2
k  1, 2
k  1, 2
(10)
(11)
(12)
En general, las funciones de variable compleja pueden ser estimadas usando las
condiciones de frontera del problema, se supone una distribución sinusoidal de los
esfuerzos de contacto, ver Fig. 3. Las soluciones se resumen a continuación:
  z1   AL n  1   0  1  
2
 R

z1 
 
4b 1   2   1 1   2 
  z2   BL n  2   0  2  
 '  z1  
d
dz1
 '  z2  
d
d 1
d
d 2

d

d z2
A
1


B
2


d d  1
d  1 dz1
d  d 2
d 2 d z 2
2
F
1
1
 R


z2 

4b  2  1   2 1   2 
F

2
 2 
 R d  1




4b 1   2   12 dz1 1   2 

1 
 R d 2

 2

4b  2  1   2 d z 2 1   2 
F
1
F
d0
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
d 1
d 0
(18)
d 2
0  1  y  0   2  son las partes holomórficas de  z 1  y   z 2  .
Además,



1  S i n
(19)
Cos
  e  2d 
  e  2d 


 30 

5 
d
3
  e  5d 
10


4 5  d


d


2
2d  e  5d
5d  e  14d
(20)
(21)
Con las ecuaciones precedentes, las tensiones pueden ser calculadas, en cualquier punto
de la conexión, transformando las coordenadas reales en coordenadas complejas.
Este modelo puede ser usado para determinar analíticamente las concentraciones de
tensión en el rango elástico en la unión con un conectador metálico y para predecir,
usando un modelo de ruptura conveniente, los modos de ruptura de tipo frágil. Las
tensiones pueden ser calculadas para diversos materiales ortotrópicos siempre y cuando
las constantes elásticas básicas sean conocidas.
Fig. 3 Ángulo de contacto en la unión con un conectador metálico
3. Conexión con una perforación
A continuación, examinaremos las principales concentraciones de tensión en el borde de
la perforación, ver Fig. 4.
Para el punto con coordenadas  x  0, y  R  tenemos la máxima concentración de
tensión perpendicular y la máxima compresión localizada longitudinal en la zona de
contacto:
  4    Fn   Fk 3Fk

  
2
 2 R
  2b 2 R
x  
 2F
 R

  xy F
 
 2 R



 y  
(23)
 xy  0
(24)
Para el punto B1 con coordenadas
tensión longitudinal:
x  0
F
y 

 2b
(22)
 x  R , y  0
tenemos la máxima concentración de
(25)

2F  n F
 
R 2  k 2b
 xy  0
(26)
(27)
donde,
 xy   yx
Ex
Ey
(28)
k
Ex
(29)
Ey
1/2
  E
 E x 
x

n  2 
  xy  

 Gx y 
  E y


(30)
Fig. 4 Conexión con una perforación
tenemos,
b
:
anchura de la pieza conectada (mm)
d
:
diámetro del conectador (mm)
t
:
espesor de la pieza conectada, unitario en este análisis (mm)
e
:
distancia a la testa (extremo cargado) (mm)
R
:
radio de la perforación (mm)
Ex
:
módulo de elasticidad en la dirección transversal x (MPa)
Ey
:
módulo de elasticidad en la dirección longitudinal y (MPa)
Gxy
:
módulo de cizalladura (MPa)
 xy
:
coeficiente de Poisson
4. Conexión con 2 perforaciones
las perforaciones, ver Fig. 5.
Para el punto B1 (perforación más alejada de la testa) tenemos la concentración de
 F1  2 F2
y 


2b

2 F1  n F1  2 F2
 
2b
R 2  k
(31)
Para el punto B2 (perforación más próxima de la testa) tenemos la concentración de
 F2 2 F2  n F2


 2b R 2  k 2b


y 
(32)
Fig. 5 Conexión con 2 perforaciones
Además,
F  F1  F2
(33)
5. Conexión con 3 perforaciones
las perforaciones, ver Fig. 6.
Para el punto B1 (perforación más alejada de la testa) tenemos la concentración de
 F1  2 F2  2 F3 2 F1  n F1  2 F2  2 F3

 

2b
2b
R 2  k

y 
Para el punto B2 tenemos la concentración de tensión longitudinal:
(34)
 F2  2 F3 2 F2  n F2  2 F3


2 
 2b
k
2b

R


y 
(35)
Para el punto B3 (perforación más próxima de la testa) tenemos la concentración de
 F3
y 

 2b

2 F3  n F3
 
R 2  k 2b
(36)
Fig. 6 Conexión con 3 perforaciones
Igualmente,
F  F1  F2  F3
(37)
El análisis previo se puede extender fácilmente a conexiones con más de 3 perforaciones
en una fila, a conexiones con varias filas o a conexiones con perforaciones no cargadas.
6. Conclusiones
El modelo analítico propuesto permite calcular la concentración de tensiones en una
conexión de un material ortotrópico con múltiples perforaciones. Para un estado plano de
tensiones en placas ortotrópicas con múltiples perforaciones, las tensiones pueden
expresarse mediante funciones complejas. La magnitud de las tensiones depende, en
principio, de las propiedades elásticas del material compuesto ortotrópico, de la cantidad y
posición de las perforaciones y de las distancias a los bordes. Para evitar las rupturas en
estas conexiones, se pueden controlar las concentraciones de tensión, las distancias de
los conectadores a los bordes del elemento, las distancias entre conectadores y el
espesor del elemento conectado. Con el método analítico desarrollado es posible estimar
las tensiones en cualquier punto de la conexión. Las tensiones pueden ser calculadas
para diferentes materiales ortotrópicos siempre y cuando las constantes elásticas básicas
sean conocidas.
7. Bibliografía
[1]
Backlund J, Aronsson C. Tensile fracture of laminates with holes. Journal of
Composite Materials 1986;20:259-286.
[2]
Collings TA, Beauchamp MJ. Bearing deflection behaviour of a loaded hole in
CFRP. Composites 1984;15:33-38.
[3]
Dano ML, Gendron G, Picard A. Stress and failure analysis of mechanically
fastened joints in composite laminates. Composite Structures 2000;50:287-296.
[4]
De Jong T. Stresses Around Pin-Loaded Holes in Elastically Orthotropic or
Isotropic Plates. Journal of Composite Materials 1977;11:313-331.
[5]
Echavarría C. Analyse d’une plaque orthotrope avec trou: Application aux
assemblages en bois. PhD thesis N° 2947, Swiss Federal Institute of Technology
Lausanne EPFL, Switzerland, 2004.
[6]
Eriksson I. On the bearing strength of bolted graphite/epoxy laminates. Journal of
Composite Materials 1990;24(12):1246-1269.
[7]
Hyer MW, Klang EC, Cooper DE. The effect of pin elasticity, clearance, and friction
on the stresses in a pin-loaded orthotropic plate. Journal of Composite Materials
1987;21:190-206.
[8]
Ireman T, Nyman T, Hellbom K. On design methods for bolted joints in composite
aircraft structures. Composite Structures 1993;25:567-578.
[9]
Lekhnitskii SG. Anisotropic Plates. New York: Gordon and Breach Science
Publishers; 1968.
[10]
Li R, Kelly D, Crosky A. Strength improvement by fibre steering around a pin
loaded hole. Composite Structures 2002;57:377-383.
[11]
Mahajerin E, Sikarskie D. Boundary Element Study of a Loaded Hole in an
Orthotropic Plate. Journal of Composite Materials 1986;20:375-389.
[12]
Muskhelishvili NI. Some basic problems of the mathematical theory of elasticity.
Noordhoff, Groningen, 1953.
[13]
Okutan B. The effects of geometric parameters on the failure strength for pinloaded multi-directional fiber-glass reinforced epoxy laminate. Composites Part B
2002, 33:567-578.
[14]
Waszczak J, Cruse T. Failure Mode and Strength Predictions of Anisotropic Bolt
Bearing Specimens. Journal of Composite Materials 1971;5:421-425.
Estudio de los Fenómenos de Cono de Agua y Gas
en Yacimientos de Petróleo
G. S. V. Gontijo¹, A. B. Dias Jr.¹, E. L. Albuquerque¹, E. L. F. Fortaleza¹
¹ Universidad de Brasilia – Campus Darcy Ribeiro, Asa Norte - Brasilia - Brasil
[email protected]
Palabras-clave:
Cono de agua, Cono de gas, Yacimiento de petróleo, Método de los Elementos
de Contorno.
Resumen. Los fenómenos de cono de agua y de gas son dos de los factores que más influencian
en la caída de productividad de un pozo de petróleo. La producción de agua o de gas en lugar de
petróleo conduce a costos adicionales de tratamiento que pueden impedir la operación de un pozo
particular. Con el objetivo de estudiar estos fenómenos, fue desarrollado un conjunto de códigos
numéricos para simular el comportamiento de la interfaz entre dos fluidos, en dominio
bidimensional y tridimensional, utilizando el Método de los Elementos de Contorno. En todos los
casos, los resultados obtenidos son físicamente consistentes y concuerdan con resultados
analíticos cuando disponibles.
Introducción
Un yacimiento de petróleo es compuesto por un medio poroso que contiene aceite, agua y, en
muchos casos, gas. En un campo de producción, los fenómenos de cono de agua y de gas son
factores limitantes en la productividad de un pozo de petróleo [3]. Estos fenómenos se producen
debido al gradiente de presión aplicado por el pozo con el fin de retirar el petróleo del yacimiento.
El gradiente de presión alcanza a todos los fluidos (petróleo, agua y gas) y ya que el agua y el gas
tienen mayor movilidad que el petróleo, ellos tienden a fluir hacia el pozo, tomando la forma de un
cono. Para ciertos valores de flujo, el cono de agua o de gas alcanza el pozo, llevando a que el
agua o el gas se produzcan en lugar de petróleo, lo que reduce la productividad del pozo. Es de
interés para la industria el conocimiento del comportamiento de las interfaces petróleo-agua y
petróleo-gas, con el fin de evitar la irrupción de los conos y minimizar los costos de separación
primaria. Numerosas obras se dedican a estudiar estos fenómenos. Cono de gas en problemas de
superficie libre fue estudiado por [6]. Características de la interfaz en estado estacionario con
régimen de extracción crítica y supercrítica fueron estudiadas por [7] y [8]. Técnicas para prevenir
el cono de agua fueron estudiadas por [5].
Debido a que los costes de implantación de un pozo de petróleo son elevados, la industria
siempre busca la más alta productividad posible en cada uno de ellos, de forma a garantizar que
el investimento traiga ganancias. Se utiliza corrientemente la simulación numérica de los
yacimientos de petróleo para analizar los posibles esquemas de producción. Con esta clase de
herramienta, se puede analizar el comportamiento que tendrá el yacimiento cuando sometido a
ciertos arreglos de pozos productores y a ciertas intensidades de producción. Aunque sea
deseada la producción a una intensidad elevada, el alto gradiente de presión aplicado por el pozo
puede inducir los fenómenos de cono de agua y gas, que aumentarían el costo de tratamiento del
petróleo producido. La simulación numérica ayuda en establecer la intensidad óptima de
producción.
En respecto a las simulaciones, el desafío actual de la industria es la disminución de su costo
computacional. Estas simulaciones consumen masivos recursos computacionales debido a su
elevado número de grados de libertad. En respeto a esto, el Método de los Elementos de
Contorno se muestra una herramienta poderosa en el desarrollo de simuladores, porque
disminuye el número de grados de libertad del problema cuando comparado con los simuladores
actualmente utilizados, en su mayoría desarrollados con el Método de las Diferencias Finitas.
Existe actualmente una tendencia entre los ingenieros de yacimientos de utilizar simuladores de
modelado matemático más simple, porque tienen mejor eficiencia considerando su tiempo de
simulación. Estos simuladores son más restrictos, en el sentido de que se prestan a simular
algunas características específicas de los yacimientos y no toda su complejidad física. Los
simuladores presentados en este trabajo son ejemplos de esta clase, simulando específicamente
los fenómenos de cono de agua y gas.
Este trabajo muestra el estado de desarrollo de un conjunto de cuatro simuladores de yacimientos
de petróleo, utilizando el Método de los Elementos de Contorno.
1.
2.
3.
4.
Simulación de cono de gas en dominio bidimensional;
Simulación de cono de agua en dominio bidimensional;
Simulación de cono de gas en dominio tridimensional y;
Simulación de cono de agua en dominio tridimensional.
Modelo matemático
Considere un yacimiento compuesto de un medio poroso homogéneo con permeabilidad
constante e isotrópica
. Este yacimiento está lleno con dos fluidos inmiscibles (petróleo y
agua o petróleo y gas), cada uno con diferentes densidad
y viscosidad dinámica
. Los fluidos son estratificados por su densidad: el agua se encuentra abajo del
petróleo; el gas se encuentra por encima del petróleo. La interfaz entre los fluidos es considerada
abrupta [4], esto es, debajo de la interfaz petróleo-agua existe apenas agua y, arriba, existe
apenas petróleo. De la misma forma, debajo de la interfaz petróleo-gas existe apenas petróleo y,
arriba, apenas gas. La retirada del petróleo ocurre en régimen permanente a una tasa constante
por unidad de longitud para el dominio bidimensional y
para el dominio
tridimensional.
El flujo de fluidos en medios porosos es un problema potencial gobernado por la Ley de Darcy [4],
que dice que la velocidad del fluido es dada por:
(1)
donde K es la conductividad hidráulica del medio poroso y
respectivamente:
es el potencial de velocidad,
(2)
(3)
Aplicándose la conservación de la masa en la eq. (1), viene:
(4)
La eq. (4) es la Ecuación de Laplace, que rige el problema.
Cuando el pozo está activo, extrayendo el petróleo, este es representado por un sumidero puntual.
La ecuación gobernante se torna:
(5)
donde
es el vector posición del sumidero. De esta forma, la eq. (5) debe ser satisfecha en la
zona de petróleo y la eq. (4) debe ser satisfecha en las zonas de agua y de gas.
La formulación utilizada parte del principio de que la interfaz en reposo se encuentra en la
horizontal y la modificación de su posición (o su deformación) se da por el gradiente de potencial
que se establece cuando se activan las fuentes/sumideros.
Condiciones de contorno
Cono de gas. Para el análisis del fenómeno del cono de gas, las condiciones de contorno se
muestran en la Fig. 1.
Figura 1 - Condiciones de contorno para el cono de gas.
Las dos líneas punteadas verticales indican el límite de influencia del pozo. Más allá de estas
líneas, la interfaz petróleo-gas permanece inalterada durante la extracción. La frontera inferior del
yacimiento es una roca impermeable. La interfaz petróleo-gas es tratada como una superficie libre.
Cono de agua. Para el análisis del fenómeno del cono de agua, las condiciones de contorno se
muestran en la Fig. 2.
Figura 2 - Condiciones de contorno para el cono de agua.
Así como en el cono de gas, las dos líneas punteadas verticales indican el límite de influencia del
pozo. Las fronteras inferior e superior del yacimiento son rocas impermeables.
El Método de los Elementos de Contorno
En este trabajo, fue utilizado el Método de los Elementos de Contorno (MEC). La principal
característica de este método numérico es que permite disminuir el problema en una dimensión.
Así, solamente el contorno de la región de interés es discretizada. En el caso de las simulaciones
bidimensionales, solamente el contorno del yacimiento es discretizado. De esta forma, el problema
bidimensional es tratado como un problema unidimensional. En el caso de las simulaciones
tridimensionales, solamente la superficie exterior del yacimiento es discretizada. De esta forma, el
problema tridimensional es tratado como un problema bidimensional. Como la discretización es
hecha apenas en el contorno de la región, los resultados obtenidos para los puntos en el interior
del dominio no están sujetos a errores de aproximación de la geometría.
Resultados
1 – Cono de gas bidimensional. El primer código numérico fue desarrollado para simular el
comportamiento de la superficie libre de un fluido en dominio bidimensional (utilizado en el análisis
del fenómeno de cono de gas bidimensional). La simulación del cono de gas bidimensional
muestra la posición de la superficie libre durante la extracción de petróleo. Se obtienen los
registros de la trayectoria del nodo central de la superficie libre en el tiempo y también del flujo de
petróleo que entra en la región simulada. La Fig. 3 muestra la posición de la superficie libre en el
inicio (a) y en el final (b) de una simulación de extracción.
(a)
(b)
Figura 3 - (a) Posición de la superficie libre en el inicio de la extracción y (b) en el final de la
extracción.
La Fig. 4 muestra la comparación entre el resultado obtenido para la posición de la superficie libre
en el simulador y el resultado analítico. Se considera validado el código numérico para la
simulación del fenómeno del cono de gas bidimensional [2].
Figura 4 - Comparación del resultado obtenido con resultado analítico.
2 – Cono de agua bidimensional. El segundo código fue desarrollado para simular el
comportamiento de la interfaz entre dos fluidos inmiscibles en dominio bidimensional (utilizado en
el análisis del fenómeno de cono de agua bidimensional). Con base en las condiciones
establecidas en la Fig. 2, se discretiza el contorno del yacimiento de la forma mostrada en la Fig.
5(a):
(a)
(b)
Figura 5 – (a) Discretización del yacimiento 2D y (b) posición de la interfaz en régimen
permanente
Uno de los resultados obtenidos es la posición de la interfaz petróleo-agua una vez que se tenga
alcanzado el régimen permanente, como muestra la Fig. 5(b). En la Fig. 5(b), el círculo en la
región superior representa la posición del pozo.
La posición del nodo central de la interfaz con el tiempo es registrada, como muestra la Fig. 6(a):
(a)
(b)
Figura 6 - (a) Altura del nodo central de la interfaz y (b) flujo que entra en el yacimiento con el
tiempo.
La Fig. 6 (b) muestra el flujo que entra en cada región del yacimiento (zona de petróleo y zona de
agua) con el tiempo, a través de sus límites laterales. Se puede ver que con el tiempo, el cono de
agua se estabiliza y el flujo de agua hacia el interior del yacimiento cae a cero, mientras que el
flujo de petróleo alcanza un nivel máximo y constante [1].
3 – Cono de gas tridimensional. El tercer código desarrollado simula el comportamiento de la
superficie libre de un fluido en dominio tridimensional (utilizado en el análisis del fenómeno del
cono de gas tridimensional). Las condiciones de contorno de las simulaciones tridimensionales
son las mismas que las bidimensionales. El simulador del fenómeno del cono de gas en dominio
tridimensional genera los mismos resultados que los bidimensionales, esto es, la altura del nodo
central de la interfaz con el tiempo y el flujo de cada fluido que entra en el yacimiento con el
tiempo. La Fig. 7 muestra la evolución de la interfaz con el tiempo:
(a)
(b)
(c)
Figura 7 - Evolución de la superficie libre con el tiempo.
La Fig. 7(a) muestra la discretización del contorno del yacimiento en el inicio de la extracción de
petróleo. La Fig. 7(b) muestra la posición de la superficie libre en un tiempo intermediario. La Fig.
7(c) muestra la posición de la superficie libre en el final de la extracción. El corte de la Fig. 7(c)
permite visualizar que se discretiza apenas el contorno de la región simulada.
4 – Cono de agua tridimensional. Un cuarto código está aún en desarrollo para la simulación de
la interfaz entre dos fluidos inmiscibles en dominio tridimensional (que será utilizado en el análisis
del fenómeno de cono de agua tridimensional). Este simulador generará las mismas clases de
resultados que los códigos anteriores y tendrá sus resultados publicados oportunamente.
Conclusiones
En todos los casos, los resultados obtenidos son físicamente consistentes y concuerdan con
resultados analíticos cuando disponibles. Los códigos desarrollados son utilizados en aplicaciones
de control de extracción de petróleo, las cuales necesitan saber constantemente la posición de la
superficie libre/interfaz así como su tasa de desplazamiento.
Consideraciones
Los autores desean agradecer a Chevron y PETROBRAS por el apoyo financiero a este trabajo.
Referencias
[1]
G. S. V. Gontijo, E. L. Albuquerque, E. L. F. Fortaleza. Study on the Water Coning
Phenomenon in Oil Wells Using the Boundary Element Method. Advances in Boundary
Element & Meshless Techniques XV, 2014.
[2]
A. B. Dias Jr., E. L. Albuquerque, E. L. F. Fortaleza. The boundary element method applied
to the analysis of fluid extraction from a reservoir. Advances in Boundary Element
Techniques, 2013.
[3]
A. J. Rosa, R. S. Carvalho, J. A. D. Xavier. Engenharia de Reservatórios de Petróleo.
Interciência, 2006.
[4]
J. Bear. Dynamics of fluids in porous media. American Elsevier, 1972.
[5]
S. K. Lucas, J. R. Blake, A. Kucera. A boundary integral method applied to water coning in
oil reservoirs. The Journal of the Australian Mathematical Society. Series B. Applied
Mathematics, 32:261–283, 1991.
[6]
H. Zhang, D. A. Baray, G. C. Hocking. Analysis of continuous and pulsed pumping of a
phreatic aquifer. Advances in Water Resources, 22(6):623–632, 1999.
[7]
H. Zhang, G. C. Hocking, B. Seymour. Critical and supercritical withdrawal from a two-layer
fluid through a line sink in a partially bounded aquifer. Advances in Water Resources,
32:1703–1710, 2009.
[8]
G. C. Hocking, H. Zhang. Coning during withdrawal from two fluids of different density in a
porous medium. Journal of Engineering Mathematics, 65(2):101–109, 2009.
Obtención de cintas amorfas mediante la técnica de melt spinning vs simulación por
volúmenes finitos: Estudio comparativo
Marcelo Barone (1), Soledad Gamarra (3), Marcelo Pagnola (1, 2)
(1)
Laboratorio de Sólidos Amorfos, Facultad de Ingeniería, Universidad de Buenos Aires,
Av. Paseo Colón 850, Bs. As., Argentina.
(2)
INTECIN (UBA-CONICET), Av. Paseo Colón 850, Buenos Aires, Argentina
(3)
Instituto de Estudios Interdisciplinarios en Ingeniería (IESIING). Facultad de Ingeniería e
Informática. Universidad Católica de Salta (FII- UCASAL).
E-mail: [email protected]; [email protected]; [email protected]
Área Temática: Modelado Matemático y Computacional.Palabras clave: Melt Spinning, Modelado, OpenFOAM®, VOF.Abstract:
Este trabajo tiene por objeto contrastar empíricamente un modelo computacional obtenido con un
solver de OpenFOAM® [1] del perfil de conformación de una columna de metal líquido previo a la
solidificación de una cinta amorfa con la experiencia de laboratorio de la técnica de melt spinning.
Para esto, se estudia el lapso entre el inicio de la eyección (to) y distintos intervalos (t1;..t8) en los que
se aprecia el perfil derivado del proceso; y se lo compara con fotografías en dichos intervalos. Estas
fueron realizadas con un equipo de alta velocidad Visionresearch, Phantom-HD con 4700 pps y una
resolución 320 x 640.
1. Introducción:
Las propiedades de aleaciones metálicas producidas con las distintas técnicas de
solidificación rápida hacen que estos materiales sean atractivos tanto para la investigación científica
como así también para numerosas aplicaciones industriales. Una de las principales dificultades
radica en que las propiedades físicas de los materiales obtenidos por solidificación rápida dependen
fuertemente de su estructura, que a su vez se encuentra íntimamente vinculada a su “historia
térmica”. Es por esto, que el control exhaustivo de la tasa de enfriamiento durante el proceso de
solidificación rápida es un problema importante. Entre las diversas técnicas de solidificación rápida,
la de melt spinning es la más utilizada. En este proceso, un chorro de metal líquido es expulsado por
sobrepresión de un gas inerte (argón) desde una boquilla para luego impactar en una rueda de cobre
giratoria y, de esta manera, formar una capa delgada de material fundido que solidifica rápidamente
como una cinta continua.
De acuerdo a la distancia (Gap), que existe entre la boquilla y la rueda giratoria, existen dos
tipos de procesos: Chill block melt spinning (CBMS) y planar flow casting (PFC) [2]. En el CBMS, un
chorro (jet) de metal líquido es expulsado a través de una boquilla con un Gap >1 mm hasta la rueda
giratoria. En el PFC, en cambio, el Gap es inferior a 1 mm. En este último proceso (utilizado a escala
industrial) la zona de metal líquido está limitada entre la boquilla y la rueda, esto permite la
producción de cintas con anchos del orden de 150 a 200 mm [3]. Se ha demostrado que muchas de
las propiedades físicas de las cintas dependen de los valores de los parámetros del proceso [4; 5; 6]
tales como la velocidad de la rueda (VR) [7], presión de eyección de gas (PE) [6] , temperatura de
fusión (Tf) [8; 9], Gap [10]. A su vez, también se ha establecido que las variaciones de estos
parámetros cambian las dimensiones geométricas y sobre todo el espesor de las cintas. Aumentando
la velocidad tangencial de la rueda, se incrementa la tasa de enfriamiento del material, lo que influye
también en el espesor de la cinta obtenida [6]. Cabe destacar que, para alcanzar las mejores
propiedades magnéticas, es necesario controlar el espesor de las cintas obtenidas por melt spinning
[11].
2. Metodología:
En este trabajo se estudia la técnica de CBMS, explicada en párrafos anteriores. En la Figura 1 se
presenta un esquema del equipamiento utilizado para la obtención de cintas, generalmente, amorfas
debido a la tasa de enfriamiento involucrada (~106 K/s) [12]. La bobina de inducción del horno calienta
la aleación sobre el punto de fusión, y mediante la aplicación de argón a sobrepresión se expulsa el
material fundido a través de la boquilla, con una velocidad de eyección que permite la formación de la
cinta sobre la rueda giratoria. Se utilizó una aleación madre de Fe78B13Si9 (%at), obtenida a partir de
ferroaleaciones comerciales. Dicha aleación se logra luego de varias fundiciones en atmósfera de
vacío. La aleación madre se tritura en piezas de aproximadamente 5 mm, y posteriormente es
refundida a la temperatura de fusión del metal 1300 °C en un crisol de cuarzo que posee la boquilla
de Nitruro de Boro en su extremo. Procedimientos explicados en: Obtención del lingote de aleación
madre, Obtención de las cintas [13]. Para nuestro ensayo los set ups del proceso se muestran en la
Tabla I. Como producto se obtuvo una cinta que tiene un espesor medio de 32 µm y un ancho
promedio (A) de 1,18 mm, Figura 2.
Como se mencionó en párrafos precedentes, la producción de materiales por esta técnica tiene gran
cantidad de variables de suma importancia y, la elevada velocidad del proceso de eyección es la
principal limitación para poder ajustar dichos parámetros y proyectarlos a escala industrial. Por lo
expuesto, el proceso productivo se filmó con una cámara de alta velocidad para tener registros reales
de la experiencia, utilizando un equipo de filmación Visionresearch, Phantom-HD con 4700 pps y
una resolución 320 x 640. Luego de la captura del procedimiento, el material fílmico se editó con el
software Phantom Camera Control [14], que permitió procesar todo el ensayo cuadro por cuadro,
logrando identificar cada paso de forma sistemática. El período considerado para este trabajo tiene
que ver con el tiempo transcurrido desde el inicio de la eyección t0 hasta la formación inicial de la cinta
amorfa t8. La subdivisión en ocho intervalos se debe a la captación de los cuadros y responde
únicamente al funcionamiento del equipo de filmación. En la Tabla II se muestra cómo se dividieron
los intervalos de la eyección con el correspondiente incremento relativo y absoluto de tiempo referido
a t0.
Velocidad tangencial de la rueda VR [m/s]
Gap [mm]
Presión de eyección [bar]
Tabla I: Set Ups del proceso
Tiempo t relativo [ms] t absoluto [ms]
t0
0,000
0,000
t1
2,127
2,127
t2
0,213
2,340
t3
0,213
2,553
t4
0,425
2,978
t5
0,426
3,404
t6
1,064
4,468
t7
1,702
6,170
t8
4,467
10,637
Tabla II: Intervalos de tiempo
40
3
0,3
Para el modelo matemático se utilizó el programa OpenFOAM®, y se replicó la geometría
comprendida por el crisol, metal fundido, boquilla y superficie de la rueda. Se realizó un mallado de
259600 celdas y se establecieron: la presión de eyección del gas argón y la velocidad de giro de la
rueda como condiciones de contorno. Se resolvió con el solver interFOAM que, basado en el método
de volumen de fluido (VOF), permitió trabajar con dos fluidos inmiscibles (aleación metálica y gas
argón) definiendo la fracción de volumen de cada fase involucrada en las celdas [15]. Luego de la
confección del “meshing” y el procesamiento con interFOAM, la simulación se visualizó con el
software ParaView [16].
Figura 1: Esquema de equipo utilizado
Figura 2: Cinta obtenida a partir de
aleación madre de Fe78 Si9 B13
3. Resultados:
Para poder contrastar las muestras fotográficas con los perfiles obtenidos por OpenFOAM®, se
tomaron las escenas con el software ParaView para los mismos intervalos propuestos para las
muestras anteriores (t0…t8). En las siguientes figuras se observan, a modo comparativo, las muestras
fotográficas (a) obtenidas durante la producción de la cinta amorfa y (b) obtenidas con ParaView.
(a)
(b)
Figura 3: t0=0. Comienzo de eyección, este es el tiempo inicial considerado para contrastar con la
simulación. En (a) se puede observar el destello característico que se produce cuando el material alcanza
el punto óptimo para comenzar la eyección. En este instante todo el material se encuentra en fase líquida,
tal cual se observa en (b).
(a)
(b)
Figura 4: t1= 2,127 ms. En este momento se puede observar la salida desde la boquilla. Todo el material
permanece en estado líquido.
(b)
(a)
Figura 5: t2= 2,34 ms. Conforme el proceso sigue avanzando, se ve el ensanchamiento de la columna
líquida en la parte inferior a la misma.
(a) (b)
Figura 6: t3= 2,553 ms. Persiste el ensanchamiento inferior, este es el instante previo a que el jet de
metal líquido haga contacto con la rueda giratoria.
(a)
(b)
Figura 7: t4= 2,978 ms. En este instante se pone en contacto el metal líquido con la rueda giratoria. El
detalle de (b) muestra la formación de un plano en la parte inferior del jet líquido. Es el comienzo de la
transferencia de calor a la taza de 106 Ks-1.
(DSM)
(USM)
(b)
(a)
Figura 8: t5= 3,404 ms. Comienza a formarse el Downstream Meniscus (DSM) y el Upstream Meniscus
(USM).
(DSM)
(USM)
(DSM)
(USM)
Puddle
Tri‐junction
(a) Puddle
Tri‐junction
(b)
Figura 9: t6= 4,468 ms. En este instante ya se observa el perfil característico de esta técnica. Se
consolidaron los DSM y USM, el Puddle y el Tri-junction (frontera límite donde comienza a formarse la
cinta) [17].
(a) Solidificación
Solidificación
(b)
Figura 10: t7= 6,170 ms. En este instante se observa el inicio de la solidificación, es el comienzo de la
formación de la cinta.
Cinta
(a)
Cinta
(b)
Figura 11: t8= 10,637 ms. En este instante el proceso alcanza continuidad.
4. Conclusiones:
Tanto en las muestras fotográficas como en las simulaciones se pueden observar los componentes
más relevantes en la conformación de las cintas, a saber: Downstream Meniscus (DSM), Upstream
Meniscus (USM), Puddle y el Tri-junction (frontera límite donde comienza a formarse la cinta). Estas
zonas dan sostén a la columna ferrostática de metal fundido, además de ser las fronteras de
intercambio térmico. La similitud de los perfiles de conformación en los intervalos comparados nos
permite presentar los primeros resultados alentadores de esta metodología y suponer que las
condiciones de contorno planteadas en el modelo matemático son confiables, con la posibilidad de
escalar este análisis a procesos semi – industriales.
5. Referencias:
[1] http://www.openfoam.com/
[2] Paul H. Steen, Christian Karcher - FLUID MECHANICS OF SPIN CASTING OF METALS School of Chemical Engineering, Cornell University, Ithaca, New York 14853-5204 USA,
Institute for Fluid Mechanics, Dresden University of Technology, 01062 Dresden, Germany.
[3] Kurokawa et al. - US Patent No: 5,908,068 (1999)
[4] M. Srinivas, B. Majumdar, D. Akhtar, A. P. Srivastava, D. Srivastava. Influence of wheel speed
during planar flow melt spinning on the microstructure and soft magnetic properties of
Fe 68.5 Si18.5 B9Nb3Cu1 ribbons.
[5] Tetsuji Saito. Electrical resistivity and magnetic properties of Nd-Fe-B alloys produced by meltspinning technique. Jun 19, 2010.
[6] G. Pozo Lopez, L.M. Fabietti, A.M. Condo, S.E. Urreta. Microstructure and soft magnetic
properties of Finemet-type ribbons obtained by twin-roller melt-spinning. Jun 1, 2010.
[7] Victor I. Tkatch *, Alexander I. Limanovskii, Sergey N. Denisenko, Sergey G. Rassolov. The
effect of the melt-spinning processing parameters on the rate of cooling. Physics and
Engineering Institute of National Academy of Sciences of Ukraine, Rose Luxemburg street, 72,
Donetsk 83114, Ukraine
Received 5 June 2000.
[8] K. H. Cho and M. C. Kim, Numerical Modeling of Planar Flow Casting Process (2006)
[9] Keiyu Nakagawa, Teruto Kanadani, Yasuyuki Mori*2 and Yuto Ishii*3. The Effect of Jetting
Temperature on the Fabrication of Rapidly Solidified Fe-Si-B Systems Alloys Using SingleRoller Melt Spinning*1. Faculty of Engineering, Okayama University of Science, Okayama 7000005, Japan.
[10] Chunbai Wang, Numerical modeling of free surface and rapid solidification for simulation and
analysis of melt spinning.
[11] Zhaoyang Wu, Xi’an Fan, Guangqiang Li, Zhanghua Gan, Jian Wang, Zhan Zhang, "Evolution
from amorphous to nanocrystalline and corresponding magnetic properties of Fe-Si-B-Cu-Nb
alloys by melt spinning and spark plasma sintering", Materials Science and Engineering B 187
(2014), p. 61–66.[12] Heping Liu, Numerical Simulation of Initial Development of Fluid Flow and , Wenzhi Chen,
Shengtao Qiu, Guodong LiuHeat Transfer in Planar Flow Casting Process
[13] M., Pagnola, M., Barone M.,”Estudio Magnético de Cintas de FeSiB Obtenidas mediante Melt
Spinning”, SAM-CONAMET, 13er Congreso internacional en Ciencia y Tecnología de
Metalurgia y Materiales, Puerto Iguazú, 2013, p. 143.
[14] http://www.visionresearch.com/Products/Accessories--Options/PCC-Software/
[15] Márquez Damián S., "Description and utilization of interFoam multiphase solver", FinalWork,
Computational Fluid Dynamics.
[16] http://www.paraview.org/
[17] E.A. Theisen( a), M.J.Davis (b), S.J.Weinstein (c), P.H.Steen (d). Transient behavior of the
planar-flow melt spinning process. (a) Metglas Inc. (b) Engineering Sciencesand Applied
Mathematics,NorthwesternUniversity. (c) Department of Chemical and Biomedical
Engineering,Rochester Institute of Technology. (d) School of Chemical and Biomolecular
Engineering.
Universidad de los Andes. Orrego, Casas. SIMULACION POR MEDIO DE ELEMENTOS FINITOS
SIMULACION POR MEDIO DE MEDIO DE ELEMENTOS FINITOS DEL
COMPORTAMIENTO DE HONEYCOMB DE ALUMINIO SOMETIDOS A COMPRESION
CUASI-ESTATICA
Orrego Caicedo, Camilo Jose. Casas Rodriguez, Juan Pablo
Departamento de ingeniería mecánica
Resumen—La investigación de cómo
afectan diversos parámetros en la respuesta de
los honeycombs a bajas tasas de deformación
unitaria compresivas se hacen mediante el uso
de programas de elementos finitos. Estos se
validan por medio de experimentaciones
realizadas anteriormente y usando las mismas
condiciones de material y geometría. A partir de
resultados comparados, se varían parámetros
geométricos como espesor de la lámina y la
altura de la celda unitaria para ver la
importancia de estos. Además, también se
estudiara como afectara el uso de adhesivos en
la respuesta tanto en la región elástica como la
plástica compresiva. Los resultados obtenidos
para las simulaciones de comprobación validan
las pruebas realizadas al ser similares a los
datos experimentales. También se obtiene una
tendencia positiva entre el modulo de Young y
el esfuerzo compresivo plástico con los
parámetros antes mencionado, lo cual tiene
coherencia
con
modelos
desarrollados
anteriormente.
Palabras claves—Honeycomb, Simulación,
Esfuerzo
Plástico
Compresivo,
Modulo
Elástico, Esfuerzo Elástico Máximo, Espesor,
Altura, Tamaño de Malla, Adhesivo.
Introducción—Los honeycombs, desde el
punto de vista de manufactura, son un tipo de
configuración en la cual se crean láminas de un
mismo material y se unen de tal forma que
parece un panal de abeja, de ahí su nombre.
También se puede ver como un material
celular bidimensional que es relativamente
fuerte y rígido en el plano normal a la
microestructura pero débil en plano [1]. Estos
se pueden utilizar en una estructura tipo
sándwich, lo cual se refiere a que se
encuentran en medio de 2 láminas, las cuales
mantienes unido al honeycomb y ayuda al
proceso de dispersión de energía [2]. Estos
sistemas tienen alta resistencia al pandeo,
buena rigidez relativa al peso y estabilidad, lo
cual lo hace importante en muchas industrias,
donde la durabilidad estructural y la tolerancia
al daño son vitales en el momento de diseño
[3].
Uno de los principales problema al estudiar
daños en honeycombs en estructura tipo
sándwich es que presenta tipos de fallas
dinámicos altamente complejos y la
imposibilidad de analizar el comportamiento
del material en tiempo real [3]. Por eso, se
estudian a partir de resultados experimentales
y se crean modelos matemáticos que se
aproximen en lo posible a estos.
Con el desarrollo de la tecnología, se
visualizó el uso de los nuevos softwares de
elementos finitos como herramientas útiles en
el estudio de los honeycombs. La principal
ventaja de este método es la relación costosresultados, ya que existen una gran variedad
El CUARTO SIMPOSIO NACIONAL SOBRE MECÁNICA DE MATERIALES Y
ESTRUCTURAS CONTINUAS – SMEC 2014
de simuladores comerciales que pueden
obtener resultados a distintas condiciones
cercanos a los obtenidos en un laboratorio de
pruebas.
Figura 1. Honeycomb. (Zhang, Zhang,
Wen. 2014)
Resultados
de
simulaciones
realizadas
anteriormente
han
dado
resultados
importantes, como por ejemplo Chen y Ozaki
[4] mostraron la importancia de la altura de los
honeycombs en el modulo elástico del
elemento, y Yamashita y Gotoh analizaron el
efecto de la forma de la celda y su espesor en
las propiedades del honeycomb [5]. Aun con
estos avances, se podrían hacer más pruebas
para seguir estudiando el efecto de diversos
parámetros en las propiedades de los
honeycombs, a partir de los resultados de las
simulaciones.
El propósito de este proyecto es usar un
programa de modelación con el cual se pueda
analizar el efecto que tiene el cambio de
propiedades geométricas del honeycomb,
como lo puede ser su altura o el ancho de la
lámina con la cual está hecho, en su
comportamiento en el diagrama esfuerzodeformación. Para eso, se realizaran
simulaciones variando estos parámetros y se
analizaran los resultados reportados por el
simulador. También, se verá los efectos del
uso de un adhesivo epoxi, que es la forma
usada en la manufactura, en la simulación.
Para tener un mayor criterio, otro parámetro a
analizar será el tamaño de la malla con la cual
se hará el análisis de elementos finitos.
Metodología—El programa de elementos
finitos que fue usado para realizar las
simulaciones fue Marc Mentat versión
estudiantil 2013 y profesional 2012. El
elemento a analizar fue la celda unitaria del
honeycomb, que se modeló como 3 láminas
que entre ellas forman un ángulo de 120°, de
las cuales 2 tienen espesor normal y la otra
tiene espesor doble. Para el análisis del
comportamiento del honeycomb con el
adhesivo, se agrega otro elemento, el cual
tendrá la misma malla que las laminas, en el
centro de lo que sería la lamina de espesor
doble, volviéndolo 2 laminas separadas. La
longitud de cada lámina es de 1,74 mm. El
espesor y la altura son variables para el
análisis.
Figura 2. Imagen de la celda unitaria con
espesor 0.025 mm.
El
enmallado
se
hace
manualmente,
haciéndolo más fino en la zona donde la lamina
se dobla. Esto se hace para evitar distorsiones
que afecten los resultados. El tamaño de la
malla en los ejes X y Y se mantiene constante
en todas los modelos y es igual a 1/3 del
espesor de los elementos y del largo de las
laminas. La subdivisión realizada para el eje Z
es variable, para el estudio de su efecto. El
límite de este está condicionado a la
convergencia de los resultados.
El material usado para la simulación es el
aluminio 5052, para así poder ser comparado
con experimentos anteriores. Para las
simulaciones con adhesivos, se incluye un
material adicional con las propiedades de un
epoxi. Además, se define que los elementos
del enmallado se modelan como sólidos.
Propiedad
del Valor
Aluminio
Módulo de Young
70.3
(GPa)
Coeficiente
de
0.33
Poisson
292
(MPa)
Esfuerzo
Ultimo
313
(MPa)
Deformación de fallo
12
(%)
Tabla 1. Propiedades del aluminio usado en la
simulación [6]
Propiedad del epoxi
Valor
Módulo de Young
2.01
(GPa)
29
(MPa)
Esfuerzo
Ultimo
57.7
(MPa)
Deformación de fallo
10.4
(%)
Tabla 2. Propiedades del epoxi usado en la
simulación [7].
Adicionalmente, se agregan las condiciones
de fronteras necesarias. Las restricciones de
desplazamiento usadas son de 2 tipos: es de
los ejes X y Y y se aplica en un único nodo,
que se encuentra en la parte inferior del
honeycomb, en el lugar donde se intercepta
las laminas; el otro es del eje Z y se ubica en
todos los nodos inferiores del honeycomb.
Se simula la compresión cuasi-estática
mediante el uso de un nodo exterior a la
geometría analizada. A este, se le asigna que
se traslade únicamente en el eje Z por medio
de restricciones en los demás ejes.
Posteriormente, se une a los nodos
superiores del honeycomb mediante enlaces,
lo cual hace que todos presenten el mismo
desplazamiento en el sistema fuera del plano.
En el postprocesamiento, a este único nodo
se examina la fuerza y el desplazamiento que
reporta, lo que facilita el análisis. Se
convierten los datos en esfuerzo y
deformación por medio de ecuaciones. Véase
ecuaciones 1 y 2.
Donde en la formula (1), el área se define a
partir de un rombo que recubra todo el
elemento y su área a partir de teoría
desarrollada [8]. Véase ecuación 3.
Las parámetros utilizados para las pruebas
fueron espesores de 0.025, 0.05, 0.075, 0.1,
0.25 y 0.5 mm para una misma altura de 12
mm, y alturas de 5, 10, 12, 15, 20 y 25 mm
para un mismo espesor de 0.025 mm. La
combinación de prueba es de un espesor de
0.025 mm y una altura de 12 mm.
Se usó el método arc-lenght del software Marc,
el cual indica que las posibles inestabilidades
en el sistema son producto de las cargas
mecánicas y no las reporta como error, para
realizar las simulaciones. El incremento de la
fuerza se define por el método Crisfield, que lo
hace por medio de una función cuadrática, la
cual es resuelta usando la iteración de Newton,
y a partir de estos, buscar un punto de
equilibrio en el sistema.
Figura 3. Muestra del sistema usado para
generar la deformación en el modelo.
Resultados y Análisis
3,5
Esfuerzo ingenieril (MPa)
El método arc-lenght usado para esta prueba
fue definida con un número máximo de
incrementos de 200, un numero deseado de
reciclajes sobre incrementos de 5 y un máximo
radio de arc-lenght sobre el inicial de 10. Esto
se definió a partir de las pruebas realizadas en
los modelos con un espesor de 0.025 mm, una
altura de 12 mm y adhesivo, y comparándolas
con los resultados experimentales en un
honeycomb con las mismas características.
Pero, debido a que este método es de
incremento automático, se dificulta la
obtención de muchos resultados [9]. El módulo
de Young se calculó dividiendo el esfuerzo
elástico máximo entre la deformación a la que
ocurre y el esfuerzo plástico compresivo se
calculó promediando los valores en la meseta
presentada en las gráficas.
3
Con Adhesivo
(1/25)
2,5
2
Con Adhesivo
(1/50)
1,5
Con Adhesivo
(1/75)
1
0,5
Experimental
0
0
0,02
0,04
0,06
Deformacion unitaria (mm/mm)
Grafica 1. Comparación de modelo con
adhesivo con resultados experimentales
En la grafica 1, se puede ver como el
resultado de la simulación de prueba se
aproxima a los resultados experimentales,
especialmente para la malla de 1/50 y, hasta
cierto punto, la malla de 1/25, lo cual indica
que el modelo computacional es bueno y se
puede proceder con las otras pruebas.
700
Modulo Elastico (MPa)
9000
8000
800
7000
6000
5000
4000
600
500
400
300
200
100
3000
0
2000
0
10
1000
20
30
Altura (mm)
0
0
0,2
0,4
0,6
Grafica 3. Modulo elástico del
honeycomb vs altura de honeycomb
con distintas mallas
Grosor (mm)
Grafica 1. Modulo elástico del honeycomb vs
espesor de las paredes con distintas mallas
70
60
50
Esfuerzo plastico
de compresion
40
30
Esfuerzo elastico
maximo
20
10
80
4,5
4
3,5
3
2,5
Esfuerzo plastico
de compresion
2
1,5
Esfuerzo elastico
maximo
1
0,5
0
0
10
20
30
Altura del honeycomb (mm)
0
0
0,2
0,4
0,6
Grosor de lamina (mm)
Grafica 2. Esfuerzo elástico máximo del
honeycomb y esfuerzo plástico de compresión
vs espesor de las paredes con distintas mallas
Grafica 4. Esfuerzo elástico máximo
del honeycomb y esfuerzo plástico
compresivo vs altura del honeycomb
con distintas mallas
Estas graficas muestran que el tamaño de la
malla en los rangos evaluados no afectan
significativamente los resultados, por lo tanto
se usara el promedio de estos datos a cada
parámetro evaluado para los siguientes
análisis. Se pueden presentar errores en la
integración numérica debido a la geometría
12000
10000
8000
Simulaciones
6000
800
700
compleja del modelo, ya que produce
extrapolación de los datos y nodos saliendo de
la estructura [10].
600
500
400
Simulaciones
300
Chen
200
Merghani
100
0
Ashby
4000
0
Merghani
20
30
Altura (mm)
2000
0
0
0,2
0,4
Grafica 7. Comparación de los
resultados promedios de modulo
elástico de las simulaciones con los
modelos teóricos según varia la
altura del honeycomb.
0,6
Grafica 5. Comparación de los resultados
promedios de modulo elástico de las
simulaciones con los modelos teóricos según
varia el espesor de las laminas.
250
200
150
Simulaciones
100
Wierzbicki
50
Esfuerzo Plastico de Compresion
(MPa)
Grosor (mm)
Esfuerzo Plastico de Compresion
(MPa)
10
3,5
3
2,5
2
Simulaciones
1,5
Wierzbicki
1
0,5
0
0
10
20
30
Altura (mm)
0
0
0,2
0,4
0,6
Grosor (mm)
Grafica 6. Comparación de los resultados
promedios de esfuerzo plástico de compresión de
las simulaciones con los modelos teóricos según
varía el espesor de las láminas.
Grafica 8. Comparación de los
resultados promedios de esfuerzo de
compresión plástica de las
simulaciones con los modelos
teóricos según varía la altura del
honeycomb.
Los resultados muestran una tendencia
positiva en la relación entre los parámetros
estudiados versus el espesor, algo
consistente con los modelos analíticos.
También se ve como la altura afecta a los
datos, aunque en menor medida y no siempre
de la misma manera: negativa para el esfuerzo
máximo elástico, positiva para el modulo
elástico y no afecta al esfuerzo plástico
compresivo. Estos 2 últimos resultados son
concordantes con ciertos modelos teóricos
hallados.
Se puede ver también como los modelos
analíticos desarrollados para el modulo
elástico no se aproximaron a los resultados de
la simulación, mientras que los del esfuerzo
plástico compresivo se aproximan a los
resultados para grosores pequeños, por lo cual
es un indicio que las asunciones realizadas
para desarrollar estos modelos no son válidas
para espesores mayores después de cierto
valor. Aun con esto, las tendencias mostradas
son las mismas entre los modelos analíticos y
los resultados computacionales, aunque varía
que tan marcados se presenta. Errores en las
simulaciones variando la altura generaron
valores no tan cercanos a los valores analíticos
para ciertos casos, pero los demás son
acordes a lo esperado.
Conclusiones
 Los resultados de las simulaciones de
comparación, que son las de adhesivos con
0.025 mm de espesor y 12 mm de altura, se
acercan bastantes a los experimentales, lo
cual los valida.
 El ancho de las láminas usadas fue el factor
más importante en el comportamiento de los
honeycombs simulados, presentando una
tendencia positiva significativa en todos los
parámetros analizados.
presentando distintas tendencias en cada
parámetro analizado.
 El uso de adhesivo aumenta los valores de
los parámetros analizados en la relación a
los resultados sin este, principalmente el
esfuerzo compresivo plástico.
 Los modelos teóricos utilizados para el
cálculo del esfuerzo de compresión se
presentaron validos para espesores de
laminas pequeños
 Los modelos teóricos utilizados para el
cálculo del modulo elástico de honeycombs
no son los apropiados para compararse
con los valores experimentales y de las
simulaciones
 La variación del tamaño de malla puede
afectar los resultados de las simulaciones,
presentando divergencia en estos, pero los
convergentes son relativamente cercanos
entre ellos.
Agradecimientos—A mi padre Nicolás y a
mi madre Dilia, a mi hermano Pablo, a
Gladys, a Brayan, a mi tía Mercedes y sus
hijos José Antonio y Matías, a mis amigos, y
al profesor Juan Pablo Casas.
Referencias
[1] Wilbert. A, Jang. W. Y, Kyriakides. S,
Floccari, J. F. Buckling and progressive
crushing of laterally loaded honeycomb.
International Journal of Solids and Structures,
Volumen 48, Ejemplar 5. Marzo 2011.
[2] Bitzer. T. N. Honeycomb technology:
Materials, Design, Manufacturing, Applications
and Testing. Chapman & Hall. 1997
 La altura, en menor medida, también afecta
al comportamiento del elemento, pero
[3] Meo. M, Vignjevic. R, Marengo. G. The
response of honeycomb sandwich panels
under low-velocity impact loading. International
Journal of Mechanics Sciences, Volumen 47
Ejemplar 9. Septiembre 2005
[4] Chen. D.H, Ozaki. S. Analysis of in-plane
elastic modulus for a hexagonal honeycomb
core: Effect of core height and proposed
analytic method. Composite Structures.
Volumen 88, Ejemplar 1. Marzo 2009.
[5] Petrone. G, Rao. S, De Rosa. A, Mace. B.R,
Franco. F, Bhattacharya. D. Behavior of fibrereinforced honeycomb core under low velocity
impact
loading.
Composites Structures,
Volumen 100. Junio 2013.
[6] Avendaño. D.F, Casas-Rodriguez. J. P,
Maranon. A. Dynamic characterization of
hexagonal cell structures. 14 th Pan-American
Congress of Applied Mechanics. Marzo 2014.
[7] Casas-Rodriguez. J.P, Ashcroft. I.A,
Silberschmidt.
V.V.
Delamination
in
adhesively bonded CFRP joints: Standard
fatigue, impact-fatigue and intermittent impact.
Composites
Science
and
Technology.
Volumen 68, Ejemplar 12. Septiembre 2008.
[8] Aaron-Jeyasingh, V.M. Analytic modeling
of metallic honeycomb for energy absorption
and validation with FEA. Wichita State
University. Mayo 2005
[9] Volume A: Theory and User Information.
Marc 2012.
[10] Errors arising In FEA. Recuperado de
http://www.tech.plym.ac.uk/sme/mech335/fea
errors.htm el 10 de julio de 2014.
Respuesta estructural de paneles tipo sándwich con núcleo
de poliuretano sometido a impactos de baja velocidad
Aguiar J., Useche, J.
Cartagena, Colombia
Resumen
Este trabajo presenta los resultados de un estudio experimental y numérico del comportamiento
de paneles tipo sándwich con núcleo de poliuretano y láminas de fibra de vidrio con tejido Woven
Roving sometidas a impactos de baja velocidad utilizando indentadores planos, semiesféricos y
cónicos, con distintos niveles de energía. La variación en el tiempo de la carga de impacto es
monitoreada utilizando una celda de carga diseñada para tal propósito. El desplazamiento y
velocidad del indentador fueron medidas utilizando una técnica de correlación no destructivas
basadas igualmente en CDI para caracterizar la zona de daño después del impacto. Igualmente se
utilizó seccionamiento de las probetas para reconstruir la zona afectada por el daño. Los efectos
de la forma del indentador y energía inicial sobre la respuesta del panel y tipo de daño generado
fueron estudiados. Buscando complementar los resultados experimentales, fueron modelados
numéricamente utilizando el método de los elementos finitos a través del software LS-DYNA®. Fue
utilizado el método de daño MAT169 implementado en este paquete. Los resultados numéricos
obtenidos concuerdan en alto grado con los resultados experimentales hallados.
1. Introducción
Los ingenieros se encargan de diseñar la mayoría de los productos manufacturados y los sistemas
de elaboración necesarios y óptimos para su producción. Hay que tener en cuenta que los
materiales son necesarios para fabricar productos, por lo tanto, los ingenieros deben conocer la
estructura interna y las propiedades de los materiales, de tal manera que puedan elegir los más
adecuados para cada aplicación y crear los mejores métodos para procesarlos. Al fin de cuentas, la
producción y elaboración de los materiales hasta convertirlos en productos terminados,
constituyen una parte importante de la economía actual.
Expertos en investigación y desarrollo crean nuevos materiales o modifican las propiedades de los
existentes. Los ingenieros de diseño usan materiales actuales, modificados o nuevos para diseñar y
crear nuevos productos y sistemas. En ocasiones los ingenieros requieren de un nuevo material
para su diseño, y la tarea de crearlo será encomendada a científicos e ingenieros especialistas en
investigación [1].
El uso de los materiales compuestos ha revolucionado la industria, evolucionando a través del
tiempo y continúan haciéndolo así como el hombre y la ingeniería. Remplazando otros tipos de
materiales en distintas aplicaciones, más que todo en las industrias aeronáutica, electrónica de la
aviación, marítimas y navales, automotriz, de estructuras civiles y de uso deportivo. El énfasis de
este trabajo se enfoca en aplicaciones para embarcaciones pequeñas ya que son más económicos,
livianos, y con la configuración adecuada pueden llegar a tener resistencias bastante altas, incluso
se prevé un aumento del 5% en el uso futuro de este tipo de materiales.
Los ensayos de alta velocidad, el objetivo es simular el impacto que produce la colisión de una
masa pequeña sobre una estructura. En este tipo de impactos, el efecto está muy localizado en la
zona de alrededor del impacto, debido a la duración del impacto, por lo que las condiciones de
contorno de la estructura no son determinantes en el comportamiento de la misma.
Los impactos a baja velocidad, tienen como objetivo simular el impacto que produce la colisión de
un objeto de masa considerable con una baja velocidad sobre una estructura. Debido a las
duraciones de estos impactos, las ondas de tensión se propagan hasta el contorno del elemento y
se reflejan varias veces durante el proceso de impacto por lo tanto la respuesta de la estructura es
global, influyendo tanto su geometría como sus condiciones de contorno [2].
2. Materiales y métodos
La estructura sándwich es fabricada con paredes o pieles de fibra de vidrio y núcleo de
poliuretano, de la cual se ha fabricado una lámina para dividirla y extraer varias probetas de
20x20 cms para posteriormente ser instaladas en la máquina.
Para la realización de está lámina se necesitaron los siguientes componentes:
2Kg fibra MAT 600
1Kg fibra Woven Roving
4Kg de resina 1060
Catalizador
1Kg de Poliuretano (A y B)
¼ de lámina de Madecor
Construcción de la lámina
Para la construcción de la lámina lo primero que se necesitó construir fue un molde en madera
tipo Madecor, de unos 55x55 cms y con altura de 2.5 cms.
Las paredes de la lámina sándwich fueron hechas de fibra de vidrio con una configuración MatRoving-Mat. Luego que ya se tuviera el poliuretano (Solución A y B) y las dos láminas de fibra de
vidrio se procede a realizar la lámina.
El molde fue cubierto con bolsa plástica y cinta adhesiva para evitar filtraciones y el daño del
molde por el control de la expansión de la espuma.
Figura 1. Molde para la lámina hecho en madera tipo madecor.
Se colocan las dos paredes de fibra en la base del molde y en la tapa para que una vez se deposite
el poliuretano, este quedará adherido a las paredes de fibra luego de la reacción.
Figura 2 - 3. Muestra del molde de madera con su tapa
Gracias a la colaboración de la empresa COTECMAR, se pudo obtener una muestra del material
tipo sándwich que se utiliza en la empresa como material de refuerzo, la diferencia radica en que
es usada una espuma especial para núcleos de materiales compuestos estructurales llamada
Divinycell serie H100.
Figura 4. Muestra de estructura sándwich.
Figura 5. Muestra de estructura sándwich.
Figura 6. Panel estructural brindado por la empresa COTECMAR.
Construcción de la máquina de impacto
La máquina de impacto ha sido construida para un proyecto anterior, y en estos momentos está
siendo rediseñada para una mejor instrumentación.
Figura 7. Máquina de impacto a modificar
Entre las modificaciones a realizar están:
-
Diferentes tipos de intentador (plano, semiesférico y cónico)
Cabezal con nuevo diseño con la posibilidad de añadir masa adicional
Columnas más gruesas
Modelo numérico y experimental
Para estas pruebas se utilizará un software de análisis numérico llamado LS-DYNA®, teniendo claro
que son ensayos de impacto a baja velocidad que se realizarán con distintos tipos de intentador.
Se realizarán tablas tipo: Carga- Desplazamiento, Energía de Impacto- Energía Absorbida, Índice de
absorción- Energía de impacto, entre otras; todo esto con el fin de validar estos resultados con los
obtenidos numérica y analíticamente.
Como aclaración principal cabe resaltar que lo que se realizará en el en análisis numérico es con
respecto a una lámina ideal de estructura sándwich con núcleo de espuma de poliuretano, de
modo que se buscará la mejor adaptación del modelo a los resultados experimentales.
Es importante conocer las condiciones reales de la lámina al realizar la comparación con el modelo
numérico:
-
La cantidad de soportes que se puedan colocar el momento de utilizar el software debe
ser la misma que componen la máquina de impacto.
No se usa adhesivo en este método, en reemplazo se usa la reacción misma de la espuma
de poliuretano.
En ventaja con otros núcleos para este tipo de estructuras, la homogeneidad de la espuma
de la probeta es muy buena.
La fibra de vidrio es hecha a mano, esto afecta directamente en la homogeneidad de la
misma, por la posible creación de burbujas.
Figura 8. Ilustración de las dimensiones de las probetas para los ensayos de impacto a baja
velocidad.
Figura 9. Análisis por FEM de los ensayos de impacto a baja velocidad en estructuras sándwich con
núcleo de espuma de poliuretano [3].
REFERENCIAS
[1] William F. Smith. Fundamentos de la ciencia e ingeniería de materiales. McGraw-Hill, México,
D.F. (2006). Capítulo 1 Pg. 3.
[2] Daniel rueda Lastres. Modelización analítica de paneles sándwich sometidos a impactos de baja
velocidad. Universidad Carlos III de Madrid. Departamento de mecánica de medios continuos y
teoría de estructuras. Leganés-Madrid, España. (2012). Cap 2.3 Impacto sobre estructuras
sándwich. Pagina 9.
[3] Jin Zhou, Mohamad Zaki Hassan, Zhongwei Guan, Wesley J. Cantwell. The low velocity impact
response of foam-based sandwich panels. University Of Liverpool. Liverpool, UK. (2012). Pg 1784.
CUARTO SIMPOSIO EN MECÁNICA DE MATERIALES Y ESTRUCTURAS CONTÍNUAS
SMEC 2014
Evaluación del desempeño de espumas poliméricas
de celda abierta rellenas con STF ante eventos
explosivos
Robinson-Luque, V.S.1, Casas Rodriguez, J.P.2
Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia
1
Resumen
En la presente investigación se evalúa la influencia del STF en el impulso generado por una
carga explosiva (tasas de deformación >106 s-1 [1]) de 0.8 gr de PENT (≈1 gr equivalente de
TNT) por medio del uso del péndulo balístico, el cual permite conocer (a través de su
oscilación) el impulso generado por la energía residual de la onda de choque a tres distancias
de separación (DS) diferentes (100, 150 y 200mm). Para esto, se elaboraron paneles tipo
sándwich con placas (frontales y posteriores) de aluminio de 1mm de espesor con diferentes
núcleos, i.e. espuma polimérica, espuma polimérica rellena de STF, espuma rígida SAN
(estireno acrilonitrilo) y espumas SAN en configuración de densidad ascendente y descendente.
Por otro lado, para la calibración se utilizó una placa acero CR de ½” de espesor con el
propósito de encontrar el impulso máximo transmitido al péndulo.
Los impulsos encontrados en la experimentación para los diferentes paneles fueron
comparados encontrando que al rellenar la espuma polimérica con STF se puede lograr atenuar
hasta un 35% más de energía para un DS de 100 mm con respecto a los otros núcleos
estudiados. Sin embargo, al aumentar el DS dicha diferencia se pierde, encontrando que a un
DS de 200 mm la espuma sin impregnar absorbe un 16% más energía que al ser impregnada
con STF.
Palabras Clave: STF (Shear Thickening Fluid), Espumas poliméricas, Espumas de celda
abierta rellenas con fluido (FFOCF), Espumas rígidas (SAN) altas deformaciones,
explosiones, péndulo balístico.
Abstract
This paper evaluates the influence of STF over the impulse generated by an explosive charge
(strain rate >106 s-1 [1]) of 0.8 gr of PENT (≈1 gr equivalent of TNT) employing a ballistic
pendulum, which allows to identify (by its oscillation) the impulse generated by the residual
energy of the shock wave at three different standoff distances (DS = 100, 150 and 200mm). In
order to develop the experiments, different sandwich panels were developed by using
aluminum plates of 1mm of thickness with different cores, i.e. polymeric foam, STF filled
polymeric foam, rigid SAN foam (Styrene-acrylonitrile) and ascendant and descendant density
SAN foam. On the other hand, to achieve the calibration of the pendulum a ½” CR steel plate
was used in order to find the maximum transmitted impulse.
The obtained impulses for the different tested panels were compared to each other; finding that
STF filled foam can attenuate up to 35% more energy for a DS of 100mm in relation to the
other studied cores. However, by increasing the DS that difference decrease obtaining that at
DS of 200 mm the non-impregnated foam absorbs 16% more energy than the STF filled foam.
Key Words: STF (Shear Thickening Fluid), Polymeric Foams, Fluid Filled Open Foam
(FFOCF), Rigid Foams (SAN), High strains, Blast, ballistic pendulum
Cuarto Simposio en Mecánica de Materiales y Estructuras Continuas - SMEC 2014
1
SMEC 2014
1. INTRODUCCIÓN
La necesidad de desarrollar diferentes materiales y mecanismos con la capacidad de
absorber energía ha cobrado gran interés en las últimas décadas debido a la cantidad
de aplicaciones que estos presentan, especialmente en la protección tanto personal
como de infraestructuras contra fenómenos dinámicos tales i.e. impactos y
explosiones. Entre los materiales más utilizados para este fin se encuentran las
espumas, las cuales gracias al comportamiento de su microestructura bajo cargas
compresivas, pueden mantener un esfuerzo constante en un rango amplio de
deformaciones; este fenómeno resulta ser de gran utilidad para absorber energía,
además de funcionar como amortiguador atenuando las aceleraciones a un cuerpo. Sin
embargo, aunque las espumas presentan un gran potencial para absorber energía
(entre otras aplicaciones), existen numerosos escenarios prácticos en los que el
espesor, el peso y/o la rigidez de la espuma limita la implementación de espumas
rígidas en estructuras tipo sándwich [2-4].
Generalmente, una espuma de celda abierta se encuentra rellena de aire, el cual no
genera una contribución considerable al comportamiento mecánico de la misma frente
a diferentes cargas [2]. Por esta razón diferentes autores han propuesto rellenar estas
espumas con diferentes fluidos (Newtonianos y No-Newtonianos) [5, 6] con el fin de
mejorar la respuesta dinámica de este tipo de materiales; además, este relleno líquido
también permite lograr un mayor control sobre la disipación de energía por medio del
fluido viscoso ante una deformación (compresiva) mucho menor.
Uno de los fluidos que ha generado mayor interés para este tipo de aplicaciones es el
STF (Shear Thickening Fluid) debido principalmente a su habilidad para cambiar de un
fluido con una baja viscosidad a uno de alta viscosidad llegando a un estado casi
sólido. Es precisamente este comportamiento el que hace que este tipo de materiales
sea deseado en las aplicaciones de absorción de energía [6-8], pues mientras éstos se
encuentran en condiciones normales (baja viscosidad) le permiten al usuario tener una
gran movilidad y flexibilidad, pero cuando el STF se ve sometido a impactos (altos
esfuerzos) empieza la transición de su viscosidad, por medio de la cual se absorbe
parte de la energía generada por el impacto y ayuda a desviar la energía restante.
Además, mediante la selección de los diferentes componentes del STF, i.e. el tipo y el
tamaño de las partículas o el disolvente utilizado es posible seleccionar y sintonizar el
inicio de la transición de la viscosidad para una aplicación específica [7].
Sin embargo, la efectividad en la absorción de energía por parte de este tipo de fluidos
depende de la interacción que presenta con la geometría que lo contiene (o en la que
se encuentra impregnado). Las espumas elásticas de celda abierta son uno de los
mejores contenedores para el STF debido a que el daño en su microestructura es
mínimo incluso cuando éstas se encuentran sometidas a grandes deformaciones,
motivo por el cual su capacidad para contener un fluido no se ve afectada de manera
significativa. Además, tanto la espuma elástica como el STF poseen un proceso
altamente reversible motivo por el cual pueden ser implementados en aplicaciones de
cargas cíclicas [4].
Con el fin de estudiar el comportamiento que presentan los materiales ante este
fenómeno se han desarrollado diferentes dispositivos, entre los cuales se encuentran el
péndulo balístico, el cual, es una técnica de medición ampliamente utilizada por
distintos autores [9-13] para obtener el impulso generado por cualquier carga, pues
este responde al momento total entregado al área de la superficie de una masa
2
SMEC 2014
movible. Dicho momento incluye la explosión en el aire, cualquier fragmento y cualquier
partícula en el fluido [14].
Entre los estudios elaborados se destaca el de Humphreys [9] quien desarrolla una
serie de pruebas a placas de acero de diferentes tamaños y propiedades las cuales
son fijadas a un péndulo balístico. Para esta prueba el autor instaló una cámara de alta
velocidad sobre el péndulo con el objetivo de registrar las deformaciones sufridas por
las placas en tiempo real (Figura 1). En este estudio el autor reportó que la explosión
tiene una duración de 150 μs empezando en el segundo cuadro (desde la derecha) y
terminando en el cuarto sin presentar deformación alguna en la placa. Para el sexto
cuadro ya se ha alcanzado una deformación plástica final en la placa en un lapso de
tiempo de alrededor de 0.0005s, el cual es extremadamente menor comparado a los
4.43s del periodo natural del péndulo. De esta forma se evidencia que la deformación
plástica en la placa ha ocurrido mucho antes de que el péndulo balístico alcance su
máxima oscilación (balanceo).
Figura 1. Movimiento actual de la placa (85 μs por cuadro) [9]
De la misma manera cabe destacar el trabajo desarrollado por en la unidad de
investigación de impactos, explosiones y supervivencia (BISRU por sus siglas en
ingles) de la Universidad de Ciudad del Cabo (UCT) encabezada por el profesor Gerald
Nurick quienes han sido los líderes en la implementación de este dispositivo en el
análisis del comportamiento de materiales ante cargas explosivas. Entre los trabajos
desarrollados se encuentra el presentado por Jacob et al [10] quienes evalúan la
influencia de la distancia de separación entre el explosivo y una placa circular de 53
mm de diámetro, encontrando que para distancias de separación inferiores al radio de
placa (13-40 mm), la carga explosiva es considerada como localizada, mientras que al
ser la distancia de separación superior al diámetro (100-300 mm) la carga se considera
como uniformemente distribuida sobre toda la placa. Adicionalmente los autores
concluyen que las deflexiones en el punto medio decrecen significativamente a medida
que la distancia de separación aumenta de 13 a 50 mm para una misma carga, pero
cuando las distancias se encuentran entre 75 y 300 mm las deflexiones en el medio
son similares.
Figura 2. Fotografía de las capas en ordenadas de manera secuencial con respecto a la
distancia de separación (DS) [10]
3
SMEC 2014
Hassan et al [12] investiga la influencia de la variación de la densidad de núcleo de
espumas de PVC con placas de aluminio con un espesor de 1.7 mm adheridas en la
parte frontal y posterior de la espuma utilizando un adhesivo de curado rápido
(Timbond). En su estudio Hassan et al presentan que el daño al interior de los paneles
tipo sándwich es mucho más severa cuando la densidad del núcleo aumenta, a
diferencia de la espuma de menor densidad (60 kg/m3) en la que no se evidencia
desprendimiento entre las capas o de fractura en el núcleo en los rangos de impulso
trabajados.
(a)
(b)
Figura 3. Sección transversal de las estructuras tipo sándwich con una densidad de núcleo
de (a) 60 kg/m3 y (b) 200 kg/m3 para 4 diferentes impulsos [12].
El presente artículo tiene como objetivo evaluar el desempeño de diferentes núcleos,
en especial la espuma de celda abierta rellena de STF en términos del impulso
transmitido y peso del compuesto con el fin de observar sus beneficios y limitaciones al
ser utilizado como equipo de protección para atenuar el impulso generado por la
detonación de una carga explosiva.
2. MATERIALES
Los paneles tipo sándwich constan de dos placas de aluminio los cuales cubre el
núcleo. El aluminio trabajado es 6061 con un espesor de 1 mm, mientras que los
núcleos utilizados se presentan en la Tabla 1.
Tabla 1. Núcleos utilizados
Nomenclatura
Matriz
Observaciones
Espuma
Espuma elastomérica de poliuretano
Espuma rosada
STF
Espuma elastomérica de poliuretano
SAN
Espuma rígida SAN
Rellena de STF (fracción de
volumen del 58.13%)
Referencia A800
SANas
Espuma rígida SAN (Ascendente)
Referencias A600-A800-A1200
SANdes
Espuma rígida SAN (Descendente)
Referencias A1200-A800-A600
4
SMEC 2014
En este punto cabe mencionar que la nomenclatura presentada en la Tabla 1 será
utilizada a lo largo del presente documento.
2.1. Preparación de las muestras
Primero, se cortó la lámina de aluminio en cuadrados 120mm de lado, los cuales
fueron mecanizados para abrir los agujeros con el fin de sujetar las muestras al
péndulo. Posteriormente se cortaron cuadrados 72mm de lado para los diferentes
núcleos utilizados. Los espesores de cada sándwich y su configuración son
presentados en la Figura 4.
(a)
(b)
(d)
(c)
(e)
Figura 4. Sección transversal de las estructuras tipo sándwich utilizadas con un núcleo de (a) espuma,
(b) STF, (c) SAN (A800), (e) SANas y (d) SANdes.
Por otro lado, para adherir las capas del compuesto se utilizó Sikaflex 221 con un
espesor de 0,5 mm (aproximadamente) con el fin de asegurar que la deflexión
encontrada en las láminas de aluminio sea la misma que la sufrida por el núcleo.
3. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL
Como se mencionó anteriormente, para el presente estudio se decidió trabajar con una
carga explosiva constante de 0,8 gr de PENT para todas las pruebas desarrolladas, la
cual es la carga de un detonador comercial N°8. El impulso transmitido será
determinado por medio del péndulo balístico.
3.1. Péndulo balístico
El péndulo balístico consiste generalmente de una masa suspendida por cuatro cables
de acero (ver Figura 5). En este caso particular, el péndulo es impulsado al detonar
una carga explosiva al interior del tubo de choque, ubicado en la parte frontal del
módulo de pruebas. El principio de funcionamiento parte de la conservación de
momentum, es decir, durante la explosión el impulso generado por dicho fenómeno
causará que el péndulo se balancee; ese balanceo permite conocer el impulso
conociendo la geometría del péndulo.
5
SMEC 2014
Figura 5. Péndulo balístico convencional desarrollado por GIE Uniandes
Con el fin de garantizar el correcto funcionamiento del péndulo balístico, es necesario
garantizar que los 4 cables de acero que lo soportan se encuentren sometidos a la
misma tensión, con esto se garantizará que el recorrido del péndulo solo presente
translación y se pueda calcular el impulso. Para esto se utiliza un nivel ubicado en el
centro geométrico del rectángulo generado por los 4 puntos de anclaje tanto en
dirección horizontal como vertical. Por otro lado, de ser necesario, la longitud de los
cables de acero puede ser modificada para nivelar el péndulo por medio de los
tensores de tipo comercial que se conectan directamente con el péndulo. De esta
manera el impulso es transmitido a través del centroide del péndulo.
3.2. Módulo de pruebas
En la Figura 5 se presenta el módulo de pruebas del péndulo balístico, el cual consta
de unas placas de soporte en medio de las cuales se sujetarán las
muestras/especímenes a ser probados. Dichas placas de soporte se conectan al
péndulo por medio de 4 barras espaciadoras las cuales deben ser lo suficientemente
largas para permitir la deformación de las muestras.
3.3. Carga explosiva
Con el propósito de garantizar que el detonador se ubique en el centro del tubo de
choque se utiliza un disco de poliestireno expandido de ½” de espesor y un diámetro
igual al diámetro interno del tubo; en el centro de dicho disco se realiza un agujero del
mismo diámetro que el detonador utilizado. Se decidió utilizar poliestireno expandido
debido a que este material no afecta las propiedades de la onda de choque por su baja
densidad y a que este material se desintegra totalmente debido a las altas
temperaturas generadas producto de la detonación.
(a)
(b)
Figura 6. Esquema del montaje para (a) la calibración y (b) los compuestos tipo sándwich.
6
SMEC 2014
En la Figura 6 se presentan los esquemas de los montajes utilizados para las pruebas
desarrollados. La distancia de separación (DS) se encuentra representada en la misma
figura como “x”. En la Figura 6a se presenta el esquemático del montaje para la
calibración del péndulo. Para la calibración se utilizará una placa de acero estructura
de ½” de espesor la cual será la encargada de recibir toda la energía producto de la
detonación del explosivo; dado que dicha placa es rígida se asegura que toda la
energía producida por el explosivo sea transmitida al péndulo sin presentar perdidas
asociadas a la deformación de la muestra. Dicha placa se asegura al módulo de
pruebas mediante 6 pernos de 3/8”. La masa total del péndulo es de 73.04 kg
incluyendo la placa de calibración.
En la Figura 6b se presenta el esquemático del montaje de pruebas para el análisis del
comportamiento de los diferentes núcleos. Como se mencionó en la sección 2.1 los
compuestos tipo sándwich fueron desarrollados con placas de aluminio tanto frontal y
posterior con un espesor de 1mm. Adicionalmente, se puede observar la presencia de
placas de separación con las cuales se fija la distancia entre las placas de sujeción
cuando las muestras tienen muy poca rigidez o cuando se dispone de poco material
para ser atornillado a dichas placas, de esta manera se garantiza que la muestra
soporte toda la carga de la detonación sin verse afectada por presiones producidas al
apretar demasiado el espécimen.
3.4. Matriz de pruebas
En la Tabla 2 se presenta la matriz de pruebas utilizada. En esta se presenta la
distancia de separación (DS) y el número de repeticiones realizadas para cada caso,
según la nomenclatura presentada en la Tabla 1.
Tabla 2. Matriz de pruebas
Núcleo
Repeticiones
DS (mm)
2
200
2
150
2
Calibración
Espuma
STF
Núcleo
Repeticiones
DS (mm)
2
200
2
150
100
2
100
2
200
2
200
2
150
2
150
2
100
1
100
2
200
2
200
1
150
1
150
2
100
2
100
SAN
SANas
SANdes
4. ANÁLISIS Y RESULTADOS.
En la presente sección se presentan los resultados obtenidos de las pruebas
experimentales realizadas con el péndulo balístico.
4.1. Análisis de impulsos
En la Figura 7 se presentan los impulsos obtenidos para las pruebas efectuadas. Los
valores encontrados fueron normalizados con respecto al impulso promedio más alto
con el fin de tener una comparación directa entre todas las pruebas realizadas. Las
7
SMEC 2014
pruebas con repetición fueron ponderadas y la media encontrada es el valor reportado
en las gráficas suministradas.
Al comparar los valores de calibración se observa una caída en el impulso a medida
que el DS aumenta, lo cual es consecuente con la teoría de propagación de ondas
acústicas en el aire; esta respuesta demuestra una debida elaboración de las pruebas.
En la Figura 7a se puede observar que la espuma rellena de STF presenta una
reducción del impulso de casi el 35% a comparación de los otros núcleos estudiados.
Sin embargo a medida que el DS aumenta esta porcentaje se reduce hasta el punto de
encontrar que a un DS de 200mm (Figura 7c) la espuma polimérica sin impregnar
absorbe un 16% más del impulso generado que su contraparte rellena de STF. Este
fenómeno puede deberse a que el STF al ser un fluido dilatante responde en función
de su tasa de deformación, es decir, al estar el detonador más cerca del compuesto
dicha tasa crece y los mecanismos de disipación de energía del STF se vuelven mucho
más efectivos.
(a)
(b)
(c)
Figura 7. Impulsos normalizados a diferentes DS para la placa de calibración los paneles
tipo Sándwich estudiados.
4.2. Análisis de impulsos en función del peso del compuesto.
Por otro lado, resulta de gran interés el evaluar la respuesta de dichos paneles en
función de su masa, puesto que en muchas de las aplicaciones de protección el peso
resulta ser de gran interés, i.e. cuando se desea realizar protección personal, el peso
del equipo puede limitar el movimiento del usuario y es incómodo.
De esta manera, en la Figura 8 se presentan los impulsos normalizados con respecto a
la masa del compuesto. En la Figura 8a se puede apreciar que la energía que se
transfiere al péndulo por cada kg de compuesto es 58.2% menor para el caso de la
espuma con STF con respecto a su contraparte (espuma sin relleno), lo cual resulta ser
muy importante si se tiene en cuenta que al rellenar la espuma con STF su masa
aumenta alrededor de 1.6 veces.
8
SMEC 2014
Por otro lado, al observar la Figura 8b y la Figura 8c se observa que la diferencia
presentada anteriormente disminuye de manera drástica por efectos de la distancia de
separación, siendo siempre la espuma con relleno de STF la que mejor relación
impulso-peso presenta.
(a)
(b)
(c)
Figura 8. Impulsos normalizados en función del peso del panel estudiado a diferentes DS.
5. CONCLUSIONES
En la presente investigación se evaluaron diferentes núcleos de un compuesto tipo
sándwich en función del impulso transferido encontrado a través de la implementación
de un péndulo balístico. Los resultados fueron presentados en la Figura 7 y en la
Figura 8, en las que se encontró que al impregnar una espuma polimérica de
poliuretano con STF la capacidad para absorber energía incrementa hasta un 35%,
cuando la carga explosiva se encuentra a una distancia de separación de 100mm. Sin
embargo, como la activación del STF depende de la tasa de deformación a la que se
ve sometida, a medida que se aleja la carga explosiva el porcentaje de energía
absorbida disminuye hasta presentar un aumento en la energía transferida del 16% con
respecto a su contraparte sin impregnar.
Finalmente, a pesar del aumento en la energía transferida por parte de la espuma
impregnada con STF este núcleo presenta la menor relación de energía transferida por
masa lo cual es un criterio importante en el diseño de equipos de protección. Por otro
lado la configuración ascendente de la espuma tipo SAN también presenta una gran
capacidad para absorber energía, además de tener la capacidad para brindarle a las
estructuras en las que se utilice mayor rigidez.
6. AGRADECIMIENTOS
Los autores desean agradecer a la industria militar Colombiana (INDUMIL) por el
apoyo brindado a esta investigación.
9
SMEC 2014
7. REFERENCIAS
[1] M. A. Meyers, Dynamic behavior of materials. New York: John Wiley & Sons, Inc.,
1994.
[2] L. J. Gibson and M. F. Ashby, Cellular Solids: Structure and Properties: Cambridge
University Press, 1999.
[3] K. Kitagawa, K. Takayama, and M. Yasuhara, "Attenuation of shock waves
propagating in polyurethane foams," Shock waves, vol. 15, pp. 437-445, July 2006.
[4] M. A. Dawson, "Modeling the Dynamic Response of Low-Density, Reticulated,
Elastomeric Foam Impregnated with Newtonian and Non-Newtonian Fluids," Doctor of
Philosophy in Mechanical Engineering PhD, Department of Mechanical Engineering,
Massachusetts Institute of Technology., 2008.
[5] M. A. Dawson, G. H. McKinley, and L. J. Gibson, "The Dynamic Compressive
Response of Open-Cell Foam Impregnated With a Newtonian Fluid," Journal of Applied
Mechanics, vol. 75, p. 11, 2008.
[6] M. A. Dawson, G. H. McKinley, and L. J. Gibson, "The Dynamic Compressive
Response of an Open-Cell Foam Impregnated With a Non-Newtonian Fluid," Journal of
Applied Mechanics, vol. 76, p. 8, 2009.
[7] G. Bettin, "Energy Absorption of Reticulated Foams Filled with Shear-Thickening
Silica Suspensions," Master of Science in Mechanical Engineering MSc, Department of
Mechanical Engineering, Massachusetts Institute of Technology, 2005.
[8] A. S. Lim, S. L. Lopatnikov, N. J. Wagner, and J. W. Gillespie, "An experimental
investigation into the kinematics of a concentrated hard-sphere colloidal suspension
during Hopkinson bar evaluation at high stresses," Journal of Non-Newtonian Fluid
Mechanics, vol. 165, p. 9, 2010.
[9] J. S. Humphreys, "Plastic Deformation of Impulsively Loaded Straight Clamped
Beams," Journal of Applied Mechanics, vol. 32, pp. 7-10, 1965.
[10] N. Jacob, G. N. Nurick, and G. S. Langdon, "The effect of stand-off distance on the
failure of fully clamped circular mild steel plates subjected to blast loads," Engineering
Structures, vol. 29, pp. 2723-2736, 2007.
[11] I. M. Snyman, "Impulsive loading events and similarity scaling," Engineering
Structures, vol. 32, pp. 886-896, 2010.
[12] M. Z. Hassan, Z. W. Guan, W. J. Cantwell, G. S. Langdon, and G. N. Nurick, "The
influence of core density on the blast resistance of foam-based sandwich structures,"
International Journal of Impact Engineering, vol. 50, pp. 9-16, 2012.
[13] F. de Borbón and D. Ambrosini, "Dynamic response of composites sandwich plates
with carbon nanotubes subjected to blast loading," Composites Part B: Engineering,
vol. 45, pp. 466-473, 2013.
[14] C. E. Needham, Blast Waves: Springer Verlag, 2010.
10

mecanica de materiales 2 - Universidad Tecnológica de Bolívar

Transcripción

Documentos relacionados

Vigas Hiperestáticas - Prof. Antonio J. Moreno Checa