Introducción al Método de Elemento Finito en Mathematica

Transcripción

Introducción al Método de Elemento
Finito en Mathematica
José Luis Gómez Muñoz
Departamento de Física y Matemáticas
Campus Estado de México
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey
Julio 2012
Printed by Mathematica for Students
FEMcurso.nb
2
1. Ejemplo del método de Bubnov-Galerkin
Basado en el trabajo de John H. Mathews
http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/GalerkinMod.html
Adaptado por José Luis Gómez Muñoz
http://homepage.cem.itesm.mx/lgomez/
ã Se va a calcular una solución aproximada a una ecuación diferencial ordinaria, lineal e inhomogénea,
d
d
- IpHxL yHxLM + qHxL yHxL = f HxL, con las condiciones de frontera yHaL = ya , yHbL = yb , como se
dx
dx
muestra a continuación :
Clear@x, y, p, q, f, a, bD;
p@x_D := x2 ;
q@x_D := 30;
f@x_D := − 14 x;
a = 0;
b = 1;
ya = 0;
yb = 0.5;
Print@"−∂x Hp@xD ∂x y@xDL+q@xD∗y@xDf@xD"D;
Print@− ∂x Hp@xD ∂x y@xDL + q@xD ∗ y@xD f@xDD;
Print@y@aD ya D;
Print@y@bD yb D;
−∂x Hp@xD ∂x y@xDL+q@xD∗y@xDf@xD
30 y@xD − 2 x y @xD − x2 y @xD − 14 x
y@0D 0
y@1D 0.5
FEMcurso.nb
3
ã La solución aproximada FHxL será una combinación lineal de ciertas funciones linealmente
independientes, llamadas funciones base: FHxL = f0 HxL + ⁄nj=1 c j f j HxL. Cada función base f j HxL cumple
con las condiciones de frontera f j HaL = 0, f j HbL = 0, excepto f0 HxL, que cumple las condiciones de
frontera del problema f0 HaL = ya , f0 HbL = yb .
Clear@n, φ, x, jD;
φ0 @x_D := ya +
y b − ya
b−a
Hx − aL;
n = 3;
φ1 @x_D := Hx − aL ∗ Hx − bL;
φ2 @x_D := Hx − aL2 ∗ Hx − bL;
φ3 @x_D := Hx − aL2 ∗ Hx − bL2 ;
funciones = TableAφj @xD, 8j, 0, n<E;
Plot@funciones, 8x, a, b<, PlotLabel → "Funciones base", PlotRange → AllD
Funciones base
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-0.1
-0.2
ã La solución aproximada tendrá la forma FHxL = f0 HxL + ⁄nj=1 c j f j HxL. El objetivo será encontrar los
coeficientes c j que den la mejor aproximación a la solución de la ecuación diferencial:
Clear@Φ, cD;
n
Φ@x_D := φ0 @xD + ‚ cj ∗ φj @xD;
j=1
Print@"Forma de la aproximación a la solución:"D
Print@"Φ@xD=", Φ@xDD
FEMcurso.nb
4
Forma de la aproximación a la solución:
Φ@xD=0.5 x + H− 1 + xL x c1 + H− 1 + xL x2 c2 + H− 1 + xL2 x2 c3
ã La ecuación diferencial puede escribirse de la forma:
d
d
- IpHxL yHxLM + qHxL yHxL - f HxL = 0
dx
dx
Si reemplazamos la solución aproximada FHxL en lugar de la solución exacta yHxL en el lado izquierdo
de la ecuación anterior, el resultado ya no será exactamente cero. En su lugar obtendremos una
función conocida como residuo, rHxL. En otras palabras, si el residuo rHxL, mostrado abajo, fuera cero,
en ese caso la solución aproximada sería la solución exacta:
d
d
- IpHxL FHxLM + qHxL FHxL - f HxL = rHxL
dx
dx
Abajo se puede ver la expresión para el residuo en este ejemplo:
r@x_D := − ∂x Hp@xD ∂x Φ@xDL + q@xD ∗ Φ@xD − f@xD;
Print@"Residuo de la aproximación:"D;
Print@"r@xD=", r@xDD
Residuo de la aproximación:
r@xD=14 x − x2 I2 c1 + 2 H− 1 + xL c2 + 4 x c2 + 2 H− 1 + xL2 c3 + 8 H− 1 + xL x c3 + 2 x2 c3 M −
2 x I0.5 + H− 1 + xL c1 + x c1 + 2 H− 1 + xL x c2 + x2 c2 + 2 H− 1 + xL2 x c3 + 2 H− 1 + xL x2 c3 M +
30 I0.5 x + H− 1 + xL x c1 + H− 1 + xL x2 c2 + H− 1 + xL2 x2 c3 M
ã El método de Bubnov-Galerkin consiste en encontrar la combinación lineal FHxL = f0 HxL + ⁄nj=1 c j f j HxL
cuyo residuo rHxL tenga componente igual a cero en el subespacio generado por las funciones base
n
9f j = j=1 (sin incluir f0 ). Esto significa que el producto punto del residuo por cada función base debe ser
b
cero, Ÿa f j HxL rHxL ‚ x ä 0. Cada uno de estos productos punto igualados a cero genera una ecuación
cuyas incognitas son los coeficientes c j , como se muestra a continuación. Nótese que no se incluye el
producto punto con f0 , dado que ya se tomó c0 = 1 para cumplir con las condiciones de frontera:
b
ecuaciones = TableB‡ φj @xD ∗ r@xD x 0, 8j, 1, n<F;
a
Print@"Galerkin: residuo ortogonal a funciones base"D;
TableForm@ecuacionesD
Galerkin: residuo ortogonal a funciones base
− 2.33333 + 1.13333 c1 + 0.6 c2 − 0.238095 c3 0
− 1.4 + 0.6 c1 + 0.371429 c2 − 0.121429 c3 0
0.466667 − 0.238095 c1 − 0.121429 c2 + 0.0539683 c3 0
FEMcurso.nb
5
ã A continuación se muestra el sistema de ecuaciones en forma matricial:
parametros = TableAcj , 8j, 1, n<E;
8v, m< = N@ CoefficientArrays@ecuaciones, parametrosD D;
Print@MatrixForm@mD, ".",
MatrixForm@parametrosD, "==",
MatrixForm@− vD
D
c1
1.13333
0.6
− 0.238095
2.33333
0.6
0.371429 − 0.121429 . c2 ==
1.4
c3
− 0.238095 − 0.121429 0.0539683
− 0.466667
ã Como ya tenemos la matriz y el vector del sistema lineal, podemos obtener la solución usando el
comando LinearSolve[] de Mathematica:
LinearSolve@m, − vD
81.11225, 2.83562, 2.64006<
ã Sin embargo el comando NSolve proporciona la misma respuesta en un formato más útil para ser
usado después en este documento:
soluciones = NSolve@ecuaciones, parametrosD
88c1 → 1.11225, c2 → 2.83562, c3 → 2.64006<<
ã La solución aproximada se obtiene reemplazando los coeficientes c j en la expresión
FHxL = f0 HxL + ⁄nj=1 c j f j HxL. Abajo se le llama gHxL a la solución aproximada que se obtiene por este
procedimiento:
g@x_D := ReplaceAll@Φ@xD, soluciones@@1DD D;
Print@"Solución aproximada por el método de Galerkin: "D;
Print@"g@xD=", g@xDD
Solución aproximada por el método de Galerkin:
g@xD=0.5 x + 1.11225 H− 1 + xL x + 2.83562 H− 1 + xL x2 + 2.64006 H− 1 + xL2 x2
FEMcurso.nb
6
ã Ésta es la gráfica de la solución aproximada con el método de Bubnov-Galerkin:
Plot@g@xD, 8x, a, b<,
PlotLabel → "Solución aproximada por el método de Galerkin"D
Solución aproximada por el método de Galerkin
0.3
0.2
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-0.1
-0.2
ã A continuación se muestra la gráfica de la solución analítica exacta, obtenida con el comando DSolve:
solexacta =
DSolve@8− ∂x Hp@xD ∂x y@xDL + q@xD ∗ y@xD f@xD, y@aD ya , y@bD yb <, y@xD, xD;
exacta@x_D := Evaluate@ReplaceAll@y@xD, solexacta@@1DD D D;
Plot@exacta@xD, 8x, a, b<, PlotLabel → "Solución analítica exacta"D
Solución analítica exacta
0.3
0.2
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
-0.1
-0.2
1.0
FEMcurso.nb
7
ã A continuación se muestra la gráfica del error de la aproximación de Bubnov-Galerkin en este ejemplo:
Plot@exacta@xD − g@xD, 8x, a, b<, PlotLabel → "Error = Analítica−Bubnov−Galerkin"D
Error = Analítica-Bubnov-Galerkin
0.004
0.003
0.002
0.001
0.2
0.4
0.6
0.8
-0.001
-0.002
ã Referencias
1.0
FEMcurso.nb
8
2. Ejemplo del método de Bubnov-Galerkin con funciones base del
tipo usadas en Elemento Finito (funciones seccionadas de soporte
local)
también en la sección 11.5 “El método de Rayleigh-Ritz” del libro de Richard L. Burden y J. Douglas Faires,
“Análisis numérico” 9a. edición, editorial Cengage, págs 696-711
y finalmente también en la sección 6.2 “Galerkin’s method with piecewise polynomials” del libro de Kenneth
Eriksson, D. Estep, P. Hansbo & C. Johnson, “Computational Differential Equations” Volumen 1, Cambridge
University Press, 1997.
d
d
dx
dx
p@x_D := x2 ;
q@x_D := 30;
f@x_D := − 14 x;
a = 0;
b = 1;
ya = 0;
yb = 0.5;
Print@"−∂x Hp@xD ∂x y@xDL+q@xD∗y@xDf@xD → ",
− ∂x Hp@xD ∂x y@xDL + q@xD ∗ y@xD f@xDD;
Print@y@aD ya D;
Print@y@bD yb D;
−∂x Hp@xD ∂x y@xDL+q@xD∗y@xDf@xD → 30 y@xD − 2 x y @xD − x2 y @xD − 14 x
y@0D 0
y@1D 0.5
FEMcurso.nb
9
independientes, llamadas funciones base: FHxL = ⁄nj=1 c j f j HxL. Las funciones base f j HxL usadas en el
método de Elemento Finito tienen soporte local, lo que quiere decir que cada una es distinta de cero
sólo en una pequeña parte del dominio:
Clear@n, h, φ, x, jD;
n = 5;
h=
b−a
n−1
;
DoB
0 < x ≤ h ∗ Hj − 2L
0
h ∗ Hj − 2L < x ≤ h ∗ Hj − 1L
x−h∗Hj−2L
φj @x_D := EvaluateB
h
h∗j−x
h
h ∗ Hj − 1L < x ≤ h ∗ j
F,
h∗j < x ≤ 1
0
8j, 1, n<
F;
Funciones base
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
FEMcurso.nb
10
ã La solución aproximada tendrá la forma FHxL = ⁄nj=1 c j f j HxL. El objetivo será encontrar los coeficientes
c j que den la mejor aproximación a la solución de la ecuación diferencial:
Clear@Φ, cD;
n
Φ@x_D := ‚ cj ∗ φj @xD;
j=1
Print@"Forma de la aproximación a la solución:"D
Print@"Φ@xD=", Φ@xDD
4 I 4 + xM − 4 < x ≤ 0
1
Φ@xD=
1
4 I 4 − xM 0 < x ≤
1
0
c1 +
1
4
0<x≤
4 I− 4 + xM
1
4 I 4 − xM
1
4
1
2
0
True
3
<x≤
<x≤
1
4
1
2
3
4
4 I 2 − xM
1
4
0
True
1
True
0
0<x≤
4x
0<x≤
0
4 I− 2 + xM
1
c3 +
<x≤
4 H1 − xL
1
2
3
4
0
True
<x≤
1
2
3
4
1
4
1
2
c2 +
0<x≤
0
4 I− 4 + xM
3
4
4 I 4 − xM
1<x≤
0
True
3
c4 +
<x≤1
5
3
4
<x≤1
c5
5
4
d
d
dx
dx
d
d
dx
dx
ã El método de Bubnov-Galerkin consiste en encontrar la combinación lineal FHxL = ⁄nj=1 c j f j HxL cuyo
n-1
residuo rHxL tenga componente igual a cero en el subespacio generado por las funciones base 9f j = j=2
(sin incluir f1 ni fn , porqué serán usadas para cumplir las condiciones de frontera). Esto significa que
el producto punto del residuo por cada función base debe ser cero:
b
Ÿa f j HxL rHxL ‚ x = 0 para j = 2 ... n - 1
es decir
b
-Ÿa f j HxL
d
dx
IpHxL
d
dx
b
FHxLM ‚ x + Ÿa f j HxL HqHxL FHxL - f HxLL ‚ x = 0 para j = 2 ... n - 1
ã Sin embargo la aproximación FHxL que estamos utilizando en este ejemplo no tiene segunda derivada.
Usando integración por partes se obtiene una expresión que sólo involucra primeras derivadas:
-Af j HxL pHxL
dF HxL b
E
dx a
b
+ Ÿa pHxL
dF HxL d f j HxL
dx
dx
b
‚ x + Ÿa f j HxL HqHxL FHxL - f HxLL ‚ x = 0
para j = 2 ... n - 1 ,
pero recordemos que debido a su soporte local, f j HbL = f j HaL = 0 para j = 2 ... n - 1, entonces cada
producto punto igualado a cero queda:
Ÿa p HxL
b
dΦ HxL d φj HxL
dx
dx
x + Ÿa φj HxL Hq HxL Φ HxL − f HxLL x = 0
b
para j = 2 ... n - 1 ,
que, junto con las condiciones de frontera c1 = ya , cn = yb , forman un sistema de n ecuaciones para los
FEMcurso.nb
11
1
a
n
b
n parámetros c j , como se muestra abajo:
ecuaciones =
b
b
TableB‡ p@xD ∗ Φ '@xD ∗ φj '@xD x + ‡ φj @xD ∗ Hq@xD ∗ Φ@xD − f@xDL x == 0,
a
a
8j, 2, n − 1<F;
ecuaciones = Join@8c1 ya <, ecuaciones, 8cn yb <D;
TableForm@ecuacionesD
c1 0
1
12
1
12
1
12
H− c1 + 8 c2 − 7 c3 L +
1
8
H7 + 10 c1 + 40 c2 + 10 c3 L 0
H− 7 c2 + 26 c3 − 19 c4 L +
1
4
H− 19 c3 + 56 c4 − 37 c5 L +
H7 + 5 c2 + 20 c3 + 5 c4 L 0
1
8
H21 + 10 c3 + 40 c4 + 10 c5 L 0
c5 0.5
ã A continuación se muestra el sistema de ecuaciones en forma matricial:
MatrixForm@− vD
D
c1
1.
0.
0.
0.
0.
0.
c2
1.16667 5.66667 0.666667
0.
0.
− 0.875
0.
0.666667 7.16667 − 0.333333
0.
. c3 == − 1.75
c4
0.
0.
− 0.333333 9.66667 − 1.83333
− 2.625
c5
0.
0.
0.
0.
1.
0.5
LinearSolve@m, − vD
80., − 0.126051, − 0.241067, − 0.185037, 0.5<
FEMcurso.nb
12
ã Sin embargo el comando NSolve proporciona la misma respuesta en un formato más útil para ser
usado después en este documento:
soluciones = NSolve@ecuaciones, parametrosD
88c1 → 0., c2 → − 0.126051, c3 → − 0.241067, c4 → − 0.185037, c5 → 0.5<<
FHxL = ⁄nj=1 c j f j HxL. Abajo se le llama gHxL a la solución aproximada que se obtiene por este
procedimiento:
g@x_D := ReplaceAll@Φ@xD, soluciones@@1DD D;
0<x≤
4x
g@xD=0. − 0.126051
4
1
I2
− xM
0
4 I− 2 + xM
1
0.185037
<x≤
4 H1 − xL
1
2
3
4
0
True
<x≤
1
2
3
4
4 I− 4 + xM
1
− 0.241067
<x≤1
4 I 4 − xM
1
4
1
2
0
True
3
0<x≤
0
+ 0.5
0<x≤
0
True
0<x≤
0
1
4
1
4
1
2
4 I− 4 + xM
4
5
I4
3
3
4
− xM
1<x≤
0
<x≤
<x≤
3
4
<x≤1
5
4
True
ã Ésta es la gráfica de la solución aproximada con el método de Bubnov-Galerkin:
Plot@g@xD, 8x, a, b<, PlotLabel → "Solución aproximada"D
Solución aproximada
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
-0.1
-0.2
1.0
1
4
1
2
3
4
−
FEMcurso.nb
13
solexacta =
0.3
0.2
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-0.1
-0.2
ã Podemos graficar juntas la solución analítica y la aproximación con el método de Bubnov-Galerkin:
Plot@8exacta@xD, g@xD<, 8x, a, b<, PlotLabel → "Analítica y Bubnov−Galerkin"D
Analítica y Bubnov-Galerkin
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-0.1
-0.2
ã Referencias
FEMcurso.nb
14
FEMcurso.nb
15
3. Ejemplo del Método de Elemento Finito donde las ecuaciones de
cada elemento se generan con el método de Bubnov-Galerkin
d
d
dx
dx
p@x_D := x2 ;
q@x_D := 30;
f@x_D := − 14 x;
a = 0;
b = 1;
ya = 0;
yb = 0.5;
Print@y@aD ya D;
Print@y@bD yb D;
y@0D 0
y@1D 0.5
FEMcurso.nb
16
independientes, llamadas funciones base: FHxL = ⁄nj=1 c j f j HxL. Las funciones base f j HxL usadas en el
método de Elemento Finito tienen soporte local, lo que quiere decir que cada una es distinta de cero
sólo en una pequeña parte del dominio:
Clear@n, h, φ, x, jD;
n = 5;
h=
b−a
n−1
;
DoB
0 < x ≤ h ∗ Hj − 2L
0
h ∗ Hj − 2L < x ≤ h ∗ Hj − 1L
x−h∗Hj−2L
φj @x_D := EvaluateB
h
h∗j−x
h
h ∗ Hj − 1L < x ≤ h ∗ j
F,
h∗j < x ≤ 1
0
8j, 1, n<
F;
Funciones base
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
FEMcurso.nb
17
ã La solución aproximada tendrá la forma FHxL = ⁄nj=1 c j f j HxL. El objetivo será encontrar los coeficientes
c j que den la mejor aproximación a la solución de la ecuación diferencial:
Clear@Φ, cD;
n
Φ@x_D := ‚ cj ∗ φj @xD;
j=1
Print@"Forma de la aproximación a la solución:"D;
Print@"Φ@xD=", Φ@xDD;
4 I 4 + xM − 4 < x ≤ 0
1
Φ@xD=
1
4 I 4 − xM 0 < x ≤
1
0
c1 +
0<x≤
4 I− 4 + xM
1
4 I 4 − xM
1
4
1
2
0
True
<x≤
<x≤
1
4
1
2
3
4
4 I 2 − xM
1
4
0
True
1
True
0
3
1
4
0<x≤
4x
0<x≤
0
4 I− 2 + xM
1
c3 +
<x≤
4 H1 − xL
1
2
3
4
0
True
<x≤
1
2
3
4
1
4
1
2
c2 +
0<x≤
0
4 I− 4 + xM
3
4
4 I 4 − xM
1<x≤
0
True
3
c4 +
<x≤1
5
3
4
<x≤1
5
4
c5
FEMcurso.nb
18
ã En el Método de Elemento Finito (FEM por sus siglas en Inglés) el dominio es dividido en elementos.
Cada elemento contiene partes de las funciones seccionadas que no valen cero dentro del elemento:
Table@
Plot@funciones, 8x, h ∗ Helemento − 1L, h ∗ elemento<,
PlotLabel → "Elemento: " <> ToString@elementoD,
PlotRange → 880, 1<, Automatic<D,
8elemento, 1, n − 1<
D
Elemento: 1
:
Elemento: 2
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
,
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.0
1.0
,
0.2
Elemento: 3
1.0
0.8
0.8
0.6
,
0.4
0.2
0.2
0.4
0.8
1.0
0.6
0.8
1.0
>
0.6
0.4
0.2
0.6
Elemento: 4
1.0
0.0
0.4
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
d
d
dx
dx
d
d
dx
dx
ã El método de Bubnov-Galerkin consiste en encontrar la combinación lineal FHxL = ⁄nj=1 c j f j HxL cuyo
residuo rHxL tenga componente igual a cero en el subespacio generado por las funciones base. Esto
significa que el producto punto del residuo por cada función base debe ser cero. En el Método de
Elemento Finito este cálculo se hace elemento por elemento:
Ÿelemento f j HxL rHxL ‚ x = 0
es decir
-Ÿelemento f j HxL
d
dx
IpHxL
d
dx
FHxLM ‚ x + Ÿelemento f j HxL HqHxL FHxL - f HxLL ‚ x = 0
ã Sin embargo la aproximación FHxL que estamos utilizando en este ejemplo no tiene segunda derivada.
Usando integración por partes se obtiene una expresión que sólo involucra primeras derivadas:
Ÿelemento p HxL
dΦ HxL d φj HxL
dx
dx
x + Ÿelemento φj HxL Hq HxL Φ HxL − f HxLL x = 0
que forman un sistema de ecuaciones para los parámetros c j correspondientes a las funciones que no
FEMcurso.nb
19
son cero dentro del elemento. Estas ecuaciones todavía no toman en cuenta las condiciones de
frontera. Abajo se muestra este procedimiento para el primer elemento:
elemento = 1;
xini = a + h ∗ Helemento − 1L;
xfin = a + h ∗ elemento;
ecuaciones =
TableB‡
xfin
xini
p@xD ∗ Φ '@xD ∗ φj '@xD x + ‡
xfin
xini
8j, 1, n<F;
φj @xD ∗ Hq@xD ∗ Φ@xD − f@xDL x == 0,
Print@"Ecuaciones sin condiciones de frontera"D;
Print@"Elemento:", elementoD;
Print@TableForm@ecuacionesDD
Ecuaciones sin condiciones de frontera
Elemento:1
1
12
1
12
Hc1 − c2 L +
1
48
H− c1 + c2 L +
H7 + 120 c1 + 60 c2 L 0
1
24
H7 + 30 c1 + 60 c2 L 0
True
True
True
ã A continuación se muestran las mismas ecuaciones del primer elemento en forma matricial:
ecuaciones = ReplaceAll@ecuaciones, True → 0D;
Print@"Elemento:", elementoD;
MatrixForm@− vD
D
Elemento:1
c1
2.58333 1.16667 0. 0. 0.
− 0.145833
c2
1.16667 2.58333 0. 0. 0.
− 0.291667
0.
0.
0. 0. 0. . c3 ==
0.
c4
0.
0.
0. 0. 0.
0.
c5
0.
0.
0. 0. 0.
0.
FEMcurso.nb
20
ã A continuación se calculan las matrices y vectores de carga para todos los elementos en este ejemplo:
matrices = 8<;
cargas = 8<;
DoB
xini = a + h ∗ Helemento − 1L;
xfin = a + h ∗ elemento;
ecuaciones =
TableB‡
xfin
xini
p@xD ∗ Φ '@xD ∗ φj '@xD x + ‡
8j, 1, n<F;
xfin
xini
φj @xD ∗ Hq@xD ∗ Φ@xD − f@xDL x == 0,
ecuaciones = ReplaceAll@ecuaciones, True → 0D;
AppendTo@matrices, mD;
AppendTo@cargas, − vD;
Print@"Ecuaciones sin condiciones de frontera, elemento:", elementoD;
MatrixForm@− vD
D,
8elemento, 1, n − 1<F
FEMcurso.nb
21
Ecuaciones sin condiciones de frontera, elemento:1
c1
2.58333 1.16667 0. 0. 0.
− 0.145833
c2
1.16667 2.58333 0. 0. 0.
− 0.291667
0.
0.
0. 0. 0. . c3 ==
0.
c4
0.
0.
0. 0. 0.
0.
c5
0.
0.
0. 0. 0.
0.
c1
0.
0.
0.
0. 0.
0.
c2
0. 3.08333 0.666667 0. 0.
− 0.583333
0. 0.666667 3.08333 0. 0. . c3 == − 0.729167
c4
0.
0.
0.
0. 0.
0.
c5
0.
0.
0.
0. 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0. 4.08333 − 0.333333
0. − 0.333333 4.08333
0.
0.
0.
c1
0.
0.
c2
0.
0.
0. . c3 == − 1.02083
c4
0.
− 1.16667
c5
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
c1
0.
0.
0.
0.
c2
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
. c3 ==
c4
0. 5.58333 − 1.83333
− 1.45833
c5
0. − 1.83333 5.58333
− 1.60417
ã A continuación las ecuaciones de todos los elementos se suman para obtener un único sistema de
ecuaciones para todos los parámetros c j . Este sistema de ecuaciones todavía no incluye las
condiciones de frontera:
matrizGlobal = Total@matricesD;
cargaGlobal = Total@cargasD;
Print@MatrixForm@matrizGlobalD, ".",
MatrixForm@cargaGlobalD
D
c1
2.58333 1.16667
0.
0.
0.
− 0.145833
c2
1.16667 5.66667 0.666667
0.
0.
− 0.875
0.
0.666667 7.16667 − 0.333333
0.
− 1.75
. c3 ==
c4
0.
0.
− 0.333333 9.66667 − 1.83333
− 2.625
c5
0.
0.
0.
− 1.83333 5.58333
− 1.60417
FEMcurso.nb
22
ã A continuación se insertan las condiciones de frontera, reemplazando a las ecuaciones
correspondientes:
matrizGlobal@@1DD = 81, 0, 0, 0, 0<;
cargaGlobal@@1DD = ya ;
matrizGlobal@@nDD = 80, 0, 0, 0, 1<;
cargaGlobal@@nDD = yb ;
Print@"Ecuaciones CON condiciones de frontera"D;
MatrixForm@cargaGlobalD
D
Ecuaciones CON condiciones de frontera
c1
1
0.
0.
0.
0.
0.
c2
1.16667 5.66667 0.666667
0.
0.
− 0.875
0.
0.666667 7.16667 − 0.333333
0.
. c3 == − 1.75
c4
0.
0.
− 0.333333 9.66667 − 1.83333
− 2.625
c5
0.
0.
0.
0.
1
0.5
solvector = LinearSolve@matrizGlobal, cargaGlobalD
80., − 0.126051, − 0.241067, − 0.185037, 0.5<
ã Ponemos la solución en un formato adecuado para reemplazar en la expresión de FHxL
solu = Table@parametros@@jDD → solvector@@jDD, 8j, 1, n<D
8c1 → 0., c2 → − 0.126051, c3 → − 0.241067, c4 → − 0.185037, c5 → 0.5<
FHxL = ⁄nj=1 c j f j HxL. Abajo se le llama gHxL a la solución aproximada que se obtiene por este
procedimiento:
g@x_D := ReplaceAll@Φ@xD, solu D;
FEMcurso.nb
23
0<x≤
4x
g@xD=0. − 0.126051
4
1
I2
− xM
0
4 I− 2 + xM
1
0.185037
<x≤
4 H1 − xL
1
2
3
4
0
True
<x≤
1
2
3
4
4 I− 4 + xM
1
− 0.241067
<x≤1
4 I 4 − xM
1
4
1
2
0
True
3
0<x≤
0
+ 0.5
0<x≤
0
True
0<x≤
0
1
4
1
4
1
2
4 I− 4 + xM
4
I 54
3
3
4
− xM
1<x≤
0
<x≤
<x≤
3
4
<x≤1
5
4
True
ã Ésta es la gráfica de la solución aproximada con el Método de Elemento Finito:
Plot@g@xD, 8x, a, b<, PlotLabel → "Solución aproximada"D
Solución aproximada
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
-0.1
-0.2
1.0
1
4
1
2
3
4
−
FEMcurso.nb
24
solexacta =
0.3
0.2
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-0.1
-0.2
ã Podemos graficar juntas la solución analítica y la aproximación con el Método de Elemento Finito:
Plot@8exacta@xD, g@xD<, 8x, a, b<, PlotLabel → "Analítica y Elemento Finito"D
Analítica y Elemento Finito
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-0.1
-0.2
ã Referencias
FEMcurso.nb
25
FEMcurso.nb
26
4. Ejemplo del Método de Elemento Finito
ã Para poder llevar a cabo los cálculos de esta práctica es necesario instalar el paquete gratis IMS (Imtek
Mathematica Suplement). El programa de instalación de IMS se descarga en la siguiente liga:
http://portal.uni-freiburg.de/imteksimulation/downloads/ims .
ã Primero hay que ejecutar los siguientes comandos Needs[], de tal manera que podamos usar los
comandos de IMS del resto de esta práctica:
Needs@"Imtek`Assembler`"D;
Needs@"Imtek`BoundaryConditions`"D;
Needs@"Imtek`FEMOperators`"D;
Needs@"Imtek`MeshElementLibrary`"D;
Needs@"Imtek`StructuredMesher`"D;
Print@"Contextos de los paquetes en esta sesión:", $ContextPathD
Contextos de los paquetes en esta sesión:
8Imtek`StructuredMesher`, Imtek`FEMOperators`, Imtek`ShapeFunctions`,
Imtek`MeshElementLibrary`, Imtek`Graph`, Imtek`Nodes`, Imtek`BoundaryConditions`,
Imtek`Assembler`, PacletManager`, WebServices`, System`, Global`<
d
d
dx
dx
p@x_D := x2 ;
q@x_D := 30;
f@x_D := − 14 x;
a = 0;
b = 1;
ya = 0;
yb = 0.5;
Print@y@aD ya D;
Print@y@bD yb D;
y@0D 0
y@1D 0.5
FEMcurso.nb
27
ã Se usa el comando imsGenerateLinearStructuredMesh[] para generar el mallado del dominio. El
mallado consiste de nodos (puntos en el dominio) y elementos (en este caso unidimensional, los
elementos son intervalos entre nodo y nodo):
numElem = 4;
mapeo@x_D := a +
Hb − aL Hx + 1L
2
;
malla =
imsGenerateLinearStructuredMesh@numElem, imsCoordinateMapping → mapeoD;
Graphics@
8Orange, imsDrawElements@mallaD,
Purple, imsDrawElementIdText@mallaD,
Red, imsDrawNodeText@mallaD <,
Frame → True, AspectRatio → 0.5D
1.0
0.5
0.0 1
1
2
2
3
3
4
4
5
-0.5
-1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
ã Estos son los nodos del mallado:
nodos = imsGetNodes@mallaD;
numNodos = Length@nodosD;
ultimoNodoId = numNodos;
Print@"Los nodos son: ", nodosD
1
Los nodos son: :imsNode@1, 80<, 1, 880.<<D, imsNodeB2, : >, 0, 880.<<F,
4
1
3
imsNodeB3, : >, 0, 880.<<F, imsNodeB4, : >, 0, 880.<<F, imsNode@5, 81<, 1, 880.<<D>
2
4
FEMcurso.nb
28
ã Estos son los elementos del mallado:
elementos = imsGetElements@mallaD;
Print@"Los elementos son: ", elementosD
Los elementos son: 8imsLineLinear1DOF@1, 81, 2<, 0D, imsLineLinear1DOF@2, 82, 3<, 0D,
imsLineLinear1DOF@3, 83, 4<, 0D, imsLineLinear1DOF@4, 84, 5<, 0D<
ã En este ejemplo unidimensional, a cada elemento le corresponden dos nodos:
nodosPorElemento = imsGetIncidentsIds@elementosD
881, 2<, 82, 3<, 83, 4<, 84, 5<<
ã Hay una matriz local por cada elemento. Después esa matriz local será “ensamblada” en la matriz
global en los renglones y columnas que corresponden a los nodos del elemento:
matrices = TableBimsMakeElementMatrixBJ
0 0
N,
0 0
nodosPorElemento@@jDD, nodosPorElemento@@jDDF, 8j, 1, numElem<F
8imsElementMatrix@880, 0<, 80, 0<<, 81, 2<, 81, 2<D,
imsElementMatrix@880, 0<, 80, 0<<, 82, 3<, 82, 3<D,
imsElementMatrix@880, 0<, 80, 0<<, 84, 5<, 84, 5<D<
ã Hay un vector local de fuerzas, o cargas, por cada elemento. Después ese vector local será
“ensamblado” en el vector global en los renglones que corresponden a los nodos del elemento:
cargas = TableBimsMakeElementMatrixBJ
0
N,
0
8imsElementMatrix@880<, 80<<, 81, 2<, 81, 2<D,
imsElementMatrix@880<, 80<<, 82, 3<, 82, 3<D,
imsElementMatrix@880<, 80<<, 84, 5<, 84, 5<D<
ã El coeficiente pHxL en la ecuación diferencial es la “función de difusión”:
d
d
- IpHxL yHxLM + qHxL yHxL = f HxL
dx
dx
funcionDifusion@maker_, x_D := 88p@xD<<;
Print@"funcionDifusion@marker,xD=", funcionDifusion@marker, xDD
funcionDifusion@marker,xD=99x2 ==
FEMcurso.nb
29
ã Aquí se calcula el efecto de la “función de difusión” (coeficiente pHxL en la ecuación diferencial ) en las
matrices y cargas (en las ecuaciones) de cada elemento:
matricesycargas =
Table@
imsNFEMDiffusion@ 8matrices@@jDD, cargas@@jDD<,
elementos@@jDD,
imsGetNodes@malla, nodosPorElemento@@jDDD, funcionDifusion D,
8j, 1, numElem<D
[email protected], − 0.0833333<, 8− 0.0833333, 0.0833333<<,
81, 2<, 81, 2<D, imsElementMatrix@880<, 80<<, 81, 2<, 81, 2<D<,
[email protected], − 0.583333<, 8− 0.583333, 0.583333<<,
[email protected], − 1.58333<, 8− 1.58333, 1.58333<<, 83, 4<, 83, 4<D,
imsElementMatrix@880<, 80<<, 83, 4<, 83, 4<D<,
imsElementMatrix@880<, 80<<, 84, 5<, 84, 5<D<<
ã Actualizamos la lista de matrices
matrices = matricesycargas@@All, 1DD
[email protected], − 0.0833333<, 8− 0.0833333, 0.0833333<<,
81, 2<, 81, 2<D, imsElementMatrix@
880.583333, − 0.583333<, 8− 0.583333, 0.583333<<, 82, 3<, 82, 3<D,
[email protected], − 3.08333<, 8− 3.08333, 3.08333<<, 84, 5<, 84, 5<D<
ã Actualizamos la lista de cargas
cargas = matricesycargas@@All, 2DD
ã El coeficiente qHxL en la ecuación diferencial es la “función de reacción”,
d
d
- IpHxL yHxLM + qHxL yHxL = f HxL
dx
dx
funcionReaccion@marker_, x_D := q@xD;
Print@"funcionReaccion@marker,xD=", funcionReaccion@marker, xDD
funcionReaccion@marker,xD=30
FEMcurso.nb
30
ã Aquí se calcula el efecto de la “función de reacción” (coeficiente qHxL en la ecuación diferencial ) en las
matricesycargas =
Table@
imsNFEMReaction@ 8matrices@@jDD, cargas@@jDD<,
elementos@@jDD,
imsGetNodes@malla, nodosPorElemento@@jDDD, funcionReaccion D,
8j, 1, numElem<D
[email protected], 1.16667<, 81.16667, 2.58333<<, 81, 2<, 81, 2<D,
ã La función f HxL en la ecuación diferencial es la “función de carga”, -
d
dx
IpHxL
funcionCarga@maker_, x_D := f@xD;
Print@"funcionCarga@marker,xD=", funcionCarga@marker, xDD
funcionCarga@marker,xD=− 14 x
d
dx
yHxLM + qHxL yHxL = f HxL
FEMcurso.nb
31
ã Aquí se calcula el efecto de la “función de carga” ( f HxL en la ecuación diferencial ) en las matrices y
cargas (en las ecuaciones) de cada elemento:
matricesycargas =
Table@
imsNFEMLoad@ 8matrices@@jDD, cargas@@jDD<,
elementos@@jDD, imsGetNodes@malla, nodosPorElemento@@jDDD, funcionCarga D,
8j, 1, numElem<D
imsElementMatrix@88− 0.145833<, 8− 0.291667<<, 81, 2<, 81<D<,
imsElementMatrix@88− 1.45833<, 8− 1.60417<<, 84, 5<, 81<D<<
8imsElementMatrix@88− 0.145833<, 8− 0.291667<<, 81, 2<, 81<D,
imsElementMatrix@88− 0.583333<, 8− 0.729167<<, 82, 3<, 81<D,
imsElementMatrix@88− 1.45833<, 8− 1.60417<<, 84, 5<, 81<D<
FEMcurso.nb
32
ã A continuación se “ensamblan” las matrices de cada elemento para formar la matriz global, y los
vectores de carga de cada elemento para formar el vector de carga global:
matrizGlobal = SparseArray@8<, 8numNodos, numNodos<D;
cargaGlobal = Table@0, 8numNodos<, 81<D;
Do@
imsAssemble@ matrices@@jDD, matrizGlobalD;
imsAssemble@ cargas@@jDD, cargaGlobalD,
8j, 1, numElem<
D;
parametros = TableAcj , 8j, 1, numNodos<E;
vectorCargas = Flatten@cargaGlobalD;
MatrixForm@vectorCargasD
D
c1
2.58333 1.16667
0
0
0
− 0.145833
c2
1.16667 5.66667 0.666667
0
0
− 0.875
0
0.666667 7.16667 − 0.333333
0
− 1.75
. c3 ==
c4
0
0
− 0.333333 9.66667 − 1.83333
− 2.625
c5
0
0
0
− 1.83333 5.58333
− 1.60417
ã El siguiente paso es insertar las condiciones de frontera, lo cual modifica a la matriz global y al vector
global de cargas. En este ejemplo unidimensional, los únicos nodos de frontera son el primero y el
último:
imsDirichlet@8matrizGlobal, vectorCargas<, 1, ya D;
imsDirichlet@8matrizGlobal, vectorCargas<, ultimoNodoId, yb D;
D
1.
0.
0.
0.
0. 5.66667 0.666667
0.
0. 0.666667 7.16667 − 0.333333
0.
0.
− 0.333333 9.66667
0.
0.
0.
0.
c1
0.
0.
c2
0.
− 0.875
0. . c3 ==
− 1.75
c4
0.
− 1.70833
c5
1.
0.5
FEMcurso.nb
33
ã A continuación resolvemos el sistema de ecuaciones, con lo cual obtenemos el valor de la solución
aproximada en cada nodo:
solvector = LinearSolve@matrizGlobal, vectorCargasD
80., − 0.126051, − 0.241067, − 0.185037, 0.5<
ã A partir de los nodos originales construimos nuevos nodos, esta vez cada nodo nuevo incluye el valor
de la solución que se acaba de obtener:
nodosNuevos =
Table@imsSetValues@ nodos@@jDD, 88 solvector@@jDD << D, 8j, 1, numNodos<D
:imsNode@1, 80<, 1, 880.<<D,
1
1
imsNodeB2, : >, 0, 88− 0.126051<<F, imsNodeB3, : >, 0, 88− 0.241067<<F,
4
2
3
imsNodeB4, : >, 0, 88− 0.185037<<F, imsNode@5, 81<, 1, 880.5<<D>
4
ã Estos son los nuevos nodos en la frontera. Incluyen el valor de la solución:
nodosNuevosFrontera = nodosNuevos@@ imsGetIds@ imsGetBoundaryNodes@mallaD D DD
8imsNode@1, 80<, 1, 880.<<D, imsNode@5, 81<, 1, 880.5<<D<
ã Estos son los nuevos nodos interiores. Incluyen el valor de la solución:
nodosNuevosInterior = nodosNuevos@@ imsGetIds@ imsGetInteriorNodes@mallaD D DD
1
:imsNodeB2, : >, 0, 88− 0.126051<<F,
4
1
3
imsNodeB3, : >, 0, 88− 0.241067<<F, imsNodeB4, : >, 0, 88− 0.185037<<F>
2
4
FEMcurso.nb
34
ã Esta es la nueva malla, con los valores de la solución, como se muestra en la gráifca:
mallaNueva = imsMakeNexus@nodosNuevosFrontera, nodosNuevosInterior, elementosD;
graficaFEM =
Graphics@8
Brown, imsDrawElementSolution@mallaNuevaD,
Green, imsDrawElements@mallaNuevaD,
Blue, imsDrawElementIdText@mallaNuevaD,
Red, imsDrawNodeText@mallaNuevaD
<, Frame → True, AspectRatio → 0.5D
0.4
0.2
0.0 1
1
2
2
3
3
4
4
5
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
FEMcurso.nb
35
solexacta =
graficaExacta = Plot@exacta@xD, 8x, a, b<,
PlotLabel → "Solución analítica exacta", PlotRange → AllD
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-0.1
-0.2
ã Podemos graficar juntas la solución analítica y la aproximación con el método de Elemento Finito:
Show@graficaExacta, graficaFEM, PlotLabel → "Analítica y FEM"D
Analítica y FEM
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
1
1
0.2
2
2
0.4
3
0.6
3
4
0.8
4
5
1.0
-0.1
-0.2
ã Referencias
Para poder llevar a cabo los cálculos de esta práctica es necesario instalar el paquete gratis IMS (Imtek
FEMcurso.nb
36
Capítulo 6, Sección 6.3 “Finite Element Method” de la Tesis de Doctorado de Oliver Rüebenkönig “Free
Surface Flow and the IMTEK Mathematica Supplement”, Institut für Mikrosystemtechnik (IMTEK), AlbertLudwigs-Univesität, Freiburg, Alemania.
ftp://elmo.imtek.uni-freiburg.de/pub/people/ruebenko/writing/dissertation1.1.pdf .
Daryl L. Logan, “A First Course in the Finite Element Method”, Fifth Edition, 2012, Cengage Leraning
FEMcurso.nb
37
5. Ejemplo del Método de Elemento Finito con condiciones
periódicas
d
yHxL + qHxL yHxL = f HxL, con las condiciones periódicas yHaL = yHbL, como se muestra a
sHxL
dx
continuación :
Clear@x, y, q, s, f, a, bD;
s@x_D := 1;
q@x_D := 1;
f@x_D := Cos@2 π xD − 2 π Sin@2 π xD;
a = 0;
b = 1;
Print@"s@xD∗∂x y@xD+q@xD∗y@xDf@xD → ", s@xD ∗ ∂x y@xD + q@xD ∗ y@xD f@xDD;
Print@"Condiciones periódicas y@aDy@bD, con a=", a, ", b=", bD
s@xD∗∂x y@xD+q@xD∗y@xDf@xD → y@xD + y @xD Cos@2 π xD − 2 π Sin@2 π xD
Condiciones periódicas y@aDy@bD, con a=0, b=1
FEMcurso.nb
38
ã Se usa el comando imsGenerateLinearStructuredMesh[] para generar el mallado del dominio. El
mallado consiste de nodos (puntos en el dominio) y elementos (en este caso unidimensional, los
elementos son intervalos entre nodo y nodo):
numElem = 5;
mapeo@x_D := a +
Hb − aL Hx + 1L
2
;
malla =
imsGenerateLinearStructuredMesh@numElem, imsCoordinateMapping → mapeoD;
Graphics@
8Orange, imsDrawElements@mallaD,
Red, imsDrawNodeText@mallaD <,
Frame → True, AspectRatio → 0.5D
1.0
0.5
0.0 1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
-0.5
-1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Los nodos son:
1
2
:imsNode@1, 80<, 1, 880.<<D, imsNodeB2, : >, 0, 880.<<F, imsNodeB3, : >, 0, 880.<<F,
5
5
3
4
imsNodeB4, : >, 0, 880.<<F, imsNodeB5, : >, 0, 880.<<F, imsNode@6, 81<, 1, 880.<<D>
5
5
FEMcurso.nb
39
Los elementos son: 8imsLineLinear1DOF@1, 81, 2<, 0D,
imsLineLinear1DOF@2, 82, 3<, 0D, imsLineLinear1DOF@3, 83, 4<, 0D,
imsLineLinear1DOF@4, 84, 5<, 0D, imsLineLinear1DOF@5, 85, 6<, 0D<
ã En este ejemplo unidimensional, a cada elemento le corresponden dos nodos:
881, 2<, 82, 3<, 83, 4<, 84, 5<, 85, 6<<
ã Hay una matriz local por cada elemento. Después esa matriz local será “ensamblada” en la matriz
global en los renglones y columnas que corresponden a los nodos del elemento:
matrices = TableBimsMakeElementMatrixBJ
0 0
N,
0 0
8imsElementMatrix@880, 0<, 80, 0<<, 81, 2<, 81, 2<D,
imsElementMatrix@880, 0<, 80, 0<<, 85, 6<, 85, 6<D<
“ensamblado” en el vector global en los renglones que corresponden a los nodos del elemento:
cargas = TableBimsMakeElementMatrixBJ
0
N,
0
FEMcurso.nb
40
ã El coeficiente sHxL en la ecuación diferencial es la “función de convección”:
d
sHxL
yHxL + qHxL yHxL = f HxL,
dx
funcionConveccion@maker_, x_D := 88s@xD<<;
Print@"funcionConveccion@marker,xD=", funcionConveccion@marker, xDD
funcionConveccion@marker,xD=881<<
ã Aquí se calcula el efecto de la “función de convección” (coeficiente sHxL en la ecuación diferencial ) en
las matrices y cargas (en las ecuaciones) de cada elemento:
matricesycargas =
Table@
imsNFEMConvection@ 8matrices@@jDD, cargas@@jDD<,
elementos@@jDD,
imsGetNodes@malla, nodosPorElemento@@jDDD, funcionConveccion D,
8j, 1, numElem<D
88imsElementMatrix@88− 0.5, 0.5<, 8− 0.5, 0.5<<, 81, 2<, 81, 2<D,
imsElementMatrix@88− 0.5, 0.5<, 8− 0.5, 0.5<<, 82, 3<, 82, 3<D,
imsElementMatrix@88− 0.5, 0.5<, 8− 0.5, 0.5<<, 85, 6<, 85, 6<D<
FEMcurso.nb
41
ã El coeficiente qHxL en la ecuación diferencial es la “función de reacción”,
d
sHxL
yHxL + qHxL yHxL = f HxL,
dx
funcionReaccion@marker_, x_D := q@xD;
Print@"funcionReaccion@marker,xD=", funcionReaccion@marker, xDD
funcionReaccion@marker,xD=1
ã Aquí se calcula el efecto de la “función de reacción” (coeficiente qHxL en la ecuación diferencial ) en las
matricesycargas =
Table@
imsNFEMReaction@ 8matrices@@jDD, cargas@@jDD<,
elementos@@jDD,
imsGetNodes@malla, nodosPorElemento@@jDDD, funcionReaccion D,
8j, 1, numElem<D
88imsElementMatrix@88− 0.433333, 0.533333<, 8− 0.466667, 0.566667<<,
85, 6<, 85, 6<D, imsElementMatrix@880<, 80<<, 85, 6<, 85, 6<D<<
FEMcurso.nb
42
8imsElementMatrix@88− 0.433333, 0.533333<, 8− 0.466667, 0.566667<<, 81, 2<,
81, 2<D, imsElementMatrix@88− 0.433333, 0.533333<, 8− 0.466667, 0.566667<<,
88− 0.433333, 0.533333<, 8− 0.466667, 0.566667<<, 83, 4<, 83, 4<D,
imsElementMatrix@88− 0.433333, 0.533333<, 8− 0.466667, 0.566667<<,
88− 0.433333, 0.533333<, 8− 0.466667, 0.566667<<, 85, 6<, 85, 6<D<
ã La función f HxL en la ecuación diferencial es la “función de carga”, -
d
dx
IpHxL
funcionCarga@maker_, x_D := f@xD;
Print@"funcionCarga@marker,xD=", funcionCarga@marker, xDD
funcionCarga@marker,xD=Cos@2 π xD − 2 π Sin@2 π xD
d
dx
yHxLM + qHxL yHxL = f HxL
FEMcurso.nb
43
ã Aquí se calcula el efecto de la “función de carga” ( f HxL en la ecuación diferencial ) en las matrices y
cargas (en las ecuaciones) de cada elemento:
matricesycargas =
Table@
imsNFEMLoad@ 8matrices@@jDD, cargas@@jDD<,
elementos@@jDD, imsGetNodes@malla, nodosPorElemento@@jDDD, funcionCarga D,
8j, 1, numElem<D
81, 2<D, imsElementMatrix@88− 0.15567<, 8− 0.383949<<, 81, 2<, 81<D<,
82, 3<D, imsElementMatrix@88− 0.607863<, 8− 0.56799<<, 82, 3<, 81<D<,
83, 4<D, imsElementMatrix@88− 0.22001<, 80.0329116<<, 83, 4<, 81<D<,
84, 5<, 84, 5<D, [email protected]<, 80.58833<<, 84, 5<, 81<D<,
85, 6<D, [email protected]<, 80.330696<<, 85, 6<, 81<D<<
81, 2<D, imsElementMatrix@88− 0.433333, 0.533333<, 8− 0.466667, 0.566667<<,
88− 0.433333, 0.533333<, 8− 0.466667, 0.566667<<, 83, 4<, 83, 4<D,
imsElementMatrix@88− 0.433333, 0.533333<, 8− 0.466667, 0.566667<<,
88− 0.433333, 0.533333<, 8− 0.466667, 0.566667<<, 85, 6<, 85, 6<D<
8imsElementMatrix@88− 0.15567<, 8− 0.383949<<, 81, 2<, 81<D,
imsElementMatrix@88− 0.22001<, 80.0329116<<, 83, 4<, 81<D,
[email protected]<, 80.58833<<, 84, 5<, 81<D,
[email protected]<, 80.330696<<, 85, 6<, 81<D<
FEMcurso.nb
44
ã A continuación se “ensamblan” las matrices de cada elemento para formar la matriz global, y se
“ensamblan” los vectores de carga de cada elemento para formar el vector de carga global:
Do@
imsAssemble@ matrices@@jDD, matrizGlobalD;
imsAssemble@ cargas@@jDD, cargaGlobalD,
8j, 1, numElem<
D;
D
c1
− 0.433333 0.533333
0
0
0
0
− 0.15567
c2
− 0.466667 0.133333 0.533333
0
0
0
− 0.991812
c
0
− 0.466667 0.133333 0.533333
0
0
− 0.788
. 3 ==
c4
0
0
− 0.466667 0.133333 0.533333
0
0.504801
c5
0
0
0
− 0.466667 0.133333 0.533333
1.09998
c6
0
0
0
0
− 0.466667 0.566667
0.330696
ã El siguiente paso es insertar las condiciones periódicas, lo cual modifica a la matriz global y al vector
global de cargas. En este ejemplo unidimensional, sólo es necesario insertar un multiplicador de
Lagrange l1 :
imsLagrangeMultipliers@
8 matrizGlobal, vectorCargas <, 88 1, ultimoNodoId<<, 80<, 8 8 1, − 1 < < D;
AppendTo@parametros, λ1 D;
D
c1
− 0.433333 0.533333
0
0
0
0
1
− 0.15567
c2
− 0.466667 0.133333 0.533333
0
0
0
0
− 0.991812
c3
0
− 0.466667 0.133333 0.533333
0
0
0
− 0.788
0
0
− 0.466667 0.133333 0.533333
0
0 . c4 == 0.504801
c5
0
0
0
− 0.466667 0.133333 0.533333 0
1.09998
c6
0
0
0
0
− 0.466667 0.566667 − 1
0.330696
λ1
1
0
0
0
0
−1
0
0
FEMcurso.nb
45
aproximada en cada nodo (y también los valores de los multiplicadores de Lagrange, lk ):
81.15582, 0.354274, − 0.93687, − 0.933292, 0.360064, 1.15582, 0.15624<
de la solución que se acaba de obtener:
nodosNuevos =
Table@imsSetValues@ nodos@@jDD, 88 solvector@@jDD << D, 8j, 1, numNodos<D
1
:imsNode@1, 80<, 1, 881.15582<<D, imsNodeB2, : >, 0, 880.354274<<F,
5
2
3
imsNodeB3, : >, 0, 88− 0.93687<<F, imsNodeB4, : >, 0, 88− 0.933292<<F,
5
5
4
imsNodeB5, : >, 0, 880.360064<<F, imsNode@6, 81<, 1, 881.15582<<D>
5
nodosNuevosFrontera = nodosNuevos@@ imsGetIds@ imsGetBoundaryNodes@mallaD D DD
8imsNode@1, 80<, 1, 881.15582<<D, imsNode@6, 81<, 1, 881.15582<<D<
nodosNuevosInterior = nodosNuevos@@ imsGetIds@ imsGetInteriorNodes@mallaD D DD
1
2
:imsNodeB2, : >, 0, 880.354274<<F, imsNodeB3, : >, 0, 88− 0.93687<<F,
5
5
3
4
imsNodeB4, : >, 0, 88− 0.933292<<F, imsNodeB5, : >, 0, 880.360064<<F>
5
5
FEMcurso.nb
46
ã Esta es la nueva malla, con los valores de la solución, como se muestra en la gráifca:
graficaFEM =
Graphics@8
Brown, imsDrawElementSolution@mallaNuevaD,
Green, imsDrawElements@mallaNuevaD,
Blue, imsDrawElementIdText@mallaNuevaD,
Red, imsDrawNodeText@mallaNuevaD
<, Frame → True, AspectRatio → 0.5D
1.0
0.5
0.0 1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
-0.5
-1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
FEMcurso.nb
47
solexacta =
DSolve@8
s@xD ∗ ∂x y@xD + q@xD ∗ y@xD f@xD,
y@aD y@bD
<, y@xD, xD;
graficaExacta = Plot@exacta@xD, 8x, a, b<,
PlotLabel → "Solución analítica exacta", PlotRange → All, AxesOrigin → 80, 0<D
1.0
0.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-0.5
-1.0
ã Podemos graficar juntas la solución analítica y la aproximación con el método de Elemento Finito:
Show@graficaExacta, graficaFEM, PlotLabel → "Analítica y FEM"D
Analítica y FEM
1.0
0.5
1
1
2
0.2
2
3
0.4
3
4
0.6
4
5
0.8
5
-0.5
-1.0
6
1.0
FEMcurso.nb
48
ã Referencias
Para poder llevar a cabo los cálculos de esta práctica es necesario instalar el paquete gratis IMS (Imtek
Capítulo 6, Sección 6.3 “Finite Element Method” de la Tesis de Doctorado de Oliver Rüebenkönig “Free
Surface Flow and the IMTEK Mathematica Supplement”, Institut für Mikrosystemtechnik (IMTEK), AlbertLudwigs-Univesität, Freiburg, Alemania.
ftp://elmo.imtek.uni-freiburg.de/pub/people/ruebenko/writing/dissertation1.1.pdf .
Daryl L. Logan, “A First Course in the Finite Element Method”, Fifth Edition, 2012, Cengage Leraning
FEMcurso.nb
49
6. Ejemplo del Método de Elemento Finito en dos dimensiones
ã Se va a calcular una solución aproximada la ecuación diferencial parcial que se muestra al evaluar los
siguiente comandos:
Clear@x, y, z, p, q, f, xa, xb, ya, ybD;
p@x_, y_D := x2 ;
q@x_, y_D := 30;
f@x_, y_D := − 10 ∗ x ∗
3
4
−y ;
xa = 0;
xb = 2;
ya = 0;
yb = 2;
zxa = 0;
zxb = 0.5;
Print@"−∂x Hp@x,yD ∂x z@x,yDL+q@x,yD∗z@x,yDf@x,yD"D;
Print@− ∂x Hp@x, yD ∂x z@x, yDL + q@x, yD ∗ z@x, yD f@x, yDD;
Print@z@xa, yD zxa D;
Print@z@xb, yD zxb D;
FEMcurso.nb
50
−∂x Hp@x,yD ∂x z@x,yDL+q@x,yD∗z@x,yDf@x,yD
30 z@x, yD − 2 x zH1,0L @x, yD − x2 zH2,0L @x, yD − 10 x
3
−y
4
z@0, yD 0
z@2, yD 0.5
ã Se usa el comando imsGenerateLinearStructuredMesh[ ] para generar el mallado del dominio. El
mallado consiste de nodos (puntos en el dominio) y elementos (en este ejemplo los elementos son
cuadriláteros cuyos vértices son los nodos):
numElemX = 3;
numElemY = 3;
numElem = numElemX ∗ numElemY;
Hxb − xaL Hx + 1L
Hyb − yaL Hy + 1L
mapeo@8x_, y_<D := :xa +
, ya +
>;
2
2
malla = imsGenerateLinearStructuredMesh@
numElemX, numElemY, imsCoordinateMapping → mapeoD;
Graphics@8
Orange, imsDrawElements@mallaD,
Red, imsDrawNodeText@mallaD
<, Frame → TrueD
2.0 13
14
7
15
16
8
9
1.5
9
1.0
10
4
11
12
5
5
6
6
7
8
0.5
1
2
0.0 1
0.0
2
0.5
3
3
1.0
4
1.5
2.0
FEMcurso.nb
51
2
Los nodos son: :imsNode@1, 80, 0<, 1, 880.<<D, imsNodeB2, : , 0>, 1, 880.<<F,
3
4
imsNodeB3, : , 0>, 1, 880.<<F, imsNode@4, 82, 0<, 1, 880.<<D,
3
2
2 2
imsNodeB5, :0, >, 1, 880.<<F, imsNodeB6, : , >, 0, 880.<<F,
3
3 3
4 2
2
imsNodeB7, : , >, 0, 880.<<F, imsNodeB8, :2, >, 1, 880.<<F,
3 3
3
4
2 4
imsNodeB9, :0, >, 1, 880.<<F, imsNodeB10, : , >, 0, 880.<<F,
3
3 3
4 4
4
imsNodeB11, : , >, 0, 880.<<F, imsNodeB12, :2, >, 1, 880.<<F,
3 3
3
2
imsNode@13, 80, 2<, 1, 880.<<D, imsNodeB14, : , 2>, 1, 880.<<F,
3
4
imsNodeB15, : , 2>, 1, 880.<<F, imsNode@16, 82, 2<, 1, 880.<<D>
3
Los elementos son: 8imsQuadLinear1DOF@1, 81, 2, 6, 5<, 0D,
imsQuadLinear1DOF@2, 82, 3, 7, 6<, 0D, imsQuadLinear1DOF@3, 83, 4, 8, 7<, 0D,
imsQuadLinear1DOF@8, 810, 11, 15, 14<, 0D, imsQuadLinear1DOF@9, 811, 12, 16, 15<, 0D<
ã En este ejemplo con cuadriláteros, a cada elemento le corresponden cuatro nodos:
881, 2, 6, 5<, 82, 3, 7, 6<, 83, 4, 8, 7<, 85, 6, 10, 9<, 86, 7, 11, 10<,
87, 8, 12, 11<, 89, 10, 14, 13<, 810, 11, 15, 14<, 811, 12, 16, 15<<
FEMcurso.nb
52
ã Hay una matriz local por cada elemento. Después cada matriz local será “ensamblada” en la matriz
global, en lo renglones y columnas que corresponden a los nodos del elemento:
0
0
matrices = TableBimsMakeElementMatrixB
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
,
0
0
8imsElementMatrix@
880, 0, 0, 0<, 80, 0, 0, 0<, 80, 0, 0, 0<, 80, 0, 0, 0<<, 81, 2, 6, 5<, 81, 2, 6, 5<D,
imsElementMatrix@880, 0, 0, 0<, 80, 0, 0, 0<, 80, 0, 0, 0<, 80, 0, 0, 0<<,
82, 3, 7, 6<, 82, 3, 7, 6<D, imsElementMatrix@
880, 0, 0, 0<, 80, 0, 0, 0<, 80, 0, 0, 0<, 80, 0, 0, 0<<, 83, 4, 8, 7<, 83, 4, 8, 7<D,
85, 6, 10, 9<, 85, 6, 10, 9<D,
86, 7, 11, 10<, 86, 7, 11, 10<D,
87, 8, 12, 11<, 87, 8, 12, 11<D,
89, 10, 14, 13<, 89, 10, 14, 13<D,
810, 11, 15, 14<, 810, 11, 15, 14<D,
811, 12, 16, 15<, 811, 12, 16, 15<D<
“ensamblado” en el vector global, en los renglones que corresponden a los nodos del elemento:
0
0
cargas = TableBimsMakeElementMatrixB
,
0
0
8imsElementMatrix@880<, 80<, 80<, 80<<, 81, 2, 6, 5<, 81, 2, 6, 5<D,
imsElementMatrix@880<, 80<, 80<, 80<<, 82, 3, 7, 6<, 82, 3, 7, 6<D,
imsElementMatrix@880<, 80<, 80<, 80<<, 811, 12, 16, 15<, 811, 12, 16, 15<D<
FEMcurso.nb
53
ã El coeficiente p(x,y) en la ecuación diferencial
− ∂x Hp@x, yD ∂x z@x, yDL + q@x, yD ∗ z@x, yD f@x, yD
es el único término diferente de cero en la función tensorial de difusión:
funcionDifusion@marker_, x_, y_D := 88p@x, yD, 0<, 80, 0<<;
Print@ "funcionDifusion@marker,x,yD=",
MatrixForm@funcionDifusion@marker, x, yDD D
funcionDifusion@marker,x,yD=
x2 0
0 0
FEMcurso.nb
54
ã Aquí se calcula el efecto de la “función tensorial de difusión“ en las matrices y cargas (o sea, en las
ecuaciones) de cada elemento:
matricesycargas =
Table@
imsNFEMDiffusion@8matrices@@jDD, cargas@@jDD<,
elementos@@jDD,
imsGetNodes@malla, nodosPorElemento@@jDDD, funcionDifusionD,
8j, 1, numElem<D
FEMcurso.nb
55
[email protected], − 0.0493827, − 0.0246914, 0.0246914<,
8− 0.0493827, 0.0493827, 0.0246914, − 0.0246914<,
8− 0.0246914, 0.0246914, 0.0493827, − 0.0493827<,
80.0246914, − 0.0246914, − 0.0493827, 0.0493827<<, 81, 2, 6, 5<, 81, 2, 6, 5<D,
imsElementMatrix@880<, 80<, 80<, 80<<, 81, 2, 6, 5<, 81, 2, 6, 5<D<,
[email protected], − 0.345679, − 0.17284, 0.17284<, 8− 0.345679,
0.345679, 0.17284, − 0.17284<, 8− 0.17284, 0.17284, 0.345679, − 0.345679<,
80.17284, − 0.17284, − 0.345679, 0.345679<<, 82, 3, 7, 6<, 82, 3, 7, 6<D,
[email protected], − 0.938272, − 0.469136, 0.469136<, 8− 0.938272,
0.938272, 0.469136, − 0.469136<, 8− 0.469136, 0.469136, 0.938272, − 0.938272<,
80.469136, − 0.469136, − 0.938272, 0.938272<<, 83, 4, 8, 7<, 83, 4, 8, 7<D,
[email protected], − 0.0493827, − 0.0246914, 0.0246914<,
8− 0.0493827, 0.0493827, 0.0246914, − 0.0246914<,
8− 0.0246914, 0.0246914, 0.0493827, − 0.0493827<,
80.0246914, − 0.0246914, − 0.0493827, 0.0493827<<, 85, 6, 10, 9<, 85, 6, 10, 9<D,
[email protected], − 0.345679, − 0.17284, 0.17284<, 8− 0.345679,
0.345679, 0.17284, − 0.17284<, 8− 0.17284, 0.17284, 0.345679, − 0.345679<,
80.17284, − 0.17284, − 0.345679, 0.345679<<, 86, 7, 11, 10<, 86, 7, 11, 10<D,
[email protected], − 0.938272, − 0.469136, 0.469136<, 8− 0.938272,
0.938272, 0.469136, − 0.469136<, 8− 0.469136, 0.469136, 0.938272, − 0.938272<,
80.469136, − 0.469136, − 0.938272, 0.938272<<, 87, 8, 12, 11<, 87, 8, 12, 11<D,
[email protected], − 0.0493827, − 0.0246914, 0.0246914<,
8− 0.0493827, 0.0493827, 0.0246914, − 0.0246914<,
8− 0.0246914, 0.0246914, 0.0493827, − 0.0493827<, 80.0246914,
− 0.0246914, − 0.0493827, 0.0493827<<, 89, 10, 14, 13<, 89, 10, 14, 13<D,
[email protected], − 0.345679, − 0.17284, 0.17284<, 8− 0.345679,
0.345679, 0.17284, − 0.17284<, 8− 0.17284, 0.17284, 0.345679, − 0.345679<,
80.17284, − 0.17284, − 0.345679, 0.345679<<, 810, 11, 15, 14<, 810, 11, 15, 14<D,
[email protected], − 0.938272, − 0.469136, 0.469136<,
8− 0.938272, 0.938272, 0.469136, − 0.469136<, 8− 0.469136, 0.469136,
0.938272, − 0.938272<, 80.469136, − 0.469136, − 0.938272, 0.938272<<,
880<, 80<, 80<, 80<<, 811, 12, 16, 15<, 811, 12, 16, 15<D<<
FEMcurso.nb
56
[email protected], − 0.0493827, − 0.0246914, 0.0246914<,
8− 0.0493827, 0.0493827, 0.0246914, − 0.0246914<,
8− 0.0246914, 0.0246914, 0.0493827, − 0.0493827<,
80.0246914, − 0.0246914, − 0.0493827, 0.0493827<<, 81, 2, 6, 5<, 81, 2, 6, 5<D,
[email protected], − 0.345679, − 0.17284, 0.17284<, 8− 0.345679,
0.345679, 0.17284, − 0.17284<, 8− 0.17284, 0.17284, 0.345679, − 0.345679<,
80.17284, − 0.17284, − 0.345679, 0.345679<<, 82, 3, 7, 6<, 82, 3, 7, 6<D,
[email protected], − 0.938272, − 0.469136, 0.469136<,
8− 0.938272, 0.938272, 0.469136, − 0.469136<,
8− 0.469136, 0.469136, 0.938272, − 0.938272<,
80.469136, − 0.469136, − 0.938272, 0.938272<<, 83, 4, 8, 7<, 83, 4, 8, 7<D,
[email protected], − 0.0493827, − 0.0246914, 0.0246914<,
8− 0.0493827, 0.0493827, 0.0246914, − 0.0246914<,
8− 0.0246914, 0.0246914, 0.0493827, − 0.0493827<,
80.0246914, − 0.0246914, − 0.0493827, 0.0493827<<, 85, 6, 10, 9<, 85, 6, 10, 9<D,
[email protected], − 0.345679, − 0.17284, 0.17284<, 8− 0.345679,
0.345679, 0.17284, − 0.17284<, 8− 0.17284, 0.17284, 0.345679, − 0.345679<,
80.17284, − 0.17284, − 0.345679, 0.345679<<, 86, 7, 11, 10<, 86, 7, 11, 10<D,
[email protected], − 0.938272, − 0.469136, 0.469136<,
8− 0.938272, 0.938272, 0.469136, − 0.469136<,
8− 0.469136, 0.469136, 0.938272, − 0.938272<,
80.469136, − 0.469136, − 0.938272, 0.938272<<, 87, 8, 12, 11<, 87, 8, 12, 11<D,
[email protected], − 0.0493827, − 0.0246914, 0.0246914<,
8− 0.0493827, 0.0493827, 0.0246914, − 0.0246914<,
8− 0.0246914, 0.0246914, 0.0493827, − 0.0493827<,
80.0246914, − 0.0246914, − 0.0493827, 0.0493827<<,
880.345679, − 0.345679, − 0.17284, 0.17284<, 8− 0.345679, 0.345679,
0.17284, − 0.17284<, 8− 0.17284, 0.17284, 0.345679, − 0.345679<,
80.17284, − 0.17284, − 0.345679, 0.345679<<, 810, 11, 15, 14<, 810, 11, 15, 14<D,
[email protected], − 0.938272, − 0.469136, 0.469136<,
8− 0.938272, 0.938272, 0.469136, − 0.469136<,
8− 0.469136, 0.469136, 0.938272, − 0.938272<, 80.469136, − 0.469136,
− 0.938272, 0.938272<<, 811, 12, 16, 15<, 811, 12, 16, 15<D<
FEMcurso.nb
57
ã Actualizamos la lista de cargas:
ã El coeficiente q(x,y) en la ecuación
es la “función de reacción”:
funcionReaccion@marker_, x_, y_D := q@x, yD;
Print@"funcionReaccion@marker,x,yD=", funcionReaccion@marker, x, yDD
funcionReaccion@marker,x,yD=30
FEMcurso.nb
58
ã Aquí se calcula el efecto de la “función de reacción“ en las matrices y cargas (o sea, en las
ecuaciones) de cada elemento:
matricesycargas =
Table@
imsNFEMReaction@8matrices@@jDD, cargas@@jDD<,
elementos@@jDD,
imsGetNodes@malla, nodosPorElemento@@jDDD, funcionReaccionD,
8j, 1, numElem<D
[email protected], 0.691358, 0.345679, 0.765432<, 80.691358, 1.53086,
0.765432, 0.345679<, 80.345679, 0.765432, 1.53086, 0.691358<,
80.765432, 0.345679, 0.691358, 1.53086<<, 81, 2, 6, 5<, 81, 2, 6, 5<D,
[email protected], 0.395062, 0.197531, 0.91358<, 80.395062,
1.82716, 0.91358, 0.197531<, 80.197531, 0.91358, 1.82716, 0.395062<,
80.91358, 0.197531, 0.395062, 1.82716<<, 82, 3, 7, 6<, 82, 3, 7, 6<D,
[email protected], − 0.197531, − 0.0987654, 1.20988<, 8− 0.197531,
2.41975, 1.20988, − 0.0987654<, 8− 0.0987654, 1.20988, 2.41975, − 0.197531<,
81.20988, − 0.0987654, − 0.197531, 2.41975<<, 83, 4, 8, 7<, 83, 4, 8, 7<D,
[email protected], 0.691358, 0.345679, 0.765432<, 80.691358,
1.53086, 0.765432, 0.345679<, 80.345679, 0.765432, 1.53086, 0.691358<,
80.765432, 0.345679, 0.691358, 1.53086<<, 85, 6, 10, 9<, 85, 6, 10, 9<D,
[email protected], 0.395062, 0.197531, 0.91358<, 80.395062,
1.82716, 0.91358, 0.197531<, 80.197531, 0.91358, 1.82716, 0.395062<,
80.91358, 0.197531, 0.395062, 1.82716<<, 86, 7, 11, 10<, 86, 7, 11, 10<D,
[email protected], − 0.197531, − 0.0987654, 1.20988<, 8− 0.197531,
2.41975, 1.20988, − 0.0987654<, 8− 0.0987654, 1.20988, 2.41975, − 0.197531<,
81.20988, − 0.0987654, − 0.197531, 2.41975<<, 87, 8, 12, 11<, 87, 8, 12, 11<D,
[email protected], 0.691358, 0.345679, 0.765432<, 80.691358,
1.53086, 0.765432, 0.345679<, 80.345679, 0.765432, 1.53086, 0.691358<,
80.765432, 0.345679, 0.691358, 1.53086<<, 89, 10, 14, 13<, 89, 10, 14, 13<D,
[email protected], 0.395062, 0.197531, 0.91358<, 80.395062,
1.82716, 0.91358, 0.197531<, 80.197531, 0.91358, 1.82716, 0.395062<,
80.91358, 0.197531, 0.395062, 1.82716<<, 810, 11, 15, 14<, 810, 11, 15, 14<D,
[email protected], − 0.197531, − 0.0987654, 1.20988<,
8− 0.197531, 2.41975, 1.20988, − 0.0987654<, 8− 0.0987654, 1.20988,
2.41975, − 0.197531<, 81.20988, − 0.0987654, − 0.197531, 2.41975<<,
880<, 80<, 80<, 80<<, 811, 12, 16, 15<, 811, 12, 16, 15<D<<
FEMcurso.nb
59
ã Actualizamos la lista de matrices:
[email protected], 0.691358, 0.345679, 0.765432<, 80.691358,
1.53086, 0.765432, 0.345679<, 80.345679, 0.765432, 1.53086, 0.691358<,
80.765432, 0.345679, 0.691358, 1.53086<<, 81, 2, 6, 5<, 81, 2, 6, 5<D,
[email protected], 0.395062, 0.197531, 0.91358<, 80.395062,
1.82716, 0.91358, 0.197531<, 80.197531, 0.91358, 1.82716, 0.395062<,
80.91358, 0.197531, 0.395062, 1.82716<<, 82, 3, 7, 6<, 82, 3, 7, 6<D,
[email protected], − 0.197531, − 0.0987654, 1.20988<,
8− 0.197531, 2.41975, 1.20988, − 0.0987654<,
8− 0.0987654, 1.20988, 2.41975, − 0.197531<,
81.20988, − 0.0987654, − 0.197531, 2.41975<<, 83, 4, 8, 7<, 83, 4, 8, 7<D,
[email protected], 0.691358, 0.345679, 0.765432<, 80.691358,
1.53086, 0.765432, 0.345679<, 80.345679, 0.765432, 1.53086, 0.691358<,
80.765432, 0.345679, 0.691358, 1.53086<<, 85, 6, 10, 9<, 85, 6, 10, 9<D,
[email protected], 0.395062, 0.197531, 0.91358<, 80.395062,
1.82716, 0.91358, 0.197531<, 80.197531, 0.91358, 1.82716, 0.395062<,
80.91358, 0.197531, 0.395062, 1.82716<<, 86, 7, 11, 10<, 86, 7, 11, 10<D,
[email protected], − 0.197531, − 0.0987654, 1.20988<,
8− 0.197531, 2.41975, 1.20988, − 0.0987654<,
8− 0.0987654, 1.20988, 2.41975, − 0.197531<,
81.20988, − 0.0987654, − 0.197531, 2.41975<<, 87, 8, 12, 11<, 87, 8, 12, 11<D,
[email protected], 0.691358, 0.345679, 0.765432<, 80.691358,
1.53086, 0.765432, 0.345679<, 80.345679, 0.765432, 1.53086, 0.691358<,
80.765432, 0.345679, 0.691358, 1.53086<<, 89, 10, 14, 13<, 89, 10, 14, 13<D,
[email protected], 0.395062, 0.197531, 0.91358<, 80.395062,
1.82716, 0.91358, 0.197531<, 80.197531, 0.91358, 1.82716, 0.395062<,
80.91358, 0.197531, 0.395062, 1.82716<<, 810, 11, 15, 14<, 810, 11, 15, 14<D,
[email protected], − 0.197531, − 0.0987654, 1.20988<,
8− 0.197531, 2.41975, 1.20988, − 0.0987654<,
8− 0.0987654, 1.20988, 2.41975, − 0.197531<,
81.20988, − 0.0987654, − 0.197531, 2.41975<<, 811, 12, 16, 15<, 811, 12, 16, 15<D<
FEMcurso.nb
60
ã El coeficiente f(x,y) en la ecuación
es la “función de carga”:
funcionCarga@marker_, x_, y_D := f@x, yD;
Print@"funcionCarga@marker,x,yD=", funcionCarga@marker, x, yDD
funcionCarga@marker,x,yD=− 10 x
3
−y
4
ã Aquí se calcula el efecto de la “función de carga“ en las matrices y cargas (o sea, en las ecuaciones)
de cada elemento:
matricesycargas =
Table@
imsNFEMLoad@8matrices@@jDD, cargas@@jDD<,
elementos@@jDD,
imsGetNodes@malla, nodosPorElemento@@jDDD, funcionCargaD,
8j, 1, numElem<D
FEMcurso.nb
61
[email protected], 0.691358, 0.345679, 0.765432<, 80.691358, 1.53086,
0.765432, 0.345679<, 80.345679, 0.765432, 1.53086, 0.691358<,
80.765432, 0.345679, 0.691358, 1.53086<<, 81, 2, 6, 5<, 81, 2, 6, 5<D,
imsElementMatrix@88− 0.130316<, 8− 0.260631<, 8− 0.150892<, 8− 0.0754458<<,
81, 2, 6, 5<, 81<D<,
[email protected], 0.395062, 0.197531, 0.91358<, 80.395062,
1.82716, 0.91358, 0.197531<, 80.197531, 0.91358, 1.82716, 0.395062<,
80.91358, 0.197531, 0.395062, 1.82716<<, 82, 3, 7, 6<, 82, 3, 7, 6<D,
82, 3, 7, 6<, 81<D<,
[email protected], − 0.197531, − 0.0987654, 1.20988<, 8− 0.197531,
2.41975, 1.20988, − 0.0987654<, 8− 0.0987654, 1.20988, 2.41975, − 0.197531<,
81.20988, − 0.0987654, − 0.197531, 2.41975<<, 83, 4, 8, 7<, 83, 4, 8, 7<D,
83, 4, 8, 7<, 81<D<,
[email protected], 0.691358, 0.345679, 0.765432<, 80.691358,
1.53086, 0.765432, 0.345679<, 80.345679, 0.765432, 1.53086, 0.691358<,
80.765432, 0.345679, 0.691358, 1.53086<<, 85, 6, 10, 9<, 85, 6, 10, 9<D,
[email protected]<, 80.0685871<, 80.178326<, 80.0891632<<,
85, 6, 10, 9<, 81<D<,
[email protected], 0.395062, 0.197531, 0.91358<, 80.395062,
1.82716, 0.91358, 0.197531<, 80.197531, 0.91358, 1.82716, 0.395062<,
80.91358, 0.197531, 0.395062, 1.82716<<, 86, 7, 11, 10<, 86, 7, 11, 10<D,
[email protected]<, 80.171468<, 80.445816<, 80.356653<<,
86, 7, 11, 10<, 81<D<,
[email protected], − 0.197531, − 0.0987654, 1.20988<, 8− 0.197531,
2.41975, 1.20988, − 0.0987654<, 8− 0.0987654, 1.20988, 2.41975, − 0.197531<,
81.20988, − 0.0987654, − 0.197531, 2.41975<<, 87, 8, 12, 11<, 87, 8, 12, 11<D,
[email protected]<, 80.274348<, 80.713306<, 80.624143<<,
87, 8, 12, 11<, 81<D<,
[email protected], 0.691358, 0.345679, 0.765432<, 80.691358,
1.53086, 0.765432, 0.345679<, 80.345679, 0.765432, 1.53086, 0.691358<,
80.765432, 0.345679, 0.691358, 1.53086<<, 89, 10, 14, 13<, 89, 10, 14, 13<D,
[email protected]<, 80.397805<, 80.507545<, 80.253772<<,
89, 10, 14, 13<, 81<D<,
[email protected], 0.395062, 0.197531, 0.91358<, 80.395062,
1.82716, 0.91358, 0.197531<, 80.197531, 0.91358, 1.82716, 0.395062<,
80.91358, 0.197531, 0.395062, 1.82716<<, 810, 11, 15, 14<, 810, 11, 15, 14<D,
[email protected]<, 80.994513<, 81.26886<, 81.01509<<,
810, 11, 15, 14<, 81<D<,
[email protected], − 0.197531, − 0.0987654, 1.20988<,
8− 0.197531, 2.41975, 1.20988, − 0.0987654<, 8− 0.0987654, 1.20988,
2.41975, − 0.197531<, 81.20988, − 0.0987654, − 0.197531, 2.41975<<,
881.39232<, 81.59122<, 82.03018<, 81.77641<<, 811, 12, 16, 15<, 81<D<<
FEMcurso.nb
62
ã Actualizamos la lista de matrices:
[email protected], 0.691358, 0.345679, 0.765432<, 80.691358,
1.53086, 0.765432, 0.345679<, 80.345679, 0.765432, 1.53086, 0.691358<,
80.765432, 0.345679, 0.691358, 1.53086<<, 81, 2, 6, 5<, 81, 2, 6, 5<D,
[email protected], 0.395062, 0.197531, 0.91358<, 80.395062,
1.82716, 0.91358, 0.197531<, 80.197531, 0.91358, 1.82716, 0.395062<,
80.91358, 0.197531, 0.395062, 1.82716<<, 82, 3, 7, 6<, 82, 3, 7, 6<D,
[email protected], − 0.197531, − 0.0987654, 1.20988<,
8− 0.197531, 2.41975, 1.20988, − 0.0987654<,
8− 0.0987654, 1.20988, 2.41975, − 0.197531<,
81.20988, − 0.0987654, − 0.197531, 2.41975<<, 83, 4, 8, 7<, 83, 4, 8, 7<D,
[email protected], 0.691358, 0.345679, 0.765432<, 80.691358,
1.53086, 0.765432, 0.345679<, 80.345679, 0.765432, 1.53086, 0.691358<,
80.765432, 0.345679, 0.691358, 1.53086<<, 85, 6, 10, 9<, 85, 6, 10, 9<D,
[email protected], 0.395062, 0.197531, 0.91358<, 80.395062,
1.82716, 0.91358, 0.197531<, 80.197531, 0.91358, 1.82716, 0.395062<,
80.91358, 0.197531, 0.395062, 1.82716<<, 86, 7, 11, 10<, 86, 7, 11, 10<D,
[email protected], − 0.197531, − 0.0987654, 1.20988<,
8− 0.197531, 2.41975, 1.20988, − 0.0987654<,
8− 0.0987654, 1.20988, 2.41975, − 0.197531<,
81.20988, − 0.0987654, − 0.197531, 2.41975<<, 87, 8, 12, 11<, 87, 8, 12, 11<D,
[email protected], 0.691358, 0.345679, 0.765432<, 80.691358,
1.53086, 0.765432, 0.345679<, 80.345679, 0.765432, 1.53086, 0.691358<,
80.765432, 0.345679, 0.691358, 1.53086<<, 89, 10, 14, 13<, 89, 10, 14, 13<D,
[email protected], 0.395062, 0.197531, 0.91358<, 80.395062,
1.82716, 0.91358, 0.197531<, 80.197531, 0.91358, 1.82716, 0.395062<,
80.91358, 0.197531, 0.395062, 1.82716<<, 810, 11, 15, 14<, 810, 11, 15, 14<D,
[email protected], − 0.197531, − 0.0987654, 1.20988<,
8− 0.197531, 2.41975, 1.20988, − 0.0987654<,
8− 0.0987654, 1.20988, 2.41975, − 0.197531<,
81.20988, − 0.0987654, − 0.197531, 2.41975<<, 811, 12, 16, 15<, 811, 12, 16, 15<D<
FEMcurso.nb
63
8imsElementMatrix@
88− 0.130316<, 8− 0.260631<, 8− 0.150892<, 8− 0.0754458<<, 81, 2, 6, 5<, 81<D,
82, 3, 7, 6<, 81<D, imsElementMatrix@
88− 0.912209<, 8− 1.04252<, 8− 0.603567<, 8− 0.528121<<, 83, 4, 8, 7<, 81<D,
[email protected]<, 80.0685871<, 80.178326<, 80.0891632<<,
880.137174<, 80.171468<, 80.445816<, 80.356653<<, 86, 7, 11, 10<, 81<D,
[email protected]<, 80.274348<, 80.713306<, 80.624143<<,
880.198903<, 80.397805<, 80.507545<, 80.253772<<, 89, 10, 14, 13<, 81<D,
[email protected]<, 80.994513<, 81.26886<, 81.01509<<,
881.39232<, 81.59122<, 82.03018<, 81.77641<<, 811, 12, 16, 15<, 81<D<
FEMcurso.nb
64
ã A continuación se “ensamblan” las matrices de cada elemento para formar la matriz global, y se
“ensamblan” los vectores de carga de cada elemento para formar el vector de carga global:
Do@
imsAssemble@matrices@@jDD, matrizGlobalD;
imsAssemble@cargas@@jDD, cargaGlobalD,
8j, 1, numElem<
D;
D
1.53086
0.691358
0
0
0.765432
0.345679
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.691358
0
0
3.35802
0.395062
0
0.395062
4.24691
− 0.197531
0
− 0.197531
2.41975
0.345679
0
0
1.67901
0.197531
0
0.197531
2.12346
− 0.0987654
0
− 0.0987654
1.20988
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.765432
0.345679
0
0
3.06173
1.38272
0
0
0.765432
0.345679
0
0
0
0
0
0
0.345679
0
0
1.67901
0.197531
0
0.197531
2.12346
− 0.0987654
0
− 0.0987654
1.20988
1.38272
0
0
6.71605
0.790123
0
0.790123
8.49383
− 0.395062
0
− 0.395062
4.83951
0.345679
0
0
1.67901
0.197531
0
0.197531
2.12346
− 0.0987654
0
− 0.0987654
1.20988
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
ã El siguiente paso es insertar las condiciones de frontera, lo cual modificará a la matriz global y al
vector global de cargas. Primero seleccionamos todos los nodos que están en la frontera izquierda
(los que tienen coordenadas Hxa,y)):
nodosIzquierda = Select@nodos, Function@nodo, Part@imsGetCoords@nodoD, 1D xaDD
:imsNode@1, 80, 0<, 1, 880.<<D, imsNodeB5, :0,
imsNodeB9, :0,
4
3
2
3
>, 1, 880.<<F,
>, 1, 880.<<F, imsNode@13, 80, 2<, 1, 880.<<D>
0.765432
0.345679
3.06173
1.38272
0.765432
0.345679
FEMcurso.nb
65
ã A continuación insertamos la condición de que la solución vale zxa en cada nodo de la frontera
izquierda:
Do@
imsDirichlet@8matrizGlobal, vectorCargas<,
imsGetIds@ nodosIzquierda@@jDD D, zxa D,
8j, 1, Length@nodosIzquierdaD<
D;
D
1.
0.
0.
0.
0. 3.35802
0.395062
0.
0. 0.395062
4.24691
− 0.197531
0.
0.
− 0.197531
2.41975
0.
0.
0.
0.
0. 1.67901
0.197531
0.
0. 0.197531
2.12346
− 0.0987654
0.
0.
− 0.0987654
1.20988
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0. 1.67901
0.197531
0.
0. 0.197531
2.12346
− 0.0987654
0.
0.
− 0.0987654
1.20988
1.
0.
0.
0.
0. 6.71605
0.790123
0.
0. 0.790123
8.49383
− 0.395062
0.
0.
− 0.395062
4.83951
0.
0.
0.
0.
0. 1.67901
0.197531
0.
0. 0.197531
2.12346
− 0.0987654
0.
0.
− 0.0987654
1.20988
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.197531
0. 1.67901
0. 0.197531
2.12346
0.
0.
− 0.0987654
1.
0.
0. 6.71605
0.790123
0. 0.790123
8.49383
0.
0.
− 0.395062
0.
0.
0. 1.67901
0.197531
0. 0.197531
2.12346
0.
0.
− 0.0987654
ã Ahora seleccionamos todos los nodos que están en la frontera derecha (los que tienen coordenadas
Hxb,y)):
nodosDerecha = Select@nodos, Function@nodo, Part@imsGetCoords@nodoD, 1D xbDD
:imsNode@4, 82, 0<, 1, 880.<<D, imsNodeB8, :2,
imsNodeB12, :2,
4
3
2
3
>, 1, 880.<<F,
>, 1, 880.<<F, imsNode@16, 82, 2<, 1, 880.<<D>
FEMcurso.nb
66
ã A continuación insertamos la condición de que la solución vale zxb en cada nodo de la frontera
derecha:
Do@
imsDirichlet@8matrizGlobal, vectorCargas<,
imsGetIds@ nodosDerecha@@jDD D, zxb D,
8j, 1, Length@nodosDerechaD<
D;
D
1.
0.
0.
0. 0.
0.
0.
0. 0.
0.
0.
0. 0.
0.
0. 3.35802 0.395062 0. 0. 1.67901 0.197531 0. 0.
0.
0.
0. 0.
0.
0. 0.395062 4.24691 0. 0. 0.197531 2.12346 0. 0.
0.
0.
0. 0.
0.
0.
0.
0.
1. 0.
0.
0.
0. 0.
0.
0.
0. 0.
0.
0.
0.
0.
0. 1.
0.
0.
0. 0.
0.
0.
0. 0.
0.
0. 1.67901 0.197531 0. 0. 6.71605 0.790123 0. 0. 1.67901 0.197531 0. 0.
0.
0. 0.197531 2.12346 0. 0. 0.790123 8.49383 0. 0. 0.197531 2.12346 0. 0.
0.
0.
0.
0.
0. 0.
0.
0.
1. 0.
0.
0.
0. 0.
0.
0.
0.
0.
0. 0.
0.
0.
0. 1.
0.
0.
0. 0.
0.
0.
0.
0.
0. 0. 1.67901 0.197531 0. 0. 6.71605 0.790123 0. 0. 1.67901
0.
0.
0.
0. 0. 0.197531 2.12346 0. 0. 0.790123 8.49383 0. 0. 0.197531
0.
0.
0.
0. 0.
0.
0.
0. 0.
0.
0.
1. 0.
0.
0.
0.
0.
0. 0.
0.
0.
0. 0.
0.
0.
0. 1.
0.
0.
0.
0.
0. 0.
0.
0.
0. 0. 1.67901 0.197531 0. 0. 3.35802
0.
0.
0.
0. 0.
0.
0.
0. 0. 0.197531 2.12346 0. 0. 0.395062
0.
0.
0.
0. 0.
0.
0.
0. 0.
0.
0.
0. 0.
0.
aproximada en cada nodo:
80., − 0.184302, − 0.308437, 0.5, 0., − 0.0229368, − 0.0133702,
0.5, 0., 0.138428, 0.281697, 0.5, 0., 0.299793, 0.576763, 0.5<
FEMcurso.nb
67
de la solución:
nodosNuevos =
Table@imsSetValues@nodos@@jDD, 88 solvector@@jDD <<D, 8j, 1, numNodos<D
2
:imsNode@1, 80, 0<, 1, 880.<<D, imsNodeB2, : , 0>, 1, 88− 0.184302<<F,
3
4
imsNodeB3, : , 0>, 1, 88− 0.308437<<F, imsNode@4, 82, 0<, 1, 880.5<<D,
3
2
2 2
imsNodeB5, :0, >, 1, 880.<<F, imsNodeB6, : , >, 0, 88− 0.0229368<<F,
3
3 3
4 2
2
imsNodeB7, : , >, 0, 88− 0.0133702<<F, imsNodeB8, :2, >, 1, 880.5<<F,
3 3
3
4
2 4
imsNodeB9, :0, >, 1, 880.<<F, imsNodeB10, : , >, 0, 880.138428<<F,
3
3 3
4 4
4
imsNodeB11, : , >, 0, 880.281697<<F, imsNodeB12, :2, >, 1, 880.5<<F,
3 3
3
2
imsNode@13, 80, 2<, 1, 880.<<D, imsNodeB14, : , 2>, 1, 880.299793<<F,
3
4
imsNodeB15, : , 2>, 1, 880.576763<<F, imsNode@16, 82, 2<, 1, 880.5<<D>
3
nodosNuevosFrontera =
nodosNuevos@@ imsGetIds@imsGetBoundaryNodes@mallaD D DD
2
:imsNode@1, 80, 0<, 1, 880.<<D, imsNodeB2, : , 0>, 1, 88− 0.184302<<F,
3
4
imsNodeB3, : , 0>, 1, 88− 0.308437<<F, imsNode@4, 82, 0<, 1, 880.5<<D,
3
2
2
imsNodeB5, :0, >, 1, 880.<<F, imsNodeB8, :2, >, 1, 880.5<<F,
3
3
4
4
imsNodeB9, :0, >, 1, 880.<<F, imsNodeB12, :2, >, 1, 880.5<<F,
3
3
2
imsNode@13, 80, 2<, 1, 880.<<D, imsNodeB14, : , 2>, 1, 880.299793<<F,
3
4
imsNodeB15, : , 2>, 1, 880.576763<<F, imsNode@16, 82, 2<, 1, 880.5<<D>
3
FEMcurso.nb
68
nodosNuevosInterior =
nodosNuevos@@ imsGetIds@imsGetInteriorNodes@mallaD D DD
2 2
4
:imsNodeB6, : , >, 0, 88− 0.0229368<<F, imsNodeB7, : ,
3 3
3
2 4
4
imsNodeB10, : , >, 0, 880.138428<<F, imsNodeB11, : ,
3 3
3
2
3
4
3
>, 0, 88− 0.0133702<<F,
>, 0, 880.281697<<F>
ã Esta es la nueva malla, con los valores de la solución, como se muestra en la gráfica:
graficaFEM =
Graphics3D@8
imsDrawElementSolution@ mallaNueva D
<, Axes → True, PlotLabel → "Solución aproximada con\n Elemento Finito"D
Solución aproximada con
Elemento Finito
0.4
2.0
0.2
0.0
1.5
-0.2
1.0
0.0
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
0.0
FEMcurso.nb
69
ã A continuación se obtiene la solución analítica exacta, para comparla con la aproximación por
Elemento Finito:
solexacta = DSolve@8− ∂x Hp@x, yD ∂x z@x, yDL + q@x, yD ∗ z@x, yD f@x, yD,
z@xa, yD zxa , z@xb, yD zxb <, z@x, yD, 8x, y<D;
exacta@x_, y_D := Evaluate@ReplaceAll@z@x, yD, solexacta@@1DD D D;
graficaExacta =
Plot3D@exacta@x, yD, 8x, xa, xb<, 8y, ya, yb<, PlotLabel → "Solución exacta"D
FEMcurso.nb
70
ã Aquí se comapara la gráfica de la solución aproximada por Elemento Finito con la gráifca de la
solución analítica exacta:
Column@8graficaFEM, graficaExacta<D
Solución aproximada con
Elemento Finito
0.4
0.2
0.0
-0.2
2.0
1.5
1.0
0.0
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
0.0

Introducción al Método de Elemento Finito en Mathematica

Transcripción

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