fórmulas úteis

SISTEMA INTERNACIONAL
DE UNIDADES
o Sistema Internacional de Unidades - SI - é o sistema oficial utilizado
em todo o mundo.
O Sistema Internacional, como todo sistema de unidade, baseia-se em
um grupo de unidades básicas.
Desse Sistema as unidades que interessam às estruturas são: massa, comprimento e tempo.
A unidade fundamental de medida de massa é o quilograma, de comprimento, o metro e de tempo, o segundo.
Seus símbolos:
massa
comprimento
tempo
kg
quilograma
metro
segundo
m
s
Nas estruturas, prevalece a utilização das seguintes unidades derivadas:
força e tensão ou pressão.
A força é medida em Newton (símbolo N), que corresponde à força
necessária para acelerar de um metro por segundo ao quadrado uma massa
de um quilograma.
Outra unidade derivada é a tensão, medida em Pascal (símbolo Pa), que
corresponde à força - em Newton - dividida por uma área - em metro
quadrado.
Essas unidades normalmente são apresentadas pelos seus múltiplos e
submúltiplos.
Assim, temos:
Múltiplos
deca
hecto
quilo
mega
glga
tera
peta
exa
da
h
k
10'
102
10.1
M
G
T
P
106
109
10'2
E
10'8
JO'-í
Submúltiplos
= 1.000. OOOPa
1 Mpa
deci
eenti
mili
miero
nano
pico
femto
atto
d
c
m
J1
n
p
f
a
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
1 Mpa =10 kgf
em2
No sistema técnico, designamos a força por kgf, para não confundir com
a unidade de massa - kg - do Sistema Internacional.
Fórmulas e propriedades mecânicas
Em estruturas, normalmente usamos os seguintes múltiplos:
k
M
G
quilo
mega
giga
1.000
1.000.000
1.000.000.000
1.000.000 x 0,1 kgf
10.000
em2
3
10
106
109
Fórmulas Básicas da Álgebra, da Geometria, da
Trigonometria, da Diferenciação, de Integração e
de séries
1.
ÁLGEBRA
Assim, temos:
1.1. Expoentes
quilo Newton
mega Paseal
giga Paseal
kN
MPa
Gpa
a/ll
= dn+n
ali
(a b)"
Existem outros sistemas, não oficiais. O mais intensivamente usado é o
sistema chamado técnico, no qual se define a força como sendo o peso de
uma massa de um quilograma submetida a uma gravidade padrão de 9,8
metros por segundo ao quadrado, constituindo o quilograma-força (símbolo
kgf), a sua unidade de medida. Nesse sistema, a tensão é normalmente
medida em quilograma-força por centímetro quadrado (kgf/crnê).
A relação entre os sistemas SI e técnico é estabelecida a seguir.
Para simplificar, fazendo o arredondamento da aceleração de 9,8 para
10
m
--2
seg
temos:
1 N = 0,1 kgf
1 kN = 1000 N
m
a
-=a
100 kgf
fII-11
ali
(:r= :::
(am'J
a::
=
d' b"
=
=
= ~
a
llllJ
=
tfa)"
1.2. Binômio de Newton
No que concerne às tensões, a relação é a seguinte:
N
1 Pa =1 m2
0,1
-5 kgf
= 10.000 =1 x 10 em2
(a+b/=a2+2ab+b2
(a + b)3 = 03 + 3a2b + 3ab
2
+ b3
2. Geometria
Consequências
Retângulo
Dh
Area
=
bh
sen
tg e = cos
b
Triângulo
~,
--
Círculo
b
'L
f?\
Cilindro
cos
1
Area =-bh
2
Area
Ú
cotg
ou
= 7t';
=
cosec
e=
7t d
Volume =
cos 8
1
sen e
Área lateral
8
8
Volume =
Àrea =
47t
e = t9 e
sen? 8 + cos?
"3
8
1
cotg
1
e
1
sec e
Volume = 7t r 2h
Área Lateral = 27t r h
h
Esfera
e = sen
7t1
Circunferência = 27tr ou
gh
8
Cone
e
e
e= 1
2
rt r h
=
4
"3
11:
rt r s
4. Diferenciação
r3
Regra do Produto
r2
d
dv
du
-(uv) =u- +vdx
dx
dx
3. Trigonometria - raio unitário
Regra do Quociente
(0,1)
(x,y)
sen O =y
cos
e =x
(-1,0)
sec e
=
du
dv
vd;-udx
1
x
x
(1,0)
cotg
!(~)
e=y
Regra da Cadeia
tge
=r
x
cosec
1
e= y
dy
dx
-=--
dy du
du dx
i
d
dxA. =n
_.~l
d
x":'
-u
dx
n _
-nu
11_1du
d X
dx e =e'
+r -e=
d
1
nx=dx
x
-f.nu
dx
d
dx
d
d
d
=-
d
dx tgx =sec
du
dx
X
1du
u dx
X
=--
sen x
d
du
dx cos u = - sen u dx
2X
d
-tgu
dx
d
d
dx cotg x = - cosec x
--cotgu
dx
3
X
5
X
7
sen x = x - 3! + 5! - 7!+. ....
2
X
4
X
6
cos x = 1- 2! + 41 - 6! +.....
d
du
dx sen u =cos u dx
dx sen x =cos x
dx cos x
6. Séries
dx
e
x
=
2
1
3
4
x
x
x
+x+ 21+ 31+ 41+.... ·
) du
=sec - udx
=- cosec 2 u-du
7. Alfabeto Grego
dx
-
5. Integração
Nomes
Letras
11+1
f u'ídu = n +1
U
du
f -=!nu
u
f eUdy=e
f cos u du = sen u
f sen u dy = - cos u
f sec 2udu = tgu
f cos ec2 u du = -cotg
ll
u
A
a
B
~
r
y
~
8
E
E
Z
ç
H
11
0)
8
I
t
K
K
A
À
lambda
M
~
mu
alpha
-
beta
-
gamma
delta
epsilon
zeta
.
.
-
eta
theta
iota
kappa
Letras
-
-
-
-
11
Nomes
N
v
11
nu
•...
•.....
ç
11
xi
o
o
11
omicron
TI
11:
11
pi
P
P
11
rho
L
c
11
sigma
T
r
11
tau
Y
U
<l>
~
11-
phi
X
X
11
chi
II
psi
11
omega
'I'
o
'"
CO
upsilon
Propriedades mecânicas - Valores médios
escoamento
densidade
coeficiente
de dilatação
m6dulode
elasticidade
Futura
Material
103
Aços
--
Aço Ar Cor
Aço Inoxidável
Aço Inoxidável
~
--
Aço A-36
Ferro
301
-
temperado
Fundido
-
",.kg
(10~)~
GPa
I
!
400
200
350
500
200
7,92
280
760
193
7,92
760
1030
193
510 a
103
12,1
990
138
12,1
210 a
103
12,1
410
138
12,1
.
-~
-
-
-
7,21
·C
11,7
250
7,85
7,21
-
MPa
7,85
Compressão
-
I
MPa
11,7
17,3
17,3
Tração
---
Alum{nlo
-.
-.
Alumínio - H12
·
·
-
T4
___
T6
Ligas
2,77
2,77
de cobre
-
Latão
t
t
103
320
500
8,91
290
320
8,84
90
270
Bronze temperado
8,84
280
330
Títaníum
4,54
890
Bronze
Madeiras·
Mole
-
-
o.es s o.eo
0,60 a 1,20
'
=t
I -- ~-
Concreto·
I
l
T
570
220
74,5
72,0
tt
+
t
r
930
-
70
+
470
62
Latão temperado
t
110
8,91
Dura
·
o
2,71
-l
.t.
17,6
17,6
110
110
-
18
18
114
9,5
100 a 125
-
150
T
-
j
ReSistência alto desempenho
2,40 a 2,50
-
Poliéster com Abra de Vidro
1,50 a 1,80
100 a 750
100 a 750
8a 30
Epóxi com Fibra de Carbono
1,60
1500
1500
140
25
f
22,5
117
2,35
50 a 120
22,5
117
Resistência média
25
1
23,5
10,0
30a50
10,0
Polfmero·
Kevlar (Carbono)
1,40
t
1600
t
1600
t
50
-
I
• As propriedades mecânicas da Madeira, do Concreto e dos Potlmeros com fibra apresentam
gama de variações em seus valores, portanto, precisam ser considerados com cautela.
uma grande
.