ceros de funciones - Universitat Politècnica de Catalunya (UPC)

CEROS DE FUNCIONES
Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN)
Universitat Politècnica de Catalunya (UPC)
http://www-lacan.upc.edu
Diseño de un colector solar
Diseño óptimo de un colector solar plano para obtener la
máxima eficiencia energética con el mínimo coste posible
 Existe una distancia óptima entre los conductos del colector
que se obtiene resolviendo la ecuación
Deep Penetrating Anchor
 El DPA (Deep Penetrating Anchor) es un sistema de
anclaje que permite fijar estructuras flotantes al fondo
marino a grandes profundidades.
 Para determinar el ángulo de incidencia de la fuerza
transmitida a la pluma metálica que ejerce el ancla, hay
que resolver la ecuación no lineal
Diseño chimenea de equilibrio con vertedero
Esquema de una central hidroeléctrica
Oscilaciones de nivel en la chimenea
7
Chimenea de equilibrio con vertedero
Idea:
• La altura de la chimenea es menor
• A cambio, se vierte un cierto caudal de agua
¿Cuál es la cota máxima de agua en la chimenea?
8
Chimenea simple (sin vertedero)
Fórmula de
Prasil
Cota inicial
9
Chimenea simple (sin vertedero)
El flujo de agua se detiene para la cota máxima:
10
Chimenea con vertedero
Caudal evacuado por el vertedero
Para la cota máxima, el caudal que circula por la
galería de presión coincide con el caudal vertido:
11
Chimenea con vertedero
12
MÉTODOS ITERATIVOS PARA CEROS DE
FUNCIONES
 Problema a resolver: 1 ecuación con 1 incógnita
 Notación:
solución analítica
cero/raíz de f, no conocida en general, puede haber varias
 Esquema iterativo: Dada una aproximación inicial x0, se
calcula una sucesión de aproximaciones
x0, x1, x2, x3...
hasta obtener un valor xk suficientemente bueno (similar a α).
13
Método de la bisección
Idea
Utilizando el teorema de Bolzano, determinar un intervalo
(tan pequeño como se quiera) que contenga la solución
CEROS DE FUNCIONES · 14
Algoritmo del método de la bisección
Inicialización
1. Contador de iteraciones k = 0
2. Aproximaciones iniciales x0, a tales que f(x0)f(a) < 0
Iteración k
3. Calcular el punto medio del intervalo xk+1 = (xk+a)/2
4. Evaluar la función en la nueva aproximación
5. Si xk+1 es suficientemente buena  Parar
• Si no  Actualización
Actualización
6. Si f(xk+1)f(xk) < 0  a = xk
7. k = k+1
8. Volver a 3
CEROS DE FUNCIONES · 15
Propiedades del método de la bisección
Requisitos
 f continua
 aproximaciones iniciales x0 y a tales que f(x0)f(a) < 0
Características
 convergencia lineal
 robusto (si se verifican los requisitos, podemos asegurar
que el algoritmo converge)
Inconvenientes
 lentitud
 no se tienen en cuenta las características de la función f
CEROS DE FUNCIONES · 16
Método de Newton
Idea:
Aproximar la función por la recta tangente (Taylor de primer
orden) e imponer que la siguiente aproximación sea solución
de la ecuación
Escribiremos
y entonces
Imponiendo que xk+1 sea solución se obtiene
CEROS DE FUNCIONES · 17
Interpretación gráfica del método de Newton
CEROS DE FUNCIONES · 18
Algoritmo del método de Newton
Inicialización
1. Contador de iteraciones k = 0
2. Aproximaciones iniciales x0
Iteración k
3. Evaluar la función f en el punto xk
4. Evaluar la derivada de la función en el punto xk
5. xk+1= xk - f(xk) / f ’ (xk)
6. Si xk+1 es suficientemente buena  Parar
Si no  k = k+1
Volver a 3
CEROS DE FUNCIONES · 19
Propiedades del método de Newton
Requisitos
 f tiene que ser derivable
 la derivada de f tienen que ser siempre diferente de cero
Características
 convergencia cuadrática (si la aproximación inicial es
suficientemente buena y la derivada está bien calculada)
 método caro: en cada iteración se evalúa la función y su
derivada
Inconvenientes
 coste por iteración elevado
 es necesario calcular la derivada de la función
CEROS DE FUNCIONES · 20
Método de la secante
Idea:
Utilizar el esquema del método de Newton aproximando la
derivada de la función por la pendiente de la recta que pasa
por las dos aproximaciones anteriores
En cada iteración, se calcula la aproximación como
El incremento es
donde sk es la pendiente de la recta que pasa per xk y xk-1
CEROS DE FUNCIONES · 21
Interpretación gráfica del método de la secante
CEROS DE FUNCIONES · 22
Algoritmo del método de la secante
Inicialización
1. Contador de iteraciones k = 0
2. Aproximaciones iniciales x0, x1
Iteración k
3. Evaluar la función f en el punto xk
4. Calcular la aproximación de la derivada
5. xk+1= xk - f(xk) / sk
6. Si xk+1 es suficientemente buena  Parar
Si no  k = k+1
Volver a 3
CEROS DE FUNCIONES · 23
CRITERIOS DE CONVERGENCIA
Una sucesión {xk} converge a α si
Dividiendo por α :
Diremos que una aproximación xk es suficientemente buena
si
CEROS DE FUNCIONES · 24
 En la práctica, supondremos que
utilizaremos como criterio de convergencia
y
Para tener en cuenta el caso α=0 se utiliza el siguiente
criterio ampliado
 En algunos casos se puede verificar este criterio aun
estando lejos de la solución del problema. Para evitarlo,
basta tener en cuenta que si es convergente entonces
Por esto, es conveniente utilizar un criterio complementario
CEROS DE FUNCIONES · 25
y
CEROS DE FUNCIONES · 26
Métodos iterativos para resolver F(z) = 0
Controles de convergencia:
y
CEROS DE FUNCIONES · 27
¿Tienen los métodos siempre el mismo comportamiento?
¿Cómo se puede medir lo rápido que es un método?
28
ANÁLISIS DE LA CONVERGENCIA
 Análisis de la convergencia de un método:
• Consistencia
• Convergencia (orden, velocidad)
 Consideramos esquemas iterativos de la forma:
iteración funcional
Las propiedades dependen de la función de iteración
y de la raíz α que se analice.
29
Ejemplo
 Método de Newton
 Función de iteración
30
Consistencia y convergencia
Dado un esquema iterativo
y una raíz
1. Consistencia: se dice que el esquema es consistente si y
sólo si
es un punto fijo de
3. Convergencia:
31
Convergencia
 Convergencia lineal (orden 1)
 Convergencia de orden p>1
(convergencia cuadrática para p=2)
 Convergencia superlineal
32
Velocidad de convergencia
para esquemas lineales
 Esquema iterativo con convergencia lineal
 Iteración k-ésima
con
≠0
 Pregunta: ¿cuántas iteraciones ν más hay que hacer para
conseguir m cifras correctas más?
¿ν tal que
?
33
 Por lo tanto, basta con
donde
velocidad de convergencia
34
Análisis de la convergencia
Objetivo: estudiar la convergencia y el orden de
convergencia de un esquema iterativo
consistente para el cálculo de una raíz
 Si
Asintóticamente
(cerca de la raíz)
35
Si
con
Si
convergencia lineal
no convergente
36
 Si
Si
y
convergencia de orden p
37
Ejemplo convergencia del método de
Newton
Conv. cuadrática
La convergencia es cuadrática cerca de la raíz
38
Aproximación inicial: 4
40
Análisis de la convergencia (2)
Factor asintótico
de convergencia
42
Métodos híbridos
Idea
Combinar:
• La robustez del método de la bisección para acercarse
a la raíz
• La velocidad de los métodos de Newton o secante (o
similares) cerca de la raíz
1. Método híbrido bisección-secante:
Si el paso con método de la secante es muy grande,
se recurre a la bisección
43
Métodos híbridos
2. Método de Brent (función fzero de Matlab)
Combinación de:
• Bisección
• Interpolación cuadrática inversa:
 Tres puntos [a,f(a)], [b,f(b)], [c,f(c)]
 Ajuste de función cuadrática inversa (x función
cuadrática de y)
 se toma su valor en y=0 como siguiente x
Ref.: Numerical recipes (bibliografía asignatura)
44
45