Primer Prototipo Población de Conejos

Transcripción

GRUPO SIMON DE INVESTIGACIONES EN MODELAMIENTO Y SIMULACIÓN
ESCUELA DE INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA
UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
PRIMER PROTOTIPO POBLACIÓN DE CONEJOS
MODELO EN EL LENGUAJE EN PROSA
Si pensamos cómo se ha comportado una población de conejos, pensamos en
cuánta población ha existido en cada momento y si ésta ha venido
aumentando, disminuyendo o ha permanecido estable. Además, si nos
preguntamos qué la ha hecho cambiar, mínimo pensaremos en los nacimientos
y en las muertes naturales.
La anterior reflexión sobre el fenómeno identifica tres elementos
fundamentales: Población
Poblac
(número de conejos en cualquier instante),
Nacimientos (conejos que nacen por unidad de tiempo) y muertes (conejos que
mueren por unidad de tiempo). Dependiendo de cómo se asuman estos tres
elementos, se establecen relaciones de influencia entre los mismos, lo cual se
representa en un esquema denominado Diagrama Causal o de Influencias
(Figura 1).. Generalmente será utilizado el término Influencias, debido a la
amplitud del mismo pues también contiene la causalidad.
Figura 1. Diagrama de Influencias: Primer Prototipo
En la Figura 1 se aprecian dos secuencias cerradas de relaciones de influencia,
es decir, dos bucles o ciclos de realimentación que se leen de la siguiente
manera: el ciclo 1, a más población habrá más nacimientos y a más
nacimientos habrá más población; esta lectura muestra cómo el efecto de la
modificación inicial de la población (más) recorre el ciclo produciendo un
resultado de retorno sobre la variable población, en el mismo sentido al de la
modificación inicial (más). Los ciclos que presentan este efecto de retorno, en
el mismo sentido al de la perturbación inicial, se denominan “ciclos de refuerzo”
o de realimentación positiva y generalmente, explican el crecimiento del
sistema. El ciclo 2: a más población habrá más muertes y a más
ás muertes habrá
menos población; la lectura muestra cómo el efecto de la modificación inicial de
la población (más) recorre el ciclo produciendo un resultado de retorno sobre la
variable población, en sentido contrario a la modificación inicial (menos). Los
ciclos que presentan este efecto de retorno, en sentido contrario a la
perturbación inicial, se denominan “ciclos de control”, compensadores o de
realimentación negativa y explican la tendencia a la estabilidad del sistema.
La lectura de los ciclos o bucles
bucles se basó en las relaciones de influencia ya
descritas entre parejas de elementos, pero no en términos de los signos que
acompañan los extremos de las flechas, las cuales muestran el sentido de la
influencia. Los signos usados son el menos (-) y el más (+): el signo menos
refleja que la relación entre los dos elementos se da en sentido contrario, por
ejemplo: a más muertes de conejos → menos conejos, el efecto contrario a la
modificación inicial le asigna a la relación el carácter de relación de influencia
influen
negativa (-).
). Si leemos cualquiera de las otras parejas de relaciones,
observamos que se influyen con efectos en el mismo sentido, es decir, relación
de influencia positiva (+). Por ejemplo: a más nacimiento de conejos → más
conejos.
Continuando con la
a reflexión sobre el fenómeno que estamos modelando, a fin
de lograr un primer prototipo fácil de entender y que reporte una idea general
de la dinámica poblacional, asumamos que los nacimientos y las muertes se
dan con una tasa de natalidad y una tasa de mortalidad constantes. Es decir,
que por cada conejo (o por cada 100 si es %) nace una cantidad fija cada día,
determinada por la tasa de natalidad (TN: número de conejos que nacen
diariamente por cada conejo existente). Así mismo, por cada conejo (o por
cada 100 si es %) muere una cantidad fija cada día, la tasa de mortalidad sería
TM: número de conejos que mueren diariamente por cada conejo existente.
Obsérvese que lo que se está asumiendo con carácter constante son las tasas
y no los conejos que nacen cada
c
día (N: natalidad), ni los que mueren cada día
(M: mortalidad), cantidades que dependen de las tasas y de la Población
existente en el momento del cálculo.
MODELO EN EL LENGUAJE DE FLUJOS-NIVELES
FLUJOS
En el modelo conceptual planteado (Modelo en prosa y diagrama de
influencias), se concibe una población de conejos que se acumula como
resultado de la dinámica de nacimientos (entradas) y muertes (salidas). Es
decir, en este modelo existe una variable medible en cualquier instante de
tiempo, que acumula el resultado
resultado de las dos acciones, nacimientos y muertes
de conejos. La variable que acumula se denomina en la D.S “nivel”, y la que
genera el cambio sobre el nivel se denomina “flujo”, cada una de ellas se dibuja
y se relaciona
a como se aprecia en la Figura 2.
2 En este caso existe un nivel,
Población (P) y sus flujos de nacimientos (N) y muertes (M).
Figura 2: Diagrama de Flujo-Nivel.
Flujo Nivel. Primer Prototipo
Además de los flujos y el nivel, la Figura 2 incluye tres elementos más de la
D.S para construir los diagramas
diagram de flujo-nivel:
nivel: los elementos constantes, Tasa
de Natalidad (TN) y Tasa de Mortalidad (TM), los cuales se denominan
parámetros; éstos son valores constantes durante toda la simulación y sólo es
posible modificarlos de un escenario a otro. Las líneas gruesas que unen los
flujos con los niveles se denominan “canales de material”, es decir, todo aquello
cuya medición de acumulación se registra en los niveles, independientemente
de que realmente sea algo físico (propiamente material) o algo intangible. Las
líneas delgadas que llevan a una variable la información necesaria para su
cálculo, como en este caso a los flujos, se denominan “canales de información”.
En términos generales a los niveles les llega “material”, determinado por los
flujos, y la información
ión “viaja” hacia los flujos para determinar sus valores. En
este primer modelo se asume que pueden nacer indefinidamente y no interesa
el destino de los que mueren. Para representar estas fuentes y sumideros
anónimos con capacidad ilimitada, se utilizan los
l símbolos en forma de “nubes”.
MODELO EN EL LENGUAJE DE ECUACIONES
Trabajando con un software para la DS, como EVOLUCION, la formulación de
las ecuaciones se inicia con la construcción del diagrama de Flujo-Nivel
Flujo
y
continúa con la definición de los elementos
elementos variables del modelo.
Nivel (Figura 2),
2), nos expresa que: la población que
El diagrama de Flujo-Nivel
tendremos pasado un periodo de tiempo denominado delta t (∆t),
( t), será igual a la
población que se tiene inicialmente más los que nacen y menos los que
mueren en ese periodo; esto se puede representar con la siguiente ecuación:
P(t+∆t) = P(t) + (N(t) – M(t)) * ∆t (Ecuación 1)
El modelador no tiene que escribir directamente la ecuación 1; la escribe
cuando dibuja el diagrama de Flujo-Nivel
Flujo
y es la que el software usará para ir
calculando los valores de la población en cada ∆t,
t, (por ejemplo, cada día). ∆t
corresponde al intervalo de tiempo con el cual se van registrando los eventos
del fenómeno simulado. Este delta de tiempo debe ser seleccionado de tal
forma
rma que se garantice la exactitud numérica en los cálculos y la apreciación de
los eventos del fenómeno. El ∆tt corresponde a lo que se denomina “paso de
simulación o de integración” y debe dar cobertura, o permitir el registro, al
evento significativo de mayor
mayor velocidad considerado en el modelo.
El diagrama de Flujo-Nivel
Flujo Nivel también nos indica que para calcular los
nacimientos sólo se requiere la información del valor de la tasa de natalidad y
la población en ese momento. Esto indica que nacimientos (N) es función
fu
de la
tasa de natalidad (TN) y de la Población (P), lo cual lo podemos escribir así:
N(t)=ƒ(TN,P(t))
Igualmente podemos expresar que M(t)= ƒ (TM,P(t)). Por otra parte, mediante
el diagrama de influencias y por la definición que ya se planteó para la
Natalidad (N) y para la Mortalidad (M), se está asumiendo que las dos son
directamente proporcionales a la población. Esto se puede escribir como:
N(t) = TN * P(t) (Ecuación 2)
M(t) = TM * P(t) (Ecuación 3)
Las ecuaciones 1, 2 y 3 definen plenamente el primer prototipo de modelo,
recordemos que la ecuación 1 la escribe el software cuando dibujamos el
diagrama de flujo-nivel
nivel y las ecuaciones 2 y 3, las escribe el modelador al
definir con el software las variables de nacimientos (N) y Muertes (M).
COMPORTAMIENTO
AMIENTO DEL FENÓMENO SIMULADO POR EL MODELO
Para un modelo elemental existen dos maneras de formular sus posibles
comportamientos, es decir, de simular los comportamientos del fenómeno
apoyados en el modelo: mediante simulación mental y con la ayuda del
computador.
Teniendo en cuenta el fenómeno de estudio y el prototipo formulado, podemos
pensar: si se dan unas condiciones tales que desde el principio nazcan más de
los que mueren, es decir TN > TM, la población crecerá y crecerá
indefinidamente, haciéndolo
hacién
cada vez más rápido, como manifestación del
dominio del ciclo positivo de realimentación (Figura 3),
), es decir, presenta un
crecimiento exponencial positivo. Por el contrario, si la TN < TM, es decir, que
nacen menos de los que se mueren, domina el ciclo
ciclo de realimentación negativa
(Figura 3) y la población se irá acabando lentamente. Además, si TN = TM,
TM es
decir, si nace la misma cantidad que muere, la población permanecerá
constante, no variará en cantidad. Estos comportamientos describen lo que
llamamos
os el modo de referencia y nos serán útiles para evaluar los
comportamientos que nos brinde el computador.
Lo anterior nos permite afirmar que los tres posibles comportamientos,
cualitativamente diferentes, son los que se aprecian en la Figura 3. Y de cada
uno de éstos se puede presentar infinito número cuantitativamente diferentes,
es decir, son posibles infinitas situaciones de crecimiento, de decrecimiento y
de estabilidad.
Figura 3: Modo de referencia Prototipo 1
Población
Crecimiento
Estable
Decrecimiento
Tiempo
Para la simulación con el computador se usa el software EVOLUCIÓN, el
modelo y un escenario, es decir, unas condiciones bajo las cuales se
desarrollará la simulación. Esas condiciones están dadas principalmente por el
valor
alor inicial de los niveles, en este caso la Población y el valor de los
parámetros (TN y TM).
Simulación de ejemplo:
Escenario:
Población inicial: P (0) = 2 conejos
Tasa de Natalidad: TN = 0.02 1/día
Tasa de Mortalidad: TM = 0.01 1/día
Otras condiciones de simulación:
∆tt = 1 día, Tiempo inicial = 0; tiempo Final = 100 días
La Figura 4 se obtuvo al realizar la solución numérica o simulación
correspondiente.
Figura 4:
4 Crecimiento Poblacional - Prototipo 1
Con el software EVOLUCIÓN se puede observar el comportamiento de
cualquiera de los elementos del modelo; por ejemplo, de los dos flujos del
prototipo, donde se aprecia que, para el caso de crecimiento poblacional, los
nacimientos siempre son más numerosos
numero
que las muertes. Además el software
facilita el uso de un recurso que se denomina análisis de sensibilidad por
parámetros. Con éste, podemos ver cómo se comporta el modelo frente a las
modificaciones de sus parámetros. La Figura 5 es el resultado de un análisis de
sensibilidad, por parámetros, que asume inicialmente el escenario de
crecimiento ya descrito y para las dos siguientes simulaciones incrementa la
tasa de mortalidad (TM) en un valor de 0.01. En la gráfica se aprecia un caso
de cada uno de los tres comportamientos cualitativamente diferentes que ya se
trataron.
Figura 5: Análisis de Sensibilidad – Prototipo 1

Primer Prototipo Población de Conejos

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