Práctica 3: Lógica Clásica de Primer Orden. Tableaux. Igualdad.
Transcripción
Práctica 3: Lógica Clásica de Primer Orden. Tableaux. Igualdad.
LÓGICA, curso 05/06 Práctica 3: Lógica Clásica de Primer Orden. Tableaux. Igualdad. 1. Demuestra: a) ∀xP (x) |= P (a) ∧ P (b) b) P (a) ∨ P (b) |= ∃xP (x) c) ∀x(P (x) ∨ Q(x)) , ¬∃xP (x) |= ∀xQ(x) d ) ∀x¬R(x) , P (a) , ∀x(P (x) −→ R(x) ∨ Q(x)) |= ∃xQ(x) e) ∀x∀y(P (x, y) −→ Q(x, y)) , ∀x∃y¬Q(x, y) |= ∀x∃y¬P (x, y) 2. Demuestra (basta que resuelvas uno o dos apartados): a) |= ∀xP (x) ∨ ∀xQ(x) −→ ∀x(P (x) ∨ Q(x)) b) |= ∃x(P (x) ∧ Q(x)) −→ ∃xP (x) ∧ ∃xQ(x) c) |= ∀xP (x) ∧ ∀xQ(x) ←→ ∀x(P (x) ∧ Q(x)) d ) |= ∃x(P (x) ∨ Q(x)) ←→ ∃xP (x) ∨ ∃xQ(x) 3. Demuestra las siguientes equivalencias: a) ∀x ( ∃y L(x, y) −→ ∀y L(y, x) ) ≡ ∀x ∀y ∀z ( L(x, y) −→ L(z, x) ) b) ∀x ¬B(x, x) ≡ ∀x ∀y ( B(x, y) −→ x 6= y ) 4. Estudia si son insatisfactibles los siguientes conjuntos de fórmulas: a) {∀x∀y(S(x) ∧ T (y) → P (x, y)), ∃x(T (x) ∧ ¬P (a, x)), T (a), ¬∃x(T (x) ∧ ¬S(x))} b) {∀x∀y(P (x) ∨ P (y) → x = y), ¬∀x(x = b ↔ P (x)), P (b)} 5. Demuestra la siguiente equivalencia, que representa dos formas distintas (sintácticamente) de formalizar “existe un único x que satisface P (x)”: ∃x P (x) ∧ ¬∃x ∃y (P (x) ∧ P (y) ∧ ¬ x = y) ≡ ∃x ∀y (x = y ←→ P (y)) 6. Formaliza el siguiente razonamiento y preueba su validez: P1: Pedro es miope. P2: Cuando alguien es miope o su padre o su madre también lo es. P3: Todo el mundo ama a su padre y a su madre. Q: Algún miope es amado por alguien 1 7. Se dice que una relación binaria R es circular cuando: ∀x∀y∀z(R(x, y) ∧ R(y, z) → R(z, x)) Demostrar que si R es reflexiva y circular entonces R es de equivalencia. 8. Demuestra: a) |= ∀x∃y f (x) = y b) |= ∀x∀y (x = y −→ f (x) = f (y)) c) |= ∀x∀y (x = y ∧ P (x) −→ P (y)) d ) a = b |= f (a) = f (b) e) a = f (b) , b = f (c) |= a = f (f (c)) f ) ∀x f (a) = x |= ∀x f (x) = a g) ∀x∀y x = y |= ∀x f (x) = x h) ∀x g(f (x)) = x |= ∀x∀y(f (x) = y −→ g(y) = x) i ) |= P (f (a)) ←→ ∃y(y = f (a) ∧ P (y)) j ) |= ∀x∀y∀z(y = f (x) ∧ z = f (x) −→ y = z) k ) |= ∀x∃y∀z(f (x) = z ←→ z = y) l ) ∃x∃y(R(x, y) ∧ ∀z(z = x ∨ z = y)) |= ∀x ∀y(x = y ∨ R(x, y) ∨ R(y, x)) m) ∀x∀y(F (x) ∧ F (y) −→ x = y) , ∀x(F (x) −→ ∃y(G(y, x) ∧ ¬G(x, y))) |= ∀x(F (x) −→ ∃y¬F (y)) 9. Demuestra que la igualdad es una relación de equivalencia (reflexiva, simétrica y transitiva). 2