MODELO DEL CICLO DE EXISTENCIAS DE METZLER

MODELO DEL CICLO DE EXISTENCIAS DE METZLER

MODELO DEL CICLO DE
EXISTENCIAS DE METZLER
Albany Pérez Hernández.
Yaiza B. García Corbal.
RESEÑA HISTORICA:
Lloyd Metzler (1913-1980) fue el pionero en investigar formalmente las consecuencias que se tenían en el proceso
productivo ante los esfuerzos de los empresarios para mantener sus niveles de existencias, a través de variaciones
apropiadas en la producción.
La idea esencial de Meztler era que los productores desean guardar la acción del inventario como cierta proporción de
ventas previstas pero confiando en retrasos entre la producción y las ventas similares.
HIPÓTESIS TEÓRICAS-ECONÓMICAS DEL MODELO:
En este modelo vamos a suponer que el producto del período es la suma de los bienes de consumo y de inversión
producidos, siendo el volumen de éstos últimos una constante exógena. El volumen total de bienes de consumo se
compone de dos partes:
-
La producción que normalmente debe venderse, de acuerdo con las expectativas de ventas de los productores.
-
La producción que se destina a mantener las existencias a su nivel deseado (inversión en existencias).
Sin embargo, este nivel de existencias (stock) puede ser negativo, es decir, puede ocurrir que las empresas
produzcan menos de lo que esperan vender, cubriendo la diferencia mediante la reducción deseada de existencias
(siempre supondremos que hay suficiente stock acumulado para satisfacer el exceso de demanda).
Desde luego, estas expectativas pueden no ser exactas, es decir, las ventas reales pueden no coincidir con las ventas
esperadas, suponiendo esta diferencia una “variación no deseada de existencias”.
También hay que tener en cuenta que las ventas reales coinciden con la demanda de consumo del período que no
debe ser confundida con la producción de bienes de consumo, ya que en el modelo de Meztler la producción total y
la demanda de bienes de consumo, pueden ser distintas.
Estas son las características generales de las cuales se pueden obtener un gran numero de modelos distintos según los
supuestos concretos que se formulen en torno a la formación de
FORMULACIÓN MATEMÁTICA:
1) El producto total (Yt) en un período se corresponde con la suma de los bienes de consumo que
normalmente debe venderse- de acuerdo con las expectativas de ventas de los productos- (Ut), los bienes
de consumo destinados a mantener las existencias al nivel deseado (St) y los bienes de inversión (V0)
producidos en el mismo.
2) La producción de bienes de consumo destinados a la venta (Ut) depende de la demanda que tengan estos,
y ésta a su vez, depende proporcionalmente de la producción total en el período anterior.
“b” es la propensión al consumo por parte de los individuos.
3) Los productores desean mantener unas existencias (St) proporcionales
uno) a la variación observada en las ventas de bienes de consumo.
Siendo k el “acelerador de existencias (k>0)
(además con proporción mayor que
Ut – Ut-1 = b Yt-1 – b Yt-2 = b (Yt-1 – Yt-2)
St = (1+k) [b (Yt-1 – Yt-2)]
RESOLUCIÓN Y ANÁLISIS DEL MODELO.
Con la ecuacion principal del modelo vamos a estudiar el
comportamiento de la variable dándole valores a b y a k, los
cuales deben ser: 0<b<1 y k >0
Estudiamos, con ella la convergencia suponiendo una renta inicial de Y0=400; y una renta en el punto Y1=420.
RSolve[y[t] -( 2 + k)b y [t-1] + (1+k)b y[t-2] V, y[t], t]
::y@tD ®
V
-t
1- b
b=1/2
k= 1/3
V=77
 !!!! "############################################2 t
 !!!! "############################################ t
-t
-4 + 4b - 4k + 4 bk + bk N C@1D + 2 J2b + bk + b - 4 + 4b - 4k + 4bk + bk2 N C@2D>>
+ 2 J2 b + b k - b
1
2
1
3
77
Clear[y]
RSolve[{y[t] -( 2 + k)b y [t-1] + (1+k)b y[t-2]
V,y[0]==400,y[1]420}, y[t], t]
::y@tD ®
2 -t2 i
j
t2
t2
j
3
j
j3619 3 + 5781 2 CosBt ArcTanB
47
k
99 y@t_D =
::
 !!!!!!
i
2 -t2 j
t2
t2
j
3
j
CosAt ArcTanA
j3619 3 + 5781 2
47
k
i
2 -t2 j
t2
t2
j
3
+ 5781 2
CosBt ArcTanB
j
j3619 3
47
k
 !!!!!!
47
t2  !!!!!!
FF + 735 2
47 SinBt ArcTanB
7
 !!!!!!
 !!!!!!
47
 !!!!!!
EE + 735 2t2 47 SinAt ArcTanA
7
47
t2  !!!!!!
FF + 735 2
47 SinBt ArcTanB
7
 !!!!!!
y
47
z
FFz
z
z>>
7
{
 !!!!!!
y
47 z
EEz
z
z==
7
{
y
47
z
FFz
z
z>>
7
{
ComplexExpand [%]
Limit[y[t],t]
154
V
1- b
154
m= Table [{t , y[t]}, {t, 0, 30}]//N
{{0.,400.},{1.,420.},{2.,300.333},{3.,147.389},{4.,48.7315},
{5.,35.5941},{6.,86.0388},{7.,153.649},{8.,198.898},{9.,206.615},
{10.,185.452},{11.,155.617},{12.,134.919},{13.,130.66},
{14.,139.491},{15.,152.633},{16.,162.077},{17.,164.335},
{18.,160.673},{19.,154.895},{20.,150.595},{21.,149.431},
{22.,150.94},{23.,153.475},{24.,155.428},{25.,156.016},
{26.,155.4},{27.,154.289},{28.,153.404},{29.,153.112},
{30.,153.361}}
ListPlot [m , PlotJoinedTrue, PlotRange {0, 500}]
500
400
300
200
100
5
10
15
Graphics
20
25
30
Estudio de la convergencia en el Caso 2:
En este segundo caso la damos nuevos valores a b y a k.
Clear [y]
RSolve[y[t] -( 2 + k)b y [t-1] + (1+k)b y[t-2] V, y[t], t]
::y@tD ® 154 + J
3 t2
1
3 t2
1
N
C@2D CosBt ArcTanB
FF + J N
C@1D SinBt ArcTanB
FF>>
 !!!!
 !!!!
2
2
2
2
b=4/5
k= 2
V=77
4
5
2
77
Clear[y]
RSolve[{y[t] -( 2 + k)b y [t-1] + (1+k)b y[t-2]
V,y[0]400,y[1]420}, y[t], t]
88y@tD ® 2
5 H-5 3 + 17 5 + 77 2 5 L<<
99 y@t_D = 2-2+t 51-t I-5 3t + 17 5t + 77 22-t 5tM==
-2+t 1-t
882
-2+t 1-t
5
t
t
H-5 3 + 17 5 + 77 2
t
t
2-t t
5 L<<
2-t t
m= Table [{t , y[t]}, {t, 0, 20}]//N
880., 400.<, 81., 420.<, 82., 461.<, 83., 544.2<, 84., 712.04<, 85., 1049.45<, 86., 1726.34<, 87., 3082.61<,
88., 5798.13<, 89., 11232.8<, 810., 22106.3<, 811., 43858.6<, 812., 87369.3<, 813., 174398.<, 814., 348465.<,
815., 696609.<, 816., 1.39291 ´ 10 <, 817., 2.78553 ´ 10 <, 818., 5.57078 ´ 10 <, 819., 1.11413 ´ 10 <, 820., 2.22824 ´ 10 <<
6
6
6
7
7
ListPlot [m , PlotJoinedTrue, PlotRange {0, 5000}]
5000
4000
3000
2000
1000
5
10
Graphics
15
20
Estabilidad:
Cambiamos el orden de la ecuación principal obteniendo:
y[t+1]z[t]
z[t+1] == - (1+k)b y[t]+( 2 + k)b z [t]+ V
La estudiamos con el caso 1 y obtenemos que los modulos son
menores que 1, así llegamos a decir que la EDF es asintóticamente
estable.
A= J
0
- H1 + kL b
1
H 2 + kL b
2 7
:80, 1<, :- , >>
3 6
N
Con el segundo caso obtenemos, después de cambiar el orden:
A= J
0
- H1 + kL b
1
H 2 + kL b
12 16
:80, 1<, :,
>>
5
5
N
Eigenvalues[A]
:2,
6
>
5
Abs[%]
:2,
6
>
5
Obtenemos que es sistema es asintóticamente estable.
CONCLUSIONES ECONÓMICAS.
En el modelo sencillo de Metzler, donde considera las expectativas de tipo ingenuo, tenemos que, puesto que la
propensión al consumo es menor que la unidad, la condición de estabilidad esencial es que
1
b<
1+ k
Cuando estudiamos dos casos posibles que Gandolfo establece teóricamente –suponiendo que las producciones
totales de los dos primeros períodos son 400 y 420 respectivamente- observamos que:
-
-
1
, y donde suponemos por tanto que b toma valor 1/2, k igual a 1/3 y V
1+ k
igual a 77, se observa un comportamiento oscilante y convergente, es decir, que la producción total en los
primeros períodos presenta fuerte oscilaciones que con el transcurso del tiempo irán disminuyendo convergiendo
así a una cantidad que en nuestro caso particular estará próximo a 100.
4(1 + k )
Para el segundo caso, b ≥ ( 2 + k ) 2 , donde suponemos que b, k y V toman los valores de 4/5, 2 y 77
respectivamente, no tiene sentido económico, puesto que se observa un comportamiento monótono y divergente.
Para el primer caso, b <
Es interesante observar que no puede existir un movimiento monótono estable; la estabilidad sólo puede adoptar la
forma de oscilaciones atenuadas. Obsérvese también que cuanto menor sea la relación que los fabricantes desean
mantener entre existencias y ventas, más probable es que tenga lugar un movimiento estable.
VARIANTE DEL MODELO.
Añadimos el parametro r que ha de ser distinto de cero ya que sino
tendriamos el modelo anterior
Clear[y,b,k,r]
RSolve [y[t]-b[(1+k) (1+r)+1] y[t-1] + b(1+k) (1+2 r) y[t-2] (1+k)b r y[t-3]V,y[t], t]
::y@tD ®
77
t
2
3
+ C@1D Root@- b r - b k r + b #1 + b k #1 + 2 b r #1 + 2 b k r #1 - b@1 + H1 + kL H1 + rLD #1 + #1 &, 1D +
1 + b + b k + b r + b k r - b@1 + H1 + kL H1 + rLD
C@2D Root@-b r - b k r + b #1 + b k #1 + 2 b r #1 + 2 b k r #1 - b@1 + H1 + kL H1 + rLD #12 + #13 &, 2D +
t
C@3D Root@-b r - b k r + b #1 + b k #1 + 2 b r #1 + 2 b k r #1 - b@1 + H1 + kL H1 + rLD #1 + #1 &, 3D >>
2
3
t
b=0.8
k=1
r=1
V=77
0.8
1
1
77
RSolve [{y[t]-b((1+k) (1+r)+1)y[t-1] + b(1+k) (1+2 r) y[t-2] (1+k)b r y[t-3]v, y[0]400, y[1]420, y[2]==450},y[t], t] //
Simplify
88y@tD ® 385. - 9.45288 0.552786 + 15.7029 1.44721 + 8.75 2. <<
t
t
t
88 y@t_D = 384.99999999999875` - 9.45288237343588`0.5527864045000419`t + 15.702882373437449`1.4472135954999583`t + 8.749999999999684`2.`t <<
88385. - 9.45288 0.552786 + 15.7029 1.44721 + 8.75 2. <<
t
t
t
m= Table [{t , y[t]}, {t, 0, 20}]//N
880., 400.<, 81., 420.<, 82., 450.<, 83., 501.<, 84., 593.<, 85., 764.2<, 86., 1089.<, 87., 1713.64<,
88., 2927.08<, 89., 5302.25<, 810., 9977.83<, 811., 19220.9<, 812., 37550.5<, 813., 73983.2<, 814., 146521.<,
815., 291123.<, 816., 579639.<, 817., 1.15568 ´ 10 <, 818., 2.30632 ´ 10 <, 819., 4.60553 ´ 10 <, 820., 9.20093 ´ 10 <<
6
6
6
6
ListPlot [m , PlotJoinedTrue, PlotRange {0, 5000}]
5000
4000
3000
2000
1000
5
Graphics
10
15
20
2º CASO
b=1/2
k= 1/3
r=0.5
V=77
1
2
1
3
0.5
77
Clear[y]
RSolve [{y[t]-b((1+k) (1+r)+1)y[t-1] + b(1+k) (1+2 r) y[t-2] (1+k)b r y[t-3]V, y[0]100, y[1]220, y[2]250},y[t], t] //
88y@tD ® 154. - 45.1 0.36168 - 8.90001 0.960014 [email protected] tD + 113.022 0.960014 [email protected] tD<<
Simplify
t
t
t
154. - 45.1 0.36168t - 8.90001 0.960014t [email protected] tD + 113.022 0.960014t [email protected] tD
y[t_]=(y[t]/.%)[[1]]
m= Table [{t , y[t]}, {t, 0, 100}]//N
{{0.,100.},{1.,220.},{2.,250.},{3.,192.},{4.,105.},{5.,61.8333},
{6.,93.75},{7.,170.181},{8.,227.882},{9.,223.166},{10.,164.633},
{11.,102.355},{12.,85.4116},{13.,123.521},{14.,182.518},
{15.,214.553},{16.,196.645},{17.,146.737},{18.,106.43},
{19.,106.543},{20.,143.821},{21.,186.151},{22.,199.979},
{23.,176.708},{24.,137.474},{25.,114.259},{26.,123.994},
{27.,156.469},{28.,184.465},{29.,186.404},{30.,162.808},
{31.,134.162},{32.,123.301},{33.,137.337},{34.,163.326},
{35.,179.972},{36.,174.97},{37.,153.934},{38.,134.598},
{39.,131.975},{40.,146.81},{41.,166.114},{42.,174.416},
{43.,166.075},{44.,148.93},{45.,137.099},{46.,139.435},
{47.,152.996},{48.,166.281},{49.,168.905},{50.,159.648},
{51.,146.693},{52.,140.476},{53.,145.34},{54.,156.606},
{55.,164.948},{56.,164.06},{57.,155.362},{58.,146.278},
{59.,143.955},{60.,149.682},{61.,158.343},{62.,162.922},
{63.,160.154},{64.,152.783},{65.,146.942},{66.,147.088},
{67.,152.637},{68.,158.818},{69.,160.741},{70.,157.233},
{71.,151.467},{72.,148.137},{73.,149.66},{74.,154.464},
{75.,158.527},{76.,158.726},{77.,155.207},{78.,151.019},
{79.,149.494},{80.,151.618},{81.,155.441},{82.,157.836},
{83.,157.038},{84.,153.923},{85.,151.112},{86.,150.784},
{87.,153.},{88.,155.826},{89.,157.},{90.,155.732},{91.,153.207},
{92.,151.5},{93.,151.886},{94.,153.897},{95.,155.831},
{96.,156.179},{97.,154.793},{98.,152.894},{99.,152.01},
{100.,152.754}}
ListPlot [m , PlotJoinedTrue,PlotRange{0,300}]
300
250
200
150
100
50
20
Graphics
40
60
80
100
Observamos en la gráfica que la producción se comporta de manera
oscilante y cíclica hasta llegar a obtener una estabilidad. Los
productores deciden producir de manera que les queda stock en
almacén, la siguiente vez reducen la producción y deciden “tirar”
de los productos en stock y así sucesivamente hasta llegar a la
producción estable.
Cambiamos el orden de la ecuación de orden 3 que se obtiene al
introducir la variante r:
y[t+1]=x[t]
x[t+1]=z[t]
z[t+1]== (1+k)b r y[t]- b(1+k) (1+2 r) x[t] +b((1+k) (1+r)
+1)z[t]+V
i
j
0
1
0
y
z
z
z
0
0
1
z
z
H
1
+
k
L
b
r
b
H
1
+
k
L
H
1
+
2
r
L
b
HH
1
+
k
L
H
1
+
r
L
+
1
L
k
{
j
A= j
j
j
{{0,1,0},{0,0,1},{0.2,-0.6,0.5}}
Eigenvalues[A]
{0.0683005 +0.738711 ,0.0683005 -0.738711 ,0.363399}
Abs[%]
{0.741862,0.741862,0.363399}
BIBLIOGRAFÍA
. Métodos y modelos matemáticos de la dinámica económica. Editorial Tecnos, S.A.
.González C y Barrios, J.A. Análisis Discreto en Economía y Empresa, Ed. AC Madrid 2000.
.Internet.