CURVAS CÍCLICAS

CURVAS CÍCLICAS
Son curvas lugares geométricos de las posiciones de un punto de una circunferencia que rueda sin resbalar sobre una recta o sobre
otra circunferencia.
A las curvas cíclicas también se les denomina mecánicas por sus aplicaciones en el diseño de piezas.
En las curvas cíclicas interviene dos elementos:
* Ruleta (o generatriz): Es la curva (círculo o circunferencia que rueda) móvil.
* Base (o directriz): Es la curva o recta fija, el camino sobre el que rueda la ruleta..
Si tomamos un punto relacionado de forma invariable con la ruleta (siempre se encuentra en la misma posición respecto a ésta) y
trazamos su trayectoria durante el movimiento de la ruleta sobre la base, la curva obtenida se denomina curva técnica.
La base y la ruleta son siempre una circunferencia o una recta.
Si la ruleta es circular podrá ser exterior o interior a la base según donde se produzca el rodamiento.
Si la ruleta es una recta será siempre exterior.
CICLOIDE. (Ilustración nº 1)
6
7
5
8
O0
O1
O2
O3
4
O4
O5
O6
O7
9
0'
1'
2'
3'
4'
O8
O9 O10 O11 O12
2
5'
6'
12
7'
8'
9'
10'
11'
12'
CICLOIDE NORMAL
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
CICLOIDE ALARGADA
P7'
P7
P7''
O0
O1
O2
O3
O4
O5
O6
O7
O8
0'
1'
2'
3'
4'
5'
6'
7'
8'
CICLOIDE ACORTADA
ILUSTRACIÓN Nº 1
P8'
P8''
O9 O10 O11 O12
9'
10'
11'
12'
Es una curva plana, lugar geométrico
de las posiciones de un punto de una
circunferencia que rueda, sin resbalar,
sobre una recta. La recta se denomina
directriz y la circunferencia ruleta o
generatriz.
Para trazarla rectificamos la circunferencia y dividimos dicha recta y la circunferencia en un mismo número de
partes (12). Disponemos la rectificación respecto a la circunferencia de
manera que quede tangente por su punto medio.
Trazando una paralela a la rectificación
por el centro de la circunferencia y
levantando perpendiculares a la rectificación por cada una de sus divisiones,
obtenemos los centros de circunferencia (O0, O1,O2..) de igual radio que la
original.
Por cada una de las divisiones de la
circunferencia (7-5, 8-4...) se trazan
paralelas a la rectificación cortando a
cada circunferencia en un punto, la
intersección de cada curva con su paralela correspondiente determinará los
puntos de la cicloide. Para trazar la
cicloide alargada y acortada se suma
una distancia cualquiera al segmento
formado por un punto de la cicloide
normal, por ejemplo P7, y su centro
correspondiente (O7) obteniendo dos
puntos, P7' y P’‘ que pertenecen a la
cicloide alargada y acortada respectivamente. Los demás puntos de las dos
cicloides se determinan de igual forma.
EPICICLOIDE. (Ilustración nº 2
O6
O5
O7
O3
8'
9'
3'
10'
2'
1
11'
1'
12'
12
7
O12
O
6
El ángulo central que delimita el desarrollo de la ruleta se determina aplicando la fórmula:
O11
2
O1
7'
0
O1
O2
O9
5
6'
5'
4'
3
4
Es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto de una
circunferencia que rueda exteriormente, sin resbalar, sobre otra circunferencia. La circunferencia que rueda se llama generatriz o ruleta (radio r) y
aquella sobre la que rueda, circunferencia directriz (radio R).
O8
O4
O'
2R 2r
R
r
r


     360º
360º

360º 
R
11
8
10
9
siendo r el radio de la ruleta y R el radio de la circunferencia directriz.
Para trazar la epicicloide empleamos el siguiente método:
EPICICLOIDE
ALARGADA
EPICICLOIDE
NORMAL
EPICICLOIDE
ACORTADAP'5
P''7
P''5
O6
O5
O7
O8
P8
P'8
O2
6'
5'
7'
8'
9'
O1
3'
10'
2'
11'
1'
12'
P'
4º) Centrando en O’ trazar arcos que pasen por las divisiones de la circunferencia (1, 2, 3,...), estos arcos cortarán a las circunferencias
auxiliares (P5.. P7...) determinando así los puntos de la epicicloide.
La epicicloide alargada y acortada se obtiene aplicando el mismo
método que en el caso de la cicloide.
O12
P
3º) Los puntos anteriormente determinados (O1, O2, O3, ..) Son los
centros sucesivos que ocupará la circunferencia generatriz.)
0
O1
4'
O
P''8
O9
O3
O4
P''
2º) Unimos el centro de la circunferencia directriz (O’) con los puntos
anteriores mediante rectas y centrando en O’ se traza un arco de
magnitud O O’ que cortará a las prolongaciones de las rectas anteriores en O1, O2, O3.
P'7
P7
P5
O'
ILUSTRACIÓN Nº 2
4'
6'
5'
7'
HIPOCICLOIDE (Ilustración nº 3)
8'
9'
3'
10'
2'
1º) Dividimos la circunferencia generatriz en un número cualquiera de
partes iguales (12 en la ilustración nº 2), rectificando una de las
divisiones y transportándola sobre la circunferencia directriz se
obtienen los puntos 1', 2', 3',.......
1'
11'
12'
Es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto de una
circunferencia que rueda interiormente, sin resbalar, sobre otra circunferencia. La circunferencia que rueda se llama generatriz o ruleta y aquella
sobre la que rueda, circunferencia directriz.
Para calcular el ángulo del arco directriz aplicamos la fórmula de la Epicicloide.
2R 2r
R
r
r


     360º
360º

360º 
R
Rs
4'
5'
6'
7'
8'
9'
3'
10'
2'
O6 O7
P'
1'
P
O9
P''
O1
m
Obtenida la rectificación de la circunferencia generatriz se traslada sobre
el arco directriz y se procede de idéntico modo al explicado en el método
de la epicicloide con la única diferencia que el trazado se realiza interiormente a la directriz.
n
P10
P''7
P6
P'6
11'
P7
12'
P'7
HIPOCICLOIDE
ALARGADA
HIPOCICLOIDE
ACORTADA
HIPOCICLOIDE
NORMAL
ILUSTRACIÓN Nº 3
La hipocicloide alargada y acortada se obtiene aplicando el mismo método
que en el caso de la cicloide.