capitulo 2 – procesos estocasticos, definiciones, tipos de procesos

Transcripción

Universidad de Mendoza
Dr. Ing. Jesús Rubén Azor Montoya
Análisis de Señales
FUNCIONES ALEATORIAS
Una variable aleatoria se define como una función que representa gráficamente el
resultado de un experimento a los números reales, esto es, X(), donde  es un elemento
del espacio muestral .
Si la variable aleatoria es a su vez función de otra magnitud (por ejemplo, el tiempo)
entonces se llama PROCESO ESTOCASTICO.
Más formalmente, un proceso estocástico es una función de dos variables t y .
X(t,)
tT
y

Donde T es un conjunto de parámetros índice (continuos o discretos) y  es el
espacio muestral.
Hay cuatro posibilidades para X( . , . ):
1) Para cualquier t, 

2) Para t variando y  fija, i
3) Para  variando y t fija, t ti
4) Para t y  fijas, i y t ti
X(t,) es una función aleatoria.
X(t,i) es una función del tiempo o realización.
X(ti,) es una función variable aleatoria.
X(ti,) es un número.
En la práctica hay magnitudes aleatorias que varían sus valores en el proceso del
experimento. La magnitud aleatoria que cambia su valor en el proceso de una prueba
representa una función aleatoria.
Se puede dar la siguiente definición general: Se llama función aleatoria a aquella
cuyo valor, para cada valor del argumento (o de los argumentos) es una variable
aleatoria.
Cada función concreta que puede ser registrada durante una sola observación de la
función aleatoria se llama realización de la misma.
Si se repiten las pruebas se obtienen diferentes realizaciones de la función aleatoria.
Debido a la naturaleza estocástica de las funciones muestras (realizaciones), las
propiedades de una colección de realizaciones son descriptas sólo en un sentido estadístico.
EJEMPLO DE FUNCIÓN ALEATORIA
Supóngase que se está registrando la potencia eléctrica, mediante un vatímetro,
durante las 24 horas del día a la entrada de un consumo (por ejemplo, antes del tablero de
entrada de la Universidad de Mendoza).
Si cada medida ha sido realizada en intervalos de 10 minutos, al final del día se
habrán logrado 144 lecturas de potencia conformando un vector fila de 144 elementos.
Si los registros se repiten día a día durante un año, se habrán logrado 360 de estos
vectores fila, que apilados uno debajo del otro conformarán una matriz de dimensión
360x144.
Conforme a lo expresado en el punto anterior, cada fila está expresando una
variación de t (mantenida  constante, esto es en cada instante ocurrió el evento ) y por lo
tanto representa una realización del proceso estocástico.
______________________________________________________________________
Funciones Aleatorias
1
Si se representaran gráficamente todas la filas de la matriz, se obtendrían 360
realizaciones que explicarían la función aleatoria X(t) representada mediante la matriz
mencionada.
Otra forma de visualizar el mismo proceso es a través de las columnas de la matriz.
En ese caso, el tiempo permanece constante y varían los eventos . Evidentemente se está
en el caso de un conjunto de 144 variables aleatoria, una por cada fila de la matriz a las
que se podría realizar un histograma que daría una indicación de la función densidad de
probabilidad de cada una de ellas.
NOMENCLATURA
Las funciones aleatorias se indicarán con letras latinas mayúsculas (generalmente
últimas letras del alfabeto). Las realizaciones, con las minúsculas correspondientes. Con t
se designará el argumento de la función aleatoria.
Es posible representar gráficamente un conjunto de realizaciones, pero no una
función aleatoria.
Los argumentos de las funciones aleatorias pueden variar ininterrumpidamente en
cierta zona o de un modo discreto. Los valores de la función aleatoria de un argumento
discreto tienen una secuencia de magnitudes aleatorias llamadas secuencia aleatoria.
La función aleatoria se puede considerar como el conjunto de magnitudes aleatorias
Xt que representan los valores de la misma para diferentes valores de t:
X t X( t )
(  < t < )
Esto quiere decir que la función aleatoria es equivalente a un conjunto infinito
de variables aleatorias.
De acuerdo a la definición el valor de una función aleatoria escalar, para
cualquier valor fijado del argumento t, es una magnitud aleatoria corriente.
Se sabe que cualquier magnitud aleatoria se caracteriza por completo por su ley de
distribución. Por lo tanto, la característica completa del valor de la función de la función
aleatoria X(t), para cualquier valor fijado de t, es la densidad de probabilidad de este valor,
que se designa por f1(x;t).
Aquí, el primer argumento x designa el valor posible de la función aleatoria X(t)
para un valor fijo de t. El segundo argumento t sirve de parámetro, del cual depende la
densidad de probabilidad f1(x;t).
La densidad unidimensional de probabilidad f1(x;t). no es suficiente, en el caso
general, para una característica completa de la función aleatoria. Dicha densidad puede
caracterizar solamente a cualquier ordenada, tomada por aislada, de una función aleatoria.
En la práctica, cuando se puede desear hallar derivadas o integrales de funciones
aleatorias, es necesario examinar valores próximos de la función (derivada) o muchos
valores para un número grande de valores de t (integral).
Durante la derivación es necesario examinar las ordenadas de una función aleatoria
no por aislado, sino conjuntamente. De acuerdo con lo expuesto se fijan dos valores del
argumento t: t1 y t2. Los valores X(t1) y X(t2) de la función aleatoria correspondientes a
los valores mencionados del argumento, pueden caracterizarse por la densidad conjunta de
probabilidad f2(x1,x2;t1,t2) que se llama densidad bidimensional de probabilidad de la
______________________________________________________________________
2
función aleatoria X(t).
En los problemas prácticos se encuentran con mayor frecuencia funciones aleatorias
del tiempo, sin embargo, se tiene también que operar también con funciones aleatorias de
otros argumentos.
De acuerdo a los conceptos de densidad bivariada, la densidad univariada queda
definida por la bivariada:

f1( x1 , t1 )

f2( x1 , x2 , t1 , t2 ) dx2
La densidad bidimensional de probabilidad de una función aleatoria representa una
característica más completa de la misma que la unidimensional, puesto que por la densidad
bidimensional se puede determinar la unidimensional.
Pero tampoco la bidimensional es completa. Se puede seguir razonando del mismo
modo hasta n dimensiones. De modo que cada densidad de distribución posterior es una
característica más completa de la función aleatoria que todas las densidades
anteriores.
Para el caso de la función aleatoria normalmente distribuida toda la secuencia
infinita de densidades de probabilidad se determina por completo si se conoce la densidad
bidimensional de probabilidad.
La característica de probabilidad completa de de una magnitud aleatoria resulta ser
muy compleja. En la práctica se simplifica el trabajo, siendo necesario conocer los
momentos de primero y segundo orden.
ESPERANZA MATEMATICA DE UNA FUNCION ALEATORIA
Fíjese el valor de t y examínese el valor de la función aleatoria (para este valor del
argumento) como una magnitud aleatoria corriente. Para esta magnitud aleatoria se puede
determinar la esperanza matemática , que hablando en general, dependerá del valor elegido
de t. Dando a t todos los valores posibles, se obtendrá cierta función mx(t) a la cual es
natural llamarla Esperanza matemática de la función aleatoria X(t).
mx(t) = M [ X(t) ]
La esperanza matemática de la función aleatoria se puede expresar por su densidad
unidimensional de probabilidad:
m x( t )


x. f1( x , t ) dx
Según la definición, la esperanza matemática representa el valor medio (pesado en
cuanto a probabilidad) de la magnitud aleatoria. Por lo tanto, para cada valor dado de t, la
ordenada de la curva mx(t) representa el valor medio de la función aleatoria X(t) para
este valor de t.
______________________________________________________________________
3
Así, pues, la esperanza matemática de la función aleatoria no es más que una curva
media alrededor de la cual se disponen las realizaciones posibles de la función aleatoria.
Ejemplo: Se dispone de una función aleatoria dada por la siguiente expresión:
 .
Xi, k Ui. sin tk.
U
180 i
Si Ui es un vector de elementos aleatorios tal como el que surge de rnd(1) valores
equiprobables entre 0 y 1.
i 0 .. 9
Ui rnd( 1 )
índice que indicará realización
Vector de elementos aleatorios
La función aleatoria será un conjunto de sinusoides con amplitud y frecuencia
aleatorias.
k 0 .. 90
índice que indica valores dentro de una realización
.
tk k 4
vector de valores de tiempo para evaluar
Xi, k
 .
Ui. sin tk.
U
180 i
Ui
La expresión anterior corresponde a una matriz cuyas filas son realizaciones de la
función aleatoria.
Calculando las medias de las realizaciones en cada uno de los puntos de definición,
se encuentra la media de la función aleatoria.
El vector M contiene las medias en cada punto considerado de la función aleatoria
<k >
Mk mean X
______________________________________________________________________
4
DISPERSION DE UNA FUNCION ALEATORIA
Es evidente que al considerar solamente la esperanza matemática de la función
aleatoria, se desprecian todas las desviaciones aleatorias posibles, reduciendo a la media
todo el haz de realizaciones posibles de la función aleatoria. Importan también las
desviaciones aleatorias respecto de estos valores medios.
Conforme a esto, para caracterizar la fluctuación de las realizaciones de una función
en torno a su esperanza matemática, se puede aprovechar la dispersión de dicha
función, la cual por definición, va expresada por la densidad unidimensional de
probabilidad de la función aleatoria por la fórmula:
Dx(t) = M { [ X(t) - mx(t) ] 2 }} = M { [ X0(t) ] 2 }}
D x( t )

2
x m x( t ) . f1( x , t ) dx

En problemas prácticos a veces es conveniente examinar la desviación standard de
la función aleatoria.
 ( t)
D x( t )
La esperanza matemática y la dispersión (varianza) de la magnitud aleatoria son
características numéricas de sus valores para cada valor dado del argumento t.
Ellas en cierto modo determinan la banda que se llena, por las realizaciones
posibles de la función aleatoria.
Ejemplo: Continuando con la función anterior, se puede hallar la desviación standard punto
por punto:
Sk
<k >
stdev X
el vector S contiene las desviaciones standard en
cada punto considerado de la función aleatoria
______________________________________________________________________
5
FUNCION DE CORRELACION DE UNA FUNCION ALEATORIA
A pesar de lo expresado anteriormente, la esperanza matemática y la dispersión no
determinan la conducta de las realizaciones posibles de la función aleatoria dentro de la
banda indicada.
En las siguientes figuras se representan las realizaciones de dos funciones aleatorias
con iguales esperanzas matemáticas y dispersiones. Sin embargo, estas se comportan de un
modo completamente diferente.
Es obvio que al derivar, por ejemplo, estas dos funciones aleatorias se obtendrán
resultados absolutamente diferentes. Por eso, además de la esperanza matemática y de la
dispersión de la magnitud aleatoria, se necesita conocer el grado de variabilidad de sus
realizaciones, la rapidez de cambio de las mismas al variar el argumento t.
A título de ejemplo, se toman dos valores t1 y t2 del argumento t en los dos gráficos
y se separa una realización de la función aleatoria de cada gráfico. En el primer caso, el
conocimiento de la ordenada de la realización en el punto t1 habla poco del valor de esta
realización en el punto t2, como resultado de una gran intensidad de variación de todas las
realizaciones de la función aleatoria entre los puntos t1 y t2.
En el segundo gráfico, el conocimiento del valor de la realización en t = t1 permite
indicar más exactamente el valor posible de la realización cuando t = t2.
En otras palabras, en el segundo caso el conocer el valor de la realización en el
punto t = t1 prácticamente limita de modo considerable la gama posible de valores de las
realizaciones en el punto t = t2.En el primer caso, los valores de las realizaciones posibles
de la función aleatoria X(t1) y X(t2) en los puntos t1 y t2 dependen poco uno de otro. En el
segundo caso, estos están enlazados por una dependencia más fuerte.
______________________________________________________________________
6
Para ilustrar gráficamente esta tesis, se llevan al eje x1 los valores de la ordenada
aleatoria X(t1) y al eje x2 los valores de la ordenada aleatoria X(t2). Se toma una gran
cantidad de realizaciones y se marcan los puntos [X(t1),X(t2)]. Para las realizaciones de la
función aleatoria, representadas en la primera figura anterior, las magnitudes aleatorias
X(t1) y X(t2) están vinculadas débilmente. Por eso la dispersión de los puntos
[X(t1),X(t2)] en el plano x1-x2 es en este caso aproximadamente circular.
Para las realizaciones de la función aleatoria, representadas en la segunda figura, las
magnitudes aleatorias X(t1) y X(t2) están enlazadas por una dependencia fuerte. Por eso,
para la función aleatoria cuyas realizaciones se están considerando, los puntos posibles
[X(t1),X(t2)] se dispondrán en el plano x1-x2 formando una elipse alargada.
Ejemplo: Para una función aleatoria como la siguiente:
Xi, k rnd( 1 ) .5
Para caracterizar el grado de dependencia de los valores de una función aleatoria
correspondientes a dos valores diferentes del argumento, lo más simple es valerse del
momento de correlación de estos valores de la función aleatoria.
______________________________________________________________________
7
Se llama Función Aleatoria Centrada a la diferencia entre la función aleatoria y su
esperanza matemática:
X 0 ( t ) = X ( t ) - mx ( t )
Entonces, el momento de correlación de los valores X(t) y X(t') de la función aleatoria
X(t), que corresponden a dos valores arbitrarios elegidos del argumento t , t', se
determinará por la fórmula:
kx ( t , t' ) = E [ X 0 ( t ) . X 0 ( t' )]
dando a t y t' todos los valores posibles en la zona de variación del argumento de la función
aleatoria X ( t ) , se obtiene la función de dos variables t y t' que se denomina Función
Correlativa (a veces Autocorrelativa) de la función aleatoria X ( t ).
Así pues, se llama función correlativa de la función aleatoria X ( t ) al momento de
correlación de sus valores para dos valores del argumento t, t', considerado como una
función de t y t'.
Al coincidir los valores de los argumentos t = t', el segundo miembro de la fórmula
anterior representa la esperanza matemática del cuadrado de la función aleatoria centrada,
es decir, la dispersión de la función aleatoria X(t).
k ( t , t ) D x( t )
Así, la asignación de la función correlativa de una función aleatoria determina también su
dispersión.
En el caso más general de todos, para calcular la función correlativa de una función
aleatoria se debe conocer la densidad bidimensional de probabilidad:
k x( t , t´ )




x m x( t ) . x´
m x( t´ ) . f2( x , x´ , t , t´ ) dx dx´
De esta fórmula y de otra anterior [para calcular mx(t)] se ve que para calcular
ambas funciones se necesita conocer la densidad bidimensional (y por consiguiente la
unidimensional) de probabilidad. Sin embargo, en muchos problemas prácticos se puede
calcular mx(t) y kx(t,t') empleando métodos más simples.
A veces, para caracterizar el enlace entre los valores de una magnitud aleatoria, en
vez de la función correlativa, se usa la Función Correlativa Normada que representa el
coeficiente de correlación de los valores de la función aleatoria para dos valores del
argumento.
La función correlativa normada de una función aleatoria normada de una función
aleatoria X(t) se determina por la fórmula:
______________________________________________________________________
8
k x( t , t´ )
R x( t , t´ )
D x( t ) . D x( t´ )
k x( t , t´ )
k x( t , t ) . k x( t´ , t´ )
En lo sucesivo se necesitará examinar todavía el momento inicial de segundo
orden de una función aleatoria, el cual se determina como el momento inicial mixto de
segundo orden de sus valores para los valores arbitrariamente elegidos t , t' de su
argumento.
 x( t , t´ ) M( X( t ) . X( t´ ) ) k x( t , t´ )
m x( t ) . m x( t´ )
De acuerdo con la definición del momento de correlación de las magnitudes
aleatorias complejas, la función correlativa de una función aleatoria compleja X(t) se
determina por:
k x ( t , t' ) = M [ X0 ( t ) . X0 ( t' )* ]
Donde X0 ( t' )* es el conjugado de X0 ( t' ).
PROPIEDADES DE LAS ESPERANZAS MATEMATICAS
1) La esperanza matemática de cualquier magnitud no aleatoria es igual a la propia
magnitud:
M( c ) c
2) La esperanza matemática del producto de una magnitud no aleatoria por una aleatoria es
igual al producto de la primera magnitud por la esperanza matemática de la segunda.
M( c. Z) c. M( Z)
3) La esperanza matemática de la suma de dos magnitudes aleatorias es igual a la suma de
sus esperanzas matemáticas.
M( Z Y) M( Z) M( Y)
4) La esperanza matemática de una función lineal de variables aleatorias de la forma:
n
U
a .Z b
i
i
i= 1
es igual a la misma función de las esperanzas matemáticas de estas magnitudes:
n
mu
ai. mz b
i
i= 1
PROPIEDADES DE
CORRELACION
LAS
DISPERSIONES
Y
DE
LOS
MOMENTOS
______________________________________________________________________
DE
9
1) La dispersión de cualquier magnitud no aleatoria es igual a cero y el momento de
correlación de dos magnitudes no aleatorias es igual a cero.
2) El momento de correlación del producto de cualquier magnitud aleatoria con otra no
aleatoria es siempre igual a cero.
3) La dispersión del producto de una magnitud aleatoria por otra no aleatoria es igual al
producto de la dispersión de la magnitud aleatoria por el cuadrado del módulo de la no
aleatoria.
2
D( c. X) ( c ) . D( X)
4) El momento de correlación de las magnitudes aleatorias:
U a. X
V b. Y
donde a y b son constantes complejas (para generalizar) arbitrarias y X e Y son magnitudes
aleatorias, se determina por la fórmula:
k uv a. b. k xy
5) Si las magnitudes aleatorias U y V representan funciones lineales de las magnitudes
aleatorias X1, X2, ... , Xn :
n
n
U
ai. Xi b
V
ci. Xi d
i= 1
i= 1
entonces la dispersión de la magnitud aleatoria U y el momento de correlación de las
magnitudes aleatorias U y V se determinan por las fórmulas:
Du
n
n
ai. aj. kij
k uv
n
n
ai. cj. kij
(48-1) (1)
i= 1 j = 1
i= 1 j = 1
donde kij es el momento de correlación de las magnitudes aleatorias Xi, Xj (cuando i=j, la
magnitud kii representa la dispersión de la magnitud aleatoria Xi)
6) En el caso particular, cuando se trata de magnitudes aleatorias no correlacionadas X1,
X2, ... , Xn las magnitudes kij con distintos índices son iguales a cero y las fórmulas
anteriores se convierten en:
n
n
2.
(48-2) (2)
Du
ai Di
k uv
ai. cj. Di
i= 1
i= 1
Donde Di = kii es la dispersión de la magnitud aleatoria Xi (i = 1,...,n)
Un caso particular de (48-1) es:
n
U
luego:
i= 1
Xi
______________________________________________________________________ 10
n
Du
n
kij
i= 1 j = 1
7) Y si las magnitudes aleatorias X1, X2, ... , Xn no están correlacionadas:
n
Du
Di
i= 1
Las dos últimas fórmulas son aplicables para cualesquiera magnitudes aleatorias no
correlacionadas. En particular, son válidas para las magnitudes aleatorias independientes.
EJEMPLOS DE FUNCIONES ALEATORIAS
1. Se va a considerar la siguiente función aleatoria:
X( t) U. sin( t )
V. cos( t )
(49-1)
(2)
Donde U y V son magnitudes aleatorias no correlacionadas (kuv = 0)cuyas
esperanzas matemáticas son nulas y cuyas dispersiones son iguales a D1 y D2
respectivamente.
Las realizaciones de esta función son sinusoides con diferentes amplitudes y fases
iniciales.
En el ejemplo en cuestión la función aleatoria representa la combinación lineal de
dos magnitudes aleatorias con los coeficientes sin(t) y cos(t).
nr 100
i 0 .. nr 1
vr 90
k 0 .. vr 1
tk k. 4
n
Número de realizaciones
índice que indica realización
Valores dentro de una realización
0 .. 11
Ui
índice auxiliar
rnd( 1 )
6
Vi
rnd( 1 )
6
n
n
U y V son vectores con valores distribuidos normalmente con media cero y varianza uno.
Xi, k
r

Ui. sin tk.
180
9 .. 18

Vi. cos tk.
180
matriz cuyas filas son valores de
realización
índice para lograr 10 realizaciones en el siguiente gráfico
______________________________________________________________________ 11
Calculando las medias de las 20 realizaciones en cada uno de los puntos de
definición, se encuentra la media de la función aleatoria.
Mk
<k >
mean X
el vector M contiene las medias en cada punto considerado
de la función aleatoria
Del mismo modo se puede hallar la desviación standard punto por punto:
Sk
<k >
stdev X
el vector S contiene las desviaciones standard en cada punto
considerado de la función aleatoria
Superponiendo la media y la desviación standard a las realizaciones, queda
gráficamente:
gún la teoría, la media de esta función aleatoria es cero y la desviación
standard es uno.
Se
______________________________________________________________________ 12
Esto, gráficamente, significa que la mayoría de las realizaciones se centra sobre la
media y además se halla concentrada mayoritariamente dentro una franja que tiene un
ancho de dos desviaciones standard con eje de dicha franja en la media.
Para hallar la función de correlación, se procede del siguiente modo:
Ck
i
<0 > . <k >
X
X
i
i
El vector C contendrá, punto a punto, los valores
rows( X)
de la función de correlación, que según la teoría es una de tipo cosenoidal.
Teóricamente, aplicando una de las propiedades de la esperanza matemática a la
expresión (49-1), se deduce:
m x( t ) mu . sin( t )
mv . cos( t ) 0
por ser la esperanzas matemáticas, de ambas magnitudes aleatorias, nulas.
Poniendo t = t' en la función aleatoria:
X( t´ ) U. sin( t´ )
V. cos( t´ )
Los valores X(t) y X(t') de la función aleatoria examinada, para dos valores
arbitrarios del argumento, son combinaciones lineales de dos magnitudes aleatorias no
correlacionadas U y V.
Aplicando la propiedad (48-2) de los momentos de correlación de dos
combinaciones lineales de magnitudes aleatorias no correlacionadas, se halla la función
correlativa de la función aleatoria X(t).
k ( t , t´) D1. sin( t) . sin( t´)
D2. cos( t ) . cos( t´)
En el caso particular, cuando D1 = D2 = D, queda:
______________________________________________________________________ 13
k ( t , t´) D. cos( t
t´)
(49-2) (3)
______________________________________________________________________
2) En un caso más general, cuando:
n
X( t )
Xi. f i( t )
i= 1
Donde f1(t), ... , fn(t) son funciones no aleatorias cualesquiera, en el caso más
general complejas, y X1, ..., Xn son magnitudes aleatorias cualesquiera con esperanzas
matemáticas arbitrarias pero finitas, y momentos de segundo orden.
La esperanza matemática se halla aplicando la propiedad de las esperanzas
matemáticas de una función lineal de las magnitudes aleatorias:
n
m x( t )
mx . f i( t )
i
i= 1
ya que los valores de la función aleatoria que se examina son, para dos valores del
argumento arbitrariamente elegidos, funciones lineales de las mismas magnitudes
aleatorias, se puede aplicar la propiedad (48-1):
n
k x( t , t´ )
kij. f i( t ) . f j ( t´ )
i= 1
donde kij es el momento de correlación de las magnitudes aleatorias Xi, Xj ( i,j = 1, ... , n y
kii = Dxi .
______________________________________________________________________
3. Generalizando el problema 1, suponer aleatorias no sólo la amplitud y la fase sino
también la frecuencia de las oscilaciones armónicas. Examínese la función aleatoria:
X( t ) U. sin(  . t )
V. cos(  . t )
Donde U, V y  son magnitudes aleatorias independientes, con la particularidad que las
magnitudes U y V tienen medias nulas y las mismas dispersiones D, y la magnitud aleatoria
 se caracteriza por la densidad de probabilidad f().
La esperanza matemática de la función aleatoria X(t) es idénticamente igual a cero.
Esto se puede demostrar fijando un valor particular de , lo que lleva al primer ejemplo.
La fórmula (49-2) determina la función correlativa condicional de la función aleatoria
X(t) para el valor dado de  de la frecuencia .
k x ( t , t' / ) = M [ X(t) . X(t) / D . cos t - t' ) ]
Ahora, para hallar la función correlativa de la función aleatoria X(t) basta
______________________________________________________________________ 14
multiplicar la función correlativa condicional hallada, con el elemento correspondiente de
probabilidad f(deintegrar con respecto a todos los valores posibles de  de la
magnitud aleatoria  . Entonces, teniendo en cuenta que la frecuencia de las oscilaciones
es, en su esencia, una magnitud positiva, debido a lo cual su densidad de probabilidad f()
es igual a cero para 0, se obtiene:
k x( t , t´ ) D.

f(  ) . cos(  . ( t
t´ ) ) d
0
Examínese el caso concreto cuando:
2. 
f(  )
2
2
. 

En este caso queda:

2.  . D .
cos(  . ( t t´ ) )
k x( t , t´ )
d
2
2



0
Esta integral puede calcularse por muchos procedimientos, quedando:
 . t t´
k x( t , t´ ) D. e
Numéricamente, el planteo del problema podría ser:

f(  )
10
2. 
2
. 
(4)
coeficiente

2
(5)
función densidad de la distribución de frecuencias
La integral de esta función dará la Función Distribución:

atan

F(  ) 2.

Si en esta función se sustituye F() por rnd(1) y se despeja  se puede tener un
conjunto de valores que tengan la distribución (5).
j
Wj
0 .. 400
 . tan
índice que dará el tamaño del vector formado
rnd( 1 ) . 
2
vector
para verificar este hecho se construirá un histograma.
______________________________________________________________________ 15
n1 8
k2 0 .. n1
Max 100
número de intervalos
índice para generar n1 intervalos
m 0
Extremos del intervalo de análisis
Max m.
interk2 m
k2
vector de intervalos
n1
h hist( inter, W )
vector que cuenta las frecuencias en cada intervalo
k1 0 .. n1 1
 0 , 0.1 .. 100
índice auxiliar
Como se puede observar, la distribución de los datos sigue perfectamente la
ecuación (5).
Formando la matriz cuyas filas son valores de realización:
nr 100
i 0 .. nr 1
vr 90
k 0 .. vr 1
tk k. 4
Xi, k
r
Ui. sin
9 .. 12
Wi
índice que indica realización
Valores dentro de una realización
.t . 
 k 180
Vi. cos
Wi
.t . 
 k 180
índice para lograr 4 realizaciones en el siguiente gráfico
______________________________________________________________________ 16
Calculando las medias de las 20 realizaciones en cada uno de los puntos de
definición, se encuentra la media de la función aleatoria.
El vector M contiene las medias en cada punto considerado de la función aleatoria
Mk
<k >
mean X
Del mismo modo se puede hallar la desviación standard punto por punto:
Sk
<k >
stdev X
el vector S contiene las desviaciones standard en cada punto considerado de la función
aleatoria Superponiendo la media y la desviación standard a las realizaciones, queda
gráficamente:
______________________________________________________________________ 17
Para hallar la función de correlación, se procede del siguiente modo:
Ck
i
<0 > . <k >
X
X
i
i
rows( X)
El vector C contendrá, punto a punto, los valores de la función de correlación, que
según la teoría es una de tipo exponencial decreciente.
FUNCIONES ALEATORIAS ESTACIONARIAS
Generalmente se llama estacionarios a aquellos procesos y objetos cuyas
características no dependen del tiempo de observación, es decir no cambian al decalar
arbitrariamente el tiempo (son invariantes con respecto a cualquier decalaje del tiempo).
De acuerdo con lo dicho, se denomina ESTACIONARIA a una función aleatoria
X(t) si determinadas características probabilísticas de la función de la función aleatoria
X(t+), cualquiera sea , coincide idénticamente con las características correspondientes a
X(t).
Es evidente que la esperanza matemática y la dispersión de la función aleatoria
estacionaria son constantes y su función correlativa depende sólo de la diferencia de
los argumentos t - t'.
En efecto, según la definición general de la estacionariedad, la esperanza
matemática y la función correlativa de la función aleatoria X(t) satisfacen las condiciones:
______________________________________________________________________ 18
m x( t) m x( t
)
k x( t , t´ ) k x( t  , t´
)
cualquiera sea  Poniendo en la primera tse obtiene:
Poniendo en la segunda t'se obtiene:
k x( t , t´ ) k x( t
t´ , 0 )
La dispersión de la función aleatoria X(t) es igual al valor de su función correlativa
cuando t = t'.
Por eso, de lo anterior:
D x( t ) k x( t , t ) k x( 0 , 0 ) D x( 0 ) cte
Designando la función de una variable t - t' por kx(t-t') , se puede escribir:
k x( t , t´) k x( t
t´) k x(  )
donde
 t
t´
Ahora bien, si la función aleatoria X(t) es estacionaria, entonces, dondequiera que
se elija un intervalo  de longitud dada en el eje de las variables independientes t, los
valores de la función aleatoria X(t) tienen en los extremos de este intervalo un mismo
momento de correlación kx().
Para todos los problemas prácticos en los que se trata sólo con momentos de los dos
primeros órdenes (esperanzas matemáticas y funciones correlativas) basta la constancia de
la esperanza matemática y la dependencia de la función de correlación sólo de la diferencia
de los argumentos para considerar estacionaria a una función aleatoria.
Por eso, las funciones aleatorias cuyas esperanzas matemáticas son constantes y
las funciones correlativas dependen sólo de la diferencia de argumentos se llaman
estacionarias en el sentido amplio.
La estacionariedad en el sentido amplio representa el tipo más simple de
estacionariedad.
Según la definición dada, la función aleatoria con esperanza matemática variable es
no estacionaria incluso si la función de correlación de la misma depende sólo de la
diferencia de los argumentos.. Sin embargo, tal estacionariedad es, evidentemente no
esencial, puesto que la función aleatoria centrada X0(t) = X(t) - mx(t) es estacionaria
siempre que la función correlativa de la función aleatoria X(t) dependa sólo de la diferencia
de argumentos.
Como la función correlativa de cualquier función aleatoria es simétrica, es decir no
cambia de valor al permutar los valores de los argumentos, entonces la función correlativa
de una función aleatoria estacionaria satisface la condición:
Así pues, la función correlativa de una función aleatoria estacionaria es función par
______________________________________________________________________ 19
de la diferencia de los argumentos.
Por otro lado, de las propiedades de la función correlativa, aplicadas a funciones
aleatorias estacionarias:
k x(  )
k x( 0 ) D x
De modo que, la función correlativa de una función aleatoria estacionaria,
cualquiera sea , no puede ser en magnitud absoluta, mayor que su valor correspondiente en
el origen de coordenadas.
Ejemplos:
1) En el último ejemplo anterior, había una función correlativa dependiente sólo de la
diferencia de argumentos, de la forma:
k x(  ) Dx. e
. 
2) La función aleatoria:
X( t ) U. sin(  . t )
donde
 t
t´
V. cos(  . t )
es estacionaria solamente en el caso cuando las dispersiones de las magnitudes aleatorias U
y V son iguales. En el caso general de diferentes dispersiones de las magnitudes aleatorias
U y V esta función aleatoria no es estacionaria.
Ahora bien, la oscilación armónica de cierta frecuencia, con amplitud y fase
aleatorias representa en el caso general una función aleatoria no estacionaria y solo en el
caso particular de ser iguales las dispersiones de los coeficientes aleatorios adjuntos al seno
y coseno, es una función aleatoria estacionaria.
3) La función aleatoria:
X( t ) U. sin(  . t )
V. cos(  . t )
es estacionaria cualquiera que sea la densidad de probabilidad de la frecuencia aleatoria de
las oscilaciones f() puesto que su esperanza matemática es idénticamente igual a cero,
mientras que la función correlativa, determinada por (4) depende sólo de la diferencia de
argumentos.
4) Si:
m x( t ) a
b. t
 . ( t t´ )
k x( t , t´) D. e
entonces la función aleatoria X(t) es no estacionaria. No obstante, esta no estacionariedad
no es esencial, puesto que la correspondiente función aleatoria X0(t) es estacionaria.
______________________________________________________________________ 20
SEÑALES ALEATORIAS
En forma general, una señal es una función de una variable, el tiempo. En el caso de las
señales determinísticas, para cada instante de tiempo (variable independiente) existe un
valor único de la función (variable dependiente). En cambio, si la señal es aleatoria, existe
incertidumbre sobre el valor que tomará en cada instante.
La función (o señal) puede ser real o compleja, sin embargo el tiempo siempre tendrá un
valor real.
Se pueden distinguir cuatro tipos:




Señales Periódicas, Señales no Periódicas.
Señales Determinísticas, Señales Aleatorias.
Señales de Energía, Señales de Potencia.
Señales Analógicas, Señales Digitales.
Las señales aleatorias son manifestaciones de procesos eléctricos aleatorios que
ocurren en el tiempo.
Si v(t) es una señal aleatoria, V es una variable aleatoria que representa los valores de
v(t) en los tiempos de observación.
Una señal es de energía si y sólo si tiene una energía positiva y finita en todo el
tiempo:
T
∞
2

2
2

Ev = lim
v ( t ) dt = 
v ( t ) dt

 ∞
T  ∞  T
2
0  Ev  ∞
Una señal es de potencia si y sólo si tiene una potencia positiva y finita en todo el
tiempo:
T


 2

1 
2


Pv = lim

v ( t ) dt
0  Pv  ∞
 

T  ∞ T  T


2


En general, las señales periódicas son señales determinísticas y de potencia y las
señales aleatorias son señales no periódicas y de energía.
Bajo ciertas condiciones, se denomina ergodicidad a una relación comprensible de
manera intuitiva, entre los promedios estadísticos y los promedios de tiempo que serán
obtenidos.
Procesos Aleatorios
Una señal aleatoria es la manifestación de un proceso eléctrico aleatorio que tiene
lugar en el tiempo. Estos procesos también se llaman procesos estocásticos. Cuando entra
el tiempo en cuestión, la descripción completa de un proceso aleatorio se vuelve bastante
complicada especialmente si las propiedades estadísticas cambian con el tiempo.
Pero muchos de los procesos aleatorios encontrados en los sistemas de
comunicación tienen la propiedad de estacionariedad o incluso ergodicidad, lo que
______________________________________________________________________ 21
conduce a relaciones más simples e intuitivas significativas entre propiedades estadísticas,
promedios de tiempo y análisis espectral.
En teoría de la probabilidad, un proceso ergódico estacionario es un proceso
estocástico que exhibe tanto estacionariedad como ergodicidad. En esencia, esto implica
que el proceso aleatorio no va a cambiar sus propiedades estadísticas con el tiempo y que
sus propiedades estadísticas (tales como la media teórica y la varianza del proceso) se
pueden deducir a partir de una sola muestra suficientemente larga, (realización) del
proceso.
La estacionariedad es una propiedad de un proceso aleatorio que garantiza que sus
propiedades estadísticas, como la media, sus momentos y varianza, no van a cambiar con el
tiempo. Un proceso estacionario es uno cuya distribución de probabilidad es la misma en
todo momento. Se definen varios subtipos de estacionariedad: de primer orden, de segundo
orden, de orden n, en sentido amplio y en sentido estricto.
Un proceso ergódico es uno que se ajusta al Teorema Ergódico. El teorema permite
que el promedio de tiempo de un proceso conformado sea igual al promedio del ensamble.
En la práctica esto significa que el muestreo estadístico se puede realizar en un instante a
través de un grupo de procesos idénticos o el muestreado en el tiempo sobre un único
proceso sin ningún cambio en el resultado de la medición.
Un ejemplo sencillo de una violación de la ergodicidad es un proceso de medición,
el cual es la superposición de dos procesos subyacentes, cada uno con sus propias
propiedades estadísticas. Aunque el proceso de medición puede ser estacionario en el largo
plazo, no es apropiado considerar que la distribución muestreada sea el reflejo de un solo
proceso (ergódica): el promedio de ensamble no tiene sentido.
En esta sección se presentan los conceptos y la descripción del proceso aleatorio y
se establecen brevemente a continuación las condiciones implícitas para estacionariedad y
ergodicidad.
Promedios de Ensamble y funciones de correlación
Una variable aleatoria asigna los resultados de un experimento aleatorio en números
X(s) a lo largo de la recta real. A continuación se incluye la variación de tiempo diciendo
que:
Un proceso aleatorio mapea los resultados experimentales en funciones reales del tiempo.
La colección de funciones del tiempo se conocen como ensamble y cada miembro se llama
función muestra o realización.
Se representarán los ensambles formalmente por v(t,s). Cuando el proceso en
cuestión es eléctrico, las realizaciones son señales aleatorias.
Considérese, por ejemplo, el conjunto de las formas de onda de tensión generadas
por el movimiento térmico de los electrones en un gran número de resistencias idénticas. El
experimento subyacente podría ser: Elegir una resistencia al azar y observar la forma de
onda a través de sus terminales.
La siguiente figura muestra algunas de las señales aleatorias del conjunto v(t,s)
asociado con este experimento. Un resultado en particular (o la elección de la resistencia)
se corresponde con la i-ésima realización vi(t) = v(t1,si) teniendo el valor vi(t1) = v(t1,si) en
el tiempo t= t1.
______________________________________________________________________ 22
Formas de onda en un ensamble v(t,s)
Si se conoce el resultado experimental entonces, en principio, ya se sabe todo el
comportamiento de la realización y toda aleatoriedad desaparece.
Pero la premisa básica sobre procesos aleatorios es que no se sabe qué realización se
está observando. Así que en el instante t1, se puede esperar cualquier valor del conjunto de
posibles valores v(t1,s). En otras palabras, v(t1,s) constituye una variable aleatoria,V1,
definida por un "corte vertical" a través del ensamble en t = t1, como se ilustra en la figura.
Asimismo, un corte vertical en t2 definiría otra variable aleatoria V2. Visto desde
esta perspectiva, el proceso aleatorio se reduce a una familia de variables aleatorias.
Ahora se va a omitir s y representar el proceso aleatorio por v(t).
El contexto siempre dejará claro que se está hablando de procesos aleatorios en
lugar de señales no-aleatorias, así que no se necesitará una notación más formal. (Algunos
autores emplean letras en negrita o usan V(t) para el proceso aleatorio y Vti , para las
variables aleatorias.)
El símbolo v(t) también está de acuerdo con el hecho de que casi nunca se conocen
ni interesan los detalles del experimento subyacente. Lo que sí se preocupan son las
propiedades estadísticas de v(t).
Sea v(t) la forma de onda de tensión producida por algún generador de ruido, de tal
manera que v(t) es una señal aleatoria de potencia promedio finita (señal de potencia). Si se
examina la forma de onda durante un período largo, se pueden medir o calcular sus
diferentes promedios de tiempo. Además el significado de estos promedios es aparente:
<v(t)> es la componente de continua del ruido y <v2(t)> es su potencia promedio.
Por otro lado, supóngase que se pudiera disponer de un gran número de generadores
idénticos, lo que se conoce como ensamble. Los miembros del ensamble son idénticos en
el sentido de que tienen la misma descripción estadística; sin importar que sus señales
individuales - conocidas como funciones muestra (realizaciones) - sean diferentes.
Una señal en particular, designada ahora vi(t) por claridad, es una de la infinidad de
funciones muestra que un determinado generador de ruido puede producir. La familia
______________________________________________________________________ 23
completa de funciones muestra se simbolizará con v(t).
En la figura se puede apreciar las dos clases de promedios que se pueden hallar:
1) Se pueden efectuar mediciones sucesivas en una realización vi(t) para encontrar sus
promedios de tiempo <vi (t)>
2) Se pueden examinar todas las funciones muestra durante un tiempo particular, por
ejemplo t1, y encontrar los promedios de ensamble E[v(t1)].
Obviamente, para una función estacionaria, los promedios de ensamble son los
mismos que los promedios estadísticos en t= t1.
En general, los promedios de ensamble pueden diferir de los promedios de tiempo.
Esto ocurre cuando las propiedades estadísticas de los generadores varían en el tiempo, ya
que la variación en el tiempo sería promediada en el tiempo y no en el ensamble.
Sin embargo, muchas de las señales aleatorias en sistemas de comunicaciones
provienen de procesos ergódicos, significando esto que los promedios de tiempo y de
ensamble son idénticos. O sea, E[v(t)] = < v(t)>.
Un proceso ergódico es también estacionario puesto que los promedios de
ensamble son independientes del tiempo de observación.
En lo sucesivo se tratará con señales aleatorias que son funciones muestra de
procesos ergódicos. Por lo que estas señales son de potencia, ya que E[v2(t)] no depende de
t, y se pueden hacer los siguientes enunciados:
1) El valor medio v es la componente de continua (CD) de la señal.
2) El valor medio al cuadrado
de CD.
3)
El valor cuadrado medio
es la potencia de la componente de continua, potencia
es la potencia promedio total.
4) La varianza v2 es la potencia de la componente variando con el tiempo, es decir, la
potencia de CA.
O bien
5) La desviación standard v es la raíz cuadrática media (valor eficaz) de la componente
variando con el tiempo, es decir, el valor rms.
Las relaciones anteriores sólo se aplican a fuentes ergódicas.
______________________________________________________________________ 24
CORRELACION
La Función de Autocorrelación, como se vio anteriormente, estaba dada por:
Rv ( t ,t´) = E ( v ( t )  v ( t´) )
Siendo v(t) una función aleatoria. Además, si la función es estacionaria, R v depende
del lag (diferencia)  = t – t’. Reemplazando en la expresión anterior, queda:
R v ( τ ) = E ( v ( t )  v ( t + τ) )
El promedio de tiempo que implica la esperanza matemática se pude indicar como:
 1  T

Rv ( τ) = lim
  v ( t )  v ( t + τ ) dt

T ∞ 
 2 T  T

Dos son los motivos para considerar la función de autocorrelación de una señal
aleatoria:
1) a Rv() le corresponde proporcionar información útil acerca de v(t).
2) según el teorema de Wiener-Kinchine, la descripción del dominio de la frecuencia de
una señal aleatoria es su densidad espectral de potencia Gv(f) = F[Rv()].
Se debe notar que Rv() es una función determinística aún cuando v(t) es aleatoria.
Para tales procesos la función de autocorrelación exhibe las siguientes propiedades:
La primera propiedad muestra que Rv() está limitada por su valor en el origen,
mientras que la tercera propiedad establece que este límite es igual al valor medio cuadrado
llamado potencia promedio total (
) en el proceso. La segunda propiedad indica que la
función autocorrelación tiene simetría par.
Además se verifica que:
dado que la variables aleatoria v(t) es incorrelacionada consigo misma cuando el lag es muy
grande, lo que lleva a que v2 =0.
En el caso en que el proceso no sea periódico, de serlo su autocorrelación también
es periódica con el mismo período.
______________________________________________________________________ 25
Ejemplo 1: Dada la función de autocorrelación para un proceso estacionario:
Rv ( τ) = 25 +
4
1 + 6 τ
2
encontrar el valor medio y la varianza del proceso v(t).
Dado que:
v2 =
Luego
lim
τ
4
 25 +
 = 25


2
∞
1 + 6 τ 
La varianza está dada por:
Potencia promedio total=E[v2(t)] = Rv(0) = 25 + 4 = 29
luego:
2v = 29 – 25 = 4
Ejemplo 2: Sinusoide en fase aleatoria
Supóngase que se tiene un oscilador seteado en alguna amplitud no-aleatoria A y
frecuencia , pero no se sabe el ángulo de fase hasta encender el oscilador y observar la
forma de onda. Esta situación puede verse como un experimento en el que se tiene que
elegir un oscilador al azar desde una gran colección con la misma amplitud y frecuencia
pero no hay sincronización de fase. Un oscilador particular que tiene ángulo de fase i
genera como realizaciones sinusoides vi(t) = A cos (0t + i), y el ensamble de sinusoides
constituye un proceso aleatorio definido por
v(t) = A.cos(0.t + )
 =2..f
A y 0 son constantes y  es una variable aleatoria con densidad de probabilidad
uniforme con valores comprendidos entre 0 y 2.
El siguiente segmento en Matlab crea una arreglo de M=100 filas y N=1000
columnas que simulan (en forma aproximada) a la señal aleatoria. Luego, grafica tres
realizaciones.
M=100;N=1000;A=2;w0=3;
i=1:N;G=rand(1,M);gamma=2*pi*G;
for i=1:M,
for j=1:N,
______________________________________________________________________ 26
v(i,j)=A*sin(2*pi*(j-1)*w0/N+gamma(i));
end
end
j=1:N;plot(j,v(1,j),j,v(20,j),j,v(35,j))
Según la teoría:
v(t )  A. cos( 0.t + )
v(t +  )  A. cos[ 0.(t +  ) + )]
E[v(t ).v(t +  )]  E{ A. cos( 0.t + ). A. cos[ 0.(t +  ) + )]}
Rv ( )  E{ A. cos( 0.t + ). A. cos[ 0.t +  0. ) + ]}
Rv ( )  E{ A2 .[cos(2. 0.t +  0. + 2.) + cos( 0. )]}
2
Aplicando propiedad distributiva de la esperanza respecto de la suma
Rv ( ) 
A2
2
{E[cos(2. 0.t +  0. + 2.)] + E[cos( 0. )]}
y el primer término resulta nulo al promediar respecto del tiempo. Luego
2
A.
R v(  )
cos( 0.  )
2
Para hallar la función de correlación desde la simulación, se procede del siguiente
modo (agregando al anterior segmento de Matlab):
for j=1:N,
C(j)=sum(v(:,1).*v(:,j))/M;
end
j=1:N;Corr(j)=(A^2)/2*cos(2*pi*(j-1)*w0/N);
plot(j,C,j,Corr)
En el gráfico de salida se pueden observar la autocorrelación obtenida mediante la
simulación y la teórica (esperada).
______________________________________________________________________ 27
Ejemplo 3: Dada una variable aleatoria A, uniformemente distribuida sobre [0, 1) se
construye una señal aleatoria v(t) = A.sin(ωot). Encontrar la función de autocorrelación.
v(t )  A. cos( 0.t )
v(t +  )  A. cos[ 0.(t +  )]
E[v(t ).v(t +  )]  E{ A. cos( 0.t ). A. cos[ 0.(t +  )]}
E[v(t ).v(t +  )]  E{ A. cos( 0.t ). A. cos[ 0.t +  0. )]}
E[v(t ).v(t +  )]  E{ A2 .[cos( 0.t +  0.t +  0. ) + cos( 0.t   0.t   0. )]}
2
E[v(t ).v(t +  )]  E[ A2 ].[cos(2. 0.t +  0. ) + cos( 0. )]}
2
E[v(t ).v(t +  )]  E{ A2 .[cos(2. 0.t +  0. ) + cos( 0. )]}
2
Como se puede apreciar, la función de autocorrelación no es sólo función de , sino
que también depende de t. Luego el proceso es no estacionario y sus características
estadísticas variarán con t.
En la siguiente simulación con Mathcad, se puede apreciar cómo coinciden los
resultados “experimentales” y los teóricos.
En el próximo gráfico se ven dos realizaciones.
______________________________________________________________________ 28
Ejemplo 4: Dada la función
v(t) = a.t +Y, con Y variable aleatoria [0,1) y a= cte.
La media se halla del siguiente modo:
mv (t) = E[v(t)] = E[a.t] + E[Y] = a.t + ½
La autocorrelación
Rv (t1,t2) = E[v(t1). v(t2)] = E[(a.t 1+Y). (a. t2 +Y)]
Rv (t1,t2) = E[a.t1. a.t2] + E[a.t1. Y] + E[Y. a.t2] + E[Y.Y]
Rv (t1,t2) = a2.E[t1.t2] + a.t1.E[Y] + a.t2.E[Y] + E[Y2]
Rv (t1,t2) = a2. t1.t2 + ½.a.(t1+t2) + 1/3
La autocovarianza
Cv (t1,t2) = E[(v(t1) - mv (t1)). (v(t2) - mv (t2))]
Cv (t1,t2) = E[(v(t1).v(t2)] – E[v(t1).mv (t2)] - E[v(t2).mv (t1)] + E[mv (t1).mv (t2)]
Cv (t1,t2) = a2. t1.t2 + ½.a.(t1+t2) + 1/3 - a.t - (a.t1+1/2). (a.t2+1/2)
Cv (t1,t2) = a2. t1.t2 + ½.a.(t1+t2) + 1/3 - a.t - a2. t1.t2 - 1/2.a.(t1+t2) -1/4
Cv (t1,t2) = 1/3 – ¼ =1/12
______________________________________________________________________ 29
La varianza:
 v 2 = Cv (t,t) = 1/12
Valor cuadrático medio:
E[v(t)2] = Rv (t,t) = a2. t2 + a.t + 1/3
Una simulación a través de Mathcad coorobora lo expresado anteriormente.
N  500
i  0  N  1
Cantidad de funciones muestra
n  100
j  0  n  1
Valores en cada función muestra
a 
constante
X
i ,j
10
500
 a  j + rnd ( 1)
Función aleatoria
Una de las funciones muestras (realización)
M  mean ( X )
j
j

y  a  j + 0.5
Media experimental
Media teórica
j
( X )
Rx 
j
2
40 
j
  ( X ) 
rows ( X )
r  a  t1  j +
Comportamiento de la media
1
2
j 
 a  ( t1 + j ) +
t1  40
1
3
Autocorrelación experimental
Autocorrelación teórica
______________________________________________________________________ 30
Comportamiento de la autocorrelación
( X ) 40  M   ( X ) j  M 
40 
j

Cx 
j
rows ( X )
Autocovarianza experimental
Comportamiento de la autocovarianza
rms 
j
X
j
X
j
rows ( X )
2 2
RMS  a  j + a  j +
j
Valor Cuadrático Medio experimental
1
3
Valor Cuadrático Medio teórico
Comportamiento del valor medio cuadrático
______________________________________________________________________ 31
Teorema de Wiener-Khintchine-Einstein
Para un proceso aleatorio estacionario en sentido amplio (WSS) X(t) cuya función
de autocorrelación está dada por RXX(τ ), la Densidad Espectral de Potencia (PSD) del
proceso es:



 j  2 π  f  τ
Sxx( f ) = F Rxx( τ) = 
Rxx( τ)  e
dτ
 ∞
∞
En otras palabras, la función de autocorrelación y la densidad espectral de potencia
forman un par transformado de Fourier.
Si bien la mayoría de los procesos aleatorios que se que han considerado son WSS,
para aquellos que no lo son, el citado Teorema necesita ser ajustado ya que la función de
autocorrelación para un proceso no estacionario será una función de dos variables.
Para los procesos no estacionarios se escribe el teorema de Wiener-KhintchineEinstein como:
donde en este caso <> representa un promedio de tiempo con respecto a la variable t.
Ejemplo 5: Se considerará el proceso aleatorio senoidal del Ejemplo 2, v(t) = A sin(ωot +
). La función PSD se puede calcular a partir de la Transformada de Fourier de la Función
de Autocorrelación hallada en esa oportunidad.
Resultando una densidad espectral de potencia del tipo impulsivo.
G v( t )
2
A .
 ( f f0)
4
2
A .
 ( f f0)
4
Si a la correspondiente función de autocorrelación del proceso simulado con
Mathcad, se le determina la Transformada de Fourier y se grafica, se puede apreciar la
concordancia con los resultados teóricos.
N  500
n  128
i  0  N  1
j  0  n  1
  2   ( rnd ( 1)  0.5)
i
A  10
Cantidad de funciones muestra
Valores en cada función muestra
Fase (variable aleatoria)
Amplitud (constante)
______________________________________________________________________ 32
X
i ,j
 A  sin 


2   j
n
+
20

i
Función aleatoria


( X ) 0  M   ( X ) j  M 
0 
j

Cx 
j
rows ( X )
Rx 
j
FC 
( X ) 0   ( X ) j 
Autocovarianza experimental
Autocorrelación experimental
rows ( X )
1   
 cfft ( Rx)
n
fft de la función de autocorrelación
aquí se pueden apreciar los dos impulsos (de amplitud A2/4) ubicados en f0 =  y f0
= - .
Esta señal aleatoria tiene cantidades específicas de potencia promedio concentradas
en f = f0 y f = - f0 y no hay densidad espectral en ninguna otra parte.
Además:


G v( f) df
2
A
2
2
v
que se ve que es igual a la potencia promedio total.
______________________________________________________________________ 33
2
v
1.
T
2
v( t ) dt
T 0
T
1.
( A. cos( 0. t
T 0
 ) ) dt
2
Para hallar este valor, no hay problema de considerar  = 0 y T = 2.. El valor
subintegral es:
1.
2
F( t )
1.
cos( 0. t ) . sin( 0. t )
2
0
0. t
. A2
Luego el valor buscado es:
2
v
1 .
( F( 2.  )
2. 
F( 0 ) )
2
A
2
Por último, el hecho que no hay impulso en f = 0 concuerda con:
v
1.
T
T 0
v( t ) dt
1.
T
T 0
A. cos(  0. t
 ) dt 0
Para una Secuencia Discreta la densidad espectral de potencia (PSD) se define en el
dominio z como sigue
Sx( z)


m
 Rx  z m 
 m

Si se muestrea un proceso aleatorio estacionario uniformemente se obtiene una
secuencia aleatoria estacionaria. El Teorema del Muestreo es válido en términos de PSD:
Ejemplo 6: Dada la función de autocorrelación
Rx
m
a
m
Con a > 0
Hallar la PSD Sx()
Haciendo z = ej
______________________________________________________________________ 34
RUIDO Y SU FILTRADO - Ruido Térmico
Lo común es tratar con tensiones de ruido provenientes del movimiento aleatorio de
partículas cargadas (por lo general electrones) en medios conductores. El mismo fue
identificado por Jonson en 1928.
Este movimiento da lugar a una corriente aleatoria y debido a ella, en bornes de una
resistencia aparece una tensión de ruido v(t).
La tensión v(t) es una variable aleatoria gaussiana, que se indicará como vn. La
probabilidad de que tome un valor determinado viene dada por la expresión
p(vn ) 
1
2 

exp  ( vn2v2n )
2

donde v n es el valor medio y  2 la varianza.
El valor medio de la tensión de ruido es siempre nulo, pero no su valor eficaz. La
formula anterior no es práctica para calcular el valor eficaz, hay una manera más fácil:
utilizar la densidad espectral de potencia, es decir, la potencia por unidad de frecuencia.
Según la teoría cinética, la energía promedio de una partícula a la temperatura
absoluta  es proporcional a k. siendo k la constante de Boltzmann.
______________________________________________________________________ 35
Se esperan así valores de ruido térmico que incluyan el producto k. En síntesis, se
obtendrá una medida de la potencia de ruido en términos de temperatura.
Cuando una resistencia metálica se encuentra a la temperatura , existe una tensión
aleatoria v(t) producida en los terminales a circuito abierto a causa del movimiento
aleatorio de los electrones.
De acuerdo al Teorema Central del Límite, v(t) tiene una distribución Gaussiana
con media igual a cero y varianza:
v v
2
donde:
2
2
2. (  . k.  ) .
R
3. h
en volts2
k
23
1.37. 10
constante de Boltzmann (en J / ºK)
h
34
6.62. 10
constante de Planck (en J . seg)
y en grados Kelvin ( ºK ). La presencia de h indica un resultado de mecánica cuántica.
Se demuestra en mecánica cuántica que la densidad espectral del ruido térmico
es:
G v( f)
2. R. h. f
h. f
exp
1
k. 
en volt2 / Hz
Para f = 0 se presenta una indeterminación de la forma "0/0", para salvarla se aplica
L´Hoppital:
Para representar gráficamente esta función (para frecuencia positivas) se reúne el exponente
del denominador en una variable x:
la densidad espectral de potencia en términos de x, queda:
Resultando:
______________________________________________________________________ 36
donde se ve que para x=0.1, la densidad espectral de potencia ha caído aproximadamente
un 5% respecto del valor en x=0 (máximo).
Si se considera la Temperatura de Salón o Temperatura Normal a:
así:
0
290. K
(grados Kelvin o 17 grados Celsius)
21
k.  0 = 3.973 10
sec watt
aproximadamente 4*10-21 w-seg.
Entonces si la resistencia está en 0, Gv(f) es constante de manera esencial para:
0.1 =
h f
k ψ 0
f 
0.1 k ψ0
h
 6.002  10
11
Pero este límite superior cae en la porción infraroja del espectro electromagnético,
más arriba del punto donde los componentes eléctricos dejan de responder.
Luego, se puede decir que: La densidad espectral de ruido térmico es
CONSTANTE.
G v( f) 2. R. k. 
(en volt2 / Hz)
Aplicando Thevenin, si R se reemplaza por una resistencia sin ruido de valor R y al
ruido se lo indica por un generador de tensión:
El sombreado se debe a que la fuente es no convencional.
Sea una fuente convencional con una impedancia Zs = Rs + j Xs y sea vs la tensión
______________________________________________________________________ 37
a circuito abierto.
Esto es si la carga está acoplada de tal manera que ZL es el conjugado de Zs.
La tensión en terminales vale vs / 2 y la potencia disponible es:
Para el caso del resistor térmico visto como fuente de ruido:
Por comparación la densidad espectral disponible en la resistencia de carga es
Ga = 2 R k /4 R = k ψ/2 [w/Hz]
Por lo tanto un resistor térmico entrega una densidad de potencia máxima de
k./2 [w/Hz] a una carga adaptada sin importar el valor de R.
RUIDO BLANCO Y TEMPERATURA DE RUIDO
Además de los resistores térmicos, hay otros tipos de fuentes que tienen densidad
espectral plana sobre un amplio intervalo de frecuencias.
Tal espectro tiene todos los componentes de frecuencia en igual proporción y se lo
designa Ruido Blanco. La densidad espectral de ruido blanco se exhibe en general como:

G( f)
2
donde η representa una densidad constante en la notación estándar. El factor 1/2 se incluye
para que asocie la mitad de la potencia con la frecuencia positiva y la otra mitad con la
negativa. En otras palabras, R.k. es la densidad espectral de potencia de frecuencia
______________________________________________________________________ 38
positiva.
Puesto que se conoce G(f), la función de autocorrelación se obtiene aplicando la
Transformada Inversa de Fourier a la misma.
R(  )


. j . .

e
df .
2
2


j . .
e
df
.
2
(  )
(1)
Se observa que R(≠ 0) = 0. De modo que dos muestras diferentes cualesquiera de
una señal de ruido blanco Gaussiano son no correlacionadas y por lo tanto estadísticamente
independientes.
El valor de  depende de dos factores:
a) el tipo de fuente de ruido
b) el tipo de densidad espectral, es decir la tensión cuadrática media, la corriente
cuadrática media o la potencia disponible. Si la fuente es un resistor térmico, entonces
las densidades tensión media cuadrática y corriente media cuadrática son:
ηv = 4.R.k.ηi = 4.k.R
donde el tipo de densidad espectral se indica por medio de subíndices.. Además, cualquier
tipo de fuente de ruido térmico tiene por la definición la densidad espectral de ruido onesided disponible 2Ga(f) = k .
Otras fuentes de ruido blanco no térmicas, en el sentido de la potencia disponible,
no están relacionadas con la temperatura física. Sin embargo, se puede hablar de la
temperatura de ruido N de cualquier fuente de ruido blanco térmico o no térmico por
medio de la definición:
N
2. G 0 ( f)  0
k
k
donde 0/2 es la máxima potencia de ruido que la fuente puede entregar por unidad de
frecuencia.
Entonces, dada una temperatura de ruido de fuente  = k .N (donde N no es
______________________________________________________________________ 39
necesariamente una temperatura física).
Por ejemplo, ciertos generadores de ruido electrónico tienen N = 10.0 = 3000 ºK
(2727 ºC) pero es obvio que los dispositivos no pueden estar a estas temperaturas.
RUIDO BLANCO FILTRADO
El modelo de ruido blanco resulta razonable siempre y cuando se lo relacione con la
salida de un filtro y la densidad espectral sea más o menos constante sobre la banda de
paso, una situación muy común en los sistemas de comunicación. Para el estudio del ruido
blanco filtrado - o filtrado de señales aleatorias en general - la relación de espectros de
potencia de entrada y salida:
2
G y( f) ( H( f) ) . G x( f)
es una herramienta básica, donde H(f) es la función de transferencia del filtro. Así, si la
entrada a un sistema lineal invariante en el tiempo, es la señal x(t), la salida será una señal
aleatoria y(t) con Gy(f) como en la ecuación anterior, y
R y(  )


2
j . .
( H( f) ) . G x( f) . e
df
Se supone, por consiguiente, que x(t) proviene de un proceso ergódico, en cuyo
caso también y(t) será ergódico.
Para ilustrar, si el ruido blanco es la entrada de un filtro pasabajos ideal de ganancia
unitaria y de ancho de banda B, entonces:
el espectro de potencia de salida es, de esta manera, una función rectangular y la
autocorrelación de la salida es una función sinc, de manera específica:
______________________________________________________________________ 40
Una simulación de este proceso se logra a través Matlab:
N=10000;M=100;R=randn(M,N);pivote=500;B=50;
for j=1:N,
C(j)=sum(R(:,pivote).*R(:,j))/M;
end
G=abs(fft(C)); % densidad espectral de potencia
i=B:N-B;G(i)=0; % Filtrado paso-bajo
P=abs(ifft(G)); % Funcion de autocorrelacion
j=1:N;plot(P(1:500))
Una simulación de este proceso se logra a través Mathcad
N  5000
M  100
Número de muestras por realización
i  0  M  1
B  50
R
i ,j
C 
j
j  0  N  1
ancho de banda
 rnd ( 1 )  0.5
(R)
0
(R)
matriz N x M de ruido blanco (μ=0)
j
M


G  cfft ( C)  rows ( C)
P  if 
B
jN 
B
2
2
  
T  icfft ( P)  rows ( P)
j
índices
Función de auto correlación
Densidad espectral de potencia


j
,0 ,G
Filtrado paso-bajo
Función de autocorrelación del ruido filtrado
30
Tj
20
10
______________________________________________________________________ 41
0
Funciones
Aleatorias 100
0
200
300
j
Como se evidencia en la figura, el proceso de filtrado ha dado a lugar a tres cosas:
1) El espectro de potencia no es mayor que el blanco, aunque es constante sobre un
intervalo finito de frecuencia.
2
2) La potencia de salida es finita. En efecto: y
. B
3) La señal de potencia de salida está incorrelacionada a intervalos aproximados 1/(2.B).
Aunque las conclusiones anteriores tuvieron como base los filtros paso-bajo ideales,
se obtienen resultados similares con cualquier filtro real. Se debe notar en forma particular,
que el espectro del ruido blanco filtrado se mezcla con el contorno de |H(f)|2. Puesto que
el espectro resultante no es mayor que el blanco, al ruido blanco filtrado se lo llama a
menudo ruido coloreado.
También sería deseable conocer la descripción probabilística de la señal filtrada,
esto es su función de densidad de probabilidad, y de esta observación obtener tanto buenas
como malas noticias. Las malas noticias son estas: no hay reglas generales que relacionen a
las funciones densidad de probabilidad de entrada y salida, salvo para un caso especial. En
este caso especial están las buenas noticias, a saber:
Si la entrada a un sistema lineal invariante en el tiempo, es una señal aleatoria
Gaussiana, entonces la salida también es Gaussiana.
Esto proviene del hecho de que cualquier transformación lineal de una variada
Gaussiana conduce a otra variada Gaussiana. Pueden cambiarse los promedios estadísticos,
pero no el modelo de probabilidad.
Se considera en este caso como una buena noticia, simplemente porque el modelo
Gaussiano es válido para muchas (pero no todas) las señales aleatorias que hay en la
ingeniería de comunicación.
EJEMPLO: RUIDO TERMICO EN UN CIRCUITO RC
Para resumir varios de los temas tratados hasta aquí, se considerará el circuito RC
de la figura de la derecha, donde el resistor está a la temperatura 
______________________________________________________________________ 42
Sustituyendo este resistor por su modelo de Thevenin, se llega a la figura de la
derecha, que es una fuente de ruido blanco con Gx(f) = 2.R.k. [V2/Hz] aplicada a un filtro
pasa-bajo RC sin ruido.
Puesto que:
Y(  )
H( f )
H( f )
1
( j    C)
R +
1
( j    C)
 X ( )
1
B
1 + j  2   f  C R
1
1+
j f
Y( f )
H( f )
X (f)
1
( j  2   f  C)
1
R +
( j  2   f  C)
1
2   R  C
H( f )
B
2

f 
1 +   
  B 
1
2
la densidad espectral de salida es:
2. R. k. 
2
G y( f) ( H( f) ) . G x( f)
2
f
1
B
con
B
1
2.  . R. C
y la autocorrelación de y(t) [antitransformada de Fourier de Gy(f) ] es:

k.  . R. C
R y(  ) 2. R. k.  .  . B. e
e
C
Gy(f) y Ry() se ven en el siguiente gráfico:
2.  . B. 
______________________________________________________________________ 43
La figura de la derecha muestra que el intervalo sobre el que el ruido filtrado tiene
una correlación apreciable es aproximadamente igual a la constante de tiempo, RC, del
circuito, como se podría sospechar.
Se puede decir además que y(t) es una señal aleatoria gaussiana con y 0 es decir sin
componente de CD, puesto que x(t) es gaussiana con valor medio 0, y:
2
y R y( 0 )
k. 
C
Como se puede apreciar, este último valor depende de C pero no de R, aunque la
fuente de ruido es el resistor térmico.
Si el resistor térmico está a la temperatura ambiente 0 y C = 0.1 F; entonces:
23
1.37. 10
k
k.  0
C
= 3.973 10
14
0
290
y 4. 10
2
C
14
6
0.1. 10
[V2]
Luego, la tensión de salida rms es y = 2.10-7 = 0.2 V .
Estos valores excesivamente pequeños son característicos en ruido térmico, lo cual
explica porqué no se nota en situaciones ordinarias. Sin embargo, si la señal recibida en un
sistema de comunicación de larga distancia, puede ser del mismo orden de magnitud o
incluso menor, lo cual muestra por qué un ruido térmico es una limitación fundamental en
la comunicación eléctrica.
Simulando con Mathcad:
______________________________________________________________________ 44
Función densidad espectral
Función de autocorrelación
ANCHO DE BANDA EQUIVALENTE DE RUIDO
El ruido blanco filtrado por lo general tiene potencia finita. Para enfatizar esta
propiedad, se designa a la potencia de ruido promedio con:
2
N y


( H( f) )
2. 
2
df .

0
2
( H( f) ) df
Haciéndose notar que la integral depende sólo de la función de transferencia del
filtro, por lo que se puede simplificar el análisis de la potencia del ruido definiendo
un ancho de banda equivalente de ruido, BN, como:
______________________________________________________________________ 45
BN
donde:

1
2
1.


0
2
( H( f) ) df
( H( f) ) max
es la relación de amplitudes de frecuencia central, es decir la ganancia de tensión. (Esta
definición supone que el filtro tiene una frecuencia central significativa). Por lo tanto la
potencia de ruido filtrado es:
N  . . B N
El examen de esta ecuación muestra que el efecto del filtro se ha separado en dos
partes: la selectividad de frecuencia relativa, descripta por medio de BN y la ganancia de
potencia (o atenuación), representada por medio de .
En la siguiente figura se ilustra para un filtro pasabanda, que BN es igual al ancho
de banda de un filto rectangular ideal que permitiera el paso de tanta potencia de ruido
blanco como el filtro en cuestión, siendo iguales sus ganancias máximas.
Por definición, el ancho de banda equivalente de ruido de un filtro ideal es su ancho de
banda real. Para filtros prácticos, BN es algo mayor que el ancho de banda a 3 dB; por
ejemplo, un filtro pasa-bajos RC tienen BN = 2..B donde BN es aproximadamente 50%
mayor que B. Sin embargo, como el filtro resulta ser más selectivo (con características de
corte agudo), su ancho de banda de ruido se aproxima al ancho de banda a 3 dB, y para
muchas aplicaciones no está muy lejos de la realidad considerarlos iguales.
Resumiendo, si y(t) es un ruido blanco filtrado de valor medio cero, entonces:
y 0
2
2
y  y N  . . B N
y
N
 . . B N
Esto significa que dada una fuente de ruido blanco, un medidor de potencia
promedio (o un medidor de tensión rms) acusará una lectura:
______________________________________________________________________ 46
donde BN es el ancho de banda equivalente de ruido del medidor mismo. Despejando, la
densidad de potencia de la fuente se puede deducir por medio de:
siempre y cuando se esté seguro que el ruido es en realidad blanco dentro del intervalo de
respuesta de frecuencia del medidor.
EJEMPLO: ANCHO DE BANDA EQUIVALENTE DE RUIDO DE UN FILTRO
PASABAJOS RC
Volviendo al filtro pasabajos RC del ejemplo anterior, la frecuencia central del filtro
es f=0. Así:
 ( H( 0 ) )
2
1
La razón de por qué
2
y R y( 0 )
k. 
C
en el ejemplo anterior es independiente de R resulta ahora aparente si se escribe:
Así, cuando aumenta R aumenta la densidad de ruido  (como debe ser) pero
disminuye el ancho de banda del ruido BN. Estos dos efectos se cancelan uno al otro en
forma precisa, de modo que:
2
y
k. 
C
RUIDO BLANCO Y MEDICIONES DE FILTRO
Dado que el ruido blanco contiene todas las frecuencia en igual proporción, resulta
______________________________________________________________________ 47
una señal conveniente para mediciones de filtros y para trabajo de diseño experimental.
En consecuencia, las fuentes de ruido blanco con densidad de potencia calibrada han
venido a ser instrumentos del laboratorio standard. A continuación se analizarán algunas de
las mediciones que se pueden hacer con estas fuentes.
Ancho de Banda Equivalente de Ruido - Supóngase que se conoce la ganancia de un
amplificador y se desea conocer su ancho de banda equivalente de ruido. Para hacerlo, se
aplica ruido blanco a la entrada y se mide la potencia de salida promedio con un medidor
cuya respuesta de frecuencia sea constante de manera esencial dentro de la banda de paso
del amplificador. El ancho de banda de ruido será entonces:
N
BN
 .
Respuesta de amplitud - Para encontrar la respuesta de amplitud de un filtro dado, se
aplica ruido blanco a la entrada de manera que el espectro de potencia de salida sea
proporcional a |H(f)|2. Entonces se explora el espectro de salida con un filtro pasabanda
sintonizable cuyo ancho de banda sea constante y pequeño en comparación con las
variaciones de |H(f)|2. Así, si el filtro de exploración se centra en fc , la tensión de ruido
rms en su salida será proporcional a |H(fc)|. Variando fc se obtiene, punto por punto, la
gráfica de |H(f)|.
Respuesta al impulso - En la siguiente figura se muestra un método para la medición de la
respuesta al impulso h (t) de un sistema dado:
El instrumental que se requiere es una fuente de ruido blanco, un retardador de
tiempo variable, un multiplicador y un dispositivo promediante.
Denotando el ruido de entrada como x(t), la salida del sistema será h*x(t), y la señal
retardada x(t-td). Así, la salida del multiplicador será:
______________________________________________________________________ 48
z( t ) x t
td . ( h. x( t ) ) x t
td .


h(  ) . x( t
 ) d
Pero, con x(t) que es el ruido blanco, la ecuación (1) dice que:

R v(  ) f0. G v( 0 ) 2. f0.
G v m. f0 . cos m.  o . 
m= 1
por lo tanto, h(t) se mide por medio de la variación del retardo de tiempo td.
Se puede cuestionar lo práctico de este método, en forma particular, puesto que h(t)
se puede obtener inmediatamente con la aplicación de un impulso (o un pulso breve e
intenso) al sistema. En tanto esta sea una conclusión válida para muchas mediciones de
filtros, hay muchos sistemas, tales como el procesamiento industrial y sistemas de control,
para los cuales no se puede dar una entrada impulsiva, o si se hace, podría dañar o destruir
al sistema.
______________________________________________________________________ 49

capitulo 2 – procesos estocasticos, definiciones, tipos de procesos

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