τ τ σ τ θ

Resistencia de Materiales. Capítulo XI. Círculo de Mohr en dos dimensiones.
CAPÍTULO XI
CÍRCULO DE MOHR EN DOS DIMENSIONES
11.1. Deducción del círculo de Mohr en dos dimensiones
El círculo de Mohr es un método gráfico propuesto para representar el estado de
tensión en un punto sobre cualquier plano oblicuo que pase por ese punto.
y
xy
n
ds
n xy

dy
x
dx
Figura 11.1. Estado de esfuerzos en un sólido.
¿ Cuánto valen los esfuerzos en un plano cualquiera?
 n  f ( x ,  y , xy , ) ,  n  g ( x ,  y , xy , )
además
en
la
dirección
de
 n   Fi  0
Considerando espesor igual a 1 se tiene
 n ds(1)   x dysen (1)   y dx cos  (1)   xy dy cos  (1)   xy dxsen (1)  0
al dividir por ds resulta
n x
dy
dx
dy
dx
sen    y
cos    xy
cos    xy
sen 
ds
ds
ds
ds
pero para un triángulo de catetos dx, dy e hipotenusa ds
dx
 cos 
ds
,
dy
 sen 
ds
  n   x sen 2    y cos 2   2 xy sen  cos 
En términos del ángulo doble se puede escribir:
Universidad de Santiago de Chile. Fac. de Ingeniería. Departamento de Ing. Metalúrgica.
11-1
Resistencia de Materiales. Capítulo XI. Círculo de Mohr en dos dimensiones.
n 
 x  y
2

( y   x ) cos 2
2
  xy sen 2
(1)
El esfuerzo máximo y mínimo se obtiene de la condición
d n
0
d
( y   x )
2 xy
d n
 2
sen 2  2 xy cos 2  0  tg 2  
d
2
 y  x
Esta es la condición de planos principales. Evaluando se tienen los siguientes
valores para el esfuerzo principal
n
máx/ mín

 x  y
2

( y   x ) 2
4
  xy
Los esfuerzos principales son  1   máx
2
son los valores máximos y mínimos
,  2   mín
Esfuerzo Cortante  n
En la dirección  n
  Fi  0
i
 n ds   x dy cos    y dx sen    xy dy sen   xy dx cos   0 dividiendo por ds
n 
La condición
( y   x )
2
sen 2   xy cos 2
(2)
d n
 0 entrega el esfuerzo cortante óptimo
d
Al igual que para el esfuerzo normal en éste caso se obtiene
Los valores máximos y mínimos son  máx/ mín  
Observación:
( y   x ) 2
4
tg( 2 ) ' 
  xy
 y  x
2 xy
2
tg 2 t g2( ) '  1  ángulo 2 es perpendicular a
(2 ) ' luego
 y  ' están a 45º. Esto se obtiene multiplicando las expresiones para ambas
tangentes
Al elevar al cuadrado y sumar las ecuaciones (1) y (2) queda
Universidad de Santiago de Chile. Fac. de Ingeniería. Departamento de Ing. Metalúrgica.
11-2
Resistencia de Materiales. Capítulo XI. Círculo de Mohr en dos dimensiones.

 x  y
 n  
2


2

  x
   n2   y
2


2

   xy 2

La que corresponde a la ecuación de un círculo en el espacio    centrado en
x y
2
y de radio R, con R 
( y   x ) 2
4
  xy cuya representación geométrica se
2
muestra en la figura 11.2.

.
2
R
.
 x  y
.
1

2
Figura 11.2. Representación geométrica del círculo de Mohr.
11.2. Metodología para trazar el círculo de Mohr
Sean  x ,  y y  xy las componentes del esfuerzo dado.
Sobre el eje horizontal se ubican los esfuerzos  x y  y y sobre el eje vertical se
ubica  xy . Se ubican los puntos ( x , xy ) y ( y , xy ) teniendo presente las siguientes
reglas:
a) Los esfuerzos tractivos se toman positivos
b) Los esfuerzos cortantes se toman positivos si tienden a producir una rotación en el
sólido en el sentido de las agujas del reloj
c) Al unir los puntos ( x , xy ) y ( y , xy ) mediante un trazo, el intercepto con el eje
horizontal define el centro del círculo.
11.3. Ejemplos
Universidad de Santiago de Chile. Fac. de Ingeniería. Departamento de Ing. Metalúrgica.
11-3
Resistencia de Materiales. Capítulo XI. Círculo de Mohr en dos dimensiones.





0
.

.

a) Tensión uniaxial
.

b) Tensión biaxial equilibrada
Figura 11.3. Casos de estados de esfuerzos. (a) Tensión Uniaxial. (b)
Tensión Biaxial equilibrada.
9 MPa
=6 MPa
14 MPa
Figura 11.4. Sólido sometido a cargas.
Problema 11.1
Hallar:
a) Planos principales
b) Esfuerzos principales
c) Direcciones de esfuerzo cortante máximo y mínimo
Universidad de Santiago de Chile. Fac. de Ingeniería. Departamento de Ing. Metalúrgica.
11-4
Resistencia de Materiales. Capítulo XI. Círculo de Mohr en dos dimensiones.
d)
 máx y  mín
e)
Los esfuerzos normales en los planos de  máx /  mín
Solución:
a)
tg 2  
 xy
6

 0.522
 y  x
 9  14
 27,6º
2  
207,6º
2
2
 = 13,8º ; 103,8º
b)
 máx/ mín 
 x  y
2
 y  x
 
2

2

   xy2

14  9
  9  14 
2

 
 6
2
 2 
2
Para  = 13,8º
 = -10,5 MPa
 = 103,8º  = 15,5 MPa
9 MPa
  6 MPa
14 MPa
103.8°
15,5 M Pa
13.8°
10,5 M Pa
 = -13 M Pa
148.8°
 = 13 M Pa
58.8°
Figura 11.5. Esfuerzos normales y cortantes
c)
máximos.
Los planos de máx/mín se encuentran: a 45º de los planos máx/mín.
Universidad de Santiago de Chile. Fac. de Ingeniería. Departamento de Ing. Metalúrgica.
11-5
Resistencia de Materiales. Capítulo XI. Círculo de Mohr en dos dimensiones.
 = 13,8º + 45º = 58,8º
 = 103,8º + 45º = 148,8º
d)
  x
máx/mín =   y
2

2

   xy2


 máx  13 MPa
 mín  13 MPa
Para  = 58,8º  = -13 MPa
e)
El esfuerzo  para  = 58,8º y  = 148,8º vale  = 2,5 MPa .

max= 13 MPa
.
2= -10.5 MPa
.
.
1= 15.5 MPa

min= -13 MPa
Figura 11.6. Círculo de Mohr correspondiente al problema 11.1.
Universidad de Santiago de Chile. Fac. de Ingeniería. Departamento de Ing. Metalúrgica.
11-6