MODULO MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA CICLO IV GRADO NOVENO

Transcripción

1
I.E.
CÁRDENAS CENTRO
MÓDULO DE MATEMÁTICA
Y ESTADÍSTICA
CICLO IV
GRADO NOVENO
2
TABLA DE CONTENIDO
pág.
UNIDAD 1
1.
FUNCIÓN LINEAL
2.
PENDIENTE DE UNA LÍNEA RECTA, ECUACIÓN DE LA RECTA
3.
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES, PROPIEDADES DE SUS PENDIENTES
4.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2X2 Y 3X3, MÉTODOS DE SOLUCIÓN
4.1.
ECUACIONES DE DOS INCOGNITAS
4.1.1. Método por Igualación
4.1.2. Método por Sustitución
4.1.3. Método por Reducción
4.2.
ECUACIONES DE TRES INCOGNITAS
5.
MATRICES Y DETERMINANTES
5.1.
MATRICES
5.1.1. Tipos de matrices
5.1.1.1. Atendiendo a la forma
5.1.1.2. Atendiendo a los elementos
5.1.2. Operaciones con matrices
5.1.2.1. Trasposición de matrices
5.1.2.2. Suma y diferencia de matrices
5.1.2.3. Producto de una matriz por un número
5.1.2.4. Propiedades simplificativas
5.2.
DETERMINANTES
5.2.1. Cálculo de determinantes de órdenes 1, 2 y 3
5.2.2. Cálculo de un determinante por los adjuntos de una línea
5.2.3. Propiedades de los determinantes
5.2.4. Cálculo de determinantes por el método de Gauss
6.
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES
7.
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS CON DATOS AGRUPADOS
8.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS ESTADÍSTICOS
8.1.
DIAGRAMA DE BARRAS
8.2.
HISTOGRAMA
8.3.
POLÍGONO DE FRECUENCIAS
8.4.
DIAGRAMA DE SECTORES
6
6
7
9
9
9
9
10
11
14
14
14
14
15
15
15
16
16
16
16
17
17
18
19
20
20
21
21
21
21
21
EVALUACIÓN DE COMPETETENCIAS
23
UNIDAD 2
1.
2.
3.
4.
4.1.
4.1.1.
5.
POTENCIACIÓN DE NÚMEROS REALES Y PROPIEDADES
DEFINICIÓN DE RADICACIÓN Y REGLAS DE CÁLCULO CON RADICALES
EXPONENTES RACIONALES
NOTACIÓN CIENTÍFICA
POTENCIAS DE 10
Descomposición de números con potencias de 10
UNIDAD IMAGINARIA Y POTENCIA DE i
3
25
25
26
26
26
27
29
5.1.
6.
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
7.
7.1.
7.2.
7.3.
8.
8.1.
8.1.1.
8.1.2.
8.2.
8.2.1.
8.2.2.
8.3.
8.3.1.
8.3.2.
POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA
SUMA Y DIFERENCIA DE NÚMEROS COMPLEJOS
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
LA MODA
LA MEDIANA
LA MEDIA ARITMÉTICA
MEDIDAS DE POSICIÓN: DECILES, CUARTILES Y PERCENTILES
DECILES
Datos Agrupados
Fórmulas Datos No Agrupados
CUARTILES
Datos Agrupados
Para Datos No Agrupados
CENTILES O PERCENTILES
Datos Agrupados
Fórmulas Datos No Agrupados
EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
29
29
29
29
29
30
30
30
30
30
31
31
31
31
32
32
33
33
33
34
35
UNIDAD 3
1.
1.1.
2.
3.
4.
4.1.
4.1.1.
4.2.
4.2.1.
4.2.2.
5.
5.1.
5.2.
5.2.1.
5.2.2.
5.3.
DEFINICIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA Y SU GRÁFICA
CARACTERÍSTICAS DE LA PARÁBOLA
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y SU GRÁFICA
FUNCIÓN LOGARÍTMICA Y SU GRÁFICA
ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
ECUACIONES EXPONENCIALES
Resolución de ecuaciones exponenciales
ECUACIONES LOGARÍTMICAS
Propiedades de los Logaritmos
Resolución de Ecuaciones Logarítmicas
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
DESVIACIÓN MEDIA
DESVIACIÓN TÍPICA
Cálculo de la desviación típica para datos no agrupados en clases
Cálculo de la desviación típica para datos agrupados en clases y agrupados por frecuencias
VARIANZA
37
37
41
42
43
43
43
44
45
45
46
46
48
48
48
49
51
UNIDAD 4
1.
2.
2.1.
2.1.1.
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Y GRÁFICA
SUCESIONES Y SERIES
¿QUÉ ES UNA SUCESIÓN?
Tipos de Sucesiones
52
53
53
55
4
2.1.1.1. Sucesiones aritméticas
2.1.1.2. Sucesiones geométricas
2.1.1.3. Sucesiones especiales
2.2.
SERIES
3.
PROGRESIÓN ARITMÉTICA Y SUMA DE LOS n PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
3.1.
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
3.2.
SUMA DE LOS n PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
4.
PROBABILIDAD, ESPACIO MUESTRAL, EVENTOS
4.1.
PROBABILIDAD
4.1.1. Espacio Muestral
4.1.2. Evento o Suceso
4.1.2.1. Sucesos Excluyentes
4.1.2.2. Sucesos Independientes
4.1.2.3. Sucesos Dependientes
5.
DIAGRAMAS DE ÁRBOL, TÉNICAS DE CONTEO
6.
COMBINACIONES Y PERMUTACIONES
6.1.
PERMUTACIONES
6.2.
COMBINACIONES
57
57
60
61
61
61
62
62
62
62
62
63
63
64
66
BIBLIOGRAFÍA
68
5
55
56
56
57
UNIDAD 1
Ejemplo:
Analicemos la relación funcional que existe entre la
venta domiciliaria de teléfonos celulares, y el sueldo
del vendedor: (función ingreso)
1. FUNCIÓN LINEAL
En matemática, el término función
referirse a dos conceptos diferentes.
lineal puede
En el primero, correspondiente a la geometría y
el álgebra elemental,, una función lineal es
una función polinómica de primer grado
grado. Es decir,
una función que
se
representa
epresenta
en
el plano
cartesiano como una línea recta.
donde
"y"
es el sueldo
del vendedor, y "x" es la cantidad de teléfonos
vendidos.
Estamos frente a una función lineal, cuya
representación gráfica es:
Esta función se puede
escribir como
donde m y b son constantes reales y x es una
variable real. La constante m es la pendiente de la
recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y.
Cuando cambiamos m modificamos la inclinación de
la recta y cuando cambiamos b desplazamos la línea
arriba o abajo.
En el segundo caso, en matemáticas más
avanzadas, una función lineal es una función que es
una aplicación lineal.. Esto es, una aplicación entre
dos espacios vectoriales que preserva la suma de
vectores y la multiplicación por un escalar.
scalar.
Una función lineal según la primera definición dada
anteriormente representa una aplicación lineal si y
sólo si b = 0. Así, algunos autores llaman función
lineal a aquella de la forma f(x) = mx mientras que
llaman función afín a la que tiene la forma f(x)
= mx + b cuando b es distinto de cero.
2. PENDIENTE DE UNA
ECUACIÓN DE LA RECTA
LÍNEA
EJERCICIOS….
Representa gráficamente estas rectas:
y = 2x – 3, y = – 2, y = 3x – 2.
RECTA,
Dados dos puntos (x1,yy1) y (x2,y2), la diferencia en X
es x2 − x1, mientras que el cambio en Y se calcula
como y2 − y1. Sustituyendo ambas cantidades en la
ecuación descrita anteriormente obtenemos:
La pendiente de una recta en un sistema de
representación triangular (cartesiano), suele ser
representado por la letra m,, y es definido como el
cambio o diferencia en el eje Y dividido por el
respectivo cambio
mbio en el eje X, entre 2 puntos de la
recta. En la siguiente ecuación se describe:
Donde m representa la pendiente entre el punto 1 y
el punto 2. La cual representa la razón de cambio de
y respecto a x, es decir si (x) se incrementa en 1
unidad, (y) se incrementa en (m) unidades.
(El símbolo delta "∆", es comúnmente usado en
cálculo para representar un cambio o diferencia).
6
Si la pendiente (m) es mayor que 0 se dice que la
pendiente es positiva, si la pendiente es menor que 0
se dice que la pendiente es negativa, si la pendiente
es igual a 0 la recta es paralela al eje (x) del plano
cartesiano, y si la pendiente es indefinida la recta es
paralela al eje (y) del plano cartesiano
Forma simplificada de la ecuación de la recta
Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la
recta corta al eje de ordenadas es (0,
( b), podemos
deducir, partiendo de la ecuación general de la
recta, y − y1 = m(x − x1):
En una recta, la pendiente
es siempre constante.
Se calcula mediante la ecuación:
Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de
la fórmula de la pendiente (ecuación puntopunto
pendiente):
Esta forma de obtener la ecuación de una recta se
suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las
coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se
conocen sólo los dos puntos, por lo que también se
le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos, y
se le debe a Jean Baptiste Biot.. La pendiente m es la
tangente del ángulo que forma la recta con el eje
de abscisas X.
La
ecuación
punto
dada m es:
de
la
recta
y
que
tiene
pasa
la
por
Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta
y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la
ordenada al origen, que llamaremos b. También se
puede utilizar esta ecuación para conocer la
pendiente y la ordenada al origen a partir de una
ecuación dada.
EJERCICIOS……..
el
pendiente
Ejemplo
La ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, −
4) y que tiene una pendiente de − 1 / 3.
3
Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo
siguiente:
3. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES, PROPIEDADES DE SUS PENDIENTES
Rectas paralelas son aquellas rectas que se encuentran en un mismo plano, presentan la misma pendiente y que
no presentan ningún punto en común, esto significa que no se cruzan, ni tocan y ni siquiera se van a cruzar sus
prolongaciones. Uno de los ejemplos más populares es
e el de las vías de un tren.
Para que una función sea paralela a otra tiene que tener la misma pendiente, o sea la misma “M”. Ejemplos:
F(X) = 2x + 2
G(X) = 2x + 4
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Propiedades de las Rectas Paralelas
Reflexiva (toda recta es paralela a si misma)
Simétrica (si una recta es paralela a otra, aquella será paralela a la primera)
Transitiva (si una recta es paralela a otra y esta a su vez es paralela a una
tercera, la primera será paralela a la tercera recta),
corolario de la propiedad transitiva (dos rectas paralelas a una
tercera serán paralelas entre sí) y (todas las rectas paralelas presentan la misma
dirección)
En tanto, los teoremas vinculados a las rectas paralelas nos dicen: que en un plano,
dos rectas perpendiculares a una tercera serán paralelas entre sí; por un punto
exterior a una recta, pasará siempre una paralela a esa recta; y si una recta corta a una de dos paralelas, cortará
también a la otra, siempre hablando en un plano. El trazado de las líneas paralelas puede llevarse a cabo con
regla y escuadra o con regla y compás.
En este caso las rectas son paralelas, puesto que la pendiente es la misma.
Ahora, para que una función sea perpendicular a otra tiene que su pendiente ser la inversa negativa de la otra
pendiente, digamos entonces que la formula sería: m1 • m2 = – 1 ⇒ m1 = – 1/m2.
Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro Ángulos iguales
de 90º.
- Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares.
- Dado un Punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y sólo
una perpendicular a dicha Recta.
- Dos rectas son perpendiculares si sus Vectores directores son perpendiculares es
decir el producto de los vectores es igual a cero
- Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de
signo.
La relación de perpendicularidad se puede dar entre:
Rectas: dos rectas coplanarias son perpendiculares cuando, al cortarse, dividen al plano en cuatro regiones
iguales, cada una de los cuales es un ángulo recto. Al punto de intersección de dos rectas perpendiculares se
le llama pie de cada una de ellas en la otra.
Semirrectas: dos semirrectas son perpendiculares, cuando conforman ángulos rectos teniendo o no el mismo
punto de origen.
Planos: dos planos son perpendiculares cuando conforman cuatro ángulos diedros de 90º.
Semiplanos: dos semiplanos son perpendiculares cuando conforman ángulos diedros de 90°; generalmente,
compartiendo la misma recta de origen.
EJERCICIOS
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente m = – 5.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, – 4) y que tiene una pendiente de – 1/3
¿Cuál es la pendiente y el coeficiente de posición de la recta 4x – 6y + 3 = 0?
Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P(1, 2) y Q(3, 4)
Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P1(4, 3) y P2(–3, –2)
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4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2X2 Y 3X3, MÉTODOS DE SOLUCIÓN
4.1. ECUACIONES DE DOS INCOGNITAS
Resolver un sistema de ecuaciones es encontrar los
valores de las incógnitas que satisfacen ambas
ecuaciones.
Existen tres métodos equivalentes básicos para
encontrar las soluciones de los sistemas, estos son:
4.1.1. Método por Igualación. Consiste en despejar
la misma incógnita de ambas ecuaciones, y como
ésta debe ser equivalente entre ambas las podemos
igualar, obteniendo de esta forma una ecuación con
una sola incógnita.
Así, obteniendo una simple ecuación de primer grado
logramos obtener la solución para x, ahora para
encontrar el valor de y solo debemos reemplazar x =
1 en cualquiera de las ecuaciones originales del
sistema:
Consideremos el sistema anterior:
De la primera ecuación despejemos y:
De ésta forma logramos encontrar el valor de la otra
incógnita, y con una simple ecuación de primer
grado.
4.1.2. Método por Sustitución. Este método
consiste en despejar una incógnita de alguna de las
ecuaciones para luego sustituirla en la segunda, de
ésta manera obtendremos una ecuación de una sola
incógnita.
Ahora de la segunda ecuación despejemos la misma
variable:
Consideremos el sistema anterior:
Luego, como y de la primera ecuación debe ser el
mismo que el de la segunda se tiene que:
De la primera ecuación despejemos esta vez x.
9
quiere decir que si sumamos, o restamos igualdades,
obtendremos otra igualdad también válida. La idea
de este método es obtener inteligentemente una
tercera ecuación que contenga a solo una de las
incógnitas.
Resolvamos el sistema anterior con este método:
Ahora sustituimos este valor en la segunda ecuación,
resultando:
Sumemos ambas ecuaciones.
De esta manera obtenemos una tercera ecuación
que también es verdadera para los mismos valores
de x y y. Por lo tanto resolviendo esta ecuación
podremos encontrar los resultados.
Como ya sabemos que y = 1 y x =
1+ y
basta
2
reemplazar y encontramos x.
Para encontrar el valor de y basta reemplazar x = 1
en cualquiera de las ecuaciones originales.
Resolvamos
reducción:
4.1.3. Método por Reducción. Ya sabemos que a
una igualdad le podemos sumar a ambos lados la
misma cantidad sin alterarla, lo que implica que a
una ecuación le podemos sumar a ambos lados los
miembros de otra ecuación, ya que las partes de
esta última no son más que el mismo elemento. Esto
otro
ejemplo
con
el
método
de
En este ejemplo no nos sería útil sumar o restar las
ecuaciones tal como están ya que obtendríamos una
tercera ecuación que contendría ambas incógnitas,
por lo que antes debemos “arreglarlas". Podemos
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multiplicar la segunda ecuación por 3, de ésta forma
el sistema quedará de la forma:
Ahora
podemos
obteniendo:
sumar
ambas
En este caso podemos despejar de la ecuación (2) la
variable z y luego reemplazarla en las ecuaciones (1)
y (3).
ecuaciones
Luego, al reemplazar en las ecuaciones (1) y (3)
resulta:
De ésta manera obtenemos una simple ecuación de
primer grado con una incógnita:
Para encontrar el valor de y se puede hacer un
proceso similar, o simplemente reemplazar el valor
de x en cualquiera de las ecuaciones originales.
4.2. ECUACIONES DE TRES INCOGNITAS
Los sistemas de 3 incógnitas deben tener a lo menos
3 ecuaciones para ser resolubles, y la manera de
resolverlos es “transformarlos" en un sistema de dos
ecuaciones y dos incógnitas que ya sabemos
resolver. Generalmente la forma más fácil de hacerlo
es utilizando el método de sustitución.
Así con las nuevas ecuaciones (4) y (5), formamos
un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas que
ya sabemos resolver:
Veamos un ejemplo.
Las podemos restar entre ellas para obtener una
sexta ecuación de solo una incógnita:
11
RESUELVE
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones
utilizando los métodos de resolución que te parezcan
más convenientes:
1.
Ahora reemplazamos en la ecuación (4):
2.
3.
4.
Y con los valores de y y de x obtenidos
reemplazamos en alguna de las ecuaciones
originales para obtener z:
5.
De esta manera finalmente logramos obtener todos
los valores del sistema original.
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Arquímedes, Newton y Gauss son tres hombres que
constituyen una clase especial entre los grandes
matemáticos y no corresponde a los mortales ordinarios
colocarlos en orden a sus méritos. Los tres iniciaron nuevas oleadas
en la Matemática pura y aplicada: Arquímedes estimaba su Matemática
pura mucho más que sus aplicaciones; Newton parece haber encontrado la
principal justificación para sus invenciones matemáticas en el uso científico
que de ellas estableció, mientras Gauss declaraba que para él tenía el
mismo valor la parte pura y la aplicada. De todos modos, Gauss elevó la
Aritmética superior a la categoría de reina de la Matemática.
El origen de Gauss, Príncipe de la Matemática, no era en verdad real. Hijo
de padres pobres; había nacido en una miserable casucha en Brunswick,
Alemania, el 30 de abril de 1777. Su abuelo paterno era un pobre
campesino. En 1740 su abuelo se estableció en Brunswick, donde
arrastró una precaria existencia dedicado a la jardinería. El segundo de
sus tres hijos, Gerhard Diederich, nacido en 1744, fue el padre de
Gauss. Aparte de este gran honor, la Vida de Gerhard, dedicada los
trabajos pesados de jardinero, constructor de canales y albañil, no se
distingue por ningún motivo.
Sus últimos años están colmados de honores, pero no fue
tan feliz como tenía el derecho a ser. Un hombre de una
mente tan poderosa y de una inventiva tan prolífica no
se resignaba con el reposo cuando aparecieron los
primeros síntomas de su última enfermedad, algunos meses antes de su muerte.
En una ocasión pudo escapar felizmente de una muerte violenta, y esto le hizo aún más reservado de lo que antes
había sido. Por primera vez en más de veinte años abandonó Göttingen el 16 de junio de 1854, para ver el
ferrocarril que se estaba construyendo entre su ciudad y Cassel. Gauss siempre había tenido gran interés por la
construcción de los ferrocarriles, y ahora podía satisfacer su curiosidad. Los caballos de su coche se desbocaron,
y al ser despedido del carruaje sufrió una fuerte conmoción. Se restableció, y tuvo el placer de ser testigo de las
ceremonias de la inauguración, cuando el ferrocarril llegó a Göttingen el 31 de julio de 1854. Este fue su último día
de tranquilidad.
Al iniciarse el nuevo año comenzó a sufrir de dilatación cardíaca y disnea, apareciendo síntomas de hidropesía. A
pesar de ello continuó trabajando cuanto pudo, aunque sus manos se acalambraban y su bella y clara escritura se
deformaba. Su última carta fue dirigida a Sir David Brewster, comentando el descubrimiento del telégrafo eléctrico.
Completamente consciente de su fin murió pacíficamente, después de una grave lucha para vivir, en la madrugada
del 23 de febrero de 1855, teniendo 78 años. Su nombre perdurará en la Matemática.
13
5. MATRICES Y DETERMINANTES
Ejemplo:
5.1. MATRICES
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto
rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas
horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la
forma:
Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo
número de filas que de columnas, es decir m = n. En
estos casos se dice que la matriz cuadrada es de
orden n, y no n ´ n.
Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la
llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y
los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal
secundaria.
Abreviadamente suele expresarse en la forma A
=(aij), con i =1, 2, ...,m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices
indican la posición del elemento dentro de la matriz,
el primero denota la fila (i) y el segundo la columna
(j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de
la fila 2 y columna 5.
Ejemplo:
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma
dimensión y los elementos que ocupan el mismo
lugar en ambas son iguales.
En la matriz la diagonal principal está formada por (1,
1, 9) y la diagonal secundaria por (0, 1, 3).
5.1.1. Tipos de matrices. Vamos a describir algunos
tipos de matrices que aparecen con frecuencia
debido a su utilidad, y de los que es conveniente
recordar su nombre.
Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama
t
traspuesta de A, y se representa por A , a la matriz
que se obtiene cambiando filas por columnas. La
t
primera fila de A es la primera fila de A , la segunda
t
fila de A es la segunda columna de A , etc.
5.1.1.1. Atendiendo a la forma
De la definición se deduce que si A es de orden m ´
t
n, entonces A es de orden n ´ m.
Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es
decir m =1 y por tanto es de orden 1´n.
Ejemplo:
Ejemplo:
Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una
columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m ´1.
Matriz simétrica: Una matriz cuadrada
t
simétrica si A = A , es decir, si aij = aji " i, j.
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A
es
Ejemplo:
Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada
antisimétrica si A = –At, es decir, si aij = –aji " i, j.
Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar
con los elementos de la diagonal principal iguales a
1.
Ejemplo:
es
Ejemplo:
Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene
nulos todos los elementos que están a un mismo
lado de la diagonal principal. Las matrices
triangulares pueden ser de dos tipos:
Triangular Superior: Si los elementos que están por
debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es
decir, aij =0 " i<j.
5.1.1.2. Atendiendo a los elementos
Triangular Inferior: Si los elementos que están por
encima de la diagonal principal son todos nulos. Es
decir, aij =0 "j<i.
Matriz nula es aquella que todos sus elementos son
0 y se representa por 0.
Ejemplo:
Ejemplos:
Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que
todos los elementos no pertenecientes a la diagonal
principal son nulos.
5.1.2. Operaciones con matrices
Ejemplo:
5.1.2.1. Trasposición de matrices. Dada una matriz
de orden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta
t
de A, y se representa por A , a la matriz que se
obtiene cambiando las filas por las columnas (o
viceversa) en la matriz A. Es decir:
Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los
elementos de la diagonal iguales.
Ejemplo:
15
Propiedades de la trasposición de matrices
Ejemplo:
1. Dada una matriz A, siempre existe su
traspuesta y además es única.
t t
2. (A ) = A.
El producto de la matriz A por el número real k se
designa por k·A. Al número real k se le llama también
escalar, y a este producto, producto de escalares por
matrices.
5.1.2.2. Suma y diferencia de matrices. La suma
de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma
dimensión, es otra matriz S=(sij) de la misma
dimensión que los sumandos y con término genérico
sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices
estas han de tener la misma dimensión.
Propiedades del producto de una matriz por un
escalar
1. k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva
1ª)
2. (k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva
2ª)
3. k [h A] = (k h) A (propiedad asociativa mixta)
4. 1·A = A (elemento unidad)
La suma de las matrices A y B se denota por A+B.
Ejemplo:
5.1.2.4. Propiedades simplificativas
1.
2.
3.
A + C = B + C ⇔ A = B.
k A = k B ⇔ A = B si k es distinto de 0.
k A = h A ⇔ h = k si A es distinto de 0.
Propiedades de la suma de matrices
5.2. DETERMINANTES
1. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad
asociativa)
2. A + B = B + A (propiedad conmutativa)
3. A + 0 = A (0 es la matriz nula)
4. La matriz –A, que se obtiene cambiando de
signo todos los elementos de A, recibe el
nombre de matriz opuesta de A, ya que
A + (–A) = 0.
Dada una matriz cuadrada
La diferencia de matrices A y B se representa por A–
B, y se define como: A–B = A + (–B)
5.1.2.3. Producto de una matriz por un número. El
producto de una matriz A = (aij) por un número real k
es otra matriz B = (bij) de la misma dimensión que A
y tal que cada elemento bij de B se obtiene
multiplicando aij por k, es decir, bij = k·aij.
Se llama determinante de A, y se representa por |A|
ó det(A), al número:
, con
16
5.2.2. Cálculo de un determinante por los
adjuntos de una línea. Sea A una matriz cuadrada
y aij uno cualquiera de sus elementos. Si se suprime
la fila i y la columna j de la matriz A se obtiene una
submatriz Mij que recibe el nombre de matriz
complementaria del elemento aij.
(Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1,
2,.. n}, e i(σ) es la signatura de la permutación).
También se suele escribir:
Dada la matriz
5.2.1. Cálculo de determinantes de órdenes 1, 2 y
3. Es fácil comprobar que aplicando la definición se
tiene:
La matriz complementaria del elemento a11 es la
matriz que resulta de suprimir en la matriz A la
fila 1 y la columna 1; es decir:
Llamamos menor complementario del
elemento aij al determinante de la matriz
complementaria del elemento aij , y se representa
por aij
En este último caso, para acordarnos de todos los
productos posibles y sus correspondientes signos se
suele usar la Regla de Sarrus, que consiste en un
esquema gráfico para los productos positivos y otro
para los negativos:
Se llama adjunto de aij , y se representa por Aij, al
i+j
número (–1) aij.
El determinante de una matriz cuadrada es igual
a la suma de los elementos de una fila o columna
cualquiera, multiplicados por sus adjuntos.
Por ejemplo, si desarrollamos un determinante de
orden n por los adjuntos de la 1ª fila se tiene:
17
Ejemplo:
La demostración es muy fácil, basta con aplicar la
definición de determinante a ambos lados de la
igualdad.
Nota
Esta regla rebaja el orden del determinante que se
pretende calcular en una unidad. Para evitar el
cálculo de muchos determinantes conviene elegir
líneas con muchos ceros
Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo
orden, entonces se verifica:
Ejemplo:
det (A·B) = det (A) · det (B)
Ejemplo:
5.2.3. Propiedades de los determinantes. Si todos
los elementos de una línea (fila o columna) de una
matriz cuadrada se descomponen en dos sumandos,
entonces su determinante es igual a la suma de dos
determinantes que tienen en esa línea los primeros y
segundos sumandos, respectivamente, y en las
demás los mismos elementos que el determinante
inicial.
Si permutamos dos líneas paralelas de una matriz
cuadrada, su determinante cambia de signo con
respecto al inicial:
det (L1 + L'1, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + det
(L'1, L2, L3...)
det (L1, L2, L3...) = -det (L2, L1, L3...)
Ejemplo:
Ejemplo:
Si se multiplican todos los elementos de una
línea de una matriz cuadrada por un número, el
determinante queda multiplicado por dicho
número.
Si una matriz cuadrada tiene una línea con todos
los elementos nulos, su determinante vale cero.
det (k·L1, L2, L3...) = k·det (L1, L2, L3...)
18
det (0, L2, L3...) = 0
Ejemplo:
Si a una línea de una matriz cuadrada se le suma
otra paralela, su determinante no varía.
Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas
iguales, su determinante vale cero.
det (F1 + F2, F2, F3) = det (F1, F2, F3) + det (F2, F2,
F3) = det (F1, F2, F3)
det (L1, L1, L3...) = 0
Ejemplo:
Ejemplo:
Si dos líneas paralelas de una matriz cuadrada
son proporcionales, su determinante se anula.
Si a una línea de una matriz cuadrada se le suma
otra paralela multiplicada por un número, su
determinante no varía.
det (L1, k·L1, L3...) = 0
det (L1 + k· L2, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + det
(k·L2, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + 0
Ejemplo:
Ejemplo:
5.2.4. Cálculo de determinantes por el método de
Gauss. Se conoce cómo método de Gauss a un
método para facilitar el cálculo de determinantes
usando las propiedades de éstos. Dicho método
consiste en hallar un determinante equivalente (con
el mismo valor) al que se pretende calcular, pero
triangular. De esta forma el problema se reduce a
calcular un determinante de una matriz triangular,
cosa que es bastante fácil usando las propiedades
de los determinantes.
Si una fila (columna) de una matriz cuadrada es
combinación lineal de las restantes filas
(columnas), su determinante vale cero.
det (L1, L2, a·L1 + b·L2...) = 0
Ejemplo:
Para conseguir triangularizar el determinante se pueden aplicar las siguientes operaciones:
•
•
•
Permutar 2 filas ó 2 columnas.
Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo.
Sumarle o restarle a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo.
19
Ejemplo:
6. SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1. Hallar dos números cuyo cociente sea 4/5 y su producto 80.
2. Hallar dos números tales que su producto sea 245 y uno es el quíntuplo del otro.
3. Hallar dos números cuya suma es 40 y su producto 256.
4. Encontrar dos números cuya suma sea 12 y la suma de sus cuadrados 104.
5. Encontrar dos números cuya diferencia es 8 y la suma de sus cuadrados 104.
6. Encontrar dos números cuyo producto sea 184 y al dividirlos da 2 de cociente y 7 de resto.
7. Hallar un número de dos cifras cuya suma de las mismas es 7 y el número es 2 unidades menor que el triplo
del producto de sus cifras.
8. Hallar dos números enteros tales que su suma sea 7 y la suma de sus cuadrados sea 25.
9. Hallar un número de dos cifras sabiendo que el doble de las decenas más las unidades es 8 y el producto del
número con el que resulta de invertir sus cifras es 736.
10. El perímetro de un rectángulo es 28 m y la diagonal excede en 2 m al lado mayor. Hallar el área del
rectángulo.
7. DISTRIBUCIÓN DE
DATOS AGRUPADOS
FRECUENCIAS
CON
datos se agrupan en clases con el fin de sintetizar,
resumir, condensar o hacer que la información
obtenida de una investigación sea manejable con
mayor facilidad.
Es aquella distribución en la que la disposición
tabular de los datos estadísticos se encuentran
ordenados en clases y con la frecuencia de cada
clase; es decir, los datos originales de varios valores
adyacentes del conjunto se combinan para formar un
intervalo de clase. No existen normas establecidas
para determinar cuándo es apropiado utilizar datos
agrupados o datos no agrupados; sin embargo, se
sugiere que cuando el número total de datos (N) es
igual o superior a 50 y además el rango o recorrido
de la serie de datos es mayor de 20, entonces, se
utilizará la distribución de frecuencia para datos
agrupados, también se utilizará este tipo de
distribución cuando se requiera elaborar gráficos
lineales como el histograma, el polígono de
frecuencia o la ojiva.
Ejemplo: Ejemplo, la siguiente tabla muestra las
notas que se sacaron 45 alumnos de un curso en su
última prueba:
Observa que en este caso las clases son las notas y
las frecuencias de clase son la cantidad de alumnos.
La razón fundamental para utilizar la distribución de
frecuencia de clases es proporcionar mejor
comunicación acerca del patrón establecido en los
datos y facilitar la manipulación de los mismos. Los
20
8. REPRESENTACIÓN
ESTADÍSTICOS
GRÁFICA
DE
DATOS
se utilizaran rectángulos de amplitud diferente, el
área del rectángulo es la que tendría que ser
proporcional
a
la
frecuencia
absoluta
correspondiente
ondiente a ese intervalo. Se utiliza el
histograma acumulativo, si se utiliza la frecuencia
absoluta acumulativa.
Las tablas estadísticas representan toda la
información de modo esquemático y están
preparadas para los cálculos posteriores. Los
gráficos estadísticos nos transmiten esa información
de modo más expresivo, nos van a permitir, con un
sólo golpe de vista, entender
tender de que se nos habla,
observar sus características más importantes,
incluso sacar alguna conclusión sobre el
comportamiento de la muestra donde se está
realizando
el
estudio.
Los gráficos estadísticos son muy útiles para
comparar distintas tablas de frecuencia. Los gráficos
estadísticos más usuales son:
8.1. DIAGRAMA DE BARRAS
8.3. POLÍGONO DE FRECUENCIAS
Se utiliza para la representación de variables
cuantitativas discretas,, cada valor de la variable se
representa por un punto sobre el eje OX y sobre él
se dibuja una barra de longitud igual o proporcional a
su frecuencia absoluta. Si la frecuencia absoluta que
se utiliza es la acumulativa, el diagrama de barras
que se
obtiene es: diagrama de barras
acumulativo.
Se utilizan para variables estadísticas cuantitativas,
discretas o continuas. Para una variable discreta,
el polígono de frecuencias se obtiene uniendo por
una poligonal, los extremos superiores de las barras.
Para una variable continua,
continua el polígono de
frecuencias se obtiene uniendo por una poligonal los
puntos medios de la base superior de los polígonos
políg
del histograma. Las escalas utilizadas para
representar los polígonos de frecuencias influyen
mucho por el impacto visual de los mismos.
8.2. HISTOGRAMA
Se utiliza para la representación de variables
cuantitativas continuas, cada intervalo se representa
sobre el eje OX, este será la base del rectángulo que
se dibuja sobre él con altura igual o proporcional a su
frecuencia absoluta. Como los intervalos son
consecutivos, los rectángulos quedan adosados. Si
8.4. DIAGRAMA DE SECTORES
Se utiliza para todo tipo de variable estadística,
cuantitativa o cualitativa. Consiste en dibujar
sectores sobre un círculo, siendo la amplitud de los
21
sectores proporcional a su frecuencia absoluta, cada
sector se rellena con un color diferente.
El cálculo de la amplitud en grados sexagesimales
del sector correspondiente se realiza así: ángulo =
frecuencia relativa * 360.
Nº días (xi)
fr. absoluta (ni)
0
1
1
2
2
4
3
7
4
1
5
1
6
3
7
1
Total
20
Realiza el diagrama de barras, el polígono de
frecuencias
y
el
diagrama
de
sectores
correspondiente.
EJERCICIO
…………..
Hemos preguntado a 20 personas por el número
medio de días que practican deporte a la semana y
hemos obtenido las siguientes respuestas:
22
ECUACIONES ALGEBRAICAS
6. Si al quíntuplo de un cierto número se le restan
16, se obtiene el triple del mismo número, ¿cuál
es el número?
a) 2
b) - 2
c) 8
d) – 8
1. La edad de Cristina es un tercio de la edad de
su padre y dentro de 16 años será la mitad,
entonces la edad de Cristina es:
a) 16
b) 24
c) 32
d) 48
e) 64
e)
3. De una torta Gonzalo se come la mitad,
Cristian la sexta parte y Paola la tercera parte,
¿qué parte de la torta quedó?
b)
c)
d)
1
3
1
6
1
9
1
18
8. Si x + z = y, 2y = 3x y x + y + z = 18, entonces el
valor de z es:
a) 9
b) 6
c) 4,5
d) 4
e) 3
e) Nada
2
9. Dada la ecuación (x + 1) = 1, la suma de sus
dos soluciones es igual a:
a) 0
b) 2
c) - 2
d) - 1
e) 1
4. La edad de una persona es (12a + 8) años,
¿hace cuántos años tenía la cuarta parte de su
edad actual?
a) 3a + 2
b) 12a + 4
c) 3a + 4
d) 9a + 8
e) 9a + 6
5. El
es:
a)
b)
c)
d)
2
10. Si m = 4nh entonces la ecuación x(nx + m) = h tiene:
a) Dos soluciones.
b) Una solución.
c) No tiene soluciones.
d) Infinitas soluciones.
e) No se puede determinar la cantidad de
soluciones.
valor de x en la ecuación 7(5x + 5) = 5(6x + 4)
10
3
3
10
5
7. Gonzalo tiene el doble de dinero que Cristian,
si entre ambos se quieren comprar una pelota de
$1.000 Gonzalo deberá tener el doble de dinero
que tiene. ¿cuánto dinero tiene Cristian?
a) $100
b) $200
c) $300
d) $400
e) $500
2. Sea x = 2y + 5, si x = 3 entonces y =
a) 1
b) - 1
c) 3/2
d) 4
e) 11
a)
19
e) 11
23
11. Si y es el sucesor de x, y x es el triple del
antecesor de y, entonces los valores de x y y son
respectivamente:
a) 0 y 1
b) - 1 y 0
c) 1 y 0
d) 0 y – 1
e) 0 y 0
16. Cristian es 3 años mayor que Gonzalo, en 5
años mas sus edades sumarán 35 años, ¿Qué
edad tiene Gonzalo?
a) 11
b) 14
c) 16
d) 19
e) 20
12. El producto de las raíces de la ecuación x2 +
x = 12 es:
a) 12
b) - 12
c) 3
d) – 4
e) – 1
17. Si Si 1 −
a)
b)
13. La semi suma de dos números es 10, y su
semi diferencia es 5, ¿cuál es el Mínimo común
múltiplo entre dichos números?
a) 25
b) 20
c) 15
d) 10
e) 5
c)
d)
e)
14. Cuál debe ser el valor de k para que una de
2
las soluciones de la ecuación x = 2x – k +10 sea
1.
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
3
= 9 entonces x =
x
9
2
2
−
9
9
2
8
3
3
−
8
−
18. La suma de las soluciones del sistema,
es:
15. La diferencia entre un número y su cuarta
parte es 9, entonces el doble del número es:
a) 12
b) 18
c) 24
d) 36
e) 90
a)
b)
c)
d)
e)
24
1
2
3
6
0
UNIDAD 2
1. POTENCIACIÓN DE NÚMEROS REALES Y PROPIEDADES
2. DEFINICIÓN DE RADICACIÓN Y REGLAS DE
CÁLCULO CON RADICALES
Esencialmente una potencia nos representa una
multiplicación por sigo mismo de un número que
llamamos “base", tantas veces como lo indique otro
número que llamamos “exponente".
Las raíces son casos más generales de las
potencias, ya que corresponden a una potencia, pero
de índice racional. Decimos que una raíz n- ésima de
un número a es b, si y solo si la n- ésima potencia de
b es 0, es decir:
Propiedades:
Consideremos a, b ∈ ℝ - {0} y m, n, ∈ ℤ
Propiedades:
Consideremos a, b ∈ ℝ - {0} y m, n, ∈ ℤ
RESUELVE
2
1.
 1
4 =
 
2.
2
3 =
 
4. ( 2i6 )
2
 2
 5
2
=
4
5.  1  =
−3
 2 1
3.  i  =
3 5
3
 2
6.  4  =
 3
25
RESUELVE
RESUELVE
4i16 =
1.
4.
9i16i25 =
2.
3
3.
5.
3
3
Simplifique cada expresión:
27
=
125
a)
−1 27
i =
8 1
2
2
b)
8i64 =
3. EXPONENTES RACIONALES
−1
3
−5
=
6
( )
x
−8
7
12
c)
Se utilizan como exponentes números racionales, o
como comúnmente se conocen, fracciones. Su
operación se hace basándose en las reglas de
exponentes. Si hay que sumar o restar exponentes,
se deberá hallar el denominador común. Además, se
colocará la respuesta de acuerdo a las leyes de los
signos, siempre comparando las fracciones. Se
convertirán exponentes negativos a positivos. Se
debe recordar que al elevar una expresión a la cero
el resultado es 1.
x x
x
−3
9
5
6
−1
28
=
=
4. NOTACIÓN CIENTÍFICA
La notación científica es una herramienta que
ocupamos para poder escribir números demasiado
pequeños o demasiado grandes con el fin de reducir
espacio
en
su
escritura.
Por
ejemplo,
5.000.000.000.000.000.000.000, es un número
bastante grande, por lo que aprenderemos que
21
podemos escribir éste número como 5 x 10 , cuya
notación es claramente más eficiente.
Ejemplos:
Simplificar cada expresión:
4.1. POTENCIAS DE 10
6
 34 
m 


Solución :
=m
3
4
 
18
=m4
9
= m2
5
1
Potencias de 10 Son aquellas potencias que tienen
base igual a 10, y exponente entero. Son potencias
de la forma:
x3x4
x2
Solución :
(6 )
=
10n ∀n ∈ ℤ
5 1
+
3 4
Estas potencias cuando el exponente es positivo,
nos indica la cantidad de ceros que vamos a poner a
la derecha del número 1. De la misma forma para los
enteros negativos nos indicará la cantidad de ceros
que vamos a poner a la izquierda del 1. Es decir:
x
x2
23
12
23
−2
x
12
= 2 =x
x
−1
1
= x 12 = 1
x 12
26
De esta forma podemos expresar las unidades,
decenas, centenas, milésimas, decenas de
milésimas, etc… Reemplazando por éstas potencias
de 10. Se tiene por ejemplo:
Así podemos ver que este tipo de escritura nos puede ser de mucha utilidad cuando deseemos expresar números
excesivamente grandes. Pero también utilizando exponentes negativos podemos obtener el mismo resultado, esta
vez con números pequeños. Por ejemplo:
4.1.1. Descomposición de números con potencias de 10. También podemos ocupar a las potencias de diez
para descomponer números, ya que como cuando lo hacíamos en enseñanza básica, los números los podemos
separar en una suma de unidades, decenas, centenas, etc…, y las potencias de base diez son precisamente eso.
Por ejemplo:
Ahora; llamamos específicamente notación científica cuando escribimos cualquier número representado por un
número, con un solo dígito antes de la coma, multiplicado por una potencia de diez. Este dígito es el primero del
valor original, por ejemplo:
Escribamos el número 65.300.000 con notación científica, entonces tenemos que escribir un número de un solo
dígito antes de la coma que multiplicado por alguna potencia de diez resulte 65.300.000. Dicha potencia de diez
resulta tener el exponente igual a la cantidad de espacios que vamos a correr la coma.
27
Entonces:
RESUELVE
1. Escribe los siguiente valores con notación científica:
a) 0,00001=
b) 0,0000000000235=
c) 125.230=
d) 1.235.300=
e) 85.325.000.000=
f) 0,00000639=
g) 0,000000001001=
h) 123.200.000=
i) 998.000.000.000.000.000.000=
j) 0,0000000000000000009=
2. Escribe los siguientes números como decimales sin
notación científica:
2
a) 1,2 x 10 =
6
b) 3,456 x 10 =
-3
c) 1,56 x 10 =
d) 9,99 x 109=
23
e) 6,022 x 10 =
8
f) 2,99 x 10 =
-28
g) 5,99 x 10 =
28
5. UNIDAD IMAGINARIA Y POTENCIA DE i
Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso,
para saber cuánto vale una determinada potencia de
i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el
exponente de la potencia equivalente a la dada.
Existen ecuaciones que no tienen solución en el
2
conjunto de los números reales, por ejemplo x + 9=
0 no tiene solución en R ya que no existe ningún
número real que elevado al cuadrado dé -9. Para
solucionar problemas en los que aparezcan raíces
cuadradas de números negativos, es preciso ampliar
el conjunto de los números reales R, construyendo
un nuevo conjunto, C, de manera que R sea un
subconjunto de C y de modo que en ese nuevo
conjunto se conserven las propiedades de las
operaciones y todos los números tengan raíz
cuadrada. Para ello se define la unidad imaginaria.
i 27 = −i
6. OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
6.1. NÚMEROS
BINÓMICA
Un número imaginario se denota por bi, donde:
b es un número real
Unidad imaginaria i, es aquel número que elevado al
2
cuadrado da -1: i = - 1; i = √-1
2
2
6.2. SUMA Y
COMPLEJOS
La ecuación x2 – 2x + 5 = 0 no tiene raíces reales ya
que el discriminante es negativo.
2
2
NÚMEROS
(a + bi ) - (c + di ) = (a - c) + (b - d) i
(5 + 2 i ) + (- 8 + 3 i ) – (4 – 2i ) =
x1 = 3 i
= (5 – 8 – 4) + (2 + 3 + 2)I = - 7 + 7 i
x = −9 x = ± −9 x2 =−3 i
6.3.
MULTIPLICACIÓN
COMPLEJOS
5.1. POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA
1
DE
(a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d) i
Con los números imaginarios podemos calcular
raíces con índice par y radicando negativo. x2 + 9 =
0
2
DIFERENCIA
La suma y diferencia de números complejos se
realiza sumando y restando partes reales entre sí y
partes imaginarias entre sí.
x – 2x + 5 = 0 ⇒ (x – 1) + 4 = 0 ⇒ (x – 1) = - 4 ⇒ x
–1=±2i⇒x=1±2i
i =i
FORMA
a+bi es la forma binómica del número complejo; a es
la parte real y b es la parte imaginaria.
La ecuación x + 9 = 0 tiene que cumplir x = - 9,
entonces: x = √-9 = √9 ∙ √-1 = ±3 i
i0 = 1
EN
Una expresión de la forma a+bi en la que a y b son
dos números reales cualesquiera e i es la unidad
imaginaria, se denomina número complejo.
i es la unidad imaginaria
2
COMPLEJOS
DE
NÚMEROS
El producto de los números complejos se realiza
aplicando la propiedad distributiva del producto
respecto de la suma y teniendo en cuenta que
2
i = −1.
i3 = - i
4
i =1
2
i = -1
29
(a + bi ) ∙ (c + di ) = (ac - bd) + (ad + bc) i
6.4. DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
(5 + 2 i ) ∙ (2 – 3 i ) =
El cociente de números complejos se hace
racionalizando
el
denominador;
esto
es,
multiplicando numerador y denominador por el
conjugado de éste.
2
= 10 – 15 i + 4 i – 6 i = 10 – 11 i + 6 = 16 – 11 i.
a + bi (a + bi )i(c − di ) (ac + bd ) + (bc − ad )i ac + bd bc − ad
=
=
= 2
+
i
c + di (c + di )i(c − di )
c2 + d 2
c + d 2 c2 + d 2
3 + 2i (3 + 2i )i(1 + 2i ) 3 + 6i + 2i + 4i 2 3 + 8i − 4 1 8
=
=
=
= + i
1 − 2i (1 − 2i )i(1 + 2i )
1 − (2i )2
1+ 4
5 5
7. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
7.2. LA MEDIANA
7.1. LA MODA
En un conjunto ordenado (en el caso de que un
conjunto no esté ordenado, debes ordenarlo para
encontrar la mediana) de datos estadísticos el
elemento que se encuentra en la posición central es
conocido como mediana, en el caso que no exista
una posición central (cuando hay una cantidad par
de elementos), la mediana será el promedio entre los
dos valores centrales.
En un conjunto de datos estadísticos el valor del
elemento que se repite más veces es conocido como
moda, la moda puede no existir en el caso de que no
haya repeticiones de algún dato o que todos se
repitan la misma cantidad de veces. En el caso de
que la moda exista puede no ser única pues puede
haber una cantidad menor de elementos del total que
se repitan la misma cantidad de veces.
Ejemplo 1
En el conjunto ordenado {0, 1, 1, 2, 3, 6, 8} la
mediana es 2, pues ocupa la posición central.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
En el conjunto ordenado {1, 2, 3, 4, 5, 6} no existe
posición central pues hay 6 elementos, en este caso
la mediana será el promedio entre 3 y 4, es decir
En el conjunto {a; f; c; d; e; b; a; d; a} la moda es a,
pues se repite 3 veces.
Ejemplo 2
En el conjunto { , , , , , , , } las modas son
, pues ambas se repiten 2 veces.
3+4
= 3,5.
2
y
7.3. LA MEDIA ARITMÉTICA
Ejemplo 3
En un conjunto de datos estadísticos la media
aritmética (lo abreviamos como x), es el promedio
entre todos los datos, es decir. Sea un conjunto {a1,
a2, a3, a4,…, an} de n elementos, el promedio será:
En el conjunto {1;1;2;2;3;3;4;4;5;5;6;6} no existen
modas.
x=
30
a1 + a 2 + a3 + a 4 + ... + an
n
Ejemplo 1
Ejemplo 2
En el conjunto {5, 4, 8, 3, 1, 1, 6} el promedio será:
En el conjunto {1, 2, 3, 4, 5} el promedio será:
x=
5 + 4 + 8 + 3 + 1 + 1 + 6 28
=
=4
7
7
x=
1 + 2 + 3 + 4 + 5 15
=
=3
5
5
8. MEDIDAS DE POSICIÓN: DECILES, CUARTILES Y PERCENTILES
8.1. DECILES
Los deciles son ciertos números que dividen la
sucesión de datos ordenados en diez partes
porcentualmente iguales. Son los nueve valores que
dividen al conjunto de datos ordenados en diez
partes iguales, son también un caso particular de los
percentiles. Los deciles se denotan D1, D2,..., D9,
que se leen primer decil, segundo decil, etc.
Los deciles, al igual que los cuartiles, son
ampliamente utilizados para fijar el aprovechamiento
académico.
•
El quinto decil corresponde a la mediana.
•
El noveno decil supera al 90% y es superado por
el 10% restante.
8.1.1. Datos Agrupados. Para datos agrupados los
deciles se calculan mediante la fórmula.
Donde (para todos):
k= 1,2,3,... 9
L1 = límite inferior de la clase que lo contiene
Donde:
P = valor que representa la posición de la medida
Lk = Límite real inferior de la clase del decil k
f1 = la frecuencia de la clase que contiene la medida
solicitada.
n = Número de datos
Fk = Frecuencia acumulada
antecede a la clase del decil k.
de
la
clase
que
Fa-1 = frecuencia acumulada anterior a la que
contiene la medida solicitada.
fk = Frecuencia de la clase del decil k
Ic = intervalo de clase.
c = Longitud del intervalo de la clase del decil k
8.1.2. Fórmulas Datos No Agrupados. Si se tienen
una serie de valores X1, X2, X3 ... Xn, se localiza
mediante las siguientes fórmulas:
Otra fórmula para calcular los deciles:
•
El cuarto decil, es aquel valor de la variable que
supera al 40%, de las observaciones y es
superado por el 60% de las observaciones.
Cuando n es par:
31
•
Cuando n es impar:
Siendo A el número del decil.
El primer cuartil Q1, es el menor valor que es
mayor que una cuarta parte de los datos; es
decir, aquel valor de la variable que supera 25%
de las observaciones y es superado por el 75%
de las observaciones.
Fórmula de Q1, para series de Datos agrupados:
8.2. CUARTILES
Los cuartiles son los tres valores que dividen al
conjunto de datos ordenados en cuatro partes
porcentualmente iguales.
Donde:
Hay tres cuartiles denotados usualmente Q1, Q2,
Q3. El segundo cuartil es precisamente la mediana.
El primer cuartil, es el valor en el cual o por debajo
del cual queda un cuarto (25%) de todos los valores
de la sucesión (ordenada); el tercer cuartil, es el
valor en el cual o por debajo del cual quedan las tres
cuartas partes (75%) de los datos.
solicitada.
8.2.1. Datos Agrupados.
Ic = intervalo de clase
•
El segundo cuartil Q2, (coincide, es idéntico o
similar a la mediana, Q2 = Md), es el menor valor
que es mayor que la mitad de los datos, es decir
el 50% de las observaciones son mayores que la
mediana y el 50% son menores.
Como los cuartiles adquieren su mayor importancia
cuando contamos un número grande de datos y
tenemos en cuenta que en estos casos
generalmente los datos son resumidos en
una tabla de
frecuencia.
La
fórmula
para
el cálculo de los cuartiles cuando se trata de datos
agrupados es la siguiente:
k= 1,2,3
Donde:
Donde:
Lk = Límite real inferior de la clase del cuartil k
Fk = Frecuencia acumulada de
antecede a la clase del cuartil k.
la
clase
solicitada.
que
fk = Frecuencia de la clase del cuartil k
c = Longitud del intervalo de la clase del cuartil k
Ic = intervalo de clase
Si se desea calcular cada cuartil individualmente,
mediante otra fórmula se tiene lo siguiente:
•
32
El tercer cuartil Q3, es el menor valor que es
mayor que tres cuartas partes de los datos, es
decir aquel valor de la variable que supera al 75%
y es superado por el 25% de las observaciones.
8.3. CENTILES O PERCENTILES
Los percentiles son, tal vez, las medidas más
utilizadas para propósitos de ubicación o clasificación
de las personas cuando atienden características
tales como peso, estatura, etc.
Donde:
Los percentiles son ciertos números que dividen la
sucesión de datos ordenados en cien partes
porcentualmente iguales. Estos son los 99 valores
que dividen en cien partes iguales el conjunto de
datos ordenados. Los percentiles (P1, P2,... P99),
leídos primer percentil,..., percentil 99.
solicitada.
8.3.1. Datos Agrupados. Cuando los datos están
agrupados en una tabla de frecuencias, se calculan
mediante la fórmula:
Ic = intervalo de clase.
Otra manera de verlo es partir de que todas las
medidas no son sino casos particulares del percentil,
ya que el primer cuartil es el 25% percentil y el tercer
cuartil 75% percentil.
8.2.2. Para Datos No Agrupados. Si se tienen una
serie de valores X1, X2, X3 ... Xn, se localiza
k= 1,2,3,... 99
- El primer cuartil:
Lk = Límite real inferior de la clase del decil k
Cuando n es par:
Donde:
Fk = Frecuencia acumulada
antecede a la clase del decil k.
de
la
clase
que
fk = Frecuencia de la clase del decil k
Cuando n es impar:
c = Longitud del intervalo de la clase del decil k
Otra forma para calcular los percentiles es:
•
•
Primer percentil, que supera al uno por ciento de
los valores y es superado por el noventa y nueve
por ciento restante.
•
El 60 percentil, es aquel valor de la variable que
supera al 60% de las observaciones y es
superado por el 40% de las observaciones.
Para el tercer cuartil
Cuando n es par:
Cuando n es impar:
33
500-599
70
365
600-699
62
427
700-800
36
463
Como son datos agrupados, se utiliza la fórmula
•
El percentil 99 supera 99% de los datos y es
superado a su vez por el 1% restante.
8.3.2. Fórmulas Datos No Agrupados. Si se tienen
una serie de valores X1, X2, X3 ... Xn, se localiza
Siendo,
Para los percentiles, cuando n es par:
La posición del primer cuartil.
La posición del 7 decil.
Cuando n es impar:
Siendo A, el número del percentil.
Es fácil ver que el primer cuartil coincide con el
percentil 25; el segundo cuartil con el percentil 50 y
el tercer cuartil con el percentil 75.
La posición del percentil 30.
Entonces,
EJEMPLO:
Determinación del primer cuartil, el séptimo decil y el
30 percentil, de la siguiente tabla:
El primer cuartil:
115.5 – 85 = 30.75
Salarios
No. De
fa
Li = 300, Ic = 100 , fi = 90
(I. De Clases) Empleados (f1)
200-299
85
85
300-299
90
175
400-499
120
295
El 7 decil:
34
Las preguntas 1 y 2 se responden a partir de la
siguiente información.
b)
Una prueba de hemoglobina, que se aplica a las
personas con diabetes durante sus exámenes
rutinarios de control, indica el nivel de azúcar en la
sangre durante los dos o tres meses anteriores a la
prueba. Los siguientes datos se obtuvieron de 40
personas con diabetes en la clínica:
6.5
6.4
5.0
7.9
5.0
6.0
8.0
6.0
5.6
5.6
6.5
5.6
7.6
6.0
6.1
6.0
4.8
5.7
6.4
6.2
8.0
9.2
6.6
7.7
7.5
8.1
7.2
6.7
7.9
8.0
5.9
7.7
8.0
6.5
4.0
8.2
9.2
6.6
5.7
9.0
1. Cuál es la distribución de frecuencia utilizando
seis intervalos de clase:
a)
Niv. azúcar
4.0 – 4.8
4.9 – 5.7
5.8 – 6.6
6.7 – 7.5
7.6 – 8.4
8.5 – 9.3
Freq.
24
36
22
12
4
2
c)
Niv. azúcar
4.0 – 4.8
4.9 – 5.7
5.8 – 6.6
6.7 – 7.5
7.6 – 8.4
8.5 – 9.3
Freq.
3
4
4
6
5
2
b)
Niv. azúcar
4.0 – 4.8
4.9 – 5.7
5.8 – 6.6
6.7 – 7.5
7.6 – 8.4
8.5 – 9.3
Freq.
12
18
11
6
2
1
d)
Niv. azúcar
4.0 – 4.8
4.9 – 5.7
5.8 – 6.6
6.7 – 7.5
7.6 – 8.4
8.5 – 9.3
Freq.
45
5
25
3
34
23
c)
d)
2. Cuál de las siguientes gráficas corresponde a
la función que da la distribución de frecuencia
utilizando seis intervalos de clase.
a)
35
Las preguntas 3 a 5 se responden de acuerdo
con la siguiente información.
b) En el primer negocio invirtió $10.000.000 y
en el segundo $15.000.000.
c) En el primer negocio invirtió $15.650.000 y
d) En el primer negocio invirtió $21.500.000 y
Yaneth, Constanza, Andrea y Nidia son cuatro
hermanas que decidieron rifar entre ellas una
muñeca que les regalaron, para ello utilizan dos
dados que serán lanzados hasta que la suma de los
puntos obtenidos en cada lanzamiento coincida con
los números que eligió cada una. Los números
elegidos fueron los siguientes:
Las preguntas 7 a 11 se responden a partir de la
siguiente gráfica.
Yaneth: 2 y 4, Constanza: 3 y 12, Andrea: 6 y 8,
Nidia: 5 y 10.
3. La niña que tiene la mayor probabilidad de
ganar la muñeca es:
a) Yaneth.
c) Andrea.
b) Constanza.
d) Nidia.
4. De acuerdo con la posibilidad que ofrecen los
dados para obtener cada número elegido, ¿cuál
de las siguientes afirmaciones es verdadera?
a) La probabilidad de obtener el número 2 es
mayor que la probabilidad de obtener el 10.
b) El número que tiene la mayor probabilidad
de obtenerse es el 4.
c) La probabilidad de obtener el número 5 es
igual a la probabilidad de obtener el 10.
d) El número que tiene la menor probabilidad
de obtenerse es el 6.
7. Las gráfica determina que el triángulo que se
encuentra al interior del paralelepípedo es
completamente adyacente al vértice D. ¿cuál es
la distancia entre el plano y el vértice D?
a) 3,3.
c) 4,1.
b) 2,9.
d) 2,8.
8. ¿Cuál es la longitud de la diagonal que
establece el tercer lado del triángulo?
a) √9
c) √57
b) √43
d) 2√34
5. La posibilidad más alta de ganar en escoger el
7. Si Constanza escoge el 7 y el 12, ¿cuál es la
posibilidad total de ganarle a Andrea?.
a) 2/36
c) 19/36
b) 7/36
d) no es posible que le gane
9. El volumen del paralelepípedo y el área del
triángulo en el interior de este es:
a) 48 y 10.
c) 48 y 10√2.
b) 16 y 10√2.
d) 28 y 10.
6. Un comerciante invirtió $25.000.000 en dos
negocios. El año pasado obtuvo 15% de
utilidades de un negocio, pero perdió 5% en el
segundo. Si los ingresos del año pasado de las
dos inversiones fueron equivalentes a un crédito
de 8% sobre el capital total invertido, ¿cuánto
dinero invirtió en cada negocio?.
10. Si los lados del paralelepípedo se duplican, el
volumen de éste se:
a) Duplica.
c) Triplica.
b) Cuadruplica. d) Octuplica.
11. Al duplicar los lados del sólido, el área del
triángulo se:
a) Duplica.
c) Triplica.
b) Cuadruplica. d) Octuplica.
a) En el primer negocio invirtió $20.000.000 y
36
UNIDAD 3
1. DEFINICIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA Y SU GRÁFICA
Con a, b y c ∈ ℝ, y por supuesto con a ≠ 0, de lo
contrario estaríamos en presencia de una función
afín. La representación gráfica de una función
cuadrática se denomina parábola.
Las funciones cuadráticas son todas aquellas que
están determinadas por una ecuación de segundo
grado, de la forma:
1.1. CARACTERÍSTICAS DE LA PARÁBOLA
La forma de la parábola está totalmente determinada por los coeficientes de la función cuadrática a, b y c. El
2
coeficiente a, que acompaña al x , determinara si las ramas de la parábola van hacia arriba o hacia abajo, es
decir:
El coeficiente c, el que no tiene x, cumple la misma labor que n en la función afín, es conocido como intercepto,
pues es el valor por donde la parábola atraviesa el eje y, es decir:
Los lugares por donde la parábola atravesará el eje de las abscisas o eje x, serán
los puntos donde la función sea 0, pues recordemos que los puntos sobre el eje x
tienen coordenada y igual a cero, por lo tanto debemos encontrar que valores de x
cumplen que:
O lo que es igual:
Y esos valores de x son precisamente las raíces de la ecuación de segundo grado que determina a la función. Sin
embargo estas raíces no siempre existen, o a veces solo existe una, en el primer caso la parábola nunca corta el
37
eje x, y en el segundo lo toca una sola vez. Recordemos que la cantidad de raíces de una ecuación de segundo
grado viene dado por su discriminante, por lo tanto se tiene que:
38
Otra parte importante de la parábola es el punto donde cambia de
dirección, conocido como vértice, para encontrarlo podemos aprovechar
el hecho de que la parábola es simétrica, por lo tanto podemos encontrar
la componente x del vértice (llamémosla xv) fácilmente ya que esta está
justo entre las raíces de la ecuación cuadrática. Por lo tanto podemos
encontrarla promediando las raíces:
Así, las coordenadas del vértice
de una parábola de ecuación
2
f(x) = ax + bx + c serán:

b
b2 
,c −

4a 
 2a
( xv , y v ) =  −
Lo que se vería gráficamente:
Luego para encontrar la componente y del vértice (llamémosla yv)
reemplazamos xv en la función:
39
Ejemplo 2:
Ejemplo 1:
2
2
Grafiquemos la función y = - x ; de la misma manera
debemos
asignar
arbitrariamente
valores
convenientes
de
x
para
encontrar
los
correspondientes de y y luego grafiarlos en el plano
cartesiano:
Grafiquemos la función y = x ; debemos dar valores
a x, para calcular los valores de y para poder
ubicarlos en el plano cartesiano.
40
RESUELVE
Representa gráficamente las siguientes funciones, determinando la concavidad, el intercepto con el eje y, el
vértice y los cortes sobre el eje x.
2
1. f(x) = x + 3x - 4
2
2
2. f(x) = x + 3x + 2
3. f(x) = x - 5x + 6
2. FUNCIÓN EXPONENCIAL Y SU GRÁFICA
La función exponencial se define de la forma:
También la podemos escribir como expa(x). Es una función inyectiva. El valor de a determinará por completo la
forma de la gráfica de la función.
41
EJERCICIOS
Grafíca las siguientes funciones exponenciales.
3. FUNCIÓN LOGARÍTMICA Y SU GRÁFICA
Observa que…
Una función logaritmo es una función definida de la
forma:
Si consideramos a la función exponencial una
función de expa(x): ℝ → ℝ+ entonces podemos decir
que la función loga(x): ℝ+ → ℝ es su inversa, pues:
f(x) = loga(x) siendo a un número fijo, positivo y
distinto de 1
Recordemos que los logaritmos NO están definidos
para los números negativos, por lo que el dominio de
ésta función no debe ser ℝ, mas bien, debe ser ℝ+.
Su composición genera la identidad.
El gráfico de la función logaritmo va a ser muy
distinto según el valor de la base, pues:
42
4.
ECUACIONES
LOGARÍTMICAS
EXPONENCIALES
3 x 2 + 8 x = 8 , NO es una ecuación exponencial.
Y
4.1.1. Resolución de ecuaciones exponenciales.
Para resolver las ecuaciones exponenciales
principalmente
ocupamos
las
siguientes
propiedades:
4.1. ECUACIONES EXPONENCIALES
Las ecuaciones exponenciales son aquellas
ecuaciones en que la incógnita está presente en el
exponente de una cantidad.
b
c
b
c
1. a = a ⇔ b = c
3 x +1 + 1 = 2 , Si es una ecuación exponencial.
2. a = a ⇔ a = c
43
Es decir, debemos lograr igualar las bases de las
potencias de éstas ecuaciones para de ésta manera
poder “trasformar" una ecuación exponencial en una
ecuación algebraica.
3.
83 X +5 = 4 X −1
4.
10 X ( X +1) = 1
Ejemplo 1:
5.
2562 X +5 − 2 X = 2 X
4.2. ECUACIONES LOGARÍTMICAS. El logaritmo
de un número es el exponente al que hay que elevar
otro número llamado base para obtener el número en
cuestión.
Por ejemplo, veamos las potencias del número 3.
Ejemplo 2:
Así, el logaritmo en base 3 de 1 es 0, ya que 0 es el
exponente al que hay que elevar 3 para dar por
resultado 1; de la misma manera el logaritmo de
base 3 de 3 es 1, el logaritmo en base 3 de 9 es 2, el
logaritmo en base 3 de 27 es 3, etc.
La notación que ocupamos para representar los
logaritmos es la siguiente:
loga b = c
Y se lee el logaritmo en base a de b es c.
La notación anterior del logaritmo, la podemos
explicar de la siguiente manera:
c
Logab = c ⇔ a = b
RESUELVE
1.
2 X −5 = 1
2.
4 3 X + 6 − 22 X − 7 = 0
Cuando no se escribe la base de un logaritmo se
asume que esta es 10, es decir:
log a = log10 a
44
4.2.1. Propiedades de los Logaritmos.
loga n b =
1. La base de un logaritmo no puede ser negativa,
ya que si lo fuera sus potencias pares serán positivas
y las impares negativas, y tendríamos una serie de
números alternadamente positivos y negativos,
resultando números positivos que no tendrían
logaritmo.
1
iloga b .
n
9. El cambio de base; se cumple siempre para el
logaritmo en cualquier base de cualquier número
que:
loga b =
2. Los números negativos no tienen logaritmo, ya
que siendo la base positiva, cualquiera de sus
potencias es siempre un número positivo.
logc b
∀c
logc a
4.2.2. Resolución de Ecuaciones Logarítmicas.
Para
resolver
las
ecuaciones
logarítmicas
principalmente ocupamos la siguiente propiedad:
3. Para cualquier logaritmo, el logaritmo de la
base es siempre 1, pues siendo una base a,
1
entonces a = a, es decir:
loga a = 1 ∀ a
Por lo tanto para lograr resolverlas, la idea es lograr
dejar la ecuación en cuestión de la forma:
4. Para cualquier logaritmo, el logaritmo de 1 es
0
0, pues para todo a ≠ 0 se tiene que a = 1, es decir:
loga 1 = 0 ∀ a
log(algo)=log(algo mas).
Ejemplo 1:
5. El logaritmo de un producto, es la suma de sus
logaritmos, es decir:
loga (b ic ) = loga b + loga c
6. El logaritmo de un cociente, es la diferencia de
sus logaritmos, es decir:
b
loga   = loga b − loga c
c 
7. El logaritmo de una potencia, es el producto
entre el exponente y el logaritmo de la base, es decir:
Ejemplo 2:
loga b n = n iloga b
8. El logaritmo de una raíz, es el cociente entre el
logaritmo de la cantidad sub-radical y el índice de la
raíz, pues
n
b =b
1
n
y ocupamos la propiedad
anterior para las potencias, es decir:
45
Fíjate que en el último ejemplo al sustituir el valor – 3
en la ecuación original esta queda: log(- 6) = log(2) +
log(- 3), sin embargo el logaritmo de números
negativos NO existe, por lo tanto la única solución es
x = 1.
Recuerda siempre comprobar tus resultados.
RESUELVE
1. log(x + 1) = log(2x – 5)
2. log 5 + log(x + 4) = log(x – 8)
2
3. log(x + 7) + log(x – 3) = log(x + 3)
4. log(x + 8) - log(x) = log(3x + 9)
5. MEDIDAS DE DISPERSIÓN
de la desviación con respecto a la media, que
llamaremos desviación media.
Con las medidas de centralización y posición
podemos conocer los valores centrales de un
conjunto de datos y la distribución de éstos. Uno de
los objetivos de las medidas de tendencia central es
la de sintetizar la información de los datos, pero
estas medidas por sí solas no bastan para ver su
grado de significación, veámoslo con un ejemplo.
Puede definirse como la media aritmética de las
desviaciones de cada uno de los valores con
respecto a la media aritmética de la distribución, y de
indica así:
Nótese que se toman las desviaciones en valor
absoluto, es decir, que la fórmula no distingue si la
diferencia de cada valor de la variable con la media
es en más o en menos.
Consideremos las notas de dos grupos de 50
alumnos, en el primero 25 alumnos obtienen un 10 y
25 un 4, en el segundo los 50 alumnos obtienen un
7. Si calculamos la media en ambos conjuntos es la
misma (7), si sólo nos fijamos en la media podemos
afirmar que los dos grupos de alumnos son
bastantes buenos, pero lo cierto es que en el primer
grupo hay 25 alumnos que han obtenido una nota
excelente y 25 con mala nota, mientras que en el
segundo todos los alumnos han sacado una buena
nota.
Ya se habrá advertido que esta expresión sirve para
calcular la desviación media en el caso de datos sin
agrupar.
Veamos un ejemplo: Se tiene los valores 2, 2, 4, 4,
5, 6, 7, 8, 8. Averiguar la desviación media de estos
valores.
La media para el primer grupo es menos
representativa que para el segundo. Hemos visto un
ejemplo, bastante exagerado para comprobar que las
medidas de tendencia central necesitan un
complemento, una medida que nos permita otorgar
mayor o menor representatividad estas medidas.
5.1. DESVIACIÓN MEDIA
En teoría, la desviación puede referirse a cada una
de las medidas de tendencia central: media, mediana
o moda; pero el interés se suele centrar en la medida
46
x
x−x
x
2
2
4
4
4
5
6
7
8
8
-3
3
-1
-1
-1
0
1
2
3
3
DM = 1,8
3
3
1
1
1
0
1
2
3
3
Veamos ahora cómo se calcula la desviación media
en el caso de datos agrupados en intervalos.
Veamos cómo se procede:
Donde observamos que ahora las desviaciones van
multiplicadas por las frecuencias de los intervalos
correspondientes. Además, las desviaciones son de
cada centro, o marca de clase, a la media aritmética.
Es decir,
Clase
ni
xm
ni ⋅ xm
16-20
20-24
24-28
28-32
32-36
36-40
40-44
44-48
48-52
2
8
8
18
20
18
18
8
3
100
18
22
36
176
x−x
16,72
ni ⋅ x − x
33,44
DM = 6,09
La desviación media viene a indicar el grado de
concentración o de dispersión de los valores de la
variable. Si es muy alta, indica gran dispersión; si es
muy baja refleja un buen agrupamiento y que los
valores son parecidos entre sí.
Ejemplo:
Para hallar la desviación media de la siguiente tabla
referida a las edades de los 100 empleados de una
cierta empresa:
Clase
16-20
20-24
24-28
28-32
32-36
36-40
40-44
44-48
48-52
La desviación media se puede utilizar como medida
de dispersión en todas aquellas distribuciones en las
que la medida de tendencia central
más
significativas haya sido la media.
ni
2
8
8
18
20
18
15
8
3
Propiedades
Nos da la media de la dispersión de los
datos.
Intervienen para su cálculo todos los datos.
Cada vez que insertemos un dato nuevo se
modificará.
Al intervenir un valor absoluto los cálculos
son complicados.
A mayor concentración de los datos entorno
a la media menor será su valor.
DM es no negativa
DM=0 si y sólo si todos los valores son
coincidentes.
47
5.2. DESVIACIÓN TÍPICA
5.2.2. Cálculo de la desviación típica para datos
agrupados en clases y agrupados por
frecuencias. Método largo: Se aplica la siguiente
fórmula
Con la varianza se elevan al cuadrado las unidades
de medida, sería interesante tener una medida de
dispersión con las mismas unidades de la media y
los datos, esto lo podemos conseguir haciendo la
raíz cuadrada positiva de la varianza, a la que
llamaremos desviación típica.
∑ fx
S=
Es sin duda la medida de dispersión más importante,
ya que además sirve como medida previa al cálculo
de otros valores estadísticos.
2
N
Donde
x = x m − x y f es la frecuencia absoluta de
cada intervalo.
Método abreviado o corto: La fórmula a utilizar es:
La desviación típica se define como la raíz cuadrada
de la media de los cuadrados de las desviaciones
con respecto a la media de la distribución. Es decir,
S=I
∑ fd
2
N
 ∑ fd 

−
 N 


2
Donde:
Para datos sin agrupar
I: amplitud de la clase
D: distancia en clases desde cada una en concreto a
la clase que contiene a la media supuesta A.
Ejemplo:
Para datos agrupados
Las alturas en cm de un grupo de 103 personas se
distribuyen así:
5.2.1. Cálculo de la desviación típica para datos
no agrupados en clases. Veamos la fórmula
anterior aplicada a un caso concreto.
Clases
150 – 155
155 – 160
160 – 165
165 – 170
170 – 175
175 – 180
180 – 185
185 – 190
190 – 195
195 – 200
Hallar la desviación típica de la serie: 5, 8, 10, 12, 16.
x
5
8
10
12
16
x−x
-5,2
-2,2
-0,2
1,8
5,8
x−x
2
27,04
4,84
0,04
3,24
33,64
Resp: S = 9,56
Primero hallamos x = 10,2
Luego S =
f
3
6
12
18
25
17
10
7
4
1
103
Propiedades
13,76 = 3,71
Tiene la misma unidad que los datos y que la
media.
48
Siempre es positiva, será cero si y sólo si
todos los datos son coincidentes.
Es la medida de dispersión más usada.
Es invariante ante cambios de origen.
Si se produce un cambio de escala la nueva
desviación típica es igual a la anterior
multiplicada por el cambio.
Si se produce simultáneamente un cambio de
origen y escala en los datos, sólo el cambio de
escala afectará a la desviación típica.
5.3. VARIANZA
La desviación media es una medida de dispersión de datos correcta pero presenta un inconveniente y es la
complejidad de manipulación al intervenir valores absolutos. Sería conveniente encontrar otra medida que
no presente el problema inicial (que no se compensen las dispersiones negativas con las positivas) y cuyo
manejo se hace más sencillo. Otra forma de evitar la compensación de dispersiones es elevar al cuadrado la
diferencia y es más sencillo trabajar con cuadrados que con valores absolutos, teniendo en cuenta esta
consideración introduciremos el concepto de varianza. La varianza es la media aritmética del
cuadrado de las desviaci
desviaciones
ones respecto a la media de una distribución estadística.
La varianza se representa por
.
Varianza para datos agrupados
Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son
equivalentes a las anteriores.
Varianza para datos NO agrupados
49
Ejemplo:
Calcular la varianza de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Propiedades
Como sumamos cuadrados la varianza siempre es positiva y será nula cuando todos los valores de la
variable sean coincidentes y por tanto iguales a la varianza.
Al elevar al cuadrado elevamos la unidad de medida de las observaciones al cuadrado.
Al elevarse al cuadrado las desviaciones aquellos valores más alejados
alejados de la media afectarán mucho a la
varianza.
Es invariante ante cambios de origen.
Si se produce un cambio de escala la nueva varianza es igual a la anterior multiplicada por el cuadrado
del cambio.
Si se produce simultáneamente un cambio de origen y escala
escala en los datos, sólo el cambio de escala
afectará a la varianza.
EJERCICIOS
1) Calcular todas las medidas de dispersión para la siguiente distribución
Xi 5 10 15 20 25
ni 3 7
5
3
2
2) Calcular todas las medidas de dispersión para los datos de la siguiente distribución
x
0–
100–
200–
300100
200
300
800
n 90
140
150
120
3) Una empresa de fabricación de productos cerámicos dispone de tres centros de producción. En el centro A, el
más grande y moderno, se hace un estudio de los m² de azulejo producidos al mes durante el año pasado,
obteniéndose una media de producción mensual x A = 250.000 m² , con una desviación típica SA = 15.000 m² . Se
sabe que el centro B, por tener maquinaria
quinaria más anticuada que A, produce cada mes un tercio de la producción de
A, y que el centro C, por tener un horno menos que B, produce cada mes 25.000 m² menos que B ¿Cual es la
media y la varianza de la producción mensual de C?
50
ECUACIONES
1. ¿Cuál es el valor de x en la ecuación:
x
x+1
x+2
5 + 5 + 5 = 155?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 1/3
e) 3
d) 3
e) No se puede determinar
7. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es
FALSA?
a) El logaritmo de 1 en cualquier base, siempre
es 0.
ax
2
b) x loga = x
c) La base de un logaritmo no puede ser
negativa
d) El logaritmo de una suma es el producto de
los logaritmos
e) El logaritmo de un cociente es la diferencia
de los logaritmos
2. Determine el valor de log3 (0; 1)
a) 1/3
b) 2
c) 1/3
d) 2
e)
3
9
x
8. El valor de x en la ecuación 10 = 2 es:
a) log2 10
b) log 5 – 1
c) 1 – log 5
d) - log2 10
e) log 2,01
3. ¿Al antecesor de que número debe elevarse 2
para obtener 32?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
4. La expresión
a)
b)
c)
d)
e)
9. Si 4 =
loga b
es equivalente a:
loga c
x
a)
b)
c)
d)
e)
loga a
loga b
loga c
loga (b + c)
loga (b ∙ c)
1
entonces x =
64
-3
3
-2
2
log4 64
x-5
10. Si 2 = 1, entonces el valor de logx 5 es:
a) 0
b) - 1
c) - 5
d) 5
e) 1
2
5. Si log√a = 0,7186, entonces log a =
4
a) (0,7186)
b) 4,7186
c) 2 log(0,7186)
d) 4 ∙ 0,7186
e) 4 log 0,7186
11. Dada la ecuación log(x + 1) = - 1 el valor x
corresponde a:
a) 1,1
b) 0,9
c) 0
d) - 0,9
e) – 2
6. En la expresión:
logm ( n im 3 ) = 3, si m > 1 entonces n =
a) 0
b) 1
c) 2
51
UNIDAD 4
1. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Y GRÁFICA
La función valor absoluto (se abrevia utilizando el signo ∣x∣ y se lee “valor absoluto de x"), es aquella que a cada
número real le asigna su mismo valor pero sin considerar su signo, de esta manera al 1 lo lleva al 1, al 5 lo lleva al
5, pero al número – 3 lo llevará al 3 y al – 100 lo llevará al 100. Dicho de otra manera, a todos los números
positivos más el 0 los deja igual, y a los negativos les cambia el signo.
Dicho matemáticamente:
Representemos gráficamente esta función, para hacerlo, démosle valores a x y asignémosle los valores
correspondientes de y.
Esta función no es inyectiva, ya que por ejemplo al número 5 del recorrido llegan los números 5 y – 5 del dominio.
Tampoco es sobreyectiva pues todos los valores negativos del codominio quedan sin preimagen.
52
EJERCICIOS
Representa gráficamente las siguientes funciones:
2. SUCESIONES Y SERIES
2.1. ¿QUÉ ES UNA SUCESIÓN?
Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden. Una
sucesión es Finita o infinita.
Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita, si no es una sucesión finita
Ejemplos
{1, 2, 3, 4 ,...}
...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)
{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita
{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión finita)
finita
{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás, y es finita
finita.
{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término
{a, b, c, d, e} es la sucesión finita de las 5 primeras letras en orden alfabético
{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión finita de las letras en el nombre "alfredo"
{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión infinita que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden
alternativo).
53
En orden. Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué orden!.
Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras!.
Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el mismo valor sí puede aparecer
muchas veces).
Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería sólo {0,1}
La regla. Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.
Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:
¡Pero la regla debería ser una fórmula!
Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el:
• 10º término,
• 100º término, o
• n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que queramos).
Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene el término).
Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?
Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 × n". Vamos a
verlo:
Probamos la regla: 2n
n Término
Prueba
1 3
2n = 2×1 = 2
2 5
2n = 2×2 = 4
3 7
2n = 2×3 = 6
Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que debería, así que vamos a
cambiarla un poco:
Probamos la regla: 2n+1
n
1
2
3
Término
3
5
7
Regla
2n+1 = 2×1 + 1 = 3
2n+1 = 2×2 + 1 = 5
2n+1 = 2×3 + 1 = 7
¡Funciona!
Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como:
54
La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1
Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º: 2 × 100 + 1 = 201
Notación. Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:
Entonces podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuación, así: xn = 2n+1
Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos escribir:
x10 = 2n+1 = 2×10+1 = 21
¿Puedes calcular el 50º término? ¿Y el 500º?
Ahora veamos algunas sucesiones especiales y sus reglas:
2.1.1. Tipos de Sucesiones
2.1.1.1. Sucesiones aritméticas. El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o
progresión aritmética), porque la diferencia entre un término y el siguiente es una constante.
Ejemplos
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...
Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos.
La regla es xn = 3n-2
3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...
Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos.
La regla es xn = 5n-2
55
2.1.1.2. Sucesiones geométricas. En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior
por un número fijo.
Ejemplos:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...
Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos.
La regla es xn = 2
n
3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...
Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos términos.
La regla es xn = 3
n
4, 2, 1, 0.5, 0.25, ...
Esta sucesión tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada dos términos.
La regla es xn = 4 × 2
-n
2.1.1.3. Sucesiones especiales
-
Números triangulares
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...
Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo. Añadiendo otra fila de puntos y contando
el total encontramos el siguiente número de la sucesión.
Pero es más fácil usar la regla
xn = n(n+1)/2
Ejemplo:
• El quinto número triangular es x5 = 5(5+1)/2 = 15,
• y el sexto es x6 = 6(6+1)/2 = 21
-
Números cuadrados
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...
El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición.
2
La regla es xn = n
-
Números cúbicos
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...
El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición.
56
3
La regla es xn = n
-
Números de Fibonacci
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
El siguiente número se calcula sumando los dos que están antes de él.
El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1)
El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13)
La regla es xn = xn-1 + xn-2
Esta regla es interesante porque depende de los valores de los términos anteriores.
Por ejemplo el 6º término se calcularía así:
x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8
2.2. SERIES
"Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie es la suma de una sucesión.
Sucesión: {1,2,3,4}
Serie: 1+2+3+4 = 10
Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa "súmalos todos":
Esto significa "suma de 1 a 4" = 10
Esto significa "suma los cuatro primeros términos de la sucesión 2n+1"
Que son los cuatro primeros términos de nuestro ejemplo {3,5,7,9,...} = 3+5+7+9 =
24
3. PROGRESIÓN ARITMÉTICA Y SUMA DE LOS n PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
3.1. PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Observa con atención lo que sucede con la suma de los términos de una progresión aritmética. Supongamos la
progresión:
2. 5. 8. 11. 14. 17. 20. 23. 26. 29. 32. 35. 38
Sumamos todos los términos y veo que S (la suma de todos los términos) vale 260
(1) S = 2+ 5+8+11+14+17+20+23+26+29+32+35+38= 260
57
Si sumo el valor de dichos términos comenzando por el último, la suma será la misma:
(2) S= 38+35+32+29+26+23+20+17+14+11+8+5+2+= 260
Ahora sumas las igualdades de las notas (1) y (2). La suma la haces verticalmente y te encontrarás con (2+38),
(5+35), (8+32).......
Estás sumando el primer término con el último, el segundo con el penúltimo, el tercero con el antepenúltimo, y así,
sucesivamente como tienes a continuación, verás que todas las sumas son iguales:
Hemos sumado los términos a la izquierda y la derecha del signo ‘=’ por ello:
¿Cuántas veces se repite la misma suma? Si cuentas bien verás que 40 se repite 13 veces lo que equivale a
40x13= 520
puedes escribir:
Si a los términos los escribimos como:
Los puntos suspensivos se refieren a otros términos, dependiendo del número de éstos.
Siendo n el número de términos
términos tendrías, sustituyendo n por 7:
serán los cuatro últimos términos. En una progresión de 7
58
La suma de todos los términos será:
El valor de la suma no varía si los sumamos comenzando del último al primero:
Ahora sumamos ambas igualdades:
Todas las sumas indicadas entre paréntesis tienen el mismo valor por lo que podríamos escribir:
Como todos los sumandos entre paréntesis valen lo mismo, tomamos uno de ellos, los que se refieren al primero y
último términos y nos resulta lo que tienes más arriba...
En lugar de sumar: 23+23+23+23+23+23, es más fácil, contar cuantas veces se repite este número y multiplicarlo
por 23: 23+23+23+23+23+23 es lo mismo que 23x6.
¿Cuántas veces se nos repite
?
Tantas veces como términos tenga la progresión, en este caso, n. Por lo que se nos transformaría todo lo anterior
en:
59
Despejamos el valor de S y obtenemos:
La fórmula que nos sirve para calcular el valor de la suma de los términos de una progresión aritmética es igual:
A la suma del primero y último términos, dividido por 2 y multiplicado por el número
de términos.
Si una progresión aritmética tiene un número impar de términos, como:
2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 18
La suma del primero y último, es igual a la suma del segundo y penúltimo,…. y me
quedará el término CENTRAL sólo. Si a éste le multiplico por 2, es decir, hallo el doble
de su valor, veré que coincide con las sumas anteriores:
RESUELVE
- Calcula la suma de los 20 primeros términos de la progresión 2. 4. 6. 8.
- En una progresión aritmética el primer término vale 1, el segundo 3. …….La suma de todos los términos 196.
¿Cuántos términos tiene?
3.2. SUMA DE LOS n PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Una progresión geométrica es una sucesión de números o términos de modo que uno cualquiera es igual al
anterior por una cantidad constante que llamamos razón de la progresión, la representamos por r y la obtenemos
dividiendo el valor de un término cualquiera por el valor del término anterior:
Observa una sucesión:
2: 4: 8: 16: 32: 64:.………..
Cuando veas puntos suspensivos quiere decir que en ellos, se incluyen o pueden incluirse más términos.
Vemos que el segundo término o número de la sucesión es igual al valor del primer término por 2.
El tercer término de la sucesión es igual al valor del segundo término por 2: 4 x 2 = 8
60
El cuarto término de la sucesión es igual al valor del tercer término por 2: 8 x 2 = 16.
El valor de d obtenemos dividiendo el valor del tercer término entre el valor del 2º término:
5º entre el valor del 4º:
o bien, el del
.
SÍMBOLO DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA. Cuando delante de una sucesión de números veas el
símbolo
se refiere a una progresión geométrica.
Ejemplo:
Si pones este símbolo te ahorras escribir las palabras: progresión geométrica.
RESUELVE
1. ¿Cuál es la razón de la progresión geométrica: 2: 20: 200: 2000.…?
2. En una progresión geométrica conocemos
y conocemos r = 5. ¿Cuánto vale el tercer término?
3. En una progresión geométrica el 2º término vale 6 y r = 2 ¿Cuánto vale el primer término?
4. PROBABILIDAD, ESPACIO MUESTRAL, EVENTOS
4.1. PROBABILIDAD
Smoneda = {que salga cara, que salga sello}
La probabilidad nos sirve para medir la frecuencia
con que ocurre un resultado de entre todos los
posibles en algún experimento.
Si en lugar de una moneda, lanzamos un dado
entonces el espacio muestral tendrá seis elementos,
uno correspondiente a cada cara del dado:
4.1.1. Espacio Muestral. El espacio muestral (lo
abreviamos simplemente como S) es un conjunto
formado por todos los resultados posibles de algún
experimento, por ejemplo, si lanzamos una moneda
al aire (a esto llamamos experimento), existen solo 2
posibilidades, que salga cara o que salga sello. Por
lo tanto el espacio muestral en este caso es un
conjunto de dos elementos.
Sdado = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Y si lanzamos el dado y la moneda al mismo tiempo
el espacio muestral estará conformado por pares
ordenados de la forma:
61
Smoneda+dado = (cara; 1); (cara; 2); (cara; 3); (cara; 4); (cara; 5); (cara; 6);
(sello; 1); (sello; 2); (sello; 3); (sello; 4); (sello; 5); (sello; 6)
Notemos que:
3. Que salga un número primo, en este caso E = {2;
3; 5}
#Smoneda+dado = #Smoneda _ #Sdado
Existen relaciones entre los sucesos:
Esto no es una casualidad, ya que cada vez que
llevamos a cabo más de un experimento la
cardinalidad del nuevo espacio muestral es igual al
producto de las cardinalidades de los espacios
muestrales de los experimento por separado,
siempre que éstos sean independientes.
4.1.2.1. Sucesos Excluyentes. Dos o más sucesos
serán excluyentes si solo uno de ellos puede ocurrir
en un experimento, por ejemplo al lanzar una
moneda, si sale cara entonces no puede salir sello y
viceversa, por lo tanto estos sucesos son
excluyentes.
4.1.2. Evento o Suceso. Cuando realizamos un
experimento puede que exista más de un caso
favorable para mis objetivos, por ejemplo en un juego
de dado para sacar una pieza de la cárcel, necesito
obtener del lanzamiento de un dado un 6 o un 1, en
este caso el conjunto formado por el 1 y el 6, es decir
{1,6} es el llamado evento o suceso (lo abreviamos
simplemente como E).
4.1.2.2. Sucesos Independientes. Dos o más
sucesos son independientes cuando la ocurrencia de
uno, no afecta la ocurrencia del o los otros. Por
ejemplo en el lanzamiento del dado y la moneda si
sale cara o sale sello, no afecta en ninguna medida
el número que salga en el dado, por lo tanto estos
sucesos son independientes.
4.1.2.3. Sucesos Dependientes. Dos o más
sucesos son dependientes cuando la ocurrencia de
alguno de ellos sí afecta la ocurrencia de los otros.
Por ejemplo si tengo un saco con 2 bolas negras y
una bola roja, el suceso de sacar la bola roja me
impedirá sacar una bola roja en el siguiente intento
pues en el saco solo hay 2 bolas negras, en este
caso esos sucesos son dependientes.
Un evento es un subconjunto del espacio muestral.
Veamos algunos ejemplos de eventos al lanzar un
dado:
1. Que no salga un número par, en este caso E = {1;
3; 5}
2. Que no salga 2, en este caso E = {1; 3; 4; 5; 6}
5. DIAGRAMAS DE ÁRBOL, TÉNICAS DE CONTEO
Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de
los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.
Ejemplo:
1.Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B,
AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas
clasificaciones pueden estar los pacientes de este médico?
62
Si contamos todas las ramas terminales, nos damos cuenta que el número de clasificaciones son 2 x 4 x 3 = 24
mismas que podemos enumerar; MAN, MAA, MAB, MBN, MBA, MBB, etc, etc.
EJERCICIO
Dos equipos denominados A y B se disputan la final de un partido de baloncesto, aquel equipo que gane dos
juegos seguidos o complete un total de tres juegos ganados será el que gane el torneo. Mediante un diagrama de
árbol diga de cuantas maneras puede ser ganado este torneo.,
6. COMBINACIONES Y PERMUTACIONES
6.1. PERMUTACIONES. Las permutaciones consisten en cambiar el orden de un conjunto, y poder determinar
cuántas posibilidades de ver de distinta forma ordenado el conjunto existen, por ejemplo;
Sea M = {m1, m2, m3, m4,…, mn} un conjunto de n elementos, entonces las posibilidades que tengo para poner
en cada casillero será: en la primera posición puedo colocar cualquiera de los n elementos, en la segunda puedo
colocar cualquiera de los que me quedan (que son n - 1), en la tercera posición puedo colocar solo n - 2 elementos
y así voy quedándome con un elemento menos a medida que avanzo en los casilleros, hasta que me quedo solo
con un elemento en la última posición, es decir:
63
De manera que cuando tengo un conjunto de n elementos la cantidad de permutaciones que puedo hacer sobre
éste será:
Pn elementos = n ∙ (n - 1) ∙ (n - 2) ∙ (n - 3) ∙ … ∙ 2 ∙ 1
A éste número lo conocemos como factorial de n, lo simbolizamos como n!, por lo tanto las permutaciones que
puedo hacer sobre un conjunto de n elementos será:
Pn elementos = n!
Ejemplo: Determinemos la cantidad de ordenamientos distintos del conjunto de las vocales V= {a, e, i, o, u}
P5vovales = 5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 posibilidades distintas
6.2. COMBINACIONES. Las combinaciones son muy parecidas a los arreglos, con la diferencia de que en los
conjuntos que se forman no importa el orden de manera que { , , } y { , , }. El número de combinaciones de
an elementos que puedo hacer de un total de m elementos será:
Cnm =
m!
n !i( m − n ) !
Ejemplo
Javier, Gonzalo, Manuel, Pamela y Paola se han postulado a la directiva de su curso, pero solo 3 de ellos pueden
quedar, ¿cuántas directivas posibles hay?.
Respuesta
En éste caso se trata de formar combinaciones entre los postulantes, pues si por ejemplo se elije a Javier,
Gonzalo y Paola es lo mismo que se elija a Paola, Gonzalo y a Javier, lo que corresponde a una combinación de 3
elementos de un total de 5, por lo tanto:
C35 =
5!
3!i( 5 − 3 ) !
5i4i3!
3!i2!
5i 4
=
2
= 10 posibles directivas distintas
=
64
RESUELVE
1. Un pastelero dispone de 7 ingredientes para armar sus tortas, ¿cuántas tortas distintas de 3 ingredientes
(sin que se repitan los ingredientes), podrá hacer?.
2. De cuantas formas distintas puedes ordenar tu repisa de 8 libros.
3. ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con la palabra matemática (no importa que no signifiquen
nada)?
4. Si un presidente dispone de 10 políticos para designar a sus 7 senadores, ¿cuántos posibles senados
pueden haber?.
65
1. Cristian fue al hipódromo y le gustaron dos
caballos, el primero tiene una probabilidad de
perder de 5/8 y el segundo una probabilidad de
ganar de 1/3. ¿Qué probabilidad tiene Cristian de
ganar si apuesta a los dos caballos?
a) 17/24
b) 1/8
c) 31/24
d) 5/12
e) No se puede determinar.
6. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzarse dos
dados se obtenga una suma que no supere a 10?
a) 11/12
b) 7/15
c) 11/15
d) 9/17
e) 11/17
7. En una bolsa se colocan 10 fichas numeradas
del 1 al 10. Si se extrae sin mirar al interior de la
bolsa una ficha, ¿cuál es la probabilidad de que
ella indique un número primo?
a) 2/5
b) 1/2
c) 9/10
d) 4/5
e) 3/5
2. La mediana entre los valores 5, 8, 13, 8, 6, 8, 10,
12, 8, corresponde a:
a) 5
b) 6
c) 8
d) 8,
e) Ninguna de las anteriores.
8. ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres
números unos al lanzar tres dados?
3. En la serie de números 2, 4, 4, 5, 5, 5, 17, el
valor de la moda es (son):
a) 2 y 17
b) 4
c) 5
d) 4 y 5
e) 6
a)
b)
4. Queremos construir un gráfico circular que
indique la cantidad de veces que ha salido cada
vocal en la página de un libro. ¿Cuántos grados
del gráfico circular le corresponden a la letra
“a"?
a)
b)
c)
d)
e)
c)
d)
1
18
3
18
1
216
3
216
e) Ninguna de las anteriores.
10º
12º
60º
120º
150º
9. Se lanza una moneda 3 veces, ¿cuántos
elementos tiene el espacio muestral?
a) 3
b) 6
c) 8
d) 9
e) 27
5. En una muestra aleatoria de 120 pacientes, se
encontró que 30 de ellos tienen diabetes. ¿Cuál
es la probabilidad de que un paciente elegido al
azar no tenga diabetes?
a) 25%
b) 45%
c) 60%
d) 75%
e) 85%
10. Un saco tiene dos bolitas rojas y tres verdes,
¿cuál es la probabilidad de sacar una bolita roja y
luego, sin reponerla, sacar una verde?
a) 100%
d) 40%
b) 10%
e) 30 %
c) 24%
66
11. De acuerdo con el gráfico adjunto, la moda y
la mediana son respectivamente:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
CyD
DyC
CyC
DyD
DyE
Solo I
Solo III
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
15. ¿Cuál de las siguientes alternativas presenta
la cantidad de bolitas blancas y rojas que deben
haber en una caja para que la probabilidad de
extraer una bolita roja sea
a)
b)
c)
d)
e)
12. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un
dado 4 veces, no se obtenga ningún 6?
a) 0
b) 1/1296
c) 10/3
d) 2/3
e) 625/1296
13. En la tabla adjunta se muestran las notas
obtenidas por un curso en un examen de
matemática.
Según ésta información, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) correctas?
I. El curso tienen 45 alumnos
II. La moda es 12
III. La mediana es 4
a)
b)
c)
d)
e)
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
14. Se sabe que las estaturas de dos personas
son, 1,70 m y 1,80 m, respectivamente, entonces
es correcto señalar que:
I. El promedio entre las estaturas es 1,75 m
II. La mediana es igual al promedio
III. No existe moda
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10 blancas
20 blancas
20 blancas
30 blancas
50 blancas
2
?
5
y 50 rojas
y 50 rojas
y 30 rojas
y 20 rojas
y 20 rojas
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PAREDES NUÑEZ, Pamela; RAMÍREZ PANATT Manuel. Apuntes de Preparación para la Prueba de Selección
Universitaria Matemática.Chile. 2009.
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MODULO MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA CICLO IV GRADO NOVENO

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