. 2 )(: − = ee x x x xff
Transcripción
. 2 )(: − = ee x x x xff
Examen 6toArq Matemática 1ª PP 1/7/15 1) a) i) Verdadero o Falso? Justificar : ii) Calcular los límites: lím Liceo Nº3N 25 x 2 = 5 x ∀x ∈ R x+2 25 x 2 + x + 3 b) Estudiar dominio, signo, calcular límites y hacer un bosquejo gráfico de : x→ ±∞ x2 − 1 f : f ( x) = ( x + 3).L 3 2) a) Verdadero o Falso? Justificar. −2 x2 + x−2 x 2 − 2x x − 2 x x +1 i) = ∀x ≠ 0 ii) e .e = e x +1 ∀x ≠ −1 x x2 −2 x 2 − 2 x x x+1 i) Estudiar dominio y signo de f e .e ii) Calcular límites y hacer un bosquejo b) Sea f : f ( x) = x2 gráfico de f. Examen 6toArq Matemática 2ª PP 1/7/15 Liceo Nº3N 3) a) Sea f una función que cumple : d ( f ) = R lím x → −∞ f ( x) = 0, lím− f ( x) = −∞ lím x → −3+ f ( x) = f (−3) = 0 , lím f ( x) = +∞ x → +∞ x → −3 sig f ’ (x) f ( −4) = −1 - - -? - - -? + + 0 - - - 0 + + -4 -3 -2 1 f ( −2 ) = 1 lím f ( x) = f (−3) = 0 x → − 3+ i) ii) iii) x f ( −1) = f ( 2) = 0, f (1) = −2 f ( x ) − f ( −4) lím = −2 x→ −4 x+4 Determinar si f es continua y derivable en -4 y -3. Ecuación de la recta t, tangente a la gráfica de f en el punto (-4,-1) Efectuar una gráfica de f ,que cumpla con todos los datos, incluyendo t. b) EA y RG de g : g ( x) = f : f ( x) = 4) Sea: 10 x 2 ex e x +1 + 2 si x < −1 ........... si − 1 ≤ x ≤ 1 x−Lx−2 si x > 1 3 -1 1 a) Completar la definición de f en [-1,1] , teniendo en cuenta la gráfica de f que se adjunta para dicho intervalo. b) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f en -1 y en 1. c) Calcular lím± f ( x) , lím f (x ) x→ 2 x→ + ∞ d) Hallar f ’(x) y estudiar su signo. e) Graficar f y deducir su signo. Examen 1/7/15-RESOLUCIÓN: 25 x 2 = 5 x ∀x ∈ R Falso, no se cumple si x<0, por ej., si x= -1: 1) a) i) 25( −1) 2 ≠ 5( −1) ii) Calcular xlím → ±∞ lím x→ ±∞ pues x+2 25 x 2 + x + 3 25 ≠ −5 x = lím x→ ±∞ 25x 2 x = x → ± ∞ 5. x = lím x 1 =± ± 5.x 5 x2 − 1 b) f : f ( x) = ( x + 3).L 3 x2 −1 x2 −1 > 0 sig Dominio: + + + +0 - - - - - 0 + + + + + 3 3 ⇒ Df = (−∞ ,−1) ∪ (1,+∞ ) -1 1 Signo: sig ( x + 3) − − − − 0 ++++++++++++++ −3 x2 −1 + + + + + + 0 − −∃/ ∃/ ∃/ − − − 0 + + + + + 3 : sig .L sig − 2 −1 1 2 f ( x) − − − − − 0 + + 0 − − ∃/ ∃/ ∃/ − − − 0 + + + + + + − 3 − 2 −1 1 2 → -∝ x − 1 = −∞ lím ( x + 3). L x → −1− 3 2 2 0+ x 2 − 1 = ±∞ lím ( x + 3). L x→ ± ∞ 3 ±∝ +∝ → -∝ x2 −1 = −∞ lím ( x + 3). L x → 1+ 3 4 0+ x 2) a) Verdadero o Falso? Justificar. x 2 − 2 x x ( x − 2) x − 2 i) = = ∀x ≠ 0 ⇒ Verdadero x x2 x2 x ii ) e .e −2 x +1 =e x + −2 x +1 =e x2 + x−2 x +1 ∀x ≠ −1 ⇒ Verdadero x 2 − 2x ⋅e b) i) f : f ( x) = x2 x2 + x−2 x +1 Df= R-{0,-1} x2 − 2x sig + + + + ∃/ − − − 0 + + + + x2 0 2 sig e x 2 + x −2 x +1 + +∃/ + + + + + + + + + + + −1 sig f ( x) + + + ∃/ + ∃/ − − − 0 + + + + + −1 0 2 +∝ ii) x−2 lím− ⋅e x → −1 x 3 x + x −2 x +1 2 = +∞ +∝ -∝ x−2 lím+ ⋅e x → −1 x x + x −2 x +1 2 0+ 3 -2 x−2 límm ⋅e x→ 0 x x + x −2 x +1 2 = ±∞ e-2>0 ~x→-∝ ±∝ x−2 lím ⋅e x → −∞ x 1 x 2 + x −2 x +1 =0 0+ =0 ~x→+∝ x−2 lím ⋅e x→ +∞ x 1 x + x −2 x +1 2 +∝ = +∞ 3) a) Sea f una función que cumple : d ( f ) = R lím x → −∞ f ( x) = 0, lím− f ( x) = −∞ lím x → −3+ f ( x) = f (−3) = 0 , lím f ( x) = +∞ x → +∞ x → −3 sig f ’ (x) - - -? - - -? + + 0 - - - 0 + + -4 -3 -2 1 f ( −4) = −1 f ( −2 ) = 1 lím f ( x) = f (−3) = 0 x → − 3+ i) x f ( −1) = f ( 2) = 0, f (1) = −2 f ( x ) − f ( −4) lím = −2 x→ −4 x+4 Determinar si f es continua y derivable en -4 y -3. f ( x ) − f ( −4) por teo . = −2 ∈ R def .deriv .→ f derivable en − 4 → f cont.en − 4 x+4 lím − f ( x) = −∞ def .cont .→ f no es cont. en − 3 teo .contrarrec .→ f no deriv.en − 3 lím x→ −4 x → −3 lím x → −3+ f ( x) = f (−3) = 0 ii) Ecuación de la recta t, tangente a la gráfica de f en el punto (-4,-1) mt=f ’(-4)=-2 → t) y+1=-2(x+4) → t) y=-2x-9 iii) Efectuar una gráfica de f ,que cumpla con todos los datos, incluyendo t. t 10 x 2 = 10 x 2 ⋅ e − x ex sig g ( x) + + + +0 + + + + b) EAyRG de g : g ( x) = Dg = R 0 2 10 x = 0 ( por órdenes) x→ +∞ e x lím lím 10 x 2 .e − x = +∞ x→ −∞ +∝ +∝ g ' ( x) = 20 x.e −x −x −x + 10 x .e .(−1) = e (−10 x 2 + 20 x) 2 sig g ' ( x) + + + + + 0 − − − − − 2 g (2) = 40.e − 2 ≅ 5,4 g : g ( x) = 4) f : f ( x) = 10 x 2 ex e x +1 + 2 si x < −1 3 − ( x − 1) si − 1 ≤ x ≤ 1 2 x − L x − 2 si x > 1 -1 1 a) Completar la definición de f en [-1,1] , teniendo en cuenta la gráfica de f que se adjunta para dicho intervalo. Hallamos la ecuación de la recta por los puntos (-1,3) y (1,0) : m= 0−3 3 3 = − → r ) y − 0 = − ( x − 1) 1 − (−1) 2 2 b) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f en -1 y en 1. f (−1) = e 0 + 2 = 3 lím (e x +1 + 2) = 3 x → −1− por def . → f es cont. en − 1 3 lím+ − ( x − 1) = 3 x → −1 2 f ( x ) − f ( −1) e x +1 + 2 − 3 e x +1 − 1 x +1 = lím− = lím− = lím− =1 → x → −1 x → −1 x → −1 x → −1 x + 1 x − ( −1) x +1 x +1 3 3 3 3 − ( x − 1) − 3 − x− − ( x + 1) f ( x ) − f ( −1) 3 2 = lím 2 lím = lím+ 2 = lím+ 2 =− + x → −1+ x 1 x 1 x 1 → − → − → − x − ( −1) x +1 x +1 x +1 2 lím− por def . → f no es derivable en − 1 3 f (1) = − ⋅ 0 = 0 2 3 lím− − ( x − 1) = 0 x →1 2 lím+ (x − L x − 2 ) = 1 por def . por teo contrarrec. → f no es cont. en 1 → f no deriv. en1 x →1 c) Calcular : lím (x − L x − 2 ) = +∞ x→ 2± d) f ' ( x) = e x +1 3 − 2 1− ~x→+∝(teorema1, infinitos en la suma.) lím (x − L x − 2 ) = +∞ x→ +∞ si x < −1 si − 1 < x < 1 1 x−3 = x−2 x−2 si x > 1 sig f ' ( x) + + + +∃/ − − − − − ∃/ + + + ∃/ − − − 0 + + + −1 1 2 3 (recordar que en -1 y en 1 f no es derivable) e) f(3)=3 sig f ( x) + + + + + + + 0 + + + ∃/ + + + −1 1 2