Principios fundamentales del flujo vehicular

Principios fundamentales del flujo vehicular

Análisis de Sistemas de Transporte
(88.09)
Principios fundamentales del
flujo vehicular
Extraído de
“Ingeniería de Tránsito y Carreteras”
Nicholas J. Garber y Lester A. Hoel
International Thompson Editores,
3º edición, México, 2005.
Departamento Transporte
Facultad de Ingeniería (UBA)
Agosto de 2014
Relaciones flujo-densidad
La ecuación general que relaciona el flujo, la densidad y la velocidad
media en el espacio está dada como
flujo = densidad x velocidad media en el espacio
�𝒔
𝒒 = 𝒌. 𝒖
[6.6]
Cada una de las variables de la ecuación 6.6 también depende de otros factores, incluyen las
características del camino, del vehículo y del conductor, así como de factores de medio ambientales
como el estado de tiempo.
Se listan otras relaciones que existen entre las variables del flujo del tránsito.
velocidad media en el espacio = (flujo) x (intervalo entre vehículos en el espacio)
donde
�
� 𝒔 = 𝒒. 𝒅
𝒖
[6.7]
� = 𝟏 = promedio del intervalo entre vehículos
𝒅
[6.8]
𝒌 = 𝒒. 𝒕̅
[6.9]
𝒌
densidad = (flujo) x (tiempo del viaje por unidad de distancia)
donde 𝑡̅ el tiempo promedio para una distancia unitaria.
promedio del intervalo entre vehículos = (velocidad media en el espacio) x (tiempo promedio
de los vehículos)
�
�=𝒖
�𝒔. 𝒉
𝒅
[6.10]
� = 𝒕̅. 𝒅
�
𝒉
[6.11]
(tiempo promedio de los vehículos) = (tiempo del viaje por unidad de distancia) x (velocidad
media en el espacio)
Diagrama fundamental del flujo del tránsito
Un diagrama fundamental del flujo de tránsito, reporta la relación entre la densidad
(vehículos/km) y el flujo del tránsito correspondiente para una carretera. Se ha postulado la siguiente
teoría respecto de la forma de la curva que representa a esta relación.
1. Cuando la densidad en la carretera es cero, el flujo también es cero porque no hay
vehículos en la carretera.
2. A medida que aumenta la densidad, el flujo también aumenta.
Principios fundamentales del flujo vehicular - Relaciones flujo-densidad
2
3. Sin embargo, cuando la densidad alcanza su máximo, denominado la densidad de
embotellamiento (kj), el flujo debe ser cero porque los vehículos tenderán a alinearse
extremo con extremo.
4. Se concluye que a medida que la densidad aumenta desde cero, el flujo también
aumentará inicialmente desde cero hasta un valor máximo. Un incremento continuo
adicional de la densidad, conducirá entonces a una reducción continua del flujo, el cual
finalmente será cero cuando la densidad sea igual a la densidad de embotellamiento.
Por tanto la forma de la curva adopta la geometría mostrada en la figura 6.4a.
Se han recolectado datos que tienden a confirmar el argumento postulado anteriormente, pero
existe alguna controversia respecto de la forma exacta de la curva. Puede postularse un argumento
similar para la relación general entre la velocidad media en el espacio y el flujo. Cuando el flujo es
muy bajo, existe poca interacción entre los vehículos individuales. Por tanto los conductores tienen la
libertad de viajar a la máxima velocidad posible. La velocidad máxima absoluta se obtiene a medida
que el flujo tiende a cero, y se le conoce como la velocidad libre media (uf). La magnitud de la
velocidad libre media, depende de las características físicas de la carretera. Un incremento continuo
del flujo, resultará en un decremento continuo de la velocidad. Sin embargo, se va a alcanzar un
Principios fundamentales del flujo vehicular - Relaciones flujo-densidad
3
punto para el cual un mayor número de vehículos resultará en la reducción del número verdadero de
vehículos que transitan por un punto en la carretera (es decir, una reducción de flujo). Esto conduce
a un congestionamiento, y finalmente tanto la velocidad como el flujo se hacen cero. En la figura 6.4c
se muestra esta relación general. La figura 6.4b muestra la relación directa entre la velocidad y la
densidad.
De la ecuación 6.6, se sabe que la velocidad media en el espacio, es igual al flujo dividido por la
densidad, lo que hace que las pendientes de las rectas OB, OC y OE de la figura 6.4a representen a las
velocidades medias, en el espacio para las densidades kb, kc y ke, respectivamente. La pendiente de la
recta OA es la velocidad a medida que la densidad tiende a cero y existe poca interacción entre los
vehículos. Por tanto la pendiente de esta recta es la velocidad libre media (uf); es la velocidad
máxima que puede alcanzarse en la carretera. La pendiente de la recta OE es la velocidad media en el
espacio para el flujo máximo. Este flujo máximo es la capacidad de la carretera. Entonces puede
verse que es conveniente que las carreteras, operen a densidades que no sean mayores que la
necesaria para el flujo máximo.
Relaciones matemáticas que describen el flujo del tránsito
Las relaciones matemáticas que describen el flujo del tránsito pueden clasificarse en dos tipos macroscópico y microscópico- dependiendo del enfoque que se use en el desarrollo de estas
relaciones. El enfoque macroscópico considera a las relaciones de la densidad de flujo, mientras que
el enfoque microscópico considera al espaciamiento entre vehículos y las velocidades de los
vehículos individuales.
Enfoque macroscópico
El enfoque macroscópico considera flujos vehiculares y desarrolla algoritmos que relacionan el
flujo, con la densidad y con las velocidades medias en el espacio. Los modelos macroscópicos más
empleados son los modelos de Greenshields y de Greenberg.
El modelo de Greenshields. Greenshields desarrolló uno de los primeros trabajos que se
conocen, en éste él estudia la relación entre velocidad y densidad. Postuló la hipótesis de que existe
una relación lineal entre la velocidad y la densidad y la expresó como
𝒖
� 𝒔 = 𝒖𝒇 − 𝒇 . 𝒌
𝒖
𝒌
[6.12]
𝒋
Pueden desarrollarse relaciones correspondientes para el flujo y la densidad, y para el flujo y la
velocidad. Como 𝑞 = 𝑢�𝑠 𝑘, sustituyendo a 𝑞/𝑢�𝑠 en lugar de k en la ecuación 6.12 nos da
� 𝟐𝒔 = 𝒖𝒇 𝒖
�𝒔 −
𝒖
𝒖𝒇
𝒌𝒋
.𝒒
También al sustituir 𝑞/𝑘 en lugar de 𝑢�𝑠 en la ecuación 6.12 nos da
𝒖
𝒒 = 𝒖𝒇 𝒌 − 𝒌𝒇 . 𝒌𝟐
𝒋
[6.13]
[6.14]
Las ecuaciones 6.13 y 6.14 indican, que si se supone una relación lineal que tenga la forma de la
ecuación 6.12 para la velocidad y la densidad, entonces se obtienen relaciones parabólicas entre el
flujo y la densidad, y entre el flujo y la velocidad. Por tanto la forma de la curva mostrada en la figura
6.4a será una parábola. También pueden usarse las ecuaciones 6.13 y 6.14 para determinar la
velocidad correspondiente y la densidad, respectiva para el flujo máximo.
Considere la ecuación 6.13.
Principios fundamentales del flujo vehicular - Relaciones flujo-densidad
4
𝒖
� 𝟐𝒔 = 𝒖𝒇 𝒖
�𝒔 − 𝒇 . 𝒒
𝒖
𝒌
𝒋
Derivando q respecto de 𝑢�𝑠 obtenemos
es decir,
� 𝒔 = 𝒖𝒇 −
𝟐𝒖
𝒖𝒇
𝒅𝒒
. �
𝒌𝒋 𝒅𝒖
𝒔
𝒌
𝒌
𝒌
𝒅𝒒
�𝒔
𝒅𝒖
� 𝒔 𝒋 = 𝒌𝒋 − 𝟐𝒖
�𝒔 𝒋
= 𝒖𝒇 𝒖 𝒋 − 𝟐 𝒖
𝒖
𝒖
𝒅𝒒
�𝒔
𝒅𝒖
=𝟎
Para el flujo máximo,
𝒇
𝒇
[6.15]
𝒇
𝒌
�𝒔 𝒋
𝒌𝒋 = 𝟐 𝒖
𝒖
𝒇
𝒖𝟎 =
𝒖𝒇
𝟐
Entonces, la velocidad media en el espacio 𝑢0 para la cual el volumen es máximo, es igual a la
mitad de la velocidad libre media.
Considere la ecuación 6.14.
𝒒 = 𝒖𝒇 𝒌 −
𝒖𝒇
𝒌𝒋
. 𝒌𝟐
Derivando q respecto de k obtenemos
𝒅𝒒
𝒅𝒌
= 𝒖𝒇 − 𝟐 𝒌
𝒅𝒒
𝒅𝒌
=𝟎
Para el flujo máximo,
𝒖𝒇
𝒌𝒋
𝒖
𝒖𝒇 = 𝟐 𝒌 𝒌𝒇
𝒋
𝒌𝟎 =
𝒌𝒋
𝟐
[6.16]
Entonces, para el flujo máximo, la densidad k0 es la mitad de la densidad de embotellamiento.
Por tanto, el flujo máximo para la relación de Greenshields, puede obtenerse a partir de las
ecuaciones 6.6, 6.15 y 6.16, cómo se muestra en la ecuación 6.17.
𝒒𝒎á𝒙 =
𝒌𝒋 𝒖𝒇
[6.17]
𝟒
El modelo de Greenberg. Varios investigadores han utilizado la analogía del flujo de fluidos, para
desarrollar relaciones macroscópicas, para el flujo del tránsito. Greenberg desarrolló una de las
principales contribuciones en que se emplea esta analogía, según la forma
𝒌
� 𝒔 = 𝒄 𝐥𝐧 𝒋
𝒖
𝒌
Multiplicando cada lado de la ecuación 6.18 por k se obtiene
𝒌
� 𝒔 𝒌 = 𝒒 = 𝒄𝒌 𝐥𝐧 𝒋
𝒖
𝒌
Principios fundamentales del flujo vehicular - Relaciones flujo-densidad
[6.18]
[6.19]
5
Derivando q respecto de k obtenemos
𝑘𝑗
𝑑𝑞
= 𝑐 ln − 𝑐
𝑘
𝑑𝑘
Para el flujo máximo,
obteniéndose
𝒅𝒒
𝒅𝒌
ln
=𝟎
𝑘𝑗
=1
𝑘
Sustituyendo 1 en lugar de ln�𝑘𝑗 ⁄𝑘0 � en la ecuación 6.18 nos da
𝑢0 = 𝑐
Entonces, el valor de c es la velocidad para el flujo máximo.
Aplicación del modelo
El uso de estos modelos macroscópicos, depende de si se satisfacen los criterios de frontera del
diagrama fundamental del flujo del tránsito, para la región que describe a las condiciones de tránsito.
Por ejemplo, el modelo de Greenshields satisface a las condiciones de frontera cuando la densidad k
se aproxima a cero, así como cuando la densidad se aproxima a la densidad de embotellamiento kj.
Por tanto, el modelo puede emplearse para tránsito ligero o denso. Por otro lado, el modelo de
Greenberg, satisface a las condiciones de frontera cuando k se aproxima a cero. Lo que significa que
el modelo es útil solamente para las condiciones de tránsito denso.
Calibración de los modelos macroscópicos de flujo de tránsito. Los modelos de tránsito
estudiados hasta ahora, pueden emplearse para determinar características específicas tales como,
velocidad y densidad, para las cuales se presenta el flujo máximo, así como para la densidad de
embotellamiento de una instalación. Hacer la calibración de un modelo, implica recolectar los datos
apropiados en la instalación específica de interés, y ajustar los puntos de los datos obtenidos a un
modelo adecuado. El método de enfoque más común es, el análisis de regresión. Esto se hace
minimizando los cuadrados de las diferencias, entre los valores observados y los esperados de una
variable dependiente. Cuando existe una relación lineal entre las variables dependiente y la
independiente, el proceso se conoce como análisis de regresión lineal, y cuando existe una relación
lineal respecto a dos o más variables independientes, el proceso se conoce como análisis de
regresión lineal múltiple.
Si una variable dependiente y, así como una variable independiente x, están relacionadas por
una función de regresión estimada, entonces
𝒚 = 𝒂 + 𝒃𝒙
[6.20]
Las constantes a y b podrían determinarse mediante las ecuaciones 6.21 y 6.22. (Para el
desarrollo de estas ecuaciones, consulte el apéndice B.)
y
𝟏
𝒏
𝒃
𝒏
� − 𝒃𝒙
�
𝒂 = ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒚𝒊 − ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒙𝒊 = 𝒚
Principios fundamentales del flujo vehicular - Relaciones flujo-densidad
[6.21]
6
donde
𝒃=
𝟏
𝒏
𝟐
𝟏
𝒏
𝟐
∑𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 − 𝒏 �∑𝒊=𝟏 𝒙𝒊 �
𝒏
𝒏
∑𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊 − (∑𝒊=𝟏 𝒙𝒊 ) (∑𝒊=𝟏 𝒚𝒊 )
[6.22]
n = número de conjuntos de valores observados
xi = iésima observación de x
yi = iésima observación de y
Una medida que comúnmente se emplea para determinar lo adecuado de una función de
regresión estimada, es el coeficiente de determinación (o el cuadrado del coeficiente de correlación
estimado) R2, que está dado por
∑𝒏 (𝒀 −𝒚
� )𝟐
𝒊
𝑹𝟐 = ∑𝒊=𝟏
𝒏 (𝒚 −𝒚
� )𝟐
𝒊=𝟏
𝒊
[6.23]
donde Yi es el valor de la variable dependiente, tal como se calcula con las ecuaciones de
regresión.
Entre más cercano esté R2 de 1, es mejor el ajuste de regresión.
Principios fundamentales del flujo vehicular - Relaciones flujo-densidad
7
Contenido
Relaciones flujo-densidad ................................................................................................................2
Diagrama fundamental del flujo del tránsito ...............................................................................2
Relaciones matemáticas que describen el flujo del tránsito........................................................4
Contenido .........................................................................................................................................8
Principios fundamentales del flujo vehicular - Relaciones flujo-densidad
8