CÁLCULO INTEGRAL - CECyT 11 - Instituto Politécnico Nacional

Transcripción

2010
CÁLCULO INTEGRALSOLUCIÓN DE PROBLEMAS
PROPUESTOS EN GUÍAS Y PROBLEMASESPECIALES
INSTITUTO POLITÉCNICO
NACIONAL
CECyT “WILFRIDO
MASSIEU”
Departamento de Unidades de Aprendizaje
Del Área Básica
PROFR.LUIS ALFONSO RONDERO G.
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INMEDIATAS .
Verificación por derivación
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA
Página 2
Página 3
Página 4
Página 5
Página 6
Página 7
ACTIVIDAD I. PROBLEMAS PROPUESTOS EN LA GUÍA II
INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
FUNDAMENTALES PARA INTEGRAR POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y
PRODUCTOS DE POTENCIAS TRIGONOMÉTRICAS.
La siguiente tabla de identidades trigonométricas es fundamental para realizar todas
1)
 sen
2)
 sen dx 
4
dx 
6)
 tan
3
11)  sen 2 x cos 3 x dx 
xdx 
7)  tan 4 3xdx 
5
 ctg
12)
 sen
13)
 sen
3)  cos 4 3xdx 
8)
4)  cos 5 2 xdx 
9)  ctg 3 xdx 
14)
 tan
5)  tan 2 xdx 
10)  ctg 4 x dx 
15)
 tan
2
xdx 
16)

tg 3 4 x sec 4 4 xdx
3
x cos 4 x dx
17)
 sen x cos
5
2 x cos 3 2 xdx 
18)
 tan x sec
3
x sec5 xdx 
19)
 tan x sec
3
x sec 6 xdx 
20)
 sen x cos
2
xdx 
4
xdx 
3
3
5
3
3
xdx 
3
xdx 
las transformaciones necesarias para simplificar las expresiones trigonométricas
contenidas en las integrales.
Identidades trigonométricas
Problema 1

2

2
1

4
2
 sen xdx   sen x dx    2 1  cos 2 x  dx
1
1
1
1
  1  2 cos 2 x  cos 2 2 x dx   dx   cos 2 xdx   cos 2 2 xdx
4
4
2
4


u  2x
du  2dx
du
 du
2
v  2x
dv  2dx
dv
 dx
2
Página 8

1
1
du 1
dv
x   cos u

cos 2 v
4
2
2 4
2

1
1
1
1
1
1 1
x   cos udu   cos 2 vdv  x  senu   1  cos 2v dv
4
4
8
4
4
8 2

1
1
1
1
1
1
1
x  sen2 x   1  cos 2v dv  x  sen2 x   dv   cos 2vdv
4
4
16
4
4
16
16
w  2v
dw  2dv
dw
 dv
2

1
1
1
1
dw 1
1
1
1
x  sen2 x  v   cos w
 x  sen2 x   2 x  senw
4
4
16
16
2
4
4
16
32

1
1
1
1
x  sen 2 x  x  sen 4 x
4
4
8
32
3
1
1
 x  sen 2 x  sen 4 x  c
8
4
32
Problema 2
 sen

5


xdx   senxsen 4 xdx   senx sen 2 x dx

2
2


  1  cos 2 x senxdx   1  2 cos 2 x  cos 4 x senxdx


  senx  2 cos 2 xsenx  cos 4 xsenx dx
  senxdx  2 cos 2 xsenxdx   cos 4 xsenxdx
u  cos x
du   senxdx
 du  senxdx
v  cos x
dv   senxdx
 dv  senxdx
  cos x  2 u 2  du    v 4  du    cos x  2 u 2 du   v 4 dv   cos x 
2u 3 v 5

3
5
2
cos 5 x
  cos x  cos 3 x 
c
3
5
Página 9
Problema 3
Problema 4
Problema 5
 tan
2


xdx   sec 2 x  1 dx   sec 2 xdx   dx
 tan x  x  c
Problema 6
 tan
3


xdx   tan 2 x tan xdx   sec 2 x  1 tan xdx
  sec 2 x tan xdx   tan xdx
u  tan x
du  sec 2 xdx
tan 2 x
u2
 Ln sec x  c
  udu  Ln sec x  c 
 Ln sec x  c 
2
2
Página 10
Problema 7
 tan
4
3xdx 


1
1
tan 2 u tan 2 udu   tan 2 u sec 2 u  1 du
3
3

u  3x
1
du  dx
3
1
1
tan 2 u sec 2 u du   tan 2 u du

3
3
v = tg u ; dv = sec2u du


1 2
1
1 v3 1
1
1
1
1
2
v
dv

sec
u

1
du

  sec 2 udu   du  v 3  tg u  u


3
3
3 3 3
3
9
3
3
1
1
1
1
1
3
3
 tan u  v  x  c  tan 3x  tan 3x  (3x)
9
3
9
3
3

1
1
 tan3 3x  tan 3x  x  c
9
3
Problema 8
 cot
2


xdx   csc 2 x  1 dx   csc 2 xdx   dx  ctgx  x  c
Problema 9
 cot xdx   cot x cot xdx   cot xcsc x  1dx
  cot x csc xdx   cot xdx   u  du   Ln senx
3
2
2
2
u  ctgx
du   csc 2 xdx
 du  csc 2 xdx
   udu  Ln senx  
ctg 2 x
u2
 Ln senx  c
 Ln senx  
2
2
Problema 10
 cot xdx   cot x cot xdx   cot xcsc
  cot x csc xdx   cot xdx
4
2
2
2
2
2
2

x  1 dx
2
u  cot x
du   csc 2 xdx
 du  csc 2 xdx
Página 11
  u 2  du    csc 2 x  1 dx    u 2 du   csc 2 xdx   dx  

u3
 ctg x  x  c
3
cot 3 x
 cot x  x  c
3
Problema 11
Problema 12
Problema 13
=
Problema 14
Página 12
1
1
sec7 x  sec5 x  c
7
5
  tan 3 x sec 5 x dx 
Problema 15


2
3
6
3
4
2
3
2
2
 tan x sec xdx   tan x sec x sec x dx   tan x sec x sec x dx


  tan 3 x 1  tan 2 x sec 2 x dx   tan 3 x(1  2 tan 2 x  tan 4 x) sec 2 x dx
2
  tan 3 x sec 2 xdx  2 tan 5 x sec 2 xdx   tan 7 x sec 2 xdx
u  tan x
du  sec 2 xdx
  u 3 du  2 u 5 du   u 7 
u 4 2u 6 u 8
tan 4 x tan 6 x tan8 x

 c 


c
4
3
8
4
6
8
Problema 16
=
Problema 17
 sen x cos
3

2
xdx   sen 2 x cos 2 x senx dx

  1  cos 2 x cos 2 x senx dx   cos 2 x senx dx   cos 4 x senx dx
   u 2 du   u 4 du  
u  cos x
du   senxdx
 du  senxdx
u3 u5
cos 3 x cos 5 x
 c  

c
3 5
3
5
Página 13
Problema 18
 tan x sec x dx   tan x sec xsec x dx
  tan x1  tan x  sec x dx   tan x sec
3
4
3
3
2
2
2
2
3
2
x dx   tan 5 x sec 2 x dx
u  tan x
du  sec 2 xdx
  u 3 du   u 5 du 
u4 u6
tan 4 x tan 6 x

c 

c
4
6
4
6
Problema 19


2
5
3
4
2
2
2
 tan x sec x dx   tan x sec x sec x tan x dx   tan x sec x sec x tan x dx



2

  sec 2 x  1 sec 2 x sec x tan x dx   sec 4 x  2 sec 2 x  1 sec 2 x sec x tan x dx
  sec6 x sec x tan x dx   2 sec4 sec x tan x dx   sec2 x sec x tan x dx
u  sec x
du  sec x tan x
  u 6 du  2 u 4 du   u 2 du 
u 7 2u 5 u 3

 c
7
5
3
1
2
1
 sec7 x  sec5 x  sec3 x  c
7
5
3
Problema 20
 sen x cos
3
3


x dx   sen 3 x cos 2 x cos x dx   sen 3 x 1  sen 2 x cos x dx
  sen 3 x cos x dx   sen 5 x cos x dx
u  senx
du  cos xdx
  u 3 du    u 5 du  
u4 u6
sen 4 x sen 6 x

c 

c
4
6
4
6
Página 14
ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA I .
PROBLEMAS PROPUESTOS EN LA GUÍA II
INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
FUNDAMENTALES PARA INTEGRAR POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y
PRODUCTOS DE POTENCIAS TRIGONOMÉTRICAS.
Soluciones
1. Solución:
2. Solución:
Página 15
3. Solución:
4. Solución:
5. Solución:
Página 16
6. Solución:
7. Solución:
8. Solución:
Página 17
9. Solución:
10. Solución:
11. Solución:
Página 18
En éste mismo espacio se resuelve la integral de la secante cúbica que se requiere para el
siguiente ejercicio.
12. Solución:
Página 19
SOLUCIÓN AL PROBLEMA PROPUESTO
Página 20
Actividad complementaria II: Soluciones
Problema 1
Problema 2
Página 21
Problema 3
Página 22
Problema 4
Problema 5
Página 23
Problema 6
Problema 7
Página 24
Problema 8
Problema 9
Problema 10
Página 25
Problema 11
Problema 12
Página 26
Problema 13
Problema 14
Página 27
Problema 15
Problema 16
Página 28
Problema 17
Página 29
INTEGRACIÓN POR PARTES.
ACTIVIDAD II.PROBLEMAS PROPUESTOS EN LA GUÍA II
PROBLEMAS RESUELTOS.
1.  x cos xdx   x senx    senxdx  xsenx    cos x  c  xsenx  cos x  c
ux
dv  cos xdx
du  dx
v  senx
2.
 x sen x dx  u dv  uv   vdu
  x cos x    cos x  2 x dx
  x cos x  2  x cos x dx
  x cos x  2x sen x   sen x dx 
2
u  x2
du  2 x dx
v   cos x
dv  sen x dx
2
2
2
ux
dv  cos x dx
du  dx
v  sen x
  x 2 cos x  2x sen x   cos x 
  x 2 cos x  2 x sen x  2 cos x  c
3.
x
x
x
 xe dx  xe   e dx
 xe x  e x  c
ux
dv  e x dx
du  dx
v  ex
4.
 x e dx  u dv  uv   vdu
 x e   e  2 x dx
 x e  2  e x dx
 x e  2 xe   e dx 
2 x
2
x
2
x
2
x
x
x
x
u  x2
dv  e x dx
du  2 x dx
v  ex
x
 x 2 e x  2 ex x  2 e x  c
ux
dv  e x dx
du  dx
v  ex
Página 30

5.
x 3 e x dx   x 2 xe x dx   we w 
2
2


dw 1
1
1
1
  we w dw  we w   e w dw  we w   e w dw
2 2
2
2
2
u=w ; dv=ew dw ; du=dw ; v=ew
w x
dw  2 xdx
dw
 xdx
2
2
6.

2
1 w 1 w
1
1 2
we  e  c  x 2 e x  e x  c
2
2
2
2
 Ln x dx  x Ln x   x
u  Ln x
du 
dv  dx
dx
 x Ln x   dx  x Ln x  x  c
x
dx
x
vx
7.
 xLn x dx  x Ln x  x    x Ln x  x dx 
 x Lnx  x   x Ln x dx   x dx
2
2
  x Lnx dx   x Ln x dx  x 2 Ln x  x 2 
  x Ln x dx 
x 2 Ln x  x 2 
2
x2
2
x2
2  1 x 2 ln x  1 x 2  c
2
4
u x
dv  Ln x dx
du  dx
v  x Ln x  x
8
x
2
cos x dx  u dv  uv   vdu
 x 2 sen x   senx  2 x dx
 x 2 sen x  2  x sen x dx


 x sen x  2 x cos x   cos x dx 
 x 2 sen x  2  x cos x    cos x dx
2
 x sen x  2 x cos x  sen x 
2
 x 2 sen x  2 x cos x  2 sen x  c
u  x2
dv  cos x dx
du  2 x dx
v  sen x
u x
dv  sen x dx
du  dx
v   cos x
Página 31
9.
x e
3 2x
dx  u dv  uv   vdu
x 3e 2 x
1

  e 2 x  3 x 2 dx
2
2
x 3e 2 x 3 2 2 x

  x e dx
2
2
3 2x

xe
3  x 2e 2 x
1

 
  e 2 x 2 x dx 
2
2 2
2


x 3e 2 x 3  x 2 e 2 x

 
  xe 2 x dx 
2
2 2

u  x3
dv  e 2 x dx
du  3 x dx
1
v  e2 x
2
2
u  2x
du  2dx
du
 dx
2
1
  e u du
2
1 u
 e
2
1 2x
1 2x
xe 2 x 1 2 x
xe 2 x 1  1 2 x  xe 2 x e 2 x
2x
xe
dx

x

e

e
dx


e
dx

  e 

c

2
2
2
2
2
22
2
4

ux
dv  e 2 x dx
du  dx
1
v   dv  e 2 x
2
v   e 2 x dx   e u
du 1 u
1
1

e du  e u  e 2 x
2 2
2
2
u  2x
du  2dx
du
 dx
2
Finalmente la integral original se resuelve así:
x 3e 2 x 3 2 2 x 3 2 x 3 2 x
 x e  xe   e dx
2
4
4
4
3 2x
xe
3
3
31


 x 2 e 2 x  xe 2 x   e 2 x x   c
2
4
4
42

1
3
3
3
 x 3 e 2 x  x 2 e 2 x  xe 2 x  xe 2 x
2
4
4
8
3 2x
 x e dx 
Página 32
10.

xe  x dx 
x(e  x )    e  x dx  xe  x   e  x dx   xe  x  (e  x )  xe  x  e  x  c
ux
dv  e  x dx
du  dx
v  e  x
INTEGRALES DE POTENCIAS DE FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS.PROBLEMAS ESPECIALES.
PROBLEMA 1.
=
=
PROBLEMA 2.
Página 33
=
=
=-
=
COMPROBACIÓN
=
=
=
=
=
=
PROBLEMA 3.
=
=
Página 34
=
COMPROBACIÓN
PROBLEMA 4.
=
=
=
PROBLEMA 5.
=
=
PROBLEMA 6.
3
 tg 
  ctg   d 
=
=
Página 35
PROBLEMA7.
u
(
)
du
cosy
du
2
seny dy
seny dy
(
du
du
2·
c
y
2
(1
y
y
y)
+
c
Página 36
PROBLEMA 8
Página 37
INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO CAMBIO DE VARIABLE
PROBLEMA 1.

3
dx

x x
Hacemos la sustitución :
u6  x
ya que “ 6 “ es el m.c.m de los índices de ambos radicales :2 y 3
ux
1
6
dx  6u 5 du ;
Además
3

3
x  u2
x  u3
dx
6u 5 du
u 3 du

 6
1 u
x  x  u2  u3
Hacemos la sustitución t= u+1 y u=t-1 entonces du = dt
 6
t  13 dt  6
t

t
3
 3t 2  3t  1dt
t
 t 3 3t 2

1

 6  t 2  3t  3  dt  6 
 3t  ln t  c 
t
2

3

 2u  1  9u  1  18u  1  6 ln u  1  c
3
2
Por lo tanto:
3
2
dx
6
6

2
x

1

9
x

1
 18
3 x x





6

x  1  6 ln
6
x 1  c
INTENTA REALIZAR LA COMPROBACIÓN ¡¡¡¡
Página 38
PROBLEMA 2. ¡MUY DIFÍCIL!
dx Se factoriza x y se introduce bajo el radical :
dx =
dx
u =
du =
=6
2
dx
dx
dx
⋅
du
⋅
c
COMPROBACIÓN:
d
⋅4
Página 39
INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO INTEGRACIÓN POR
PARTES
PROBLEMA 1.
PROBLEMA 2.
Página 40
PROBLEMA 3.
PROBLEMA 4.
Página 41
PROBLEMA 5.
- Demostrar la siguiente igualdad :
n
 sen xdx  
sen n1 x cos x n  1

sen n2 xdx
n
n 
Solución:
 sen
n
xdx 
n
n 1
xsenxdx
u= sen n 1 x
Dv= senxdx
Proponiendo:
 sen
 sen
xdx   cos xsen n1 x  n  1 cos 2 xsen n2 xdx
  cos xsen n1 x  n  1 sen n2 xdx  n  1 sen n xdx
Agrupando se tiene:
n
 sen xdx  
sen n 1 x cos x n  1

sen n 2 xdx ……

n
n
Así queda demostrado
PROBLEMA 6.
e
3x
Sen
x
x
x
dx  3e 3 x Cos  9 e 3 x Cos dx
3
3
3
u  e3x
dv  Sen
du  3e 3 x dx
x
dx
3
v  3Cos
;
x
3
u  e3x
; du  3e 3 x dx
dv  Cos
x
dx
3
v  3Sen
x
3
x
x
x
 27e 3 x Sen  81 e 3 x Sen dx
3
3
3
3 3x 
x
x

e 9 Sen  Cos   C
82
3
3

 3e 3 x Cos
Página 42
PROBLEMA 7.
x
n
ln xdx 
x n 1
x n 1  dx 

ln x  
 
n 1
n 1 x 
x n 1
1
 dx 

ln x 
x n 1  

n 1
n 1
 x 

x n 1
1
ln x 
x n 11 dx

n 1
n 1


x n 1
l
ln x 
x n dx

n 1
n 1
n 1
x
l  x n 1 

c

ln x 
n 1
n  1  n  1 


x n 1
x n 1
ln x 
c
n 1
n  12

x n 1 
1 
 ln x 
c
n 1
n 1
PROBLEMA 8.
Sea u= x
;
dv=
w=
du= dx
;
;
V= V= -
Página 43
PROBLEMA 9
u= arctanx ;
dv = xdx
;
v=
Haciendo la división:
Página 44
PROBLEMA 10.
Sea u=
Integrando por partes
Página 45
PROBLEMA 11.
Sea
Integrando esta ultima por partes:
Página 46
ACTIVIDAD III.PROBLEMAS PROPUESTOS
INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO INTEGRACIÓN POR
SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
PROBLEMA 1.
5
Secu
x
x²-9
u
3
5
x
3 secu
dx
3 secu tgu du
45
15
15
udu
15tgu
= 15
+C
5
PROBLEMA 2
tg z
x²+16
x
z
4
x
4 tgz
dx
4
4
4
4
x
4
4tg z
4z
4arctg
Página 47
PROBLEMA 3
5
25
25
5
Sen u
x
dx
5 senu
5 cos u du
5
25
5
5
5u
al llegar a ésta
parte debemos pensar en quién es u ? y al observar el triángulo comprendemos que u es
el
ángulo cuyo seno vale :
, lo cual se escribe: arc sen
el resultado final es: 5 arcsen +c
PROBLEMA 4
Sen u
3
x
x
3senu
u
dx
9-x²
9
9
3cosu du
9
cos2u) du
Página 48
v
2u
dv
2du
du
u
·
arc sen
arc sen
sen 2v
arc sen
c
senv
arc sen
·
·
c
x
PROBLEMA 5
Después de todos los problemas que hemos resuelto juntos estás obligado
a resolverlo tú. Inténtalo y consíguelo !
PROBLEMA 6
Sec w
dx
x
secw tgw dw
=
=
=
+c
PROBLEMA 7
Página 49
PROBLEMA 8
=
1
x
1-x²
=
=
=
=
+
+c =
=
+
+C
PROBLEMA 9
PROBLEMA 10
Página 50
PROBLEMA 11
Página 51
Actividad Complementaria III. Resuelve las siguientes integrales
indicando planteamientos ,operaciones y resultado.
Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:
Página 52
Solución:
(Fig.1)
Página 53
Solución:
Solución:
Página 54
Solución:
Página 55
Solución:
Página 56
ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA IV.
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES, POR FRACCIONES PARCIALES, CUANDO
EL DENOMINADOR SÓLO TIENE FACTORES LINEALES
En los siguientes ejercicios, obtenga la integral indefinida:
Soluciones
Página 57
Página 58
Página 59
Página 60
Página 61
Página 62
Página 63
Integración de funciones racionales, por fracciones parciales,
cuando el denominador contiene factores cuadráticos
Ejercicios resueltos
Página 64
S o l u c i o n e s
Página 65
Página 66
Página 67
Página 68
Página 69
Página 70
MÁS PROBLEMAS SOBRE FRACCIONES PARCIALES.
Caso 1-
De esta ecuación obtenemos el siguiente sistema:
A+B=1
A-4B=0
Resolviendo este sistema obtenemos:
A=
Página 71
Efectuando la división
Caso 2
De ésta identidad obtenemos
A=6
-2A-B=-8
A+B+C=3
Resolviendo el sistema tenemos
A=6
; B=-4
; C=1
=
Página 72
Sea u=1-x ;
==-
+4
=-
Caso
-x+3=A (
-x+3=A
-x+3=(A+B)
De esta identidad obtenemos que
A+B= 0
-2ª+C= -1
3A= 3
Resolviendo el sistema
A= 1 , B = -1 , C = 1
Página 73
Sea u=
=
=
=
Caso IV.-
=
+Cx+D
+(A+C) x+B+D
De esta identidad tenemos
A=2
B=0
A+C=0
B+D=0
Resolviendo el sistema
A=2 ;B=0
; c=-2 ; D =0
∴
Sea
u=
=
Página 74
Realizando división:
dx
Caso 1
5x+4 = A
5x+4 = Ax+2A+Bx - 4B
5x+4=(A+B) x + 2A-4B
De ésta identidad obtenemos el siguiente sistema
A+B = 5
2A-4B =
Resolviendo el sistema obtenemos
A=4 ;B=1
=x+4
=x +
6)
Multiplicando ambos miembros por
eliminamos los
denominadores y obtenemos :
X=A(x-2)+B = Ax-2A+B
Página 75
De esta identidad tenemos que:
A=1 & -2A+B=0
Resolviendo el sistema: A=1 ;B=2
Sea
=
=
=
7)
Caso 1
Ax+A+Bx+2B
De esta identidad tenemos:
A+B=5
A+2B=8
Resolviendo el sistema tenemos que A=2
,B=3
=2
Página 76
8)
Caso 3
(A+B)
De esta identidad tenemos :
A+B= 4
C= 0
3A=6
Resolviendo el sistema a=2 ,b=2 c=0
=2
=
9)
A
A+B +Ct-2C-2Bt
A+B ) + (C-2B) t +4 A-2C
DE ESTA IDENTIDAD OBTENEMOS EL SIGUIENTE SISTEMA:
A+B=2
C-2B=-4
4A-2C=-4
RESOLVIENDO EL SISTEMA : A = -1 , B= 1 – A = 2 , C=0
Página 77
PROBLEMA DE CONCURSO
Página 78
Página 79
¡ MÁS PROBLEMAS DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
TRIGONOMÉTRICA!
P1)
Página 80
P2)
P3)
Página 81
La integral de la secante cúbica ya fue resuelta en el tema de integración por partes
=
P4)
Página 82
=
P5)
Página 83
P6)
P7)
Página 84
P8)
Página 85
P9)
Integrando ésta última por partes :
Página 86
P10)
P11)
Página 87
P12)
-
P13)
Página 88
BIBLIOGRAFÍA
AYRES , F. “C ÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ”. SERIE SCHAUM, M C GRAW -HILL,
M ÉXICO.
BOSCH-GUERRA. “C ÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ”.ED.PUBLICACIONES
CULTURAL,M ÉXICO
DEL GRANDE , D. “C ÁLCULO ELEMENTAL ”. ED . H ARLA, M ÉXICO
ELFRIEDE W. “ DIDÁCTICA _ C ÁLCULO INTEGRAL”.G RUPO EDITORIAL
IBEROAMÉRICA.M ÉXICO.
FINNEY,R.L. “CÁLCULO DE UNA VARIABLE”. ED.PRENTICE HALL,MÉXICO.
FUENLABRADA , S. “C ÁLCULO INTEGRAL ”. E D. T RILLAS , M ÉXICO
GRANVILLE ,W.A. “C ÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ”, ED. LIMUSA, M ÉXICO
LEITHOLD, L. “C ÁLCULO”, ED. OXFORD UNIVERSITY PRESS , M ÉXICO
PURCELL, E.J. “C ÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA”.ED.LIMUSA, M ÉXICO.
STEWART, J. “C ALCULO DE UNA VARIABLE”. ED.T HOMPSON, M ÉXICO.
SWOKOWSKY , E. “C ÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA”. ED. IBEROAMERICANA,
M ÉXICO.
ZILL,D.G. “C ÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA”ED. IBEROAMERICANA, M ÉXICO.
FINNEY,R.L. “CÁLCULO DE UNA VARIABLE”. ED.PRENTICE HALL,MÉXICO.
Página 89
PÁGINAS ELECTRÓNICAS
http://www.vitutor.com
http://www.vadenumeros.es
http://www.vadenumeros.es/index.htm
http://www.acienciasgalilei.com
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HTTP:// WWW. MATEMATICASBACHILLER . COM/ TEMARIO/ CALCULIN / TEMA_01/ INDICE
.HTML
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CÁLCULO INTEGRAL - CECyT 11 - Instituto Politécnico Nacional

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