Cálculo Numérico - Departamento de Matemática Aplicada I

Cálculo Numérico - Departamento de Matemática Aplicada I

Cálculo umérico
Cálculo Numérico
Tema 0:
Introducción a la teoría de errores
Tipos de errores en un proceso numérico de resolución de
un problema. Errores absoluto y relativo. Número de
cifras exactas. Error de redondeo. Error de transmisión.
Tema 0: Errores
Problema
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Para calcular a = ( 2 − 1) 6 usando el valor aproximado
2 ≈ 1.4,
escoger de entre las siguientes expresiones equivalentes, la que produzca
menor error.
a ) (3 − 2 2 )3
b)
1
99 + 70 2
Tipos de Errores
Cálculo umérico
Un método numérico constituye un método aproximado a la
resolución de un problema matemático (PM). Éste, a su vez,
puede representar una modelización matemática de un
problema físico o del mundo real (PF).
Tema 0: Errores
En la práctica, la solución al (PF) que se conoce es la que
proporciona el método numérico, y en general difiere de la
solución exacta, dado que está sujeta a cierto tipo de errores:
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Experimentales: se producen en la propia formulación del
(PF) por valores inexactos tomados en el trabajo de campo.
Valores de las constantes en física y matemáticas
Tipos de Errores
Cálculo umérico
Un método numérico constituye un método aproximado a la
resolución de un problema matemático (PM). Éste, a su vez,
puede representar una modelización matemática de un
problema físico o del mundo real (PF).
Tema 0: Errores
En la práctica, la solución al (PF) que se conoce es la que
proporciona el método numérico, y en general difiere de la
solución exacta, dado que está sujeta a cierto tipo de errores:
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Experimentales: se producen en la propia formulación del
(PF) por valores inexactos tomados en el trabajo de campo.
De modelización: dependen de la afinidad a la realidad del
modelo matemático elegido.
Sistemas de movimiento de cuerpos celestes
Modelos atómicos
Tipos de Errores
Cálculo umérico
Un método numérico constituye un método aproximado a la
resolución de un problema matemático (PM). Éste, a su vez,
puede representar una modelización matemática de un
problema físico o del mundo real (PF).
Tema 0: Errores
En la práctica, la solución al (PF) que se conoce es la que
proporciona el método numérico, y en general difiere de la
solución exacta, dado que está sujeta a cierto tipo de errores:
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Experimentales: se producen en la propia formulación del
(PF) por valores inexactos tomados en el trabajo de campo.
De modelización: dependen de la afinidad a la realidad del
modelo matemático elegido.
De discretización o truncamiento: inherentes a la propia
naturaleza del método numérico.
Digitalización de imágenes
Tipos de Errores
Cálculo umérico
Un método numérico constituye un método aproximado a la
resolución de un problema matemático (PM). Éste, a su vez,
puede representar una modelización matemática de un
problema físico o del mundo real (PF).
Tema 0: Errores
En la práctica, la solución al (PF) que se conoce es la que
proporciona el método numérico, y en general difiere de la
solución exacta, dado que está sujeta a cierto tipo de errores:
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Experimentales: se producen en la propia formulación del
(PF) por valores inexactos tomados en el trabajo de campo.
De modelización: dependen de la afinidad a la realidad del
modelo matemático elegido.
De discretización: inherentes a la propia naturaleza del
método numérico.
De redondeo: consecuencia de las restricciones aritméticas
de los humanos y los ordenadores al trabajar con infinitos
decimales.
Errores absoluto y relativo
Sea x0 una aproximación del valor exacto x. Se define:
Cálculo umérico
Error absoluto: ε = ε ( x) = x − x0
Se trata de una medida cuantitativa del error: mide asépticamente
lo que dista la aproximación x0 del valor exacto x.
x = 1000, x0 = 1099 ε = 99
Tema 0: Errores
x = 1, x0 = 1.1 ε = 0.1
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Error relativo: e = e( x ) =
ε
x
Se trata de una medida cualitativa del error: mide lo proporcionada que
es la aproximación x0 en relación con la magnitud del valor exacto x.
x = 1, x0 = 1.1
e = 0.1
x = 1000, x0 = 1099
e = 0.099
Error absoluto y cifras decimales exactas
Error absoluto: ε = ε ( x) = x − x0
Cálculo umérico
Sea x0 una aproximación del valor exacto x. Se dice que x0
aproxima a x con p cifras decimales exactas cuando
ε ≤ 10 − p
Tema 0: Errores
Cuidado: Esto no quiere decir que las p primeras cifras decimales
de x y x0 necesariamente coincidan: 1.9999 aproxima a 2 con sus
cuatro cifras decimales exactas.
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Transmisión del error absoluto
Cálculo umérico
Con normalidad, en un proceso numérico se parte de una
aproximación x0 de un valor exacto x con idea de aplicar una
cierta función f(x) para aproximar el valor f(x) mediante f(x0).
En este proceso, el error absoluto ε(x) se propaga según lo
que se da en llamar error de transmisión, que viene a ser
ε ( f ( x)) = f ( x) − f ( x0 ) ≈| f ' ( x) | ⋅ε ( x) ≈| f ' ( x0 ) | ⋅ x − x0
Tema 0: Errores
Error de redondeo
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Asimismo, en un proceso numérico con generalidad no se
puede almacenar los infinitos dígitos de la parte decimal de
cada valor, la cual se ha de truncar de algún modo.
π = 3.141592K
Tala a 3 cifras:
Tala a 4 cifras:
3.141
3.1415
Redondeo a 3 cifras:
3.142
Redondeo a 4 cifras:
3.1416
Problema
Cálculo umérico
Se pretende calcular a = ( 2 − 1) 6 utilizando el valor aproximado
z 0 = 1.4 para z = 2 , sabiendo que z 0 aproxima a z con todas sus
cifras decimales exactas. Escoger, entre las siguientes expresione s
equivalent es, la más adecuada desde un punto de vista numérico
(es decir, la que se vea menos afectada por la propagació n del error
Tema 0: Errores
en los datos) :
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
a ) (3 − 2 2 )
3
1
b)
99 + 70 2
En ambos casos, dar una aproximación de a con el mayor número
posible de cifras decimales exactas.