Ficha 3 - IES Alfonso Moreno

RAZONES TRIGONOMETRICAS Soluciones
FICHA 3
1) Determina la altura de un árbol si desde un punto situado a 20 metros de su base
se observa su copa con un ángulo de 65º 23´.
x
20
x = 20·tg 65º 23´
tg 65º 23´ =
x
65º 23´
x = 20·2,1825 = 43, 65 m.
20 m.
2) Un avión vuela a 350 metros de altura y el piloto observa un aeropuerto con un
ángulo de depresión de 15º. ¿Qué distancia le separa del mismo en ese instante?
sen 15º =
15º
x=
x
350 m.
350
x
350
sen 15º
x = 1352, 29 m.
3) La longitud del hilo que sujeta una cometa es de 15 metros. Si el ángulo de
elevación de la cometa es de 30º, ¿Qué altura alcanza la cometa?
sen 30º =
15 m.
x
30º
x
15
x
15
x = 7,5 m.
0,5 =
4) El piloto de un avión observa un punto del terreno con un ángulo de depresión
de 30º. Después de recorrer 2 millas el ángulo de depresión obtenido sobre el
mismo punto es de 55º. Si vuela horizontalmente, halla la altitud de vuelo.
2 millas
30º
x
55º
h
h

 h = x·tg 55º
tg 55º = x

⇒

x·tg 55º
tg 30º =
tg 30º = h

x+2

x+2

tg 30º ( x + 2 ) = x·tg 55º ⇒ xtg 30º + 2tg 30º = x·tg 55º
xtg 30º − x·tg 55º = − 2tg 30º ⇒ x ( tg 30º − tg 55º) = − 2tg 30º
− 2tg 30º
tg 30º − tg 55º
x = 1,357 millas
x=
h = x·tg 55º ⇒ h = 1,357·tg 55º = 1,938 millas
5) ¿Bajo qué ángulo verá un observador un objeto de 7 metros de largo cuyos
extremos distan de él 5 metros y 8,6 metros respectivamente?
5 m
8,6 m
α
7m
Utilizando el teorema del coseno:
7 2 = 8, 62 + 52 − 2·8, 6·5·cos α
49 = 73,96 + 25 − 86·cos α
49 − 73,96 − 25 = − 86·cos α
49 − 73,96 − 25 = − 86·cos α
−49,96
= cos α ⇒ 0,58093 = cos α ⇒ α = cos1 0,58093
−86
α = 54º 29´10´´
6) Un observador situado en la orilla de un río ve un árbol situado en la otra orilla
bajo un ángulo de 60º. Alejándose 20 metros lo ve bajo un ángulo de 30º. Halla
la altura del árbol y la anchura del río.
h
30º
60º
20 m.
x
h

h = x·tg 60º
tg 60º = x

⇒
x·tg 60º

tg 30º = h
 tg 30º = 20 + x

20 + x

tg 30º ( 20 + x ) = x·tg 60º ⇒ 20·tg 30º + xtg 30º = x·tg 60º
xtg 30º − x·tg 60º = − 20tg 30º ⇒ x ( tg 30º − tg 60º ) = − 20tg 30º
x=
− 20tg 30º
tg 30º − tg 60º
x = 10 metros midela anchura del río
h = x·tg 60º ⇒ h = 17,32 metros mide la altura del á rbo l
7) Dos observadores miran un globo que está en el plano vertical que pasa por
ellos. La distancia entre los observadores es de 4 kilómetros. Los ángulos de
elevación del globo desde los observadores son 45º y 52º respectivamente. Halla
la altura del globo y lo distancia de éste a cada observador.
x
46º
z
y
h
52º
4-z
h

tg
52º
=
h = z·tg 46º

4− z

⇒
z·tg 46º

tg
52º
=
h
tg 46º =

4− z


z
tg 52º ( 4 − z ) = z·tg 46º ⇒ 4·tg 52º − ztg 52º = z·tg 46º
4·tg 52º = ztg 52º + z·tg 46º ⇒ 4·tg 52º = z ( tg 52º + tg 46º)
4·tg 52º
tg 52º +tg 46º
z = 2, 21 km.
h = z·tg 46º ⇒ h = 2, 21·tg 46º = 2, 28 m.
z=
La altura del globo es de 2,28 metros.
2, 21
2, 21
⇒x =
= 3,18 metros
x
cos 46º
4 − 2, 21
1, 79
cos 52º =
⇒y=
= 2, 9 metros
y
cos 52º
cos 46º =
La distancia del globo a cada observador es 3,18y 2,9 metros respectivamente.
8) La sombra de una torre, cuando los rayos del sol tienen una inclinación de 42º,
mide 12,5 metros. Calcula la altura de la torre.
h
12,5
tg 42º ·12, 5 = h
tg 42º =
h
42º
h = 11, 26 metros
12,5 m
9) Desde un punto situado a 10 metros de una torre, una persona que mide 180 cm.
ve el extremo más alto bajo un ángulo de 43º. Calcula la altura de la torre.
h −1,8
10
tg 43º ·10 = h −1,8
tg 43º =
43º
1,8m
10m
h
tg 43º ·10 +1,8 = h
h = 11,13 metros