Modelos de Halo-Disco

Transcripción

Universidad Juárez Autónoma de Tabasco
División Académica de Ciencias Básicas
Licenciatura en Computación
Modelos Autoconsistentes de Galaxias Espirales:
Modelos de Halo-Disco-Núcleo
Tesis que presenta
William de la Cruz de los Santos
Para obtener el grado de
Licenciado en Computación
Director de tesis
Alejandro González Sánchez
Cunduacán Tabasco, México
Noviembre 2005
Resumen
Por más de una decada un gran número de autores han mencionado la importancia de
las órbitas ergódicas en modelos de potenciales de galaxias espirales y elípticas. Esto
tiene importantes consecuencias para la construcción de modelos densidad-potencial :
Merrit [13] comenta que las órbitas ergódicas son mucho menos útiles que las órbitas
regulares para reforzar la figura de la galaxia. Por otro lado, también han mostrado que
las órbitas ergódicas son un componente significante de la densidad [18, 19, 12, 13]; por
ejemplo en modelos triaxiales con una concentración de masa central. La construcción
de estos modelos utilizando la entropía Kolmogorov Sinai es el objetivo principal de
esta tesis.
Índice general
Índice de tablas
iv
1. Introducción
1.1. El problema de la autoconsistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Solución propuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Organización de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. Dinámica de las galaxias elípticas y espirales
2.1. Galaxias Elípticas . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Correlación de parámetros en galaxias elípticas .
2.3. Galaxias espirales . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Distribución de la luminosidad del disco . . . .
2.5. Correlación de parámetros en galaxias espirales
2.6. Materia oscura . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3. Modelos auto-consistentes de galaxias
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. La ecuación de Boltzmann sin colisiones . . . . .
3.2. El método de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Órbitas y potencial gravitacional . . . . . . . . . . . . .
3.3.1. Pares densidad-potencial . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2. Modelo triaxial de Disco + Halo + Núcleo . . . .
3.3.3. Órbitas estelares en modelos de galaxias triaxiales
3.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4. Nueva aproximación; entropía Kolmogorov-Sinai
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Divergencia exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1. El máximo exponente de Lyapunov . . . . . . . .
4.3. La entropía Kolmogorov-Sinai . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1. Entropía para la dinámica del espacio de estados
4.3.2. La identidad Pesin . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Integración Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Modelos de sistemas de Halo-Disco-Núcleo; resultados
5.1. Estabilidad del método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1. Conservación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2. Residuo fraccional de la energía . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3. Comportamiento asintótico de los exponentes de Lyapunov
5.2. Distribución de los exponentes de Lyapunov . . . . . . . . . . . .
5.2.1. Modelo con halo esférico sin disco y sin núcleo . . . . . . .
5.2.2. Modelo con halo esférico + disco + bulge . . . . . . . . . .
5.2.3. Modelo con halo esférico + núcleo . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4. Modelo con halo esférico + disco + núcleo . . . . . . . . .
5.2.5. Modelos con halo triaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Presencia de un núcleo central de masa . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6. Conclusiones y trabajo futuro
65
Código fuente
69
Referencias
95
Índice de figuras
2.1. La secuencia de Hubble es un esquema de clasificación para galaxias
inventado por Edwin Hubble en 1926. Imagen tomada de Wikipedia.
5
2.2. Curvas de rotación de galaxias espirales publicadas por Sander (1996)
y de Blok & McGaugh (1998). El radio (eje horizontal) esta dado en
kpc y en todos los casos la velocidad (eje vertical) esta en km s−1 . Los
puntos muestran las curvas de rotación de líneas de 21 cm observadas,
las líneas punteadas son las curvas de rotación Newtonianas, y las líneas
solidas las medidas de MOND [16]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.1. Método de Schwarzschild para calcular numéricamente la función de
distribución f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.2. En la izquierda se muestra un sistema contenido en un cilindro con
una división del espacio en celdas de igual volumen y en la derecha se
muestran órbitas pasando por una celda. El número total de órbitas que
pasan por una celda se le llama número de ocupación y este representa
la densidad del sistema en la celda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.3. Gráfica del potencial Isochrone (arriba) y la densidad generada (abajo)
con b = 0,5 y G = M = 1 en unidades unitarias. . . . . . . . . . . . .
18
3.4. La gráfica de arriba muestra la densidad superficial del potencial de
Kuzmin normalizado con a = 1 y la gráfica de abajo muestra la velocidad circular para a=1,2,3,4,5; conforme a es más grande la densidad
inicial es mayor, por lo tanto la máxima velocidad circular es menor lo
que se observa en las curvas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.5. Gráficas de contorno de la densidad de Miyamoto-Nagia para las razones b/a = 0.2 (arriba), b/a = 1 (en medio) y b/a = 10 (abajo), también
se muestra un ejemplo de órbita para cada gráfica de densidad con valores iniciales (R, z, vR , vz ) = (-0.2,0.1,0.1,-0.01) y GM = 1. . . . . . .
22
3.6. Contornos de igual densidad en el plano (R, z) para ρL , cuando qΦ = 1.0
(arriba), qΦ = 0.95 (en medio) y qΦ = 0.7 (abajo). Cuando qΦ = 0,7 la
densidad es negativa cerca del eje z para |z| & 7Rc ; también se muestra
un ejemplo de órbita para cada gráfica de densidad, con valores iniciales
(R, z, vR , vz ) = (0.15,-0.5,0.5,0.2) con v0 = 1 y Rc = 1.5. . . . . . . . .
24
vii
3.7. Familia de órbitas regulares que se encuentran en el modelo dado por
(3.28), de halo esférico (p=q=1) sin disco y sin núcleo. Cada órbita
tiene su proyección en el plano XY, YZ y XZ. . . . . . . . . . . . . .
(3.28), de halo triaxial (p=0.9, q=0.8) sin disco y sin núcleo. Cada
órbita tiene su proyección en el plano XY, YZ y XZ. . . . . . . . . . .
3.9. Familia de órbitas regulares que se encuentran en el modelo dado
por (3.28), de halo triaxial (p=0.9, q=0.8) sin disco y con núcleo
(GMC =0.002, 2 % de la masa total; bc =0.01 kpc). Cada órbita tiene su
proyección en el plano XY, YZ y XZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(3.28), de halo triaxial (p=0.9, q=0.8) con disco (GMD =0.3×1011 M ,
aD =3 kpc) y sin núcleo. Cada órbita tiene su proyección en el plano
XY, YZ y XZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(3.28), de halo triaxial (p=0.9, q=0.8) con disco (GMD =0.3×1011 M ,
aD =3 kpc) y con núcleo (GMC =0.002, 2 % de la masa total; bc =0.01
kpc). Cada órbita tiene su proyección en el plano XY, YZ y XZ. . . .
4.1. Exponentes de Lyapunov (arriba) y su mapa de bifurcación para la
ecuación logística (abajo). Cuando los LEs son negativos o cero la órbita es periódica, cuando son mayores que cero se observa una bifurcación
en el mapa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Una región de un espacio de estados dividido en pequeñas celdas, cada
una de igual longitud L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1. Gráficas de la energía para cuatro órbitas integradas con la rutina NAG
D02CJF con una tolerancia de 10−7 con un tiempo de integración de
56128.27 Myr para un modelo de halo esférico (p=q=1, r0 =1.0 kpc,
v0 =0.2×103 km/s) sin disco y sin núcleo. . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Residuo fraccional de la energía para las órbitas integradas de la figura 5.1 y su valor de correlación lineal del residuo fraccional y el tiempo
de integración. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. LEs en función del tiempo de tres óbitas integradas, para un modelo
de galaxia de halo esférico (p=q=1, r0 =1.0 kpc, v0 =0.2×103 km/s)
sin disco y sin núcleo. El tiempo de integración fue de 2000 Myr. Se
observan que los tres pares opuestos de LEs se mantienen durante el
tiempo de integración y sólo durante los tiempos iniciales no son bien
definidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. LEs en función del tiempo de tres óbitas integradas, para un modelo de
galaxia de halo triaxial (p=0.9, q=0.8, r0 =1.0 kpc, v0 =0.2×103 km/s)
sin disco y sin núcleo; el tiempo de integración fue de 3000 Myr. Como
se espera para una órbita ergódica hay al menos un LE positivo y uno
igual a cero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5.5. La CDF de los LEs para un modelo de halo esférico (p=q=1, r0 =1.0
kpc, v0 =0.2×103 km/s) sin disco y sin núcleo, empleando el método
MC (arriba) y con condiciones iniciales uniformes (abajo). . . . . . .
5.6. Histogramas de frecuencias de los LEs de la figura 5.5, para el método
MC (arriba) y empleando condiciones iniciales uniformes (abajo). . .
kpc, v0 =0.2×103 km/s) con disco + bulge (aD =3 kpc, bD =1 kpc,
GMD =0.3×1011 M ), para el método MC (arriba), y el método tradicional (abajo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
kpc, v0 =0.2×103 km/s) con núcleo (GMC =0.002 (0.2 % de la masa total), bc =0.01 kpc), para el método MC (arriba), y el método tradicional
(abajo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.11. La CDF de los LEs para un modelo de galaxia de halo + disco +
núcleo, con parámetros de la tabla 5.1, para el método MC (arriba) y
empleando condiciones iniciales uniformes (abajo). . . . . . . . . . .
5.12. Histograma de frecuencias de los LEs de la figura 5.11, para el método
5.13. CDF de los LEs para un modelo de halo triaxial (p=0.8, q=0.9, r0 =1.0
kpc, v0 =0.2×103 km/s) sin disco y sin núcleo (arriba) y para un modelo
de halo triaxial (p=0.8, q=0.9, r0 =1.0 kpc, v0 =0.2×103 km/s) con disco
+ bulge (aD =3 kpc, bD =1 kpc, GMD =0.3×1011 M ) (abajo), para el
método MC (curva roja), y el método tradicional (curva azul). . . . .
5.14. Histograma de frecuencias de los LEs de la figura 5.13 (abajo), para
el método MC (arriba) y empleando condiciones iniciales uniformes
(abajo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.15. CDF de los LEs para un modelo de halo triaxial (p=0.8, q=0.9, r0 =1.0
kpc, v0 =0.2×103 km/s) con núcleo (GMC =0.002 (2 % de la masa total),
bc =0.01 kpc), para el método MC (curva roja), y el método tradicional
(curva azul). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.16. CDF de los LEs para un modelo de halo triaxial con disco + núcleo,
con parámetros de la tabla 5.1 (con p=0.8 y q=0.9), para el método
MC (curva roja), y el método tradicional (curva azul). . . . . . . . .
5.17. Histograma de frecuencias de los LEs de la figura 5.15, para el método
5.18. CDFs para un modelo de halo esférico (p=q=1, r0 =1.0 kpc, v0 =0.2×103
km/s) con núcleo (GMC =0.002 (2 % de la masa total), bc =0.01 kpc),
para los radios de 0-2 kpc (verde), 2-4 kpc (azul), 4-6 kpc (magenta),
6-8 kpc (negro) y 12-14 kpc (rojo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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62
63
Índice de tablas
4.1. Tipos de movimientos que caracteriza el exponente de Lyapunov. . .
34
5.1. Parámetros del modelo de halo esférico + disco + núcleo. . . . . . . .
55
xi
Capítulo 1
Introducción
Recientemente se ha mencionado la importancia de las órbitas ergódicas en modelos de
potenciales de galaxias. Estas son un componente significante de la densidad [18, 19,
12, 13], ya que llenan todo su espacio fase disponible; por ejemplo en modelos triaxiales
con una concentración de masa central. Esto tiene importantes consecuencias para la
construcción de modelos densidad-potencial de galaxias en especial en la construcción
de modelos de halo + disco + núcleo.
1.1.
El problema de la autoconsistencia
El problema de la selección de órbitas para la construcción de modelos autoconsistentes de densidad-potencial, en el contexto del método de Schwarzschild [17], ha sido
el método estándar para comprobar que la densidad obtenida a través de la superposición de las órbitas, es la misma que la densidad analítica obtenida mediante la
ecuación de Poisson que conecta la densidad con el potencial. La construcción de la
biblioteca de órbitas se lleva a cabo empleando condiciones iniciales, posiciones y velocidades, extraídas de una distribución uniforme sobre el espacio fase del sistema. Sí
las órbitas ergódicas son importantes en la construcción de modelos de galaxias, como
halos triaxiales con un disco y una concentración de masa central, como se menciona
en [17, 18, 19, 12, 13], entonces el muestreo uniforme es incapaz de encontrar aquellas
órbitas ergódicas con más peso estadístico para reforzar la figura de la galaxia.
1.2.
Solución propuesta
La selección de las órbitas se realizó calculando el Exponente de Lyapunov, el cual es
una medida de la divergencia exponencial de una órbita con respecto a otra órbita muy
cercana. De la teoría de sistemas dinámicos se sabe que la integral de los exponentes
de Lyapunov sobre todo el espacio fase del sistema es una cantidad conocida como
la Entropía Kolmogorov-Sinai que describe su grado de estocásticidad. Entonces se
plantea el problema de la selección de órbitas como un problema de Integración de
1
2
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Monte Carlo; encontrando sólo aquellas órbitas con exponentes de Lyapunov (órbitas
ergódicas) que más contribuyen a la integral.
1.3.
Organización de la tesis
La organización de la tesis es como sigue: en el capítulo 2 se revisan las propiedades
generales de las galaxias elípticas y espirales; en el capítulo 3 se describe la construcción de modelos densidad-potencial de galaxias de disco, el modelo empleado en el
presente trabajo y el método de Schwarzschild, en el capítulo 4 se desarrolla el método
propuesto, en el capítulo 5 se exhiben los resultados y finalmente en el capítulo 6 se
presentan las conclusiones y trabajo a futuro por desarrollar.
Capítulo 2
Dinámica de las galaxias elípticas y
espirales
2.1.
Galaxias Elípticas
Las galaxias elípticas son elipsoides y sin estructura, compuestas principalmente por
sistemas de población II o sistemas de Halo que son estrellas viejas entre 1011 a
1012 M 1 que exhiben poca o ninguna rotación, con poco gas, pero grandes velocidades σ de dispersión. Las galaxias elípticas parecen tener curvas de luminosidad
características la cual se allana a como el radio de la galaxia R → 0, tal luminosidad
característica se puede ajustar por la ley de Hubble como sigue:
I(R) =
I0
1 + (R/Rc )2
(2.1)
donde I0 es la brillantes de la superficie central y Rc es el radio del núcleo.
Las galaxias elípticas pueden exhibir rotación en su eje menor o sobre sus ejes mayores y en muchos casos sobre ambos, algunas galaxias parecen rotar primariamente
cerca de sus ejes menores. Muchas galaxias elípticas tienen rutas de polvo producidas
por material frío interestelar distribuido en discos o anillos. Medidas cinemáticas de
la velocidad muestran que en muchos casos este gas frío rota y es distinto a la componente estelar subyacente. Muchas galaxias elípticas contienen de 109 a 1010 masas
◦
solares de gas a temperaturas de 107 K, esto es comparable al gas presente en galaxias
espirales. El gas caliente frecuentemente forma una atmósfera de presión alrededor de
la galaxia.
1
La Masa solar es una unidad de medida utilizada en astronomía y astrofísica para medir comparativamente la masa de las estrellas y otros objetos astronómicos muy masivos. Su símbolo convencional
y su valor son: M = 1, 9891 × 1030 kg
3
4
CAPÍTULO 2. DINÁMICA DE LAS GALAXIAS ELÍPTICAS Y ESPIRALES
2.2.
Correlación de parámetros en galaxias elípticas
La luminosidad de las galaxias elípticas esta altamente correlacionada con su velocidad
de dispersión; esto es generalmente expresado como una ley exponencial: L ∝ σ n
donde L es la luminosidad de la galaxia, σ es la velocidad de dispersión y el exponente
n es cerca de 4. La velocidad de dispersión está correlacionada con la luminosidad de
acuerdo a la ley de Faber-Jackson:
σp ' 220(L/L∗ )0,25 km s−1
(2.2)
donde L∗ = 1,0 × 1010 h−2 L 2 .
Otra correlación significante es también vista entre el radio efectivo Re y el brillo
superficial Ie a ese radio, esto es: Re ∝ Ie −0,33 . La mayoría de las relaciones de tipo
Faber-Jackson son intrínsecas, es decir, estas reflejan las propiedades reales de las
galaxias. Datos modernos muestran que las galaxias elípticas obedecen una relación
de la forma: Re ∝ σ 1,4 Ie −0,9 que define el llamado plano fundamental.
El brillo superficial de una galaxia elíptica decae suavemente con el radio, la
brillantes superficial característica de la mayoría de las galaxias se pueden ajustar
por la ley de Vaucouleurs:
I(R) = I(0) exp(−kR0,25 ) ≡ Ie exp{−7,67[(R/Re )0,25 − 1]}
(2.3)
donde Re es el radio efectivo del isofoto (o superficie de igual intensidad luminosa)
conteniendo la mitad de la luminosidad total y Ie es la brillantes superficial a Re .
La función de luminosidad φ(L) describe el número relativo de galaxias de diferentes luminosidades, y es definida tal que φ(L)dL es el número de galaxias en el
intervalo de luminosidad L → L + dL en una unidad de volumen representativa del
universo. Una aproximación analítica a φ(L) es la ley de Schechter, esta es
α
dL
L
exp(−L/L∗ ) ,
(2.4)
φ(L)dL = n∗
L∗
L∗
donde n∗ = 1,2 × 10−2 h3 Mpc−3 , α = −1,25, y L∗ = 1,0 × 1010 h−2 L en la banda
visible.
2.3.
Galaxias espirales
Estas son galaxias como la nuestra o como M31 (la galaxia Andrómeda) la cual
contiene un disco prominente compuesto de estrellas de población I o sistemas de
disco, son estrellas jóvenes que exhiben rotación; en estas galaxias se encuentra la
presencia de gas y polvo. Las galaxias espirales contienen un esferoide de estrellas
de población II, las cuales su composición química, cinemática y evolución histórica
es diferente de las estrellas del disco y se cree se han formado al mismo tiempo de
2
La luminosidad del sol L = 3,83 × 1033 erg s−1
2.4. DISTRIBUCIÓN DE LA LUMINOSIDAD DEL DISCO
5
Figura 2.1: La secuencia de Hubble es un esquema de clasificación para galaxias
inventado por Edwin Hubble en 1926. Imagen tomada de Wikipedia.
formación de la galaxia, en contraste a las estrellas en el disco, las cuales se han
formado a una razón constante a lo largo de la historia de la galaxia. En todos
estos sistemas el disco contiene brazos espirales, los cuales varían grandemente en su
longitud, grado de enrrollamiento y prominencia de una galaxia espiral a otra, pero
casi siempre están presentes. La distribución del brillo superficial en galaxias espirales
de disco obedecen la ley exponencial
I(R) = I0 exp(−R/Rd )
(2.5)
donde Rd = 3,5 ± 0,5kpc 3 y I0 ' 140L pc−2 .
Las curvas de velocidad circular vc de la mayoría de las galaxias espirales son casi
planas, es decir vc (r) independiente de r, excepto cerca del centro donde la velocidad
circular cae a cero, la velocidad circular típica se encuentra entre 200 y 300 km s−1 .
2.4.
Distribución de la luminosidad del disco
Fuera de sus centros, las galaxias de disco típicamente tienen una luminosidad característica de tipo exponencial, i.e. la brillantes superficial decae exponencialmente
con el radio. La componente más importante de la luminosidad proviene de una
región pequeña que se ajusta por una función sech(z) característica de una capa
auto-gravitatoria con velocidad de dispersión independiente de z. Una función que
ajusta la distribución de luminosidad en galaxias de disco es:
(
L0 exp(−r/h)sech2 (z/z0 ), si r/h < 4,2 ± 0,6
L(r, z) =
(2.6)
0,
de otro modo,
3
El pársec o parsec (símbolo pc) es una unidad de longitud utilizada en astronomía. 1 pársec =
3, 0857 × 1016 m
6
donde L0 es la densidad de luminosidad en el medio plano al centro del disco, h es la
longitud de escala radial y z0 es la altura vertical.
Para las galaxias espirales con un bulge (disco espiral hinchado en el centro) en
los cuales domina la luminosidad total; se le puede ajustar la ley de Vaocouleurs
(2.3) como en galaxias elípticas. El gas interestelar y el polvo destacan en galaxias
espirales de tipo Sa y posteriores según la clasificación de Hubble (vea la figura 2.1).
La mayoría de esta materia interestelar se encontra en un disco con un ancho o grosor
significantemente más pequeña que del disco estelar. La distribución radial de gas
en galaxias de disco no siempre sigue una distribución exponencial, algunas galaxias
tienen agujeros negros en sus centros, mientras que en otras el gas se extiende más
allá del disco estelar a unos 15-25 kpc.
2.5.
Correlación de parámetros en galaxias espirales
Alrededor de un 80 % de las galaxias espirales conocidas presentan una barra en su
centro, una gran fracción de galaxias de disco tienen barras. El brillo superficial entre
la barra con frecuencia es casi constante. Muchas galaxias barradas también contienen
anillos luminosos, los más notables son aquellos en los cuales el anillo encierra sólo a
la barra, estos son conocidos como anillos internos, y los más comunes son los anillos
exteriores, los cuales tienen típicamente el diámetro de varias veces el de la barra.
Esta estructura oval de luminosidad son llamados Lenses. La cercana conexión entre
las barras, anillos internos y lenses sugiere una conexión en la evolución y formación
de las galaxias. Algunas observaciones establecen la presencia de halos negros, de ahí
de que las curvas de rotación de las galaxias de disco sean planas, lo cual sugiere la
existencia de materia oscura.
2.6.
Materia oscura
Virtualmente toda la información que poseemos del universo ha venido a nosotros a
través de fotones provenientes de estrellas, gas de hidrógeno, rayos-X desde gas ionizado, etc; y aún no hay razón para suponer que cada tipo de materia en el universo
debe de emitir un tren leíble de fotones; incluso entre un tipo dado de objetos astronómicos, no hay razón a priori porque la masa y la luminosidad deban de estar
bien correlacionadas. Este punto es bien ilustrado por la función de luminosidad en
la Secuencia Principal, del vecindario solar. Estrellas más brillantes que el sol contribuyen 95 % de la luminosidad, mientras estrellas más opacas que el sol contienen
al menos 75 % de la masa. Por lo tanto, incluso modestas variaciones en el número
relativo de baja-masa y alta-masa de estrellas puede producir cambios sustanciales
en la razón total masa-luz Υ. Sin embargo, las razones de masa-luz en partes centrales bien estudiadas de muchas galaxias elípticas y espirales de algún modo consiguen
ser las mismas. El material de naturaleza desconocida que es responsable de esta
discrepancia es llamada Materia oscura. Así, se usa el término materia oscura para
2.6. MATERIA OSCURA
7
denotar cualquier forma de materia de quien su existencia es inferida solamente por
sus efectos gravitacionales. La primera evidencia de materia oscura fue encontrada
por el astrónomo Fritz Zwicky en 1993; Zwicky basó su trabajo sobre medidas de la
velocidad radial de sistemas de galaxias pertenecientes al cluster Coma. El afirmaba
que las galaxias individuales tenían velocidades radiales que diferían de la velocidad
promedio del cluster, con una dispersión RMS cerca de 700 kms−1 . El concluyo que
virtualmente toda la masa del cluster esta en una forma de materia oscura invisible,
que es indetectable excepto a través de su fuerza gravitacional. Ostriker (1974) y
Einasto (1974) han propuesto que hay grandes cantidades de materia oscura alrededor incluso en galaxias aisladas: ellos argumentan que la materia oscura en galaxias
espirales esta localizada en Halos gigantes, extendiéndose varias veces el radio de la
materia luminosa y conteniendo la mayoría de la masa total de la galaxia.
La evidencia más robusta de la existencia de materia oscura proviene de las curvas
de rotación de galaxias espirales [9]. Empleando las emisión de hidrógeno de 21 cm,
las velocidades de nubes de hidrógeno neutro se pueden medir como una función del
radio r a partir del centro de la galaxia. En casi todos los casos, después de alejarse del
centro (r = 0), las velocidades aumentan proporcionalmente a r hasta un r máximo
para a partir de ahi mantenerse. Para un sistema esférico, la atracción gravitacional
ejercida sobre un punto de masa a un radio r, por el segundo teorema de Newton es:
GM
dΦ
r̂ = − 2 r̂,
dr
r
Z r
2
M=
ρ(r0 )r0 dr0
F=−
donde
(2.7)
(2.8)
0
es la masa encerrada a un radio r.
Se define la velocidad circular vc (r) y la velocidad de escape vesc como
vc 2 = r
GM
dΦ
= r|F| =
,
dr
r
vesc 2 = 2|Φ(r)|,
(2.9)
(2.10)
donde vesc es la velocidad mínima para escapar del campo de fuerza gravitacional
representado por Φ.
√
De (2.9) y (2.10) se obtiene que la velociad circular es vc = GM r−1/2 . Sí la
velocidad circular se mantiene constante a grandes radios según los datos que se
tienen actualmente, se tiene que
const
= r1/2 const
(2.11)
r−1/2
por lo tanto se obtiene que la masa M (r) ∝ r a grandes radios, lo que implica que la
materia debe de existir a radios mayores que el disco visible de las galaxias espirales.
La figura 2.2 muestra algunas curvas de rotación obtenidas recientemente por Sander
(1996) y de Blok & McGaugh (1998) [16]. Las medidas ópticas fueron usualmente
M 1/2 r−1/2 ∼ const,
M 1/2 ∼
8
restringidas a partes internas de las galaxias, y principalmente el comportamiento
característico de las curvas de rotación del disco fueron divididas en 3 regiones [5]:
1. Una región en la cual la velocidad crece linealmente con la distancia desde el
centro.
2. Una región donde la velocidad alcanza un máximo y entonces comienza a declinar (este es llamado radio de Turnover).
3. Una región Kepleriana en la cual el potencial del disco parece un punto de masa,
así que la velocidad de rotación decae como r−1/2 .
Una vez que r se vuelve más grande que la extensión de la masa, uno espera que
la velocidad sea ∝ r−1/2 , pero esto no se observa, lo que muestra que no se conoce la
extensión real de los halos de materia oscura alrededor de las galaxias espirales. Si se
aproxima el halo a una configuración esférica de radio suficientemente grande tal que
la fuerza gravitacional del disco pueda ser ignorada, entonces una curva de rotación
con velocidad constante vc implica que la masa del halo incrementa linealmente con
el radio más allá del último punto medido.
La densidad del halo correspondiente es
ρ(r) =
vc 2
1 dM (r)
=
.
4πr2 dr
4πGr2
(2.12)
La densidad del halo debe caer bajo el valor dado por la densidad ρ a radios pequeños, ya que curvas de rotación observadas se mantienen planas incluso cuando la
masa del disco contribuye una fracción sustancial a la curva de rotación. Las curvas
de rotación proporcionan la más directa evidencia de materia oscura en otras galaxias espirales. Sin embargo, las curvas de rotación no dan indicación de la extensión
máxima del halo de materia oscura ya que son aun planas al punto donde la brillantes superficial cae por debajo de los límites detectables. Así, es posible que el halo
de materia oscura termine cerca de los bordes del disco visible, por otro lado puede
igualmente extenderse muchas veces más, quizás incluso a varios cientos de kpc, o
traslaparse con el halo de otra galaxia.
2.7.
Conclusiones
Es importante diferenciar los tipos de sistemas estelares, como las galaxias elípticas
y espirales. Es necesaria una comprensión de la influencia que tiene la materia oscura
sobre las galaxias espirales; para entender la dinámica de las mismas y poder interpretar los resultados obtenidos de acuerdo a las suposiciones hechas. La estructura
de las galaxias espirales está conformada por: un halo triaxial de materia obscura,
un disco en su centro y un bulbo o concentración central, este será el sistema que
analizaremos en esta tesis.
2.7. CONCLUSIONES
9
Figura 2.2: Curvas de rotación de galaxias espirales publicadas por Sander (1996) y
de Blok & McGaugh (1998). El radio (eje horizontal) esta dado en kpc y en todos los
casos la velocidad (eje vertical) esta en km s−1 . Los puntos muestran las curvas de
rotación de líneas de 21 cm observadas, las líneas punteadas son las curvas de rotación
Newtonianas, y las líneas solidas las medidas de MOND [16].
10 CAPÍTULO 2. DINÁMICA DE LAS GALAXIAS ELÍPTICAS Y ESPIRALES
Capítulo 3
Modelos auto-consistentes de galaxias
3.1.
Introducción
La importancia de comprender la estructura y las leyes físicas subyacentes que gobiernan la dinámica y evolución de los sistemas galácticos es la principal meta en el
estudio de sistemas estelares; a fin de comprender algunos de los problemas claves en
astrofísica que relacionan el origen, evolución y estructura del universo. El análisis de
la morfología y estabilidad de las órbitas de estrellas individuales en estos sistemas
galácticos es esencial para desarrollar una teoría viable acerca del comportamiento
de las galaxias como un todo. Basandose en observaciones se pueden dividir a las
galaxias de acuerdo a su forma en espirales (barradas o no barradas), elípticas e irregulares. En la literatura las galaxias elípticas se denotan como En donde n = 10 a−c
a
y los parametros a y c son los ejes mayor y menor, respectivamente. El rango de las
elípticas va desde esféricas E0 hasta altamente atachadas E7. Las observaciones de
galaxias elípticas sólo proporcionan una proyección de la línea de visión de su forma,
dejando la duda de una posible simetría axial.
Aunque recientemente las galaxias elípticas fueron consideradas como axisimétricas (oblata) debido a su rotación. Se ha observado que la mayoría de las galaxias
elípticas rotan significantemente más lento (de 70-80 km/h) de lo que se espera de
un cuerpo fluido con la misma razón axial que seria de unos 200-300 km/h. Estas
observaciones dan cabida a la siguiente pregunta: ¿son las galaxias elípticas axisimétricas o completamente triaxiales?. Binney [4] ha propuesto que el atachamiento de
las galaxias elípticas se debe principalmente a que la distribución de velocidad es anisotrópica y que por lo menos los modelos triaxiales son probablemente axisimétricos.
Brevemente se comenta que Schwarzschild en [17] propuso un método para construir
modelos triaxiales auto-consistentes que se vera más adelante.
Las galaxias elípticas son sistemas de entre 107 a 1012 estrellas y tienen un radio
aproximado de 15 kpc [5]. Una colisión es un encuentro entre estrellas cuando el
efecto gravitacional debido a sus masas domina el campo gravitatorio del resto de la
galaxia. Resultados recientes muestran que el tiempo necesario para que se produzca
una colisión es de 1019 yr un factor de 109 más grande que la edad de la galaxia, el
11
12
CAPÍTULO 3. MODELOS AUTO-CONSISTENTES DE GALAXIAS
cual es de ∼ 1,5 × 1010 yr; esto justifica el tratamiento de las estrellas en una galaxia
como puntos con masa y a las galaxias como sistemas sin colisiones [5]. Esto también
permite usar una distribución de masa continua para así obtener una aproximación
al campo gravitacional de las galaxias.
3.1.1.
La ecuación de Boltzmann sin colisiones
La distribución de masa en un galaxia sin colisiones se describe a través de una función
de distribución (DF) del espacio fase f (x, v, t) que satisface la ecuación de Boltzmann
sin colisiones (EBC) dada por:
∂f
∂f
+ v · ∇f − ∇Φ ·
=0
(3.1)
∂t
∂v
donde Φ es el potencial gravitacional del sistema.
Para que la DF tenga significado físico debe de ser no-negativa. En los modelos en
equilibrio se tiene que ∂f
= 0. La integración de la DF sobre el espacio de velocidades
∂t
produce la densidad de masa ρ(x) del sistema:
Z Z Z
ρ(x, t) =
f (x, v, t)d3 v.
(3.2)
Dada la densidad de masa ρ, el potencial gravitacional Φ(x) se puede calcular por
medio de la ecuación de Poisson:
∇2 Φ = 4πGρ
(3.3)
donde G es la constante gravitacional.
No toda la densidad de masa es debido a la materia luninosa, sino también hay
contribuciones importantes de materia oscura, tal como la existencia de halos de materia oscura o agujeros negros en los centros de las galaxias. Para obtener un modelo
dinámico de un sistema galáctico se deben resolver las ecuaciones (3.1)-(3.3) simultáneamente. Si se pueden resolver, entonces se habla de un modelo auto-consistente,
para ello se pueden adoptar una de las siguientes aproximaciones:
1. Dada la densidad ρ resolvemos (3.1)-(3.3) para f .
2. Dada la DF f resolvemos (3.1)-(3.3) para ρ.
En cualquiera de estas aproximaciones, es útil emplear el teorema de Jeans que
relaciona la DF y las coordenadas del espacio fase.
Todas las integrales aisladas de movimiento I(x, v) que se conservan en un potencial dado satisfacen (3.1). Las integrales aisladas de movimiento y la DF se relacionan
por medio del teorema de Jeans, el cual dice que la DF depende de las coordenadas del espacio fase (x, v) sólo a través de tres integrales aisladas de movimiento
f (I1 , I2 , I3 ). Si el sistema admite menos integrales de movimiento que grados de libertad las órbitas son caóticas (estocásticas o irregulares); esto significa que cada
3.2. EL MÉTODO DE SCHWARZSCHILD
13
órbita llenara densamente la porción del espacio fase delimitado por la(s) curva(s) de
la integral(es) constante de movimiento que obedece. Sí por otro lado, el número de
integrales aisladas de movimiento es igual al número de grados de libertad la órbita
es regular.
3.2.
El método de Schwarzschild
Las galaxias triaxiales tienen tres planos de reflección simétricos, pero los ejes no
son simétricos. En un potencial triaxial, la fuerza no es radial por lo que ningún
componente del momento angular se conserva. Esta ausencia de simetría hace de
las galaxias triaxiales un problema de tres grados de libertad. La mayoría de las
galaxias triaxiales tienen exactamente una sola integral de movimiento, la energía
de la órbita E (definido como el valor del Hamiltoniano). Sin embargo, los modelos
numéricos muestran que porciones muy pequeñas de las órbitas en sistemas triaxiales
son regulares [17, 18, 19, 12, 13]. Estas órbitas admiten dos integrales de movimiento
I2 y I3 además de la energía orbital y entonces la DF es f (E, I2 , I3 ). Sin embargo, ya
que estas integrales aisladas de movimiento no se conocen analíticamente no se puede
construir una DF que represente a una galaxia. En [17] se propuso un método numérico
para calcular una configuración 3-dimensional auto-consistente para sistemas estelares
sin colisiones en equilibrio dinámico.
Densidad
Potencial
Programación
lineal
Órbitas
No-negativo
mínimos
cuadrados
Distribución de la densidad
de órbitas individuales
Figura 3.1: Método de Schwarzschild para calcular numéricamente la función de distribución f .
El método de Schwarzschild es una aproximación estándar para verificar sí un
14
modelo es auto-consistente o no, que a grandes rasgos consiste en 4 pasos: 1) escoger una distribución de densidad, 2) calcular el potencial a partir de la ecuación de
Poisson, 3) integrar n órbitas y finalmente 4) reproducir la densidad por medio de la
superposición orbital. Para llevarlo a cabo se divide el espacio en celdas, ya sea de
igual masa o volumen, así se puede saber el tiempo que una órbita estuvo en cada
celda. Comúnmente se emplea programación lineal para resolver el problema y en
muchas otras ocasiones mínimos cuadrados. La figura 3.1 muestra un esquema del
método de Schwarzschild. En la última etapa del método de Schwarzschild se calculan los números de ocupación que es el número de veces que cada órbita pasa por
una celda determinada por el índice i, esto proporciona una aproximación a la función de distribución del espacio fase f (x, v). La principal contribución del método de
Schwarzschild es que f se obtiene numéricamente sin conocimiento explícito de las
integrales de movimiento. El procedimiento general del método de Schwarzschild se
detalla abajo.
Procedimiento general
a) Escoger una distribución de densidad. La distribución de densidad se puede
dar numérica o analíticamente, pero por costo computacional se recomienda
en lo posible representarla analíticamente para facilitar los cálculos en el paso
b. El espacio ocupado por el modelo se divide en N celdas y la distribución
de densidad se representara por la masa D(J) con J = 1 hasta N lugares en
cada celda. El espacio se divide ya sea en celdas de igual volumen o igual masa
(figura 3.2) y dependiendo de la geometría de la distribución se contiene en una
esfera o un cilindro.
b) Derivación del potencial gravitacional. Dada la distribución de densidad, el potencial se puede calcular por medio de la ecuación de Poisson (3.3). Por costo
computacional es conveniente que el potencial y sus primeras tres derivadas
parciales se pueden expresar al menos parcialmente algebraicas, en lugar de totalmente numéricas. Para nuestros propositos este paso no es necesario, ya que
se tiene la expresión del potencial, y por el cual también la densidad vía (3.3).
c) Cálculo de las órbitas. Dado el potencial gravitacional, cualquier órbita descrita
por sus parámetros iniciales se puede calcular empleando cualquier método de
integración. Es necesario que el tiempo de integración sea lo suficientemente
grande, digamos 100 oscilaciones dentro del sistema para asegurarnos que la órbita represente las características del sistema. Durante el cálculo o integración
de una órbita, ciertos datos tienen que ser guardados para futuras investigaciones como las velocidades y posiciones. Aquí, sólo se necesita guardar la fracción
de tiempo que una órbita pasa en una celda (números de ocupación) dependiendo de la división hecha en el paso a (figura 3.2). Así, cuando el cálculo de una
órbita designada por el índice I, se guarda la fracción de tiempo B(I, J) en la
celda con índice J = 1 hasta N . Los valores B se pueden considerar como una
3.2. EL MÉTODO DE SCHWARZSCHILD
15
representación de la distribución de densidad producida por la superposición
orbital.
Figura 3.2: En la izquierda se muestra un sistema contenido en un cilindro con una
división del espacio en celdas de igual volumen y en la derecha se muestran órbitas
pasando por una celda. El número total de órbitas que pasan por una celda se le llama
número de ocupación y este representa la densidad del sistema en la celda.
d) Reproducción de la distribución de densidad del modelo. Después del cálculo de
digamos M órbitas la pregunta restante es: ¿puede la distribución de densidad
D(J) ser reproducida por una superposición de M órbitas por medio de los
números de ocupacion B(I, J), si cada órbita ocupa aleatoriamente un número
apropiado de celdas con números de ocupación C(I)? o más precisamente, puede
el siguiente conjunto de ecuaciones:
M
X
C(I) · B(I, J) = D(J)
(J = 1, . . . , N )
(3.4)
I=1
tener una solución física aceptable, por ejemplo, una en la cual todos los números
de ocupación sean no negativos, es decir
C(I) ≥ 0
(I = 1, . . . , M ).
(3.5)
Las ecuaciones (3.4) y (3.5) representan un problema típico de programación
lineal para el cual existen métodos para calcular una solución o probar la no
existencia de una solución. Si para un caso en particular, la programación lineal
da la respuesta ‘Sin solución’ para las condiciones (3.4) y (3.5), dos alternativas
se pueden considerar: podría ser que las M órbitas incluidas no cubren suficientemente los tipos y rangos de los parámetros de todas las órbitas posibles. En
este caso, se necesita calcular órbitas adicionales con el objetivo de incrementar
la variedad en las tablas B(I, J), entoces el método de programación lineal se
repite agregando las nuevas órbitas. Por otro lado, si la respuesta sigue siendo
‘Sin solución’ entonces la interpretación posible podría ser que la distribución
elegida puede no corresponder a una configuración en equilibrio en vista de la
existencia de tres integrales de movimiento para la mayoría de las órbitas. En
16
contraste, en la situación en que la programación lineal proporciona una solución para las condiciones (3.4) y (3.5) se puede concluir que la distribución
de densidad escogida corresponde a una configuración dinámica en equilibrio y
que esta configuración se puede representar por medio de una superposición de
órbitas donde cada celda es ocupada por un número de estrellas dada por la
solución de la programación lineal.
La librería de órbitas empleando la aproximación de Schwarzschild se puede contruir como sigue: muestrear uniformemente el espacio fase para obtener las condiciones
iniciales (posiciones y velocidades), integrar las ecuaciones de movimiento sobre grandes escalas de tiempo y calcular los números de ocupación. Esto no asegura de que
siempre se tendrán las órbitas que más peso estadístico tengan para reforzar la forma
de la galaxia; por otro lado, varios autores mencionan la importancia de las órbitas
ergódicas en modelos de potenciales de galaxias. La ergodicidad de cada órbita se
puede determinar vía su Exponente de Lyapunov (LE), el cual mide la razón a la cual
una órbita experimenta una perturbación lineal desde su trayectoria imperturbada.
Una órbita regular tiene un LE igual a cero, mientras una órbita ergódica tiene al
menos un LE positivo.
3.3.
Órbitas y potencial gravitacional
Mucha de la masa de una galaxia reside en estrellas. Para calcular el potencial de un
gran número de estrellas se debe en principio sumar el potencial de cada punto de masa
de todas las estrellas. Por supuesto, esto no es práctico para ≈ 1011 estrellas en una
galaxia típica, y para la mayoría de los propositos es suficiente modelar el potencial
como una distribución de densidad uniforme que sea proporcional a la densidad local
en la galaxia. Para calcular la fuerza F(x) sobre una unidad de masa a la posición x
que es generado por la atracción gravitacional de una distribución de masa ρ(x) se
emplea la ley del inverso al cuadrado de la gravitación de Isaac Newton. La fuerza
F(x) se puede obtener sumando las pequeñas contribuciones de la fuerza total de
cada pequeño elemento de volumen δ 3 x0 localizada a x0 , es decir:
δF(x) = G
x0 − x
x0 − x
0
0 3 0
δm(x
)
=
G
3
3 ρ(x )δ x .
0
0
|x − x|
|x − x|
(3.6)
x0 − x 3
d ρ(x0 )d3 x0 .
|x0 − x|
(3.7)
Entonces,
Z
F=G
Se define el potencial gravitacional Φ(X) como
Z
ρ(x0 ) 3 0
dx
Φ(x) = −G
|x0 − x|
del cual se deriva que
(3.8)
3.3. ÓRBITAS Y POTENCIAL GRAVITACIONAL
Z
F(x) = ∇x
17
Gρ(x0 ) 3 0
d x = −∇Φ.
|x0 − x|
(3.9)
El potencial es útil porque siendo un campo escalar, es más fácil de visualizar que
el campo de fuerza. Además, en muchas situaciones la mejor forma de obtener F es
primero calcular el potencial y entonces tomar su gradiente.
3.3.1.
Pares densidad-potencial
La densidad generada por un potencial gravitacional se puede conocer a través de (3.3)
considerando que cada estrella es un punto de masa y donde no existen colisiones. A
esta relación del potencial con la densidad se le conocen como modelos de galaxias
densidad-potencial.
Los siguientes son ejemplos de modelos densidad-potencial.
Potenciales esféricos
• Punto de masa: el potencial y la fuerza Kepleriana están dados por:
Φ(r) = −
GM
,
r
fr = −∇Φ(r) = −
GM
r̂.
r2
(3.10)
El movimiento de las órbitas se describe por la ecuación mr̈ = −m∇Φ(r),
su mometum angular por unidad de masa es J = r × (mṙ), del mismo modo
J̇ = r × (mr̈) + ṙ × (mṙ) = r × F ya que ṙ × (mṙ) = 0. Sí Φ(r) depende
únicamente de |r| y no de r, entonces
f = −∇Φ = −
dΦ
r̂
dr
(3.11)
por lo tanto
dJ
dΦ
= r × (mf ) = −m r × ṙ = 0.
(3.12)
dt
dr
El momentum angular alrededor del origen se conserva, lo que quiere decir que
el movimiento se sustenta sobre un plano (r y r̂ en el plano).
• Potencial Isocrono: Un potencial más realista es el potencial isocrono, el cual
fue diseñado para dar una densidad constante alta cerca del centro y decae como
ρ ∝ r−4 para r grande (figura 3.3), consistente con muchos resultados empíricos
de astronomía galáctica. El potencial isochrone tiene una escala longitud b y
masa total M
Φ(r) = −
GM
√
b + b2 + r 2
(3.13)
18
y la densidad es
3(b + a)a2 − r2 (b + 3a)
ρ(r) = M
4π(b + a)3 a3
donde a =
(3.14)
√
b2 + r 2 .
0
-0.2
Phi
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
2
4
6
8
10
6
8
10
0.4
Rho
0.3
0.2
0.1
0
0
2
4
r
Figura 3.3: Gráfica del potencial Isochrone (arriba) y la densidad generada (abajo)
con b = 0,5 y G = M = 1 en unidades unitarias.
Potenciales axisimétricos
19
• Potencial de Plummer: Considere el potencial esférico
ΦP = − √
GM
,
r 2 + b2
(3.15)
de la ecuación de Poisson (3.3) se tiene que la densidad correspondiente al
potencial, es
ρP (r) =
3M
4πb3
− 52
r2
1+ 2
.
b
(3.16)
En 1911 H.C. Plummer usó este par densidad-potencial (3.15)-(3.16) para ajustar observaciones de cúmulos globulares, es conocido como el modelo de Plummer.
• Potencial de Plummer-Kuzmin: también conocido como el modelo 1 de Toomre
y está dado por
GM
,
(3.17)
ΦK (R, z) = − q
2
2
R + (a + |z|)
con densidad superficial
ΣK (R) =
aM
.
(3.18)
+ a2 )3/2
Rz
La densidad superficial se define como ΣK = −z0 ρ(r, z)dz. La figura 3.4 muestra
la densidad superficial y velocidad circular del potencial de Kuzmin; la densidad
en R = 0 es M/2πa2 ; la velocidad circular en R = 0 es infinita donde la densidad
superficial sería cero, vc crece desde R = 0 para a 6= √
0 hasta alcanzar la velocidad
máxima que le permite la densidad inicial en R = 2a.
2π(R2
• Potencial Miyamoto-Nagai [14]: es una combinación del modelo de PlummerKuzmin (3.17) y el modelo esférico de Plummer (3.15) para cúmulos globulares
y está dado por:
−GM
ΦM (R, z) = q
.
√
2
2
2
2
R + (a + b + z )
(3.19)
Cuando a = 0, ΦM se reduce al modelo esférico de Plummer (3.15), y cuando
b = 0, ΦM se reduce al modelo de Kuzmin (3.17). Dependiendo de la elección
de los parámetros a y b, ΦM puede representar el potencial de cualquier disco
infinítamente delgado hasta un disco con una concentración de masa central.
De (3.3) la densidad generada por el potencial es
20
0.15
Sigma
0.125
0.1
0.075
0.05
0.025
0
5
0
10
15
20
Vc
0.3
0.2
0.1
0
0
5
10
R
15
20
Figura 3.4: La gráfica de arriba muestra la densidad superficial del potencial de Kuzmin normalizado con a = 1 y la gráfica de abajo muestra la velocidad circular para
a=1,2,3,4,5; conforme a es más grande la densidad inicial es mayor, por lo tanto la
máxima velocidad circular es menor lo que se observa en las curvas.
ρM (R, z) =
b2 M
4π
√
√
aR2 + (a + 3 z 2 + b2 )(a + z 2 + b2 )2
,
√
5/2
R2 + (a + z 2 + b2 )2
(z 2 + b2 )3/2
21
(3.20)
la cual es no-negativa en cualquier lugar en el espacio.
El potencial de Miyamoto-Nagai involucra pocos parámetros: la dimensión de
la galaxia a, el grosor galáctico b, y la masa de la galaxia M . Con estos tres
parámetros, el modelo de Miyamoto-Nagai cubre un amplio rango de configuraciones axisimétricas de galaxias. La figura 3.5 muestra contornos de la densidad
generado por el potencial como función de la razón b/a; conforme b/a decrementa la distribución de masa se vuelve cada vez más llana; también se muestra
un ejemplo de órbita para cada densidad generada.
La ecuación (3.20) muestra que la disposición de materia es oblato en lugar de
prolato, ya que ρ(x, 0) > ρ(0, x) para a 6= 0. Pero que la distribución de masa
es generalmente esferoidal, excepto cerca del centro galáctico donde el campo
de densidad (3.20) tiende a una forma esferoidal oblata.
• Potencial logarítmico: ya que los modelos de Plummer-Kuzmin (3.15)-(3.17)
tienen una masa finita, la velocidad circular asociada con este potencial decae
en una manera Kepleriana, es decir vc ∝ R−1/2 para R grande. Si para R
grande, vc ∝ v0 es una constante entonces dΦ/dR ∝ R−1 y por lo tanto Φ ∝
v0 2 ln R + constant en esta región.
Por lo tanto considere el siguiente potencial
z2
1 2
2
2
ΦL = v0 ln Rc + R + 2 + constant,
2
qΦ
(3.21)
donde Rc es el radio del núcleo, v0 es constante, y qΦ ≤ 1.
De la ecuación (3.3) la densidad generada por el potencial ΦL es
ρL (R, z) =
v02
4πGqΦ2
(2qΦ2 + 1)Rc2 + R2 + 2(1 − 21 qΦ−2 )z 2
.
(Rc2 + R2 + z 2 qΦ−2 )2
(3.22)
Para R y z pequeños, ρL tiende al valor ρL (0, 0) = (4πG)−1 (2 + qΦ−2 )(v0 /Rc )2 ,
y cuando R o |z| es grande ρL decae como R−2 o z −2 .
Las superficies equipotenciales de ΦL son elipses de razón axial qΦ , pero de la
figura 3.6 muestra que las superficies equidensidad son algo más planas, también
se muestra un ejemplo de órbita para cada densidad generada. La velocidad
circular vc al radio R en el plano ecuatorial (R, 0) de ΦL es
v0 R
vc = p
.
Rc2 + R2
(3.23)
22
1
0.5
0.05
0
0
z
z
0.1
-0.05
-0.5
-0.1
-1
-5
0
5
10
1
0.1
0.5
0.05
0
0
z
z
-10
-0.75 -0.5 -0.25
0
0.25
0.5
0.75
-0.3 -0.2 -0.1
0
0.1
0.2
0.3
-0.2
0
R
-0.05
-0.5
-0.1
-1
-10
0
10
20
1
0.1
0.5
0.05
z
z
-20
0
0
-0.05
-0.5
-0.1
-1
-60
-40
-20
0
R
20
40
60
-0.1
0.1
0.2
Figura 3.5: Gráficas de contorno de la densidad de Miyamoto-Nagia para las razones
b/a = 0.2 (arriba), b/a = 1 (en medio) y b/a = 10 (abajo), también se muestra un
ejemplo de órbita para cada gráfica de densidad con valores iniciales (R, z, vR , vz ) = (0.2,0.1,0.1,-0.01) y GM = 1.
23
Este potencial se puede generalizar para simular una figura triaxial el cual ha
sido estudiado con detalle en [5]. En general, sepuede escribir en términos de
coordenadas cartesianas como
1
ΦH = v02 ln(R02 + x2 + py 2 + qz 2 ).
2
(3.24)
Las equipotenciales son elipsoides con razones 1/p2 y 1/q 2 entre el medio y eje
largo y corto y largo respectivamente.
3.3.2.
Modelo triaxial de Disco + Halo + Núcleo
Se generalizaron los modelos anteriores en tres dimensiones espaciales, para el modelo
de una galaxia con componentes de halo, disco y núcleo, el potencial total es igual
a la suma de cada componente individual ya que los potenciales son conservativos.
Se empleó un potencial logarítmico (3.24) para modelar el halo de la galaxia (con
parámetros de triaxialidad p y q):
1
(3.25)
Halo: ΦH = v02 ln(r02 + x2 + py 2 + qz 2 ).
2
Se modeló el disco y bulge usando el potencial de Miyamoto-Nagai (3.19) donde los
parámetros a y b determinan la concentración de masa central y llanura del sistema:
GMD
Disco: ΦD = − p
.
x2 + y 2 + (aD + (z 2 + b2D )1/2 )2
(3.26)
Se incluyó una esfera de Plummer (3.15) para modelar el núcleo central de masa
para el sistema
GMC
Núcleo: ΦC = − p
.
x2 + y 2 + z 2 + b2c
(3.27)
Así, el potencial total es
Φ = ΦHalo + ΦDisco + ΦNúcleo
(3.28)
y la densidad en cualquier región del sistema es
∇2 Φ
.
(3.29)
4πG
Los parámetros del halo v0 la máxima velocidad de rotación y r0 el radio del núcleo
donde el potencial es casi armónico están en unidades de km/s y kpc respectivamente.
Los valores que se emplearon fueron v0 =0.2 igual a 200 km/s y r0 =1 igual a 1 kpc,
respectivamente. Los parámetros del disco GMD que representa la masa del disco esta
en unidades para la cual la constante gravitacional es la unidad, aD la concentración
de masa central está dada en kpc y bD que determina la llanura del disco también esta
ρ(x, y, z) =
24
10
0.75
0.5
5
0.25
z
z
0
0
-0.25
-0.5
-5
-0.75
-10
-10
-5
0
5
-0.75 -0.5 -0.25
0
R
0.25 0.5 0.75
-0.75 -0.5 -0.25
0
R
0.25 0.5 0.75
-0.75 -0.5 -0.25
0
R
0.25 0.5 0.75
10
10
0.75
0.5
5
0.25
z
z
0
0
-0.25
-0.5
-5
-0.75
-10
-10
-5
0
5
10
0.6
10
0.4
5
z
z
0.2
0
0
-0.2
-5
-0.4
-0.6
-10
-10
-5
0
R
5
10
Figura 3.6: Contornos de igual densidad en el plano (R, z) para ρL , cuando qΦ = 1.0
(arriba), qΦ = 0.95 (en medio) y qΦ = 0.7 (abajo). Cuando qΦ = 0,7 la densidad es
negativa cerca del eje z para |z| & 7Rc ; también se muestra un ejemplo de órbita para
cada gráfica de densidad, con valores iniciales (R, z, vR , vz ) = (0.15,-0.5,0.5,0.2) con
v0 = 1 y Rc = 1.5.
25
dada en kpc; los valores empleados fueron GMD =0.3 igual a 3 × 1010 M , aD =3 igual
a 3 kpc y bD =1 igual a 1 kpc. Por último los parámetros del núcleo GMC está dada
en porcentajes de la masa total y en donde la constante gravitacional es la unidad,
bc el radio del núcleo está dado en kpc; los valores empleados fueron de bc =0.01 kpc
y GMC =0.002 igual al 0.2 % de la masa total en masas solares.
3.3.3.
Órbitas estelares en modelos de galaxias triaxiales
Las órbitas son los bloques principales de cualquier modelo galáctico, dependiendo de
su constancia y sus propiedades se dividen en regulares y caóticas. Las propiedades
de las órbitas regulares son independientes del tiempo, mientras que en el caso de
las caóticas, cambian con el tiempo. Modelos numéricos y estudios analíticos han
mostrado que los modelos triaxiales presentan cuatro familias principales de órbitas
regulares:
1. Boxes (de caja) están confinadas a una región en forma de caja alrededor del
centro galáctico. Estas no tienen un sentido de rotación general y su momento
angular promedio es cero.
2. Short-axis tubes (de caja con eje menor) están confinadas a una región en forma
de caja alrededor del eje menor de la galaxia, sobre el cual tienen un sentido de
rotación definido.
3. Inner long-axis tubes (de caja con eje mayor) estas se mueven alrededor del eje
mayor, sobre el cual tiene un sentido de rotación definido.
4. Outer long-axis tubes (de caja con eje mayor exteriores) estas también definen
su sentido de rotación alrededor del eje mayor, sólo que mucho más lejos del
centro que las Inner long-axis tubes.
Otra familia importante de órbitas regulares aparecen cuando hay resonancia entre
la frecuencia de las oscilaciones en dos o tres coordenadas. Estas bifurcaciones de
órbitas de caja y de tubo producen boxlets y tubelets, respectivamente.
La figura 3.7 muestra algunas órbitas en el potencial del modelo dado por (3.28)
para un halo esférico sin disco y sin núcleo, en un modelo esférico todas las órbitas
son regulares.
La figura 3.8 muestra algunas órbitas para un halo triaxial sin disco y sin núcleo,
se encuentran principalmente órbitas de caja, short axis-tubes y long axis-tubes.
La figura 3.9 muestra órbitas para un modelos de halo triaxial sin disco y con
núcleo, mientras que en la figura 3.10 se muestran órbitas para un halo triaxial con
disco y sin núcleo. Finalmente, la figura 3.11 muestra órbitas para un modelo de halo
triaxial con disco y con núcleo.
Estudios teoricos han mostrado que una gran fracción de órbitas en modelos triaxiales con un núcleo central de masa son caóticas [19], lo cual se aprecia ligeramente
en la figura 3.11. En todas las gráficas se emplearon las mismas condiciones iniciales
para notar la diferentes familias de órbitas presentes en cada modelo.
26
3.4.
Conclusiones
El método de Schwarzschild yace de la suposición hecha de que cada estrella en una
galaxia pueder ser considerada como un punto de masa, la cual sigue una distribución
de densidad dada por el potencial gravitacional vía la ecuación de Poisson. Así, se
construyen modelos de desidad-potencial gravitacional de galaxias de disco (ρ − Φ) en
los cuales los encuentros entre estrellas no son importantes. La desventaja del método
estándar de Schwarzschild para formar la biblioteca de órbitas es al hacer un muestreo
uniforme, esto puede llevar a hacer cálculos innecesarios ya que no selecciona aquellas
órbitas con mayor peso estadístico para reforzar la forma de la galaxia. El muestreo
uniforme no asegura encontrar todas las familias de órbitas posibles o aquellas que
tienen mayor peso estadístico al momento de buscar una solución en el paso d del
método de Schwarzschild.
3.4. CONCLUSIONES
1
1
0.5
0.5
0
-0.5
1
0.2
0.5
0.5
0
-0.2
-0.4
-1.5
-1
-1
-1.5
-1
-0.5
0
x
0.5
1
1.5
-1.5 -1 -0.5 0
y
0.5
1
1.5
-0.5
-1
-1
-0.6
-1.5
1.5
0
-0.5
-0.5
-0.5
-1
1.5
1
0
y
0
z
z
y
0.5
0
1.5
0.6
0.4
z
1
z
1.5
27
-1
-0.5
0
x
0.5
1
1.5
-1.5
-1
-0.5
0
x
1
0.5
-1.5
1.5
-0.6 -0.4 -0.2
0
y
0.2
0.4
-1.5
0.6
-1.5
-1
-0.5
0
x
1
0.5
1.5
1.5
1.5
0.4
1
1
0.2
0.5
0.5
1
1
0.5
0.5
0.5
1
1.5
-0.4
0
y
0.2
0.4
1.5
z
0
-0.5
-1
1
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1
-0.5
0
x
0.5
1
1.5
z
z
-1
-0.5
0
x
0.5
1
1.5
-1
-0.5
0
x
1
0.5
-1
-1.5 -1 -0.5
0
y
1
0.5
1.5
2
2
2
1
1
1
0
0
-1
-0.5
-0.4
-0.2
0
x
1
0.5
-1
-1
0
-1
-1.5
-1.5
-1.5
-1
-1
1.5
1
0.5
z
1
0.5
y
-0.2
0
-0.5
z
0
x
z
-0.5
y
-1
0
-0.5
-1.5
-1.5
-1.5
-1.5
-1.5
0
-0.5
-1
-1
-0.4
0
-0.5
-0.5
-0.2
y
0
z
0
z
y
1
0.5
-1
-0.5
0
y
-1.5
1
0.5
-1
-0.5
0
x
0.5
1
-2
1.5
-0.4
-0.2
0
x
0.2
-2
-2
0.4
-2
-1
1
0
y
2
0
x
0.2
0.4
0
x
0.5
1
0
x
0.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
0.25
0
-0.5
-0.5
-1
0
-0.25
-0.5
-0.5
0
z
y
z
z
-0.5
-1
-1
-1.5
-0.75
-1
-1.5
-1.5
-1
-0.5
0
x
0.5
1
1.5
-1.5 -1 -0.5
0
y
0.5
1
1.5
-1.5
1.5
1
-1
-0.5
0
x
0.5
1
1.5
-1
-1.5 -1 -0.5
0
x
0.5
1
1.5
-1.5
-1
-0.5
0
y
0.5
1
-1
1.5
-1.5 -1 -0.5
1.5
1.5
1.5
1.5
0.4
0
0.2
0
-0.5
-0.5
-1
-1
0
-0.2
1
1
0.5
0.5
0
z
1
0.5
y
z
0
-0.5
1
0.5
z
0.5
z
y
0
0.5
0.5
0.5
-0.5
y
0.75
1
1
0.5
z
1.5
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-0.4
-1
-1.5
-1
-0.5
0
x
0.5
1
-1.5
-1
-0.5
0
y
0.5
1
-1.5
-1
-0.5
0
x
0.5
1
-1.5
-1
-0.5
0
x
0.5
1
1.5
-1.5
-0.4
-0.2
0
y
0.2
0.4
-1.5
-1
-0.5
1
1.5
Figura 3.7: Familia de órbitas regulares que se encuentran en el modelo dado por
(3.28), de halo esférico (p=q=1) sin disco y sin núcleo. Cada órbita tiene su proyección
en el plano XY, YZ y XZ.
2
1.5
1.5
1.5
1
1
1
1
1
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-0.5
-1
-1
-1
-1.5
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
-1.5
-2
-1.5
-2
-1
-0.5
0
x
-1
-2
1
0.5
1
0
y
-1
2
0
z
0
y
0
-1
1.5
1.5
z
z
y
1
z
28
-0.5
0
x
-1
-2
1
0.5
1
0
x
2
-1.5 -1 -0.5
0
y
1
0.5
1.5
-1
1
0
x
2
1.5
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
-1
-0.5
0
x
1
0.5
-1
-1.5
1.5
-1
-0.5
0
y
1
0.5
1.5
-0.5
-1
1
0.5
0
0
z
z
0
-1
-0.5
0
x
1
0.5
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1
-1.5
-1
-0.5
0
x
-0.5
0
x
-1.5 -1 -0.5 0
y
1
0.5
1.5
-1
1
2
2
0.5
1
1
0
0
-1
-0.5
-0.5
0
x
0.5
1
0
x
0.05
0.1
0
-1
-1.5
1
0.5
-1.5
1
0.5
-2
-1
-1
0
-0.5
1.5
1.5
1
0.5
0.5
0
-1.5
-1.5
1.5
1
0.5
y
-0.5
y
z
y
-0.5
1
0.5
z
0
1
0.5
z
0
1
z
0
1.5
1.5
1.5
z
0.5
y
1
0.5
1
z
1
0.5
-1
-0.5
0
y
1
0.5
-1
-0.5
0
x
1
0.5
-0.1
-0.05
0
x
0.05
-2
0.1
-1
-0.5
0
y
1
0.5
-0.1
-0.05
1.5
-0.5
-0.5
-0.5
-1
-1
-1
0
x
1
-1.5 -1 -0.5
2
0
y
0.5
1
1.5
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-0.5
-1
-1
-1
-1.5
-1.5
-1
-2
1.5
1.5
1
-1.5
-1.5
-1.5
-1
-2
z
0
0
y
0
0
z
0.5
0.5
z
1
0
x
2
-1.5 -1 -0.5
0
x
0.5
1
-1.5
1.5
-1
-0.5
0
1
0.5
1.5
-1.5 -1 -0.5
y
1.5
1.5
0
x
0.5
0
x
0.5
1
1.5
1.5
1.5
z
0
-0.5
0
-0.5
1
1
0.5
0.5
0.5
0
0
1
0
-0.5
-0.5
-0.5
-1
-1
-1
-1.5
-1
-0.5
0
x
0.5
1
-1.5
-1
-0.5
0
y
0.5
1
1.5
-1
-0.5
0
x
0.5
1
-1
-1.5
-1.5
-1.5
-1.5
-1
-0.5
0
x
0.5
1
1.5
0
-0.5
-1
-1
-1.5
z
1
0.5
z
1
0.5
y
1
0.5
z
y
1
0.5
1.5
1.5
1
1
0.5
-1.5
y
1.5
1
z
1.5
1.5
-1.5
-1.5 -1 -0.5
0
y
0.5
1
1.5
-1.5
-1
-0.5
1
1.5
(3.28), de halo triaxial (p=0.9, q=0.8) sin disco y sin núcleo. Cada órbita tiene su
proyección en el plano XY, YZ y XZ.
29
1
1
1
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0
0
0
z
-0.5
-0.5
-0.5
-1
-1
-1
-1
-0.5
0
x
1
0.5
-1
-1.5 -1 -0.5
0
y
0.5
1
1.5
-1
-0.5
0
x
1
0.5
-1.5 -1 -0.5
0
x
0.5
1
-1.5
1.5
0
0
-0.5
-0.5
0
x
-1
1
0.5
-1
-0.5
0
y
-1
-0.5
0
x
1
1.5
-1.5 -1 -0.5
1
0
-0.5
-1
-0.5
0
x
1
0.5
-1
-1
-0.5
0
y
0.5
1
1.5
-1
0
-0.5
-0.5
-0.5
-1
-1
-1
1
1
1
0.5
0.5
0
1.5
-1.5 -1 -0.5
0
y
0.5
1
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-1.5 -1 -0.5
1.5
0
x
1
0.5
1.5
-1
1.5
0
x
0.5
1
0
y
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0.5
-1
1.5
1
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0.5
0.5
1.5
-1
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0
y
0.5
1
1.5
0
0
-1
-1
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-1.5 -1 -0.5
0
x
0.5
1
1.5
-1.5
-1
-0.5
0
x
0.5
1
1.5
-1.5 -1 -0.5
0
y
0.5
1
1.5
-1.5 -1 -0.5
1.5
1
0.5
0
0
0
-0.5
-0.5
-0.5
-1
-1.5
-0.5
0
x
0.5
1
-1.5
-1
-0.5
0
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0.5
1
1.5
-1
-0.5
0
x
0.5
1
-1
-0.5
0
x
0.5
1
1.5
1
0
x
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1.5
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z
y
3.4. CONCLUSIONES
-1.5
-1.5
-1
-0.5
0
y
0.5
1
1.5
-1.5
-1
-0.5
1.5
(3.28), de halo triaxial (p=0.9, q=0.8) sin disco y con núcleo (GMC =0.002, 2 % de la
masa total; bc =0.01 kpc). Cada órbita tiene su proyección en el plano XY, YZ y XZ.
30
1.5
0.4
0.4
0.2
0.2
0.75
1
1
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0
z
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0
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z
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y
y
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y
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z
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0
y
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0.5
y
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-0.5
z
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0
x
0.5
1
(3.28), de halo triaxial (p=0.9, q=0.8) con disco (GMD =0.3×1011 M , aD =3 kpc) y
sin núcleo. Cada órbita tiene su proyección en el plano XY, YZ y XZ.
3.4. CONCLUSIONES
31
1
0.75
0.4
0.4
0.2
0.2
1
1
0.5
0.5
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y
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y
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0
-0.25
-0.2
-0.5
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-0.5
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y
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0
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0
y
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z
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0
x
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0.5
-1
-0.75 -0.5 -0.25 0
y
0.25 0.5 0.75
-0.5
0
0.5
0.5
0.25
0.25
0
1
-0.4
0.2
1
0.5
0
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z
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-0.5
-0.5
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-1
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1
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x
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1
0.5
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y
0.5
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0.4
0.4
0.2
0.2
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0
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0
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1
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-0.2
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-0.2
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0
y
1
0.5
1.5
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0.75
0.75
0.5
0.5
-1
-0.5
0
x
0.5
1
-0.4
-0.4
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-0.2
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x
-0.4
-0.4
0.2
1
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0
y
0.2
-0.4
-0.4
0.4
0.6
0.6
0.4
0.4
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0
x
0.2
0.4
0.5
0
z
z
z
0
-0.25
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-1
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1
1.5
-1.5
-1
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0
y
0.5
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1
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0
x
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1
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-0.6
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0
x
1
0.5
-1
1
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0
y
1
0.5
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0
-0.5
0
0
-0.2
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1
1
0.5
0.5
0
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0
x
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1
-1
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0
y
0.5
1
1
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y
1
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1
0.5
z
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0
-0.2
-0.4
-1
-0.75
-0.75
-1.5
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-0.2
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-1
0.2
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0.25
0
-0.25
z
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0
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y
0.5
y
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1
0.5
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-1.5
-1.5
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0
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y
0
y
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y
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z
0
x
y
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1
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x
0.75
0.75
-0.25
-0.5
-0.5
-0.2
-1
-0.5
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z
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z
y
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x
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1
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-1
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0
x
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1
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0
y
0.2
0.4
-1.5
-1.5
-1
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0
x
0.5
1
1.5
(3.28), de halo triaxial (p=0.9, q=0.8) con disco (GMD =0.3×1011 M , aD =3 kpc) y
con núcleo (GMC =0.002, 2 % de la masa total; bc =0.01 kpc). Cada órbita tiene su
proyección en el plano XY, YZ y XZ.
32
Capítulo 4
Nueva aproximación; entropía
Kolmogorov-Sinai
4.1.
Introducción
La idea central de la nueva aproximación es: si las órbitas caóticas son relevantes en
la construcción de un modelo auto-consistente de galaxias (como algunos autores han
sugerido), e.g. halos triaxiales, entonces el método tradicional de muestrear el espacio
fase en general no nos permitirá encontrar muchas órbitas caóticas, pues sólo las
encontraría por casualidad. Para esto se calculan los LEs para cada órbita, el cual es
una medida que describe el grado de ergodicidad de una órbita. Por otro lado, es bien
conocido que la integral de los LEs sobre todo el espacio fase de un sistema dinámico
es una cantidad conocida como la entropía Kolmogorov-Sinai (K-S). Entonces, la
integral se plantea como un problema de integración de Monte Carlo (MC), de este
modo la entropía K-S nos indica que órbitas contribuyen más a la integral.
4.2.
Divergencia exponencial
El hecho de que las trayectorias divergan a lo largo del tiempo podría no ser tan
dramático si fuera muy lentamente como es típico en sistemas predominantemente
periódicos. Así, se habla de caos sólo si esta divergencia es exponencialmente rápida
[11]. Propiamente el exponente promediado de este incremento caracteriza y cuantifíca
la magnitud del caos. Este es llamado Exponente de Lyapunov.
4.2.1.
El máximo exponente de Lyapunov
En principio se pueden definir tantos LEs para un sistema dinámico como la dimensión
de espacio fase del sistema [6]. Uno de los más importantes es el máximo exponente de
Lyapunov λ. Sean Sn1 y Sn2 dos puntos en el espacio de estados con distancias kSn1 −
Sn2 k = δ0 1. Denote por δ∆n la distancia al tiempo n entre las dos trayectorias
emergiendo desde estos puntos dada por δ∆n = kSn1+∆n − Sn2+∆n k.
33
34CAPÍTULO 4. NUEVA APROXIMACIÓN; ENTROPÍA KOLMOGOROV-SINAI
Tipo de movimiento
punto fijo estable
ciclo límite estable
caos
ruido
Máximo exponente de Lyapunov
λ<0
λ=0
0<λ<∞
λ=∞
Tabla 4.1: Tipos de movimientos que caracteriza el exponente de Lyapunov.
Entonces λ es determinado por
δ∆n ' δ0 eλ∆n ,
δ∆n 1,
∆n 1.
(4.1)
Sí λ es positivo, esto significa divergencia de trayectorias cercanas y se dice que es
una órbita estocástica o caótica. Naturalmente dos trayectorias no pueden separarse
más allá que el tamaño del atractor, tal que la ley de la ecuación (4.1) es sólo valida
durante tiempos ∆n para los cuales δ∆n se mantiene pequeño. De otra forma se
observaría una violación de (4.1) en la forma de una saturación de la distancia. Debido
a esta hecho, una definición matemática más rigorosa tendría que involucrar el primer
límite δ0 → 0 tal que el segundo límite ∆n → ∞ puede llevarse a cabo sin involucrar
un efecto de saturación. Sólo en el segundo límite el exponente λ se vuelve una
cantidad bien definida e invariante.
En sistemas disipativos se puede buscar un máximo LE negativo el cual refleja la
existencia de un punto fijo estable. Dos trayectorias que se aproximan a un punto fijo
también se aproximan una a la de forma exponencial. Si el movimiento se establece
sobre un ciclo límite entonces dos trayectorias se separan una de la otra lentamente en
lugar de hacerlo exponencialmente. En este caso el máximo LE es cero y el movimiento
es llamado marginalmente estable. Si un sistema predominantemente determinístico
es perturbado por ruido aleatorio a pequeñas escalas
√ entonces se puede caracterizar
por un proceso de difusión donde δ∆n crece como ∆n, en este caso el máximo LE
es infinito. De acuerdo a la definición matemática dada en (4.1) esto se cumple sin
importar que tan pequeño sea el componente de ruido. El LE lleva las unidades de
un tiempo inverso y proporciona una escala típica de tiempo para la divergencia o
convergencia de trayectorias cercanas. La tabla 4.1 resume los tipos de movimientos
caracterizados por el LE.
Una forma de ver como los LEs miden el grado de convergencia en un tipo de
órbita es visualizando su diagrama de bifurcación versus su LE en cada tiempo [10].
La ecuación logística que representa un crecimiento de población es uno de los ejemplos
más apropiados para observar el comportamiento caótico. El mapa de bifurcación se
forma a partir de la ecuación logística Y = aX(1 − X) para la condición inicial X0 ,
se obtiene Y0 y se hace Y0 = X1 ; con X1 se obtiene Y1 y así sucesivamente; en general
para Xn hacemos Yn = Xn+1 una forma de retroalimentación. La figura 4.1 muestra
el mapa de bifurcación para la ecuación logística y su LE en función del parámetro
a. Ciertamente cuando el exponente es menor o igual a cero, significa que la órbita
es regular o marginalmente estable, lo que se observa en su mapa de bifurcación, en
4.3. LA ENTROPÍA KOLMOGOROV-SINAI
35
el cual la órbita es periódica, mientras que cuando el exponente es mayor que cero,
se observa una bifurcación en el mapa como indicio de comportamiento caótico.
Figura 4.1: Exponentes de Lyapunov (arriba) y su mapa de bifurcación para la ecuación logística (abajo). Cuando los LEs son negativos o cero la órbita es periódica,
cuando son mayores que cero se observa una bifurcación en el mapa.
4.3.
La entropía Kolmogorov-Sinai
La entropía es un concepto proveniente de la termodinámica y desde este punto de
vista la definición más fundamental de entropía está descrita por el número de estados
accesibles para el sistema en consideración. La idea viene de la relación que existe
con las propiedades macroscópicas relacionadas con el sistema, tal como presión,
volumen ocupado, temperatura, etc., con las propiedades microscópicas en términos
de posiciones y velocidades de los átomos o moleculas individuales que componen
un gas. En casi todos los casos, hay un vasto número de estados microscópicos que
corresponden a un mismo estado macroscópico. Asumimos que un sistema aislado
de átomos y moléculas en equilibrio térmico visita por igual todos los microestados
compatibles con el conjunto de propiedades. Entonces, se define la entropía S del
sistema como:
S = k ln N
(4.2)
donde N es el número de microestados compatibles con la condición macroscópica
asumida y k es la constante de Boltzmann.
Si el sistema no esta en equilibrio térmico, no todos los estados accesibles son
igualmente ocupados con la misma probabilidad; para el caso donde todos los estados
accesibles son igualmente ocupados con una probabilidad pi se tiene que pi = p = 1/N
para todos los estados accesibles. Entonces la entropía se escribe como:
S = −k ln p
(4.3)
donde 0 ≤ p ≤ 1.
En el caso en que no todos los estados accesibles son igualmente probables se tiene
que
X
S = −k ln
pr ln pr
(4.4)
r
donde pr es la probabilidad para el sistema se encuentre en el r -ésimo microestado; la
suma se toma sobre todos los estados del sistema. Si un estado no es accesible pr = 0
y el estado no contribuye a la entropía.
4.3.1.
Entropía para la dinámica del espacio de estados
La extensión de la entropía para el espacio de estados de un sistema dinámico se define
de la misma manera, definiendo lo que significa conteo de estados. Se hace dividiendo
el espacio de estados del sistema en celdas del mismo tamaño (vea la figura 4.2). Se
comienza con una colección de condiciones iniciales, usualmente colocadas sobre una
celda. Conforme el sistema evoluciona en el tiempo las trayectorias generalmente se
dispersan sobre un gran número de celdas en el espacio de estados. Después de n
unidades de tiempo (cada una de tamaño τ ) se calcula la frecuencia relativa (probabilidad) pr con la cual el sistema visita cada una de las celdas. Entonces la entropía
Sn se define como:
X
Sn = −k
pr ln pr
(4.5)
r
donde pr es la probabilidad de que una trayectoria comienze desde la celda inicial y
luego se encuentre en la r -ésima celda después de n unidades de tiempo. Si se tienen M
condiciones iniciales en la celda inicial y si después de n unidades de tiempo se tienen
Mr trayectorias en la r -ésima celda, entonces pr = Mr /M que es la probabilidad de
que una fracción de las trayectorias que terminaron en la r -ésima celda después de n
unidades de tiempo.
Es importante notar que se refiere a cambios de entropía, no en su valor en si. El
cambio en entropía se caracteriza por la entropía Kolmogorov-Sinai la cual describe
4.3. LA ENTROPÍA KOLMOGOROV-SINAI
37
la razón de cambio de la entropía a como el sistema se desarrolla. La entropía K-S o
Kn después de n unidades de tiempo se define como:
Kn =
1
(Sn+1 − Sn ),
τ
(4.6)
Kn es la razón de cambio de la entropía que va de t = nτ hasta t = (n + 1)τ .
Se define la entropía promedio K, sobre el atractor (para caracterizarlo como un
todo) como
N −1
1
1 X
(Sn+1 − Sn) = lı́m
(SN − S0 ),
K = lı́m
N →∞ N τ
N →∞ N τ
n=0
(4.7)
siendo N muy grande de manera que permite que las trayectorias se evolucionen
durante mucho tiempo para cubrir (presumiblemente) todo el atractor. Cuando el
tamaño de las celdas tiende a cero se obtiene una división más fina del espacio de
estados, lo cual haría que K sea independiente de la división del espacio de estados.
Haciendo que el intervalo de tiempo τ tienda a cero, haciendo que los incrementos
de tiempo sean más pequeños y así obtener una descripción más fina de la dinámica,
entonces la entropía K-S se convierte en
1
(SN − S0 ).
τ →0 L→0 N →∞ N τ
K = lı́m lı́m lı́m
(4.8)
Está es la definición más completa de la entropía K-S. En resumen, los posibles valores
de la entropía K-S son: K-S=0 se tienen órbitas regulares (Hamiltoniano integrable);
K-S=const se tiene un sistema caótico y K-S=∞ se tiene movimiento Browniano.
4.3.2.
La identidad Pesin
Los exponentes de Lyapunov y la entropía K-S son dos formas diferentes de describir
las propiedades de la misma medida invariante. Estas caracterizan aspectos de la
misma dinámica subyacente. Así, es natural tratar de buscar las relaciones entre ellas.
Suponga que el número de celdas ocupadas crece exponencialmente con el tiempo,
esto es
Nn = N0 eλnτ ,
(4.9)
y que todas las celdas tienen la misma probabilidad pr = 1/Nn de ser ocupadas. La
entropía K-S es entonces igual a λ, el parámetro que caracteriza el crecimiento del
número de celdas ocupadas. El número de celdas ocupadas sin embargo, es proporcional a la distancia entre las trayectorias que fueron ocupadas inicialmente. Así, λ
es sólo el LE promedio para el sistema. Para un creciemiento exponencial el número
de celdas ocupadas es igual a la probabilidad de ser ocupadas; la entropía K-S y el
LE coinciden. Cuando hay más de un LE la entropía K-S resulta ser igual a la suma
de los LEs positivos; a este resultado se le conoce como la identidad Pesin:
x
x
L
x
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxxx L
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
x
x
x
X1
X2 xx
Figura 4.2: Una región de un espacio de estados dividido en pequeñas celdas, cada
una de igual longitud L.
hKS =
X
λi .
(4.10)
i:λi >0
Para ser precisos, la suma de todos los LEs positivos es un límite superior de
la entropía K-S. Hablando más generalmente, la entropía sobre todo el espacio de
estados se define como la integral
Z X
KS =
λdµ.
(4.11)
P λ >0
i
4.4.
Integración Monte Carlo
Para calcular la integral definida por la ecuación (4.11) se empleo el método integración de Monte Carlo el cual distribuye N puntos uniformemente en un volumen
multidimensional V los cuales pueden ser x1 , · · · , xN . Entonces el teorema básico de
integración MC estima la integral de una función sobre un volumen multidimensional
como:
s
Z
hf 2 i − hf i2
f dV ≈ V hf i ± V
(4.12)
N
donde la corchetes denotan la media aritmética sobre los N puntos muestreados, y
N
1 X
hf i ≡
f (xi )
N i=1
N
1 X 2
hf i ≡
f (xi ).
N i=1
2
(4.13)
4.5. CONCLUSIONES
39
El término ± en (4.12) es una estimación del error de la desviación estándar para la
integral, no es un límite riguroso pero no hay garantía de que el error se distribuya de
forma Gaussiana, así que el error se puede tomar como una indicación de un probable
error. La principal desventaja de la integración simple de MC es que su exactitud
incrementa solamente como la raíz cuadrada
de N , el número de puntos muestreados,
√
es decir el error decrementa como 1/ N . Por lo cual, si se desea una buena exactitud
el número de evaluaciones de la función debe ser considerable. Para lograr una mejor
exactitud con pocas evaluaciones se pueden generar secuencias cuasi-aleatorias [15]
de Halton o Sobol, las cuales cumplen un criterio estadístico el cual es óptimo para la
mayoría de los casos. Para el caso de una secuencia Sobol, la integración MC en el caso
de una función suave en n dimensiones el error decrementa con N como (ln N )n /N ,
casi tan rápido como 1/N .
Para nuestra implementación se hizo uso de la rutina NAG D01GBF [2], la cual
devuelve una aproximación a la integral de una función sobre una región hiperrectangular usando el método de MC.
4.5.
Conclusiones
Uno de los propósitos que se plantean con esta nueva aproximación es construir modelos auto-consistes de desidad-potencial gravitacional de galaxias de disco (ρ − Φ)
empleando el método de Schwarzschild. La nueva aproximación presenta al menos dos
aspectos innovadores:
1. La construcción de modelos auto-consistentes de disco embebidos en halos, ya
sean esféricos o triaxiales y una concentración central de masa (aunque nuestros
modelos corresponden más a galaxias de tipo S0 que a espirales ya que no se
está considerando rotación ni se ha incluido la estructura espiral de sus brazos)
de los cuales hay muy pocos estudios realizados en la actualidad.
2. La implementación de un algoritmo númerico para identificar las familias de
órbitas apropiadas para construir el modelo auto-consistente; al contrario del
método tradicional de Schwarzschild el cual es desgastante al momento de identificar las órbitas. Las cuales pueden tener un bajo valor estadístico cuando el
modelo es construido, y por tanto se podrían estar realizando una gran cantidad
de cálculos innecesarios cuando se considera una biblioteca grande de órbitas.
Capítulo 5
Modelos de sistemas de
Halo-Disco-Núcleo; resultados
5.1.
Estabilidad del método
Se empleó el método descrito anteriormente en el capítulo 4 para construir la biblioteca de órbitas para diferentes modelos de galaxias, al igual que el método tradicional
de Schwarzschild para muestrear el espacio fase empleando una distribución uniforme.
Se comprobó la estabilidad del método en los cálculos hechos, se calcularon los LEs
y la entropía K-S para diferentes modelos de galaxias.
La estabilidad del método se comprobó en los puntos más importantes y sensibles
de los cálculos numéricos. Primero se verificó que la energía del sistema se conserva;
que el comportamiento de la energía es independiente del tiempo de integración y
que no está correlacionada con el tiempo. Uno de los puntos más importantes del
método es el cálculo de los LEs; en teoría los LEs deben de ser estables en el tiempo o
converger durante el tiempo de integración de una órbita por tratarse de una medida
invariante la cual describe el grado de divergencia de la órbita.
5.1.1.
Conservación de la energía
En la integración de nuestras ecuaciones de movimiento tenemos que exigir que la
energía se conserve. Cuando se habla de un sistema conservativo en general se entiende
que ciertas cantidades del sistema se conservan como la energía. La energía total del
sistema es sólo la energía cinética mas la energía potencial, es decir
1
ET = m(vx 2 + vy 2 + vz 2 ) + Φ(x, y, z) = const.
2
(5.1)
Una manera más formal de escribirlo es considerando el Hamiltoniano, que en este
caso es sólo la energía mecánica total del sistema, es decir
H(q, p) =
p2
+ U (q)
2m
41
(5.2)
42CAPÍTULO 5. MODELOS DE SISTEMAS DE HALO-DISCO-NÚCLEO; RESULTADOS
donde q representa el vector posición y q su vector correspondiente al momentum de
la partícula.
Las ecuaciones de movimiento se pueden deducir a partir de las ecuaciones de
Hamilton, esto es
δH(q, p)
dqi
=
dt
δpi
dpi
δH(q, p)
= −
dt
δqi
i = 1, . . . , N.
(5.3)
Aquí, pi y qi son las coordenadas generalizadas; de las ecuaciones de Hamilton es fácil
deducir que son equivalentes a las leyes de movimiento de Newton. Se utilizó la rutina
NAG D02CJF [2] para integrar un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden
sobre un rango con convenientes condiciones iniciales, esta rutina emplea el método
variable en orden y variable en pasos de Adams.
La figura 5.1 muestra la energía de cuatro órbitas integradas con la rutina NAG
D02CJF para un tiempo de integración de 56128.27 Myr con una tolerancia de 10−7
para un modelo de halo esférico (p=q=1) sin disco y sin núcleo, las condiciones iniciales se escogieron aleatoriamente. Las variaciones que se observan en la energía
parecen cambios dramáticos pero si se observa de cerca es sólo sobre pequeñas escalas
de aproximadamente 10−9 que para la mayoría de los propósitos se considera numéricamente constante. Se puede sacrificar tiempo por exactitud si se utiliza otro valor de
tolerancia en la integración, por ejemplo si se emplea un valor de tolerancia de 10−10 .
5.1.2.
Residuo fraccional de la energía
Las pequeñas escalas en que varía la energía se pueden apreciar mejor si se considera
el residuo fraccional de la energía en el tiempo con respecto a la energía promedio.
Se define el residuo fraccional de la energía al ith tiempo como:
resid(i) =
energy(i) − energy
.
energy
(5.4)
El residuo puede ser una medida de la variación de la energía sobre el tiempo, la cual
puede presentar algún patrón durante el tiempo de integración. Usando el residuo
fraccional de la energía se puede medir el grado de correlación que tiene con el tiempo
de integración lo cual es una medida de dependencia entre las dos cantidades. Para
pares de cantidades (xi , yi ), i = 1, . . . , N el coeficiente de correlación lineal r (también
llamado coeficiente de correlación producto-momento o Pearson r) [15] está dado por
la formula
P
(xi − x)(yi − y)
qP
r = qP i
(5.5)
2
2
(x
−
x)
(y
−
y)
i
i
i
i
donde usualmente x es la media de las xi 0 s y y es la media de las yi 0 s.
El valor de r se encuenrta entre -1 y 1. Si se tiene un valor de 1 se dice que hay
correlación positiva completa; si se tiene un valor de -1 se dice que hay correlación
5.1. ESTABILIDAD DEL MÉTODO
43
1.5
0.0322
0.0322
1
0.0322
0.5
Energia
Energia
0.0322
0.0322
0
0.0322
−0.5
0.0322
0.0322
0
1
2
3
Tiempo (Myr)
4
5
−1
6
0
1
2
3
Tiempo (Myr)
4
x 10
0.0322
4
5
6
4
x 10
0.0322
0.0322
0.0322
0.0322
0.0322
Energia
Energia
0.0322
0.0322
0.0322
0.0322
0.0322
0.0322
0.0322
0
1
2
3
Tiempo (Myr)
4
5
6
4
x 10
0.0322
0
1
2
3
Tiempo (Myr)
4
5
Figura 5.1: Gráficas de la energía para cuatro órbitas integradas con la rutina NAG
D02CJF con una tolerancia de 10−7 con un tiempo de integración de 56128.27 Myr
para un modelo de halo esférico (p=q=1, r0 =1.0 kpc, v0 =0.2×103 km/s) sin disco y
sin núcleo.
6
4
x 10
negativa completa; un valor de r cerca de cero indica que las cantidades (xi , yi ) no
están correlacionadas.
La figura 5.2 muestra el residuo fraccional de la energía para las órbitas integradas
de la figura 5.1; las escalas de variación de la energía es del orden de 10−9 . El valor de
correlación lineal también es indicado para cada gráfica. Para la gráfica de la esquina
superior izquierda se tiene un valor de r=0.2483 indicando que existe algún patron de
la energía con respecto al tiempo, lo cual sucede en los tiempos iniciales; un valor cerca
de cero indica que la energía o la variación de la energía es independiente del tiempo
de integración lo cual se observa en la gráfica superior derecha. Cuando se encuentran
valores cercanos a 1 o -1 significa que la energía sigue un patron en el tiempo como
se observa en la gráfica inferior derecha. Sin embargo, si el valor de correlación lineal
se mantiene muy cercano a cero para intervalos cortos de tiempo entonces se puede
asegurar que la energía se mantendrá constante durante el tiempo de integración. Por
otro lado, el coeficiente de correlación lineal no considera las distribuciones de cada
conjunto de datos y puede no ser una medida estadísticamente confiable.
5.1.3.
Comportamiento asintótico de los exponentes de Lyapunov
En el capítulo 4 se hablo del máximo LE como el más importante, en teoría existen tantos LEs como dimensiones tiene el espacio fase del sistema. Para un sistema
Hamiltoniano los LEs existen en pares inversos aditivos y su suma debe ser cero (ya
que el volumen del espacio fase es conservado [10]); para un sistema con n-grados
de libertad hay 2n LEs. Así que, para un sistema n-dimensional puede tener algúnos
LEs negativos (direcciones donde el espacio de estados se contrae), algúnos positivos (direcciones expandiandose) y algunos cero (cambios relativamente lentos) pero
al menos uno de los LEs es siempre cero. Para una órbita regular los LEs son cero,
mientras que para una órbita ergódica tiene al menos un LE positivo.
Se comprobó que los LEs calculados cumplen con los criterios anteriores. En la
figura 5.3 se muestran los LEs de tres órbitas regulares en un modelo de halo esférico
(p=q=1) sin disco y sin núcleo donde los tres pares de LEs son muy cercanos a cero;
para considerar a una órbita como regular se empleo la aproximación del orden de
10−3 para los LEs. En la figura 5.4 se muestran los LEs de tres órbitas ergódicas
para un modelo de halo triaxial (p=0.9, q=0.8) sin disco y sin núcleo. Las condiciones
iniciales se generaron aleatoriamente.
Por otro lado, en un halo esférico siempre se encontraran órbitas regulares ya que
existen dos integrales de movimiento: el momentum angular y la energía ya que el movimiento se restringe a un sólo plano (el plano perpendicular al momentum angular);
mientras que en un halo triaxial se encontraran órbitas ergódicas. Generalmente en
potenciales no-axisimétricos la única integral de movimiento conocida es la energía;
este tipo de potenciales admiten otras integrales de movimiento además de la energía.
45
r=9.0648 × 10−9
r=0.2483
−9
0.5
x 10
1
0
0.5
−0.5
0
Residuo
Residuo
−1
−1.5
−0.5
−2
−2.5
−1
−3
−3.5
0
1
2
3
Tiempo (Myr)
4
5
−1.5
6
0
1
2
4
x 10
r=0.2583
3
Tiempo (Myr)
4
5
6
4
x 10
r=0.8651
−9
−9
0.5
x 10
2
1
0
0
−1
−1
Residuo
Residuo
−0.5
−1.5
−2
−2
−3
−2.5
−4
−3
x 10
0
1
2
3
Tiempo (Myr)
4
5
6
4
x 10
−5
0
1
2
3
Tiempo (Myr)
4
5
6
4
x 10
Figura 5.2: Residuo fraccional de la energía para las órbitas integradas de la figura 5.1
y su valor de correlación lineal del residuo fraccional y el tiempo de integración.
−3
8
x 10
6
Exponente de Lyapunov
4
2
0
−2
−4
−6
−8
0
200
400
600
800
1000
1200
Tiempo (Myr)
1400
1600
1800
2000
200
400
600
800
1000
1200
Tiempo (Myr)
1400
1600
1800
2000
200
400
600
800
1000
1200
Tiempo (Myr)
1400
1600
1800
2000
−3
8
x 10
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
0
−3
8
x 10
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
0
Figura 5.3: LEs en función del tiempo de tres óbitas integradas, para un modelo de
galaxia de halo esférico (p=q=1, r0 =1.0 kpc, v0 =0.2×103 km/s) sin disco y sin núcleo.
El tiempo de integración fue de 2000 Myr. Se observan que los tres pares opuestos
de LEs se mantienen durante el tiempo de integración y sólo durante los tiempos
iniciales no son bien definidos.
47
0.04
0.03
0.02
0.01
0
−0.01
−0.02
−0.03
−0.04
0
500
1000
1500
Tiempo(Myr)
2000
2500
3000
0
500
1000
1500
Tiempo(Myr)
2000
2500
3000
0
500
1000
1500
Tiempo(Myr)
2000
2500
3000
0.04
0.03
0.02
0.01
0
−0.01
−0.02
−0.03
−0.04
0.04
0.03
0.02
0.01
0
−0.01
−0.02
−0.03
−0.04
Figura 5.4: LEs en función del tiempo de tres óbitas integradas, para un modelo de
galaxia de halo triaxial (p=0.9, q=0.8, r0 =1.0 kpc, v0 =0.2×103 km/s) sin disco y sin
núcleo; el tiempo de integración fue de 3000 Myr. Como se espera para una órbita
ergódica hay al menos un LE positivo y uno igual a cero.
5.2.
Distribución de los exponentes de Lyapunov
Se comprobó que el método propuesto en el capítulo 4 para construir la biblioteca de
órbitas funciona para el caso esférico, el cual es el caso mínimo a resolver; encontrando
sólo órbitas regulares y se comparo con el método tradicional de muestrear el espacio
fase siguiendo una distribución uniforme para seleccionar las condiciones iniciales, al
igual que en modelos de halo triaxial con disco y núcleo. La forma de mostrar los
resultados se basó en observar la distribución de los LEs seleccionados para diferentes
modelos. Para esto se consideró la Función de Distribución Acumulativa (CDF) para
los LEs seleccionados, esto es
P (x) = P rob[LE < x]
(5.6)
donde P (x) va de 0 para x < 0 hasta P (x)=1 para cuando x → ∞.
Se graficó la CDF como una función a pasos, ya que la CDF se saturará a P (x)=1
al venir el LE más grande. Por lo tanto, si se seleccionan norb órbitas y se ordenan
(en orden ascendente) como LE1 ≤ LE2 ≤ · · · ≤ LEnorb entonces las muestras
incrementaran en pasos de 1/norb para cada valor (LE1 -LEnorb ).
En las siguientes sub-secciones analizamos varios modelos de galaxias y mostramos
la distribución de los exponentes de Lyapunov.
5.2.1.
Modelo con halo esférico sin disco y sin núcleo
La figura 5.5 muestra la CDF de los LE para el caso de un halo esférico (p=q=1)
sin disco y sin núcleo con el método MC y empleando condiciones iniciales uniformes
para un tiempo de integración de 351240.75 Myr para cada órbita. El valor de la
entropía fue de K-S=0.0416 para el método MC, encontrando 174 órbitas en un radio
de 20 kpc. Se comprueba que el método encontro sólo órbitas regulares para el caso
esférico al igual que el método tradicional. El valor de la entropía K-S es una medida
del desorden en el sistema coincidiendo coherentemente con el valor obtenido.
Los LEs para el método MC se centran sobre el valor 0.045 como se muestra en
su histograma (figura 5.6) y sobre 0.035 para el método tradicional (figura 5.6), en
ambos casos siguen la misma distribución pero sobre distintos valores centrales. Uno
de los inconvenientes del método tradicional es que no hay un límite para terminar
de generar órbitas, sin en cambio el método de MC termina de generar órbitas hasta
que la entropía K-S converge, este número de órbitas necesarias para probar autoconsistencia.
5.2.2.
Modelo con halo esférico + disco + bulge
La figura 5.7 muestra la CDF de los LEs de un modelo de halo esférico (p=q=1), con
disco + bulge (un disco hinchado en el centro) para el método MC y el método tradicional. En la figura 5.8 se muestran sus histogramas de frecuencias. La introducción
de un disco provoco la presencia de muchas órbitas caóticas, esto es bien claro por
5.2. DISTRIBUCIÓN DE LOS EXPONENTES DE LYAPUNOV
49
1
0.9
0.8
0.7
Probabilidad
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
1
0.9
0.8
0.7
Probabilidad
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.02
Figura 5.5: La CDF de los LEs para un modelo de halo esférico (p=q=1, r0 =1.0 kpc,
v0 =0.2×103 km/s) sin disco y sin núcleo, empleando el método MC (arriba) y con
condiciones iniciales uniformes (abajo).
22
20
18
16
Frecuencia
14
12
10
8
6
4
2
0
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
0.055
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
0.055
25
20
Frecuencia
15
10
5
0
0.02
Figura 5.6: Histogramas de frecuencias de los LEs de la figura 5.5, para el método
MC (arriba) y empleando condiciones iniciales uniformes (abajo).
51
el valor obtenido de la entropía K-S=0.2746 para el método de MC. Mientras mayor
sea la masa del bulge mayor es la generación de órbitas caóticas.
1
0.9
0.8
0.7
Probabilidad
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
1
0.9
0.8
0.7
Probabilidad
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
v0 =0.2×103 km/s) con disco + bulge (aD =3 kpc, bD =1 kpc, GMD =0.3×1011 M ),
para el método MC (arriba), y el método tradicional (abajo).
5.2.3.
Modelo con halo esférico + núcleo
La figura 5.9 muestra la CDF de los LEs para un modelo de halo esférico con núcleo
para el método MC y el método tradicional en un radio de 20 kpc. Los histogramas
de frecuencias de la figura 5.10 muestran que los LEs se centran en valores menores
que en el caso de un halo esférico con disco + bulge; esto es debido a que la mayoría
de las órbitas fuera de la parte central son regulares.
14
12
Frecuencia
10
8
6
4
2
0
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
20
18
16
14
Frecuencia
12
10
8
6
4
2
0
53
1
0.9
0.8
0.7
Probabilidad
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
1
0.9
0.8
0.7
Probabilidad
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
v0 =0.2×103 km/s) con núcleo (GMC =0.002 (0.2 % de la masa total), bc =0.01 kpc),
para el método MC (arriba), y el método tradicional (abajo).
20
18
16
14
Frecuencia
12
10
8
6
4
2
0
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
18
16
14
Frecuencia
12
10
8
6
4
2
0
5.2.4.
55
Modelo con halo esférico + disco + núcleo
La figura 5.11 muestra la CDF de los LEs para un modelo de galaxia de halo + disco
+ núcleo con los parámetros de la tabla 5.1 empleados en los modelos anteriores para
el método MC y con condiciones iniciales uniformes. Es muy notable la aparición de
muchas órbitas caóticas en el método tradicional, mientras en el método MC continua teniendo la misma distribución donde encuentra aquellas órbitas que realmente
contribuyen a la figura de la galaxia, mientras que el método tradicional encuentra
órbitas no muy adecuadas, tal como se observa. El porcentaje de órbitas mayores o
iguales a 0.325 en el método tradicional es de 8.5366 % un porcentaje bastante importante de órbitas caóticas tratandose de un modelo de halo esfério. El valor de la
entropía K-S=0.3009 para el método MC. La figura 5.12 muestra sus histogramas de
frecuencias.
Halo
p=1
q=1
r0 =1 kpc
v0 =0.2×103 km/s
Disco
GMD =0.3×1011 M
aD =3 kpc
bD =1 kpc
-
Núcleo
GMC =0.002
bc =0.01 kpc
-
Tabla 5.1: Parámetros del modelo de halo esférico + disco + núcleo.
5.2.5.
Modelos con halo triaxial
La importancia de las órbitas caóticas para formar un modelo auto-consistente se
ha discutido recientemente en [18, 19] quienes usan órbitas caóticas para reforzar la
figura de la galaxia y encuentran que son un componente importante de la densidad en
modelos triaxiales. Cuando se trabaja con un modelo triaxial existen dos integrales
de movimiento además de la energía, ya que ningún componente del momentum
angular se conserva, por lo que se encontraran muchas órbitas caóticas. Identificar
aquellas órbitas caóticas que más contribuyen a formar la figura de la galaxia es
exactamente lo que hace el método MC, es decir aquellas órbitas con LEs positivos
que más contribuyen a la integral de la entropía K-S.
La figura 5.13 (arriba) muestra la CDF de los LEs para un modelo de halo triaxial
sin disco y sin núcleo. El porcentaje de órbitas mayores o igual a 0.278 para el método
MC y tradicional es de 7.4792 % y 11.2426 % respectivamente. La figura 5.13 (abajo)
y 5.14 muestran la CDF de los LEs y sus histogramas de frecuencias del mismo
halo pero con un disco + bulge donde el porcentaje de órbitas mayores que 0.443
para el método MC es de 3.5714 %, mientras que los LEs para el método tradicional
los LEs son menores que 0.51. Probando que el último no es capaz de identificas
órbitas caóticas; sin embargo, con el método MC se encontraron órbitas con LEs
significantemente grandes. Aunque el porcentaje de órbitas es de sólo el 3.5714 %,
una fracción muy pequeña de órbitas.
1
0.9
0.8
0.7
Probabilidad
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
1
0.9
0.8
0.7
Probabilidad
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Figura 5.11: La CDF de los LEs para un modelo de galaxia de halo + disco + núcleo,
con parámetros de la tabla 5.1, para el método MC (arriba) y empleando condiciones
iniciales uniformes (abajo).
57
20
18
16
14
Frecuencia
12
10
8
6
4
2
0
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
110
100
90
80
Frecuencia
70
60
50
40
30
20
10
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Figura 5.12: Histograma de frecuencias de los LEs de la figura 5.11, para el método
La figura 5.15 y 5.17 muestran el caso contrario del método tradicional en donde
encuentra muchas órbitas caóticas, mientras que con el método MC, sólo el 8.296 %
de los LEs es mayor que 0.3. Por último en la figura 5.16 se muestra un modelo de
halo triaxial + disco + núcleo, con parámetros de la tabla 5.1 (con p=0.8 y q=0.9)
en donde el 4.0816 % de las órbitas con LEs son mayores que 0.34 para el método
MC y mientras que para el método tradicional la frecuencia de los LEs es similar
a la figura 5.17. Aunque los porcentajes de órbitas caóticas no son muy grandes es
lógico pensar que si la mayoría de las órbitas encontradas fueran caóticas las cuales
llenan todo su espacio fase disponible, la densidad orbital no podrá ser representada
por la superposición de órbitas y ni mucho menos ser consistente con la densidad
derivada del potencial. Tal como en [19] donde se emplea una fracción pequeña de
órbitas caóticas como un componente importante y necesario para la densidad.
La construcción de la biblioteca de órbitas podría ser llevado a cabo como un
procedimiento en dos pasos: el primero donde se hace un muestreo uniforme y el
segundo con el método MC; mezclando los dos conjuntos de órbitas.
5.3.
Presencia de un núcleo central de masa
En los modelos anteriores con un núcleo central de masa se encontró que hay muchas
más órbitas regulares que caóticas en un radio de 20 kpc (figura 5.9) lo cual es
entendible ya que el potencial perturbado del núcleo a grandes distancias se pierde,
es decir el potencial completo del sistema se vuelve simétrico. Se encontró que las
órbitas con LEs más grandes se encuentran en los radios internos, con niveles de
energía mayores, mientras que las órbitas de los alrededores son regulares, con niveles
de energía mas bajos. La figura 5.18 muestra este hecho, para un modelo de halo
esférico (p=q=1) con núcleo, para un radio de 20 kpc. Se muestra la CDF para los
radios de 0-2 kpc, 2-4 kpc, 4-6 kpc, 6-8 kpc y 12-14 kpc. La presencia de un núcleo
incrementa la difusión en el espacio fase de las órbitas, generando mas órbitas caóticas.
5.4.
Conclusiones
Se comprobó que el nuevo método funciona para el caso esférico encontrando sólo
órbitas regulares, tal como el método tradicional; sólo en este caso se puede predecir
la distribución de los LEs para este último. Por otro lado el método MC encuentra
una fracción pequeña de órbitas caóticas para los casos de halo triaxial, también nos
permite saber que esta pasando cuando existe un núcleo de masa central, el cual puede
tener implicaciones directas con la evolución de la galaxia. Una de las contribuciones
más importantes del método es que nos permite explorar modelos de galaxias más
realistas, tal como galaxias de disco embebidas en un halo de materia oscura.
El método nos permite analizar la estructura orbital de sistemas halo-disco-núcleo,
en función de sus parámetros relevantes como son su triaxialidad, su masa relativa y
la existencia o no de un hoyo negro supermasivo en los centros galácticos. Con ello
5.4. CONCLUSIONES
59
1
0.9
0.8
0.7
Probabilidad
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1
0.9
0.8
0.7
Probabilidad
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.1
Figura 5.13: CDF de los LEs para un modelo de halo triaxial (p=0.8, q=0.9, r0 =1.0
kpc, v0 =0.2×103 km/s) sin disco y sin núcleo (arriba) y para un modelo de halo
triaxial (p=0.8, q=0.9, r0 =1.0 kpc, v0 =0.2×103 km/s) con disco + bulge (aD =3 kpc,
bD =1 kpc, GMD =0.3×1011 M ) (abajo), para el método MC (curva roja), y el método
tradicional (curva azul).
50
45
40
35
Frecuencia
30
25
20
15
10
5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
30
25
Frecuencia
20
15
10
5
0
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
Figura 5.14: Histograma de frecuencias de los LEs de la figura 5.13 (abajo), para el
método MC (arriba) y empleando condiciones iniciales uniformes (abajo).
5.4. CONCLUSIONES
61
1
0.9
0.8
0.7
Probabilidad
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Figura 5.15: CDF de los LEs para un modelo de halo triaxial (p=0.8, q=0.9, r0 =1.0
kpc, v0 =0.2×103 km/s) con núcleo (GMC =0.002 (2 % de la masa total), bc =0.01 kpc),
para el método MC (curva roja), y el método tradicional (curva azul).
1
0.9
0.8
0.7
Probabilidad
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
Figura 5.16: CDF de los LEs para un modelo de halo triaxial con disco + núcleo, con
parámetros de la tabla 5.1 (con p=0.8 y q=0.9), para el método MC (curva roja), y
el método tradicional (curva azul).
160
140
120
Frecuencia
100
80
60
40
20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
60
50
Frecuencia
40
30
20
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Figura 5.17: Histograma de frecuencias de los LEs de la figura 5.15, para el método
5.4. CONCLUSIONES
63
1
0.9
0.8
0.7
Probabilidad
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Figura 5.18: CDFs para un modelo de halo esférico (p=q=1, r0 =1.0 kpc, v0 =0.2×103
km/s) con núcleo (GMC =0.002 (2 % de la masa total), bc =0.01 kpc), para los radios
de 0-2 kpc (verde), 2-4 kpc (azul), 4-6 kpc (magenta), 6-8 kpc (negro) y 12-14 kpc
(rojo).
podemos caracterizar cada uno de los casos con la población predominante de órbitas
y sus resonancias. Esto nos permitirá hacer consideraciones de la física que interviene
en el colapso de halos de materia obscura y que ocasionan evolución en la estructura
orbital, dando origen a una gran riqueza en la cinemática de sus estrellas.
Capítulo 6
Conclusiones y trabajo futuro
La importancia de las órbitas caóticas como un componente importante de la densidad en modelos triaxiales y poder identificarlas es unos de los problemas que se
encuentran al construir modelos auto-consistentes de galaxias. El método numérico
y estadístico propuesto aquí resuelve este problema reduciendo significantemente el
tiempo de cómputo al construir una biblioteca de órbitas con el mínimo número de
órbitas necesarias, en el contexto del método de Schwarzschild. Además de poder explorar modelos más realistas de galaxias, como galaxias de disco, de las cuales hay
muy poca información. Los fundamentos del método desarrollado aquí descansan sobre la teoría de sistemas dinámicos, tal como lo son los LEs, de los cuales se explota
la relación que existe entre los LEs y la entropía K-S. Por otro lado, el concepto de
entropía es relativamente nuevo y puede ser mal interpretado; ya que se deriva de
los conceptos de la termodinámica y el cual esta relacionado con el concepto de la
perdida de información, en la teoría de la información [8]. Así que, si se profundiza en
este concepto se puede obtener más conocimiento acerca de la dinámica del sistema.
Los resultados presentados aquí plantean muchas líneas de investigación, que darían lugar a investigaciones mucho más elaboradas. Por tal motivo se numeran algúnos
de los puntos consecuencia inmediata de los resultados obtenidos.
1) Solución por el método de Schwarzschild. El problema más inmediato
a resolver es probar auto-consistencia por el método de Schwarzschild; la
base del método es resolver la ecuación matricial
M X = B,
(6.1)
donde la matríz M tiene elementos mij que representan el número de
veces que la órbita j pasa por la celda i, el vector X tiene elementos xj
que representan la masa de la órbita j en la solución de mínimos cuadrados
restringida en el sistema, y el vector B tiene elementos bj , donde bj es la
masa predicha de la i-ésima celda (obtenida al integrar la densidad).
Así, si la órbita j tiene masa xj y pasa una fracción total de mij de
su tiempo en la celda i, entonces esta órbita contribuye con una masa de
65
66
CAPÍTULO 6. CONCLUSIONES Y TRABAJO FUTURO
mij xj a la celda i. La masa de la celda i, debida a la contribución de todas
las órbitas está dada por
X
M asai =
mij xj .
(6.2)
i
Se resuelve para el vector X, obteniendo una solución X 0 , con elementos x0 i que minimizan la siguiente estadística:
X X
χ2 =
((
mij x0 j ) − bi )2 ,
(6.3)
i
j
la cual se puede escribir como
χ2 =
X
(b0 j − bi )2 ,
(6.4)
i
donde b0 j es la masa observada o ajustada de la i-ésima celda, construida
como una combinación (suma sobre j) de las órbitas de la librería, sopesadas por sus masas estimadas x0 j , además de imponer la restricción de
que x0 j ≥ 0.
2) Una solución más estable del método de Schwarzschild. En general la
solución a 6.4 ni es única ni es suave, y M no es una matriz cuadrada y en general no es invertible. Se puede reducir significativamente las
dimensiones de la matriz M haciendo
M T M X = M T B =⇒ Y X = A,
(6.5)
donde
Yij =
X
(mij mkj ),
(6.6)
k
Aj =
X
(mkj bj ),
(6.7)
k
y [Y ] = Norb × Norb , independiente del número de celdas, y si el volumen
Vcel de la celda → ∞, o si Nceldas → ∞, las sumas de las ecuaciones 6.6 y
6.7 deben ser reemplazadas por integrales, es decir
Z
Yij → Orbitai Orbitaj ,
(6.8)
donde los elementos Yij definen un operador integral que representa el
grado de interacción de la órbita i y la órbita j.
3) Binning inteligente. El binning adoptado por lo general en casi todas
las celdas de números de ocupación son cero, por lo que no es práctico
tener la mayoría de las celdas sin ocupar. Suponiendo que sólo se tienen
los números de ocupación que fueron no-cero, por ejemplo en un grid de
67
100x100x100, con cada bin identificado por un entero desde 0 a 999999,
y suponiendo que cada órbita no pasa a través de un bin más de 10000
veces, entonces se puede guardar los números de ocupación para estos
1000 bins como decimales: x · y donde x=número de ocupación y y=ident
(0-999999). Este procedimiento podría ser mucho más eficiente.
4) Binning en las velocidades. El binning en las velocidades se puede plantear como un rastreo de una determinada velocidad circular V (r), para un
conjunto de condiciones iniciales, y también seleccionar aquellas órbitas
con un sentido de rotación determinado. Si las componentes de la velocidad son muestreadas dentro de los intervalos [−Vx , Vx ],[−Vy , Vy ],[−Vz , Vz ]
entonces su promedio sería cero ya que las órbitas rotarían probablemente
en sentido del reloj o en sentido contrario.
5) Integral de correlación. Hay distintas medidas para caracterizar órbitas
estelares, en [3] por Eric Barnes quien emplea una Integral de Correlación
(CI), además de los LEs para caracterizar órbitas estelares. Sería interesante emplearlas para hacer comparaciones de las CIs vs LEs. Y tratar de
buscar una relación análoga a la identidad Pesin para los LEs.
68
CAPÍTULO 6. CONCLUSIONES Y TRABAJO FUTURO
Código fuente
Código fuente en fortran para obtener las órbitas en un modelo de potencial de galaxia
de disco usando la rutina Monte Carlo NAG D01GBF. Originalmente el código fue
escrito en Fortran para plataforma Unix el cual fue traducido al lenguaje C, se empleo
las rutinas de integración CVode de Netlib [7, 1] de dominio público.
parameter(lenwork = 500, ndim = 4, nradmax = 10)
*************************************************************************
implicit double precision(a-h,o-z)
double precision coord_lower(ndim), coord_upper(ndim)
double precision xlim(nradmax), zlim(nradmax)
double precision xdotlim(nradmax), zdotlim(nradmax)
double precision total_energy(nradmax), radius(nradmax)
double precision workspace(lenwork)
*************************************************************************
character*25 liap_output
character*32 orbit_file
character*26 parameter_file
character*2 model_lbl
character*2 run_lbl
*************************************************************************
external get_parameters, write_parameters, find_zlimit, potential,
* d01gbf, entropy_integrand
*************************************************************************
intrinsic dsqrt, datan
*************************************************************************
common/param_renorm/tstep,denstep
common/phase_limits/xlim,zlim,xdotlim,zdotlim
common/xmonte_carlo/accuracy,etot,entropy,eps
common/nmonte_carlo/maxeval,mineval,neval,norb,nliap
common/param_integ/time_out,time_start,time_end,tolerance,timestop
common/halo_model/r0halosq,v0halosq,phalo,qhalo
69
70
CÓDIGO FUENTE
common/disk_model/gmdisk,adisk,bdisk
common/core_model/gmcore,bcoresq
common/model_orig/r0halo,v0halo,phalo1,qhalo1,bcore
common/const_model/radmin,radstep,nrad,nradlo,nradhi
common/constants/pi,fourpiginv,imodel
common/time_output/time_out_step,itime
common/file_names/liap_output,orbit_file,parameter_file,model_lbl,
*run_lbl
common/ncoord_output/norbits
common//coormat(100000,9)
*************************************************************************
* Read in all constants and model parameters from the master file
* ‘input_parameters.dat’
iparamflag = 0 ! parameters read in from a file, not the keyboard
call get_parameters(iparamflag)
*************************************************************************
* In what follows we take y = 0, i.e. assuming orbit is passing
* through the x-z plane.
*
* Choose a given energy, Etot, and find the zero velocity shell
* corresponding to this energy, enveloping it in a tangent
* rectangle. Identify energy subspaces by e.g. radii, so
* this means that we need to find at each radius the energy
* which corresponds to the potential energy - thus defining the
* ‘zero velocity surface’. Do, e.g., radii from 2kpc - 20kpc in
* steps of 2kpc.
*
*************************************************************************
do irad = nradlo, nradhi
*
*
*
*
*
*
! loop over these energy subspaces
Write out a summary of the parameters used in this model and run
to the file modelMMrunNNparameters.dat, where MM = imodel (read in
from input_parameters.dat) and NN = irad. Note that MM and NN must
be positive integers less than or equal to 99.
call write_parameters(irad)
******************************************************************************
*
* Construct filename for orbit initial conditions and Liapunov
* exponents
*
liap_output = ’model’//model_lbl//’run’//run_lbl//
*’liap_init.dat’
71
open(unit=99,file=liap_output,status=’unknown’)
******************************************************************************
*
* Total set of radii go outwards from radmin in steps of radstep
*
radius(irad) = radmin + radstep*(irad-1)
xlim(irad) = radius(irad)
* Compute rotation period (in Myr)
r = radius(irad)
dpdrh = v0halosq*r/(r0halosq + r*r)
dpdrd = gmdisk*r/(r*r + (adisk+bdisk)**2)**1.5d0
dpdrc = gmcore*r/(r*r + bcoresq)**1.5d0
rotvel = dsqrt(r*(dpdrh+dpdrd+dpdrc))
rot_period = 2.d0*pi*r / rotvel
! period in Myr
write(99,*)’ Rotation Period (Myr) = ’,real(rot_period)
* Now update parameters as read in by get_parameters
tstep = tstep * rot_period
time_out = rot_period / time_out
timestop = timestop * rot_period
write(99,*)’ Time between renormalsations (Myr) ’,real(tstep)
write(99,*)’ Total integration time (Myr) ’,real(timestop)
write(99,*)’ Readout interval (Myr) ’,real(time_out)
* In loop over r, compute value of Hamiltonian for x = r, y = 0
* and z = 0, assuming zero kinetic energy. Thus Etot = V(r,0,0)
total_energy(irad) = potential(radius(irad),0.d0,0.d0)
etot = total_energy(irad)
write(99,*)’ Total Energy = ’,real(etot)
*
*
*
*
*
Next use nag routine to calculate value of z for
which Hamiltonian takes the *same* value when x = 0 - again
assuming zero kinetic energy. Thus Etot = V(0,0,zlim)
(Use z = r as initial guess).
call find_zlimit(zlim(irad),radius(irad))
*
*
*
*
*
Integration limits for the x and z initial conditions are
then x = -r,r and z = -zlim,zlim. Next we need to get the
integration limits for the velocities.
The maximum kinetic energy corresponds to the assumed total
72
CÓDIGO FUENTE
* energy for this energy subspace minus the *minimum* value of
* the potential energy, which is equal to V(0,0,0) = Vmin.
potmin = potential(0.d0,0.d0,0.d0)
emax = etot - potmin
write(99,*)’ Maximum kinetic energy = ’,real(emax)
write(99,*)’ ’
*
* Thus the limits for xdot and zdot are:*
* - sqrt[2(E - Vmin)] < xdot < sqrt[2(E - Vmin)]
* - sqrt[2(E - Vmin)] < zdot < sqrt[2(E - Vmin)]
*
xdotlim(irad) = dsqrt(2.d0*(etot - potmin))
zdotlim(irad) = xdotlim(irad)
*
*
*
*
*
*
Thus the Monte Carlo integrator limits on x, z, xdot and
zdot are now set. We check the value of ydot within the
function which is called by the Monte Carlo integrator.
Assign the integration limits to the vectors coord_lower
and coord_upper
coord_lower(1)
coord_lower(2)
coord_lower(3)
coord_lower(4)
=
=
=
=
-xlim(irad)
-zlim(irad)
-xdotlim(irad)
-zdotlim(irad)
coord_upper(1)
coord_upper(2)
coord_upper(3)
coord_upper(4)
=
=
=
=
-coord_lower(1)
-coord_lower(2)
-coord_lower(3)
-coord_lower(4)
* Call Monte Carlo routine, using parameter values which
* were read in from input_parameters.dat
ifail = 0
call d01gbf(ndim,coord_lower,coord_upper,mineval,maxeval,
*entropy_integrand,eps,accuracy,lenwork,workspace,entropy,
*ifail)
write(99,*)’
write(99,*)’
write(99,*)’
write(99,*)’
write(99,*)’
’
KS entropy converged ’
KS Entropy = ’,real(entropy)
Estimate of accuracy = ’,real(accuracy)
’
73
close(99)
enddo
end
*************************************************************************
subroutine find_zlimit(z,r)
*
*
*
*
Subroutine to compute the value of z which makes the
potential energy (and hence total energy as we are
assuming zero kinetic energy) at (0,0,z) equal to the
potential energy at (r,0,0)
*************************************************************************
*************************************************************************
external c05ajf, func_zlim
*************************************************************************
eps =
eta =
nfmax
ifail
1.d-5
0.d0
= 300
= 0
!
!
!
!
tolerance parameter
accuracy parameter
maximum number of function evaluations
error flag
call c05ajf(r,eps,eta,func_zlim,nfmax,ifail)
z = r
return
end
*************************************************************************
double precision function func_zlim(z)
*
* Function which computes the difference between the potential
* energy at (r,0,0) and the potential energy at (0,0,z)
*
*************************************************************************
*************************************************************************
external c05ajf
*************************************************************************
74
CÓDIGO FUENTE
*************************************************************************
func_zlim = etot - potential(0.d0,0.d0,z)
return
end
*************************************************************************
double precision function potential(xc,yc,zc)
* Function which computes the potential energy at (xc,yc,zc)
* by summing the contributions from disk, halo and core
*************************************************************************
*************************************************************************
intrinsic dsqrt, dlog
*************************************************************************
*************************************************************************
* First compute various intermediate terms
xsq = xc*xc
ysq = yc*yc
zsq = zc*zc
da1
da2
da3
da4
=
=
=
=
dsqrt(zsq + bdisk*bdisk)
(adisk + da1) * (adisk + da1)
xsq + ysq
dsqrt(da2 + da3)
ca1 = dsqrt(da3 + zsq + bcoresq)
* Now compute pieces of potential energy
phihalo = 0.5d0 * v0halosq *
* dlog(r0halosq + xsq + phalo*ysq + qhalo*zsq)
phicore = -gmcore / ca1
! halo term
! core term
75
phidisk = -gmdisk / da4
! disk term
potential = phihalo + phicore + phidisk
return
end
*************************************************************************
double precision function entropy_integrand(ndim,coord)
* Function which determines the value of the entropy
* integrand at the point in phase defined by coord,
* a vector of dimension ndim.
*************************************************************************
*************************************************************************
double precision coord(ndim)
*************************************************************************
intrinsic dsqrt
*************************************************************************
external sum_liapunov, potential
*************************************************************************
*************************************************************************
* The elements of coord are x,z,xdot,zdot. Recall that we are
* assuming y = 0. We can find out ydot in terms of all the other
* variables. We proceed as follows.
* First we determine the potential energy, V, at (x,0,z).
potl = potential(coord(1),0.d0,coord(2))
* If V is greater than Etot, then these initial conditions
* are no good. The integrand is set equal to zero and a new
* set of initial conditions is chosen by the Monte Carlo routine.
if(potl.gt.etot) then
entropy_integrand = 0.d0
else
* If V is less than or equal to Etot, then we still need to
* check if ydot is sensibly defined - i.e. ydot^2 >= 0.
76
*
*
*
*
CÓDIGO FUENTE
We compute 2(Etot - V) - xdot^2 - zdot^2. If this is
negative then the initial conditions are no good. Again, the
integrand is set equal to zero and the MC routine samples a
new set of initial conditions.
ydotsq = 2.d0*(etot - potl) - coord(3)*coord(3) * coord(4)*coord(4)
if(ydotsq.lt.0.d0) then
entropy_integrand = 0.d0
else
* If ydot^2 positive then we identify ydot as:* ydot = sqrt( 2(Etot - V) - xdot^2 - zdot^2 )
* (Note that we adopt the positive square root by convention).
*
ydot = dsqrt(ydotsq)
* We now set the integrand of the MC routine to be equal to the
* value of the sum of positive Liapunov exponents returned by the
* Liapunov routine, and increment orbit counter.
norb = norb + 1
entropy_integrand = sum_liapunov(coord(1),0.d0,coord(2),
*coord(3),ydot,coord(4))
write(99,*)norb,real(coord(1)),real(coord(2)),real(coord(3)),
*real(ydot),real(coord(4)),real(entropy_integrand)
endif
endif
return
end
*************************************************************************
double precision function sum_liapunov(xic,yic,zic,xdotic,
*ydotic,zdotic)
*
*
*
*
*
*
Routine to compute the sum of the positive liapunov exponents
Using the initial conditions as determined by the Monte Carlo
routine above, we now call the NAG routine to compute the
trajectories using the linearly perturbed equations of motion.
The output from this routine consists of the sum of the positive
Liapunov exponents, averaged over the final nliap time steps to
77
*
*
*
*
remove any numerical fluctuations at late times. The Liapunov
exponents are found in terms of QR factorisation of the matrix of
derivatives, which is computed using other NAg routines and uses the
two matrices qmat and rmat.
*************************************************************************
parameter(nphase = 6)
parameter(nvec = 42) ! dimension of diff equation vector
parameter(ntime = 50000) ! maximum number of time steps
*************************************************************************
*************************************************************************
double precision avector(nvec), cumul(nphase),
* liapsum(nphase), liap(nphase), work1(28+21*nvec),
* cmat(nphase,nphase), rmat(nphase,nphase), tmat(nphase,nphase),
* qmat(nphase,nphase), znorm(nphase), zeta(nphase),mat(100000,9),
* tempmat(nphase,nphase), work2(nphase), derivmat(nphase,nphase)
integer mat_index(nphase)
character*2 run_lbl
character*5 orblo, orbhi
character*1 crelabs
*************************************************************************
external diff_eqns, d02cjf, f01qcf, f01qef, output, orbname,
*iremainder, d02cjw
*************************************************************************
intrinsic idint
*************************************************************************
*run_lbl
common/orbit_names/orblo,orbhi
78
CÓDIGO FUENTE
*************************************************************************
writeflag = time_out
*************************************************************************
* Transfer initial conditions
avector(1)
avector(2)
avector(3)
avector(4)
avector(5)
avector(6)
=
=
=
=
=
=
xic
yic
zic
xdotic
ydotic
zdotic
* Define / transfer remaining parameters, constants
timestep = tstep
nsteps = idint(timestop/timestep) + 1
* Ready to start calculations
* Initialise linearised vectors
do ivec = nphase + 1, nvec
avector(ivec) = 0.d0
enddo
avector(10)
avector(17)
avector(24)
avector(27)
avector(32)
avector(37)
mat_index(1)
mat_index(2)
mat_index(3)
mat_index(4)
mat_index(5)
mat_index(6)
=
=
=
=
=
=
1.d0
1.d0
1.d0
1.d0
1.d0
1.d0
=
=
=
=
=
=
4
5
6
3
2
1
!
!
!
!
!
these flags make sure that the
elements of the diff. equn.
vector get shunted back and forth
between vector and matrix form
properly.
*************************************************************************
time_start = 0.d0
time_end = 0.d0
* First initialise triangular matrices for QR factorisation
* and preset cmat, which is initially the identity matrix
do imat = 1, nphase
do jmat = 1, nphase
cmat(imat,jmat) = 0.d0
79
qmat(imat,jmat) = 0.d0
tempmat(imat,jmat) = 0.d0
derivmat(imat,jmat) = 0.d0
enddo
enddo
do imat = 1, nphase
cmat(imat,imat) = 1.d0
enddo
* Transfer back into matrix form the elements of diff equation
* vector which correspond to the linearised equations of motion
* for the perturbed trajectories
nentry = 6
! jump to elements 7 - 42 of the vector
do lmat = 1, nphase
do kmat = 1, nphase
nentry = nentry + 1
derivmat(kmat,lmat) = avector(nentry)
enddo
enddo
* Call NAg routine which finds the QR factorisation of the
* matrix of derivatives of the perturbed orbits
ifail = 0
call f01qcf(nphase,nphase,derivmat,nphase,zeta,ifail)
* Transfer the components of derivmat to qmat and rmat
do kmat = 1, nphase
do lmat = 1, nphase
if(kmat .le. lmat) then
rmat(kmat,lmat) = derivmat(kmat,lmat)
qmat(kmat,lmat) = 0.d0
else
qmat(kmat,lmat) = derivmat(kmat,lmat)
rmat(kmat,lmat) = 0.d0
endif
enddo
enddo
* Extract the relevant columns of qmat
ifail = 0
call f01qef(’separate’,nphase,nphase,nphase,qmat,
*nphase,zeta,work2,ifail)
* If the diagonal elements of derivmat are not positive
* then adjust elements of rmat and qmat accordingly
80
CÓDIGO FUENTE
do kmat = 1, nphase
if(derivmat(kmat,kmat) .lt. 0.d0) then
do lmat = 1, nphase
rmat(kmat,lmat) = -rmat(kmat,lmat)
qmat(lmat,kmat) = -qmat(lmat,kmat)
enddo
endif
enddo
* Reset counters of cumulative liapunov exponents
do iliap = 1, nphase
liapsum(iliap) = 0.d0
enddo
ieval = 0
! Use these to get less noisy
! Estimates of Liap exps. from
! final nliap timesteps
! Number of evaluations counter
* If necessary, open file to write out positions and velocities
if(iremainder(norb,norbits).eq.1)then
* Close previous orbit_file
if(norb.ne.1)close(95)
* Determine name of new orbit_file and open file
call orbname(norb,1)
call orbname(norb+norbits-1,2)
orbit_file = ’model’//model_lbl//’run’//run_lbl//
*’orbit’//orblo//’_’//orbhi//’.dat’
open(unit=95,file=orbit_file,status=’unknown’)
endif
* Restart NAg integrator loop here
*************************************************************************
100
time_end = time_end + time_out
if(time_end.gt.timestop) goto 101
! jump out if past stop time
ieval = ieval + 1
* Get new matrix cmat, from which we derive Liap Exps.,
* in terms of the QR factorisation matrix, rmat.
81
do imat = 1, nphase
do kmat = 1, nphase
do jmat = 1, nphase
tempmat(imat,kmat) = tempmat(imat,kmat) +
* rmat(imat,jmat)*cmat(jmat,kmat)
enddo
cmat(imat,kmat) = tempmat(imat,kmat)
enddo
enddo
* Evaluate current estimate of Liap Exps, in terms
* of diagonal elements of cmat, at time = time_start
do ivec = 1, nphase
znorm(ivec) = dlog(cmat(ivec,ivec))
enddo
do ivec = 1, nphase
cumul(ivec) = znorm(ivec) / time_end
enddo
* If the writeflag is active then write out Liap Exps
* and store values for subsequent plotting (optional)
if(idint(time_start) .eq. idint(writeflag)) then
writeflag = writeflag + time_out
endif
* Check if in last nliap evaluations
if((nsteps-ieval).le.nliap) then
liapsum(iliap) = liapsum(iliap) + cumul(iliap)
enddo
endif
* Now call NAg routine to advance along trajectory,
* performing numerical integration from time_start to time_end
ifail = 0
crelabs = ’M’
itime = 0
time_out_step = (time_end - time_start)/dble(itime+1)
call d02cjf(time_start,time_end,nvec,avector,diff_eqns,
82
CÓDIGO FUENTE
*tolerance,crelabs,output,d02cjw,work1,ifail)
* Now repeat above process, to determine derivmat from the
* newly updated values of avector at t = time_end
do lmat = 1, nphase
do kmat = 1, nphase
tempmat(kmat,lmat) = 0.d0
derivmat(kmat,lmat) = 0.d0
enddo
enddo
nval = 6
do lmat = 1, nphase
do kmat = 1, nphase
nval = nval + 1
tmat(kmat,mat_index(lmat)) = avector(nval)
enddo
enddo
do imat = 1, nphase
do kmat = 1, nphase
do jmat = 1, nphase
derivmat(imat,kmat) = derivmat(imat,kmat) +
* tmat(imat,jmat)*qmat(jmat,kmat)
enddo
enddo
enddo
* call routine to do QR factorisation again, now at
* time t = time_end
ifail = 0
call f01qcf(nphase,nphase,derivmat,nphase,zeta,ifail)
* Transfer the components of derivmat to qmat and rmat
do kmat = 1, nphase
do lmat = 1, nphase
if(kmat .le. lmat) then
rmat(kmat,lmat) = derivmat(kmat,lmat)
qmat(kmat,lmat) = 0.d0
else
qmat(kmat,lmat) = derivmat(kmat,lmat)
rmat(kmat,lmat) = 0.d0
endif
enddo
enddo
83
* Extract the relevant columns of qmat
ifail = 0
call f01qef(’separate’,nphase,nphase,nphase,qmat,
*nphase,zeta,work2,ifail)
* If the diagonal elements of derivmat are not positive
* then adjust elements of rmat and qmat accordingly
do kmat = 1, nphase
if(derivmat(kmat,kmat) .lt. 0.d0) then
do lmat = 1, nphase
rmat(kmat,lmat) = -rmat(kmat,lmat)
qmat(lmat,kmat) = -qmat(lmat,kmat)
enddo
endif
enddo
* Re-initialise linearised vectors
do ivec = nphase + 1, nvec
avector(ivec) = 0.d0
enddo
avector(10)
avector(17)
avector(24)
avector(27)
avector(32)
avector(37)
=
=
=
=
=
=
1.d0
1.d0
1.d0
1.d0
1.d0
1.d0
* Now loop back to compute Liap Exps at t = time_end,
* and then increment time step again.
goto 100
*************************************************************************
101
neval = ieval
sumliap = 0.d0
liap(iliap) = dabs(liapsum(iliap)/dble(nliap))
sumliap = sumliap + liap(iliap)
enddo
sum_liapunov = sumliap / 2.d0
84
CÓDIGO FUENTE
write(95,’(f4,f9.2,6f7.3,e17.9)’)((coormat(i,j),j = 1,9),
*i = 1,10000)
return
end
*************************************************************************
subroutine output(time_inter,avector)
* Subroutine to print out intermediate values of the
* coordinates and velocities as one moves along the
* unperturbed trajectory.
*************************************************************************
*************************************************************************
double precision avector(42),mat(100000,9)
character*2 run_lbl
*************************************************************************
*run_lbl
*************************************************************************
external potential
*************************************************************************
if(itime.ne.-1)then
idat = idint(time_inter/time_out+1.5d0)
coormat(idat,1) = norb
coormat(idat,2) = time_inter
coormat(idat,3) = avector(1)
85
ekin = 0.5d0*(avector(4)*avector(4) + avector(5)*avector(5) +
* avector(6)*avector(6))
epot = potential(avector(1),avector(2),avector(3))
coormat(idat,9) = ekin + epot
endif
3434
format(i6,1x,f9.2,1x,f7.3,1x,f7.3,1x,f7.3,1x,f7.3,1x,f7.3,1x,f7.3)
time_inter = time_end - dble(itime)*time_out_step
itime = itime - 1
return
end
*************************************************************************
subroutine diff_eqns(time,avector,fvector)
* Function which is called in solving the set of differential
* equations, which represent the perturbed hamiltonian equations
* of motion.
*************************************************************************
parameter(nphase = 6) ! dimension of phase space
parameter(nvec = 42) ! dimension of diff equation vector
*************************************************************************
*************************************************************************
double precision avector(nvec), fvector(nvec)
*************************************************************************
intrinsic dsqrt, dlog
*************************************************************************
*************************************************************************
xc = avector(1)
yc = avector(2)
zc = avector(3)
86
CÓDIGO FUENTE
xsq = xc*xc
ysq = yc*yc
zsq = zc*zc
*
*
*
*
*
*
*
We now express the linearised equations of motion
in terms of easy-to-manage bite-sized pieces. This
greatly speeds up the computations. We also store
those pieces which we use to determine the density
at (x,y,z), via Poisson’s equation. This helps speed
up the assignment of the particle to the appropriate
bin at each timestep in the trajectory.
* Arguments associated with the disk potential
diskarg1
diskarg0
diskarg2
diskarg3
diskarg4
diskarg5
diskarg6
diskarg7
diskarg8
=
=
=
=
=
=
=
=
=
dsqrt(zsq + bdisk*bdisk)
adisk + diskarg1
(adisk + diskarg1)*(adisk + diskarg1)
xsq + ysq
dsqrt(diskarg3 + diskarg2)
! term in parentheses
diskarg4*diskarg4*diskarg4
! raise to 3rd power
diskarg5*diskarg4*diskarg4
! raise to 5th power
1.d0 / diskarg5
1.d0 / diskarg6
* Arguments associated with Plummer sphere central core
corearg1
corearg2
corearg3
corearg4
corearg5
=
=
=
=
=
dsqrt(diskarg3 + zsq + bcoresq) ! parentheses
corearg1*corearg1*corearg1
! raise to 3rd power
corearg2*corearg1*corearg1
! raise to 5th power
1.d0 / corearg2
1.d0 / corearg3
* Argument associated with halo potential
haloarg = v0halosq /
*( r0halosq + xsq + phalo*ysq + qhalo*zsq)
haloarg2 = haloarg * haloarg
* Now evaluate potential
phihalo = 0.5d0*v0halosq*
* dlog(r0halosq + xsq + phalo*ysq + qhalo*zsq)
phicore = -gmcore / corearg1
phidisk = -gmdisk / diskarg4
* Next evaluate kinetic energy and total energy
ekin = 0.5d0 * ( avector(4)**2 + avector(5)**2 +
* avector(6)**2 )
87
epot = phihalo + phicore + phidisk
etot = ekin + epot
*
*
*
*
*
Now evaluate first derivatives of the potential
(these are given in terms of the arguments defined
above. See notes for detailed explanation) and
hence evaluate first six entries, from Hamiltonian
equations of unperturbed trajectory
fvector(1) = avector(4)
fvector(4) = -gmdisk*xc*diskarg7 -gmcore*xc*corearg4
* -xc*haloarg
fvector(5) = -gmdisk*yc*diskarg7 -gmcore*yc*corearg4
* -yc*phalo*haloarg
ratioda0da1 = dsqrt(diskarg2) / diskarg1
fvector(6) = -gmdisk*ratioda0da1*diskarg7*zc
* -gmcore*zc*corearg4 - qhalo*zc*haloarg
* Next evaluate linearised perturbed trajectories, using
* second derivatives.
* This is speeded up by using another set of abbreviations
argsec1 = diskarg7*gmdisk
argsec2 = diskarg8*gmdisk
argsec3 = corearg4*gmcore
argsec4 = corearg5*gmcore
chalo = haloarg
haloarg0 = chalo*chalo / v0halosq
diffarg1dx = -argsec2*3.d0*xc
diffarg1dy = -argsec2*3.d0*yc
diffarg1dz = -argsec2*ratioda0da1*3.d0*zc
diffarg2dx = -argsec4*3.d0*xc
diffarg2dy = -argsec4*3.d0*yc
diffarg2dz = -argsec4*3.d0*zc
diffarg3dx = -haloarg0*2.d0*xc
diffarg3dy = -haloarg0*2.d0*yc*phalo
diffarg3dz = -haloarg0*2.d0*zc*qhalo
diffarg4dz = zc * ( 1.d0/(diskarg1*diskarg1) *ratioda0da1/(diskarg1*diskarg1) )
88
CÓDIGO FUENTE
* Now evaluate the six copies of the linearised equations
do jlab = 0,5
ilab = 6*jlab
fvector(7+ilab) = avector(10+ilab)
* Final set of abbreviations
diffarg1 = diffarg1dx*avector(7+ilab) +
* diffarg1dy*avector(8+ilab) + diffarg1dz*avector(9+ilab)
diffarg4 = diffarg4dz * avector(9+ilab)
* Using these abbreviations, the linearised equations are:fvector(10+ilab) = -(argsec1+argsec3+haloarg)*
*avector(7+ilab) - xc*(diffarg1 + diffarg2 + diffarg3)
fvector(11+ilab) = -(argsec1+argsec3+phalo*haloarg)*
*avector(8+ilab) - yc*(diffarg1 + diffarg2 + diffarg3*phalo)
fvector(12+ilab) =
* -(ratioda0da1*argsec1+argsec3+qhalo*haloarg)*
*avector(9+ilab) * zc*(argsec1*diffarg4 + diffarg1*ratioda0da1 + diffarg2 +
* qhalo*diffarg3)
enddo
return
end
*************************************************************************
subroutine get_parameters(ipflag)
* reads in parameters from the file input_parameters.dat
*************************************************************************
89
character*60 charheader
character*8 junk
*************************************************************************
intrinsic datan
*************************************************************************
*************************************************************************
pi = 4.d0*datan(1.d0)
fourpiginv = 1.d0/4.d0*pi
norb = 0
if(ipflag.eq.0)then ! parameters read in from input_parameters.dat
open(unit=98,file=’input_parameters.dat’,status=’unknown’)
* Read in header (7 lines)
1000
do ihead = 1,7
read(98,1000)charheader,junk
enddo
format(a60,a8)
1001
read(98,1001)charheader,nradlo
read(98,1001)charheader,nradhi
format(a60,i2)
1002
read(98,1002)charheader,radmin
read(98,1002)charheader,radstep
format(a60,f4.1)
1003
read(98,1003)charheader,tstep
format(a60,f5.2)
1004
read(98,1004)charheader,r0halo
read(98,1004)charheader,v0halo
format(a60,f6.2)
90
CÓDIGO FUENTE
r0halosq = r0halo*r0halo
v0halosq = v0halo*v0halo
1005
read(98,1005)charheader,phalo1
read(98,1005)charheader,qhalo1
format(a60,f5.2)
phalo = 1.d0/(phalo1*phalo1)
qhalo = 1.d0/(qhalo1*qhalo1)
read(98,1005)charheader,gmdisk
read(98,1005)charheader,adisk
read(98,1005)charheader,bdisk
1006
1007
read(98,1005)charheader,gmcore
read(98,1006)charheader,bcore
format(a60,f5.3)
bcoresq = bcore*bcore
read(98,1007)charheader,mineval
read(98,1007)charheader,maxeval
format(a60,i6)
read(98,1006)charheader,eps
read(98,1001)charheader,nliap
read(98,1002)charheader,time_out
read(98,1001)charheader,itol
tolerance = 10.d0**(-1.d0*itol)
read(98,1007)charheader,itimestop
timestop = 1.d0*itimestop
1008
read(98,1008)charheader,norbits
format(a60,i3)
read(98,1001)charheader,imodel
endif
return
end
*************************************************************************
subroutine write_parameters(irun)
91
character*2 run_lbl
character*1 templbl
*************************************************************************
*run_lbl
*************************************************************************
* First determine model_lbl and run_lbl
1000
1001
if(imodel.ge.10)then
write(model_lbl,1000)imodel
format(i2)
else
write(templbl,1001)imodel
format(i1)
model_lbl = ’0’//templbl
endif
if(irun.ge.10)then
write(run_lbl,1000)irun
else
write(templbl,1001)irun
run_lbl = ’0’//templbl
endif
parameter_file = ’model’//model_lbl//’run’//run_lbl//
*’parameters.dat’
open(unit=96,file=parameter_file,status=’unknown’)
write(96,*)
write(96,*)’ Model number : ’,imodel
write(96,*)’ Run number
: ’,irun
write(96,*)’ ’
92
CÓDIGO FUENTE
write(96,*)’ index of smallest radius (i.e. subspace)
*nradlo
write(96,*)’ index of largest radius (i.e. subspace)
*nradhi
write(96,*)’ minimum radius (kpc)
*real(radmin)
write(96,*)’ step between radii (kpc)
*real(radstep)
write(96,*)’ no. of rot. periods between renorms.
*real(tstep)
write(96,*)’ halo radius parameter: r0halo (see B&T)
*real(r0halo)
write(96,*)’ halo velocity parameter: v0halo (see B&T)
*real(v0halo)
write(96,*)’ triaxiality halo parameter: phalo1
*real(phalo1)
write(96,*)’ triaxiality halo parameter: qhalo1
*real(qhalo1)
write(96,*)’ disk mass parameter: gmdisk
*real(gmdisk)
write(96,*)’ disk shape parameter: adisk
*real(adisk)
write(96,*)’ disk shape parameter: bdisk
*real(bdisk)
write(96,*)’ core mass parameter: gmcore
*real(gmcore)
write(96,*)’ core shape parameter: bcore
*real(bcore)
write(96,*)’ minimum number of MC evaluations
*mineval
write(96,*)’ maximum number of MC evaluations
*maxeval
write(96,*)’ relative accuracy of MC integration
*real(eps)
write(96,*)’ number of timesteps for averaging LEs
*nliap
write(96,*)’ no. of readouts per rot. period
*time_out
write(96,*)’ accuracy demanded of diff eqn integrator
*tolerance
write(96,*)’ no. of rot. periods when integration ends
*timestop
write(96,*)’ number of orbits stored per file
*norbits
write(96,*)’ ’
return
end
subroutine orbname(number,icode)
’,
’,
’,
’,
’,
’,
’,
’,
’,
’,
’,
’,
’,
’,
’,
’,
’,
’,
’,
’,
’,
’,
93
*
*
*
*
Assigns name to character variables orblo and orbhi, which
make up the filename orbit_file, to which the positions and
velocities are written as the integrator moves along the
unperturbed trajectory
*************************************************************************
character*5
character*1
character*2
character*3
character*4
orblo, orbhi
num1lbl
num2lbl
num3lbl
num4lbl
*************************************************************************
common/orbit_names/orblo,orbhi
*************************************************************************
* First check if five digits
if(number.ge.10000)then
if(icode.eq.1)write(orblo,5000)number
if(icode.eq.2)write(orbhi,5000)number
goto 6000
endif
* Next check if four digits
write(num4lbl,4000)number
if(icode.eq.1)orblo = ’0’//num4lbl
if(icode.eq.2)orbhi = ’0’//num4lbl
goto 6000
endif
* Next check if three digits
goto 6000
endif
* Next check if two digits
94
CÓDIGO FUENTE
goto 6000
endif
* Next check if single digit
if(number.ge.0)then
goto 6000
endif
1000
5000
format(i1) 2000
format(i5)
6000
return
end
format(i2) 3000
format(i3) 4000
format(i4)
*************************************************************************
integer function iremainder(num1,num2)
*************************************************************************
iremainder = num1 - ((num1/num2)*num2)
return
end
*************************************************************************
Referencias
[1] CVode, LLNL. http://www.netlib.org/ode/cvode.tar.gz.
[2] Numerical Algortihms Group. http://www.nag.co.uk.
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[5] J. Binney and S. Tremaine. Galactic Dynamics. Princeton Series in Astrophysics, UK, 1987.
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for the computation of lyapunov exponents. Elsevier Science, Physica D, 101, 1997.
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pages 138–143, 1996.
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mass in galaxies. Astron. Soc. Japan, 27, 1975.
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C++. Cambridge University Press, 2002.
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95

Modelos de Halo-Disco

Transcripción

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