Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
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Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Capı́tulo 9 Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden En este tema vamos a ofrecer una introducción a las edp de primer orden, considerando la clasificación y la solución de algunos casos especiales de ecuaciones de este tipo. Veremos que la resolución de este tipo de ecuaciones está estrechamente relacionada con la integración de ciertos sistemas de ecuaciones diferenciales, en general no lineales. 9.1 Introducción De acuerdo con lo estudiado en el capı́tulo precedente, diremos que una edp de primer orden para una función u definida en una región U de Rn es una relación de la forma F (x1 , x2 , . . . , xn , u, ux1 , ux2 , . . . , uxn ) = g(x1 , x2 , . . . , xn , u), (9.1.1) donde la posible existencia de términos que dependen sólo de las variables independientes y de la función u se ha separado, escribiéndola explı́citamente como una función g(x1 , x2 , . . . , xn , u). Obviamente se trata de un caso especial de la definición dada en (8.2.4). Por lo que respecta a la interpretación gométrica de las soluciones de (8.2.4) o de (9.1.1), dado que serán funciones u(x1 , x2 , . . . , xn ), claramente podrán ser consideradas como hipersuperficies n–dimensionales en el espacio Rn+1 de las variables (x1 , x2 , . . . , xn , u), denominadas superficies integrales (o hipersuperficies integrales) de la edp. Particularizando algunas otras definiciones del tema anterior al caso que ahora no ocupa, podemos ver que la forma general de una edp lineal de primer orden es n k=1 ak (x1 , . . . , xn ) ∂u(x1 , . . . , xn ) = c(x1 , . . . , xn ) u(x1 , . . . , xn ) + d(x1 , . . . , xn ), ∂xk (9.1.2) y la forma más general de una edp de primer orden cuasilineal es n k=1 ak (x1 , . . . , xn , u) ∂u(x1 , . . . , xn ) = c(x1 , . . . , xn , u). ∂xk (9.1.3) Este tipo de ecuaciones aparecen en problemas de cálculo variacional, en mecánica y en óptica geométrica. La ecuación es lineal respecto de las derivadas, pero puede ser no lineal respecto a la función incógnita u. 15 16 Capı́tulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden Ejercicio 1: clasificar las siguientes edp: √ x1 − x2 (ux1 x1 )2 = 0. a) b) x1 ux2 − x2 ux1 = u. c) x1 ux1 + eu x2 ux2 − x1 x2 u = 0. d) (x21 + x22 + x23 ) ∂3u ∂u ∂u + (cos x2 ) + = 0. 3 ∂x2 ∂x3 ∂x1 e) ux uy = 1. f ) x u = y u2y − (tan x)ux = 1. g) u = x ux + yu + u2x + u2y + ux uy . h) (y − z)ux + (z − x)uy + (x − y)uz = 0. Aunque la teorı́a que vamos a exponer inmediatamente se puede desarrollar exactamente igual para un número cualquiera n de variables independientes, resulta mucho más conveniente desde el punto de vista pedagógico hacerlo de forma explı́cita para n = 2, ya que esto permite mostrar de manera mucho más clara la interpretación geométrica de las edp de primer orden y de sus soluciones. Ası́ pues, en lo sucesivo trabajaremos casi siempre en el caso bidimensional, con lo cual es mucho más cómodo denominar a las dos variables independientes (x, y) en lugar de (x1 , x2 ). Además se suele introducir la siguiente notación para las derivadas primeras ∂u ∂u := p, := q, (9.1.4) ∂x ∂y nomenclatura a la que nos sumamos y con lo cual la edp más general de primer orden se escribe en forma simbólica ası́: F (x, y, u, p, q) = 0. (9.1.5) Ejercicio 2: clasificar las siguientes edp de primer orden y reescribirlas en términos de las derivadas de la función incógnita u(x, y): a) x p + y q = 0. b) x q 3 − y p = u. c) (p + q + 1) u2 = 1. d) (p2 + q 2 + 1) u2 = 1. e) q + p2 = 0. f ) x2 p + y 2 q = (x + y)u. √ g) u2 p + u q = (x + y)u. h) (y + ux) p − (x + yu) q = x2 − y 2 . Ejercicio 3: seleccionar aquellas ecuaciones del Ejercicio 1 que sean de primer orden en con dos variables independientes y reescribirlas en términos de p y q. 9.2. El “problema de Cauchy” para las edp de primer orden 9.2 17 El “problema de Cauchy” para las edp de primer orden Aunque está fuera de nuestros objetivos una discusión pormenorizada y rigurosa de los teoremas de existencia y unicidad, sı́ parece adecuado para el nivel de este curso dar una idea somera de qué es lo que entenderemos por teoremas de este tipo en el contexto de las edp. Las condiciones para asegurar la existencia y la unicidad de soluciones de las edp de primer orden se suelen expresar en una forma que se denomina el problema de Cauchy que, en el caso de dos variables independientes, puede formularse como sigue. Problema de Cauchy: supongamos que • xo (s), yo (s), uo (s) son funciones continuas y con derivada primera continua en M = (s1 , s2 ) ⊂ R, es decir, son de clase C 1 (M ); • F (x, y, u, p, q) es una función continua de sus cinco variables en una cierta región U del espacio R5 . Se desea establecer la existencia de una función φ(x, y) que tenga las siguientes propiedades: 1. φ(x, y) y sus derivadas parciales respecto de x e y son funciones continuas de las dos variables en una cierta región R ⊂ R2 . 2. Para cualquier valor de (x, y) que pertenezca a la región R, el punto (x, y, φ(x, y), φx (x, y), φy (x, y)) está en U ⊂ R5 y además F (x, y, φ(x, y), φx (x, y), φy (x, y)) = 0. 3. Para todo s ∈ M , el punto (xo (s), yo (s)) ∈ R y φ(xo (s), yo (s)) = uo (s). Dicho en términos geométricos, se desea demostrar que existe una superficie u = φ(x, y) que contenga a una curva Γ dada en forma paramétrica por las ecuaciones x = xo (s), y = yo (s), u = uo (s). (9.2.1) En cualquier punto de la superficie se cumple además que el vector normal a ella, que es precisamente (ux , uy , −1) ≡ (p, q, −1), es tal que F (x, y, u, p, q) = 0. (9.2.2) 18 Capı́tulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden 9.2.1 Teorema de existencia y unicidad de Kovalevskaya La que acabamos de dar es sólo una de las ocho maneras diferentes y equivalentes en las cuales puede formularse el problema de Cauchy. El punto destacado es que el problema no puede resolverse con tanta generalidad como se acaba de proponer: para que exista una solución de la edp (9.1.5) que pase por una curva de ecuaciones (9.2.1) es preciso efectuar otras suposiciones sobre la forma tanto de la función F como de la curva Γ. De hecho, existe toda una familia de teoremas de existencia, dependiendo de las hipótesis adicionales que se elijan para F y Γ. Aquı́ sólo mencionaremos uno de ellos, el clásico debido a la matemática rusa Sofia Vasilievna Kovalevskaya, para que se vea el tipo de exigencias que se deben imponer. Teorema 1 (de Kovalevskaya): consideremos una función g(y) tal que ella y todas sus derivadas son continuas en el intervalo |y − yo | < δ (es decir, es de clase C ∞ en ese intervalo) y un número real dado, xo ; supongamos también que uo = g(yo ), qo = g (yo ) y que la función f (x, y, u, q) es de clase C ∞ en la región S = {|x − xo | < δ, |y − yo | < δ, |q − qo | < δ} (es decir, en esa región la función y todas sus derivadas parciales son continuas), entonces existe una única función φ(x, y) tal que: 1. φ(x, y) es de clase C ∞ en la región R = {|x − xo | < δ1 , |y − yo | < δ2 }. 2. Para todo (x, y) ∈ R, u = φ(x, y) es una solución de la edp de primer orden escrita en forma normal ux = f (x, y, u, uy ). 3. Para todos los valores de y en el intervalo |y − yo | < δ1 , se verifica que φ(xo , y) = g(y). 9.2.2 Soluciónes generales y completas Antes de adentrarnos en la explicación de los diversos métodos de resolución de edp de primer orden, es necesario precisar los diversos tipos de soluciones que vamos a encontrar. Definición 1: llamaremos solución completa o integral completa de la edp de primer orden (9.1.5) a toda relación f (x, y, u, a, b) = 0 (9.2.3) entre las variables {x, y, u} que contenga dos constantes arbitrarias a y b y que sea una solución de la edp (9.1.5). Definición 2: llamaremos solución general o integral general de la edp de primer orden (9.1.5) a toda relación ϕ(v, w) = 0 (9.2.4) que sea solución de la edp (9.1.5) y que involucre una función arbitraria ϕ, de dos funciones conocidas v(x, y, u) y w(x, y, u). En principio parece obvio que una integral general proporciona un conjunto de soluciones mucho más grande de la edp de primer orden que estemos estudiando que una integral completa (en una caso tenemos una función arbitraria ϕ mientras que en el otro sólo tenemos dos constantes arbitrarias a y b). Sin embargo, como veremos luego, esto no es realmente ası́, pues una vez que se conoce una integral completa es posible obtener, a partir de ella, una integral general. 9.3. La ecuación cuasilineal de primer orden 19 Existen otras soluciones, importantes para las edp1 no lineales, que se obtienen como envolventes. Para las edp1 cuasilineales en teorı́a es posible obtener la solucion general (en la práctica puede ser complicado). Sin embargo, para las edp1 no lineales esto suele ser imposible y habitualmente no se plantea encontrar la solución general sino resolver el problema de Cauchy, del queya hemos hablado anteriormente. En ocasiones la variable y se identifica con el tiempo t y el problema que se plantea es hallar la solución de la edp, u(x, t) tal que u(x, 0) = h(x). Este problema se denomina de condiciones iniciales y es un caso particular de problema de Cauchy en el que la curva dato es {x = s, t = 0, u = h(s)}. 9.3 La ecuación cuasilineal de primer orden La ecuación cuasilineal de primer orden y dos variables independientes tiene la forma: a(x, y, u) ux + b(x, y, u) uy = c(x, y, u) (9.3.1) donde a(x, y, u), b(x, y, u) y c(x, y, u) son tres funciones conocidas definidas en un cierto dominio de R3 . La función u(x, y) es la incógnita y está definida en una cierta región D del plano real (u(x, y) : D → R). La expresión u = u(x, y) es una superficie en R3 . Por lo tanto, las soluciones de la ecuación cuasilineal (9.3.1) pueden considerarse superficies en R3 a las que llamaremos superficies integrales. Consideremos una tal superficie y escribámosla de la forma ϕ(x, y, u) = 0 = u(x, y) − u. La ecuación del plano tangente a la superficie en el punto P0 = (x0 , y0 , u0 ) es ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ (x − x0 ) + (y − y0 ) + (u − u0 ) = 0 (9.3.2) ∂x P0 ∂y P0 ∂u P0 esto es, ∂u ∂u (x − x0 ) + (y − y0 ) − (u − u0 ) = 0 ∂x P0 ∂y P0 (9.3.3) Como el punto (x, y, u) pertenece a este plano, (x − x0 , y − y0 , u − u0 ) es un vector que está en dicho plano. Por consiguiente, de (9.3.3) se deduce que (ux , uy , −1) es un vector perpendicular a este plano tangente, y por lo tanto también es normal a la superficie solución. Consideremos ahora el vector de componentes (a, b, c). Teniendo en cuenta (9.3.1), este vector es en cada punto perpendicular a (ux , uy , −1). Por consiguiente, según lo comentado anteriormente, está en el plano tangente. Llamaremos curvas caracterı́sticas de la ecuación diferencial a todas aquellas curvas tales que en el punto P0 = (x0 , y0 , u0 ) ∈ R3 admitan como vector tangente (a(P0 ), b(P0 ), c(P0 )), y esto ∀P0 dentro de una cierta región. Sabemos que estas curvas son trayectorias del siguiente sistema de ecuaciones ordinarias: dx dy du = = . a(x, y, u) b(x, y, u) c(x, y, u) (9.3.4) Llamando dt a esta relación, podemos poner: dx = a(x, y, u), dt dy = b(x, y, u), dt du = c(x, y, u). dt (9.3.5) 20 Capı́tulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden Este sistema tiene como soluciones x = x(t), y = y(t) y u = u(t), que es la ecuación de la trayectoria en términos del parámetro t. Sabemos que, por el punto P0 pasa una y sólo una de estas curvas caracterı́sticas. Teorema 2: sea u = u(x, y) una superficie en R3 tal que sea unión de curvas caracterı́sticas que satisfacen elsistema (9.3.4) o (9.3.5). Entonces u = u(x, y) es una superficie integral de la edp1 que aparece en la ecuación (9.3.1). Recı́procamente, sea P0 = (x0 , y0 , u0 ), γ una curva caracterı́stica conteniendo a P0 , y S ≡ u = u(x, y) una superficie integral conteniendo a P0 . Entonces γ está totalmente contenida en S. Demostración: sea u = u(x, y) una superficie unión de curvas caracterı́sticas. En cada punto de la curva, el vector tangente a la misma es (a, b, c) y el vector normal (ux , uy , −1). Ahora bien, como la curva está contenida en la superficie, su tangente en un determinado punto estará contenida en el plano tangente a la superficie en dicho punto. Por consiguiente, (a, b, c) y (ux , uy , −1) son perpendiculares en cada punto de la superficie y, por lo tanto, aux + buy − c = 0, es decir, u(x, y) satisface la ecuación diferencial. Veamos el recı́proco. Sea γ = (x(t), y(t), u(t)) la curva caracterı́stica pasando por el punto P0 = (x(t0 ), y(t0 ), u(t0 )) que pertenece a la superficie solución S ≡ u = u(x, y). Escribamos W (t) = u(t) − u(x(t), y(t)). (9.3.6) Si conseguimos demostrar que W (t) es cero para cualquier valor del parámetro t, entonces habremos probado que la curva γ está totalmente contenida en la superficie integral S. Desde luego, W (t0 ) = 0, pues P0 está en S. Derivando la expresión anterior y aplicando (9.3.5) y (9.3.6) queda: dW dt dx dy du − ux (x(t), y(t)) − uy (x(t), y(t)) = c − ux (x(t), y(t)) a − uy (x(t), y(t)) b dt dt dt = c(x(t), y(t), W (t) + u(x(t), y(t))) − ux (x(t), y(t)) a(x(t), y(t), W (t) + u(x(t), y(t))) = −uy (x(t), y(t)) b(x(t), y(t), W (t) + u(x(t), y(t))). (9.3.7) Ahora bien, γ es una curva caracterı́stica que suponemos conocida. Por lo tanto las funciones x = x(t); y = y(t); u = u(t) son conocidas. También conocemos la superficie integral S y por consiguiente la función u(x(t), y(t)). De esta manera, podemos escribir (9.3.7) bajo la forma de la siguiente ecuación diferencial: dW = F (W, t). dt (9.3.8) Obviamente W ≡ 0 es una solución particular de (9.3.8), pues por (9.3.7), haciendo W idénticamente cero obtengo la ecuación diferencial para la cual u(x, y) es una superficie solución. Si suponemos que F (W, t) posee las suficientes condiciones de regularidad, entonces existirá una única solución de (9.3.8) con un valor prefijado para W (t0 ). Ahora bien, el punto P0 está en S y en γ. Esto se traduce en la condición W (t0 ) = 0. Existe pues y es única la solución de (9.3.8) verificando esta condición. Esta es W (t) ≡ 0. De esta manera, u(t) = u(x(t), y(t)) y por lo tanto todos los puntos de γ satisfacen la ecuación de la superficie solución. Por lo tanto, γ ⊂ S. Con esto concluye la demostración del teorema. Supongamos ahora que dos superficies integrales, S1 y S2 , tienen un punto en común. Sea γ la curva caracterı́stica que pasa por dicho punto. Entonces γ ⊂ S1 ∩ S2 , la curva estará 9.3. La ecuación cuasilineal de primer orden 21 contenida en las dos superficies integrales. Ello es un corolario inmediato del teorema anterior. Supongamos ahora que dos superficies integrales distintas, S1 y S2 , se cortan a lo largo de una curva que llamaremos γ. Sea P ∈ γ y π1 y π2 los respectivos planos tangentes a las dos superficies integrales a las dos superficies integrales en P . Tanto π1 como π2 contienen al vector (a(P ), b(P ), c(P )), ya que las dos superficies son solución. Como estamos suponiendo que las superficies son diferentes, π1 = π2 y (a(P ), b(P ), c(P )) ∈ π1 ∩ π2 . Este vector será tangente a γ en P , pues dicha tangente tiene que estar a la vez en π1 y π2 . Ası́ la tangente en un punto arbitrario de γ tiene la dirección (a, b, c) y, como consecuencia, la curva γ es caracterı́stica. De forma práctica, para hallar las superficies integrales de la edp1 cuasilineal (9.3.1) hemos visto que hay que resolver el sistema (9.3.4) o (9.3.5). Esto, en principio, puede hacerse de dos maneras: 1. Hallando dos integrales primeras funcionalmente independientes de (9.3.4), sean f1 (x, y, u) = C1 , f2 (x, y, u) = C2 . (9.3.9) De aquı́ se obtiene la integral general de (9.3.1) como una función arbitraria ϕ(r, s) de las dos integrales primeras, es decir ϕ(f1 (x, y, u), f2 (x, y, u)) = 0. (9.3.10) Otras formas equivalentes de esta relación son f1 (x, y, u) = ψ1 (f2 (x, y, u)) = 0 o f2 (x, y, u) = ψ2 (f1 (x, y, u)) = 0, (9.3.11) siendo ψ1 (z) y ψ2 (z) dos funciones arbitrarias. 2. Hallando la solución de las curvas caracterı́sticas de (9.3.5) en forma paramétrica: x = x(t) + K1 , y = y(t) + K2 , z = z(t) + K3 . (9.3.12) Con uniones de curvas de este tipo se forma también las superficies integrales. 9.3.1 El problema de Cauchy para la ecuación cuasilineal de primer orden Supongamos que queremos hallar la solución de la ecuación (9.3.1) a(x, y, u) ux + b(x, y, u) uy = c(x, y, u) que contenga a la curva dato Γ, que puede darse bien en forma paramétrica Γ ≡ {x = f (s), y = g(s), u = h(s)}, (9.3.13) Γ ≡ {g1 (x, y, u) = 0, g2 (x, y, u) = 0}. (9.3.14) bien en forma implı́cita Para calcular la superficie solución pasando por la curva dato, consideremos todos los puntos de la curva y todas las curvas caracterı́sticas pasando por cada uno de ellos. Como las superficies solución son uniones de curvas caracterı́sticas, este procedimiento nos va a 22 Capı́tulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden dar una superficie solución conteniendo a la curva dato, siempre y cuando la propia curva dato no sea una curva caracterı́stica (en cuyo caso el problema no estará adecuadamente planteado). Además, debido a que por cada punto pasa una sola curva caracterı́stica, la solución conteniendo a la curva dato será única (salvo en el caso ya indicado de que ésta sea ya una curva caracterı́stica). En el caso de que la curva dato venga dada en paramétricas, nos será útil contar con las soluciones de (9.3.5) en la forma (9.3.12). La superficie solución que buscamos puede ponerse en forma biparamétrica siendo sus coordenadas x = X(s, t), y = Y (s, t), u = U (s, t). (9.3.15) Aquı́ s parametriza la curva dato. Por cada uno de los puntos de la curva dato, ha de pasar una curva caracterı́stica parametrizada por t. De esta manera, cada punto de la superficie solución viene dado por dos coordenadas: la s nos indica en qué curva caracterı́stica está, mientras que la t nos señala su localización en la curva caracterı́stica. Podemos siempre ajustar t de tal manera que t = 0 corresponda a la intersección de la correspondiente curva caracterı́stica con la curva dato, es decir, X(s, 0) = f (s), Y (s, 0) = g(s), U (s, 0) = h(s). (9.3.16) Ejemplo 1: hallemos la solución de la ecuación uy + cux = 0 donde c es una constante, con la condición inicial u(x, 0) = h(x), donde h(x) es una función conocida. La curva curva dato correspondiente a esta condición inicial es {x = s, y = 0, u = h(s)}. El sistema caracterı́stico es dx dy du = c, = 1, = 0. (9.3.17) dt dt dt Integremos ahora el sistema caracterı́stico y dejemos las constantes en función de s. Obtenemos lo siguiente: x = X(s, t) = ct + ϕ(s), y = Y (s, t) = t + ψ(s), u = U (s, t) = η(s). (9.3.18) Para encontrar los valores de las funciones en s, en principio desconocidas, utilizamos la condición inicial. De una manera más precisa, la condición de que si t = 0 estamos dentro de la curva dato: X(s, 0) = ϕ(s) = s ; Y (s, 0) = ψ(s) = 0 ; U (s, 0) = η(s) = h(s) (9.3.19) Luego la superficie solución es: x = s + ct, y = t, u = h(s), (9.3.20) en forma paramétrica. Podemos ponerla en lo forma u = u(x, y) sin más que eliminar los dos parámetros: u = h(x − cy). (9.3.21) En caso de contar con la solución general de la edp1 en la forma (9.3.10), lo que hay que hacer es imponer que la curva dato debe estar contenida en la superficie, para ası́ fijar la función ϕ de forma precisa. 9.3. La ecuación cuasilineal de primer orden 23 Ejemplo 2: hallemos la solución general de la edp1 yp − xq = xyu2 y después la solución particular al problema de Cauchy con curva dato x = y = u. Como sabemos, las curvas caracterı́sticas se obtienen al resolver un sistema no lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias, que en este caso es dx dy du . = = y −x xyu2 Dos integrales primeras del sistema se obtienen fácilmente: x2 1 + = C2 . 2 u La solución general adopta cualquiera de las siguientes formas equivalentes 2 x2 x x2 1 1 1 = 0, x2 + y 2 = ψ1 , + + + = ψ2 (x2 + y 2 ), ϕ x2 + y 2 , 2 u 2 u 2 u x2 + y 2 = C1 , donde ϕ, ψ1 , ψ2 son funciones arbitrarias. Para determinar la solución particular al problema de Cauchy que nos dan, imponemos la condición de la curva dato sobre cualquiera de las tres ecuaciones anteriores, para fijar alguna de las funciones que hasta ahora son arbitrarias. Por comodidad elegimos la última de esas ecuaciones, eliminando las variables y, u: x2 1 + = ψ2 (2x2 ). 2 x Para hallar ψ2 hago un cambio de variable: 2x2 = z ≥ 0, de modo que la nueva variable es el argumento de lafunción incógnita. Necesito ahora despejar la variable x en función de la nueva z: x = ± z/2 (en principio guardo el doble signo). Eliminamos ahora x en la ecuación que contiene ψ2 (2x2 ): 2 z ψ2 (z) = ± . 4 z De este modo hemos determinado completamente el valor de la función ψ2 . Podemos escribir ahora la solución al problema de Cauchy dado: 2 2 x2 1 1 x2 + y 2 y 2 − x2 , o bien . + = ± = ± 2 2 2 2 u 4 x +y u 4 x + y2 Para concluir esta sección, indicar que si hubiera más de dos variables independientes y la edp1 fuera cuasilineal, el método de resolución es exactamente el mismo: dada la edp1 cuasilineal (9.1.3) n k=1 ak (x1 , . . . , xn , u) ∂u(x1 , . . . , xn ) = c(x1 , . . . , xn , u), ∂xk hay que hallar soluciones del sistema nolineal asociado dx1 dx2 dxn du = = ··· = = a1 (x1 , . . . , xn , u) a2 (x1 , . . . , xn , u) an (x1 , . . . , xn , u) c(x1 , . . . , xn , u) y proceder según lo descrito anteriormente para hallar, bien la solución general, bien la solución a un problema de Cauchy. 24 Capı́tulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden 9.4 La ecuación no lineal F (x, y, u, ux , uy ) = 0 Estudiaremos ahora la manera de resolver las ecuaciones no lineales de primer orden, suponiendo también que sólo hay dos variables independientes (la generalización al caso de n variables es sencillo). Tendremos una ecuación F (x, y, u, p, q) = 0, (9.4.1) con p := ∂u/∂x, q := ∂u/∂y. En cada punto (xo , yo , uo ) de la superficie integral la ecuación (9.4.1) define una familia de planos (cuyos vectores normales son, como ya hemos comentado, (p, q, −1)), o su envolvente, el llamado cono de Monge; cada una de las rectas contenidas en el cono proporciona una dirección para generar curvas caracterı́sticas. Para ser precisos, lo que tenemos ahora son bandas caracterı́sticas, ya que en cada punto no sólo hay que determinar una dirección, también un plano tangente. Aunque ahora la resolución es más enrevesada que en el caso cuasilineal, en la práctica lo que habrá que hacer es resolver un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias un poco más complicado que en el caso cuasilineal dx dy du dp dq = = =− =− = dt. Fp Fq pFp + qFq Fx + pFu Fy + qFu Si no somos capaces de hallar ninguna solución de ese sistema, ni siquiera una integral primera, deberemos recurrir a métodos numéricos aproximados si queremos conocer la solución del problema planteado. Comentaremos a continuación el resultado más importante referente al tipo de edp1 nolineales representadas por (9.4.1). Teorema 2: sea Ω una región de R5 en la que cumple lo siguiente 1.- F ∈ C 2 (Ω). 2.- |Fp | + |Fq | > 0 en Ω. Consideremos ahora la curva Γ (se trata de una curva dato para resolver un problema de Cauchy) escrita en función de un paramétro s ∈ I ⊂ R: Γ ≡ {x = α(s), y = β(s), u = γ(s)}, donde α, β, γ ∈ C 1 (I) y |α (s)| + |β (s)| > 0, ∀ s ∈ I. Supongamos ahora que existen dos funciones σ(s) y τ (s) verificando las siguientes condiciones: α (s) σ(s) + β (s) τ (s) = γ (s), (9.4.2) F (α(s), β(s), γ(s), σ(s), τ (s)) = 0, y además la llamada condición de transversalidad: Fp (α(s), β(s), γ(s), σ(s), τ (s)) Fq (α(s), β(s), γ(s), σ(s), τ (s)) α (s) β (s) (9.4.3) = 0. Con estas condiciones, existe una superficie integral u = ϕ(x, y) tal que: 1.- γ(s) = ϕ(α(s), β(s)), esto es, la curva dato Γ está en la superficie integral. 2.- σ(s) = ϕx (α(s), β(s)). 3.- τ (s) = ϕy (α(s), β(s)). (9.4.4) 9.4. La ecuación no lineal F (x, y, u, ux , uy ) = 0 25 Este teorema no se va a demostrar. A continuación presentaremos una serie de comentarios sobre este resultado. A la curva en R5 dada por {α(s), β(s), γ(s), σ(s), τ (s)} se le llama banda integral. El origen de este nombre es el siguiente: la condición (9.4.3) nos determina un vector (σ(s), τ (s), −1) perpendicular en cada punto, determinado por el valor de s, a la correspondiente tangente a Γ. Estos dos vectores nos determinan un plano tangente a cada punto de Γ que es llamado la escama correspondiente al valor s del parámetro. La banda integral es entonces el conjunto de todas las escamas a lo largo de Γ. La condición |α (s)| + |β (s)| > 0 se impone para que esté bien definida la banda integral. El cálculo de la superficie integral buscada exige el análisis del siguiente sistema no lineal asociado a la edp1 (9.4.1), denominado sistema caracterı́stico: dx dy du dp dq = = =− =− = dt. Fp Fq pFp + qFq Fx + pFu Fy + qFu (9.4.5) Para resolver este sistema (y por tanto la ecuación en derivadas parciales de primer disponemos de dos métodos el de Darboux-Cauchy y el de Lagrange-Charpit. Las solución de este sistema se denominan lı́neas caracterı́sticas. Puede observarse que en particular de que la edp1 se cuasilineal, las tres primeras ecuaciones resultantes de coinciden exactamente con el sistema (9.3.4) o (9.3.5), que permite determinar las caracterı́sticas en el caso cuasilineal. 9.4.1 orden) curvas el caso (9.4.5) curvas Método de Darboux-Cauchy Este procedimiento proporciona una interpretación geométrica muy clara del problema y de su solución, pero exige conocer la solución completa del sistema caracterı́stico (9.4.5), que será un conjunto de cinco funciones de la variable auxiliar t, que representan una banda caracterı́stica, es decir, una curva junto con un plano tangente en cada uno de sus puntos: {x(t), y(t), u(t), p(t), q(t)}. Se han de verificar además las llamadas condiciones de banda. También ahora se puede presentar el problema de Cauchy: encontrar la superficie integral que contiene una cierta curva Γ ≡ {f (s), g(s), h(s)}; para ello lo que se hace es resolver (9.4.5) teniendo en cuenta que la superficie buscada u = u(x, y) ha de contener la curva, obteniéndose la superficie solución en forma paramétrica (x(t, s), y(t, s), u(t, s)). Para ver como funciona este método, lomejor es analizar algún ejemplo. Ejemplo 2: consideremos la siguiente edp1 no lineal ∂u ∂u ∂u ∂u x+ y− = 0. ∂x ∂y ∂x ∂y (9.4.6) Pongámosla en la forma F (x, y, u, p, q) = 0: px + qy − pq = 0. (9.4.7) Queremos encontrar la solución pasando por la curva Γ ≡ {x = α(s) = 0, y = β(s) = s, u = γ(s) = s}, (9.4.8) que es obviamente la bisectriz del plano (y, u). Par determinar si existe una solución única, veamos si existen dos funciones σ(s) y τ (s) satisfaciendo las debidas condiciones (9.4.2)– (9.4.3). En nuestro caso, estas condiciones son: 0 · σ(s) + 1 · τ (s) = 1, (9.4.9) 0 · σ(s) + s τ (s) − σ(s) τ (s) = 0. (9.4.10) 26 Capı́tulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden Estas ecuaciones tienen una única solución que es τ (s) = 1, σ(s) = s. (9.4.11) Tenemos, por consiguiente, una sola banda integral B ≡ (0, s, s, s, 1). (9.4.12) Vamos ahora a comprobar que se verifica la condición de transversalidad (9.4.4). Como Fp = x − q y Fq = y − p, tenemos: −1 0 (9.4.13) 0 1 = −1, lo cual demuestra que la solución está bien definida. Para calcularla consideremos el sistema (9.4.5), que en nuestro caso particular es el siguiente: dt = dx dy du dp dq = = =− =− . x−q y−p px + qy − 2pq p q (9.4.14) Nuestro objetivo es encontrar una solución del tipo: {x = x(s, t), y = y(s, t), u = u(s, t), p = p(s, t), q = q(s, t)} (9.4.15) que satisfaga las siguientes condiciones iniciales: {x(s, 0) = α(t), y(s, 0) = β(s), u(s, 0) = γ(s), p(s, 0) = σ(s), q(s, 0) = τ (s)}. (9.4.16) De esta manera, encontramos una superficie en R5 . Su proyección a R3 mediante sus tres primeras coordenadas nos dará la superficie solución. Esta será: {x = x(s, t), y = y(s, t), u = u(s, t)} (9.4.17) en función de los parámetros s y t. Para encontrarla vamos a integrar el sistema, paso a paso, escribiendo las constantes que surgen en función del parámetro s: dp ⇒ p(s, t) = a(s) e−t , p dq dt = − ⇒ q(s, t) = b(s) e−t , q dt = − p(s, 0) = a(s) = σ(s) = s ⇒ p(s, t) = s e−t . (9.4.18) q(s, 0) = b(s) = τ (s) = 1 ⇒ q(s, t) = e−t . (9.4.19) Estas son las ecuaciones más sencillas de resolver del sistema (9.4.14). Tenemos también dt = dx 1 1 dx ⇒ = x − e−t ⇒ x(s, t) = A(s) et + e−t , x(s, 0) = A(s) + = α(s), x−q dt 2 2 lo que implica que x(s, t) = La ecuación dt = dy y−p 1 −t (e − et ) 2 (9.4.20) se resuelve de una manera similar y da como solución y(s, t) = s −t (e + et ). 2 (9.4.21) 9.4. La ecuación no lineal F (x, y, u, ux , uy ) = 0 27 Resolvamos ahora la ecuación du . px + qy − 2pq Sustituyendo (9.4.18)–(9.4.21) en la ecuación anterior, se obtiene dt = dt = − du . s e−2t (9.4.22) (9.4.23) Integrando resulta s (9.4.24) (1 + e−2t ) 2 Las ecuaciones (9.4.20), (9.4.21) y (9.4.24) nos dan, de forma paramétrica la solución de nuestro problema. Aunque no siempre es posible, en este caso concreto se pueden eliminar los dos parámetros (s, t) entre estas tres ecuaciones, para dar la solución al problema de Cauchy en forma implı́cita, siendo ésta la siguiente: u(s, t) = u2 = y 2 + 2xyu. (9.4.25) Un cálculo sencillo permite demostrar que ésta es efectivamente una solución de la edp1 (9.4.6) y que la curva dato (9.4.8) está contenida en esta superficie. Ejemplo 3: consideremos la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales: F (x, y, u, p, q) ≡ p + q 2 − 2x − 4y 2 = 0. (9.4.26) Queremos encontrar una superficie solución que contenga a la siguiente curva: Γ ≡ {x = α(s) = s, y = β(s) = s, u = γ(s) = 2s2 }. (9.4.27) Calculemos, en primer lugar la banda integral. Las ecuaciones (9.4.2) y (9.4.3) son, en este caso: σ(s) + σ(s) = 4s, σ(s) + τ (s) − 2s − 4s 2 2 = 0. (9.4.28) (9.4.29) Recordemos que hemos substituido p por σ(s) y q por τ (s) en la edp1 (9.4.26). Restando (9.4.28) de (9.4.29), encontramos la siguiente ecuación para τ (s): τ 2 (s) − τ (s) + 2s − 4s2 = 0. (9.4.30) Esta ecuación tiene dos soluciones: τ (s) = 2s y τ (s) = 1 − 2s. A estos dos valores de τ (s) le corresponden dos valores de σ(s), a saber: σ(s) = 2s y σ(s) = 6s − 1, respectivamente. Por lo tanto, en este ejemplo nos encontramos con la existencia de dos bandas integrales (α(s), β(s), γ(s), σ(s), τ (s)), que son en este caso B1 ≡ (s, s, 2s2 , 2s, 2s), (9.4.31) B2 ≡ (s, s, 2s , 6s − 1, 1 − 2s). (9.4.32) 2 Es de esperar que a cada una de estas bandas integrales le corresponda una solución de la edp1 (9.4.26) conteniendo a la curva dato. Para ello es condición suficiente que se verifique la condición de transversalidad. Veamos éste aspecto. Para B1 , tenemos: Fp Fq 1 4s 1 = (9.4.33) α β 1 1 = 1 − 4s = 0, salvo para s = 4 . 28 Capı́tulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden Luego existirá la correspondiente superficie solución siempre que s = 1/4. No se puede garantizar, sin embargo, que el punto de la superficie para s = 14 , que es( 14 , 14 , 18 ), pueda ser considerado de la superficie solución. Lo mismo sucede con la segunda banda integral. En efecto, la condición de transversalidad para B2 dice que: 1 2 − 4s = 4s − 1 = 0, salvo para s = 1 . (9.4.34) 1 1 4 Vemos que, en este caso, existen dos superficies solución conteniendo a la curva dada, salvo un punto. El resto del problema se propone como ejercicio. 9.4.2 Método de Lagrange-Charpit A diferencia del anterior, el método de Lagrange-Charpit sólo requiere conocer una integral primera; la solución que ofrece, en principio, no es tan general como con el procedimiento anterior, pero en la mayorı́a de los casos permitirá también resolver el problema con unas condiciones iniciales dadas (el problema de Cauchy). Consideremos el sistema caracterı́stico (9.4.5) asociado a la edp1: dt = dx dy du dp dq = = =− =− . Fp Fq pFp + qFq Fx + pFu Fy + qFu Supongamos que hemos sido capaces de determinar una integral primera de este sistema, sea G(x, y, u, p, q, ) = a. Consideremos ahora las ecuaciones: F (x, y, u, p, q) = 0, G(x, y, u, p, q) = a, (9.4.35) donde a es una constante arbitraria. Supongamos que F y G son funcionalmente independientes respecto de las variables p y q. Para ello se ha de verificar que el jacobiano ∂(G, F ) = Fp Gq − Fq Gp = 0. ∂(p, q) (9.4.36) Si lo anterior se cumple, en principio será posible despejar p y q del sistema (9.4.35), expresándolas en términos de (x, y, u, a). Hecho esto, consideremos la siguiente ecuación diferencial en diferenciales totales: du = p(x, y, u, a) dx + q(x, y, u, a) dy. (9.4.37) Supongamos que esta ecuación de Pfaff admite una solución de la forma u = ϕ(x, y, a, b). Entonces ∂ϕ ∂ϕ = p, = q, (9.4.38) ∂x ∂y y por consiguiente u = ϕ(x, y, a, b) satisface la ecuación (9.4.1) para todo valor de las constantes a, y b esto es, hemos hallado una familia de soluciones de (9.4.1) dependiente de dos parámetros: se trata por tanto de una solución completa de la edp1. Nos falta demostrar que (9.4.37) es siempre integrable. Para ello vamos a probar que se verifica la condición necesaria y suficiente para la integrabilidad de este tipo de ecuaciones: 9.5. La ecuación de continuidad 29 · rot = 0, siendo X = (p, q, −1). Pero X · rot = −pqu + qpu − (qx − py ), con lo que la X X X condición necesaria y suficiente para la integrabilidad de la ecuación de Pfaff (9.4.37) es py + qpu = qx + pqu . (9.4.39) Para comprobar que se verifica (9.4.39), derivemos con respecto a x y a y las ecuaciones (9.4.35). Como resultado de esta derivación se obtiene: Fx + pFu + Fp (px + ppu ) + Fq (qx + pqu ) = 0, (9.4.40) Gx + pGu + Gp (px + ppu ) + Gq (qx + pqu ) = 0, (9.4.41) Fy + qFu + Fp (py + qpu ) + Fq (qy + qqu ) = 0, (9.4.42) Gy + qGu + Gp (py + qpu ) + Gq (qy + qqu ) = 0. (9.4.43) Multiplicando estas ecuaciones respectivamente por Gp , −Fp , Gq y −Fq y sumando, resulta: (Fp Gq − Fq Gp ) [py + qpu − (qx + pqu )] = (9.4.44) = −(Fx + pFu ) Gp + (Gx + pGu ) Fp − (Fy + qFu ) Gq + (Gy + qGu ) Fq . Diferenciemos ahora la integral primera de (9.4.35) y dividamos el resultado por dt: Gx dx dy du dp dq + Gy + Gu + Gp + Gq = 0. dt dt dt dt dt (9.4.45) En esta última ecuación utilicemos el sistema caracterı́stico (9.4.5), escrito en la forma dy du dp dq dx = Fp , = Fq , = pFp + qFq , − = Fx + pFu , − = Fy + qFu . dt dt dt dt dt Queda lo siguiente Gx Fp + Gy Fq + Gu (pFp + qFq ) − Gp (Fx + pFu ) − Gq (Fy + qFu ) = 0. (9.4.46) Notemos que el miembro de la izquierda de (9.4.46) coincide justamente con el miembro de la izquierda de (9.4.44). Por lo tanto (Fp Gq − Fq Gp ) [py + qpu − (qx + pqu )] = 0. (9.4.47) Como además se verifica (9.4.36), queda finalmente py + qpu − (qx + pqu ) = 0, (9.4.48) que es justamente la condición necesaria y suficiente para la integrabilidad de la ecuación de Pfaff, demostrando ası́ la integrabilidad de (9.4.37). 9.5 La ecuación de continuidad Consideremos un sistema unidimensional representado en la figura siguiente: 30 Capı́tulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden dx x Sea u(x, t) la densidad de “objetos” en el punto x en el instante t y sea j(x, t) el flujo de esos “objetos” en x y en t, es decir, el número de objetos que en t cruzan el punto x por unidad de tiempo. Suponiendo que en dx no se crean ni se destruyen objetos, el número de objetos en dx varı́a con el tiempo debido a los que entran o salen por la izquierda y la derecha. Matemáticamente, ∂ ∂j [u(x, t)dx] = j(x, t) − j(x + dx, t) = − dx ∂t ∂x ⇒ ∂u ∂j + = 0. ∂t ∂x Habitualmente se trata de calcular u(x, t) con una condición inicial u(x, 0) = h(x). Para poder resolver esta ecuación es necesario conocer una relación entre el flujo y la densidad, lo que nos definirá el modelo de sistema que estamos estudiando. En Fı́sica es frecuente usar modelos lineales en los que j ∝ x, lo cual es válido cuando la densidad es pequeña. Sin embargo en ocasiones un modelo lineal no es realista, especialmente a densidades altas, y es necesario estudiar modelos no lineales. Vamos a suponer que los objetos son automóviles y el sistema una carretera. Veamos qué caracterı́sticas debe tener el modelo (relación entre la densidad de coches y su flujo) para que éste sea realista: a) Si no hay coches el flujo debe nulo. b) A medida que la densidad de coches aumenta, el flujo aumentará también; pero si aumenta demasiado, la circulación se hace más problemática y el flujo acabará disminuyendo, hasta que, para una densidad crı́tica, el tráfico se atasca y el flujo será nulo. Este comportamiento cualitativo puede modelarse por la función j(u) = Au(1 − u) = A(u − u2 ), A>0 (9.5.1) que se representa en la gráfica siguiente. 0.3 x*(1-x) x 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 0.25 0.5 0.75 1 9.5. La ecuación de continuidad 31 Con esta elección: ∂j dj ∂u ∂u = = A(1 − 2u) . ∂x du ∂x ∂x Para este modelo, la ecuación de continuidad es ∂u ∂u + A(1 − 2u) = 0. ∂t ∂x Observemos que se trata de una edp1 cuasilineal. Tendremos que añadir una condición inicial (curva dato): u(x, 0) = h(x), Γ ≡ {x = s, t = 0, u = h(s)}. El sistema caracterı́stico es: dt du dx = = = dτ. A(1 − 2u) 1 0 Indicar que dada la presencia del tiempo en la edp1 que estamos analizando, hemos preferido cambiar el nombre del parámetro usado para describir las curvas caracterı́sticas (usualmente t), pasando a designarlo como τ . Para integrar este sistema caracterı́stico hay que tener en cuenta que las dos últimas estan desacopladas, pero no la primera, que depende de u: u = k1 (s), t = τ + k2 (s), dx = A[1 − 2k1 (s)]dτ ⇒ x = A[1 − 2k1 (s)]τ + k3 (s). Para τ = 0 tenemos u = k1 (s) = h(s), Y la solución será: t = k2 (s) = 0, t = τ, x = A[1 − 2h(s)]τ + s, u = h(s), x = k3 (s) = s. u = h(x − A[1 − 2u]t). Esta forma de la solución da muy poca información sobre la evolución temporal (t > 0) del sistema. Para poder entenderla mejor es necesario especificar cuál es la distribución inicial h(x). Supongamos una distribución inicial dada por la función 1 s ≤ 0, 1−s 0 ≤ s ≤ 1, h(s) = 0 s ≥ 1. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 -2 -1 1 2 3 32 Capı́tulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden Sustituyendo ya t por τ , tenemos: x = A[1 − 2h(s)]t + s, u = h(s). Para poder escribir u como función de x y de t es necesario eliminar s, para lo cual hemos de considerar los distintos intervalos de s en la definición de h(s): (a) s ≤ 0 ⇒ h(s) = 1 ⇒ u = 1, x = −At + s, de donde despejando s y teniendo en cuenta que s ≤ 0, resulta: x + At ≤ 0 ⇒ u(x, t) = 1. (b) 0 ≤ s ≤ 1 ⇒ h(s) = 1 − s ⇒ u = 1 − s, x = A(2s − 1)t + s. Despejando s de la segunda relación, sustituyendo en la primera e imponiendo la condición 0 ≤ s ≤ 1, resulta −At ≤ x ≤ 1 + At ⇒ u(x, t) = 1 + At − x . 1 + 2At (c) s ≥ 1 ⇒ h(s) = 0 ⇒ u = 0, x = At + s. Repitiendo el proceso anterior resulta x ≥ 1 + At ⇒ u(x, t) = 0. En definitiva, la solución, como función de x y t es de la forma: 1 si x ≤ −At, 1 + At − x u(x, t) = si −At ≤ x ≤ 1 + At, 1 + 2At 0 si x ≥ 1 + At. Representamos ahora esta solución para el caso concreto A = 1: 1 0.8 0.6 0.4 0.2 -2 -1 1 t=0 2 3 9.6. Problemas 33 1 0.8 0.6 0.4 0.2 -1 -2 1 2 3 2 3 t=1/2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 -1 -2 1 t=1 9.6 Problemas 1. Resuélvase la ecuación ut + fx = 0 con la condición u(x, 0) = φ(x) en los siguientes casos: A(1 − u)u ku f (u) = u2 1 2 u , con φ(x) = x. 2 2. Resuélvanse las ecuaciones diferenciales que siguen con las condiciones iniciales indicadas en cada caso a) ux + ut + 2u = 0, u(x, 0) = sin x. b) xux + ut + tu = 0, c) ux + ut = 0, d) xux + tut + 2u = 0, e) aux + buy + cut + f u = 0, f) ux + ut + tu = 0, g) ux + 2uy + 2u = 0, h) ux + ut = −ku, 1 ux + u t = − , x i) u(x, 0) = f (x). u(x, 0) = cos x. u(x, 1) = sin x. 2 u(x, y, 0) = e−(x +y 2 ) ; a, b, c, f ctes. u(x, 0) = f (x). u(x, y) = f (x, y) sobre la curva y = x. u(x, 0) = φ(x). u(x, 0) = φ(x). 3. Resuélvanse los siguientes sistemas: ∂u1 ∂u2 ∂u1 + + =0 ∂t ∂x ∂x a) ∂u2 + 4 ∂u1 + ∂u2 = 0 ∂t ∂x ∂x u1 (x, 0) = f (x), u2 (x, 0) = g(x). 34 Capı́tulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden b) c) ∂u1 ∂u2 +8 =0 ∂t ∂x ∂u2 + 2 ∂u1 = 0 ∂t ∂x ∂u ∂v − = h1 ∂x ∂y ∂u ∂v − = h2 ∂x ∂y u1 (x, 0) = f (x), u2 (x, 0) = g(x). u(0, y) = f (y), v(0, y) = g(y); h1 , h2 ctes. 4. Resuélvanse las ecuaciones que siguen con las condiciones indicadas. Dibújense las soluciones para diferentes valores de t. 0, x < 0 u(x, 0) = a) ut + uux = 0, x, 0 ≤ x. 0, x < 0 b) ut + u2 ux = 0, u(x, 0) = x, 0 ≤ x. 5. Encuéntrense las superficies integrales que pasan por las curvas que se especifican en cada caso: a) (y − u)ux + (u − x)uy = x − y, b) xux − yuy + u = 0, u(x0 , y) = φ(y), x0 = 0. c) yux − xuy = 1 + u , u = 0, x2 + y 2 = 1. d) yux − xuy = 1 + u , u = 0, xy = 1. e) yux + xuy = u, u = x3 , y = 0. f) xuy = u, u = 0, xy = 1. 2 2 y = 0, u = f (x). g) uux − yuy = 0 h) yux = u, x = 2, u = y. i) xux − yuy = u, y = 1, u = 3x. x = 1, u = f (y). 6. Resuélvanse los siguientes problemas de valores iniciales a) yuux + uy = 0, x = 0, u = y 3 . b) 5xux − 3yuy = 15(u − 5), c) ux + uy + uz = 0, d) xux + 2yuy + 3zuz = 4u, e) ux − 2xuy = 0, f) (x − 1)ux + (y − 2)uy = u − 3, g) ux + uy = u2 , u(x, 0) = h(x). h) yux − xuy = u, u(x, 0) = h(x). i) uy + cux = 0, n xk uxk = αu, u(x, 0) = h(x), c = cte. j) x = 1, u = f (y). x = 0, u = f (y, z). x = 1, u = f (y, z). x = 1, u = y 2 . u(x1 , , xn−1 , 1) = h(x1 , , xn−1 ), α cte. k=1 k) uy + uux = 0, l) uy = xuux , m) xux + yuy + uz = u, n) uy + a(u)ux = 0, ñ) uy + ux = 1, u(x, 0) = h(x). u(x, 0) = x. u(x, y, 0) = h(x, y). u(x, 0) = h(x). x = s, y = s2 , u = s + 1. 7. Elimı́nese la función arbitraria f de la ecuación u = f (xy/u). 8. Hállese la ecuación en derivadas parciales que resulta al eliminar la función arbitraria f en la ecuación u = f (a(x, y)). 9.6. Problemas 35 9. Dada la ecuación a(x, y)wxx +2b(x, y)wxy +c(x, y)wyy = h(x, y, wx , wy ), demuéstrese que es equivalente al sistema a(x, y)ux + b(x, y)vx + b(x, y)uy + c(x, y)vy = h(x, y, u, v) vx − u y = 0. Resuélvase en el caso en el que a = 1, b2 = c (constantes), h = wx + bwy con las condiciones w(0, y) = f (y), wx (0, y) = g(y). 10. Dada la ecuación (x2 + xy) ∂u ∂u − (xy + y 2 ) = (y − x)(2x + 2y + u), ∂x ∂y hállese la superficie integral que pasa por la curva x = 1, u = f (y). 11. Dada la ecuación (y − u) ∂u ∂u + (x − y) = u − x, ∂x ∂y hállese la superficie integral que pasa por la curva y = 1, u = x2 . 12. Dada la ecuación ∂u ∂u + (u − x) = u + y, ∂x ∂y hállese la superficie integral que pasa por el eje x. (y + x) 13. Dada la ecuación (xy − u) ∂u ∂u + (y 2 − 1) = uy − x, ∂x ∂y hállese la superficie integral que pasa por la curva y = 0, x2 − u2 = 1. Hállese ası́mismo la que pasa por u = 0, x2 + y 2 = 1. ux yu x 14. Dada la ecuación uy xu y −1 xy u = 0, hállese la superficie integral que pasa por x = t, y = t, u = 1/t2 . 15. Hállese la ecuación general, en términos finitos, de las superficies tales que si por un punto P cualquiera de una de ellas se traza la normal, y ésta corta al plano (x, y) en el punto N , se tiene que ON = N P . 16. Consideremos el haz biparamétrico u2 = a2 − x2 − (y − b)2 . Obténgase la ecuación diferencial que lo origina. Hállense las cuatro superficies integrales correspondientes a las relaciones a2 = 2b2 , b = 7, a2 − b2 = 1 y a2 = b2 − 1. 17. Dada la ecuación yu dx + xu dy + f (xy) du = 0, hállese la forma más general de la función f para que: (a) tengamos una diferencial exacta; (b) la ecuación sea completamente integrable; Intégrese la ecuación cuando f (xy) = x2 y 2 + xy. 18. Hállense las superficies ortogonales a las curvas del campo vectorial = (u2 , x3 y, −x2 y). F 19. Considérese el conjunto de superficies u = φ(x, y, u, f (ψ(x, y, u))) donde φ, ψ son funciones determinadas y f es arbitraria. 36 Capı́tulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden (a) Demuéstrese que la ecuación diferencial de estas superficies es una ecuación cuasilineal. (b) Demuéstrese que para que la citada ecuación diferencial sea de la forma ψy (x, y, u)p − ψx (x, y, u)q = 0 es necesario y suficiente que la matriz jacobiana ∂(φ, ψ) ∂(x, y, u) tenga rango menor que dos. 20. Compruébese que la teorı́a desarrollada no se aplica, por lo menos directamente, a las ecuaciones (p − q 2 )2 + (x − y)2 + u2 = 0. (p − q 2 )2 + u2 = 0. 2 2 = 0. (p − q ) 21. Obténganse las bandas caracterı́sticas de la ecuación p = q 2 . Calcúlese la superficie integral que pasa por la curva x = 1, y = s, u = s2 usando los dos métodos conocidos: el de Darboux-Cauchy o de las caracterı́sticas y el de Lagrange-Charpit. Calcúlense también las superficies integrales que pasan por las curvas iniciales x=0 y=x y=0 . a) b) c) u=0 u=0 u = x2 22. Calcúlese, usando los métodos de Darboux-Cauchy y de Lagrange-Charpit, la superficie integral de la ecuación pq = xy que pasa por la curva u = x, y = 0. 23. Encuéntrese la superficie integral de la ecuación p + q 2 − 2x − 4y 2 = 0 que pasa por la curva x = t, y = t, z = 2t2 . 24. Dada la ecuación p2 + q 2 = u2 , encuéntrense (a) las superficies integrales que pasen por la lı́nea {x = t, y = 0, u = 1}; (b) las superficies integrales que pasen por la curva {x = cos t, y = sin t, u = 1}. 25. Dada la ecuación en derivadas parciales xp + yq + 1 2 (p + q 2 ) − u = 0, 2 encuéntrese cuántas superficies integrales pasan por la curva u(x, 0) = 1 (1 − x2 ) 2 y calcúlese cuáles son. 26. Dada la ecuación p2 + q 2 = 2(x2 + y 2 ) + 4(x + y + 1) hállese la banda integral que pasa por la escama E 0 = (−1, 0, −3/2, 1, −1). 27. Dada la ecuación p2 + q 2 = f (x, y), que admite como superficie integral u = x2 + y 2 + 7, se considera la banda que es solución del sistema caracterı́stico y pasa por la escama E 0 = (0, 1, 13, 2, 0). Hállese la proyección de la curva que sustenta la banda citada sobre el plano (x, y). 9.6. Problemas 37 28. Hállese la solución de q + p2 x + y = 0 que pasa por la curva Γ = {x = s2 , y = 1, u = s}. Considérese la curva caracterı́stica C que está contenida en la superficie anterior y pasa por el punto (1,1,1). Sabiendo que el punto M = (a, 3, b) pertenece a la curva C, calcúlense a y b. 29. Hállense las superficies integrales de la ecuación p2 − q 2 − 2u = 0 que pasan por la curva Γ = {x = 0, u = (1 + y)2 }. Coméntese la naturaleza de las superficies obtenidas. 30. Dado el punto P = (0, 0, c), hállese la ecuación en derivadas parciales de primer orden de las superficies tales que la intersección de un plano tangente cualquiera con la perpendicular trazada por P al mismo sea un punto del plano (x, y). Demuéstrese que a lo largo de una banda caracterı́stica p y q son constantes y también que las curvas caracterı́sticas son rectas. Por consideraciones puramente geométricas resulta claro que el paraboloide de revolución 4cu = x2 + y 2 es una de las superficies que verifica la condición del enunciado (por otra parte es inmediato comprobar que satisface la ecuación diferencial). ¿Cómo se explica que este paraboloide no esté engendrado por curvas caracterı́sticas? 31. Dada la ecuación p2 + q 2 = 1, estúdiese si existe superficie integral que contenga al arco de hélice x = cos s, y = sin s, u = s; 0 ≤ s ≤ π . 2 32. Elimı́nense las constantes a, b del haz biparamétrico de superficies (x − a)2 + (y − b)2 + u2 = 1, y las constantes m, n de (y − mx − n)2 = (1 + m2 )(1 − u2 ). Compruébese que se obtiene la misma ecuación diferencial (llamada de las superficies tubulares) y explı́quese el por qué de este mismo resultado. Partiendo de√la primera integral completa, hállense las superficies integrales que pasan por la √curva {x2 + √ √ √ √ y 2 = 14 , u = 23 } y escama ( 12 , 0, 23 , 33 , 0), y por la curva {y = u = 22 } y escama (0, 22 , 22 , 0, −1). Hállense las mismas superficies partiendo de la segunda integral completa. 33. Hállese una integral completa de la ecuación p = (qy + u)2 . 34. Dada la ecuación pq = 4xyu, compruébese que la función u = (x2 + a)(y 2 + b) es una integral completa. Hállese la envolvente de la familia uniparamétrica de superficies que se obtiene al hacer a = b y compruébese que también es una solución. 35. Dada la ecuación de los rayos de luz en un medio bidimensional homogéneo p2 + q 2 = 1, (a) hállese una curva caracterı́stica que pase por los puntos (0, 0, 0) y (3, 4, ξ), siendo ξ un número real; (b) hállese una curva caracterı́stica que pase por los puntos (0, 0, 13) y (3, 4, η), siendo η un número real; (c) explı́quese la relación entre los dos resultados anteriores. 36. Dada la ecuación p2 + q 2 = f (x, y) y el paraboloide 2u = (x − 3)2 + (y − 3)2 que es una superficie integral de ella, se considera la escama E 0 = (x0 , y0 , u0 , p0 , q0 ) perteneciente al paraboloide y tal que x0 = y0 = 1. 38 Capı́tulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden (a) Defı́nase la banda que pasa por E0 y es solución del sistema caracterı́stico. (b) Explı́quese la posición relativa de la banda respecto del paraboloide. 37. Dada la ecuación p2 + q 2 = 1 y la curva Γ = {y = 1, u2 = x2 + 1}, (a) hállese la superficie integral S que pasa por Γ; (b) sabiendo que los puntos P = (3/4, 1, 5/4) ∈ Γ y Q = (a, b, 10) están en una misma curva caracterı́stica C contenida en S, determı́nense los valores de a y b; (c) determı́nese el valor numérico de µ sabiendo que el punto M = (a, b, µ) está en la curva caracterı́stica que pasa por la escama E 0 = (3/4, 1, 6, 3/5, q). 9.7 Bibliografı́a 1. Broman, A, Introduction to Partial Differential Equations from Fourier Series to Boundary-value Problems, Addison-Wesley, 1970. 2. Castro Figueroa, A.R., Curso básico de ecuaciones en derivadas parciales, Addison Wesley Iberoamericana, 1997. 3. Elsgoltz, L., Ecuaciones diferenciales y cálculo variacional , MIR, 1969. 4. Evans, L.C., Partial Differential Equations, Graduate studies in Mathematics, Vol 19, American Mathematical Society, 1998. 5. John, F., Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 1986. 6. López, G., Partial Differential Equations of First Order and Their Applications to Physics, World Scientific, 1999. 7. Puig-Adam, P., Ecuaciones diferenciales, Nuevas Gráficas, 1962. 8. Sneddon, I. N., Elements of Partial Differental Equations, McGraw-Hill, 1957. 9. Zwillinger, D., Handbook of Differential Equations, Academic Press, 1992.