FORMULAS BASICAS — NUMEROS COMPLEJOS • i = √ −1, y se

FORMULAS BASICAS — NUMEROS COMPLEJOS • i = √ −1, y se

FORMULAS BASICAS — NUMEROS COMPLEJOS
• i=
√
−1, y se llama unidad imaginaria.
• Un número complejo tiene la forma a+bi, donde a, b ∈ R. a se llama parte
real de z y se escribe a = Re(z), y b se llama parte imaginaria: b = Im(z).
OBSERVACION: a y b son números reales.
• El conjugado del número complejo z = a+bi, es z = a−bi. Análogamente,
a − bi = a + bi.
• El módulo
del número complejo z = a + bi, es el número real positivo
√
|z| = a2 + b2 .
• El argumento número
¡ ¢complejo z = a + bi, es el número real Arg(z) = α
dado por α = arctg ab y teniendo en cuenta la regla de los signos, esto es
que sig(cos α) = sig(a), y sig(sen α) = sig(b). La única determinación del
ángulo α en radianes en el intervalo (−π, π] se llama argumento principal
de z.
Formas de escribir un número complejo
• Forma binómica z = a + bi.
• Forma cartesiana z = (a, b).
• Forma polar z = rα , con r = |z| y α = Arg(z).
• Forma trigonométrica z = r (cos(α) + i sen(α)).
• Forma exponencial z = r · eαi
Operaciones básicas
• Suma y resta: Si z = a+bi y w = c+di, entonces z +w = (a+c)+(b+d)i;
y z − w = (a − c) + (b − d)i.
• Producto y cociente: z · w = (a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i;
a + bi
(a + bi)(c − di)
(ac + bd) + (bc − ad)i
z
=
=
=
w
c + di
(c + di)(c − di)
c2 + d2
• Producto y cociente en forma
µ ¶polar: Si z = rα y w = ρβ , entonces
rα
r
z
=
=
z · w = rρα+β ; y
w
ρβ
ρ α−β
1
n
n
.
• Potencia de exponente número natural: z n = (rα ) = rnα
• Raı́z n-ésima
n √ de un número complejo: Sonon números complejos:
√
n
n r
r α+2kπ , con k = 0, 1, . . . , n − 1
α =
n
• Exponencial de base el número e. Si z = a + bi, entonces ea+bi = ea · ebi =
(ea )b , es decir el número complejo de módulo ea y argumento b.
• Logaritmo neperiano complejo: Si z = a + bi, entonces
ln(z) = ln(|z|) + (Arg(z) + 2kπ) i, con k ∈ Z.
• Potencia de base y exponente complejo. Si Si z = a + bi y w = c +
di, entonces para calcular z w , primero se toman logaritmos neperianos y
despues se usa la exponencial compleja:
ln z w = w ln z ⇒ z w = ew ln z
• Logaritmo de base cualquiera. Se calcula pasándolo a ln: logz (w) =
Fórmulas de Euler
• eπi + 1 = 0 y, en general eαi = cos(α) + i sen(α).
• Para todo número complejo z se verifica:
ezi + e−zi
ezi − e−zi
; cos z =
sen z =
2i
2
2
ln w
ln z