EJERCICIOS DESARROLLADOS. LIBRO MECÁNICA VECTORIAL

Transcripción

DINÁMICA
EJERCICIOS DESARROLLADOS. LIBRO MECÁNICA VECTORIAL DE
DINÁMICA POR SHAMES IRVING 4ta Edición.
2da PRÁCTICA CALIFICADA
GRUPO Nº 6
22/07/2013
2da Práctica Calificada
DINÁMICA (IC – 244)
UNIVERSIDAD NACIONAL DE
SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA
__________________________________
FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS,
GEOLOGÍA Y CIVIL
“ E sc uela d e F o r mación P r o fesional d e I ng e ni ería C i v i l ”
PRÁCTICA CALIFICADA Nº 02
“DESARROLLO DE EJERCICIOS DE CINÉTICA”
LIBRO MECÁNICA VECTORIAL DE DINÁMICA POR
SHAMES IRVING 4ta Edición
CURSO
: DINÁMICA
SIGLA
: IC- 244
CICLO ACADÉMICO
: 2012-II
GRUPO
: N° 06 (SHAMES 4ta Edición)
DOCENTE
: Ing. CASTRO PEREZ, Cristian.
INTEGRANTES
:- AGUILAR HUICHO, Edgar.
- GARCIA RAMOS, Wilson Luis.
- ORÉ MENDOZA, John. - I - SULCA SANTIAGO, Emerson.
FECHA
: Ayacucho, Julio del 2013
Ayacucho – Perú
2013
1
2
INDICE
Cinética de Leyes de Newton de una Partícula.
…..…………………4
Cinética de Trabajo y Energía de una Partícula.
..………..................8
Cinética de Cantidad de Movimiento de una Partícula.
..…………….........16
Cinética de Leyes de Newton de un Cuerpo Rígido.
…..………..….......20
Cinética de Trabajo y Energía de un Cuerpo Rígido.
..……..……..........24
Cinética de Cantidad de Movimiento de un Cuerpo Rígido.
.....……………......28
3
Cinética de Leyes de Newton de una Partícula
12.120. Un esquiador esta bajando por una colina a una velocidad de 14m/s mientras
está en la posición que se muestra. Si el esquiador pesa 800N ¿Qué fuerza total
ejercen sus esquis sobre la superfcie de la nieve? Suponer que el coeficiente de
rozamiento es de 0.1. La colina se puede considerar como una superficie parabólica.
Solución
Datos:
14 m
V
s
W 800 N
m 81 .55 kg
y
Ecuación:
K 15 2
6
y
K
Kx 2
2
75
2 2
x
75
Hallando: Radio de Curvatura:
4
2
[1 ( y ) ]
y
1
4
x
75
3
2
2
3
2
4
75
Para x = 15
39 .38 m
Para las fuerzas normales a la superficie:
ac
ac
14 2
39 .38
FN
4.977 m
v2
s2
ma c
FN
(81 .55)(4.977 )
FN
405 .87 N
Además para saber el ángulo:
tg
dy
dx
4
x
75
Para x = 15
Arctg
4 15
75
FN
38 .66 º
w cos
405 .87
1030 .56 N
Además Fr:
FN
ma r
V : cte
5
Fr
Wsen
ar
4.86
Fr
2
F
0.1(1030 .56) 800 ( sen(38 .66 º ))
Fr
2
u
81 .55 ar
103 .056
1035 .6 N
12.139. Una masa de 3kg se está moviendo a lo largo de una varilla vertical parabólica
cuya ecuación es y = 3.4x2 un muelle lineal con K = 550N/m está conectado a la masa
y no presneta deformación cuando la masa está en su posicin mas baja teniendo en
ese momento una longitud t0 = 1. Cuando la directriz del muelle está a 30º de la
vertical, como se muestra en el diagrama, la masa se esta moviendo a 2.8m/s. En ese
instante. ¿Cuál es la componente de la fuerza sobre la varilla en la dirección
perpendicular a la misma?
Solución
Datos:
K
550 N
M
3kg
2.8 m
V
m
s
En la ecuación:
1
L f cos 30 º
3.4( L f sen30 º ) 2
6
L f 0.689 m
x 1 0.689 0.3111m
Hallando radio de Curvatura:
[1 ( y ) 2 ]
y
3
2
[1 (2 3.4 x) 2 ]
2 3.4
3
2
Para x = 0.3445
2.43 m
Fuerza Normal:
FN
FN
FN
ma c
2.8
3
2.43
9.679 N
2
Además para saber el ángulo θ:
tg
dy
dx
6 .8 x
Para x = 0.3445
Arctg (6.8 0.3445 )
66.88º
FN
mg cos
FR cos(66 .88 º 30 º )
9.679 N
Donde:
FR
x K
0.3111 550 171.105
Reemplazando:
3 9.81 cos(66 .88 º ) 171 .105 cos(36 .88 º )
9.679
115 .63 N
7
Cinética de Trabajo y Energía de una Partícula
13.48. Un cojinete A de 15kg de masa desliza sin rozamiento por un tubo. El cojinete
está conectado a un muelle lineal cuya constante K vale 1N/mm. Si el cojinete,
inicialmente en reposo, se suelta en la posición que se muestra. ¿Cuál será su
velocidad cuando el muelle este en la posición EF? En la posición inicial del cojinete el
muelle esta alargado 75mm.
Solución
Datos:
K
1N
K
1N 1000 mm
.
1000 N
m
mm
1m
mm
m 15 kg
Lf
300 2 150 2
i 75mm
335 .41mm
L 335 .41 75 260 .41mm (longitud sin elongación)
LE 300 mm
300 260 .41 39.6mm
E
Planteando Ecuación de Energía:
8
EOC EOG
0 mg (0.15)
15 9.81(0.15)
1.79 m
V
E
EE
EOE E1C E1G E1E
1
K ( i) 2
2
1
1000 (0.075 ) 2
2
1
mV 2 0
2
1
15 V 2
2
1
( K )( E ) 2
2
1
(1000 )(0.0396 ) 2
2
s
13.50. Un cojinete A con una de 5kg puede deslizar por un tubo sin rozamiento. Si se
suelta, partiendo del reposo, en la posición que se muestra, en la que el muelle no
presenta deformación, ¿Qué velocidad tendrá el cojinete después de haber recorrido
50mm? La constante del muelle es de 2N/m.
Solución
Datos:
K
2N
mm
2000 N
m
m 5kg
9
Por Ley de Cosenos:
x
299 .13 200
29.13mm
Planteando Ecuación de Energía:
EC
EE
0 mgh
5 9.81(0.025 )
V
0.39 m
EA
EG
EA
EC EE
1
mV 2
2
1
(5) V 2
2
1
( K )( x) 2
2
EG
0
1
(2000 )(0.02913 ) 2
2
s
13.70. Se dispara un proyectil de peso W 1N contra un bloque de madera que pesa
W 2N. El proyectil se aloja en la madera y ambos cuerpos se mueven hasta la posición
indicada en el diagrama mediante línea discontinua antes de volver a caer. Calcular la
cantidad de trabajo interno realizado durante esta acción. Discutir los efectos de este
trabajo. El proyectil tiene una velocidad V0 antes de impactar contra el bloque.
Desestimar la masa de la barra de soporte y el rozamiento de A.
10
Solución
W 1: Proyectil.
W 2: Bloque.
3 3 cos 64.45º
1.708
P.C.C.M:
W1.V0
V (W1
Vi
W2 )
V0W1
W1 W2
Planteando por Conservación de Energía:
EC1
EP1
1 (W1 W2 ) 2
.
.Vi
2
g
Vi
Vi
EC 2
EP 2
(W1 W2 )(1.708 )
2 g (1.708 )
5.8
W
5.8(W1 W2 )
1
W1V02
2
13.78. Un péndulo tiene un peso con un disco uniforme comparativamente grande de
0.6m de diámetro y una masa M de 1.5kg. En el instante que se muestra, el sistema
tiene una velocidad angular ω de 0.3rad/s. Si despreciamos la masa de la barra. ¿Cuál
es la energía cinética del péndulo en ese instante? ¿Cuál es el error en el que
incurrimos si consideramos el peso como una partícula, tal como hemos hecho
anteriormente con otros péndulos? Utilizar el resultado del problema 13.76.
11
Solución
Datos:
r
0.3m
M
1.5kg
Ec
1
I
2
2
I
1
mR 2
2
a)
EC
1 1
(1.5)(0.3) 2 (1.5)(1.5) 2 (0.3) 2
2 2
EC 0.1549 J
b) Error:
ECrotacionpa rticula
ECR . P
1
mV 2
2
1
(1.5)(0.3 1.5) 2
2
0.1519 J
Error
E 0.1549
E 0.3%
0.1519
12
13.99. Partiendo del reposo, un cuerpo A se suelta cobre una superficie circular sin
rozamiento. A continuación el cuerpo se mueve sobe una superficie horizontal CD
cuyo coeficiente de rozamiento dinámico con el cuerpo es de 0.2. Un muelle cuya
constante K = 900N/m esta colocado en C como se muestra en el diagrama. ¿Cuánto
se comprimirá el muelle? El cuerpo tiene una masa de 5kg.
Solución
Datos:
K
900 N
m
5kg
m
Hallando velocidad de la masa en el punto D.
VD
2 gh
2(9.81)7 11 .72 m
s
Conservación de energía en el tramo CD.
ED
1
2
mV D
2
0
EC
1
K ( x) 2
2
w fr
( fr) (10
x)
Donde:
Fr uN 0.2(mg)
1
2
mV D
2
1
K ( x) 2
2
0.2(m)( g ) (10
x)
13
1
(5)(11 .72 ) 2
2
1
900 ( x) 2
2
0.2(5)(9.81) (10
x)
Resolviendo:
x 0.727 m
13.120. Un collar desliza sin rozamiento por un tubo como se muestra. El muelle no
presenta deformación cuando esta en posición horizontal y tiene una constante de
180N/m. ¿Cuál es la masa mínima que debe tener A para justo alcanzar A´ si se suelta
partiendo del reposo y en la posición que se muestra en el diagrama? ¿Cual será la
fuerza sobre el tubo cuando A ha recorrido la mitad de la distancia hasta A´?
Solución
Datos:
K 180 N
m
m ?
c
1.42 0.62
c 1.523
a) Planteando Ecuación de Energía:
14
EO
mgh
m(9.81)(0.6)
EA
1
K ( x) 2
2
1
(180 )(1.523 0.8) 2
2
m 7.99 kg mínima masa
b) cuando recorre una distancia AA´/2:
Por ley de senos
Energía:
mg (0.6 sen45 º )
(7.99 )(9.81)(0.6 sen45 º )
V
2 .6 m
1
1
K ( x) 2
mV 2
2
2
1
180 (1.064 0.8) 2
2
1
(7.99 )V 2
2
s
Luego
FN
FN
FN
FN
ma C
(2.6) 2
7.99
0.6
90.02 N
90 .02
Fr sen(21.5) mg(sen45º ) 90.02
161 .84 N
15
Cinética de Cantidad de Movimiento de una Partícula
14.56. Los cilindros A y B deslizan sin rozamiento a lo largo de una barra. El cilindro A,
inicialmente en reposo y de forma que el muelle K1 al que está conectado está
inicialmente no deformado, se suelta. El impacto con el cilindro B tiene un coeficiente
de restitución e igual a 0.8. Antes del impacto el cilindro B esta en reposo y esta
soportado en la posición que se muestra por el muelle K2. Suponer que los muelles no
tienen masa.
a) ¿Cuánto se comprimirá el muelle inferior?
b) ¿Cuánto descenderá el cilindro B después del impacto antes de alcanzar su
posición mas baja?
Solución
Datos:
WA
500 N
WB
800 N
K1 1000 N
K2
e
1100 N
m
m
0 .8
16
a)
xK WB sen45º
x
800
2
.
1100 2
x 0.051m
Se comprime 51mm inicialmente
b) Cuando A apenas impacta a “B”
EOA
mgh
E1 A
1
K ( x) 2
2
1
mV 2
2
1
1000 (0.8) 2
2
( )VAi 3.313 m
s
500 (0.8) cos 45 º
mgh
1 (500 ) 2
.V1i
2 9.81
Para ecuaciones de choque: P.C.C.M
mA .VAi
mB .VBi
mA .VAf
mB .VBf
500 (3.313 ) 500VAf
16.565
5VAf
;
VBi
0
800VBf
8VBf ...................(I )
Además.
e
VBf
VA
VB
VAf
VBf VAf
VBi VAi
0.8
2.6504 ..................(II )
0.357 m ( )
s
2.293 m ( )
s
Luego aplicando Ecuación de Energía:
17
EC
EG
EB
E
EB
EC
EG
E
1
1
1
mBVBf2 mg ( )
K 2 (0.051) 2 0 0
K 2 (0.051
2 )2
2
2
2
1 (800 )
1
1
(2.293 ) 2 800 ( )
1100 (0.051) 2
(1100 )(0.051
2 )2
2 9.81
2
2
0.14 m
2
(desciende)
0.198 m (compresión )
14.57. La masa A y B deslizan sin rozamiento a lo largo de una barra. El muelle, que
en su configuración libre tiene 0.8m de longitud, esta comprimido hasta la posición que
se muestra. El sistema, que inicialmente esta en reposo, se suelta A y B realizando un
impacto plástico. El muelle no tiene masa.
a) ¿Cuál será la velocidad de las masas después de que B recorra 0.2m?
b) ¿Cuál será la perdida de energía mecánica del sistema?
Solución
Datos:
MA
2kg
MB
1kg
K
1000 N
Li
0.8m
m
18
xi
0.8 0.3 0.5m
Impacto Plástico o Inelástico (e = 0)
Hallando la velocidad para A (inicial)
1
K ( x) 2
2
0
0
0 0
1000 (0.5) 2
V Ai
11 .18 m
1
mV 2
2
2V 2
s
Como el impacto es plástico:
VAf
VBf
Ambos llevan la misma velocidad
P.C.C.M:
VAimA VBimB
VAf mA VBf mB
11.18(2) V f (2 1)
a)
Vf
7.45 m
s
b) Pérdida de Energía
E
1
MV 2
2
E
E
Ef
1
(2 1)(7.45) 2
2
Ei
1
mAVA2
2
1
(2)(11 .18) 2
2
E 83.25 124 .99
Pérdida de Energía
41.74 J
19
Cinética de Leyes de Newton de un Cuerpo Rígido
16.80. Una barra AB, inicialmente en reposo, de 3m de longitud y un peso de 445N se
muestra inmediatamente después de haberse soltado. Calcular la fuerza de tracción
en los cables EA y DB en ese instante.
Solución
Torque en el CIR:
I
445 (
3 3
)
4
1
( ml 2
12
mb 2 )
20
Donde:
15 2
b
(3 3 ) 2
5.4
3 3
445 (
)
4
2
3
445 (
5.42 )
12
0.426 rad 2
s
Torque en A:
A
445 (
T2
3 3
) T2 (3)
4
IA
1 445 2
(
)3 (0.426 )
3 9.81
246.01 N
Torque en B:
B
T1 (3 cos 30 º ) 445 (3
T1
IB
cos 30 º
)
2
1 445 2
(
)3 (0.426 )
3 9.81
201.81 N
16.81. La barrara AB se suelta en la configuración que se muestra. ¿Cuáles serán las
fuerzas de soporte en ese instante si despreciamos el rozamiento? La barra pesa
900N y tiene 6m de longitud.
21
Solución
W
900 N
Mediante ley de senos:
Luego, haciendo torque en C.I.R
I
900 ( 3 cos 15 º 4.3923 cos 45 º )
(
1
ml 2
12
md 2 )
Reemplazando valores:
22
900 (0.208 )
900 6
(
9.81 12
0.113 rad
3.8879 2 )
s2
Torque respecto a B:
B
IB
900 (3 cos 15 º ) FA (6 cos 30 º )
FA
1 900 2
(
)6
3 9.81
209.038 N
Torque respecto a A:
A
IA
6 FB (cos 45 º ) 900 (3 cos 15 º )
FB
1 900 2
(
)6
3 9.81
874.2 N
23
Cinética de Trabajo y Energía de un Cuerpo Rígido
17.5. Considerar que la biela AB es una barra delgada de 1kg de masa, y calcular la
energía cinética para los datos que se dan.
Solución
3000
rad 1 min
.
min 60 s
Hallando VB:
50 rad
s
VB
50 0.075
3.75 m
s
24
VB
3.75
(0.4308)
(0.4308 )
8.705 rad
s
VA
VA
8.705 0.438
Luego por cinética:
3.81 m

VCG
r
s


VB VCG A

VCG
50 kˆ (0.075 cos 30 º iˆ 0.075 sen30 º ˆj )
0.225
8.705 kˆ (
)( cos(73 .22 º )iˆ sen(73 .22 º ) ˆj )
2

VCG
0.937 iˆ 3.53 ˆj
VCG 3.65 m
s
EC (Energía Cinética de la barra)
1
1 2
mV 2
I
2
2
1
1 1
EC AB
(1)(3.65) 2
( (1)(0.225 2 ).(8.705 ) 2
2
2 12
6.82 J
EC AB
ECAB
25
17.6. Dos bielas idénticas CB y AB están articulada entre si en el punto B. La biela B
esta articulada con el bloque D que pesa 225N. Cada biela tiene 600mm de longitud y
pesa 45N. La biela BA gira en sentido opuesto al de las agujas del reloj con una
velocidad angular constante w de 3rad/s. Calcular la energía cinética del sistema
cando BA este orientada (a) formando un anulo de 60º con la vertical y (b) formando
un ángulo de 90º con la vertical (esta ultima posición se muestra en el diagrama con
línea discontinua).
Solución
Datos:
WD
225
WBarras 45 N (c u )
3 rad
VCGAB
BC

VCG BC
s
3.0(0.3) 0.9 m
3 rad
s
s
3kˆ ( 0.6sen iˆ 0.6 cos ˆj )
3kˆ ( 0.3sen iˆ 0.3 cos ˆj )

VCGBC
2.7 cos iˆ
0.6sen ˆj

VC
3kˆ (0.6 cos ˆj )
3kˆ ( 0.6 cos ˆj )
26
3.6 cos iˆ
VC
a) Para θ =60º
VCG AB
0.9 m
VCGBC
1.56 m
VC
1.8 m
s
s
s
1
1
1
1
2
2
EC
mV AB
mV BC
I AB 2 I BC 2
MVC2
2
2
2
2
1 45
1 45
1 45
1 225
EC 60 º
(0.9) 2
(1.56 ) 2
(0.6) 2 (3) 2
(1.8) 2
2 9.81
2 9.81
12 9.81
2 9.81
EC
45.83 J
60 º
b) Para θ =90º
VCG AB
0.9 m
VCGBC
0 .9 m
VC
s
0
EC
EC
s
90 º
90 º
2 1 45
1 45
(0.9)2
(0.6)2 (3)2
2 9.81
12 9.81
4.95 J
27
Cinética de Cantidad de Movimiento de un Cuerpo Rígido
17.83. Un cilindro escalonado tiene 50kg de masa y un radio de giro de 1.2. Un boque
A de 25kg esta soldado al cilindro. Si en la configuración que se muestra el muelle no
presenta deformación y si constante K es de 0.1N/mm. ¿Cuál será la velocidad
angular del cilindro después de girar 90º? Suponer que el cilindro rueda sin deslizar.
Solución
Datos:
mA
25 kg
mC
50 kg
1.2m
K
100 N
m
C
(0.45) FR ( x) 25( g )(1.5 0.3)
I
1
( mC
2
2
IA
mAd 2 )
28
100 (
1
1
1.5) 25(9.81)(1.8) ( (50 )(1.2) 2
(25)(0.62 1.22 ) mA (1.8) 2 )
2
2
12
2.78 rad 2
s
t
Si t = 0
;

c...................(I )
.dt
ω =0
t
d
2
t
t
(1.5)
VO t
1
(
2
1 2
at
2
1.5)t 2
2.78
1.063 s
( 2.78)(1.063 )
2.96 rad
s
17.83. Un cilindro A de 150N de peso y un radio de giro de 100mm se coloca sobre
una cinta transportadora que se esta moviendo con una velocidad constante VB =
10m/s. Hallar la velocidad deleje del cilindro para el instante t = 5s. El coeficiente de
rozamiento entre el cilindro y la cinta es de 0.5.
29
Solución
Datos:
W 150 N

T 0.1m
V
10 m
t
5s
VO
s
10 m
s
t
F dt
0
mV f
mV f
En dirección x:
Fr
0.5W cos30º
Conservación de Energía:
EO
1
mV O2
2
150
(10) 2
9.81
1
I
2
2
O
EF
2
mg ( h)
2
Pérdida
1
mV F2
2
1 150
10 2
(0.1) 2
8 9.81
0.25
150 2
V
9.81
1
2
2
F
FrA x
2
2(150 )( xsen30 º )
1 150
2V
(0.1) 2
2 9.81
0.25
2
1
3
(150 )( ) x
2
2
Resolviendo:
85.048 x 2018 .35
20.18V 2 ...............(I )
30
Para t = 5s
x
x
VO
V
2
.t
5 V
5
2
Reemplazando en (I)
V
18 .7 m
s
31

EJERCICIOS DESARROLLADOS. LIBRO MECÁNICA VECTORIAL

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