Identificación de las propiedades de los cuadriláteros Cuadrilátero

Identificación de las propiedades de los cuadriláteros Cuadrilátero

Identificación de las propiedades de los cuadriláteros
Cuadrilátero. Es un polígono de
cuatro lados. Se le representa con
sus cuatro vértices.
Características
Dado este cuadrilátero ABCD, se
tiene:
Clasificación.
Los cuadriláteros se pueden dividir
de acuerdo a las siguientes
características:
Trapecio. Cuadrilátero que tiene dos
lados opuestos paralelos.
Lados. Posee 4 lados que son
̅̅̅̅,
representados por los segmentos: 𝐴𝐵
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
𝐵𝐶 , 𝐶𝐷 y 𝐷𝐴.
Vértice. Posee 4 vértices, a saber: ∠𝐴,
∠𝐵, ∠𝐶 y ∠𝐷.
Lados opuestos. Son los lados no
adyacentes:
̅̅̅̅
𝐴𝐵 con ̅̅̅̅
𝐶𝐷
̅̅̅̅
𝐵𝐶 con ̅̅̅̅
𝐷𝐴
Lados adyacentes. Lados que comparten
un mismo ángulo.
Rectángulo. Cuadrilátero que tiene 4
ángulos rectos y sus lados opuestos
iguales.
Además se tiene que la diagonal de
un cuadrilátero es el segmento que
une dos vértices opuestos. Dibuja
en la figura las dos diagonales ̅̅̅̅
𝐴𝐶 y
̅̅̅̅.
𝐷𝐵
Trapezoide. Cuadrilátero que
ningún lado de los 4 es igual.
Cuadrado. Cuadrilátero que tiene 4 lados
iguales y sus ángulos rectos.
Propiedades:
* En un paralelogramo sus
diagonales se bisecan
mutuamente.
* El cuadrado, el rectángulo y el
Rombo. Cuadrilátero con sus 4 lados
Paralelogramo. Cuadrilátero que
rombo son paralelogramos.
iguales.
tiene sus dos pares de lados
* En un paralelogramo dos ángulos
opuestos paralelos.
consecutivos son suplementarios.
* En un paralelogramo los ángulos
opuestos son iguales.
* La suma de los ángulos internos
de un cuadrilátero es de 360°.
Cálculo de perímetro y área
Perímetro. Es la distancia alrededor de una figura
Área. El área de una figura plana es la extensión de la figura
bidimensional.
plana, medida en unidades cuadradas de longitud. La unidad SI
de área es el metro cuadrado (m2), que es el área de un
Ejemplo: el perímetro de este rectángulo es:
cuadrado cuyos lados miden 1 metro.
a+b+a+b = 2(a+b)= 2a+2b.
El perímetro de un círculo se llama circunferencia.
1
Fórmulas para el cálculo de perímetro y área.
Ejercicios
a) En el siguiente paralelogramo 𝑚∠𝐴𝐶𝐷 = 4°,
̅̅̅̅ , 𝐸𝐷
̅̅̅̅ y 𝑚∠𝐶𝐷𝐵
halla 𝐶𝐷
A
74
31
E
C
b)
B
D
En el siguiente paralelogramo determina las
variables:
7x
6x+y
10y-1
5x+19
c)
d)
Calcula el número de ladrillos cuadrados que
hay en un salón rectangular de 6 m de largo y
4.5 m de ancho si cada ladrillo mide 30 cm de
lado.
Determina la cantidad de pintura necesaria
para pintar la fachada de esta granja, sabiendo
que se gastan 0.8 kg de pintura por cada metro
cuadrado.
2 cm
11 cm
2 cm
2
5 cm
10 cm
8 cm
Procedimiento
Respuesta
Identificación de las propiedades de los polígonos de más de cuatro lados.
Polígono. Figura cerrada limitada por una
cantidad finita de segmentos. Estos
segmentos se llaman lados del polígono y
los puntos donde dos de ellos coinciden
son sus ángulos.
Clasificación.

Por sus lados

Por sus ángulos

Por la relación entre sus lados y ángulos
Por sus lados. Por el número de sus lados se
subdividen en:
No. De lados
Nombre
Tres
Triángulo
Cuatro
Cuadrilátero
Cinco
Pentágono
Seis
Hexágono
Por sus ángulos. Se debe a sus ángulos
internos que poseen:
Por la relación entre sus lados y ángulos:
Convexo. Donde
cada ángulo
interno es
obtuso.
𝑚∠𝐴, 𝑚∠𝐵,
𝑚∠𝐶, 𝑚∠𝐷,
𝑚∠𝐸 < 180°
Cóncavo. Tiene
uno o más
ángulos internos
mayores a 180°
𝑚∠𝐸𝐷𝐶 > 180°
3
Irregular. Tienen
sus lados y ángulos
diferentes.
̅̅̅̅
̅̅̅̅
𝐴𝐵 ≠ ̅̅̅̅
𝐵𝐶 ≠ ̅̅̅̅
𝐶𝐷 ≠ ̅̅̅̅
𝐷𝐸 ≠ 𝐷𝐴
𝑚∠𝐴 ≠ 𝑚∠𝐵 ≠ 𝑚∠𝐶 ≠ 𝑚∠𝐷 ≠ 𝑚∠𝐸
Regular. Tienen sus
lados y ángulos
iguales.
̅̅̅̅ = 𝐵𝐶
̅̅̅̅ = 𝐶𝐷
̅̅̅̅ = 𝐷𝐸
̅̅̅̅
̅̅̅̅ = 𝐷𝐴
𝐴𝐵
𝑚∠𝐴 = 𝑚∠𝐵 = 𝑚∠𝐶 = 𝑚∠𝐷 = 𝑚∠𝐸
Siete
Ocho
Nueve
Diez
Once
Doce
Trece
Catorce
Quince
Veinte
Heptágono
Octágono
Eneágono
Decágono
Undecágono
Dodecágono
Tridecágono
Tetradecágono
Pentadecágono
Icoságono
Elementos asociados a polígonos regulares:
Diagonal. Segmento de recta que une 2
vértices no consecutivos del polígono. (d)
̅̅̅̅
𝑬𝑩
RADIO. Segmento de recta que une el
centro del polígono con uno de sus
vértices. (r)
̅̅̅̅̅
𝑶𝑫
Apotema. Segmento de recta
perpendicular que va del centro del
polígono a uno de sus lados. (a)
̅̅̅̅
𝑶𝑮
Ángulo central. Es el ángulo formado por
dos radios del polígono. (𝜶)
∠𝑫𝑶𝑪
Ángulo interior. Es el ángulo formado por
dos lados del polígono. ( 𝜷)
∠𝑬𝑨𝑩
Ángulo exterior. Es el ángulo formado
por un lado y por la prolongación de su
lado adyacente en un polígono. (𝜸)
∠𝑨𝑩𝑭
4
Ejercicios:
Finalidad. Determinar el área de poligonos irregulares con el
método de DESCOMPOSICIÓN EN TRIÁNGULOS O
TRIANGULACIÓN.
Consiste. En dividir el polígono en diferentes triángulos
conocidos para determinar el área de cada uno y así, al
sumarlos, obtener el área total del polígono. Esta división se
hace mediante líneas.
¿De cuántas formas se hará la división?
Cuando se realiza la triangulación de un polígono de n lados
desde un solo vértice con el uso de diagonales, la cantidad de
triángulos divisores es de n-2.
Finalidad. Determinar el área de poligonos
irregulares con el empleo de DIAGONALES.
¿Cómo determinar el # de diagonales?
Cuando se realiza el trazo de diagonales de
un POLÍGONO REGULAR de n lados desde
un solo vértice o las diagonales totales que
se pueden trazar desde todos los vértices,
la cantidad de diagonales divisores es de
n-3, así como los valores de sus ángulos
internos y externos y la suma de estos.
5
Cuando el polígono es irregular de n lados,
entonces:
* Número de diagonales d que se pueden trazar
desde un vértice es: d=n-3
* El numero de diagonales D que se pueden trazar
𝑛(𝑛−3)
en total desde todos los vértices es de D=
2
* El valor de cada ángulo central ∠𝑐 es m∠𝑐 =
* El valor de cada ángulo externo ∠𝑖 es m∠𝑒 =
* El valor de cada ángulo interno ∠𝑖 es m∠𝑖 =
180°(𝑛−2)
𝑛
* Se satisface que ∠𝑒 + ∠𝑖 = 180°
360°
𝑛
360°
𝑛
Ejercicio 1.
En un pentágono determina:
a) La cantidad de diagonales de un
sólo vértice
b)
La cantidad total de diagonales que
se pueden trazar
c)
El valor del ángulo central
d)
El valor del ángulo interno
Ejercicio 1.
La empresa “Super ventas fabrica
sombrillas de playa, y requiere usar tela
cortada en forma de polígono regular.
Entonces, ¿Qué cantidad de tela se
necesita para fabricar 150 sombrillas en
forma de decágono?
Cada lado mide 18.2cm y apotema 28cm
6
Ejercicio 2.
¿A qué polígono regular se le puede trazar un
total de 104 diagonales?
Tip: usar la fórmula general:
Cálculo de perímetro y área.
Lado: 3cm
Apotema: 2.6 cm
Perimetro: 6
lados*3cm
Donde:
P: perímetro = nl
n = lados
a = apotema
A: área =
Ejercicio 2.
La torre de una antigua fortificación es de
planta hexagonal. Se ha medido el área de la
planta inferior y se ha obtenido un resultado
de 166.27 m2. Si cada una de sus paredes
mide 8 m de anchura, ¿Cuánto mide la
apotema de su planta?
𝑃 (𝑎)
2
Identificación de los elementos y de las propiedades del círculo
Círculo.
Circunferencia.
Porción de plano
delimitado por
una
circunferencia
Curva cerrada
cuyos puntos
equidistan de un
punto fijo llamado
centro.
Entonces el perímetro del círculo es la circunferencia y el círculo es
un área.
Elementos:
Tarea. Investigar la definición de
cada uno de los elementos
mencionados anteriormente y
pegar en apunte.
Círculos concéntricos. Aquellos
con el mismo centro.
Segmento circular. Porción
delimitada por el arco intersecado
y la cuerda comprendida.
Ángulos en la circunferencia
INSCRITO. Es el que se forma con dos cuerdas
que se cortan en un mismo punto de la circunferencia. Su valor es la
̂
𝐴𝐵
mitad del arco intersecado. 𝑚∠𝐴𝐶𝐵=
CENTRAL. Se forma entre dos
radios. Su valor es igual al del
arco intersecado.
̂
𝑚∠𝐴𝑂𝐵 = 𝐴𝐵
7
SEMIINSCRITO. Se forma con una
cuerda y una tangente que se
cortan en un solo punto de la
circunferencia. Su valor es la mitad
del arco intersecado.
𝑚∠𝐴𝐵𝐷 = 180 - 𝑚∠𝐴𝐵𝐶
̂
𝐵𝑂
𝑚∠𝐵𝑂𝐴=
2
2
EXINSCRITO. Formado por una cuerda y una secante que se cortan
en un mismo punto de la circunferencia. Su valor es el supemento
del ángulo inscrito formado.
INTERIOR. Formado por dos
cuerdas que se intersecan. Su
valor es la mitad de la suma de
sus dos arcos intersecados.
̂ −𝐸𝐵
̂
𝐴𝐷
𝑚∠𝐴𝐶𝐷=
2
̂ −𝐴𝐵
̂
𝐴𝐶𝐵
𝑚∠𝐴𝐷𝐵=
2
EJEMPLO
EJERCICIO
EJERCICIO
CÁLCULO DE PERÍMETRO Y ÁREA
Ejemplo
Ejercicio
El Perímetro P de la
circunferencia de radio r es:
P=2𝜋r
El Área A de un círculo de radio r
es:
A = 𝜋r2
8
EXTERIOR. Existen tres opciones:
* Es el que se forma por 2 secantes
que se intersecan exteriormente.
* Es el que se forma con una
secnate y una tangente que se
intersecan exteriormente.
* Es el que se forma con dos
tangentes que se intersecan
exteriormente.
Su valor es la mitad de la resta de
los arcos intersecados
̂ −𝐴𝐵
̂
𝐴𝐶
𝑚∠𝐴𝐷𝐶=
2