Una aproximación categórica al grupo de galileo 1. G

Una aproximación categórica al grupo de galileo 1. G

Una aproximación categórica al grupo de galileo
Carlos Julio Luque Arias
Universidad Pedagógica Nacional
1.
1.1.
G-Objetos
Acción de grupos
Sea G un grupo, C una categorı́a y X un objeto de C, una acción de G sobre X,
es un homomorfismo
σ : G −→ Aut(X)
Donde Aut(X) es el grupo de automorfismos de X. X es llamado un G-objeto
respecto a σ.
Una acción de G sobre X es una representación de G por automorfismos de X.
Ejemplo 1. Dados G un grupo y X un objeto en la categorı́a de los conjuntos;
una aplicación
τ : G × X −→ X
(g, x) 7−→ τ g(x)
que satisface:
a) τ g1 g2 (x) = τ g1 (τ g2 (x)) para g1 , g2 ∈ G, x ∈ X
b) τ e(x) = x e ∈ G, x ∈ X
donde e es el elemento idéntico de G, da lugar a una acción de G sobre X si se
define
σ : G −→ Aut(X)
g 7−→ σ(g)(x) = τ g(x)
Ası́ X es un G-objeto.
Si X es un objeto en una categorı́a C y F es un functor covariante F : C → C 0
entonces F (x) es un G-objeto.
1.2.
Morfismos θ-Equivariantes
Sean G y G0 grupos y C una categorı́a, X un G-objeto de C con respecto a un
homomorfismo σ : G → Aut(X), X 0 un G0 -objeto de C con respecto a un homomorfismo σ 0 : G0 → Aut(X 0 ).
Un morfismo θ-equivariante con respecto a un homomorfismo θ : G → G0 es
un morfismo Ω : X → X 0 de C tal que para todo g ∈ G el siguiente diagrama
conmuta:
ΩX
X0
σ 0 θ(g)
σg
?
?
X
Ω
-
X0
0
Si G = G hablamos de un morfismo G-equivariante.
Ejemplo 2. Si X es un G-conjunto y X 0 es un G-conjunto con la acción del
ejemplo 1. Entonces la aplicación Ω : X −→ X 0 es θ-equivariante si y solo si el
siguiente diagrama conmuta:
G×X
-
(θ,Ω)
X
Ω
?
?
0
G × X0
-
X0
Si X,X 0 y X 00 son G, G0 y G00 conjuntos respectivamente θ : G −→ G0 , θ0 : G0 −→
G00 homomorfismos Ω : X −→ X 0 y Ω0 : X 0 −→ X 00 morfismos θ, θ0 -equivariantes
entonces Ω0 o Ω es un morfismo (θ0 ◦ θ)-equivariante.
Para un grupo G fijo, los G-objetos de una categorı́a C forman una categorı́a
notada CG con los morfismos equivariantes como morfismos.
Sea F : C −→ C 0 un functor covariante, X un G-objeto en C respecto a τ , X 0
un G-objeto en C 0 respecto a τ 0 , σ : G −→ G0 un homomorfismo y Ω : X −→ X 0
un morfismo σ-equivariante entonces la acción natural inducida
F (Ω) : F (X) −→ F (X 0 )
es σ-equivariante.
2
Para un grupo fijo, esto define una extensión del functor que envı́a G-objetos de
C en G-objetos de C 0 a un functor
F G : CG −→ C 0 G
ya que también aplica morfismos σ-equivariantes en morfismos σ-equivariantes.
2.
El Grupo de Galileo
Clásicamente se define el grupo de Galileo como un conjunto de cuádruplas
hg, v, s, τ i con g ∈ SO3 , v ∈ R3 , s ∈ R3 , τ ∈ R, donde g representa una rotación del espacio euclideo 3-dimensional, v una velocidad, s un desplazamiento
en R3 y τ un desplazamiento en el tiempo, su ley de composición se define de
acuerdo a como actúa sobre el espacio R × R3 , dando como resultado
hg, v, s, τ ihg 0 , v 0 , s0 , τ 0 i = hgg 0 , gv 0 + v, gs0 + s + vτ 0 , τ + τ 0 i
el producto gg 0 está definido en el grupo SO3 y la acción en gv 0 y gs0 del SO3
sobre R3 es también la usual, el producto vτ 0 es el producto de un vector de R3
por un escalar en R.
2.1.
Generalización
En principio es posible extender la definición del grupo de Galileo a cuadrúplas
de la forma hg, v, s, τ i con g ∈ SOn , ó, g ∈ GL(n, R); v, s ∈ Rn y τ en R
y la operación sigue teniendo sentido como un producto doblemente cruzado de
grupos, aunque su significado fı́sico directo se diluya. La estructura algebraica del
grupo de Galileo ası́ generalizado es más compleja que la del grupo de Poincaré y lo
incluye como subgrupo tomando g ∈ L (L el grupo de transformaciones de Lorentz
) v ∈ {0} (el grupo trivial) como subgrupo de (R4 , +), S ∈ M (el espacio de
Minkowski) y τ ∈ {0} como subgrupo trivial de R ya que el grupo de Poincaré es
un producto semidirecto entre L y R4
hg, ø, s, øihg 0 , ø0 , s0 , ø0 i = hgg 0 , ø, s0 + s, øi
El propósito es generalizar la estructura algebraica del grupo Galileo a una categorı́a de G-objetos.
2.2.
El Grupo Γ
Sean H un grupo, E, V, R grupos abelianos σ : H −→ Aut(E), θ : H −→ Aut(V ),
e i : H −→ Aut(R), acciones de H sobre E, V y R; y la acción idéntica respecti3
vamente, por tanto E, V, R son H-objetos respecto a σ, θ, i.
Sea ∗ : R × V −→ E una aplicación Z-bilineal, G-equivariante, es decir, tal que
el diagrama
∗V ×R
E
σ
(θg,i)
?
?
V ×R
∗
-
E
conmute, es decir σg(v ∗ τ ) = θg(v) ∗ τ para cada g ∈ H.
Teorema. El producto cruzado en Γ = G × V × E × R por la operación
hg, v, s, τ ihg 0 , v 0 , s0 , τ 0 i = hgg 0 , θg(v 0 ) + v, g(s0 ) + s + v ∗ τ 0 , τ + τ 0 i
(1)
define un grupo.Usamos notación aditiva para operaciones en grupos abelianos y
multiplicativa en los no abelianos.
El elemento neutro de Γ es h1, 0, 0, 0i, 1 es el idéntico en G, y 0 el idéntico en V, E
y R que por su posición no da lugar a confusión notarlos con el mismo sı́mbolo.
El inverso de un elemento dado hg, v, s, τ i es hg −1 , θg −1 (−v), σg −1 (v) ∗ τ − s, −τ i
2.3.
Acción adjunta
Un subgrupo K de un grupo P actúa sobre P por automorfismos interiores (acción
adjunta) definiendo:
adX (Y ) = XY X −1
con X ∈ K,
y
,Y ∈ P
adX (Y ) es una acción ya que adX ∈ AutGr(P ) (Automorfismos de P en la
categorı́a de los grupos) y
adX Z(S) = adX (adZ (S)) S ∈ P
X, Z ∈ K
además
ad1 (S) = S
2.4.
S∈P
Subgrupos de Γ
Por brevedad notemos Γ0
=
{1} × {0} × {0} × R
≈
R,
Γ1 = {1} × {0} × E × {0} ≈ E, Γ2 = {1} × V × {0} × {0} ≈ V ,
Γ3 = G × {0} × {0} × {0} ≈ G, Γ320 = G × V × {0} × R, etc., con esto el
diagrama de subgrupos de Γ puede escribirse
4
Γ3
Γ1
Γ0
Γ31
Γ3
Γ2
Γ10
Γ30
Γ32
Γ310
Γ210
Γ321
Γ1
Γ21
Γ
donde las flechas indican “ser subgrupo de” y las negrillas indican los subgrupos
abelianos.
Γ0 , Γ1 , Γ2 , Γ3 son subgrupos de Γ tales que todo elemento de Γ puede escribirse
de manera única como producto de elementos de Γ0 , Γ1 , Γ2 , Γ3 en ese orden
hg, v, s, τ i = h1, 0, 0, τ ih1, 0, s, 0ih1, v, 0, 0ihg, 0, 0, 0i
Los morfismos inclusión son morfismos de grupos. Si Ω0 : R −→ Γ está definido
por Ω0 (τ ) = h1, 0, 0, τ i, Ω1 (s) = h1, 0, s, 0i, Ω2 (v) = h1, v, 0, 0i, Ω3 (g) = hg, 0, 0, 0i
entonces
a) Ω0 (τ + τ 0 ) = Ω0 (τ )Ω0 (τ 0 )
b) Ω1 (s + s0 ) = Ω1 (s)Ω1 (s0 )
c) Ω2 (v + v 0 ) = Ω2 (v)Ω2 (v 0 )
d) Ω3 (g + g 0 ) = Ω3 (g)Ω3 (g 0 )
por ser Ω3 inyectivo podemos identificar Ω3 (g) con su imagen Γ3 ≈ H.
Los subgrupos normales de Γ son esquematizados en el siguiente diagrama
Las flechas continuas significan “ser subgrupo normal de” y las flechas punteadas
significan “ser invariante punto a punto por automorfismos interiores de”. La diferencia es que en el primer caso, por automorfismos interiores los elementos del
subgrupo se transforman en elementos del subgrupo (posiblemente distintos); en
cambio en el segundo caso, todo punto del subgrupo permanece invariante.
5
Γ es un Γ3 -objeto con la acción adjunta
ad : G −→ Γ
g 7−→ adg (hg, v, s, τ i)
=adΩ3 (g) (hg, v, s, τ i)
=hg1 , 0, 0, 0ihg, v, s, τ ihg1 , 0, 0, 0i−1
=hg1 , 0, 0, 0ihg, v, s, τ ihg1−1 , 0, 0, 0i
=hg1 gg1−1 , g1 v, g1 s, τ i
que se reduce a la acción adjunta en G y directa de G sobre E y V .
2.5.
Morfismos Estructurales
a) Ω0 : R −→ Γ es un morfismo G-equivariante, esto significa que el diagrama
Ω0
R
-
Γ
adg
id
?
?
R
Ω0
Γ
es conmutativo.
Como Ω0 (t) y Ω3 (g) conmutan, entonces Ω0 (τ ) = Ω3 (g)Ω0 (τ )Ω−1
3 (g) para cada
τ ∈ Γ0 = Ω0 (R) y como Γ0 es invariante punto a punto respecto a la acción
adj, esta acción se reduce a la idéntica.
b) Ω1 : E −→ Γ es un morfismo G-equivariante pues el diagrama
Ω1
E
-
σg
Γ
adg
?
?
E
Ω1
Γ
Conmuta
c) Ω2 : V −→ Γ es un morfismo G-equivariante pues el diagrama
Ω2
V
-
θg
Γ
adg
?
?
V
-
Conmuta
6
Γ
2.6.
Conmutadores entre morfismos estructurales
Si A y B son dos subgrupos de K notamos el subgrupo de K generado por los
conmutadores [X, Y ] con X ∈ A, Y ∈ B por [A, B].
Por cálculo directo obtenemos:
a) [Γ0 , Γ1 ] = 1, 1 denota el subgrupo trivial.
b) [Γ0 , Γ3 ] = 1 lo que equivale a decir que Ω0 es un morfismo Γ3 -equivariante.
c) [Γ1 , Γ2 ] = 1
d) [Γ2 , Γ0 ] = B donde B es generado por los conmutadores
[v, τ ] = h1, v, 0, 0ih1, 0, 0, τ ih1, −v, 0, 0ih1, 0, 0, −τ i
= h1, 0, v ∗ τ, 0i
es decir B ⊆ Γ1 luego d) puede escribirse.
e) [Γ2 , Γ0 ] ⊆ Γ1 esto es equivalente a decir que el diagrama
V ×R
∗
-
E
(Ω2 ,Ω0 )
Ω1
?
?
Γ×Γ
[,]
Γ
Conmuta
f) [Γ1 , Γ3 ] = C
donde C es generado por los conmutadores
[s, g] = h1, 0, s, 0hig, 0, 0, 0ih1, 0, −s, 0ihg −1 , 0, 0, 0i
= h1, 0, −σg (s) + s, 0i
lo que significa que C ⊆ Γ1 o sea [Γ1 , Γ3 ] ⊆ Γ1
g) Análogamente [Γ2 , Γ3 ] ⊆ Γ2 .
7
2.7.
2.7.1.
La Categorı́a Gal
Objetos
Son las cuádruplas (H, θ, σ, •) donde H es un grupo; θ : H −→ AutAb V y
σ : H −→ AutAb E son representaciones de H por automorfismos de dos
grupos abelianos V y E, • : V × R −→ E es una aplicación bilineal (R otro
grupo abeliano sobre el cual H opera trivialmente), H-equivariante.
2.7.2.
Morfismos
Un morfismo del objeto (H, θ, σ, •) en el objeto (H 0 , θ0 , σ 0 , •0 ) es la cuádrupla
(a, b, c, d) de homomorfismos.
H
V
E
R
a
b
c
d
?
?
?
?
H0
V0
E0
R0
con b, c, d, H-equivariantes, es decir, que los diagramas
H ×V
θ
-
(a,b)
b
?
H0 × V 0
?
θ0
-
V
σ
H ×E
V
0
-
E
c
(a,c)
?
?
H 0 × E0
σ0
-
E
0
V ×R
•
-
(b,d)
E
c
?
V 0 × R0
?
•0
-
E
conmutan.
2.7.3.
Composición de morfismos
El compuesto de 2 cuádruplas es el compuesto componente a componente. La
identidad de (H, θ, σ, •) es la cuádrupla formada por los morfismos identidad de
los grupos que intervienen H, V, E y R.
2.8.
El Functor Γ : Gal −→ Gr
a) Al objeto (H, θ, σ, •) le asignamos el grupo de Galileo que se construye con
H, θ, σ, y • como se indica en 2.2 y se denota Γ(H, θ, σ, •).
8
b) Al morfismo (a, b, c, d) : (H, θ, σ, •) −→ (H 0 , θ0 , σ 0 , •0 ) le asigna el morfismo
(a(g), b(v), c(s), d(τ )) con g ∈ H, v ∈ V, s ∈ E y τ ∈ R; que es un homomorfismo de grupos.
Teorema. Γ es sobreyectivo en objetos y morfismos.
Demostración. Dado un grupo H, se construye un objeto trivial de Gal(H, Ω, σ, •)
donde
Ω : H −→ Aut{1}
σ : H −→ Aut{1}
• : {1} × {1} −→ {1}
son las aplicaciones evidentes; de igual manera se argumenta sobre los morfismos.
La sobreyectividad del functor Γ implica que dado un grupo H podemos construir
un grupo L de Galileo para H, por ejemplo el grupo tradicional de galileo es un
grupo de Galileo para SO3 .
3.
Caracterización intrı́nseca de los grupos de
Galileo para un grupo H
Sea L un grupo que contiene a H como subgrupo, y además L tiene tres subgrupos
abelianos E, V, y R que satisfacen:
[H, R] = 1
[H, E] ⊆ E
(4)
(7)
[R, E] = 1 (5)
[H, V ] ⊆ V
(8)
[E, V ] = 1 (6)
[R, V ] ⊆ E (9)
entonces
1. V hereda una estructura de H-objeto con la acción adjunta
θ : H × V −→ V
(h, v) 7−→ hvh−1 = θh (v)
por (8) θh (v) ∈ V .
2. De igual manera E es un H-objeto con la acción adjunta
σ : H × E −→ E
(h, s) 7−→ hsh−1
9
3. La relación (4) garantiza que la acción adjunta sobre R se reduce a la trivial
τ : H × R −→ R
(h, τ ) 7−→ hτ h−1 = τ
Estas acciones dan lugar a representaciones de H en los grupos de automorfismos de V y E (La acción por automorfismos interiores se realiza por
homomorfismos).
4. Definimos la función
∗ : V × R −→ E
(v, τ ) 7−→ v ∗ τ = [vτ ] = vτ v −1 τ −1
(está en E por (9))
Teorema. La función ∗ es bilineal y H-equivariante
Nota. A pesar que V es abeliano usamos la notación multiplicativa por estar
incluido en un grupo no abeliano.
Veamos que es H-equivariante, es decir que
[hvh−1 , τ ] = hvh−1 (τ h)v −1 h−1 τ −1
= hv(h−1 h)τ v −1 h−1 τ −1
= h(vτ v −1 τ −1 )h−1
= h[v, τ ]h−1
por (4)
Hasta ahora hemos construido un objeto de la Categorı́a Gal partiendo de un
grupo H; comparemos la imagen de este objeto por el functor Γ con L.
Teorema. La aplicación
J : Γ(H, θ, σ, •) −→ L
(h, v, s, τ ) 7−→ τ svh
define un homomorfismo de grupos.
Demostración. Dados dos grupos de Galileo para H y H 0 respectivamente
10
J(hh0 ,θh (v 0 )v, σh (s0 )s[v, τ ], τ τ 0 ) = τ τ 0 (σh (s0 )s[v, τ 0 ])(θh v 0 )v(hh0 )
= τ τ 0 (hs0 h−1 )s(v, τ 0 v −1 τ 0−1 )(hv 0 h−1 )vhh0 por las relaciones (5) y (9)
= τ (hs0 h−1 )s(vτ 0 v −1 τ 0−1 )τ 0 (hv 0 h−1 )vhh0
= τ hs0 h−1 svτ 0 v −1 hv 0 (h−1 vhv −1 )vh0 y por (8)
= τ hs0 h−1 svτ 0 hv 0 h0
= τ (hs0 h−1 s0−1 )s0 svτ 0 hv 0 h0 por (7) tenemos
= τ s0 svτ 0 (hs0 h−1 s0−1 )hv 0 h0 por (5) y (6)
= τ svs0 τ 0 (hs0 h−1 s0−1 )hv 0 h por (7)
= τ svτ 0 (hs0 h−1 s0−1 )s0 hv 0 h y por último por (4)
= (τ svh)(τ 0 s0 v 0 h0 )
lo que demuestra la afirmación
Teorema. Si todo elemento l de L se expresa como un producto l = τ svh (en
cuyo caso J es sobre) y L0 = R, L1 = E, L2 = V, L3 = H son ajenos (es decir,
Li Lj Lk ∩ Lm = {1} con i, j, k diferentes de m ). Entonces J es un isomorfismo y
L0 L1 L2 L3 = L.
Demostración. Como asumimos que J es sobre, resta probar que J es inyectivo.
Si R, E, V y H son ajenos entonces si τ svh = 1 y tres de ellos digamos τ, v, s,
son distintos de 1 pero h = 1 entonces τ vs = 1 o sea τ v = s−1 pero esto viola
la condición de que sean ajenos en este caso, para i = 0 j = 2 m = 1 salvo que
alguno de ellos sea igual a 1 lo que contradice la hipótesis.
Si sólo dos de ellos, digamos τ y s son distintos de 1 pero v = 1 y h = 1 entonces τ s = 1 o sea τ = s−1 pero como Li Lj Lk ∩ Lm = {1} entonces τ = s−1
implica τ = s = 1 lo que contradice la hipótesis. El otro caso es trivial por tanto
KerJ = {1} y J es inyectiva.
Además, si J es inyectivo, es decir si τ svh = 1, entonces svh = τ −1 luego
svh = τ −1 ∈ R y τ1−1 τ = τ1−1 (svh) = 1 pero como J es inyectivo, el único
elemento que tiene imagen 1 es τ1−1 , s = 1, v = 1, y h = 1 es decir
L1 L2 L3 ∩ L0 = {1}
análogamente en los demás casos entonces L0 , L1 , L2 y L3 son ajenos en L.
11
4.
Generalización Categórica
Las construcciones que nos han conducido a los grupos de Galileo para un grupo
H, pueden extenderse a contextos categóricos más generales.
En una categorı́a C existen las nociones que fueron indispensables para la construcción, a saber:
1. La noción de objeto grupo y objeto grupo abeliano.
2. La noción de G-objeto para un objeto grupo G de C.
Dada una categorı́a C, consideremos la categorı́a de los functores contravariantes
de C en la categorı́a de los conjuntos Conj.
Los morfismos son las transformaciones naturales. Esta categorı́a la denotamos
C ∧ . Hay una inclusión natural de C en C ∧ que asocia a cada objeto x de C el
functor
hx = C[ , x]
donde [ , x] es el conjunto de morfismos de objetos de C con meta en x.
Sea G : C −→ Gr, R, E y V : C −→ Ab functores contravariantes. Una acción de
G sobre un functor F : C −→ Ab es una transformación natural µ : G × F −→ F
tal que: para cada x de C, F (x) es un G-objeto de Ab a través de µ, es decir
µx : G(x) × F (x) −→ F (x)
con
µx (gg 0 , u) = µx (g, µx (g 0 u))
µx (1, u) = u
µx (g, u + u0 ) = µx (g, u) + µx (gu0 )
Supondremos que hay acciones σ : G×E −→ E, θ : G×V −→ V, i : G×R −→ R
y además una acción
•x : V × R −→ E
que es
1. Una transformación natural del functor producto V × R en el functor E.
12
2. Bilineal, en el sentido que para cada x en C
• : V (x) × R(x) −→ E(x) es Z-bilineal
3. Para cada x ∈ C, es G(x)-equivariante.
Nota. En V (x) × R(x) la acción de G(x) es la acción producto. La información
anterior se puede resumir en un functor que notaremos
(G, θ, σ, •) : C −→ Gal
y que en un x de C da lugar al objeto de Gal (G(x), θx , σx , •x ) y sobre los morfismos actúa de manera evidente.
Ejemplo 3. Sea C = [0] la categorı́a con un solo objeto y el morfismo idéntico,
entonces el functor G : C −→ Gr es un grupo en la categorı́a de los conjuntos,
R, E y V son grupos abelianos, las acciones σ, θ y • son las definidas en los
numerales anteriores y el functor (G, θ, σ, •) es un objeto de la categorı́a Gal.
Ejemplo 4. Sea C = [1] = {0 → 1} la categorı́a formada por los objetos 0 y 1,
los morfismos identidad y un morfismo de 0 a 1; entonces (G, θ, σ, •) de C en Gal
es un morfismo de Gal.
Ejemplo 5. Sea C = [2] = {0 → 1 → 2} entonces (G, θ, σ, •) es un triángulo en
Gal, es decir tres objetos A, B, C en Gal con tres morfismos
A
-
B
@
@
@
R ?
@
C
tales que el diagrama conmuta.
Ejemplo 6. Sea C = T op, (la categorı́a de los espacios topológicos con las
funciones continuas). Un objeto grupo G en T op es un grupo topológico, E, V y
R son grupos topológicos abelianos. En particular tenemos
GL(n, R) = G,
E = V = Rn ,
R=R
la acción de G sobre E y V es la acción natural (que es continua) y
• : V × R −→ E
es el producto por un escalar
Nota. Aquı́ el functor G : T op[ , GL(n, R)] es representable y por tanto usamos
su representante.
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Sean G, E, R y V functores representables en la categorı́a C, es decir que existe
un objeto C en G tal que G(x) es canónicamente isomorfo a C(x, G), de igual
manera existen E y V en C que representan a E y V respectivamente.
Supongamos además que el functor G × V × E × R es representable, es decir, que
existe en la categorı́a C el objeto G × V × E × R en este caso Γ(G, θ, σ, •) es un
functor representable de la categorı́a C.
Ejemplo 7. En el ejemplo 3 el grupo Galileo resultante es un grupo topológico.
Ejemplo 8. Sea C = V ar la categorı́a de las variedades diferenciables C ∞ basta cambiar las expresiones “grupo topológico” y “grupo topológico abeliano” y
“espacio topológico” del ejemplo 6 por los correspondientes grupos de Lie, grupo
de Lie abeliano y variedad diferenciable respectivamente y el grupo de Galileo
resultante tiene estructura de grupo de Lie[4].
Referencias
[1] ARNOLD D, VI., Mecánica Clásica: Método matemático, Paraninfo, Madrid
(1983). p.p 16-17
[2] KARPILOVSKI, G., The Algebraic Structure of Crossed Products, Noth Holland, New York, (1987)
[3] BOURBAKI, N., Éléments de Mathematique Algèbre, Hermann, Paris,
(1970), p.p 63-64
[4] TONDEUR, P; Introduction to Lie groups and transformation groups, Lecture notes in Mathematics, Springer, 1969.
14