problemas de vibraciones - mecánica aplicada (1807)

PROBLEMAS DE VIBRACIONES.
ÁREA DE INGENIERÍA MECÁNICA
PROBLEMAS DE VIBRACIONES
CURSO 2012/2013
Problema 1.-En el sistema mecánico representado en la figura adjunta, se considera la
barra de longitud L rígida, y se desprecian las masas de la barra y de los resortes frente a la
masa del bloque M.
Para las pequeñas oscilaciones del sistema indicado, determinar.
-
Expresión de las energías.
-
Ecuación de Lagrange.
-
Frecuencia de la vibración natural. [w=√(11k/40M)rad/s]
L/3
k
L/2
k/2
2k
M
Problema 2.- En el sistema dinámico constituido por un cilindro macizo de masa M y radio
R, que se encuentra suspendido por un cables, uno de sus extremos está unido a un soporte
rígido y el otro a un muelle elástico de rigidez k, Conforme se expresa en la figura. Para la
oscilación del sistema se pide determinar:
-
Expresiones energéticas.
-
Ecuación de Lagrange.
-
Frecuencia de la vibración natural. [w=√(8k/3M)rad/s]
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Problema 3.- Se dispone de un alternador que pesa 500N y gira a 1000 rpm. El rotor tiene
un desequilibrio que provoca una fuerza excitadora de la misma frecuencia de giro que
motor. Determinar la rigidez que deben tener los resortes sobre los que se va a montar si se
quiere que sólo el 10% de la fuerza perturbadora se transmita a al bancada.
Factor de amortiguamiento: ε=0.2.
Problema 4.- Se pretende conocer la frecuencia natural de un juguete infantil formado por
una pieza central de madera de pino de densidad 700 kg/m3 (250x500x200xen mm) y tres
soportes de iguales dimensiones (50x50x100 en mm) de caucho de Módulo de Young
1000N/m2 (ver figura). Simplificando el sistema a un modelo de un solo grado de libertad,
determinar:
-
Sistema equivalente.
-
Frecuencia natural del mismo.
200 mm
100 mm
Figura 4.
[K=25 n/m, wn= 2,07 rad/s.]
Problema 5.- Se cuelga una plataforma rígida de masa m del techo por medio de un cable de
sección S tal y como se muestra en la figura. Si sobre la plataforma se coloca una masa M
centrada. Determinar sistema mecánico equivalente para estudiar las vibraciones verticales y
frecuencia natural del mismo. Datos: Módulo de Young del cable E.
Figura 5.
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Problema 6.- Un motor-ventilador centrífugo tiene una masa de 25 kg y gira a 1.500 rpm,
presenta un desequilibrio en el rodete que provoca una fuerza de excitación armónica. El
sistema se monta sobre la bancada mediante 4
resortes y un amortiguador.
Si la
transmisibilidad del desequilibrio a la fundación ha de ser tan solo del 10 %, determinar:
-
Características de los resortes y el amortiguador con relación de pulsaciones, r = 4.
-
La transmisibilidad existente si se aumenta la masa del sistema en 10 Kg.
-
Los resortes que hay que colocar para no superar el 10 % de transmisibilidad, si el
moto-ventilador pasa a girar a 3000 RPM. Tómese el factor de amortiguamiento ε =
0’2 y la masa del sistema reformado.
Figura 6.
Problema 7.- El sistema dinámico de la figura es un sistema idealizado de un torno, donde
se designa por M la masa del sistema y por Ip el momento de inercia axial del sistema
alrededor de su centro de masa. Determinar:
a) Las expresiones de la energía cinética y energía potencial.
b) Las ecuaciones dinámicas de Lagrange.
c) La ecuación matricial del movimiento.
d) Las frecuencias naturales de vibración de cabeceo y rebote.
M = 2.000 kg
Ip = 1.500 kg.m2
K1 = 1 x 107 N/m
3
K2 = 5 x 106 N/m
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Figura 7.
Problema 9.- Un electro-motor de 25kg de masa está soportado por cuatro muelles iguales
de rigidez estática 200 x 103 N/m cada uno, figura 9. El desequilibrio del rotor equivale a
una masa de 40 g situada con un radio de 140 mm; girando el rotor a 1.500 rpm. Sabiendo
que el electromotor gira estacionaria y verticalmente, se pide calcular la amplitud cuando:
a) No existe amortiguamiento.
b) El coeficiente de amortiguamiento es de 3.000 N.s/m.
Figura 9.
Problema 10.- En el sistema dinámico representado en la figura, es un modelo idealizado
de un automóvil, donde se designa la:
-
Masa del cuerpo: M = 800 Kg.
-
Masa de ejes y rueda: m = 160 Kg.
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-
Rigidez elástica de los resortes: K1 = 40.000 N/m.
-
Rigidez de los neumáticos: K2 = 400.000 N/m.
-
Amortiguamiento de los neumáticos: c = 2.000 N.s/m.
Figura 10.
Supuesto el automóvil como un sistema con dos grados de libertad, para las vibraciones
neumáticas, se pide determinar:
-
Las expresiones de las energías.
-
La ecuación matricial del movimiento.
-
Suponiendo C=0, las pulsaciones de los modos de vibración natural.
Problema 11.- El rotor de un alternador se modeliza formado por dos masas, m1 (corona,
polos, ventilador) y m2 (eje, cubo, colector) y un disco resorte que enlaza las dos masas
apuntadas, de rigidez elástica k. El sistema descrito está sometido a una vibración axial,
excitada por las fuerzas electromagnéticas armónicas de los polos rotor-estator, sabiendo
que m2=0,3*m1, determinar:
-
Expresión de las energías.
-
Ecuación de Lagrange.
-
Frecuencias de las vibraciones naturales axiales.
Problema 12.- En el sistema dinámico de la figura, formado por discos de momentos de
inercia axiales J1 y J2, cumpliendo que J1 = J2/3, calados a un árbol de rigidez elástica
torsora k, se pide determinar:
-
Expresión de la energía cinética y potencial del sistema.
-
Frecuencias naturales torsoras del sistema.
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Figura 11.
Figura 12.
Problema 13.- En el sistema dinámico constituido por tres
masas y tres muelles, representado en la figura, donde m es
masa y K rigidez elástica; para las vibraciones mecánicas, se
pide determinar:
a) Las expresiones de la energía cinética y potencial elástica.
b) Las ecuaciones dinámicas de Lagrange.
c) La ecuación matricial del movimiento.
d) Las pulsaciones de los modos naturales.
Figura 13.
Problema 14.- Determinar las frecuencias naturales de vibración de torsión del sistema
dinámico indicado en la figura, considerando que los momentos de inercia de las ruedas
dentadas son despreciables y la razón de engrane vale z1/z2 = 2, siendo z1 y z2 los números
de dientes; además en los discos J1 = J2 = J; y en los ejes K1 = K2 =K.
Figura 14.
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Problema 15.- En el sistema ramificado de la figura determinar:
-
Las expresiones de la energía cinética y energía potencial.
-
Las ecuaciones dinámicas de Lagrange.
-
La ecuación matricial del movimiento.
-
Las frecuencias naturales.
I1
K12
I2’
n1
K34
I3’
n2
I4
K56
I5’
n3
I6
Figura 15.
I1 = I2’ = 200 kg.m2
n1 = 3.000 rpm
K12 = 15 x 106 N.m/rad
I3’ = I4 = 300 kg.m2
n2 = 1.500 rpm
K34 = 5 x 106 N.m/rad
I5’ = I6 = 500 kg.m2
n3 = 2.000 rpm
K56 = 10 x 106 N.m/rad
Problema 16.- Se tiene el sistema masa-muelle-amortiguador de la figura con
amortiguamiento subcrítico. En un instante determinado se encuentra en la posición de
equilibrio estático con una velocidad v0 y se le comienza a aplicar una fuerza de tipo
armónico de amplitud F0 y frecuencia w.
(a) Explicar las diferencias entre la frecuencia de excitación, frecuencia de resonancia y
frecuencia natural del sistema.
Nota: Amplificación dinámica es igual a
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Figura 16.
Problema 17.- El movimiento de las masas que se encuentran en la siguiente figura, está
restringido al plano del papel. Simplificando el problema podremos considerar
independientes los movimientos en direcciones perpendiculares (para ángulos de oscilación
pequeños). Determinar:
•
Los grados de libertad que tiene el sistema
•
Las variables que se van a emplear en el problemas.
•
La ecuación del movimiento en forma matricial
•
Las frecuencias naturales del sistema.
Figura 17
Problema 18.- Una varilla rígida de peso despreciable y longitud 2L, está pivotada en su
centro y es restringida a moverse en el plano vertical por medio de resortes y masas
colocados en sus extremos, como se muestra en la figura adjunta.
Determinar:
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•
Los grados de libertad del sistema
•
El sistema equivalente
•
La ecuación del movimiento matricial del sistema.
Figura 18.
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Problema 19.- Suponiendo los sólidos que aparecen en el siguiente esquema como masas
puntuales, determinar:
-
Grados de libertad del sistemas (justificar la respuestas)
-
Sistema equivalente (simplificado al máximo)
-
Energía cinemática y potencial del conjunto
-
Matriz de rigidez (sistema matricial)
k
3k/2
m
L/2
2L/3
L
k
k
m
2k
Figura 19.
Problema 20.- Suponiendo los sólidos que aparecen en el siguiente esquema como masas
puntuales, determinar:
-
Grados de libertad del sistemas (justificar la respuestas)
-
Sistema equivalente (simplificado al máximo)
-
Energía cinemática y potencial del conjunto
-
k
2k
m
Matriz de rigidez (sistema matricial)
m
k
k
45º
m
2k
Figura 20.
10
45º
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Problema 21.- Analizando el mecanismo mostrado en la siguiente figura y considerando
las barras deformables de longitud L=1m, momento de inercia, I=2,5 kg.m2, módulo de
Young, E = 1010 N/m2 y masa m = 10 Kg, determina:
Figura 21
-
Sistema equivalente
-
Grados de libertad del mismo.
-
Matriz de rigidez.
k
m
2k
k/2
m
Problema 22.- Se dispone del siguiente esquema de un mecanismo libre no amortiguado,
formado por un disco de inercia ID = 0,025 kg.m2 y radio r=0,1 m, que gira entorno a su
centro y está conectada en su perímetro a un conjunto de muelles, uno de ellos sustente una
masa M = 2 kg, que realiza un movimiento lineal vertical:
Determinar:
-
Grados de libertad del sistemas
Energía cinemática y potencial del conjunto
Matriz de rigidez
(k=100 KN/m)
k
k
ID
3k/2
k
M
Figura 22
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