Tema 2 - Página de docencia, Departamento de Química Física

Química Física II. Tema II
TEMA II: LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER
1. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
2. La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo
3. Principio de incertidumbre
4. La función de onda y su interpretación
5. Partículas en cajas
6. Oscilador armónico
7. Rotor Rígido
8. Barreras de potencial, efecto túnel
Nuevos experimentos conducen a nuevas hipótesis
Principio de Incertidumbre
El proceso de medida interacciona con el sistema medido
No todas las magnitudes se pueden medir exactamente
y a la vez.
= h/2п
(otra de las variantes del principio, que
puede generalizarse para diferentes
magnitudes complementarias)
Fue enunciado por Werner Heisenberg en 1927 y se
puede apreciar a nivel molecular o menor.
Nota: la incertidumbre se calcula
como en estadística.
La Mecánica Cuántica se basa en unos Postulados
La mecánica cuántica “funciona”, no se ha encontrado
una teoría mejor desde hace 90 años.
La mecánica cuántica parece estar en contra de nuestra
percepción macroscópica de la naturaleza.
Tiene implicaciones filosóficas: “física cuántica y
filosofía”.
http://revistas.ucm.es/fsl/00348244/articulos/RESF9494220477A.PDF
(Postulados según el libro de Ira N. Levine)
Postulados de la Mecánica Cuántica
Postulado I: El estado de un sistema viene descrito por una
función de las coordenadas de posición y de espín de
las partíıculas que forman el sistema y del tiempo. Dicha
función recibe el nombre de función de estado o
función de onda, Ψ, y debe cumplir ciertos requisitos: ser
uniforme, unívoca y continua, sus derivadas primeras deben
ser continuas (salvo en los posibles puntos en que el potencial
se haga infinito), y la función debe ser de
cuadrado integrable (esta condición sólo es exigible en
sistemas ligados).
(Postulados según el libro de Ira N. Levine)
Postulados de la Mecánica Cuántica
Significado de la función de Onda
Significado de la función de Onda
Significado de la función de Onda: Normalización
Significado de la función de Onda
Significado de la función de Onda
Postulados de la Mecánica Cuántica
Postulado II: A cada observable a del sistema se asocia un
operador lineal y hermítico  definido en el espacio de las
funciones aceptables Ψ.
Observables
Construcción de operadores (observables)
Construcción de operadores (observables)
Postulados de la Mecánica Cuántica
Postulado III: La medida de un observable a cualquiera en un
sistema sólo puede dar como resultado uno de los
autovalores a del operador correspondiente a dicho observable Â:
ÂΨ = a Ψ
Evidentemente, Ψ es una función bien comportada, como
se indica en el Postulado I.
“el problema de la medida de un observable en un estado”
Si medimos una propiedad: ¿Qué resultados podemos
obtener?
Postulados de la Mecánica Cuántica
Postulados de la Mecánica Cuántica
Postulados de la Mecánica Cuántica
Postulado IV:
Este Postulado puede no ser comprendido en Tercer Curso, depende de si
conocen los alumnos, del Algebra, la definición de “base” y de “comjunto
completo”.
Postulados de la Mecánica Cuántica
Postulado V: Si el sistema se encuentra en un estado
definido por una función de onda, Ψ , que no es
autofunción de un operador, Â , asociado a un observable,
a, una medida del observable a dará como resultado un
autovalor de Â, pero no se puede predecir cuál de todos los
posibles será. No obstante, si se hacen repetidas
mediciones de ese observable, la media de los valores
obtenidos vendrá dada por:
donde las integrales se extienden a todo el espacio de
definición de Ψ.
Postulados de la Mecánica Cuántica
Postulado VI: La evolución temporal de un sistema
cuántico viene dada por la ecuación de Schrödinger
dependiente del tiempo.
Titulo
Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
Postulados de la Mecánica Cuántica
Postulado VII: La función de onda correspondiente a un
sistema de fermiones idénticos (espín semientero) debe
ser antisimétrica respecto al intercambio de las coordenadas de
dos de ellos (Principio de Exclusión de Pauli).
Para un sistema de bosones idénticos (espín entero), debe ser
simétrica respecto de dicho intercambio.
Aplicación a sistemas sencillos.
La Ψ debe cumplir las condiciones del sistema
Condiciones de contorno: “confinamiento cuantización”
Sistemas sencillos: partícula que se mueve en
una dimensión: casos libre y confinada.
Caja monodimensional: función Ψ y densidad Ψ2
Nodos: puntos donde nunca podremos encontrar a la partícula.
Los
niveles se
separan
más al
aumentar
el número
cuántico
Caja bidimensional: degeneración de la Energía
E =( h2/(8m) ) (nx2 + ny2)
(a=b=1)
Dos grados de libertad, dos números
cuánticos.
(1,2)
(2,1)
Caja bidimensional: función Ψ y densidad Ψ2
(1,1)
(2,1)
(2,2)
Caja tridimensional
Dentro de la caja
Separación de variables
Números cuánticos positivos
Fuera de la caja
Caja tridimensional cúbica (a = b = c)
Estado fundamental no
degenerado
Estado triplemente
degenerado
Tres funciones de onda diferentes con la misma energía
Caja tridimensional cúbica (a = b = c)
Estado no degenerado
Estado triplemente
degenerado
Estado no degenerado
Degeneración debida a la simetría del sistema
Barreras de Potencial en una dimensión
C+ onda incidente
C- onda reflejada
D+ onda transmitida
Se busca la solución Ψ en cada zona del potencial V y se pide su continuidad.
Barreras de Potencial en una dimensión
C+ onda incidente
C- onda reflejada
D+ onda transmitida
Se busca la solución Ψ en cada zona del potencial V y se pide su continuidad.
Barreras de Potencial una dimensión: Efecto túnel
La probabilidad de hallar a la partícula en III no es nula aunque E < V0
Barreras de Potencial: Efecto túnel.
Oscilador Armónico Monodimensional
Niveles de energía equiespaciados
Oscilador Armónico Monodimensional
La solución son los
polinomios de
Hermite
Oscilador Armónico Monodimensional
Oscilador Armónico Monodimensional
Nodos: puntos donde nunca podremos encontrar a la partícula.
Oscilador Armónico Monodimensional
El potencial
infinito produce
la cuantización de
la energía. Pero
al serlo en el
infinito, permite
un “efecto túnel”.
(efecto tunel)
Oscilador Armónico Tridimensional
Separación de variables
Oscilador Armónico Tridimensional
Degeneración debida a la simetría del sistema
Seis veces
degenerado
Triplemente degenerado
No degenerado
Rotor rígido de dos partículas (clásico)
Nota: V = 0
Una masa igual a la masa reducida rota alrededor del centro de masas.
Rotor rígido de dos partículas (cuántico)
Nota: V = 0
Una masa igual a la masa reducida rota alrededor del centro de masas.
Rotor rígido de dos partículas
dV = dxdydz = r 2 senθdrdφdθ
Usamos coordenadas esféricas. R es cte en el rotor rígido
Rotor rígido de dos partículas (cuántico)
Coordenadas
esféricas.
La dirección Z es privilegiada
en coordenadas esféricas.
Rotor rígido de dos partículas (cuántico)
Separamos variables para resolver la ecuación diferencial
Rotor rígido de dos partículas (cuántico)
Polinomios asociados de Legendre
La rigidez del rotor provoca la cuantización de la energía.
Dos grados de libertad, dos números cuánticos l y m
Rotor rígido: Normalización de funciones
Rotor rígido de dos partículas (cuántico)
Rotor rígido: precesión del momento angular
Ejemplo: si j = 2, entonces m = -2, -1, 0, 1, 2
Representación gráfica de armónicos esféricos
Representación gráfica de armónicos esféricos
Nota: que los
alumnos dibujen
un armónico Pz
Representaciones visuales de los primeros armónicos esféricos. Las partes
rojas representan las regiones donde la función es positiva, y las verdes
representan regiones donde la función es negativa.
Las funciones propias son
los Armónicos Esféricos,
dependen de dos números
cuánticos, j y m (a veces se
usan l y m)
Plm = Polinomios asociados de
Legendre
Resumen Rotor
Suelen usarse los
números cúanticos l
(momento angular
total) y m (componente
z del momento angular)
l = 0 (s), 1 (p), 2 (d, 3 (f) ..
Si l = 0 y m = 0 Pz
Referencias recomendadas
http://www.qfa.uam.es
http://www.uam.es/quimica
http://ocw.mit.edu/courses/chemistry/5-61-physical-chemistry-fall-2007/
http://ocw.mit.edu/courses/chemistry/5-73-introductory-quantummechanics-i-fall-2005/
http://es.wikipedia.org
para muchas definiciones.