Plano z - Instituto Tecnológico de Chihuahua

Transcripción

Instituto Tecnológico de Chihuahua
Unidad III.- La transformada Z.
Im(z)
Región
oscilatoria
Región
de
estabilidad
Plano z
Región de
inestabilidad
Re(z)
3.6 Relación del plano s y el plano z.
•
Recordatorio de estabilidad en tiempo continuo.
Ts
En vista de que las variables complejas z y s están relacionadas mediante z=e , la
localización de los polos y de los ceros en el plano z esta relacionada con la localización de
los polos y los ceros del plano s. Por lo tanto, la estabilidad del sistema en lazo cerrado en
tiempo discreto lineal e invariante con el tiempo puede determinarse con base a las
posiciones de los polos de la función de transferencia de lazo cerrado.
Debe observarse que el comportamiento dinámico del sistema de control en tiempo discreto
depende del periodo de muestreo T. La localización de los polos y los ceros en el plano z,
depende del periodo de muestreo T. En otras palabras un cambio en el periodo de muestreo
T modifica las localizaciones de los polos y de los ceros en el plano z y hace que el
comportamiento de la respuesta se modifique.
3.6.1.- Correspondencia del semiplano izquierdo del plano s hacia el plano z.
En diseño de un sistema de control de tiempo continuo, la localización de los polos y los
ceros en el plano s es de gran importancia para predecir el comportamiento dinámico del
sistema.
En sistemas de tiempo discreto, es muy importante la localización de los polos y los ceros
en el plano z.
Cuando en un proceso se incorpora un muestreo por impulsos, las variables complejas z y s
quedan relacionadas mediante la ecuación:
z = e Ts
26/09/2006/ (Preliminar) ÆJ. Rivera
Dado que s esta formada por una parte real y otra imaginaria:
s = σ + jw
Entonces:
z = eT (σ + jw) = eTσ eTjw = eTσ (cos wT + jsenwT ) = eTσ 〈 wT
Dado que σ es negativo en el semiplano izquierdo del plano s, el semiplano izquierdo s
corresponde en el plano z a:
z = e − Tσ < 1
El eje jw es el plano s corresponde a |z|=1.
Esto es el eje imaginario en el plano s (la línea σ=0) corresponde al círculo unitario en el
plano z y el interior del círculo unitario corresponde al semiplano izquierdo del plano s.
3.6.2.- Franjas primarias y franjas complementarias.
En vista de que ∠z =wT, el ángulo varia desde -∝ a +∝ conforme varíe w desde -∝ a +∝ .
Tomemos un punto representativo en el eje jw del plano s. Conforme este punto se mueve
sobre el eje jw desde -j½ws hasta j½ws siendo ws la frecuencia de muestreo, tenemos que
|z|=1, y ∠z varia desde -π hasta π en dirección contraria a las manecillas del reloj, en el
plano z.
3
Conforme el punto representativo se mueve desde j½ws hasta j /2ws sobre el eje jw, el
punto correspondiente en el plano z traza un circulo unitario en la dirección contraria a las
manecillas del reloj. Por lo tanto, conforme el punto en el plano s se mueve en el plano jw
desde -∝ a +∝, dibujamos el circulo unitario en el plano z un número infinito de veces. De
este análisis, resulta claro que cada franja de ancho ws en el semiplano izquierdo del plano
s se transforma al interior del círculo unitario del plano z.
Franja primaria:
Franjas secundarias:
jw=-j½ws hasta j½ws
jw=j½ws hasta j3/2ws
jw= j3/2ws hasta j5/2ws
………………………………………
jw=-j½ws hasta -j3/2ws
jw=-j3/2ws hasta -j5/2ws
……………………………
Im(s)
jw
Plano s
j 5/2 Ws
Im(z)
Franja complementaria
Plano z
j 3/2Ws
j ½ Ws
FRANJA
PRIMARIA
Re(z)
1
Re(s)
σ
-j ½ Ws
-j 3/2Ws
-j 5/2 Ws
Figura.- Franjas periódicas en el plano s y región correspondiente en el plano z.
En la franja primaria, si en el plano s trazamos la secuencia de puntos 1-2-3-4-5-1, esta
trayectoria corresponde al circulo unitario con centro en el origen del plano z, como se
muestra en la siguiente figura.
Im(s)
jw
Plano s
Im(z)
Plano z
3
2
j 1/2Ws
Re(s)
1
4
σ
2
5
3 1
4
Re(z)
1
5
-j 1/2Ws
Figura.- Diagrama que muestra la correspondencia entre la franja
primaria del plano s y el circulo unitario z.
Dado que la totalidad del semiplano izquierdo del plano s corresponde al interior del
círculo unitario en el plano z, la totalidad del plano derecho del plano s corresponde al
exterior del círculo unitario en el plano z.
El eje jw se transforma del plano s en el círculo unitario del plano z.
Note que si la frecuencia de muestreo es por lo menos dos veces mayor que la frecuencia
más alta involucrada en el sistema entonces cada uno de los puntos del círculo unitario del
plano z representan frecuencias entre -½ws a ½ws.
Lugar geométrico de atenuación contante.- Una línea de atenuación, una línea trazada
Tσ
con σ=constante, en el plano s corresponde a un círculo de radio z=e con centro en el
origen del plano z, como se muestra en la siguiente figura:
Im(s)
jw
Plano s
Im(z)
e
-σ
e
1
σ
2
Plano z
T
T
1
Re(z)
Re(s)
−σ
1
0
σ
σ
0
2
Figura.- a) Línea de atenuación constante en el plano s, b) Lugar geométrico
correspondiente en el plano z.
Tiempo de asentamiento ts. El tiempo de asentamiento queda determinado por el valor de
la atenuación σ de los polos dominantes en lazo cerrado.
Im(s)
Plano s
jw
Im(z)
1
Re(s)
σ
σ
0
Plano z
Re(z)
0
1
e
-σ
1
T
Figura.-Región para un tiempo de asentamiento Ts menor que 4/σ1 en el plano s
b)Región para un tiempo de asentamiento T, menor que 4/σ1 en el plano z..
Lugar geométrico de frecuencia constante. Un lugar geométrico de frecuencia constante
w=w1 en el plano s corresponde en el plano z a una línea radial de ángulo constante Tw1,
en radianes, como se muestra en la siguiente figura:
Im(s)
Plano s
jw
j w2
j ½ Ws
T (σ
e
j w1
+
jw
2
e
)
σ
T (σ
+
jw
wT
Re(s)
0
Plano z
Im(z)
Re(z)
1
-1
wT
2
0
)
1
1
wT
1
-j w1
-j ½ Ws
e
T (σ
−
jw
1
)
Figura: a) Lugares geométricos de frecuencia constante en el plano s, b)
Lugares geométricos correspondientes al plano z.
En las siguientes figuras se resume el comportamiento de un sistema de acuerdo a la
ubicación de sus polos en el plano z.
Im(z)
x
x
x
x
x
x
Re(z)
Figura.- Respuesta a un simple polo real.
Im(z)
x
x
x
x
x
x
Figura.- Respuesta a un par de polos complejos conjugados.

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