Traian Valeriu Popescu GEOMETRIE DESCRIPTIVA

Transcripción

Traian Valeriu Popescu
Traian Valeriu Popescu
GEOMETRIE DESCRIPTIVA
TRAIAN VALERIU POPESCU
TRAIAN VALERIU POPESCU
GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ
GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ
Editura Universitaria
Editura Universitaria
Craiova, 2004
Craiova, 2004
Referent útiinĠific: Prof.univ.dr.ing. Filip Ciolacu
Referent útiinĠific: Prof.univ.dr.ing. Filip Ciolacu
Prof.univ.dr.ing. Gheorghe Gherghina
Copyright © 2004 Universitaria
Toate drepturile sunt rezervate Editurii Universitaria
Descrierea C.I.P. a Bibliotecii NaĠionale
Prof.univ.dr.ing. Gheorghe Gherghina
Copyright © 2004 Universitaria
Toate drepturile sunt rezervate Editurii Universitaria
Descrierea C.I.P. a Bibliotecii NaĠionale
POPESCU TRAIAN VALERIU
POPESCU TRAIAN VALERIU
Geometrie descriptivă, Traian Valeriu Popescu
Geometrie descriptivă, Traian Valeriu Popescu
Editura Universitaria, Craiova, 2004
Editura Universitaria, Craiova, 2004
204 p. 21 cm
204 p. 21 cm
Bibliografie
Bibliografie
ISBN: 973 – 8043 – 259 - 9
ISBN: 973 – 8043 – 259 - 9
Redactor: Octavian Lohon
Redactor: Octavian Lohon
Tehnoredactor: dr.ing. Traian Valeriu Popescu
Tehnoredactor: dr.ing. Traian Valeriu Popescu
Copertă: dr.ing. Traian Valeriu Popescu
Copertă: dr.ing. Traian Valeriu Popescu
Bun de tipar: 10.10.2004
Apărut: 2004
Tipografia UniversităĠii din Craiova
Str. Brestei, nr.156A , Craiova, Dolj, România
Tel: +40 251 598054
Bun de tipar: 10.10.2004
Apărut: 2004
Tipografia UniversităĠii din Craiova
Str. Brestei, nr.156A , Craiova, Dolj, România
Tel: +40 251 598054
Tipărit în ROMÂNIA
Tipărit în ROMÂNIA
GEOMETRIE
DESCRIPTIVĂ
GEOMETRIE
DESCRIPTIVĂ
INTRODUCERE
INTRODUCERE
DefiniĠie. Geometria descriptivă este útiinĠa care studiază
DefiniĠie. Geometria descriptivă este útiinĠa care studiază
metodele de reprezentare exacte ale corpurilor prin metoda
metodele de reprezentare exacte ale corpurilor prin metoda
proiecĠiilor.
proiecĠiilor.
Geometria descriptivă este, prin esenĠă, o útiinĠă grafică.
Geometria descriptivă este, prin esenĠă, o útiinĠă grafică.
ConstrucĠia reprezentărilor grafice tratate de geometria
ConstrucĠia reprezentărilor grafice tratate de geometria
descriptivă se bazează pe metoda proiecĠiilor care derivă din
descriptivă se bazează pe metoda proiecĠiilor care derivă din
mecanismul vederii umane. În 1799 francezul GASPARD
mecanismul vederii umane. În 1799 francezul GASPARD
MONGE,
MONGE,
în
lucrarea
GEOMETRIE
DESCRIPTIVE
în
lucrarea
GEOMETRIE
DESCRIPTIVE
descrie metoda dublei proiecĠii ortogonale care constă în
descrie metoda dublei proiecĠii ortogonale care constă în
proiecĠia corpurilor din spaĠiu pe două plane principale de
proiecĠia corpurilor din spaĠiu pe două plane principale de
proiecĠie perpendiculare între ele, planul orizontal >H@ úi
proiecĠie perpendiculare între ele, planul orizontal >H@ úi
planul frontal (vertical) >V@.
planul frontal (vertical) >V@.
În cazul în care aceste două plane nu sunt suficiente
În cazul în care aceste două plane nu sunt suficiente
pentru definirea corpului din spaĠiu atunci se foloseúte un al
pentru definirea corpului din spaĠiu atunci se foloseúte un al
treilea plan perpendicular pe cele două plane >H@ úi >V@ numit
treilea plan perpendicular pe cele două plane >H@ úi >V@ numit
plan de profil (lateral) >L@. În acest fel se pot reprezenta
plan de profil (lateral) >L@. În acest fel se pot reprezenta
corpurile din spaĠiu tridimensional în spaĠiul cu două
corpurile din spaĠiu tridimensional în spaĠiul cu două
dimensiuni (foaia de hârtie), reprezentare numită epură care
dimensiuni (foaia de hârtie), reprezentare numită epură care
apoi dă posibilitatea cunoaúterii corpului cu ajutorul
apoi dă posibilitatea cunoaúterii corpului cu ajutorul
proiecĠiilor deducându-se atât forma úi dimensiunile, cât úi
proiecĠiilor deducându-se atât forma úi dimensiunile, cât úi
poziĠionarea în spaĠiu.
poziĠionarea în spaĠiu.
7
7
1. SISTEME DE PROIECğIE
1. SISTEME DE PROIECğIE
1.1 GeneralităĠi
1.1 GeneralităĠi
Sistemele de proiecĠie folosite de geometria descriptivă asociază
Sistemele de proiecĠie folosite de geometria descriptivă asociază
elemente de bază ale vederii umane (teoremele privind fasciculele de
elemente de bază ale vederii umane (teoremele privind fasciculele de
lumină) cu elemente geometrice componente ale sistemului de proiecĠie
lumină) cu elemente geometrice componente ale sistemului de proiecĠie
respectiv.
respectiv.
Reprezentarea unui corp prin proiecĠie se obĠine ducând prin punctele
Reprezentarea unui corp prin proiecĠie se obĠine ducând prin punctele
aferente conturului raze vizuale (de proiecĠie) numite proiectante, adică
aferente conturului raze vizuale (de proiecĠie) numite proiectante, adică
linii drepte care, la intersecĠia lor cu planul de proiecĠie (planul pe care
linii drepte care, la intersecĠia lor cu planul de proiecĠie (planul pe care
se face proiecĠia) dau pe acesta imaginea (proiecĠia) corpului.
se face proiecĠia) dau pe acesta imaginea (proiecĠia) corpului.
Elementele de bază ale unei proiecĠii sunt (Fig.1.1) :
Elementele de bază ale unei proiecĠii sunt (Fig.1.1) :
- punctul 0 (ochiul observatorului), numit centru de proiecĠie;
- punctul 0 (ochiul observatorului), numit centru de proiecĠie;
- suprafaĠa P pe care se proiectează obiectul (dreapta AB), numit plan
- suprafaĠa P pe care se proiectează obiectul (dreapta AB), numit plan
de proiecĠie;
de proiecĠie;
- dreptele sau razele vizuale care trec prin punctele caracteristice (A úi
- dreptele sau razele vizuale care trec prin punctele caracteristice (A úi
B) ale corpului úi intersectează planul de proiecĠie [P] în a úi b,
B) ale corpului úi intersectează planul de proiecĠie [P] în a úi b,
numite proiectante;
numite proiectante;
- punctele a úi b obĠinute pe planul [P], care constituie proiecĠia
punctelor A úi B.
- punctele a úi b obĠinute pe planul [P], care constituie proiecĠia
punctelor A úi B.
Fig. 1.1
Fig. 1.1
8
8
La proiecĠia corpului AB pe planul de proiecĠie [P] se duc din centrul 0
La proiecĠia corpului AB pe planul de proiecĠie [P] se duc din centrul 0
de proiecĠie proiectante prin punctele caracteristice A úi B, acestea
de proiecĠie proiectante prin punctele caracteristice A úi B, acestea
determină punctele a úi b la intersecĠia lor cu planul de proiecĠie.
determină punctele a úi b la intersecĠia lor cu planul de proiecĠie.
În raport de distanĠa centrului de proiecĠie faĠă de corp, proiecĠia
În raport de distanĠa centrului de proiecĠie faĠă de corp, proiecĠia
corpului din spaĠiu se realizează prin două metode:
corpului din spaĠiu se realizează prin două metode:
- proiecĠia centrală sau conică (Fig.1.2a) când centrul de proiecĠie se
- proiecĠia centrală sau conică (Fig.1.2a) când centrul de proiecĠie se
află la o distanĠă finită faĠă de corp;
- proiecĠia paralelă sau cilindrică (Fig.1.2 b,c) când centrul de
află la o distanĠă finită faĠă de corp;
- proiecĠia paralelă sau cilindrică (Fig.1.2 b,c) când centrul de
proiecĠie se află la distanĠă infinită faĠă de corp.
proiecĠie se află la distanĠă infinită faĠă de corp.
La rândul ei, proiecĠia paralelă este de două feluri:
La rândul ei, proiecĠia paralelă este de două feluri:
x proiecĠia paralelă oblică (Fig.1.2b) când direcĠia de proiecĠie
x proiecĠia paralelă oblică (Fig.1.2b) când direcĠia de proiecĠie
este înclinată faĠă de planul de proiecĠie >P@;
este înclinată faĠă de planul de proiecĠie >P@;
x proiecĠia paralelă ortogonală (Fig.1.2c), când direcĠia de
x proiecĠia paralelă ortogonală (Fig.1.2c), când direcĠia de
proiecĠie este perpendiculară pe planul de proiecĠie >P@.
proiecĠie este perpendiculară pe planul de proiecĠie >P@.
Fig. 1.2
Fig. 1.2
Oricare ar fi sistemul de proiecĠie utilizat, corpurile din spaĠiu apar
Oricare ar fi sistemul de proiecĠie utilizat, corpurile din spaĠiu apar
deformate în proiecĠia din planul de proiecĠie datorită mecanismului
deformate în proiecĠia din planul de proiecĠie datorită mecanismului
fasciculelor de lumină, deformări care se produc după anumite teoreme
fasciculelor de lumină, deformări care se produc după anumite teoreme
geometrice specifice fiecărui sistem în parte, care transformă corpul din
geometrice specifice fiecărui sistem în parte, care transformă corpul din
spaĠiul tridimensional într-o imagine în spaĠiul bidimensional (foaia de
spaĠiul tridimensional într-o imagine în spaĠiul bidimensional (foaia de
hârtie).
hârtie).
9
9
Pentru reprezentarea corpurilor DESENUL TEHNIC utilizează metoda
Pentru reprezentarea corpurilor DESENUL TEHNIC utilizează metoda
proiecĠiei cilindrice ortogonale.
proiecĠiei cilindrice ortogonale.
1.2 Sisteme de referinĠă
1.2 Sisteme de referinĠă
Pentru a proiecta un corp oarecare din spaĠiu pe un plan de proiecĠie,
Pentru a proiecta un corp oarecare din spaĠiu pe un plan de proiecĠie,
trebuie să îl încadrăm într-un sistem de referinĠă denumit sistem de
trebuie să îl încadrăm într-un sistem de referinĠă denumit sistem de
proiecĠie.
proiecĠie.
DefiniĠie. Sistemul de proiecĠie reprezintă un ansamblu de elemente úi
DefiniĠie. Sistemul de proiecĠie reprezintă un ansamblu de elemente úi
metode care permit trecerea de la un spaĠiu cu un număr de dimensiuni la
metode care permit trecerea de la un spaĠiu cu un număr de dimensiuni la
un alt spaĠiu cu un alt număr de dimensiuni.
un alt spaĠiu cu un alt număr de dimensiuni.
Gaspard Monge a definit sistemul de proiecĠie ortogonal format de două
Gaspard Monge a definit sistemul de proiecĠie ortogonal format de două
plane de proiecĠie perpendiculare între ele, planul de proiecĠie orizontal >H@
plane de proiecĠie perpendiculare între ele, planul de proiecĠie orizontal >H@
úi planul de proiecĠie vertical >V@, care se intersectează după dreapta Ox (O
úi planul de proiecĠie vertical >V@, care se intersectează după dreapta Ox (O
în dreapta) numită linie de pământ. Având în vedere că spaĠiul este infinit
în dreapta) numită linie de pământ. Având în vedere că spaĠiul este infinit
úi că planele sunt suprafeĠe infinite, împărĠirea spaĠiului se consideră în
úi că planele sunt suprafeĠe infinite, împărĠirea spaĠiului se consideră în
4(patru) subspaĠii, denumite diedre (Fig. 1.3), cel mai utilizat în tehnică
4(patru) subspaĠii, denumite diedre (Fig. 1.3), cel mai utilizat în tehnică
fiind Diedrul I, unde toate coordonatele sunt pozitive (Tab. 1.1).
fiind Diedrul I, unde toate coordonatele sunt pozitive (Tab. 1.1).
DefiniĠie. Diedrul este figura formată de două semiplane mărginite de
DefiniĠie. Diedrul este figura formată de două semiplane mărginite de
dreapta lor de intersecĠie (porĠiunea din spaĠiu cuprinsă între aceste
dreapta lor de intersecĠie (porĠiunea din spaĠiu cuprinsă între aceste
semiplane).
semiplane).
Fig. 1.3
a.
b.
10
Fig. 1.3
a.
b.
10
Tabelul 1.1
Tabelul 1.1
DIEDRUL / Coordonata
I
II
III
IV
DIEDRUL / Coordonata
I
II
III
IV
Depărtarea
+
-
-
+
Depărtarea
+
-
-
+
Cota
+
+
-
-
Cota
+
+
-
-
Nu tot timpul acest sistem de proiecĠie poate defini complet corpul
Nu tot timpul acest sistem de proiecĠie poate defini complet corpul
din spaĠiul tridimensional; din această cauză, Gaspard Monge a introdus
din spaĠiul tridimensional; din această cauză, Gaspard Monge a introdus
sistemului de proiecĠie anterior prezentat un al treilea plan de proiecĠie
sistemului de proiecĠie anterior prezentat un al treilea plan de proiecĠie
perpendicular pe planele >H@ úi >V@ numit plan lateral >L@. Sistemul de
perpendicular pe planele >H@ úi >V@ numit plan lateral >L@. Sistemul de
plane >H@, >V@ úi >L@ a căror intersecĠie două câte două formează sistemul
plane >H@, >V@ úi >L@ a căror intersecĠie două câte două formează sistemul
de axe rectangulare OXZY este cel mai utilizat sistem de referinĠă fiind
de axe rectangulare OXZY este cel mai utilizat sistem de referinĠă fiind
denumit triedrul ortogonal de proiecĠie, Fig.1.4.
denumit triedrul ortogonal de proiecĠie, Fig.1.4.
linia de pământ Ox >H @ >V @;
linia de pământ Ox >H @ >V @;
axa secundară Oy >H @ >L@ ;
axa secundară Oy >H @ >L@ ;
axa secundară Oz >V @ >L@ ;
axa secundară Oz >V @ >L@ ;
originea axelor O >H @ >V @ >L @
originea axelor O >H @ >V @ >L@
Având în vedere infinitatea spaĠiului úi a suprafeĠelor împărĠirea
Având în vedere infinitatea spaĠiului úi a suprafeĠelor împărĠirea
spaĠiului se consideră în 8 (opt) subspaĠii denumite triedre, cel mai utilizat
spaĠiului se consideră în 8 (opt) subspaĠii denumite triedre, cel mai utilizat
în tehnică fiind triedrul I unde coordonatele sunt pozitive (Tab. 1.2);
în tehnică fiind triedrul I unde coordonatele sunt pozitive (Tab. 1.2);
pentru uúurinĠa limbajului úi a construcĠiilor în literatura de specialitate se
pentru uúurinĠa limbajului úi a construcĠiilor în literatura de specialitate se
foloseúte denumirea de diedru úi pentru triedre, notaĠiile consacrate fiind de
foloseúte denumirea de diedru úi pentru triedre, notaĠiile consacrate fiind de
cele opt diedre.
cele opt diedre.
Tabelul 1.2
DIEDRUL /
Tabelul 1.2
I
II
III
IV
V
VI
VII VIII
Coordonata
DIEDRUL /
I
II
III
IV
V
VI
VII VIII
Coordonata
Abscisa
+
+
+
+
_
_
_
_
Abscisa
+
+
+
+
_
_
_
_
Depărtarea
+
_
_
+
+
_
_
+
Depărtarea
+
_
_
+
+
_
_
+
Cota
+
+
_
_
+
+
_
_
Cota
+
+
_
_
+
+
_
_
11
11
a.
Fig. 1.4
b.
c.
1.3 Sisteme de reprezentare
a.
Fig. 1.4
b.
c.
1.3 Sisteme de reprezentare
Sistemele cele mai utilizate în DESENUL TEHNIC sunt:
Sistemele cele mai utilizate în DESENUL TEHNIC sunt:
Perspectiva este sistemul de reprezentare care are la bază proiecĠia centrală
Perspectiva este sistemul de reprezentare care are la bază proiecĠia centrală
pe un plan de proiecĠie [P], aúezat între corp úi centrul de proiecĠie (ochiul
pe un plan de proiecĠie [P], aúezat între corp úi centrul de proiecĠie (ochiul
observatorului), Fig.1.5. Este folosit cu precădere în arhitectură úi
observatorului), Fig.1.5. Este folosit cu precădere în arhitectură úi
construcĠii.
construcĠii.
12
12
Fig. 1.5
a.
b.
Fig. 1.5
a.
b.
Dubla proieĠie ortogonală este sistemul de reprezentare cunoscut
Dubla proieĠie ortogonală este sistemul de reprezentare cunoscut
sub denumirea de METODA MONGE úi are la bază proiecĠia paralel
sub denumirea de METODA MONGE úi are la bază proiecĠia paralel
ortogonală pe două sau mai multe plane de proiecĠie perpendiculare
ortogonală pe două sau mai multe plane de proiecĠie perpendiculare
între ele; planul orizontal >H@ úi planele verticale de front >V@ úi de
între ele; planul orizontal >H@ úi planele verticale de front >V@ úi de
profil >L@, Fig.1.6.
profil >L@, Fig.1.6.
Fig. 1.6
Fig. 1.7
Fig. 1.6
Fig. 1.7
Se alege în aúa fel proiecĠia corpului astfel încât diversele feĠe ale lui
Se alege în aúa fel proiecĠia corpului astfel încât diversele feĠe ale lui
să fie paralele cu planele de proiecĠie, astfel încât feĠele corpului să se
să fie paralele cu planele de proiecĠie, astfel încât feĠele corpului să se
proiecteze în “adevărata” lor mărime pe planele de proiecĠie. După
proiecteze în “adevărata” lor mărime pe planele de proiecĠie. După
proiecĠia corpului pe cele trei plane de proiecĠie ale sistemului de
proiecĠia corpului pe cele trei plane de proiecĠie ale sistemului de
referinĠă (triedrul ortogonal de proiecĠie OXZY) se procedează la
referinĠă (triedrul ortogonal de proiecĠie OXZY) se procedează la
13
13
rabaterea planelor, planul orizontal >H@ înspre în jos iar planul de profil
rabaterea planelor, planul orizontal >H@ înspre în jos iar planul de profil
>L@ lateral spre spate, până când se suprapun pe extensia planului
>L@ lateral spre spate, până când se suprapun pe extensia planului
vertical (foaia de hârtie). Rabaterea se face în jurul axelor sistemului
vertical (foaia de hârtie). Rabaterea se face în jurul axelor sistemului
0
rectangular OXZY cu 90 ; figura asfel obĠinută se numeúte epură,
rectangular OXZY cu 900 ; figura asfel obĠinută se numeúte epură,
Fig.1.7.
Fig.1.7.
DefiniĠie. Epura este desenul care conĠine rezolvarea grafică a unor
DefiniĠie. Epura este desenul care conĠine rezolvarea grafică a unor
probleme de geometrie în spaĠiu prin intermediul geometriei
probleme de geometrie în spaĠiu prin intermediul geometriei
descriptive.
descriptive.
Un corp în spaĠiu (structură spaĠială) poate fi proiectat cu unghiuri
Un corp în spaĠiu (structură spaĠială) poate fi proiectat cu unghiuri
drepte pe úase planuri care formează suprafaĠa unui cub (Fig.1.8 a, b, c).
drepte pe úase planuri care formează suprafaĠa unui cub (Fig.1.8 a, b, c).
a.
a.
A
B
E
vedere
de jos
vedere din
stinga
vedere din
dreapta
E
A
F
E
D
G
vedere din
spate
H
vedere
de sus
14
vedere
de jos
D
G
C
G
Fig. 1.8
B
F
D
H
vedere din
spate
E1
din fata
C
G1
A
F
F
vedere din
stinga
vedere din
dreapta
G
c.
E
E
H
H
b.
B
E1
E
D
C
G
Fig. 1.8
F
B
din fata
C
G
A
F
vedere
de sus
H
H
b.
c.
14
G1
Această reprezentare cunoscută sub denumirea celor “6 proiecĠii
Această reprezentare cunoscută sub denumirea celor “6 proiecĠii
principale” nu oferă tot timpul proiecĠia elementelor geometrice ale
principale” nu oferă tot timpul proiecĠia elementelor geometrice ale
corpului în adevărata mărime pe planele de proiecĠie datorită deformărilor
corpului în adevărata mărime pe planele de proiecĠie datorită deformărilor
imaginilor din spaĠiul tridimensional în spaĠiul bidimensional.
imaginilor din spaĠiul tridimensional în spaĠiul bidimensional.
Reprezentarea axonometrică este sistemul de reprezentare a corpurilor
Reprezentarea axonometrică este sistemul de reprezentare a corpurilor
din spaĠiu pe un singur plan de proiecĠie >P@ numit plan axonometric prin
din spaĠiu pe un singur plan de proiecĠie >P@ numit plan axonometric prin
proiecĠie paralelă, oblică sau ortogonală úi prin care se urmăreúte ca
proiecĠie paralelă, oblică sau ortogonală úi prin care se urmăreúte ca
imaginea obĠinută să sugereze spaĠial corpul. Metoda foloseúte raportarea
imaginea obĠinută să sugereze spaĠial corpul. Metoda foloseúte raportarea
prealabilă la triedrul ortogonal OXYZ, Fig.1.9.
prealabilă la triedrul ortogonal OXYZ, Fig.1.9.
Fig. 1.9
Fig. 1.9
Reprezentarea cotată este sistemul de reprezentare a suprafeĠelor úi
Reprezentarea cotată este sistemul de reprezentare a suprafeĠelor úi
utilizează atât elemente geometrice ( proiecĠia paralelă ortogonală pe
utilizează atât elemente geometrice ( proiecĠia paralelă ortogonală pe
planul de proiecĠie orizontal >H@ ) cât úi elemente numerice ce definesc
planul de proiecĠie orizontal >H@ ) cât úi elemente numerice ce definesc
cotele ( adâncimi sau înălĠimi ).
cotele ( adâncimi sau înălĠimi ).
15
15
x Curbele de nivel. Urma din plan rezultată după intersecĠia unei
x Curbele de nivel. Urma din plan rezultată după intersecĠia unei
forme de relief cu un plan >P@ paralel cu planul de proiecĠie
forme de relief cu un plan >P@ paralel cu planul de proiecĠie
orizontal >H@ de cotă zero (plan de comparaĠie – nivelul constant
orizontal >H@ de cotă zero (plan de comparaĠie – nivelul constant
al mării) se numeúte curbă de nivel (Fig.1.10, Fig.1.11) úi se
al mării) se numeúte curbă de nivel (Fig.1.10, Fig.1.11) úi se
utilizează în topografie úi cartografie.
utilizează în topografie úi cartografie.
Fig. 1.10
Fig. 1.10
Fig. 1.11
Fig. 1.11
x Liniile de plutire Carcasa unei nave are o formă destul de
x Liniile de plutire Carcasa unei nave are o formă destul de
complicată. Pentru reprezentare se duc trei sisteme de plane
complicată. Pentru reprezentare se duc trei sisteme de plane
verticale úi se construiesc intersecĠiile lor cu suprafaĠa exterioară
verticale úi se construiesc intersecĠiile lor cu suprafaĠa exterioară
a carcasei, Fig.1.12.
a carcasei, Fig.1.12.
16
16
Fig. 1.12
Planele secante se duc:
Fig. 1.12
Planele secante se duc:
a. orizontal, curbele de intersecĠie I . . . VI se numesc linii de plutire, fiind
a. orizontal, curbele de intersecĠie I . . . VI se numesc linii de plutire, fiind
curbele pe care le trasează apa pe carcasa navei pe măsură ce aceasta se
curbele pe care le trasează apa pe carcasa navei pe măsură ce aceasta se
scufundă în funcĠie de greutatea încărcăturii. Pe vederea laterală a carcasei,
scufundă în funcĠie de greutatea încărcăturii. Pe vederea laterală a carcasei,
precum úi pe vederea de sus (dinspre proră) úi din spate (dinspre pupă),
precum úi pe vederea de sus (dinspre proră) úi din spate (dinspre pupă),
liniile de plutire sunt reprezentate de drepte orizontale. Toate liniile de
liniile de plutire sunt reprezentate de drepte orizontale. Toate liniile de
plutire se obĠin în plan în mărime naturală.
plutire se obĠin în plan în mărime naturală.
b. vertical, paralel cu axa longitudinală a navei, curbele de intersecĠie
b. vertical, paralel cu axa longitudinală a navei, curbele de intersecĠie
corespunzătoare A, B, C sunt reprezentate în plan úi pe vederea din faĠă (úi
corespunzătoare A, B, C sunt reprezentate în plan úi pe vederea din faĠă (úi
din spate) prin linii drepte, iar în vederea laterală prin linii curbe.
din spate) prin linii drepte, iar în vederea laterală prin linii curbe.
c. vertical, perpendicular pe axa longitudinală a navei, planele de coastă
c. vertical, perpendicular pe axa longitudinală a navei, planele de coastă
sunt planele perpendiculare pe axa longitudinală a navei. Curbele de
sunt planele perpendiculare pe axa longitudinală a navei. Curbele de
intersecĠie 0, 1, 2, . . . 10, sunt reprezentate în plan úi pe vederea laterală
intersecĠie 0, 1, 2, . . . 10, sunt reprezentate în plan úi pe vederea laterală
prin linii drepte, iar pe vederea din faĠă ( úi din spate) prin linii curbe.
prin linii drepte, iar pe vederea din faĠă ( úi din spate) prin linii curbe.
17
17
2. PUNCTUL
2. PUNCTUL
2.1 Reprezentarea punctului în epură
2.1 Reprezentarea punctului în epură
Folosind cele două plane de proiecĠie perpendiculare ( [H] –
Folosind cele două plane de proiecĠie perpendiculare ( [H] –
orizontal úi [V] – vertical ) care se intersectează după dreapta (OX) – axă
orizontal úi [V] – vertical ) care se intersectează după dreapta (OX) – axă
de proiecĠie sau linie de pământ, un punct A din spaĠiu se va proiecta pe
de proiecĠie sau linie de pământ, un punct A din spaĠiu se va proiecta pe
[H] în a – proiecĠia orizontală a punctului úi pe [V] în a’– proiecĠia
[H] în a – proiecĠia orizontală a punctului úi pe [V] în a’– proiecĠia
verticală a punctului. DistanĠa de la punctul A la [H] se numeúte cotă úi se
verticală a punctului. DistanĠa de la punctul A la [H] se numeúte cotă úi se
notează cu z, iar distanĠa de la punctul A la [V] se numeúte depărtare úi se
notează cu z, iar distanĠa de la punctul A la [V] se numeúte depărtare úi se
notează cu y , (Fig. 2.1).
notează cu y , (Fig. 2.1).
Fig. 2.1
Fig. 2.2
Fig. 2.1
Fig. 2.2
Prin rotirea [H] în sensul acelor de ceasornic până la suprapunerea
Prin rotirea [H] în sensul acelor de ceasornic până la suprapunerea
peste [V] se obĠine epura, (Fig. 2.2). EPURA este reprezentare plană
peste [V] se obĠine epura, (Fig. 2.2). EPURA este reprezentare plană
convenĠională a corpurilor spaĠiale, proiectate ortogonal pe planele de
convenĠională a corpurilor spaĠiale, proiectate ortogonal pe planele de
proiecĠie, utilizând numai axele de proiecĠie. În proiecĠia dublu ortogonală
proiecĠie, utilizând numai axele de proiecĠie. În proiecĠia dublu ortogonală
(sistemul Monge), un punct A din spaĠiu este definit în epură de două
(sistemul Monge), un punct A din spaĠiu este definit în epură de două
proiecĠii a úi a’, iar două proiecĠii aflate pe aceeaúi linie de ordine definesc
proiecĠii a úi a’, iar două proiecĠii aflate pe aceeaúi linie de ordine definesc
un punct din spaĠiu.
un punct din spaĠiu.
2.2 Punctul în diedre
2.2 Punctul în diedre
Diedrul – unghiul format între două plane care se intersectează. În cazul
Diedrul – unghiul format între două plane care se intersectează. În cazul
proiecĠiei ortogonale, planele [H] úi [V] împart spaĠiul în 4 diedre
proiecĠiei ortogonale, planele [H] úi [V] împart spaĠiul în 4 diedre
18
18
(Fig.2.3), notate I, II, III úi IV. În Fig. 2.4 sunt prezentate în epură puncte
(Fig.2.3), notate I, II, III úi IV. În Fig. 2.4 sunt prezentate în epură puncte
situate în cele 4 diedre. În funcĠie de diedrul în care sunt conĠinute,
situate în cele 4 diedre. În funcĠie de diedrul în care sunt conĠinute,
semnele lui z úi y sunt pozitive sau negative, (Tab. 2.1).
semnele lui z úi y sunt pozitive sau negative, (Tab. 2.1).
Diedrul
I
II
III IV
+
+
–
+
–
–
Diedrul
Coordonata
Depărtarea
Cota
I
II
III IV
+
+
–
+
–
–
Coordonata
+
–
Fig. 2.3
Depărtarea
Cota
+
–
Fig. 2.3
Fig. 2.4
Fig. 2.4
2.3 Punctul în triedre
2.3 Punctul în triedre
Unghiul format de 3 plane concurente se numeúte unghi triedru. În
Unghiul format de 3 plane concurente se numeúte unghi triedru. În
cazul folosirii celui de-al treilea plan de proiecĠie [W] – plan lateral de
cazul folosirii celui de-al treilea plan de proiecĠie [W] – plan lateral de
proiecĠie, care este perpendicular pe [H] úi [V], un punct A din spaĠiu (Fig.
proiecĠie, care este perpendicular pe [H] úi [V], un punct A din spaĠiu (Fig.
19
19
2.5) va avea úi o a treia proiecĠie a’’. DistanĠa de la punctul A la planul [W]
2.5) va avea úi o a treia proiecĠie a’’. DistanĠa de la punctul A la planul [W]
se numeúte abscisă úi se notează cu x. Epura se obĠine prin rotirea planului
se numeúte abscisă úi se notează cu x. Epura se obĠine prin rotirea planului
[H] în sensul acelor de ceasornic úi prin rotirea planului [W] în sens invers
[H] în sensul acelor de ceasornic úi prin rotirea planului [W] în sens invers
acelor de ceasornic, până se suprapun peste [V] (Fig. 2.6). ProiecĠia a’’
acelor de ceasornic, până se suprapun peste [V] (Fig. 2.6). ProiecĠia a’’
descrie în această rotaĠie un arc de cerc de rază egală cu depărtarea. Pla-
descrie în această rotaĠie un arc de cerc de rază egală cu depărtarea. Pla-
nele [H], [V] úi [W] împart spaĠiul în 8 triedre, notate cu I, II, III, ... VIII.
nele [H], [V] úi [W] împart spaĠiul în 8 triedre, notate cu I, II, III, ... VIII.
Puncte situate în cele opt triedre sunt prezentate în epură în Fig. 2.7, iar în
Puncte situate în cele opt triedre sunt prezentate în epură în Fig. 2.7, iar în
Tab. 2.2 este sistematizat semnul coordonatelor x, y úi z în cele 8 triedre.
Tab. 2.2 este sistematizat semnul coordonatelor x, y úi z în cele 8 triedre.
Tabelul 2.2
Triedrul I
Semnul x +
Semnul y +
Semnul z +
II III IV
+ + +
– – +
+ – –
V
–
+
+
Tabelul 2.2
Triedrul I
Semnul x +
Semnul y +
Semnul z +
VI VII VIII
–
–
–
–
–
+
+
–
–
II III IV
+ + +
– – +
+ – –
V
–
+
+
VI VII VIII
–
–
–
–
–
+
+
–
–
z
0
x
a
abscisa x
dep[rtarea y
cota z
dep[rtarea y
abscisa x
ax
az
a'
a''
cota z
az
a'
x
z
ay1
0
ax
a
ay
ay1
ay
y
Fig. 2.5
y
Fig. 2.6
Fig. 2.5
Fig. 2.6
Triedrul III
Triedrul III
z
c
cy
x
ax
0
z
a''
ay1
b'
Triedrul II
b''
ay
y
bz
az
a'
z
x cy1
cx
a''
O
x
ax
0
ay1
b'
by
b
a
cy
Triedrul I
z
az
z
c
Triedrul I
a'
a''
x
0
by1
bx
20
y
Triedrul II
b''
c'
ay
cz
y
a
y
bz
x cy1
cx
O
by
b
c''
z
x
0
by1
bx
20
y
c''
c'
cz
y
x
dx
d
d'
Triedrul IV
z
0
x
dy1
dy
dx
d
dz
y
d''
d'
Fig. 2.7
Triedrul IV
z
0
dy1
dy
dz
y
d''
Fig. 2.7
2.4 Puncte situate în plane bisectoare
2.4 Puncte situate în plane bisectoare
Aceste puncte au distanĠa egală cu cota.
Aceste puncte au distanĠa egală cu cota.
Se cunosc două plane bisectoare: planul bisector unu care împarte
Se cunosc două plane bisectoare: planul bisector unu care împarte
diedrele unu úi trei în aúa fel încât toate punctele acestui plan au depărtarea
diedrele unu úi trei în aúa fel încât toate punctele acestui plan au depărtarea
egală cu cota úi planul bisector doi care împarte diedrele doi úi patru în aúa
egală cu cota úi planul bisector doi care împarte diedrele doi úi patru în aúa
fel încât toate punctele acestui plan au depărtarea egală cu cota.
fel încât toate punctele acestui plan au depărtarea egală cu cota.
ConvenĠional, aceste plane se notează [B1] úi [B2],(Fig. 2.8).
ConvenĠional, aceste plane se notează [B1] úi [B2],(Fig. 2.8).
Fig. 2.8
21
Fig. 2.8
21
Dacă E (e, e’) [B1] úi se găseúte în diedrul I, atunci cota va fi
Dacă E (e, e’) [B1] úi se găseúte în diedrul I, atunci cota va fi
egală cu depărtarea úi ambele vor fi pozitive, (Fig. 2.9). Epura unui astfel
egală cu depărtarea úi ambele vor fi pozitive, (Fig. 2.9). Epura unui astfel
de punct va arata ca în Fig. 2.9, proiecĠiile e úi e’ fiind simetrice faĠă de
de punct va arata ca în Fig. 2.9, proiecĠiile e úi e’ fiind simetrice faĠă de
linia de pământ.
linia de pământ.
Fig. 2.9
Idem cu punctele F (f, f’) [B2], G (g, g’) [B1] úi H (e,e’) [B2].
Fig. 2.9
Idem cu punctele F (f, f’) [B2], G (g, g’) [B1] úi H (e,e’) [B2].
2.5 Puncte situate pe linia de pământ
2.5 Puncte situate pe linia de pământ
Sunt situate pe dreapta de intersecĠie dintre planele [H] úi [V] - (OX)
Sunt situate pe dreapta de intersecĠie dintre planele [H] úi [V] - (OX)
úi aparĠin concomitent ambelor planuri deci, aceste puncte au atât cotele
úi aparĠin concomitent ambelor planuri deci, aceste puncte au atât cotele
cât úi depărtările egale cu zero. În această situaĠie, proiecĠiile orizontale úi
cât úi depărtările egale cu zero. În această situaĠie, proiecĠiile orizontale úi
verticale se vor confunda cu însăúi punctul din spaĠiu.
verticale se vor confunda cu însăúi punctul din spaĠiu.
2.6 Puncte situate în planele de proiecĠie
2.6 Puncte situate în planele de proiecĠie
Caracteristica unor astfel de puncte este că una din coordonatele
Caracteristica unor astfel de puncte este că una din coordonatele
descriptive este egală cu zero úi, prin urmare, una din proiecĠii se va
descriptive este egală cu zero úi, prin urmare, una din proiecĠii se va
22
22
confunda cu însăúi punctul din spaĠiu , în timp ce cealaltă proiecĠie se va
confunda cu însăúi punctul din spaĠiu , în timp ce cealaltă proiecĠie se va
găsi pe linia de pământ, (punctele I, J, K, L din Fig. 2.9).
găsi pe linia de pământ, (punctele I, J, K, L din Fig. 2.9).
Epurele tuturor punctelor prezentate la punctele: 2.2, 2.3, 2.4 úi 2.5
sunt prezentate în Fig. 2.10.
Epurele tuturor punctelor prezentate la punctele: 2.2, 2.3, 2.4 úi 2.5
sunt prezentate în Fig. 2.10.
Fig. 2.10
Fig. 2.10
2.7 Alfabetul punctului
2.7 Alfabetul punctului
Sintetizând cele expuse la reprezentarea punctului, se poate
Sintetizând cele expuse la reprezentarea punctului, se poate
concluziona că: un punct poate ocupa 17 poziĠii în regiunile spaĠiului
concluziona că: un punct poate ocupa 17 poziĠii în regiunile spaĠiului
limitat la planele de proiecĠie úi planele bisectoare (Fig. 2.11). Această
limitat la planele de proiecĠie úi planele bisectoare (Fig. 2.11). Această
succesiune de poziĠii se numeúte alfabetul punctului.
succesiune de poziĠii se numeúte alfabetul punctului.
Comparând cele 17 poziĠii ale punctelor de la A la S din Fig. 2.11 úi
din epurele punctelor (Fig. 2.12), rezultă următoarele:
Comparând cele 17 poziĠii ale punctelor de la A la S din Fig. 2.11 úi
din epurele punctelor (Fig. 2.12), rezultă următoarele:
- A (a, a’) >H@ a’{ A a’ Ox ;
- A (a, a’) >H@ a’{ A a’ Ox ;
- B (b, b’) – situat în diedrul I, sub >B1@, deoarece are depărtarea mai
- B (b, b’) – situat în diedrul I, sub >B1@, deoarece are depărtarea mai
mare decât cota, úi ambele sunt pozitive;
- C (c, c’) >B1@ Cc { Cc c ;
mare decât cota, úi ambele sunt pozitive;
- C (c, c’) >B1@ Cc { Cc c ;
23
23
- D (d, d’) – situat în diedrul I, deasupra lui >B1@, deoarece are
depărtarea mai mică decât cota, úi ambele sunt pozitive;
- D (d, d’) – situat în diedrul I, deasupra lui >B1@, deoarece are
depărtarea mai mică decât cota, úi ambele sunt pozitive;
- E (e, e’) >Vs@ e’ { E e Ox ;
- E (e, e’) >Vs@ e’ { E e Ox ;
- F (f, f’) – situat în diedrul II, deasupra lui >B2@, deoarece are cota mai
- F (f, f’) – situat în diedrul II, deasupra lui >B2@, deoarece are cota mai
mare decât depărtarea în valoare absolută (cota este pozitivă iar
mare decât depărtarea în valoare absolută (cota este pozitivă iar
depărtarea negativă);
depărtarea negativă);
- G (g, g’) >B2@ Gg { Gg c – ambele proiecĠii coincid, deci cota
- G (g, g’) >B2@ Gg { Gg c – ambele proiecĠii coincid, deci cota
este egală cu depărtarea absolută úi fiind situate ambele deasupra lui
este egală cu depărtarea absolută úi fiind situate ambele deasupra lui
Ox rezultă că depărtarea este negativă úi cota este pozitivă, semne
Ox rezultă că depărtarea este negativă úi cota este pozitivă, semne
caracteristice diedrului II;
caracteristice diedrului II;
- I (i, i’) – în diedrul II, sub >B2@;
- I (i, i’) – în diedrul II, sub >B2@;
- J (j, j’) >Hp@ j { J j’ Ox ;
- J (j, j’) >Hp@ j { J j’ Ox ;
- K (k, k’) – în diedrul III, deasupra lui >B1@;
- K (k, k’) – în diedrul III, deasupra lui >B1@;
- L (l, l’) >B1@ Ll { Ll c - cota egală cu depărtarea în valoare úi
- L (l, l’) >B1@ Ll { Ll c - cota egală cu depărtarea în valoare úi
ambele negative;
ambele negative;
- M (m, m’) – în diedrul III, cota mai mare decât depărtarea în valoare
úi ambele negative;
- M (m, m’) – în diedrul III, cota mai mare decât depărtarea în valoare
úi ambele negative;
- N (n, n’) >Vi@ n’ { N n Ox - depărtarea zero, cota negativă;
- N (n, n’) >Vi@ n’ { N n Ox - depărtarea zero, cota negativă;
- P (p, p’) – în diedrul IV, sub >B2@, depărtarea pozitivă iar cota
- P (p, p’) – în diedrul IV, sub >B2@, depărtarea pozitivă iar cota
negativă; în valoare absolută cota este mai mare decât depărtarea;
negativă; în valoare absolută cota este mai mare decât depărtarea;
- R (r, r’) >B2@ Rr { Rr c - cota egală cu depărtarea în valoare
- R (r, r’) >B2@ Rr { Rr c - cota egală cu depărtarea în valoare
absolută, în diedrul IV;
absolută, în diedrul IV;
- S (s, s’) – deasupra lui >B1@ în diedrul IV, depărtarea este pozitivă úi
- S (s, s’) – deasupra lui >B1@ în diedrul IV, depărtarea este pozitivă úi
cota negativă; în valoare absolută cota este mai mică decât
cota negativă; în valoare absolută cota este mai mică decât
depărtarea;
depărtarea;
- O (o, o’) Ox cota úi depărtarea egale cu zero.
24
- O (o, o’) Ox cota úi depărtarea egale cu zero.
24
Vs
B2
f'
G
J
i'
ix
j
gx
l
k
B1
C
dx cx bx
p d r c s b
k' s'
1
A
Ha
y (-x)
J
x Hp
a
r'
k' s'
l'
P
N
7
f'
i
lx
ix
gx
k'
bx ax a'
e ex
0
0 0’ 0x
0 X T
sx
lx
p
ix
gx
fx
cx
bx ax a'
e ex
c
m'
b
n'
a
Fig. 2.12
Fig. 2.12
25
25
0
0 0’ 0x
0 X T
d
l'
p'
b'
kx
k'
s'
s
a
mx
f
dx
jx j'
r r'
b
n'
rx
c'
i'
x
c
m'
px n nx
d'
g g'
m
d
l'
p'
fx
cx
f'
i
l
b'
dx
jx j'
e'
k
f
kx
x
s'
d'
c'
i'
m
7
y (-z)
j
g g'
l
P
Fig. 2.11
e'
k
s
R
N
Vi
j
p
r'
6
Fig. 2.11
r r'
y (-x)
S
m' p'
M
y (-z)
Vi
mx
Ha
a
L
6
rx
A
8
R
m' p'
M
sx
dx cx bx
p d r c s b
1
5
L
px n nx
B
b'
fx
m
K
8
C
g' c'
gx
l
k
B1
D
d'
i'
ix
j
S
5
l'
f'
I
4
2
E
G
B
fx
m
K
B2
F
b'
z (-y)
3
D
d'
g' c'
I
x Hp
Vs
2
E
F
4
z (-y)
3
3 DREAPTA
3 DREAPTA
3.1 Urmele dreptei
3.1 Urmele dreptei
Urmele dreptei: punctele în care dreapta din spaĠiu intersectează
Urmele dreptei: punctele în care dreapta din spaĠiu intersectează
planele de proiecĠie. O dreaptă oarecare poate intersecta cele trei plane de
planele de proiecĠie. O dreaptă oarecare poate intersecta cele trei plane de
proiecĠie, deci poate avea trei urme.
proiecĠie, deci poate avea trei urme.
Punctul de intersecĠie dintre o dreaptă D úi planul [H] se numeúte
Punctul de intersecĠie dintre o dreaptă D úi planul [H] se numeúte
urmă orizontală; se notează cu H (h, h’), H [H], deci, H (x, y, 0).
urmă orizontală; se notează cu H (h, h’), H [H], deci, H (x, y, 0).
Punctul de intersecĠie dintre o dreaptă D úi planul [V] se numeúte urmă
Punctul de intersecĠie dintre o dreaptă D úi planul [V] se numeúte urmă
verticală; se notează cu V (v, v’), V [V], deci, V (x, 0, z). Punctul de
verticală; se notează cu V (v, v’), V [V], deci, V (x, 0, z). Punctul de
intersecĠie dintre o dreaptă D úi planul [W] se numeúte urmă laterală; se
intersecĠie dintre o dreaptă D úi planul [W] se numeúte urmă laterală; se
notează cu W (w,w’), W [W], deci, W (0, y, z).
notează cu W (w,w’), W [W], deci, W (0, y, z).
În Fig. 3.1 sunt prezentate proiecĠiile urmelor pe epura dreptei D (d, d’).
În Fig. 3.1 sunt prezentate proiecĠiile urmelor pe epura dreptei D (d, d’).
X
0
Fig. 3.1
3.2 PoziĠiile remarcabile (particulare) ale unei drepte
X
0
Fig. 3.1
3.2 PoziĠiile remarcabile (particulare) ale unei drepte
3.2.1 Drepte paralele cu planele de proiecĠie:
Dreapta de nivel (orizontala) – dreapta paralelă cu [H], deci toate
3.2.1 Drepte paralele cu planele de proiecĠie:
Dreapta de nivel (orizontala) – dreapta paralelă cu [H], deci toate
punctele orizontalei au aceeaúi cotă. Punctele ce definesc o astfel de
punctele orizontalei au aceeaúi cotă. Punctele ce definesc o astfel de
dreaptă se vor găsi la aceeaúi distanĠă faĠă de [H], proiecĠia verticală va
dreaptă se vor găsi la aceeaúi distanĠă faĠă de [H], proiecĠia verticală va
fi paralelă cu linia de pământ Ox , iar proiecĠia orizontală poate fi
fi paralelă cu linia de pământ Ox , iar proiecĠia orizontală poate fi
înclinată oricum faĠă de Ox , Fig. 3.2;
înclinată oricum faĠă de Ox , Fig. 3.2;
26
26
z
z
0
x
0
x
y'
y
y'
y
Fig. 3.2
Fig. 3.2
Dreapta de front (frontala) – dreaptă paralelă cu [V], deci toate
Dreapta de front (frontala) – dreaptă paralelă cu [V], deci toate
punctele frontalei au aceeaúi depărtare. Punctele ce o definesc se vor
punctele frontalei au aceeaúi depărtare. Punctele ce o definesc se vor
găsi la aceeaúi distanĠă faĠă de [V], proiecĠia orizontală va fi paralelă cu
găsi la aceeaúi distanĠă faĠă de [V], proiecĠia orizontală va fi paralelă cu
Ox úi cea verticală, înclinată faĠă de Ox , Fig. 3.3;
Ox úi cea verticală, înclinată faĠă de Ox , Fig. 3.3;
z
b
z
b
0
x
0
x
y'
y'
y
y
Fig. 3.3
Fig. 3.3
Dreapta de profil – dreaptă paralelă cu [W], deci toate punctele dreptei
Dreapta de profil – dreaptă paralelă cu [W], deci toate punctele dreptei
de profil au aceeaúi abscisă. Punctele ce o definesc se vor găsi la
de profil au aceeaúi abscisă. Punctele ce o definesc se vor găsi la
aceeaúi distanĠă faĠă de [W], iar proiecĠiile orizontală úi verticală sunt
aceeaúi distanĠă faĠă de [W], iar proiecĠiile orizontală úi verticală sunt
perpendiculare pe Ox , Fig. 3.4.
perpendiculare pe Ox , Fig. 3.4.
z
g'
i'
i'
x
y'
g
d
i''
O
y'
g
d
i
i
y
y
Fig. 3.4
Fig. 3.4
27
27
g''
d''
d'
i''
O
z
g'
d''
d'
x
g''
3.2.2 Drepte perpendiculare pe planele de proiecĠie:
3.2.2 Drepte perpendiculare pe planele de proiecĠie:
Dreapta verticală – dreaptă perpendiculară pe [H] úi simultan paralelă
Dreapta verticală – dreaptă perpendiculară pe [H] úi simultan paralelă
cu [V] úi [W]. Punctele ce o definesc au atât abscisele cât úi depărtările
cu [V] úi [W]. Punctele ce o definesc au atât abscisele cât úi depărtările
egale. ProiecĠia orizontală se reduce la un punct iar proiecĠiile verticală
egale. ProiecĠia orizontală se reduce la un punct iar proiecĠiile verticală
úi laterală vor fi paralele cu axa secundară de proiecĠie Oz , Fig. 3.5;
úi laterală vor fi paralele cu axa secundară de proiecĠie Oz , Fig. 3.5;
z
e'
d'
f'
e''
e'
d''
d'
f''
f'
0
x
e''
d''
f''
0
x
y'
e=f
z
y'
e=f
y
Fig. 3.5
y
Fig. 3.5
Dreapta de capăt – dreapta perpendiculară pe [V]. Punctele ce o
Dreapta de capăt – dreapta perpendiculară pe [V]. Punctele ce o
definesc au abscisele úi cotele egale. ProiecĠia verticală se reduce la un
definesc au abscisele úi cotele egale. ProiecĠia verticală se reduce la un
punct iar proiecĠiile orizontală úi laterală sunt perpendiculare pe Ox úi
punct iar proiecĠiile orizontală úi laterală sunt perpendiculare pe Ox úi
pe Oz , Fig. 3.6;
pe Oz , Fig. 3.6;
b=c
z
b''
d'' c''
b=c
0
b''
d'' c''
0
y'
x
y'
x
b
b
d
d
c
z
c
y
Fig. 3.6
Fig. 3.6
28
28
y
Dreapta fronto-orizontală – dreapta perpendiculară pe [W], dar úi
Dreapta fronto-orizontală – dreapta perpendiculară pe [W], dar úi
paralelă cu [H] úi [V]; este simultan o dreaptă de nivel úi o dreaptă
paralelă cu [H] úi [V]; este simultan o dreaptă de nivel úi o dreaptă
frontală. Punctele ce o definesc vor avea aceleaúi cote úi depărtări.
frontală. Punctele ce o definesc vor avea aceleaúi cote úi depărtări.
ProiecĠia laterală se reduce la un punct, Fig. 3.7;
ProiecĠia laterală se reduce la un punct, Fig. 3.7;
z
a'
z
a''=b''
b'
d'
a'
a''=b''
b'
d'
0
x
0
y'
a
d
b
y
x
a
Fig. 3.7
3.2.3 Drepte conĠinute în planele de proiecĠie:
y'
d
b
y
Fig. 3.7
3.2.3 Drepte conĠinute în planele de proiecĠie:
Dreapta conĠinută în planul orizontal [H] – orizontala de cotă zero.
Dreapta conĠinută în planul orizontal [H] – orizontala de cotă zero.
ProiecĠia orizontală se confundă cu însăúi dreapta; proiecĠiile verticală
ProiecĠia orizontală se confundă cu însăúi dreapta; proiecĠiile verticală
úi laterală se suprapun pe axele de proiecĠie Ox úi Oy , Fig. 3.8;
úi laterală se suprapun pe axele de proiecĠie Ox úi Oy , Fig. 3.8;
z
a'=aX
x
d'
z
a'=aX
b'=bX 0 a''=aY b''=bY
d''
y'
x
a
d'
b'=bX 0 a''=aY b''=bY
d''
y'
a
d
d
b
y
b
Fig. 3.8
y
Fig. 3.8
Dreapta conĠinută în planul vertical [V] – frontala de depărtare zero.
Dreapta conĠinută în planul vertical [V] – frontala de depărtare zero.
ProiecĠia verticală se confundă cu însăúi dreapta; proiecĠiile orizontală
ProiecĠia verticală se confundă cu însăúi dreapta; proiecĠiile orizontală
úi laterală se suprapun pe axele de proiecĠie Ox úi Oz , Fig. 3.9;
úi laterală se suprapun pe axele de proiecĠie Ox úi Oz , Fig. 3.9;
29
29
Fig. 3.9
z
g'=gZ
Fig. 3.9
z
g'=gZ
G=g''
D=d''
d''
h'=hZ
D=d''
d''
h'=hZ
H=h''
0
x
G=g''
H=h''
0
y'
g=gY
x
d
y'
g=gY
d
h=hY
h=hY
y
y
Fig. 3.10
Fig. 3.10
Dreapta conĠinută în planul lateral [W] – dreapta de profil cu
Dreapta conĠinută în planul lateral [W] – dreapta de profil cu
abscisele zero. ProiecĠia laterală se confundă cu dreapta iar proiecĠiile
abscisele zero. ProiecĠia laterală se confundă cu dreapta iar proiecĠiile
orizontală úi verticală se suprapun pe axele de proiecĠie Oy úi Oz , Fig.
orizontală úi verticală se suprapun pe axele de proiecĠie Oy úi Oz , Fig.
3.10.
3.10.
3.2.4 Drepte ce coincid cu una din axele de proiecĠie
3.2.4 Drepte ce coincid cu una din axele de proiecĠie
O dreaptă ce coincide cu una din axele de proiecĠie va avea
O dreaptă ce coincide cu una din axele de proiecĠie va avea
proiecĠiile ei pe planele adiacente, confundate chiar cu axa respectivă, în
proiecĠiile ei pe planele adiacente, confundate chiar cu axa respectivă, în
timp ce proiecĠia pe cel de al treilea plan se va reduce la un punct ce se
timp ce proiecĠia pe cel de al treilea plan se va reduce la un punct ce se
confundă cu originea axelor. Denumirile úi proprietăĠile unor astfel de
confundă cu originea axelor. Denumirile úi proprietăĠile unor astfel de
drepte sunt aceleaúi ca úi pentru dreptele perpendiculare pe unul din
drepte sunt aceleaúi ca úi pentru dreptele perpendiculare pe unul din
planele de proiecĠie ( verticala, fronto - orizontala úi dreapta de capăt ).
planele de proiecĠie ( verticala, fronto - orizontala úi dreapta de capăt ).
Aceste drepte úi epurele lor sunt prezentate în Fig. 3.11.
Aceste drepte úi epurele lor sunt prezentate în Fig. 3.11.
30
30
e'=e''
z
e'=e''
d'=d''
f '=f ''
b=b'
0
x
d=d'
g
0=a''=b''
d=d''
0=e=f
0=g'=f '
h
z
d'=d''
g''
a=a'
f '=f ''
b=b'
0
x
d=d'
g
0=a''=b''
d=d''
0=e=f
0=g'=f '
h
h''
d=d''
g''
a=a'
y'
y
Fig. 3.11
h''
d=d''
y'
y
Fig. 3.11
3.3 PoziĠia relativă a două drepte
3.3 PoziĠia relativă a două drepte
3.3.1 Drepte paralele
Două drepte paralele în spaĠiu vor avea proiecĠiile de acelaúi nume
Două drepte paralele în spaĠiu vor avea proiecĠiile de acelaúi nume
paralele între ele. Reciproc: dacă proiecĠiile de acelaúi nume a două drepte
paralele între ele. Reciproc: dacă proiecĠiile de acelaúi nume a două drepte
din spaĠiu pe fiecare din planele de proiecĠie sunt paralele între ele, rezultă
din spaĠiu pe fiecare din planele de proiecĠie sunt paralele între ele, rezultă
că úi dreptele din spaĠiu vor fi paralele între ele. Desenul úi epura a două
că úi dreptele din spaĠiu vor fi paralele între ele. Desenul úi epura a două
drepte paralele este prezentat în Fig. 3.12.
drepte paralele este prezentat în Fig. 3.12.
Fig. 3.12
Fig. 3.12
3.3.2 Drepte concurente
3.3.2 Drepte concurente
Două drepte din spaĠiu vor fi concurente dacă proiecĠiile lor de
Două drepte din spaĠiu vor fi concurente dacă proiecĠiile lor de
acelaúi nume se intersectează, iar proiecĠiile punctului de concurenĠă se vor
acelaúi nume se intersectează, iar proiecĠiile punctului de concurenĠă se vor
31
31
afla pe aceeaúi linie de ordine. Desenul úi epura a două drepte concurente
afla pe aceeaúi linie de ordine. Desenul úi epura a două drepte concurente
este prezentat în Fig. 3.13.
este prezentat în Fig. 3.13.
Fig. 3.13
Fig. 3.13
3.3.3 Drepte disjuncte (necoplanare, oarecare)
3.3.3 Drepte disjuncte (necoplanare, oarecare)
Dacă într-o epură punctele de concurenĠă a proiecĠiilor de acelaúi
Dacă într-o epură punctele de concurenĠă a proiecĠiilor de acelaúi
nume a două drepte nu se găsesc pe aceeaúi linie de ordine, dreptele din
nume a două drepte nu se găsesc pe aceeaúi linie de ordine, dreptele din
spaĠiu nu sunt concurente úi nici nu îndeplinesc condiĠii de neparalelism,
spaĠiu nu sunt concurente úi nici nu îndeplinesc condiĠii de neparalelism,
înseamnă că ele sunt situate în plane diferite. Desenul úi epura a două
înseamnă că ele sunt situate în plane diferite. Desenul úi epura a două
drepte oarecare este prezentat în Fig. 3.14.
drepte oarecare este prezentat în Fig. 3.14.
Fig. 3.14
Fig. 3.14
32
32
4. PLANUL
4. PLANUL
4.1 Reprezentarea úi urmele planului
4.1 Reprezentarea úi urmele planului
Un plan poate fi determinat de:
Un plan poate fi determinat de:
- trei puncte necoliniare, Fig. 4.1;
Fig. 4.1
- trei puncte necoliniare, Fig. 4.1;
Fig. 4.2
Fig. 4.1
Fig. 4.2
- două drepte concurente, Fig. 4.2;
- două drepte concurente, Fig. 4.2;
- două drepte paralele, Fig. 4.3;
- două drepte paralele, Fig. 4.3;
Fig. 4.3
Fig. 4.4
- o dreaptă úi un punct exterior dreptei, Fig. 4.4.
Urmele planului sunt dreptele de intersecĠie ale planului proiectat
Fig. 4.3
Fig. 4.4
- o dreaptă úi un punct exterior dreptei, Fig. 4.4.
Urmele planului sunt dreptele de intersecĠie ale planului proiectat
[P] cu cele trei plane de proiecĠie [H], [V] úi [W].
[P] cu cele trei plane de proiecĠie [H], [V] úi [W].
- urma orizontală – se notează cu PhPx, este o dreaptă comună a planului
- urma orizontală – se notează cu PhPx, este o dreaptă comună a planului
[P] úi a planului orizontal de proiecĠie [H];
[P] úi a planului orizontal de proiecĠie [H];
- urma verticală – se notează cu PvPx, este o dreaptă comună planului [P]
- urma verticală – se notează cu PvPx, este o dreaptă comună planului [P]
úi a planului vertical de proiecĠie [V];
úi a planului vertical de proiecĠie [V];
- urma laterală – se notează PwPy, este o dreaptă comună a planului [P] úi
- urma laterală – se notează PwPy, este o dreaptă comună a planului [P] úi
a planului lateral de proiecĠie [W].
a planului lateral de proiecĠie [W].
33
33
În Fig. 4.5 sunt reprezentate în desen úi în epură cele trei urme ale
planului proiectat [P].
În Fig. 4.5 sunt reprezentate în desen úi în epură cele trei urme ale
planului proiectat [P].
z
z
Pz
Pz
Pv
Pw
Px
Pv
Pw
Px
0
Py1
x
0
Py1
x
Ph
Ph
Py
Py
y
y
Fig. 4.5
Fig. 4.5
4.2 PoziĠiile planului în raport cu planele de proiecĠie
4.2 PoziĠiile planului în raport cu planele de proiecĠie
4.2.1 Plan de poziĠie generală
4.2.1 Plan de poziĠie generală
Acest plan se intersectează cu cele trei plane de proiecĠie úi taie cele
Acest plan se intersectează cu cele trei plane de proiecĠie úi taie cele
trei axe. Urmele unui astfel de plan pot forma cu axele de proiecĠie
trei axe. Urmele unui astfel de plan pot forma cu axele de proiecĠie
unghiuri ascuĠite sau obtuze, Fig. 4.6.
unghiuri ascuĠite sau obtuze, Fig. 4.6.
z
z
Pw
Pv
Pw
Pv
0
x
Px
P-v
Ph
0
Py1
x
Py P-w
Px
P-v
Ph
Py1
Py P-w
P-z
P-z
y
y
Fig. 4.6
Fig. 4.6
34
34
4.2.2 Plane proiectante (perpendiculare) pe unul din planele de
proiecĠie
4.2.2 Plane proiectante (perpendiculare) pe unul din planele de
proiecĠie
- plan proiectant faĠă de planul orizontal de proiecĠie [H] – urma
- plan proiectant faĠă de planul orizontal de proiecĠie [H] – urma
orizontală a planului [P] este o dreaptă oarecare a planului orizontal de
orizontală a planului [P] este o dreaptă oarecare a planului orizontal de
proiecĠie [H], Fig. 4.7.
proiecĠie [H], Fig. 4.7.
z
z
Pv
Pv
Pw
a'
aZ
a''
0
Px
Ph
0
Ph
aY
a''
aX
x
Py1
a
aZ
Px
aX
x
Pw
a'
Py1
aY
a
Py
Py
y
y
Fig. 4.7
Fig. 4.7
- plan proiectant faĠă de planul vertical de proiecĠie [V] – urma verticală a
- plan proiectant faĠă de planul vertical de proiecĠie [V] – urma verticală a
planului [Q] ( perpendicular pe planul de proiecĠie [V] ), poate fi în orice
planului [Q] ( perpendicular pe planul de proiecĠie [V] ), poate fi în orice
poziĠie, Fig. 4.8.
poziĠie, Fig. 4.8.
z
Pv
a'
Px
x
ax
a
z
Pw
Py
az
Pv
a'
a''
Px
0
x
a
ay
Ph
az
a''
0
ay
Ph
y
Fig. 4.8
- plan proiectant faĠă de planul lateral de proiecĠie [W] – Fig. 4.9.
35
ax
Pw
Py
y
Fig. 4.8
- plan proiectant faĠă de planul lateral de proiecĠie [W] – Fig. 4.9.
35
z
Pv
Pz
a'
x
z
Pv
Pw
Pz
a''
az
a'
x
0
Pw
a''
az
0
ax
ax
a
a
ay
Ph
ay
Ph
Py
Py
y
y
Fig. 4.9
Fig. 4.9
4.2.3 Plane paralele cu un plan de proiecĠie úi perpendiculare pe
celelalte două
4.2.3 Plane paralele cu un plan de proiecĠie úi perpendiculare pe
celelalte două
- Planul de front – paralel cu planul vertical de proiecĠie [V], are urma
- Planul de front – paralel cu planul vertical de proiecĠie [V], are urma
orizontală paralelă cu Ox úi cea laterală paralelă cu Oz. Depărtările tuturor
orizontală paralelă cu Ox úi cea laterală paralelă cu Oz. Depărtările tuturor
punctelor planului sunt egale cu depărtarea tăieturii Fy de pe axa Oy, iar
punctelor planului sunt egale cu depărtarea tăieturii Fy de pe axa Oy, iar
Fh este paralelă cu Ox úi Fl paralelă cu Oz. Orice figură geometrică situată
Fh este paralelă cu Ox úi Fl paralelă cu Oz. Orice figură geometrică situată
în acest plan se proiecteză în adevărata formă úi mărime pe planul vertical
în acest plan se proiecteză în adevărata formă úi mărime pe planul vertical
de proiecĠie [V] úi total deformată pe planele de proiecĠie orizontal [H] úi
de proiecĠie [V] úi total deformată pe planele de proiecĠie orizontal [H] úi
lateral [W]. În epură prezintă numai urmă orizontală, Fig. 4.10.
lateral [W]. În epură prezintă numai urmă orizontală, Fig. 4.10.
z
z
Pw
b''
b'
c'
a'
x
a'',c''
b
c'
a'
x
0
Ph a
Pw
b''
b'
c
a'',c''
0
Ph a
y
b
c
y
Fig. 4.10
Fig. 4.10
36
36
- Planul de nivel – paralel cu planul orizontal de proiecĠie [H], are urma
- Planul de nivel – paralel cu planul orizontal de proiecĠie [H], are urma
verticală paralelă cu Ox úi cea laterală paralelă cu Oy. Depărtările tuturor
verticală paralelă cu Ox úi cea laterală paralelă cu Oy. Depărtările tuturor
punctelor planului sunt egale cu depărtarea tăieturii Fz de pe axa Oz, iar Fv
punctelor planului sunt egale cu depărtarea tăieturii Fz de pe axa Oz, iar Fv
este paralelă cu Ox úi Fl este paralelă cu Oy. Orice figură geometrică
este paralelă cu Ox úi Fl este paralelă cu Oy. Orice figură geometrică
situată în acest plan se proiectează în adevărata formă úi mărime pe planul
situată în acest plan se proiectează în adevărata formă úi mărime pe planul
orizontal de proiecĠie [H] úi total deformată pe planele de proiecĠie vertical
orizontal de proiecĠie [H] úi total deformată pe planele de proiecĠie vertical
[V] úi lateral [W]. În epură prezintă numai urmă verticală, Fig. 4.11.
[V] úi lateral [W]. În epură prezintă numai urmă verticală, Fig. 4.11.
z
Pv
c' a'
z
b' b'' a'' c'' Pw
x
Pv
c' a'
x
0
0
a
c
b' b'' a'' c'' Pw
a
b
c
y
b
y
Fig. 4.11
Fig. 4.11
- Planul de profil – paralel cu planul lateral de proiecĠie [W], are urma
- Planul de profil – paralel cu planul lateral de proiecĠie [W], are urma
orizontală paralelă cu Oy úi urma verticală paralelă cu Oz. Depărtările
orizontală paralelă cu Oy úi urma verticală paralelă cu Oz. Depărtările
tuturor punctelor planului sunt egale cu depărtarea tăieturii Fx de pe axa
tuturor punctelor planului sunt egale cu depărtarea tăieturii Fx de pe axa
Ox, iar Fh este paralelă cu Oy úi Fv este paralelă cu Oz. Orice figură
Ox, iar Fh este paralelă cu Oy úi Fv este paralelă cu Oz. Orice figură
geometrică situată în acest plan se proiectează în adevărata formă úi
geometrică situată în acest plan se proiectează în adevărata formă úi
mărime pe planul lateral de proiecĠie [W] úi total deformată pe planele de
mărime pe planul lateral de proiecĠie [W] úi total deformată pe planele de
proiecĠie vertical [V] úi orizontal [H]. În epură prezintă numai urmă
proiecĠie vertical [V] úi orizontal [H]. În epură prezintă numai urmă
laterală, Fig.4.12.
laterală, Fig.4.12.
37
37
z
Pv
b''
b'
a'
x
c''
0
b''
b'
a'
a''
c'
z
Pv
x
a''
c'
b
c
a
b
c
a
Ph
Ph
c''
0
y
y
Fig. 4.12
Fig. 4.12
4.3 Drepte particulare ale planului
4.3 Drepte particulare ale planului
4.3.1 Orizontala planului
4.3.1 Orizontala planului
Este o dreaptă conĠinută într-un plan oarecare [P] úi paralelă cu
planul orizontal de proiecĠie [H]. ProiecĠia ei verticală este paralelă cu Ox
planul orizontal de proiecĠie [H]. ProiecĠia ei verticală este paralelă cu Ox
úi se sprijină pe urma verticală P’Px. ProiecĠia orizontală este paralelă cu
úi se sprijină pe urma verticală P’Px. ProiecĠia orizontală este paralelă cu
urma orizontală PPx a planului. Toate orizontalele unui plan sunt paralele
urma orizontală PPx a planului. Toate orizontalele unui plan sunt paralele
între ele, deci au proiecĠiile de acelaúi nume paralele între ele. Desenul úi
între ele, deci au proiecĠiile de acelaúi nume paralele între ele. Desenul úi
epura sunt prezentate în Fig. 4.13.
epura sunt prezentate în Fig. 4.13.
z
z
Pv
a'
d'
Pw
d''
Pv
a'
a''
O
Px
d''
x
Py1
Ph
a''
O
Px
x
d'
Pw
Py1
Ph
Py
Py
y
y
Fig. 4.13
Fig. 4.13
4.3.2 Frontala planului
4.3.2 Frontala planului
planul vertical de proiecĠie [V]. ProiecĠia orizontală este paralelă cu axa Ox
planul vertical de proiecĠie [V]. ProiecĠia orizontală este paralelă cu axa Ox
38
38
úi se sprijină pe urma orizontală PPx, iar proiecĠia verticală a dreptei este
úi se sprijină pe urma orizontală PPx, iar proiecĠia verticală a dreptei este
paralelă cu urma verticală a planului P’Px. Toate frontalele unui plan sunt
paralelă cu urma verticală a planului P’Px. Toate frontalele unui plan sunt
paralele între ele, deci au proiecĠiile de acelaúi nume paralele între ele.
paralele între ele, deci au proiecĠiile de acelaúi nume paralele între ele.
Desenul úi epura sunt prezentate în Fig. 4.14.
Desenul úi epura sunt prezentate în Fig. 4.14.
z
z
Pv
Pv
Pw
a''
d'
d'
Px
d''
0
x
a
Pw
a''
Px
x
Py1
d
d''
0
a
Ph
Py1
d
Ph
Py
Py
y
y
Fig. 4.14
Fig. 4.14
4.3.3 Dreapta de profil a unui plan
4.3.3 Dreapta de profil a unui plan
Este o dreaptă a planului [P] úi paralelă cu planul lateral de proiecĠie
Este o dreaptă a planului [P] úi paralelă cu planul lateral de proiecĠie
[W]. ProiecĠia laterală este paralelă cu urma laterală a planului. Celelalte
[W]. ProiecĠia laterală este paralelă cu urma laterală a planului. Celelalte
două proiecĠii (orizontală úi verticală) sunt paralele cu axele secundare de
două proiecĠii (orizontală úi verticală) sunt paralele cu axele secundare de
proiecĠie Oz úi Oy, Fig. 4.15.
proiecĠie Oz úi Oy, Fig. 4.15.
z
Pv
n'
m'=n
x
Pw
n''
n'
d''
d'
Px
m''
0
Py1
d
Ph
Pv
d''
d'
Px
z
Pw
n''
m'=n
x
Py1
d
Ph
m
m''
0
m
Py
Py
y
y
Fig. 4.15
Fig. 4.15
4.3.4 Dreapta de cea mai mare pantă
4.3.4 Dreapta de cea mai mare pantă
Este o dreaptă a planului [P], perpendiculară pe toate orizontalele
Este o dreaptă a planului [P], perpendiculară pe toate orizontalele
acestuia, deci úi pe urma lui orizontală. ProiecĠia ei orizontală vh este
acestuia, deci úi pe urma lui orizontală. ProiecĠia ei orizontală vh este
39
39
perpendiculară pe urma orizontală a planului , iar proiecĠia verticală v’h’
perpendiculară pe urma orizontală a planului , iar proiecĠia verticală v’h’
apare ca în desen, Fig. 4.16. Fiind dată o dreaptă de cea mai mare pantă a
apare ca în desen, Fig. 4.16. Fiind dată o dreaptă de cea mai mare pantă a
unui plan, se pot determina urmele planului, conform epurei din Fig. 4.16.
unui plan, se pot determina urmele planului, conform epurei din Fig. 4.16.
Pz
v' v''
z
Pz
v' v''
Pw
Pv
x
Px
Pw
Pv
h' v
o
90
Ph
z
h''
0
x
Px
h' v
o
90
Py1
Ph
h
h''
0
Py1
h
Py
Py
y
y
Fig. 4.16
Fig. 4.16
4.3.5 Dreapte de cea mai mare înclinaĠie
4.3.5 Dreapte de cea mai mare înclinaĠie
Este o dreaptă a planului [P], perpendiculară pe toate frontalele
Este o dreaptă a planului [P], perpendiculară pe toate frontalele
planului, deci úi pe urma lui verticală. Ca urmare, proiecĠia verticală, v’h’,
planului, deci úi pe urma lui verticală. Ca urmare, proiecĠia verticală, v’h’,
a dreptei de cea mai mare înclinaĠie, este perpendiculară pe urma verticală,
a dreptei de cea mai mare înclinaĠie, este perpendiculară pe urma verticală,
P’Px a planului, iar proiecĠia orizontală apare aúa cum iese din Fig. 4.17.
P’Px a planului, iar proiecĠia orizontală apare aúa cum iese din Fig. 4.17.
z
v'
v'
o
Px
v h'
Ph
Pw
o
90
x
a
Pv
Pw
Fro
nt
al
Fro
nt
al
Pv
z
Pz
a
Pz
h''
0
90
Py1
x
Px
v h'
Ph
h
Py
y
h''
0
Py1
h
Py
y
Fig. 4.17
Fig. 4.17
4.4 PoziĠiile relative a două plane
4.4 PoziĠiile relative a două plane
4.4.1 Plane concurente
4.4.1 Plane concurente
Pentru a arăta că două plane sunt concurente trebuie aflată dreapta
Pentru a arăta că două plane sunt concurente trebuie aflată dreapta
de intersecĠie a acestora pentru care este suficient să se găsească două
de intersecĠie a acestora pentru care este suficient să se găsească două
40
40
puncte care să aparĠină celor două plane. Atunci când planele sunt date
puncte care să aparĠină celor două plane. Atunci când planele sunt date
prin urme úi urmele de acelaúi nume se intersectează în cadrul desenului,
prin urme úi urmele de acelaúi nume se intersectează în cadrul desenului,
intersecĠia urmelor de acelaúi nume reprezintă chiar urmele dreptei de
intersecĠia urmelor de acelaúi nume reprezintă chiar urmele dreptei de
intersecĠie a planului, Fig. 4.18.
intersecĠie a planului, Fig. 4.18.
Fig. 4.18
Fig. 4.18
4.4.2 Plane paralele
4.4.2 Plane paralele
Pentru a arăta că cele două plane sunt paralele, trebuie verificat dacă
Pentru a arăta că cele două plane sunt paralele, trebuie verificat dacă
unul dintre plane are două drepte paralele cu două drepte din celălalt plan.
unul dintre plane are două drepte paralele cu două drepte din celălalt plan.
Dacă se consideră două plane paralele, cu orice plan ar fi tăiate acestea,
Dacă se consideră două plane paralele, cu orice plan ar fi tăiate acestea,
dreptele de intersecĠie rezultate sunt tot paralele. În caz particular, tăiate cu
dreptele de intersecĠie rezultate sunt tot paralele. În caz particular, tăiate cu
plane de proiecĠie, urmele lor de acelaúi nume sunt paralele úi viceversa.
plane de proiecĠie, urmele lor de acelaúi nume sunt paralele úi viceversa.
Dacă urmele de acelaúi nume a două plane sunt paralele, atunci úi planele
Dacă urmele de acelaúi nume a două plane sunt paralele, atunci úi planele
sunt paralele, Fig. 4.19.
sunt paralele, Fig. 4.19.
Fig. 4.19
Fig. 4.19
41
41
5. INTERSECğIA DE PLANE ùI PLĂCI
5. INTERSECğIA DE PLANE ùI PLĂCI
5.1 Vizibilitate
5.1 Vizibilitate
În aplicaĠiile prezentate se consideră punctul, dreapta úi planul ca
În aplicaĠiile prezentate se consideră punctul, dreapta úi planul ca
fiind opace; se pune problema stabilirii în epură a elementelor vizibile úi a
fiind opace; se pune problema stabilirii în epură a elementelor vizibile úi a
celor invizibile, în cazul în care proiecĠiile lor se suprapun.
celor invizibile, în cazul în care proiecĠiile lor se suprapun.
FaĠă de planul de proiecĠie [H], dintre două puncte este întotdeauna
FaĠă de planul de proiecĠie [H], dintre două puncte este întotdeauna
vizibil cel care are cota mai mare (Fig. 5.1 a). FaĠă de planul de proiecĠie
vizibil cel care are cota mai mare (Fig. 5.1 a). FaĠă de planul de proiecĠie
[V], dintre două puncte este întotdeauna vizibil cel care are depărtarea mai
[V], dintre două puncte este întotdeauna vizibil cel care are depărtarea mai
mare (Fig. 5.1 b). FaĠă de planul de proiecĠie [W], dintre două puncte este
mare (Fig. 5.1 b). FaĠă de planul de proiecĠie [W], dintre două puncte este
întotdeauna vizibil cel care are abscisa mai mare (Fig. 5.1 c).
întotdeauna vizibil cel care are abscisa mai mare (Fig. 5.1 c).
Fig. 5.1
Fig. 5.1
5.2 IntersecĠia figurilor plane
5.2 IntersecĠia figurilor plane
În cazul intersecĠiei a două figuri plane, pentru determinarea liniei
În cazul intersecĠiei a două figuri plane, pentru determinarea liniei
lor de intersecĠie se pot utiliza două soluĠii:
- se consideră cele două figuri ca două plane ale căror urme nu se
întâlnesc în cadrul epurei;
lor de intersecĠie se pot utiliza două soluĠii:
- se consideră cele două figuri ca două plane ale căror urme nu se
întâlnesc în cadrul epurei;
42
42
- se consideră laturile unei figuri (plăci) ca niúte drepte ce
- se consideră laturile unei figuri (plăci) ca niúte drepte ce
intersectează cealaltă placă.
intersectează cealaltă placă.
5.2.1 IntersecĠia unei drepte cu o placă triunghiulară
5.2.1 IntersecĠia unei drepte cu o placă triunghiulară
Se consideră placa triunghiulară ABC dată prin proiecĠia vârfurilor
Se consideră placa triunghiulară ABC dată prin proiecĠia vârfurilor
sale: A(a, a'), B(b, b') úi C(c, c'), precum úi dreapta RS (rs, r's') ce o
sale: A(a, a'), B(b, b') úi C(c, c'), precum úi dreapta RS (rs, r's') ce o
intersectează. Pentru determinarea punctului unde dreapta RS intersectează
intersectează. Pentru determinarea punctului unde dreapta RS intersectează
placa ABC se va duce prin dreaptă un plan auxiliar, adică un plan
placa ABC se va duce prin dreaptă un plan auxiliar, adică un plan
proiectant (vertical [Q] sau de capăt). Astfel [Q] Ł rs úi Qv A Qx în Qx.
proiectant (vertical [Q] sau de capăt). Astfel [Q] Ł rs úi Qv A Qx în Qx.
Planul vertical Q intersectează placa ABC după dreapta definită de
Planul vertical Q intersectează placa ABC după dreapta definită de
punctele (k,k’) AC úi (l,l’) CB. Punctul T(t,t’) unde dreapta (kl, k’l’)
punctele (k,k’) AC úi (l,l’) CB. Punctul T(t,t’) unde dreapta (kl, k’l’)
intersectează dreapta RS reprezintă punctul de intersecĠie căutat. S-a
intersectează dreapta RS reprezintă punctul de intersecĠie căutat. S-a
determinat în primul rînd proiecĠia verticală (t’) a acestui punct úi apoi prin
determinat în primul rînd proiecĠia verticală (t’) a acestui punct úi apoi prin
linie de ordine corespunzătoare úi proiecĠia sa orizontală t RS Ł QH.
linie de ordine corespunzătoare úi proiecĠia sa orizontală t RS Ł QH.
r'
r'
b'
m'
a'
t'
x
n'
s'
c'
a
r
m
a'
t'
r
t
n
l
c
s'
c'
a
l'
n'
k'
s'
c'
c
s
x
t'
b
t
s
a
b
m1 k
b'
m'
b
t
k'
a'
r'
s'
a
b'
m'
t'
c'
l'
r'
b'
m'
a'
r
m
r
s
c
b
t
n
m1 k
l
s
c
Fig. 5.2
Fig. 5.2
5.2.2 IntersecĠia a două plane definite de urmele lor
5.2.2 IntersecĠia a două plane definite de urmele lor
IntersecĠia a două plane este o dreaptă. Este suficient să cunoaútem
IntersecĠia a două plane este o dreaptă. Este suficient să cunoaútem
două puncte ale dreptei sau punctele de intersecĠie A úi B ale celor două
două puncte ale dreptei sau punctele de intersecĠie A úi B ale celor două
urme de acelaúi nume aparĠinând fiecărui plan.
urme de acelaúi nume aparĠinând fiecărui plan.
43
43
În epură proiectăm pe Ox pe a’ în a úi pe b în b’; rezultă că ab úi
a’b’ sunt proiecĠiile intersecĠiei a două plane, Fig. 5.3.
În epură proiectăm pe Ox pe a’ în a úi pe b în b’; rezultă că ab úi
a’b’ sunt proiecĠiile intersecĠiei a două plane, Fig. 5.3.
Fig. 5.3
Fig. 5.3
5.3 IntersecĠia a două plăci
5.3 IntersecĠia a două plăci
IntersecĠia a două plăci prezintă două variante: PĂTRUNDEREA úi
IntersecĠia a două plăci prezintă două variante: PĂTRUNDEREA úi
SMULGEREA.
SMULGEREA.
5.3.1 Patrunderea – se întâlneúte atunci când o placă intră complet
în cealaltă.
5.3.1 Patrunderea – se întâlneúte atunci când o placă intră complet
în cealaltă.
Avem o placă triunghiulară ABC úi o placă patrulateră DEFG,
Avem o placă triunghiulară ABC úi o placă patrulateră DEFG,
ambele date prin proiecĠiile vârfurilor. Se cere să se stabilească proiecĠiile
ambele date prin proiecĠiile vârfurilor. Se cere să se stabilească proiecĠiile
liniei de intersecĠie dintre aceste două plăci úi să se determine vizibilitatea.
liniei de intersecĠie dintre aceste două plăci úi să se determine vizibilitatea.
Se consideră laturile unei plăci ca niúte drepte ce intersectează
Se consideră laturile unei plăci ca niúte drepte ce intersectează
cealaltă placă úi, prin urmare, se va aplica metoda generală de determinare
cealaltă placă úi, prin urmare, se va aplica metoda generală de determinare
a punctului unde o dreaptă intersectează un plan. S-a dus prin latura AB
a punctului unde o dreaptă intersectează un plan. S-a dus prin latura AB
(ab, acbc) un plan proiectant (planul de capăt) >P@, care a determinat
(ab, acbc) un plan proiectant (planul de capăt) >P@, care a determinat
punctul (D, Dc ), iar planul de capăt >R@ dus prin latura AC, va determina
punctul (D, Dc ), iar planul de capăt >R@ dus prin latura AC, va determina
punctul ( E, Ec ). Unindu-se proiecĠiile de acelaúi nume ale acestor două
punctul ( E, Ec ). Unindu-se proiecĠiile de acelaúi nume ale acestor două
puncte astfel determinate, se vor obĠine cele două proiecĠii ale dreptei de
puncte astfel determinate, se vor obĠine cele două proiecĠii ale dreptei de
intersecĠie, Fig.5.4.
intersecĠie, Fig.5.4.
44
44
Fig. 5.4
5.3.2 Smulgerea (ruperea) – se întâlneúte atunci când o placă
pătrunde parĠial în cealaltă placă.
Fig. 5.4
5.3.2 Smulgerea (ruperea) – se întâlneúte atunci când o placă
pătrunde parĠial în cealaltă placă.
Se consideră plăcile triunghiulare ABC úi DEF date prin proiecĠiile
Se consideră plăcile triunghiulare ABC úi DEF date prin proiecĠiile
vârfurilor. Se utilizează planele proiectante (de capăt) >P@ úi >R@ duse prin
vârfurilor. Se utilizează planele proiectante (de capăt) >P@ úi >R@ duse prin
laturile DF úi DE ale plăcii DEF. Din Fig. 5.5 se poate observa că placa
laturile DF úi DE ale plăcii DEF. Din Fig. 5.5 se poate observa că placa
DEF pătrunde parĠial în placa ABC.
DEF pătrunde parĠial în placa ABC.
45
45
Fig. 5.5
Fig. 5.5
5.3.3 IntersecĠia a două plăci triunghiulare
5.3.3 IntersecĠia a două plăci triunghiulare
Deoarece două plane se intersectează după o dreaptă, linia de
Deoarece două plane se intersectează după o dreaptă, linia de
intersecĠie a două poligoane convexe limitate este un segment de dreaptă.
intersecĠie a două poligoane convexe limitate este un segment de dreaptă.
Pentru aflarea acestui segment, este suficient să se găsească cele două
Pentru aflarea acestui segment, este suficient să se găsească cele două
capete ale sale, adică două puncte, fiecare dintre ele fiind punctul de
capete ale sale, adică două puncte, fiecare dintre ele fiind punctul de
intersecĠie al conturului unei figuri cu planul celeilalte figuri.
intersecĠie al conturului unei figuri cu planul celeilalte figuri.
În problema intersecĠiei a două plăci triunghiulare, putem deosebi
trei cazuri principale:
În problema intersecĠiei a două plăci triunghiulare, putem deosebi
trei cazuri principale:
46
46
a) două laturi ale unei plăci intersectează cea de-a doua placă, Fig.5.6a;
a) două laturi ale unei plăci intersectează cea de-a doua placă, Fig.5.6a;
b) o latură a primei plăci intersectează cea de-a doua placă úi o latură a
b) o latură a primei plăci intersectează cea de-a doua placă úi o latură a
celei de-a doua plăci intersectează prima placă, Fig. 5.6 b;
celei de-a doua plăci intersectează prima placă, Fig. 5.6 b;
c) nici o latură a unei plăci nu intersectează cealaltă placă, Fig. 5.6 c.
c) nici o latură a unei plăci nu intersectează cealaltă placă, Fig. 5.6 c.
Fig. 5.6
Fig. 5.6
În afara acestor cazuri principale, pot exista úi următoarele cazuri
speciale:
În afara acestor cazuri principale, pot exista úi următoarele cazuri
speciale:
a) vărful unei plăci se află în planul celei de-a doua plăci, Fig. 5.7 a;
a) vărful unei plăci se află în planul celei de-a doua plăci, Fig. 5.7 a;
b) vârful unei plăci se află pe o latură a celei de-a doua plăci, Fig. 4.7b;
b) vârful unei plăci se află pe o latură a celei de-a doua plăci, Fig. 4.7b;
c) latura unei plăci intersectează latura celeilalte plăci, Fig. 4.7 c.
c) latura unei plăci intersectează latura celeilalte plăci, Fig. 4.7 c.
Fig. 5.7
Fig. 5.7
47
47
6. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE
6. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE
Prin metodele Geometriei Descriptive se realizează transformarea
Prin metodele Geometriei Descriptive se realizează transformarea
proiecĠiilor elementelor geometrice, din poziĠiile iniĠiale date, în alte poziĠii
proiecĠiilor elementelor geometrice, din poziĠiile iniĠiale date, în alte poziĠii
mai avantajoase pentru rezolvarea unor probleme. Măsurarea unei distanĠe,
mai avantajoase pentru rezolvarea unor probleme. Măsurarea unei distanĠe,
suprafeĠe sau a unui unghi se poate face pe o proiecĠie în care elementul ce
suprafeĠe sau a unui unghi se poate face pe o proiecĠie în care elementul ce
trebuie măsurat se găseúte în adevărata mărime. Dacă acestea sunt
trebuie măsurat se găseúte în adevărata mărime. Dacă acestea sunt
proiectate deformat este necesară aflarea mărimii lor reale. În general este
proiectate deformat este necesară aflarea mărimii lor reale. În general este
necesară fie o modificare a sistemului de referinĠă (plan de proiecĠie) fie o
necesară fie o modificare a sistemului de referinĠă (plan de proiecĠie) fie o
modificare a poziĠiei din spaĠiu, a elementului geometric pentru a obĠine
modificare a poziĠiei din spaĠiu, a elementului geometric pentru a obĠine
adevărata lui mărime de proiecĠie.
adevărata lui mărime de proiecĠie.
Metodele geometriei descriptive de transformare a proiecĠiilor sunt:
Metodele geometriei descriptive de transformare a proiecĠiilor sunt:
metoda schimbării planelor de proiecĠie úi metoda rotaĠiei, cu un caz
metoda schimbării planelor de proiecĠie úi metoda rotaĠiei, cu un caz
particular al acesteia – rabaterea.
particular al acesteia – rabaterea.
6.1 Metoda schimbării de plan
6.1 Metoda schimbării de plan
6.1.1 GeneralităĠi
Prin metoda schimbării de plan se aduce un plan de proiecĠie în
Prin metoda schimbării de plan se aduce un plan de proiecĠie în
poziĠie de paralelism sau perpendicularitate faĠă de elementul geometric
poziĠie de paralelism sau perpendicularitate faĠă de elementul geometric
studiat, păstrând totodată úi condiĠia de perpendicularitate faĠă de unul
studiat, păstrând totodată úi condiĠia de perpendicularitate faĠă de unul
dintre cele două plane de proiecĠie. Din tripletul imaginilor epurei, la
dintre cele două plane de proiecĠie. Din tripletul imaginilor epurei, la
schimbarea unui plan de proiecĠie rămâne neschimbată o singură proiecĠie.
schimbarea unui plan de proiecĠie rămâne neschimbată o singură proiecĠie.
6.1.2 Metoda schimbării de plan orizontal de proiecĠie
6.1.2 Metoda schimbării de plan orizontal de proiecĠie
Transformarea proiecĠiilor unui punct prin schimbare de >H@ , Fig. 6.1.
Transformarea proiecĠiilor unui punct prin schimbare de >H@ , Fig. 6.1.
Fie un punct M (m, m’); dacă se ia un nou plan de proiecĠie >H1@ A
Fie un punct M (m, m’); dacă se ia un nou plan de proiecĠie >H1@ A
>V@, se obĠine noua axă de proiecĠie (O1X1) >H1@ >V@.
48
>V@, se obĠine noua axă de proiecĠie (O1X1) >H1@ >V@.
48
Linia de ordine dusă din M, perpendiculară pe >H1@, determină noua
Linia de ordine dusă din M, perpendiculară pe >H1@, determină noua
proiecĠie orizontală a punctului, m1, depărtarea y rămânând aceeaúi ca
proiecĠie orizontală a punctului, m1, depărtarea y rămânând aceeaúi ca
valoare. În epură, faĠă de noua axă de proiecĠie O1x1, se determină noua
valoare. În epură, faĠă de noua axă de proiecĠie O1x1, se determină noua
proiecĠie orizontală m1, la aceeaúi depărtare y, pe linia de ordine dusă din
proiecĠie orizontală m1, la aceeaúi depărtare y, pe linia de ordine dusă din
m’1 { m’.
m’1 { m’.
În schimbarea de plan orizontal de proiecĠie pentru un punct,
În schimbarea de plan orizontal de proiecĠie pentru un punct,
proiecĠia verticală úi depărtarea sunt elemente invariabile, proiecĠia
proiecĠia verticală úi depărtarea sunt elemente invariabile, proiecĠia
orizontală úi cota sunt elemente variabile.
orizontală úi cota sunt elemente variabile.
Fig. 6.1
Fig. 6.1
Transformarea proiecĠiilor unei drepte prin schimbare de >H@ , Fig. 6.2.
Transformarea proiecĠiilor unei drepte prin schimbare de >H@ , Fig. 6.2.
Se efectuează prin transformarea proiecĠiilor a două puncte
Se efectuează prin transformarea proiecĠiilor a două puncte
conĠinute de dreaptă. Dreapta D(d, d’), în noul reper >H1, V@, devine
conĠinute de dreaptă. Dreapta D(d, d’), în noul reper >H1, V@, devine
D1(d1,d1’) păstrându-se neschimbată proiecĠia verticală d1’ { d’. se face
D1(d1,d1’) păstrându-se neschimbată proiecĠia verticală d1’ { d’. se face
schimbarea
de
>H@
pentru două puncte conĠinute de dreaptă,
A(a, a’) B(b, b’) D(d, d’), care îúi păstrează depărtarea în noul reper.
Noua proiecĠie orizontală a dreptei se determină unind punctele a1 úi b1;
d1 a1 b1
49
schimbarea
de
>H@
pentru două puncte conĠinute de dreaptă,
A(a, a’) B(b, b’) D(d, d’), care îúi păstrează depărtarea în noul reper.
Noua proiecĠie orizontală a dreptei se determină unind punctele a1 úi b1;
d1 a1 b1
49
Fig. 6.2
Fig. 6.2
Transformarea proiecĠiilor unui plan >P@ prin schimbare de >H@ , Fig. 6.3.
Transformarea proiecĠiilor unui plan >P@ prin schimbare de >H@ , Fig. 6.3.
Are ca elemente invariabile urma verticală p’V { p’V1 úi depărtarea
Are ca elemente invariabile urma verticală p’V { p’V1 úi depărtarea
unui punct I, conĠinut în planele >P@, >H@ úi >H1@; i { i1; i’ { i’1. Se schimbă
unui punct I, conĠinut în planele >P@, >H@ úi >H1@; i { i1; i’ { i’1. Se schimbă
urma orizontală a planului, PH în PH1. În epură , I (i, i’) Ox O1x1;
urma orizontală a planului, PH în PH1. În epură , I (i, i’) Ox O1x1;
px1 Ox1 p’v { p’v1. Se duce o perpendiculară în i’ pe noua axă O1x1,
px1 Ox1 p’v { p’v1. Se duce o perpendiculară în i’ pe noua axă O1x1,
pe care se determină i, menĠinând aceeaúi depărtare. Se trasează
pe care se determină i, menĠinând aceeaúi depărtare. Se trasează
pH1 i1 px1. În noul reper >H1, V@, planul >P@ devine >P1@ (pH1, pV1).
pH1 i1 px1. În noul reper >H1, V@, planul >P@ devine >P1@ (pH1, pV1).
Fig. 6.3
6.1.3 Metoda schimbării de plan vertical de proiecĠie
Fig. 6.3
6.1.3 Metoda schimbării de plan vertical de proiecĠie
Transformarea proiecĠiilor unui punct prin schimbare de >V@ , Fig. 6.4.
Transformarea proiecĠiilor unui punct prin schimbare de >V@ , Fig. 6.4.
Punctul M (m, m’) din reperul [H, V] devine un nou reper [H, V1],
Punctul M (m, m’) din reperul [H, V] devine un nou reper [H, V1],
M1 (m1, m1’); m { m1; m’ devine m1’, păstrându-úi neschimbată cota z.
50
M1 (m1, m1’); m { m1; m’ devine m1’, păstrându-úi neschimbată cota z.
50
În schimbarea de plan vertical de proiecĠie pentru un punct, proiecĠia
În schimbarea de plan vertical de proiecĠie pentru un punct, proiecĠia
orizontală úi cota sunt elemente invariabile, proiecĠia verticală úi depărtarea
orizontală úi cota sunt elemente invariabile, proiecĠia verticală úi depărtarea
sunt elemente variabile.
sunt elemente variabile.
Fig. 6.4
Fig. 6.4
Transformarea proiecĠiilor unei drepte prin schimbare de >V@ , Fig. 6.5.
Transformarea proiecĠiilor unei drepte prin schimbare de >V@ , Fig. 6.5.
Dreapta D (d, d’), din reperul >H, V@, devine D1 (d1, d1’), d1 { d, în
Dreapta D (d, d’), din reperul >H, V@, devine D1 (d1, d1’), d1 { d, în
noul reper >H, V1@. Pentru determinarea d1’ se face schimbarea de >V@
noul reper >H, V1@. Pentru determinarea d1’ se face schimbarea de >V@
pentru punctele A (a, a’) B (b, b’) (D); d1’ a1’ b1’.
pentru punctele A (a, a’) B (b, b’) (D); d1’ a1’ b1’.
Fig. 6.5
Transformarea proiecĠiilor unui plan >P@ prin schimbare de >V@ , Fig. 6.6.
Fig. 6.5
Transformarea proiecĠiilor unui plan >P@ prin schimbare de >V@ , Fig. 6.6.
Are ca elemente invariabile urma orizontală PH { PH1 úi cota unui
Are ca elemente invariabile urma orizontală PH { PH1 úi cota unui
punct I conĠinut de >P@, >V@ úi >V1@ ; i { i1. Se schimbă urma verticală a
punct I conĠinut de >P@, >V@ úi >V1@ ; i { i1. Se schimbă urma verticală a
planului, p’V în p’V1. În epură, I (i, i’) OxO1x1; px1 Ox1P’H { P’H1.
planului, p’V în p’V1. În epură, I (i, i’) OxO1x1; px1 Ox1P’H { P’H1.
51
51
Se duce o perpendiculară în i’ pe noua axă O1x1, pe care se
Se duce o perpendiculară în i’ pe noua axă O1x1, pe care se
determină i, menĠinând aceeaúi cotă. Se trasează p’V1 px1 i1. În noul
determină i, menĠinând aceeaúi cotă. Se trasează p’V1 px1 i1. În noul
reper >H, V1@, planul >P@ devine >P1@ (pH1, p’V1).
reper >H, V1@, planul >P@ devine >P1@ (pH1, p’V1).
Fig. 6.6
Fig. 6.6
6.2 Metoda rotaĠiei
6.2 Metoda rotaĠiei
În metoda rotaĠiei planele de proiecĠie [H] úi [V] rămân
În metoda rotaĠiei planele de proiecĠie [H] úi [V] rămân
nemodificate, iar elementul geometric din spaĠiu îúi modifică poziĠia (prin
nemodificate, iar elementul geometric din spaĠiu îúi modifică poziĠia (prin
rotire) până când ocupă o poziĠie particulară faĠă de planele de proiecĠie, în
rotire) până când ocupă o poziĠie particulară faĠă de planele de proiecĠie, în
general o poziĠie paralelă.
general o poziĠie paralelă.
RotaĠia elementelor geometrice se face în jurul unei axe de rotaĠie,
RotaĠia elementelor geometrice se face în jurul unei axe de rotaĠie,
care este o dreaptă perpendiculară pe unul din planele de proiecĠie. În cazul
care este o dreaptă perpendiculară pe unul din planele de proiecĠie. În cazul
în care axa de rotaĠie este o dreaptă oarecare, aceasta se duce, prin
în care axa de rotaĠie este o dreaptă oarecare, aceasta se duce, prin
schimbare de plan, să fie perpendiculară pe unul din planele de proiecĠie.
schimbare de plan, să fie perpendiculară pe unul din planele de proiecĠie.
Punctele se rotesc în plane perpendiculare pe axa de rotaĠie. Dacă
Punctele se rotesc în plane perpendiculare pe axa de rotaĠie. Dacă
axa de rotaĠie este o dreaptă verticală, deci perpendiculară pe [H], punctele
axa de rotaĠie este o dreaptă verticală, deci perpendiculară pe [H], punctele
se rotesc în plane de nivel úi rotaĠia se numeúte: rotaĠie de nivel.
se rotesc în plane de nivel úi rotaĠia se numeúte: rotaĠie de nivel.
Dacă axa de rotaĠie este o dreaptă de capăt, deci perpendiculară pe
Dacă axa de rotaĠie este o dreaptă de capăt, deci perpendiculară pe
[V], punctele se rotesc în plane frontale úi rotaĠia se numeúte: rotaĠie de
[V], punctele se rotesc în plane frontale úi rotaĠia se numeúte: rotaĠie de
front. Dacă axa de rotaĠie este o dreaptă fronto-orizontală, deci
front. Dacă axa de rotaĠie este o dreaptă fronto-orizontală, deci
52
52
perpendiculară pe [W], punctele se rotesc în plane de profil úi rotaĠia se
perpendiculară pe [W], punctele se rotesc în plane de profil úi rotaĠia se
numeúte: rotaĠie de profil.
numeúte: rotaĠie de profil.
Fiecare punct în rotire se deplasează pe un cerc (Fig. 6.7) cu centrul
Fiecare punct în rotire se deplasează pe un cerc (Fig. 6.7) cu centrul
în punctul de intersecĠie dintre axa de rotaĠie úi planul în care se roteúte; s-a
în punctul de intersecĠie dintre axa de rotaĠie úi planul în care se roteúte; s-a
convenit ca să se noteze centrul de rotaĠie cu : (Z, Zc). Raza R a cercului
convenit ca să se noteze centrul de rotaĠie cu : (Z, Zc). Raza R a cercului
este distanĠa de la axa de rotaĠie la punctul rotit. Rotirea punctului se face
este distanĠa de la axa de rotaĠie la punctul rotit. Rotirea punctului se face
într-un sens convenabil ales úi de un unghi D dat.
într-un sens convenabil ales úi de un unghi D dat.
6.2.2 RotaĠia de nivel
6.2.2 RotaĠia de nivel
În rotaĠia de nivel, axa Z (z, z’) este perpendiculară pe planul [H], iar
În rotaĠia de nivel, axa Z (z, z’) este perpendiculară pe planul [H], iar
planul [N] în care se roteúte fiecare punct este plan de nivel. În consecinĠă,
planul [N] în care se roteúte fiecare punct este plan de nivel. În consecinĠă,
pentru orice poziĠie a punctului A, giratorie în jurul axei Z (z, z’), cota
pentru orice poziĠie a punctului A, giratorie în jurul axei Z (z, z’), cota
punctului rămânea ceeaúi, deci: z = constant.
punctului rămânea ceeaúi, deci: z = constant.
RotaĠia de nivel pentru un punct
RotaĠia de nivel pentru un punct
Fie un punct A (a, a’), dat prin proiecĠii, care trebuie rotit de un
Fie un punct A (a, a’), dat prin proiecĠii, care trebuie rotit de un
unghi D. În Fig. 6.7 este reprezentată în spaĠiu úi în epură rotaĠia punctului
unghi D. În Fig. 6.7 este reprezentată în spaĠiu úi în epură rotaĠia punctului
A (a, a’), axa de rotaĠie fiind dreapta Z A [H] (dreaptă verticală). Planul în
A (a, a’), axa de rotaĠie fiind dreapta Z A [H] (dreaptă verticală). Planul în
care se face rotaĠia este [N] A [Z], având cota egală cu cota punctului A.
care se face rotaĠia este [N] A [Z], având cota egală cu cota punctului A.
Fig. 6.7
Fig. 6.7
53
53
Raza de rotaĠie R este distanĠa de la A (a, a’) la Z (z, z’), R = :A.
Unghiul de rotaĠie D este măsurat în sens trigonometric.
RotaĠia de nivel pentru o dreaptă úi pentru un plan sunt prezentate
în Fig.6.8 úi Fig.6.9.
Raza de rotaĠie R este distanĠa de la A (a, a’) la Z (z, z’), R = :A.
Unghiul de rotaĠie D este măsurat în sens trigonometric.
RotaĠia de nivel pentru o dreaptă úi pentru un plan sunt prezentate
în Fig.6.8 úi Fig.6.9.
Fig. 6.8
54
Fig. 6.8
54
Fig. 6.9
Fig. 6.9
6.2.3 RotaĠia de front
6.2.3 RotaĠia de front
În rotaĠia de front, axa Z (z, z’) este perpendiculară pe planul [V].
În rotaĠia de front, axa Z (z, z’) este perpendiculară pe planul [V].
Planul în care se roteúte fiecare punct este perpendicular pe axa de rotaĠie,
Planul în care se roteúte fiecare punct este perpendicular pe axa de rotaĠie,
deci, plan de front. Pentru oricare dintre poziĠiile ocupate de un punct în
deci, plan de front. Pentru oricare dintre poziĠiile ocupate de un punct în
rotirea lui în jurul axei, depărtarea rămâne aceeaúi, deci z = constant.
rotirea lui în jurul axei, depărtarea rămâne aceeaúi, deci z = constant.
RotaĠia de front pentru un punct
RotaĠia de front pentru un punct
Fie un punct A (a, a’) dat prin proiecĠii, care trebuie rotit de un unghi
Fie un punct A (a, a’) dat prin proiecĠii, care trebuie rotit de un unghi
D. În Fig. 6.10 este reprezentată în spaĠiu si în epură rotaĠia de front pentru
D. În Fig. 6.10 este reprezentată în spaĠiu si în epură rotaĠia de front pentru
punctul A (a, a’).
punctul A (a, a’).
Axa de rotaĠie Z (z, z’) A [V] este o dreaptă de capăt. Planul pe care
Axa de rotaĠie Z (z, z’) A [V] este o dreaptă de capăt. Planul pe care
se face rotaĠia este [F] A [Z], plan frontal.
se face rotaĠia este [F] A [Z], plan frontal.
Centrul de rotaĠie : (Z, Z’) = (Z) [F]. Raza de rotaĠie R este distanĠa de
Centrul de rotaĠie : (Z, Z’) = (Z) [F]. Raza de rotaĠie R este distanĠa de
la A (a, a’) la Z (z, z’), deci R = Z’ a’. Unghiul de rotaĠie D se măsoară în
la A (a, a’) la Z (z, z’), deci R = Z’ a’. Unghiul de rotaĠie D se măsoară în
sensul arătat în Fig. 6.10. Axa de rotaĠie Z (z, z’) intersectează planul [F] în
sensul arătat în Fig. 6.10. Axa de rotaĠie Z (z, z’) intersectează planul [F] în
punctul : (Z, Z’) care este úi centru de rotaĠie; proiecĠia Z’ { z’.
punctul : (Z, Z’) care este úi centru de rotaĠie; proiecĠia Z’ { z’.
Cercul situat în planul [F], pe care se deplasează punctul A (a, a’),
Cercul situat în planul [F], pe care se deplasează punctul A (a, a’),
se proiectează în mărime reală pe planul [V], deci unghiul a’Z’a1’ notat cu
se proiectează în mărime reală pe planul [V], deci unghiul a’Z’a1’ notat cu
D1, se măsoară în planul [V].
D1, se măsoară în planul [V].
55
55
Deoarece proiecĠia verticală a’ a punctului se deplasează pe cerc ( în
Deoarece proiecĠia verticală a’ a punctului se deplasează pe cerc ( în
a1’ ) úi proiecĠia orizontală a se deplasează pe urma orizontală fh (în a1).
a1’ ) úi proiecĠia orizontală a se deplasează pe urma orizontală fh (în a1).
Orice poziĠie ar ocupa punctul A în rotaĠie, proiecĠia lui orizontală se va
Orice poziĠie ar ocupa punctul A în rotaĠie, proiecĠia lui orizontală se va
deplasa pe urma orizontală fh, deci depărtarea y este invariabilă. Punctul
deplasa pe urma orizontală fh, deci depărtarea y este invariabilă. Punctul
A1(a1, a1’) este rotit punctului A (a, a’) în jurul axei de capăt Z (z, z’).
A1(a1, a1’) este rotit punctului A (a, a’) în jurul axei de capăt Z (z, z’).
Fig. 6.10
RotaĠia de front pentru o dreaptă úi pentru un plan sunt prezentate
în Fig.6.11 úi Fig. 6.12.
Fig. 6.10
RotaĠia de front pentru o dreaptă úi pentru un plan sunt prezentate
în Fig.6.11 úi Fig. 6.12.
56
56
Fig. 6.11
Fig. 6.11
Fig. 6.12
Fig. 6.12
57
57
6.2.4 Adevărata mărime a unei figuri plane prin metoda rotaĠiei
6.2.4 Adevărata mărime a unei figuri plane prin metoda rotaĠiei
Se consideră placa triunghiulară ABC determinată prin proiecĠia
vârfurilor sale: A (a, a’), B (b, b’) úi C (c, c’). Se cere să se găsească, prin
metoda rotaĠie, adevărata mărime a plăcii ABC, Fig. 6.13.
metoda rotaĠie, adevărata mărime a plăcii ABC, Fig. 6.13.
Pentru ca placa triunghiulară ABC (abc, a’b’c’) să se proiecteze în
Pentru ca placa triunghiulară ABC (abc, a’b’c’) să se proiecteze în
adevărata mărime a plăcii pe unul din planele de proiecĠie, trebuie ca
adevărata mărime a plăcii pe unul din planele de proiecĠie, trebuie ca
planul plăcii să devină paralel cu unul din planele de proiecĠie, adică să
planul plăcii să devină paralel cu unul din planele de proiecĠie, adică să
devină fie un plan de front, fie un plan de nivel.
devină fie un plan de front, fie un plan de nivel.
S-a dus planul plăcii triunghiulare ABC astfel încât acesta să fie
S-a dus planul plăcii triunghiulare ABC astfel încât acesta să fie
paralel cu planul orizontal de proiecĠie [H], adică să devină un plan de
paralel cu planul orizontal de proiecĠie [H], adică să devină un plan de
nivel. Pentru aceasta va trebui să se facă două rotaĠii.
nivel. Pentru aceasta va trebui să se facă două rotaĠii.
Fig. 6.13
Fig. 6.13
58
58
Prima rotaĠie. Se face o rotaĠie de nivel în jurul verticalei ' (G, G’),
aducându-se planul triunghiului în poziĠia plan de capăt.
Prima rotaĠie. Se face o rotaĠie de nivel în jurul verticalei ' (G, G’),
aducându-se planul triunghiului în poziĠia plan de capăt.
Pentru simplificarea construcĠiilor grafice, axul de rotaĠie (G, G’) a
Pentru simplificarea construcĠiilor grafice, axul de rotaĠie (G, G’) a
fost luat în aúa fel încât să treacă printr-unul din vârfurile plăcii, de
fost luat în aúa fel încât să treacă printr-unul din vârfurile plăcii, de
exemplu prin punctul A (a, a’) úi în acest caz, acest punct va rămâne
exemplu prin punctul A (a, a’) úi în acest caz, acest punct va rămâne
propriul său rotit.
propriul său rotit.
Deci:
a1 { a a’1 { a’.
Deci:
a1 { a a’1 { a’.
Apoi, se duce în planul plăcii o orizontală : (Z, Z’) care, tot pentru
Apoi, se duce în planul plăcii o orizontală : (Z, Z’) care, tot pentru
simplificarea construcĠiilor grafice, s-a luat să treacă printr-unul din
simplificarea construcĠiilor grafice, s-a luat să treacă printr-unul din
vârfurile plăcii, úi anume prin C (c, c’). Deci, Z Ox úi va trece prin c’
vârfurile plăcii, úi anume prin C (c, c’). Deci, Z Ox úi va trece prin c’
determinându-se astfel punctul 1’ ab, dar úi 1 ab.
determinându-se astfel punctul 1’ ab, dar úi 1 ab.
Se roteúte această orizontală în jurul verticalei ' (G, G’) până ce
Se roteúte această orizontală în jurul verticalei ' (G, G’) până ce
devine perpendiculară pe Ox, adică dreapta de capăt :1 (Z1, Z1’). RotaĠia
devine perpendiculară pe Ox, adică dreapta de capăt :1 (Z1, Z1’). RotaĠia
s-a făcut cu ajutorul perpendicularei comune Gm. Apoi, s-au determinat
s-a făcut cu ajutorul perpendicularei comune Gm. Apoi, s-au determinat
punctele (11, 11’), respectiv (c1, c1’). Se uneúte a1 { a cu c1 úi 11, rotindu-se
punctele (11, 11’), respectiv (c1, c1’). Se uneúte a1 { a cu c1 úi 11, rotindu-se
apoi proiecĠia orizontală b a punctului B, până ce ajunge în b1 a111.
apoi proiecĠia orizontală b a punctului B, până ce ajunge în b1 a111.
Unindu-se a1 cu b1 úi cu c1 se va obĠine proiecĠia orizontală a plăcii
Unindu-se a1 cu b1 úi cu c1 se va obĠine proiecĠia orizontală a plăcii
triunghiulare ABC după rotire. Imediat se determină úi proiecĠiile lui
triunghiulare ABC după rotire. Imediat se determină úi proiecĠiile lui
verticale a1’, b1’ úi c1’; observându-se că ele sunt coliniare, fiind duse pe
verticale a1’, b1’ úi c1’; observându-se că ele sunt coliniare, fiind duse pe
planul plăcii ABC ca să devină un plan de capăt (proiecĠia verticală a plăcii
planul plăcii ABC ca să devină un plan de capăt (proiecĠia verticală a plăcii
s-a redus la o dreaptă care se confundă cu urma verticală a planului de
s-a redus la o dreaptă care se confundă cu urma verticală a planului de
capăt care conĠine dreapta placa triunghiulară).
capăt care conĠine dreapta placa triunghiulară).
A doua rotaĠie. Se face în jurul axului de capăt Z (z, z’) – deci o
A doua rotaĠie. Se face în jurul axului de capăt Z (z, z’) – deci o
rotaĠie de front – dus tot prin punctul (a, a’) úi se va aduce în planul
rotaĠie de front – dus tot prin punctul (a, a’) úi se va aduce în planul
triunghiului, din poziĠia plan de capăt, să devină plan de nivel (urma
triunghiului, din poziĠia plan de capăt, să devină plan de nivel (urma
verticală să fie paralelă cu linia de pământ Ox úi să treacă prin a2’ { a1’ ).
verticală să fie paralelă cu linia de pământ Ox úi să treacă prin a2’ { a1’ ).
59
59
Se vor afla imediat proiecĠiile verticale ale punctelor A2, B2 úi C2:
Se vor afla imediat proiecĠiile verticale ale punctelor A2, B2 úi C2:
a2’’, b2’’ úi c2’’ (se determină ducând din a2’ { a1’ câte un arc de cerc de
a2’’, b2’’ úi c2’’ (se determină ducând din a2’ { a1’ câte un arc de cerc de
rază R = a1’b1’ ) după care, prin linii de ordine corespunzătoare se vor
rază R = a1’b1’ ) după care, prin linii de ordine corespunzătoare se vor
determina úi proiecĠiile lor orizontale: a2 { a1, iar b2 úi c2 la intersecĠia
determina úi proiecĠiile lor orizontale: a2 { a1, iar b2 úi c2 la intersecĠia
acestor linii de ordine cu paralelele duse la linia de pământ Ox prin b1 úi c1.
acestor linii de ordine cu paralelele duse la linia de pământ Ox prin b1 úi c1.
Unindu-se aceste puncte astfel determinate, a2 cu b2 úi cu c2, se va
Unindu-se aceste puncte astfel determinate, a2 cu b2 úi cu c2, se va
determina triunghiul a2b2c2 care reprezintă adevărata mărime a triunghiului
determina triunghiul a2b2c2 care reprezintă adevărata mărime a triunghiului
ABC din spaĠiu; deci, ' a2b2c2 { ' ABC.
ABC din spaĠiu; deci, ' a2b2c2 { ' ABC.
6.3. Metoda rabaterii
Rabaterea este un caz particular al rotaĠiei. Prin rabatere se înĠelege
Rabaterea este un caz particular al rotaĠiei. Prin rabatere se înĠelege
rotirea unui plan oarecare >P@ în jurul uneia din urmele sale, până când
rotirea unui plan oarecare >P@ în jurul uneia din urmele sale, până când
planul >P@ se suprapune unuia din planele de proiecĠie, Fig.6.14. Axa de
planul >P@ se suprapune unuia din planele de proiecĠie, Fig.6.14. Axa de
rabatere (rotaĠie) este urma planului >P@ pe planul de proiecĠie pe care se
rabatere (rotaĠie) este urma planului >P@ pe planul de proiecĠie pe care se
face rabaterea. Rabaterea planului >P@ se poate face úi pe un plan paralel cu
face rabaterea. Rabaterea planului >P@ se poate face úi pe un plan paralel cu
unul din planele de proiecĠie. În acest caz axa de rabatere este urma
unul din planele de proiecĠie. În acest caz axa de rabatere este urma
planului >P@ pe planul paralel cu planul de proiecĠie.
planului >P@ pe planul paralel cu planul de proiecĠie.
Fig. 6.14
Fig. 6.14
60
60
Deoarece urma planului >P@ a fost definită ca dreaptă de intersecĠie
Deoarece urma planului >P@ a fost definită ca dreaptă de intersecĠie
dintre planul >P@ úi planul de proiecĠie, atunci axa de rabatere poate fi
dintre planul >P@ úi planul de proiecĠie, atunci axa de rabatere poate fi
definită ca dreaptă de intersecĠie dintre planul care se rabate úi planul pe
definită ca dreaptă de intersecĠie dintre planul care se rabate úi planul pe
care se face rabaterea. Spre deosebire de rotaĠie, unde axa de rotaĠie se
care se face rabaterea. Spre deosebire de rotaĠie, unde axa de rotaĠie se
alege cât mai convenabil, în rabatere, axa de rabatere rezultă.
alege cât mai convenabil, în rabatere, axa de rabatere rezultă.
Toate elementele constructive utilizate în metoda rotaĠiei sunt
Toate elementele constructive utilizate în metoda rotaĠiei sunt
valabile úi la rabatere precum: axa de rabatere, centrul de rabatere, raza de
valabile úi la rabatere precum: axa de rabatere, centrul de rabatere, raza de
rabatere, unghiul de rabatere úi sensul de rabatere. Dacă un punct este
rabatere, unghiul de rabatere úi sensul de rabatere. Dacă un punct este
situat pe axa de rabatere, el este în acelaúi timp úi propriul său rabătut.
situat pe axa de rabatere, el este în acelaúi timp úi propriul său rabătut.
6.3.2 Rabaterea unui plan pe planul orizontal de proiecĠie
6.3.2 Rabaterea unui plan pe planul orizontal de proiecĠie
Se consideră planul oarecare >P@ limitat de planele de proiecĠie >H@
Se consideră planul oarecare >P@ limitat de planele de proiecĠie >H@
úi >V@ (Fig. 6.15) úi se cere să se rabată acest plan >P@ până când se aúterne
úi >V@ (Fig. 6.15) úi se cere să se rabată acest plan >P@ până când se aúterne
pe planul orizontal de proiecĠie >H@. Rabaterea se va face în jurul dreptei de
pe planul orizontal de proiecĠie >H@. Rabaterea se va face în jurul dreptei de
intersecĠie dintre planele > P@ úi > H@, după urma orizontală a planului
intersecĠie dintre planele > P@ úi > H@, după urma orizontală a planului
>P@ - PH.
>P@ - PH.
Fig. 6.15
Fig. 6.15
61
61
Urma orizontală PH a planului >P@, fiind aleasă drept axă de rabatere
Urma orizontală PH a planului >P@, fiind aleasă drept axă de rabatere
nu-úi va modifica poziĠia, în timp ce urma verticală PV se va roti în jurul lui
nu-úi va modifica poziĠia, în timp ce urma verticală PV se va roti în jurul lui
PH păstrând punctul Px (comun celor două urme) fix. Deci, mai este
PH păstrând punctul Px (comun celor două urme) fix. Deci, mai este
necesar un punct pentru a determina poziĠia rebătută a urmei verticale PV.
necesar un punct pentru a determina poziĠia rebătută a urmei verticale PV.
Pentru aceasta se va considera un punct oarecare M PV, deci un punct
Pentru aceasta se va considera un punct oarecare M PV, deci un punct
comun atât al planului >P@ cât úi planului vertical de proiecĠie >V@, care se
comun atât al planului >P@ cât úi planului vertical de proiecĠie >V@, care se
află pe dreapta lor de intersecĠie. ProiecĠia verticală a punctului se va
află pe dreapta lor de intersecĠie. ProiecĠia verticală a punctului se va
confunda cu însăúi punctul din spaĠiu (m’ { M), în timp ce proiecĠia
confunda cu însăúi punctul din spaĠiu (m’ { M), în timp ce proiecĠia
orizontală se va găsi pe linia de pământ Ox (m Ox). Acest punct, în
orizontală se va găsi pe linia de pământ Ox (m Ox). Acest punct, în
timpul rabaterii, se va roti într-un plan >Q@ A PH; rezultă că planul >Q@ va fi
timpul rabaterii, se va roti într-un plan >Q@ A PH; rezultă că planul >Q@ va fi
un plan vertical. Urmele acestui plan sunt: QH – trece prin m (proiecĠia
un plan vertical. Urmele acestui plan sunt: QH – trece prin m (proiecĠia
orizontală a punctului M ), este perpendiculară pe PH; QV – va trece prin m’
orizontală a punctului M ), este perpendiculară pe PH; QV – va trece prin m’
(proiecĠia verticală a punctului M ), este perpendiculară pe Ox. În timpul
(proiecĠia verticală a punctului M ), este perpendiculară pe Ox. În timpul
rabaterii, punctul M descrie în planul >Q@ un arc de cerc cu centrul în N –
rabaterii, punctul M descrie în planul >Q@ un arc de cerc cu centrul în N –
punctul de intersecĠie dintre QH úi PH úi de rază R = NM (ipotenuza
punctul de intersecĠie dintre QH úi PH úi de rază R = NM (ipotenuza
triunghiului dreptunghic NmM). Acest triunghi dreptunghic se poate
triunghiului dreptunghic NmM). Acest triunghi dreptunghic se poate
construi uúor în planul orizontal de proiecĠie >H@, deoarece i se cunosc
construi uúor în planul orizontal de proiecĠie >H@, deoarece i se cunosc
două catete: NM – distanĠa de la proiecĠia orizontală a punctului la axa de
două catete: NM – distanĠa de la proiecĠia orizontală a punctului la axa de
rabatere úi mM1 – cota punctului considerat. Prin unirea lui M1 cu N se
rabatere úi mM1 – cota punctului considerat. Prin unirea lui M1 cu N se
obĠine triunghiul dreptunghic NmM1 { NmM. Ipotenuza măsoară în
obĠine triunghiul dreptunghic NmM1 { NmM. Ipotenuza măsoară în
adevărata mărime raza de rabatere R = NM. Deci, cu centrul în N úi cu raza
adevărata mărime raza de rabatere R = NM. Deci, cu centrul în N úi cu raza
R = NM1 = NM, se descrie un arc de cerc ce va intersecta urma orizontală
R = NM1 = NM, se descrie un arc de cerc ce va intersecta urma orizontală
QH a planului >Q@ în MO (poziĠia rabătută a punctului M pe planul orizontal
QH a planului >Q@ în MO (poziĠia rabătută a punctului M pe planul orizontal
de proiecĠie >H@ ).
de proiecĠie >H@ ).
Unindu-se punctul MO astfel determinat cu PX (rămas fix) se va
Unindu-se punctul MO astfel determinat cu PX (rămas fix) se va
obĠine PVo (poziĠia rabătută a urmei verticale PV a planului >P@ pe planul
obĠine PVo (poziĠia rabătută a urmei verticale PV a planului >P@ pe planul
orizontal de proiecĠie >H@.
orizontal de proiecĠie >H@.
62
62
Triunghiul dreptunghic NmM1 (cu ajutorul căruia s-a determinat
Triunghiul dreptunghic NmM1 (cu ajutorul căruia s-a determinat
adevărata mărime a axei de rabatere) se numeúte triunghiul de poziĠie al
adevărata mărime a axei de rabatere) se numeúte triunghiul de poziĠie al
punctului M. Pe baza celor stabilite mai sus, se poate trece la determi-
punctului M. Pe baza celor stabilite mai sus, se poate trece la determi-
narea în epură a poziĠiei rabătute a planului >P@, aúa cum apare în Fig. 6.16.
narea în epură a poziĠiei rabătute a planului >P@, aúa cum apare în Fig. 6.16.
Fig. 6.16
Fig. 6.16
6.3.3 Rabaterea unui plan pe planul vertical de proiecĠie
6.3.3 Rabaterea unui plan pe planul vertical de proiecĠie
Prin analogie cu cele expuse la rabaterea planului >P@ pe planul
Prin analogie cu cele expuse la rabaterea planului >P@ pe planul
orizontal de proiecĠie >H@ (Subcap. 6.3.2) construcĠia rabaterii unui plan
orizontal de proiecĠie >H@ (Subcap. 6.3.2) construcĠia rabaterii unui plan
oarecare >P@ până ce se aúterne pe planul vertical de proiecĠie >V@, apare ca
oarecare >P@ până ce se aúterne pe planul vertical de proiecĠie >V@, apare ca
în epura din Fig. 6.17.
în epura din Fig. 6.17.
Fig. 6.17
Fig. 6.17
6.3.4 Adevărata mărime a unei figuri plane prin metoda rabaterii
6.3.4 Adevărata mărime a unei figuri plane prin metoda rabaterii
metoda rabaterii, adevărata mărime a plăcii ABC, Fig. 6.18.
metoda rabaterii, adevărata mărime a plăcii ABC, Fig. 6.18.
63
63
Adevărata mărime a acestui triunghi se poate obĠine rabatându-se
Adevărata mărime a acestui triunghi se poate obĠine rabatându-se
planul triunghiului ABC pe un plan paralel cu planul orizontal de proiecĠie
planul triunghiului ABC pe un plan paralel cu planul orizontal de proiecĠie
>H@ úi anume planul de nivel >N@, care se duce prin vârful A (a, a’) – pentru
>H@ úi anume planul de nivel >N@, care se duce prin vârful A (a, a’) – pentru
simplificarea construcĠiilor grafice.
simplificarea construcĠiilor grafice.
IntersecĠia dintre planul de nivel >N@ úi planul plăcii va fi dreapta de
IntersecĠia dintre planul de nivel >N@ úi planul plăcii va fi dreapta de
nivel : (Z, Z’), care se alege drept axă de rabatere. Se rabate punctul
nivel : (Z, Z’), care se alege drept axă de rabatere. Se rabate punctul
B (b, b’), cu ajutorul triunghiului de poziĠie ZbB1, determinându-se astfel
B (b, b’), cu ajutorul triunghiului de poziĠie ZbB1, determinându-se astfel
punctul B0, care, unit cu A0 { a úi cu m să determine punctul C0 la
punctul B0, care, unit cu A0 { a úi cu m să determine punctul C0 la
intersecĠia dreptei B0m cu perpendiculara dusă din c (proiecĠia orizontală a
intersecĠia dreptei B0m cu perpendiculara dusă din c (proiecĠia orizontală a
vârfului C pe axa de rabatere Z ).
vârfului C pe axa de rabatere Z ).
S-au determinat astfel punctele A0, B0, C0 – vârfurile triunghiului
S-au determinat astfel punctele A0, B0, C0 – vârfurile triunghiului
ABC rabătute pe planul de nivel >N@. Unindu-se cele trei puncte, se
ABC rabătute pe planul de nivel >N@. Unindu-se cele trei puncte, se
determină triunghiul A0B0C0 ce reprezintă adevărata mărime a triunghiului
determină triunghiul A0B0C0 ce reprezintă adevărata mărime a triunghiului
ABC din spaĠiu.
ABC din spaĠiu.
Fig. 6.18
64
Fig. 6.18
64
7. POLIEDRE
7. POLIEDRE
7.1 Reprezentare
7.1 Reprezentare
Poliedrele sunt corpuri mărginite numai de suprafeĠe plane. Aceste
Poliedrele sunt corpuri mărginite numai de suprafeĠe plane. Aceste
plane se numesc feĠele poliedrului; intersecĠia a două feĠe determină o
plane se numesc feĠele poliedrului; intersecĠia a două feĠe determină o
muchie, iar punctele de întâlnire ale muchiilor se numesc vârfuri.
muchie, iar punctele de întâlnire ale muchiilor se numesc vârfuri.
Din punct de vedere constructiv se cunosc poliedre cu o singură
Din punct de vedere constructiv se cunosc poliedre cu o singură
bază plană precum piramidele, Fig. 7.1.h,j ,úi cu două baze (de obicei
bază plană precum piramidele, Fig. 7.1.h,j ,úi cu două baze (de obicei
paralele între ele) precum prisma Fig. 7.1 a ... g , paralelipipedul
paralele între ele) precum prisma Fig. 7.1 a ... g , paralelipipedul
dreptunghic Fig. 7.1.c,d , trunchiul de piramidă Fig. 7.1.i,k.
dreptunghic Fig. 7.1.c,d , trunchiul de piramidă Fig. 7.1.i,k.
Din punct de vedere al formei poligonale a feĠelor se cunosc:
Din punct de vedere al formei poligonale a feĠelor se cunosc:
poliedre regulate Fig. 7.1.l,m,n,o,p, unde feĠele poliedrului sunt poligoane
poliedre regulate Fig. 7.1.l,m,n,o,p, unde feĠele poliedrului sunt poligoane
regulate úi poliedre neregulate, unde feĠele poliedrului sunt poligoane
regulate úi poliedre neregulate, unde feĠele poliedrului sunt poligoane
neregulate.
neregulate.
De asemenea se cunosc poliedre convexe sau concave după cum
planele feĠelor intersectează sau nu poliedrul.
De asemenea se cunosc poliedre convexe sau concave după cum
planele feĠelor intersectează sau nu poliedrul.
Poliedrele trunchiate sau retezate se obĠin prin înlăturarea dintr-un
Poliedrele trunchiate sau retezate se obĠin prin înlăturarea dintr-un
poliedru regulat a unor vârfuri în aúa fel încât să rezulte secĠiuni plane
poliedru regulat a unor vârfuri în aúa fel încât să rezulte secĠiuni plane
congruente; poliedrul rămas va fi tot un poliedru regulat sau semiregulat
congruente; poliedrul rămas va fi tot un poliedru regulat sau semiregulat
(arhimedic) după cum poliedrul retezat are toate feĠele congruente sau în
(arhimedic) după cum poliedrul retezat are toate feĠele congruente sau în
fiecare vârf se unesc poligoane regulate diferite, Fig. 7.1.r,s .
fiecare vârf se unesc poligoane regulate diferite, Fig. 7.1.r,s .
x POLIEDRE REGULATE – feĠele poliedrului sunt poligoane regulate,
x POLIEDRE REGULATE – feĠele poliedrului sunt poligoane regulate,
care pot fi inscriptibile úi circumscriptibile sferei;
care pot fi inscriptibile úi circumscriptibile sferei;
- TETRAEDRUL – poliedrul mărginit de patru feĠe, triunghiuri
- TETRAEDRUL – poliedrul mărginit de patru feĠe, triunghiuri
echilaterale, Fig. 7.1.l;
echilaterale, Fig. 7.1.l;
- HEXAEDRUL sau CUBUL – poliedrul mărginit de úase feĠe pătrate,
- HEXAEDRUL sau CUBUL – poliedrul mărginit de úase feĠe pătrate,
Fig.7.1.m;
Fig.7.1.m;
65
65
a.
f.
b.
c.
d.
g.
h.
j.
l.
e.
a.
i.
f.
k
m.
n.
66
b.
c.
d.
g.
h.
j.
o.
l.
e.
i.
k
m.
n.
66
o.
p.
r.
s.
p.
r.
s.
Fig. 7.1
Fig. 7.1
- OCTAEDRUL – poliedrul mărginit de opt feĠe triunghiuri echilaterale,
- OCTAEDRUL – poliedrul mărginit de opt feĠe triunghiuri echilaterale,
Fig. 7.1.n;
Fig. 7.1.n;
- ICOSAEDRUL – poliedrul mărginit de douăzeci de feĠe triunghiuri
- ICOSAEDRUL – poliedrul mărginit de douăzeci de feĠe triunghiuri
echilaterale, Fig. 7.1.o;
echilaterale, Fig. 7.1.o;
- DODECAEDRUL – poliedrul mărginit de douăsprezece feĠe pentagoane
- DODECAEDRUL – poliedrul mărginit de douăsprezece feĠe pentagoane
regulate, Fig. 7.1.p.
regulate, Fig. 7.1.p.
x POLIEDRE NEREGULATE – feĠele poliedrului sunt poligoane
x POLIEDRE NEREGULATE – feĠele poliedrului sunt poligoane
neregulate.
neregulate.
- PRISMA – este solidul mărginit de feĠe plane, dintre care două,
- PRISMA – este solidul mărginit de feĠe plane, dintre care două,
poligonale, egale úi paralele, formează bazele, iar celelalte, în formă de
poligonale, egale úi paralele, formează bazele, iar celelalte, în formă de
paralelograme, paralele cu o direcĠie dată, formează feĠele laterale.
paralelograme, paralele cu o direcĠie dată, formează feĠele laterale.
Dacă cele două baze nu sunt paralele, prisma este TRUNCHIATĂ.
Dacă cele două baze nu sunt paralele, prisma este TRUNCHIATĂ.
Dacă muchiile prismei sunt oblice faĠă de bază, prisma va fi
Dacă muchiile prismei sunt oblice faĠă de bază, prisma va fi
OBLICĂ Fig. 7.1.b,e, iar dacă muchiile sunt perpendiculare pe cele două
OBLICĂ Fig. 7.1.b,e, iar dacă muchiile sunt perpendiculare pe cele două
baze, prisma va fi DREAPTĂ Fig. 7.1 a,f,g. Prisma se denumeúte după
baze, prisma va fi DREAPTĂ Fig. 7.1 a,f,g. Prisma se denumeúte după
forma poligonului de bază (triunghiulară, patrulateră, pentagonală,
forma poligonului de bază (triunghiulară, patrulateră, pentagonală,
hexagonală, etc.).
hexagonală, etc.).
În Fig. 7.2.a se prezintă spaĠial úi în epură prisma neregulată úi
În Fig. 7.2.a se prezintă spaĠial úi în epură prisma neregulată úi
înclinată, aúezată în planul orizontal, iar în Fig. 7.2.b se prezintă spaĠial úi
înclinată, aúezată în planul orizontal, iar în Fig. 7.2.b se prezintă spaĠial úi
în epură un paralelipiped dreptunghic drept aúezat în acelaúi plan orizontal.
în epură un paralelipiped dreptunghic drept aúezat în acelaúi plan orizontal.
67
67
a
a
b
b
Fig. 7.2
Fig. 7.2
- PIRAMIDA – poliedru neregulat ale cărui muchii sunt
- PIRAMIDA – poliedru neregulat ale cărui muchii sunt
concurente într-un punct numit vârf úi limitate de o bază plană.
concurente într-un punct numit vârf úi limitate de o bază plană.
Piramida se denumeúte după poligonul de bază.
Piramida se denumeúte după poligonul de bază.
În Fig. 7.3.a se prezintă spaĠial úi în epură piramida
În Fig. 7.3.a se prezintă spaĠial úi în epură piramida
pentagonală aúezată în planul orizontal, iar în Fig. 7.3.b, se prezintă
pentagonală aúezată în planul orizontal, iar în Fig. 7.3.b, se prezintă
spaĠial úi în epură piramida dreptunghiulară aúezată în planul
spaĠial úi în epură piramida dreptunghiulară aúezată în planul
orizontal.
orizontal.
68
68
Fig. 7.3.a
Fig. 7.3.a
Fig. 7.3.b
Fig. 7.3.b
- TRUNCHIUL DE PIRAMIDĂ – piramidă patrulateră aúezată în
- TRUNCHIUL DE PIRAMIDĂ – piramidă patrulateră aúezată în
planul orizontal úi secĠionată de un plan paralel cu baza. Fig. 7.4 –
planul orizontal úi secĠionată de un plan paralel cu baza. Fig. 7.4 –
reprezentare spaĠială úi în epură;
reprezentare spaĠială úi în epură;
Fig. 7.4
Fig. 7.4
69
69
În Fig. 7.5 se prezintă spaĠial úi în epură un icosaedru, iar în Fig. 7.6 un
În Fig. 7.5 se prezintă spaĠial úi în epură un icosaedru, iar în Fig. 7.6 un
dodecaedru.
dodecaedru.
Fig. 7.5
Fig. 7.6
Fig. 7.5
Fig. 7.6
7.2 SecĠiuni plane în poliedre
7.2 SecĠiuni plane în poliedre
SecĠiunea într-un poliedru este, de fapt, intersecĠia dintre un plan de
SecĠiunea într-un poliedru este, de fapt, intersecĠia dintre un plan de
secĠiune úi feĠele sau muchiile poliedrului. SuprafaĠa obĠinută prin unirea
secĠiune úi feĠele sau muchiile poliedrului. SuprafaĠa obĠinută prin unirea
punctelor de intersecĠie formează poligonul de intersecĠie.
punctelor de intersecĠie formează poligonul de intersecĠie.
70
70
7.2.1 IntersecĠia unui plan cu o prismă
7.2.1 IntersecĠia unui plan cu o prismă
Se consideră prisma dreaptă, MNRST, cu baza în planul orizontal de
Se consideră prisma dreaptă, MNRST, cu baza în planul orizontal de
proiecĠie úi un plan de capăt >P@, Fig. 7.7.a.
proiecĠie úi un plan de capăt >P@, Fig. 7.7.a.
Deoarece planul de capăt este perpendicular pe planul >V@,
Deoarece planul de capăt este perpendicular pe planul >V@,
proiecĠiile verticale ale punctelor de intersecĠie se determină cu uúurinĠă,
proiecĠiile verticale ale punctelor de intersecĠie se determină cu uúurinĠă,
ele găsindu-se la intersecĠia dintre urma verticală úi proiecĠiile verticale ale
ele găsindu-se la intersecĠia dintre urma verticală úi proiecĠiile verticale ale
muchiilor (Fig. 7.7.b); se vor nota cu a’, b’, c’, d’, e’. ProiecĠiile lor
muchiilor (Fig. 7.7.b); se vor nota cu a’, b’, c’, d’, e’. ProiecĠiile lor
orizontale se găsesc în vârfurile poligonului de bază, deoarece muchiile
orizontale se găsesc în vârfurile poligonului de bază, deoarece muchiile
prismei sunt perpendiculare pe >H@: a { m, b { n, c { r, d { s, e { t.
prismei sunt perpendiculare pe >H@: a { m, b { n, c { r, d { s, e { t.
Pentru determinarea adevăratei mărimi a poligonului de intersecĠie,
Pentru determinarea adevăratei mărimi a poligonului de intersecĠie,
se foloseúte metoda rotirii planului de secĠiune în jurul urmei lui orizontale
până la suprapunerea lui pe planul >H@. OperaĠiunea se numeúte rabaterea
planului de secĠiune peste planul orizontal de proiecĠie >H@. În timpul
rabaterii, proiecĠiile verticale a’, b’, c’, d’, e’ descriu arce de cerc cu
rabaterii, proiecĠiile verticale a’, b’, c’, d’, e’ descriu arce de cerc cu
centrul în PX, până intersectează axa Ox; în acelaúi timp, proiecĠiile
centrul în PX, până intersectează axa Ox; în acelaúi timp, proiecĠiile
orizontale execută o miúcare de translaĠie paralelă cu axa Ox. Punctele de
orizontale execută o miúcare de translaĠie paralelă cu axa Ox. Punctele de
întâlnire, A0, B0, C0, D0, E0, determină adevărata mărime a poligonului de
întâlnire, A0, B0, C0, D0, E0, determină adevărata mărime a poligonului de
intersecĠie.
intersecĠie.
a.
b.
71
a.
b.
71
c.
c.
d.
d.
Fig. 7.7
Fig. 7.7
În epura din Fig. 7.7.c este prezentată o prismă hexagonală regulată
În epura din Fig. 7.7.c este prezentată o prismă hexagonală regulată
situată în planul orizontal de proiecĠie >H@, care este secĠionată de un plan
situată în planul orizontal de proiecĠie >H@, care este secĠionată de un plan
de capăt >Q@.
de capăt >Q@.
ProiecĠiile verticale ale punctelor de intersecĠie se determină cu
uúurinĠă, ele găsindu-se la intersecĠia dintre urma verticală úi proiecĠiile
verticale ale muchiilor; se vor nota cu m’, n’, s’, p’, r’, q’. ProiecĠiile lor
verticale ale muchiilor; se vor nota cu m’, n’, s’, p’, r’, q’. ProiecĠiile lor
orizontale se găsesc în vârfurile hexagonului de bază, deoarece muchiile
orizontale se găsesc în vârfurile hexagonului de bază, deoarece muchiile
prismei sunt perpendiculare pe planul orizontal de proiecĠie >H@: a { m, b {
prismei sunt perpendiculare pe planul orizontal de proiecĠie >H@: a { m, b {
n, c { p, d { q, e { t.
n, c { p, d { q, e { t.
72
72
Pentru determinarea adevăratei mărimi a hexagonului de intersecĠie,
Pentru determinarea adevăratei mărimi a hexagonului de intersecĠie,
rabaterii, proiecĠiile verticale m’, n’, s’, p’, r’, q’ descriu arce de cerc cu
rabaterii, proiecĠiile verticale m’, n’, s’, p’, r’, q’ descriu arce de cerc cu
centrul în PD, până intersectează axa Ox. Punctele de întâlnire, M1, N1, S1,
centrul în PD, până intersectează axa Ox. Punctele de întâlnire, M1, N1, S1,
P1, R1, Q1 determină adevărata mărime a hexagonului de intersecĠie.
P1, R1, Q1 determină adevărata mărime a hexagonului de intersecĠie.
În epura din Fig. 7.7.d este prezentată o prismă tetragonală înclinată,
În epura din Fig. 7.7.d este prezentată o prismă tetragonală înclinată,
cu baza situată în planul orizontal de proiecĠie >H@. Este secĠionată de
cu baza situată în planul orizontal de proiecĠie >H@. Este secĠionată de
planul de capăt >Q@, plan ce este perpendicular pe muchiile prismei.
planul de capăt >Q@, plan ce este perpendicular pe muchiile prismei.
verticale ale muchiilor; se vor nota cu m’, n’, p’, q’. ProiecĠiile lor pe
verticale ale muchiilor; se vor nota cu m’, n’, p’, q’. ProiecĠiile lor pe
planul orizontal de proiecĠie >H@ se găsesc prin proiectarea vârfurilor
planul orizontal de proiecĠie >H@ se găsesc prin proiectarea vârfurilor
tetragonului de bază úi a celui superior.
tetragonului de bază úi a celui superior.
Pentru determinarea adevăratei mărimi a tetragonului de intersecĠie,
Pentru determinarea adevăratei mărimi a tetragonului de intersecĠie,
rabaterii, proiecĠiile verticale m’, n’, p’, q’ descriu arce de cerc cu centrul
rabaterii, proiecĠiile verticale m’, n’, p’, q’ descriu arce de cerc cu centrul
în PD, până intersectează axa Ox. Punctele de întâlnire, M1, N1, P1, Q1,
în PD, până intersectează axa Ox. Punctele de întâlnire, M1, N1, P1, Q1,
determină adevărata mărime a tetragonului de intersecĠie.
determină adevărata mărime a tetragonului de intersecĠie.
7.2.2 IntersecĠia unui plan cu o piramidă
7.2.2 IntersecĠia unui plan cu o piramidă
Fie piramida pentagonală oarecare SJKLMN, cu baza în planul
Fie piramida pentagonală oarecare SJKLMN, cu baza în planul
orizontal de proiecĠie (Fig. 7.8.a). Planul de secĠiune este planul de capăt
orizontal de proiecĠie (Fig. 7.8.a). Planul de secĠiune este planul de capăt
>P@. Determinarea poligonului de secĠiune se face la fel ca la paragraful
>P@. Determinarea poligonului de secĠiune se face la fel ca la paragraful
anterior.
anterior.
73
73
În epură, (Fig. 7.8.b) s-a prezentat piramida în epură cu proiecĠiile
orizontală (abcde) úi verticală (a’b’c’d’e’) ale poligonului de intersecĠie.
În epură, (Fig. 7.8.b) s-a prezentat piramida în epură cu proiecĠiile
orizontală (abcde) úi verticală (a’b’c’d’e’) ale poligonului de intersecĠie.
Determinarea adevăratei mărimi úi a formei reale ale acestui poligon
Determinarea adevăratei mărimi úi a formei reale ale acestui poligon
(A0B0C0D0E0) se va face la fel ca în metoda expusă la intersecĠia unui plan
(A0B0C0D0E0) se va face la fel ca în metoda expusă la intersecĠia unui plan
cu o prismă ( prin rabatere ).
cu o prismă ( prin rabatere ).
a.
b.
a.
b.
c.
c.
Fig. 7.8
Fig. 7.8
În Fig. 7.8.c este prezentată epura unei piramide regulate
În Fig. 7.8.c este prezentată epura unei piramide regulate
hexagonală, cu baza situată în planul orizontal de proiecĠie >H@. Este
hexagonală, cu baza situată în planul orizontal de proiecĠie >H@. Este
secĠionată de planul de capăt >Q@.
secĠionată de planul de capăt >Q@.
74
74
ProiecĠiile verticale sunt: s’, a’, b’ { f’, c’ { e’, d’, m’, n’ { t’, p’ { r’
úi q’; cele orizontale fiind: s, a, b, c, d, e, f, m, n, p, q, r, t.
ProiecĠiile verticale sunt: s’, a’, b’ { f’, c’ { e’, d’, m’, n’ { t’, p’ { r’
úi q’; cele orizontale fiind: s, a, b, c, d, e, f, m, n, p, q, r, t.
Pentru aflarea adevăratei mărimi a hexagonului se foloseúte metoda
Pentru aflarea adevăratei mărimi a hexagonului se foloseúte metoda
rotirii planului de secĠiune în jurul urmei lui orizontale până la
rotirii planului de secĠiune în jurul urmei lui orizontale până la
suprapunerea lui pe planul orizontal >H@. OperaĠiunea se numeúte rabaterea
suprapunerea lui pe planul orizontal >H@. OperaĠiunea se numeúte rabaterea
rabaterii, proiecĠiile verticale m’, n’, t’, p, r’, q’ descriu arce de cerc cu
rabaterii, proiecĠiile verticale m’, n’, t’, p, r’, q’ descriu arce de cerc cu
centrul în PD, până intersectează axa Ox. Punctele de întâlnire, M1, N1, T1,
centrul în PD, până intersectează axa Ox. Punctele de întâlnire, M1, N1, T1,
P1, R1, Q1, determină adevărata mărime a hexagonului de intersecĠie.
P1, R1, Q1, determină adevărata mărime a hexagonului de intersecĠie.
7.3 Desfăúuratele unor poliedre mai importante
7.3 Desfăúuratele unor poliedre mai importante
Reprezentarea în care se aduc toate feĠele unui poliedru pe un singur
Reprezentarea în care se aduc toate feĠele unui poliedru pe un singur
plan se numeúte desfăúurarea poliedrului. Figura poligonală plană astfel
plan se numeúte desfăúurarea poliedrului. Figura poligonală plană astfel
obĠinută se numeúte desfăúurată sau transformată prin desfăúurare a
obĠinută se numeúte desfăúurată sau transformată prin desfăúurare a
poliedrului. Prin desfăúurarea unui poliedru se regăseúte forma reală a
poliedrului. Prin desfăúurarea unui poliedru se regăseúte forma reală a
fiecărei feĠe, adică a poligoanelor care limitează feĠele.
fiecărei feĠe, adică a poligoanelor care limitează feĠele.
Lungimile laturilor úi unghiurile dintre laturile unei feĠe apar în
Lungimile laturilor úi unghiurile dintre laturile unei feĠe apar în
desfăúurată în adevărată mărime. Pentru a trasa desfăúurata unui poliedru
desfăúurată în adevărată mărime. Pentru a trasa desfăúurata unui poliedru
este necesar să se determine adevăratele mărimi ale muchiilor úi adevărata
este necesar să se determine adevăratele mărimi ale muchiilor úi adevărata
mărime a distanĠelor dintre ele.
mărime a distanĠelor dintre ele.
Desfăúurarea suprafeĠei unui poliedru (suprafaĠă poliedrală) constă
Desfăúurarea suprafeĠei unui poliedru (suprafaĠă poliedrală) constă
în aducerea feĠelor acestuia în acelaúi plan, respectând succesiunea din
în aducerea feĠelor acestuia în acelaúi plan, respectând succesiunea din
spaĠiu. Planul de desfăúurare poate fi un plan oarecare sau planul uneia
spaĠiu. Planul de desfăúurare poate fi un plan oarecare sau planul uneia
dintre feĠe. În operaĠia de desfăúurare nu se admit suprapuneri, totale sau
dintre feĠe. În operaĠia de desfăúurare nu se admit suprapuneri, totale sau
parĠiale, ale feĠelor.
parĠiale, ale feĠelor.
75
75
Desfăúurarea suprafeĠelor poliedrelor regulate constă în alăturarea în
Desfăúurarea suprafeĠelor poliedrelor regulate constă în alăturarea în
plan a unui număr de poligoane regulate, corespunzător feĠelor poliedrului.
plan a unui număr de poligoane regulate, corespunzător feĠelor poliedrului.
De exemplu, desfăúurarea unui cub se face în 6 pătrate, a unui octaedru
De exemplu, desfăúurarea unui cub se face în 6 pătrate, a unui octaedru
regulat – în 8 triunghiuri echilaterale, a unui dodecaedru regulat – în 12
regulat – în 8 triunghiuri echilaterale, a unui dodecaedru regulat – în 12
pentagoane regulate, etc.
pentagoane regulate, etc.
x Desfăúurata tetraedrului, Fig.7.9.
x Desfăúurata tetraedrului, Fig.7.9.
Fig. 7.9
Fig.7.10
Fig. 7.9
Fig.7.10
x Desfăúurata cubului, Fig.7.10.
x Desfăúurata cubului, Fig.7.10.
x Desfăúurata octaedrului, Fig.7.11.
x Desfăúurata octaedrului, Fig.7.11.
Fig. 7.11
Fig. 7.12
Fig. 7.11
Fig. 7.12
x Desfăúurata icosaedrului, Fig. 7.12.
x Desfăúurata icosaedrului, Fig. 7.12.
x Desfăúurata dodecaedrului, Fig. 7.13.
x Desfăúurata dodecaedrului, Fig. 7.13.
76
76
Fig. 7.13
Fig. 7.14
Fig. 7.13
Fig. 7.14
x Desfăúurata paralelipipedului, Fig. 7.14.
x Desfăúurata paralelipipedului, Fig. 7.14.
x Desfăúurata prismei hexagonale drepte, Fig. 7.15.
x Desfăúurata prismei hexagonale drepte, Fig. 7.15.
Fig. 7.15
Fig. 7.15
x Desfăúurata unei piramide hexagonale regulate (zona haúurată
x Desfăúurata unei piramide hexagonale regulate (zona haúurată
reprezintă desfăúurarea piramidei după intersecĠia cu un plan,
reprezintă desfăúurarea piramidei după intersecĠia cu un plan,
Fig.7.8.c), Fig.7.16.
Fig.7.8.c), Fig.7.16.
Fig. 7.16
Fig. 7.16
77
77
x Desfăúurata unei prisme drepte intersectată de un plan sub unghiul D,
Fig.7.17.
x Desfăúurata unei prisme drepte intersectată de un plan sub unghiul D,
Fig.7.17.
a.
a.
b.
b.
Fig. 7.17
Fig. 7.17
78
78
8. CORPURI DE ROTAğIE
8. CORPURI DE ROTAğIE
8.1 Reprezentare
8.1 Reprezentare
Corpurile de rotaĠie se mai numesc úi corpuri rotunde; iau naútere
Corpurile de rotaĠie se mai numesc úi corpuri rotunde; iau naútere
prin rotirea unei linii oarecare în jurul unei axe. Linia care dă naútere
prin rotirea unei linii oarecare în jurul unei axe. Linia care dă naútere
corpului se numeúte generatoare, iar cea pe care se sprijină – directoare.
corpului se numeúte generatoare, iar cea pe care se sprijină – directoare.
Un solid de rotaĠie este generat de o suprafaĠă plană limitată de o
Un solid de rotaĠie este generat de o suprafaĠă plană limitată de o
generatoare, suprafaĠă ce se roteúte în jurul unei axe care este o dreaptă a
generatoare, suprafaĠă ce se roteúte în jurul unei axe care este o dreaptă a
planului.
planului.
Corpurile de rotaĠie mai cunoscute sunt:
Corpurile de rotaĠie mai cunoscute sunt:
- cilindrul (Fig. 8.1) este o suprafaĠă generată de o dreaptă
- cilindrul (Fig. 8.1) este o suprafaĠă generată de o dreaptă
(generatoare), care se deplasează pe o curbă fixă (directoare) úi care
(generatoare), care se deplasează pe o curbă fixă (directoare) úi care
rămâne mereu paralelă cu o direcĠie oarecare dată. Curba directoare poate
rămâne mereu paralelă cu o direcĠie oarecare dată. Curba directoare poate
fi cerc, elipsă, parabolă sau hiperbolă, cilindrul numindu-se după natura
fi cerc, elipsă, parabolă sau hiperbolă, cilindrul numindu-se după natura
directoarei (parabolic sau hiperbolic)
directoarei (parabolic sau hiperbolic)
Fig. 8.1
-
conul (Fig. 8.2) este suprafaĠa generată de o dreaptă (generatoare),
Fig. 8.1
-
conul (Fig. 8.2) este suprafaĠa generată de o dreaptă (generatoare),
care trece printr-un punct fix (vârful conului) úi se deplasează pe o curbă
care trece printr-un punct fix (vârful conului) úi se deplasează pe o curbă
(directoare). Curba directoare poate fi cerc, elipsă, parabolă, hiperbolă.
(directoare). Curba directoare poate fi cerc, elipsă, parabolă, hiperbolă.
ConvenĠional, conul este denumit după curba directoare: circular,
eliptic, parabolic, etc.
ConvenĠional, conul este denumit după curba directoare: circular,
eliptic, parabolic, etc.
79
79
Fig.8.2
- trunchiul de con (Fig. 8.3) este un con secĠionat de un plan paralel
cu baza sa.
Fig.8.2
- trunchiul de con (Fig. 8.3) este un con secĠionat de un plan paralel
cu baza sa.
Fig. 8.3
Fig. 8.3
- sfera (Fig. 8.4) este generată de un cerc care se roteúte în jurul axei
- sfera (Fig. 8.4) este generată de un cerc care se roteúte în jurul axei
sale. Ea se proiectează după un cerc pe fiecare din planele de proiecĠie.
sale. Ea se proiectează după un cerc pe fiecare din planele de proiecĠie.
ProiecĠiile punctelor aflate pe sferă se obĠin secĠionând sfera cu plane
ProiecĠiile punctelor aflate pe sferă se obĠin secĠionând sfera cu plane
perpendiculare pe axă.
perpendiculare pe axă.
Fig. 8.4
80
Fig. 8.4
80
- torul (Fig. 8.5) este corpul geometric generat prin rotirea unei curbe
- torul (Fig. 8.5) este corpul geometric generat prin rotirea unei curbe
plane în jurul unui ax coplanar cu curba úi care nu trece prin centrul
plane în jurul unui ax coplanar cu curba úi care nu trece prin centrul
acestuia. ProiecĠiile punctelor situate pe suprafaĠa torului se determină tot
acestuia. ProiecĠiile punctelor situate pe suprafaĠa torului se determină tot
cu ajutorul planelor perpendiculare pe axa de rotaĠie.
cu ajutorul planelor perpendiculare pe axa de rotaĠie.
Fig. 8.5
Fig. 8.5
- elipsoidul (Fig. 8.6) este corpul geometric generat prin rotirea unei
- elipsoidul (Fig. 8.6) este corpul geometric generat prin rotirea unei
elipse în jurul axei mari. ProiecĠiile punctelor aflate pe elipsoid se găsesc
elipse în jurul axei mari. ProiecĠiile punctelor aflate pe elipsoid se găsesc
prin secĠionarea elipsoidului cu plane de profil perpendiculare pe axa de
prin secĠionarea elipsoidului cu plane de profil perpendiculare pe axa de
rotaĠie.
rotaĠie.
Fig. 8.6
Fig. 8.6
- paraboloidul (Fig. 8.7) este corpul geometric generat prin rotirea
- paraboloidul (Fig. 8.7) este corpul geometric generat prin rotirea
unei parabole în jurul axei sale. ProiecĠiile punctelor aflate pe
unei parabole în jurul axei sale. ProiecĠiile punctelor aflate pe
81
81
suprafaĠa paraboloidului se găsesc prin secĠionarea cu plane
suprafaĠa paraboloidului se găsesc prin secĠionarea cu plane
perpendiculare pe axa de rotaĠie.
perpendiculare pe axa de rotaĠie.
Fig. 8.7
Fig. 8.7
- hiperboloidul (Fig. 8.8) este corpul geometric (suprafaĠă) generat de
- hiperboloidul (Fig. 8.8) este corpul geometric (suprafaĠă) generat de
o dreaptă care se roteúte în jurul unui ax necoplanar cu dreapta. Mai
o dreaptă care se roteúte în jurul unui ax necoplanar cu dreapta. Mai
poate fi generat úi de o hiperbolă care se roteúte în jurul axei ei
poate fi generat úi de o hiperbolă care se roteúte în jurul axei ei
imaginare (netraverse).
imaginare (netraverse).
Fig. 8.8
82
Fig. 8.8
82
8.2 SecĠiuni plane în solide de rotaĠie
8.2 SecĠiuni plane în solide de rotaĠie
Prin analogie cu secĠiunea într-un poliedru, secĠiunea într-un solid de
Prin analogie cu secĠiunea într-un poliedru, secĠiunea într-un solid de
rotaĠie este intersecĠia dintre planul de secĠiune úi generatoarele solidului.
rotaĠie este intersecĠia dintre planul de secĠiune úi generatoarele solidului.
SuprafaĠa de intersecĠie se determină prin unirea punctelor de intersecĠie
SuprafaĠa de intersecĠie se determină prin unirea punctelor de intersecĠie
astfel obĠinute.
astfel obĠinute.
8.2.1. SecĠiunea într-un cilindru circular drept
Un cilindru circular drept se secĠionează cu planul de capăt >P@;
Un cilindru circular drept se secĠionează cu planul de capăt >P@;
conform teoremei lui Dandelin secĠiunea este o elipsă, Fig. 8.9.
conform teoremei lui Dandelin secĠiunea este o elipsă, Fig. 8.9.
Punctele cu ajutorul cărora se trasează elipsa, sunt punctele aflate la
Punctele cu ajutorul cărora se trasează elipsa, sunt punctele aflate la
intersecĠia dintre proiecĠiile verticale ale generatoarelor (a’b’c’d’…k’l’) úi
intersecĠia dintre proiecĠiile verticale ale generatoarelor (a’b’c’d’…k’l’) úi
urma verticală (P’PX). Se obĠin proiecĠiile verticale (1’, 2’…11’, 12’) ale
urma verticală (P’PX). Se obĠin proiecĠiile verticale (1’, 2’…11’, 12’) ale
punctelor elipsei, proiecĠiile orizontale găsindu-se pe cercul de bază (1, 2,
punctelor elipsei, proiecĠiile orizontale găsindu-se pe cercul de bază (1, 2,
3…11, 12).
3…11, 12).
Determinarea adevăratei mărimi a elipsei de secĠiune se obĠine se
obĠine prin rabaterea planului de capăt >P@ în jurul urmei orizontale PPX.
Fig. 8.9
83
Determinarea adevăratei mărimi a elipsei de secĠiune se obĠine se
obĠine prin rabaterea planului de capăt >P@ în jurul urmei orizontale PPX.
Fig. 8.9
83
8.2.2 SecĠiunea într-un con circular drept
8.2.2 SecĠiunea într-un con circular drept
Un con circular drept cu baza în planul orizontal de proiecĠie >H@ se
Un con circular drept cu baza în planul orizontal de proiecĠie >H@ se
secĠionează cu un plan de capăt >P@, Fig. 8.10.
secĠionează cu un plan de capăt >P@, Fig. 8.10.
Fig. 8.10
Fig. 8.10
Determinarea elipsei de secĠiune se face la fel ca la cilindru. În
Determinarea elipsei de secĠiune se face la fel ca la cilindru. În
schimb, la secĠiunea conului cu un plan, se întâlnesc următoarele cazuri
schimb, la secĠiunea conului cu un plan, se întâlnesc următoarele cazuri
speciale:
speciale:
- secĠiunea cu un plan vertical ce trece prin vârful conului, este un
- secĠiunea cu un plan vertical ce trece prin vârful conului, este un
triunghi, Fig. 8.11.
triunghi, Fig. 8.11.
Fig. 8.11
Fig. 8.12
- secĠiunea cu un plan înclinat, paralel cu una din generatoarele conului
este o parabolă, Fig. 8.12.
Fig. 8.11
Fig. 8.12
- secĠiunea cu un plan înclinat, paralel cu una din generatoarele conului
este o parabolă, Fig. 8.12.
84
84
- secĠiunea cu un plan paralel cu axa conului circular drept este o hiperbolă,
- secĠiunea cu un plan paralel cu axa conului circular drept este o hiperbolă,
Fig. 8.13.
Fig. 8.13.
Fig.8.13
Fig.8.13
8.3 Desfăúuratele unor corpuri de rotaĠie mai importante
8.3 Desfăúuratele unor corpuri de rotaĠie mai importante
Reprezentarea în care se aduce atât suprafaĠa laterală, cât úi baza
Reprezentarea în care se aduce atât suprafaĠa laterală, cât úi baza
(bazele) unui con, respectiv cilindru în acelaúi plan se numeúte
(bazele) unui con, respectiv cilindru în acelaúi plan se numeúte
desfăúurare. Figura poligonală plană astfel obĠinută se numeúte
desfăúurare. Figura poligonală plană astfel obĠinută se numeúte
desfăúurată sau transformată prin desfăúurare a conului, respectiv a
desfăúurată sau transformată prin desfăúurare a conului, respectiv a
cilindrului. Pentru trasarea desfăúuratelor cilindrului úi conurilor este
cilindrului. Pentru trasarea desfăúuratelor cilindrului úi conurilor este
necesară determinarea adevăratelor mărimi ale generatoarelor úi bazelor.
necesară determinarea adevăratelor mărimi ale generatoarelor úi bazelor.
Unei curbe trasate pe suprafaĠa laterală a unui cilindru îi corespunde o
Unei curbe trasate pe suprafaĠa laterală a unui cilindru îi corespunde o
curbă de aceeaúi lungime pe desfăúurată, numită transformată prin
curbă de aceeaúi lungime pe desfăúurată, numită transformată prin
desfăúurare a curbei date. Unghiul a două curbe ale suprafeĠei este egal cu
desfăúurare a curbei date. Unghiul a două curbe ale suprafeĠei este egal cu
unghiul transformatelor lor prin desfăúurare.
unghiul transformatelor lor prin desfăúurare.
Pentru trasarea corectă a desfăúuratelor se Ġine cont de teorema lui
Pentru trasarea corectă a desfăúuratelor se Ġine cont de teorema lui
Olivier: transformata prin desfăúurare a secĠiunii făcute de un plan într-un
Olivier: transformata prin desfăúurare a secĠiunii făcute de un plan într-un
cilindru sau un con prezintă inflexiuni în punctele în care planul tangent la
cilindru sau un con prezintă inflexiuni în punctele în care planul tangent la
cilindru/con este perpendicular pe planul secant.
cilindru/con este perpendicular pe planul secant.
85
85
În cazul sferei, pentru că este o suprafaĠă nedesfăúurabilă, există
În cazul sferei, pentru că este o suprafaĠă nedesfăúurabilă, există
diferite metode aproximative pentru a o desfăúura. Mai cunoscute sunt
diferite metode aproximative pentru a o desfăúura. Mai cunoscute sunt
metodele prin care suprafaĠa sferei se divizează în fusuri egale (prin
metodele prin care suprafaĠa sferei se divizează în fusuri egale (prin
secĠionarea cu plane proiectante verticale care trec prin centrul sferei) sau
secĠionarea cu plane proiectante verticale care trec prin centrul sferei) sau
se divizează suprafaĠa sferei în zone sferice (prin secĠionarea cu plane de
se divizează suprafaĠa sferei în zone sferice (prin secĠionarea cu plane de
nivel).
nivel).
x Desfăúurata cilindrului drept, Fig. 8.14.
x Desfăúurata cilindrului drept, Fig. 8.14.
Fig. 8.14
Fig. 8.14
x Desfăúurata cilindrului drept intersectat de un plan sub un unghi D,
x Desfăúurata cilindrului drept intersectat de un plan sub un unghi D,
Fig. 8.15.
Fig. 8.15.
Fig. 8.15
Fig. 8.15
86
86
x Desfăúurata conului, Fig. 8.16.
x Desfăúurata conului, Fig. 8.16.
Fig. 8.16
x Desfăúurata conului circular drept intersectat de un plan sub un
unghi D faĠă de axa sa, Fig. 8.17.
Fig. 8.17
87
Fig. 8.16
x Desfăúurata conului circular drept intersectat de un plan sub un
unghi D faĠă de axa sa, Fig. 8.17.
Fig. 8.17
87
- Desfăúurata sferei:
- Desfăúurata sferei:
* prin zone sferice ( 2 conuri, un cilindru úi 4 trunchiuri de con ),
* prin zone sferice ( 2 conuri, un cilindru úi 4 trunchiuri de con ),
Fig.8.18.
Fig.8.18.
Fig. 8.18
* prin fusuri sferice ( secĠiuni mediane ), Fig. 8.19.
88
Fig. 8.18
* prin fusuri sferice ( secĠiuni mediane ), Fig. 8.19.
88
Fig. 8.19
89
Fig. 8.19
89
9. INTERSECğII DE CORPURI - DESFĂùURATELE LOR
9. INTERSECğII DE CORPURI - DESFĂùURATELE LOR
9.1 IntersecĠia dintre doi cilindri cu diametre diferite úi axe
9.1 IntersecĠia dintre doi cilindri cu diametre diferite úi axe
perpendiculare
perpendiculare
Pentru construirea desfăúuratelor acestor cilindrii este necesar ca în
Pentru construirea desfăúuratelor acestor cilindrii este necesar ca în
prealabil să se determine linia de intersecĠie a acestora, în care scop baza
prealabil să se determine linia de intersecĠie a acestora, în care scop baza
cilindrului mic se împarte în 2n părĠi egale (douăsprezece, în cazul nostru).
cilindrului mic se împarte în 2n părĠi egale (douăsprezece, în cazul nostru).
Din punctele de împărĠire se duc orizontale care intersectează orizontalele
Din punctele de împărĠire se duc orizontale care intersectează orizontalele
cu aceleaúi numere, în punctele 1O, 2O, 3O, etc.
cu aceleaúi numere, în punctele 1O, 2O, 3O, etc.
Unind aceste puncte printr-o curbă continuă, se obĠine linia de
Unind aceste puncte printr-o curbă continuă, se obĠine linia de
intersecĠie care serveúte la desfăúurarea celor doi cilindrii conform indi-
intersecĠie care serveúte la desfăúurarea celor doi cilindrii conform indi-
caĠiilor din figură.
caĠiilor din figură.
În desfăúurata cilindrului A sunt determinate punctele 1’O, 2’O, 3’O,
În desfăúurata cilindrului A sunt determinate punctele 1’O, 2’O, 3’O,
etc., care unite, dau curba de intersecĠie desfăúurată a acestui cilindru.
etc., care unite, dau curba de intersecĠie desfăúurată a acestui cilindru.
Desfăúurata cilindrului mic B este dată în aceeaúi figură. Se observă că
Desfăúurata cilindrului mic B este dată în aceeaúi figură. Se observă că
distanĠele I–II; II–III, etc. din desfăúurata A sunt egale cu lungimile arcelor
distanĠele I–II; II–III, etc. din desfăúurata A sunt egale cu lungimile arcelor
I–II; II–III, etc. Lungimea cercului bazei, egală cu SD, a fost împărĠită în
I–II; II–III, etc. Lungimea cercului bazei, egală cu SD, a fost împărĠită în
acelaúi număr de părĠi egale (douăsprezece), iar pe verticalele
acelaúi număr de părĠi egale (douăsprezece), iar pe verticalele
corespunzătoare cu aceleaúi numere se iau lungimile marcate prin săgeĠi.
corespunzătoare cu aceleaúi numere se iau lungimile marcate prin săgeĠi.
Deoarece corpurile intersectate sunt simetrice, în construcĠia
desfăúuratelor s-au notat numai un sfert din numărul de diviziuni, Fig.9.1.
9.2 IntersecĠia sub un unghi oarecare a doi cilindri de diametre
diferite
Deoarece corpurile intersectate sunt simetrice, în construcĠia
desfăúuratelor s-au notat numai un sfert din numărul de diviziuni, Fig.9.1.
9.2 IntersecĠia sub un unghi oarecare a doi cilindri de diametre
diferite
Aúa cum s-a arătat în Fig. 9.1, mai întâi se determină linia de
Aúa cum s-a arătat în Fig. 9.1, mai întâi se determină linia de
intersecĠie după metoda folosită la intersecĠia dintre doi cilindrii, apoi se
intersecĠie după metoda folosită la intersecĠia dintre doi cilindrii, apoi se
procedează la construcĠia desfăúuratelor celor doi cilindri.
procedează la construcĠia desfăúuratelor celor doi cilindri.
90
90
Fig. 9.1
Fig. 9.1
Pe prelungirea extremităĠii libere a cilindrului mic (linia 0 – 8
Pe prelungirea extremităĠii libere a cilindrului mic (linia 0 – 8
perpendiculară pe axa cilindrului) se aúează lungimea desfăúurată a
perpendiculară pe axa cilindrului) se aúează lungimea desfăúurată a
cercului cilindrului mic împărĠită în acelaúi număr de părĠi egale ca úi
cercului cilindrului mic împărĠită în acelaúi număr de părĠi egale ca úi
circumferinĠa cilindrului mic. Prin punctele de diviziune se duc
circumferinĠa cilindrului mic. Prin punctele de diviziune se duc
perpendiculare pe linia 0 – 8 (paralele cu axa cilindrului mic). Se
perpendiculare pe linia 0 – 8 (paralele cu axa cilindrului mic). Se
proiectează punctele a, b, c pe generatoarea cilindrului mic până se
proiectează punctele a, b, c pe generatoarea cilindrului mic până se
intersectează cu perpendicularele corespunzătoare duse din punctele 0, 1,
intersectează cu perpendicularele corespunzătoare duse din punctele 0, 1,
2, obĠinându-se punctele a’, b’, etc., care unite, dau curba de intersecĠie
2, obĠinându-se punctele a’, b’, etc., care unite, dau curba de intersecĠie
desfăúurată pentru cilindrul mic.
desfăúurată pentru cilindrul mic.
Pentru a determina desfăúurata tăieturii din cilindrul mare se
Pentru a determina desfăúurata tăieturii din cilindrul mare se
procedează astfel: se trasează linia x, y, perpendiculară pe axa cilindrului
procedează astfel: se trasează linia x, y, perpendiculară pe axa cilindrului
mare în punctul e al liniei de intersecĠie. La intersecĠia acestei linii cu
mare în punctul e al liniei de intersecĠie. La intersecĠia acestei linii cu
generatoarele cilindrului mare duse prin punctele j, h, g, f se obĠin punctele
generatoarele cilindrului mare duse prin punctele j, h, g, f se obĠin punctele
I, II, III, IV.
I, II, III, IV.
91
91
Pe dreapta oarecare OO’ se aúează lungimile arcelor ab, bc, cd, etc.,
Pe dreapta oarecare OO’ se aúează lungimile arcelor ab, bc, cd, etc.,
iar prin punctele obĠinute I, II, III, IV se duc perpendiculare pe OO’. Pe
iar prin punctele obĠinute I, II, III, IV se duc perpendiculare pe OO’. Pe
aceste perpendiculare, se ridică distanĠele I – a, II – b, etc. úi se coboară
aceste perpendiculare, se ridică distanĠele I – a, II – b, etc. úi se coboară
I – j, II – h, etc. Unind între ele punctele a, b, c, etc., se obĠine jumătate din
I – j, II – h, etc. Unind între ele punctele a, b, c, etc., se obĠine jumătate din
tăietura cilindrului mare.
tăietura cilindrului mare.
Având desfăúuratele celor două tăieturi, se pot construi úi
desfăúuratele cilindrilor intersectaĠi, Fig. 9.2.
Având desfăúuratele celor două tăieturi, se pot construi úi
desfăúuratele cilindrilor intersectaĠi, Fig. 9.2.
Fig. 9.2
Fig. 9.2
9.3 IntersecĠia dintre un cilindru úi o prismă
9.3 IntersecĠia dintre un cilindru úi o prismă
Construirea defăúuratei prismei úi a tăieturii în cilindru se realizează
Construirea defăúuratei prismei úi a tăieturii în cilindru se realizează
ca úi în cazul intersecĠiei a doi cilindri, cu simpla deosebire că în cazul de
ca úi în cazul intersecĠiei a doi cilindri, cu simpla deosebire că în cazul de
faĠă, în loc de a împărĠi întregul perimetru al prismei în părĠi egale (aúa
faĠă, în loc de a împărĠi întregul perimetru al prismei în părĠi egale (aúa
cum s-a făcut la cilindrul mic din cazul anterior) se va împărĠi fiecare
cum s-a făcut la cilindrul mic din cazul anterior) se va împărĠi fiecare
latură în părĠi egale conform Fig. 9.3.
latură în părĠi egale conform Fig. 9.3.
92
92
Fig. 9.3
Fig. 9.3
9.4 IntersecĠia dintre un cilindru úi un con ce pătrunde oblic în
9.4 IntersecĠia dintre un cilindru úi un con ce pătrunde oblic în
cilindru
cilindru
Se trasează jumătate din cercul de bază al conului úi se împarte într-
Se trasează jumătate din cercul de bază al conului úi se împarte într-
un număr de părĠi egale (douăsprezece); din punctele de diviziune se duc
un număr de părĠi egale (douăsprezece); din punctele de diviziune se duc
perpendiculare pe diametrul cercului de bază al conului. Punctele de
perpendiculare pe diametrul cercului de bază al conului. Punctele de
intersecĠie se unesc cu vârful S al conului. ProiecĠia corespunzătoare a
intersecĠie se unesc cu vârful S al conului. ProiecĠia corespunzătoare a
acestor puncte (1’, 2’, 3’…, 12’ se unesc cu vârful S1. Punctele de
acestor puncte (1’, 2’, 3’…, 12’ se unesc cu vârful S1. Punctele de
intersecĠie ale razelor S1 – 1’, S1 – 2’, etc. cu cilindrul I, II, III, IV, etc. se
intersecĠie ale razelor S1 – 1’, S1 – 2’, etc. cu cilindrul I, II, III, IV, etc. se
proiectează în vederea din stânga, obĠinându-se linia de intersecĠie dintre
proiectează în vederea din stânga, obĠinându-se linia de intersecĠie dintre
cilindru úi con. La fel se procedează úi pentru determinarea liniei de
cilindru úi con. La fel se procedează úi pentru determinarea liniei de
intersecĠie de la ieúirea conului din cilindru.
intersecĠie de la ieúirea conului din cilindru.
Pentru a obĠine desfăúurata conului se procedează la fel ca la
Pentru a obĠine desfăúurata conului se procedează la fel ca la
desfăúurarea unui con oblic. În Fig. 9.4 se arată jumătate din desfăúurata
desfăúurarea unui con oblic. În Fig. 9.4 se arată jumătate din desfăúurata
cilindrului; se observă că în această construcĠie distanĠele dintre dreptele
cilindrului; se observă că în această construcĠie distanĠele dintre dreptele
93
93
I – II, II – III, III – IV, etc. sunt luate de pe linia de intersecĠie.
Fig. 9.4
I – II, II – III, III – IV, etc. sunt luate de pe linia de intersecĠie.
Fig. 9.4
9.5 IntersecĠia dintre un cilindru úi un poliedru
9.5 IntersecĠia dintre un cilindru úi un poliedru
În Fig. 9.5 se redă în două vederi intersecĠia dintre cilindrul B cu
În Fig. 9.5 se redă în două vederi intersecĠia dintre cilindrul B cu
axa verticală úi poliedrul A cu baza dreptunghiulară, a cărui axă este
axa verticală úi poliedrul A cu baza dreptunghiulară, a cărui axă este
înclinată faĠă de axa cilindrului (axele celor două corpuri nu se
înclinată faĠă de axa cilindrului (axele celor două corpuri nu se
intersectează). Pentru construcĠia desfăúuratelor acestor două corpuri se
intersectează). Pentru construcĠia desfăúuratelor acestor două corpuri se
determină mai întâi linia de intersecĠie a feĠelor poliedrului cu cilindrul dat.
determină mai întâi linia de intersecĠie a feĠelor poliedrului cu cilindrul dat.
Aceasta se face astfel: se împarte cercul din proiecĠia plană a cilindrului B
Aceasta se face astfel: se împarte cercul din proiecĠia plană a cilindrului B
într-un număr oarecare de părĠi (în acest caz, jumătatea cercului s-a
într-un număr oarecare de părĠi (în acest caz, jumătatea cercului s-a
împărĠit în 6 părĠi), iar prin punctele de diviziune 1, 2, 3,…, 7 se duc razele
împărĠit în 6 părĠi), iar prin punctele de diviziune 1, 2, 3,…, 7 se duc razele
corespunzătoare care intersectează perimetrul bazei poliedrului în punctele
corespunzătoare care intersectează perimetrul bazei poliedrului în punctele
I, II, III,…, VII. Cu ajutorul compasului se duc aceste puncte pe orizontala
I, II, III,…, VII. Cu ajutorul compasului se duc aceste puncte pe orizontala
xx, apoi se proiectează pe vederea laterală obĠinându-se punctele I’, II’, III’
xx, apoi se proiectează pe vederea laterală obĠinându-se punctele I’, II’, III’
la intersecĠia razelor SI’, SII’, etc. cu generatoarea cilindrului se determină
la intersecĠia razelor SI’, SII’, etc. cu generatoarea cilindrului se determină
94
94
punctele 1’, 2’, 3’, etc. Prin aceste puncte se duc orizontalele, care, prin
punctele 1’, 2’, 3’, etc. Prin aceste puncte se duc orizontalele, care, prin
intersecĠia lor cu verticalele ridicate din punctele de diviziune ale cercului
intersecĠia lor cu verticalele ridicate din punctele de diviziune ale cercului
din proiecĠia plană, determină punctele 1, 2, 3,…, 7. Unind aceste puncte
din proiecĠia plană, determină punctele 1, 2, 3,…, 7. Unind aceste puncte
se obĠine curba de intersecĠie dintre cilindru úi poliedru.
se obĠine curba de intersecĠie dintre cilindru úi poliedru.
Desfăúuratele cilindrului úi poliedrului sunt cunoscute. Pentru a afla
Desfăúuratele cilindrului úi poliedrului sunt cunoscute. Pentru a afla
desfăúurata secĠiunii de intersecĠie de pe poliedru, se determină pe
desfăúurata secĠiunii de intersecĠie de pe poliedru, se determină pe
poliedrul desfăúurat punctele: I, II, III,…, IX. Pe razele care unesc vârful S
poliedrul desfăúurat punctele: I, II, III,…, IX. Pe razele care unesc vârful S
cu punctele I, II, III,…, IX, se aúează distanĠele I’ – 1’, II’ – 2’, III’ – 3’,
cu punctele I, II, III,…, IX, se aúează distanĠele I’ – 1’, II’ – 2’, III’ – 3’,
etc., determinându-se astfel punctele 1, 2, 3, etc., care unite dau tăietura
etc., determinându-se astfel punctele 1, 2, 3, etc., care unite dau tăietura
făcută de cilindru în poliedru.
făcută de cilindru în poliedru.
Fig. 9.5
Fig. 9.5
9.6 IntersecĠia unui cilindru cu o sferă
9.6 IntersecĠia unui cilindru cu o sferă
Deoarece desfăúurata sferei intersectată de alte corpuri se reduce la
Deoarece desfăúurata sferei intersectată de alte corpuri se reduce la
desfăúurarea sferei intersectată de mai multe plane, înainte de a trece la
desfăúurarea sferei intersectată de mai multe plane, înainte de a trece la
descrierea
descrierea
determinării
desfăúuratelor
ansamblurilor
respective,
în
determinării
desfăúuratelor
ansamblurilor
respective,
în
Fig.9.6.a se arată sfera intersectată de un plan úi desfăúurarea acesteia. Un
Fig.9.6.a se arată sfera intersectată de un plan úi desfăúurarea acesteia. Un
plan intersectează meridianele sferei în punctele 11, 21, 31, etc. Un plan
plan intersectează meridianele sferei în punctele 11, 21, 31, etc. Un plan
intersectează meridianele sferei în punctele 11, 21, 31, etc. Prin punctele de
intersectează meridianele sferei în punctele 11, 21, 31, etc. Prin punctele de
95
95
intersecĠie 1’1, 2’1, 3’1, etc. se duc drepte orizontale ce intersectează
intersecĠie 1’1, 2’1, 3’1, etc. se duc drepte orizontale ce intersectează
meridianul OP’1 în punctele 1’’1, 2’’1, 3’’1, etc. Diferitele puncte de pe
meridianul OP’1 în punctele 1’’1, 2’’1, 3’’1, etc. Diferitele puncte de pe
linia de intersecĠie pe desfăúurată se obĠin luând arcele 001 egal cu 00’1, 111
linia de intersecĠie pe desfăúurată se obĠin luând arcele 001 egal cu 00’1, 111
egal cu 01’’1, 221 egal cu 02’’1, etc. punctele intermediare se obĠin ducând
egal cu 01’’1, 221 egal cu 02’’1, etc. punctele intermediare se obĠin ducând
plane de intersecĠie suplimentare >P’1 4g P’2@, cu care se poate determina
plane de intersecĠie suplimentare >P’1 4g P’2@, cu care se poate determina
punctul 41g. Desfăúurarea sferei se construieúte cu una din metodele
punctul 41g. Desfăúurarea sferei se construieúte cu una din metodele
prezentate în capitolul anterior.
prezentate în capitolul anterior.
În Fig. 9.6.b este prezentat cazul general de intersecĠie dintre un
În Fig. 9.6.b este prezentat cazul general de intersecĠie dintre un
cilindru úi o sferă când axa cilindrului nu trece prin centrul sferei, ci
cilindru úi o sferă când axa cilindrului nu trece prin centrul sferei, ci
intersectează axa acesteia într-un punct oarecare C1. Pentru construirea
intersectează axa acesteia într-un punct oarecare C1. Pentru construirea
desfăúuratei acestui ansamblu, este necesar ca în prealabil, să se determine
desfăúuratei acestui ansamblu, este necesar ca în prealabil, să se determine
linia de intersecĠie a corpurilor. Aceasta se obĠine folosind una din
linia de intersecĠie a corpurilor. Aceasta se obĠine folosind una din
următoarele metode:
următoarele metode:
a) cu ajutorul compasului, din C1 se descrie un arc de
cerc ce
a) cu ajutorul compasului, din C1 se descrie un arc de
cerc ce
intersectează sfera în punctele MS úi cilindrul în punctele MZ. Un
intersectează sfera în punctele MS úi cilindrul în punctele MZ. Un
punct oarecare M de pe linia de intersecĠie se obĠine prin intersecĠia
punct oarecare M de pe linia de intersecĠie se obĠine prin intersecĠia
dreptelor duse prin punctele MS úi MZ (MSMS, MZMZ).
dreptelor duse prin punctele MS úi MZ (MSMS, MZMZ).
b) prin punctele de împărĠire ale cercului de bază al cilindrului se duc
b) prin punctele de împărĠire ale cercului de bază al cilindrului se duc
generatoarele care intersectează conturul sferei în punctele 11, 21,
generatoarele care intersectează conturul sferei în punctele 11, 21,
etc. Din aceste puncte se duc drepte verticale ce intersectează axa
etc. Din aceste puncte se duc drepte verticale ce intersectează axa
sferei în punctele 12, 22, 32, etc., iar razele C32, C22, etc. úi cu centrul
sferei în punctele 12, 22, 32, etc., iar razele C32, C22, etc. úi cu centrul
în C (centrul sferei) se descriu arce de cerc ce întâlnesc
în C (centrul sferei) se descriu arce de cerc ce întâlnesc
generatoarele cilindrului în punctele 1O, 2O, 3O, etc. Unind punctele
generatoarele cilindrului în punctele 1O, 2O, 3O, etc. Unind punctele
1O, 2O, 3O, etc. printr-o curbă continuă, obĠinem linia de intersecĠie.
1O, 2O, 3O, etc. printr-o curbă continuă, obĠinem linia de intersecĠie.
Având linia de intersecĠie (lungimile reale ale generatoarelor
Având linia de intersecĠie (lungimile reale ale generatoarelor
cilindrului) în Fig. 9.6.b se arată jumătate din desfăúurata cilindrului.
cilindrului) în Fig. 9.6.b se arată jumătate din desfăúurata cilindrului.
Pentru a obĠine desfăúurata sferei se procedează ca úi în cazul Fig. 9.6.a, cu
Pentru a obĠine desfăúurata sferei se procedează ca úi în cazul Fig. 9.6.a, cu
96
96
deosebirea că în cazul de faĠă, proiecĠia liniei de intersecĠie nu este o
deosebirea că în cazul de faĠă, proiecĠia liniei de intersecĠie nu este o
dreaptă, ci o linie curbă.
dreaptă, ci o linie curbă.
Fig. 9.6
Fig. 9.6
9.7 IntersecĠia dintre un con cu o sferă
9.7 IntersecĠia dintre un con cu o sferă
În cazul în care axa conului trece prin centrul sferei Fig. 9.7.a,
În cazul în care axa conului trece prin centrul sferei Fig. 9.7.a,
desfăúuratele conului úi sferei se reduc la cazul intersectării acestora de
desfăúuratele conului úi sferei se reduc la cazul intersectării acestora de
către un plan. Se consideră cazul general când axa conului nu trece prin
către un plan. Se consideră cazul general când axa conului nu trece prin
centrul sferei, ci intersectează axa acesteia într-un punct oarecare C1.
centrul sferei, ci intersectează axa acesteia într-un punct oarecare C1.
Pentru construcĠia desfăúuratelor conului úi sferei trebuie determinată linia
Pentru construcĠia desfăúuratelor conului úi sferei trebuie determinată linia
de intersecĠie a acestora.
de intersecĠie a acestora.
Din punctul C1, cu compasul se descrie un arc de cerc care
Din punctul C1, cu compasul se descrie un arc de cerc care
intersectează sfera în punctele MS úi conul în punctele MK. Un punct
intersectează sfera în punctele MS úi conul în punctele MK. Un punct
97
97
oarecare M, de pe linia de intersecĠie, se obĠine prin intersecĠia dreptelor
oarecare M, de pe linia de intersecĠie, se obĠine prin intersecĠia dreptelor
duse prin punctele MS úi MK (MSMS, MKMK). În continuare, baza conului se
duse prin punctele MS úi MK (MSMS, MKMK). În continuare, baza conului se
împarte într-un număr de părĠi egale, iar prin punctele de diviziune 0, 1, 2,
împarte într-un număr de părĠi egale, iar prin punctele de diviziune 0, 1, 2,
etc. se duc generatoarele conului ce determină, la intersecĠia lor cu linia de
etc. se duc generatoarele conului ce determină, la intersecĠia lor cu linia de
intersecĠie a celor două corpuri, punctele 0O, 1O, 2O, etc. DistanĠa de la
intersecĠie a celor două corpuri, punctele 0O, 1O, 2O, etc. DistanĠa de la
punctele obĠinute până la vârf, úi respectiv până la baza conului, determină
punctele obĠinute până la vârf, úi respectiv până la baza conului, determină
lungimea reală a generatoarelor ce sunt transpuse cu ajutorul compasului
lungimea reală a generatoarelor ce sunt transpuse cu ajutorul compasului
(respectând numerele de ordine) – Fig. 9.7.b, unde este reprezentată
(respectând numerele de ordine) – Fig. 9.7.b, unde este reprezentată
desfăúurata conului.
desfăúurata conului.
Desfăúurata sferei se construieúte după metoda descrisă în Fig. 8.6.a,
Desfăúurata sferei se construieúte după metoda descrisă în Fig. 8.6.a,
cu deosebirea că în acest caz, linia de intersecĠie nu este o linie dreaptă, ci
cu deosebirea că în acest caz, linia de intersecĠie nu este o linie dreaptă, ci
o linie curbă.
o linie curbă.
9.8 Racordarea unei secĠiuni circulare la o secĠiune pătrată
9.8 Racordarea unei secĠiuni circulare la o secĠiune pătrată
x Cazul în care latura pătratului a este mai mare decât diametrul D al
x Cazul în care latura pătratului a este mai mare decât diametrul D al
cercului
cercului
Pentru determinarea desfăúuratei ansamblului se procedează astfel:
Pentru determinarea desfăúuratei ansamblului se procedează astfel:
cercul de diametru D se împarte în 2n părĠi egale (douăsprezece),
cercul de diametru D se împarte în 2n părĠi egale (douăsprezece),
obĠinându-se punctele 1, 2, 3, etc.
obĠinându-se punctele 1, 2, 3, etc.
ConstrucĠia este formată din patru elemente plane: triunghiurile I – 1 – II;
ConstrucĠia este formată din patru elemente plane: triunghiurile I – 1 – II;
II – 4 – III, etc. úi din patru conuri eliptice înclinate identice, având baza
II – 4 – III, etc. úi din patru conuri eliptice înclinate identice, având baza
circulară comună, cu diametrul D úi vârfurile I, II, III úi IV.
circulară comună, cu diametrul D úi vârfurile I, II, III úi IV.
Determinarea desfăúuratei se reduce la determinarea elementelor
Determinarea desfăúuratei se reduce la determinarea elementelor
plane úi conice. În Fig. 9.8 sunt determinate lungimile reale ale
plane úi conice. În Fig. 9.8 sunt determinate lungimile reale ale
generatoarelor elementelor conice, unde segmentul AV este egal cu
generatoarelor elementelor conice, unde segmentul AV este egal cu
înălĠimea h, iar segmentele A1, A2, A3, etc. sunt egale cu segmentele II 1,
înălĠimea h, iar segmentele A1, A2, A3, etc. sunt egale cu segmentele II 1,
II 2, etc. lungimile reale ale generatoarelor sunt 1V, 2 V, etc.
II 2, etc. lungimile reale ale generatoarelor sunt 1V, 2 V, etc.
98
98
Fig. 9.7
Fig. 9.7
În Fig. 9.8 se ia segmentul A1 = h = m, iar din punctele A úi 1, cu
În Fig. 9.8 se ia segmentul A1 = h = m, iar din punctele A úi 1, cu
ajutorul compasului se descriu arce de cerc cu razele 1V úi a/2, care se
ajutorul compasului se descriu arce de cerc cu razele 1V úi a/2, care se
intersectează în punctul II. Cu centrul în II se descrie un arc cu raza
intersectează în punctul II. Cu centrul în II se descrie un arc cu raza
II 2 = V 2. Cu centrul în 1 úi cu raza r = 12 se descrie un arc de cerc care
II 2 = V 2. Cu centrul în 1 úi cu raza r = 12 se descrie un arc de cerc care
intersectează pe precedentul în punctul 2. ConstrucĠia se continuă în
intersectează pe precedentul în punctul 2. ConstrucĠia se continuă în
acelaúi mod până când se determină întreaga desfăúurată. Analitic,
acelaúi mod până când se determină întreaga desfăúurată. Analitic,
parametrii racordării se pot determina folosind următoarele relaĠii:
parametrii racordării se pot determina folosind următoarele relaĠii:
r SD ;
2n
l
K
2
m
§a D· ¨ ¸ h
©2 2 ¹
§a D
·
¨¨ sin M K ¸¸
©2 2
¹
2
r SD ;
2
2n
2
§a D
·
¨
¨ cos M K ¸¸ h
©2 2
¹
2
unde: 2n – numărul de părĠi în care se împarte cercul;
JK = KH, unde H
0
360 (unghiul la centru);
2n
99
l
K
2
m
§a D· ¨ ¸ h
©2 2 ¹
§a D
·
¨¨ sin M K ¸¸
©2 2
¹
2
2
2
§a D
·
¨
¨ cos M K ¸¸ h
©2 2
¹
2
unde: 2n – numărul de părĠi în care se împarte cercul;
JK = KH, unde H
0
360 (unghiul la centru);
2n
99
m – înălĠimea feĠei triunghiului;
m – înălĠimea feĠei triunghiului;
K – numărul de ordine al punctului de împărĠire a cercului;
K – numărul de ordine al punctului de împărĠire a cercului;
lK – lungimea reală a muchiilor.
lK – lungimea reală a muchiilor.
Fig. 9.8
Fig. 9.8
x Cazul în care latura pătratului a este mai mică decât diametrul D al
cercului.
x Cazul în care latura pătratului a este mai mică decât diametrul D al
cercului.
Se procedează la fel ca úi în cazul în care latura pătratului este mai mare
Se procedează la fel ca úi în cazul în care latura pătratului este mai mare
decât diametrul D al cercului, Fig.9.8.
decât diametrul D al cercului, Fig.9.8.
x Cazul în care latura pătratului a este egală cu diametrul D al cercului
ConstrucĠia desfăúuratei acestui ansamblu (Fig.9.9) este similară cu cea
descrisă la primul caz. RelaĠiile analitice pentru determinarea parametrilor
racordării sunt:
racordării sunt:
r SD ; m h ;
2n
l
K
§D
¨¨
© 2
100
2
·
¸¸ >3 2 sin M
¹
K
cos M
K
@ h
2
r SD ; m h ;
2n
l
K
§D
¨¨
© 2
100
2
·
¸¸ >3 2 sin M
¹
K
cos M
K
@ h
2
Fig. 9.9
Fig. 9.9
Fig. 9.10
Fig. 9.10
racordării sunt:
racordării sunt:
r SD ;
2n
m h;
l
K
§D
¨¨
© 2
2
·
¸¸ >3 2 sin M
¹
101
K
cos M
K
@ h
2
r SD ;
2n
m h;
l
K
§D
¨¨
© 2
2
·
¸¸ >3 2 sin M
¹
101
K
cos M
K
@ h
2
10. LINII, SUPRAFEğE ùI CORPURI ELICOIDALE
10. LINII, SUPRAFEğE ùI CORPURI ELICOIDALE
10.1 Linii elicoidale
10.1.1 Elicea cilindrică
10.1.1 Elicea cilindrică
Elicea cilindrică sau linia elicoidală cilindrică este curba trasată pe
Elicea cilindrică sau linia elicoidală cilindrică este curba trasată pe
suprafaĠa unui cilindru care intersectează generatoarele cilindrului sub un
suprafaĠa unui cilindru care intersectează generatoarele cilindrului sub un
unghi constant. Când cilindrul este de rotaĠie, elicea trasată se numeúte
unghi constant. Când cilindrul este de rotaĠie, elicea trasată se numeúte
elice circulară. DistanĠa dintre două puncte succesive de intersecĠie a
elice circulară. DistanĠa dintre două puncte succesive de intersecĠie a
elicei cu aceeaúi generatoare se numeúte pas úi se notează cu p. Unghiul
elicei cu aceeaúi generatoare se numeúte pas úi se notează cu p. Unghiul
elicei este unghiul constant pe care îl face tangenta la elice cu planul unei
elicei este unghiul constant pe care îl face tangenta la elice cu planul unei
secĠiuni drepte.
secĠiuni drepte.
Fig. 10.1
102
Fig. 10.1
102
Pentru a trasa, pe cilindrul drept cu bazele cercuri cu centrele în
Pentru a trasa, pe cilindrul drept cu bazele cercuri cu centrele în
:1 (Z1, Z’1) úi :2 (Z2, Z’2) – Fig. 10.1.a, elicea care este generată prin
:1 (Z1, Z’1) úi :2 (Z2, Z’2) – Fig. 10.1.a, elicea care este generată prin
deplasarea punctului A ( a, a’ ) se împart în douăsprezece părĠi egale atât
deplasarea punctului A ( a, a’ ) se împart în douăsprezece părĠi egale atât
§
cercul de bază al cilindrului, ¨¨ aa1
a1a2
©
pasul p al elicei §¨ a'1 12 ..... 11a'12
©
.....
a10 a11
a11a12
360o ·
¸ , cât úi
12 ¸¹
p·
¸ . În mod succesiv, considerându12 ¹
§
cercul de bază al cilindrului, ¨¨ aa1
a1a2
©
pasul p al elicei §¨ a'1 12 ..... 11a'12
©
.....
a10 a11
a11a12
360o ·
¸ , cât úi
12 ¸¹
p·
¸ . În mod succesiv, considerându12 ¹
se deplasările proporĠionale, se determină proiecĠiile verticale a’, a1’,……,
se deplasările proporĠionale, se determină proiecĠiile verticale a’, a1’,……,
a12’, prin care se trasează elicea Ġinând seama de vizibilitate. Prin simetrie,
a12’, prin care se trasează elicea Ġinând seama de vizibilitate. Prin simetrie,
se trasează elicea úi pe cealaltă porĠiune a cilindrului. Pentru a desfăúura
se trasează elicea úi pe cealaltă porĠiune a cilindrului. Pentru a desfăúura
elicea, se desfăúoară cilindrul úi se transpun pe desfăúurată punctele prin
elicea, se desfăúoară cilindrul úi se transpun pe desfăúurată punctele prin
care s-a trasat elicea. Desfăúurata elicei este linia dreaptă A*A*1 conform
care s-a trasat elicea. Desfăúurata elicei este linia dreaptă A*A*1 conform
Fig. 10.1.b.
Fig. 10.1.b.
10.1.2 Elicea conică
10.1.2 Elicea conică
Se numeúte elice conică, curba generată de un punct care se
Se numeúte elice conică, curba generată de un punct care se
deplasează de-a lungul unei generatoare a unui con circular drept, în timp
deplasează de-a lungul unei generatoare a unui con circular drept, în timp
ce conul execută o miúcare de rotaĠie în jurul axei sale, traiectoria
ce conul execută o miúcare de rotaĠie în jurul axei sale, traiectoria
punctului fiind proporĠională cu unghiul de rotaĠie.
punctului fiind proporĠională cu unghiul de rotaĠie.
Pentru construcĠia elicei, pe conul circular drept cu baza un cerc, cu
Pentru construcĠia elicei, pe conul circular drept cu baza un cerc, cu
centrul în : ( Z, Z’ ) úi vârful în S ( s, s’ ) – Fig. 10.2.a, se împart în
centrul în : ( Z, Z’ ) úi vârful în S ( s, s’ ) – Fig. 10.2.a, se împart în
douăsprezece părĠi egale atât cercul de bază al conului în proiecĠie
douăsprezece părĠi egale atât cercul de bază al conului în proiecĠie
orizontală (12111=1121=……=111121) cât úi pasul p în proiecĠie verticală
orizontală (12111=1121=……=111121) cât úi pasul p în proiecĠie verticală
(12’11’=1’2’=……=11’12’). Cu ajutorul liniilor de ordine se determină în
(12’11’=1’2’=……=11’12’). Cu ajutorul liniilor de ordine se determină în
proiecĠie orizontală 1, 2,……, 11, 12. Cu vârful compasului în s se descrie
proiecĠie orizontală 1, 2,……, 11, 12. Cu vârful compasului în s se descrie
un arc de cerc din 1 până la intersecĠia cu s11 úi se determină 10. Cu linie
un arc de cerc din 1 până la intersecĠia cu s11 úi se determină 10. Cu linie
de ordine din 10 se determină, pe paralela din 1’ la axa Ox, proiecĠia
de ordine din 10 se determină, pe paralela din 1’ la axa Ox, proiecĠia
verticală 1’0. Similar se determină úi celelalte puncte ale elicei, notate în
verticală 1’0. Similar se determină úi celelalte puncte ale elicei, notate în
103
103
figură numai pe porĠiunea pasului p. Prin desfăúurarea conului se obĠine úi
figură numai pe porĠiunea pasului p. Prin desfăúurarea conului se obĠine úi
transformata prin desfăúurare a elicei, care este o spirală Arhimede,
transformata prin desfăúurare a elicei, care este o spirală Arhimede,
Fig.9.2.b.
Fig.9.2.b.
Fig. 10.2
Fig. 10.2
10.1.3 Elicea sferică
10.1.3 Elicea sferică
Se numeúte elice sferică curba generată de un punct care se
Se numeúte elice sferică curba generată de un punct care se
deplasează pe cercuri paralele ale unei sfere, în timp ce sfera execută o
deplasează pe cercuri paralele ale unei sfere, în timp ce sfera execută o
miúcare de rotaĠie în jurul unei axe perpendiculare pe planele paralelelor,
miúcare de rotaĠie în jurul unei axe perpendiculare pe planele paralelelor,
traiectoria punctului fiind proporĠională cu unghiul de rotaĠie.
traiectoria punctului fiind proporĠională cu unghiul de rotaĠie.
Pentru construcĠia elicei pe sfera cu centrul în : (Z, Z’) – Fig. 10.3,
Pentru construcĠia elicei pe sfera cu centrul în : (Z, Z’) – Fig. 10.3,
se poate utiliza semisfera superioară, pe care se împarte sfertul de cerc
se poate utiliza semisfera superioară, pe care se împarte sfertul de cerc
1’13’ în douăsprezece părĠi egale (1'2' 2'3' ...... 12'13'
90o
). Cu linie de
12
1’13’ în douăsprezece părĠi egale (1'2' 2'3' ...... 12'13'
90o
). Cu linie de
12
ordine se determină în proiecĠie orizontală 1, 2,……, 12, 13 pe Zg.
ordine se determină în proiecĠie orizontală 1, 2,……, 12, 13 pe Zg.
Conturul aparent al sferei în proiecĠie orizontală se împarte în acelaúi
Conturul aparent al sferei în proiecĠie orizontală se împarte în acelaúi
număr de părĠi ( ab bc ...... pa
360o
).
12
104
număr de părĠi ( ab bc ...... pa
360o
).
12
104
Cu vârful compasului în Z úi cu raza Z2 se trasează un arc de cerc,
Cu vârful compasului în Z úi cu raza Z2 se trasează un arc de cerc,
care întâlneúte Zb în b2. Cu linie de ordine din b2 se determină, pe paralela
care întâlneúte Zb în b2. Cu linie de ordine din b2 se determină, pe paralela
din 2’ la axa Ox, proiecĠia verticală b’2. Similar se determină úi celelalte
din 2’ la axa Ox, proiecĠia verticală b’2. Similar se determină úi celelalte
puncte ale elicei sferice, care se trasează Ġinând seama de vizibilitate. Prin
puncte ale elicei sferice, care se trasează Ġinând seama de vizibilitate. Prin
simetrie faĠă de a1’1’, se trasează elicea úi în semisfera interioară.
simetrie faĠă de a1’1’, se trasează elicea úi în semisfera interioară.
Fig. 10.3
Fig. 10.3
10.2 SuprafeĠe elicoidale
10.2 SuprafeĠe elicoidale
SuprafeĠele elicoidale se pot încadra foarte bine úi la suprafeĠe curbe.
SuprafeĠele elicoidale se pot încadra foarte bine úi la suprafeĠe curbe.
Ele au particular numai aceea că punctele elementului generator al
Ele au particular numai aceea că punctele elementului generator al
suprafeĠei fie riglat, fie neriglat, se deplasează după linii elicoidale. Având
suprafeĠei fie riglat, fie neriglat, se deplasează după linii elicoidale. Având
în vedere larga lor aplicaĠie în tehnică vor fi expuse detaliat.
în vedere larga lor aplicaĠie în tehnică vor fi expuse detaliat.
105
105
SuprafeĠele elicoidale riglate pot fi strâmbe, atunci când segmentul
SuprafeĠele elicoidale riglate pot fi strâmbe, atunci când segmentul
generator formează cu axa liniei elicoidale un unghi diferit de 900 úi drepte
generator formează cu axa liniei elicoidale un unghi diferit de 900 úi drepte
când segmentul generator face 900 cu axa.
când segmentul generator face 900 cu axa.
10.2.1 SuprafaĠa elicoidală strâmbă
10.2.1 SuprafaĠa elicoidală strâmbă
Este generată de un segment a cărui dreaptă este concurentă cu axa
Este generată de un segment a cărui dreaptă este concurentă cu axa
(segmentul AB (ab, a’b’) din Fig. 10.4. Pasul este p úi diferenĠa cotelor
(segmentul AB (ab, a’b’) din Fig. 10.4. Pasul este p úi diferenĠa cotelor
punctelor A úi B este de 3p/12, această diferenĠă păstrându-se tot timpul.
punctelor A úi B este de 3p/12, această diferenĠă păstrându-se tot timpul.
Dacă această diferenĠă nu este un multiplu de p/12, în general p/n,
Dacă această diferenĠă nu este un multiplu de p/12, în general p/n,
atunci apar mai multe linii de construcĠie, necesitând o mai mare atenĠie în
atunci apar mai multe linii de construcĠie, necesitând o mai mare atenĠie în
timpul lucrului. Pe linia elicoidală a punctului A (a, a’), acesta ajunge după
timpul lucrului. Pe linia elicoidală a punctului A (a, a’), acesta ajunge după
360O în A12 (a12, a’12), iar punctul B (b, b’), pe linia elicoidală respectivă,
360O în A12 (a12, a’12), iar punctul B (b, b’), pe linia elicoidală respectivă,
ajunge în B12 (b12, b’12).
ajunge în B12 (b12, b’12).
În proiecĠie orizontală, suprafaĠa generată se proiectează după o
În proiecĠie orizontală, suprafaĠa generată se proiectează după o
coroană circulară, la care cercul mic are diametrul cilindrului miez úi
coroană circulară, la care cercul mic are diametrul cilindrului miez úi
diametrul cercului mare egal cu diametrul cilindrului pe care se deplasează
diametrul cercului mare egal cu diametrul cilindrului pe care se deplasează
punctul B.
punctul B.
ProiecĠia verticală cere mai multă atenĠie, în sensul că se trasează
ProiecĠia verticală cere mai multă atenĠie, în sensul că se trasează
linii elicoidale pentru cât mai multe puncte ale segmentului generator AB.
linii elicoidale pentru cât mai multe puncte ale segmentului generator AB.
Înfăúurătoarea acestor linii elicoidale va fi protecĠia verticală a suprafeĠei.
Înfăúurătoarea acestor linii elicoidale va fi protecĠia verticală a suprafeĠei.
În acest scop, în Fig. 10.4 alături de punctele A úi B mai sunt luate úi
În acest scop, în Fig. 10.4 alături de punctele A úi B mai sunt luate úi
punctele C (c, c’) úi D (d, d’), care, ajung în C12 (c12, c’12) úi D12 (d12, d’12).
punctele C (c, c’) úi D (d, d’), care, ajung în C12 (c12, c’12) úi D12 (d12, d’12).
Odată cu trasarea celor patru linii elicoidale se pot trasa úi diferitele poziĠii
Odată cu trasarea celor patru linii elicoidale se pot trasa úi diferitele poziĠii
ale generatoarei úi apoi înfăúurătoarea acestora, obĠinând astfel proiecĠia
ale generatoarei úi apoi înfăúurătoarea acestora, obĠinând astfel proiecĠia
verticală a suprafeĠei.
verticală a suprafeĠei.
Dacă diametrul cilindrului miez este redus la axa de simetrie, se
Dacă diametrul cilindrului miez este redus la axa de simetrie, se
poate uúor vedea că generatoarea se deplasează pe această axă úi pe linia
poate uúor vedea că generatoarea se deplasează pe această axă úi pe linia
elicoidală a lui B, care sunt cele două directoare.
elicoidală a lui B, care sunt cele două directoare.
106
106
Caracteristic pentru această suprafaĠă este faptul că generatoarea
Caracteristic pentru această suprafaĠă este faptul că generatoarea
intersectează axa cilindrului mereu sub acelaúi unghi, rămânând, în
intersectează axa cilindrului mereu sub acelaúi unghi, rămânând, în
miúcarea ei, paralelă cu generatoarea unui con circular drept, coaxial cu
miúcarea ei, paralelă cu generatoarea unui con circular drept, coaxial cu
suprafaĠă elicoidală, con care poartă numele de con director (conul cu
suprafaĠă elicoidală, con care poartă numele de con director (conul cu
vârful în S ( s, s’ )).
vârful în S ( s, s’ )).
SecĠiunea cu un plan perpendicular pe axa suprafeĠei elicoidale este
SecĠiunea cu un plan perpendicular pe axa suprafeĠei elicoidale este
o spirală Arhimede. Fie >H1@ un astfel de plan, care este intersectat de
o spirală Arhimede. Fie >H1@ un astfel de plan, care este intersectat de
liniile elicoidale ale punctelor A úi B, respectiv A4 (a4, a’4) úi B7 (b7, b’7).
liniile elicoidale ale punctelor A úi B, respectiv A4 (a4, a’4) úi B7 (b7, b’7).
PoziĠiile intermediare ale generatoarei intersectează planul >H1@ în punctele
PoziĠiile intermediare ale generatoarei intersectează planul >H1@ în punctele
C6 (c6, c’6) úi D5 (d5, d’5). Dacă nu sunt suficiente punctele pentru trasarea
C6 (c6, c’6) úi D5 (d5, d’5). Dacă nu sunt suficiente punctele pentru trasarea
curbei se pot lua úi alte poziĠii ale generatoarei.
curbei se pot lua úi alte poziĠii ale generatoarei.
Fig. 10.4
107
Fig. 10.4
107
În Fig. 10.4 este luată poziĠia EF a cărei proiecĠie orizontală este ef,
În Fig. 10.4 este luată poziĠia EF a cărei proiecĠie orizontală este ef,
cu proiecĠia verticală e’f ’ care intersectează urma verticală H1v în punctul
cu proiecĠia verticală e’f ’ care intersectează urma verticală H1v în punctul
i’, de unde se găseúte i, aúa cum arată săgeata. Punctele A4, I, D5, C6 úi B7
i’, de unde se găseúte i, aúa cum arată săgeata. Punctele A4, I, D5, C6 úi B7
determină curba de secĠiune.
determină curba de secĠiune.
Din cele două miúcări proporĠionale (rotaĠie úi translaĠie) în lungul
Din cele două miúcări proporĠionale (rotaĠie úi translaĠie) în lungul
axei cilindrului, atunci când generatoarea înaintează planul de nivel >H1@,
axei cilindrului, atunci când generatoarea înaintează planul de nivel >H1@,
punctul de intersecĠie execută a treia miúcare de translaĠie, radială, care în
punctul de intersecĠie execută a treia miúcare de translaĠie, radială, care în
proiecĠie orizontală generează curba a4id5c6b7. Având în vedere miúcările
proiecĠie orizontală generează curba a4id5c6b7. Având în vedere miúcările
proporĠionale de rotaĠie úi de translaĠie radială, curba de secĠiune cu planul
proporĠionale de rotaĠie úi de translaĠie radială, curba de secĠiune cu planul
>H1@ este o spirală Arhimede.
>H1@ este o spirală Arhimede.
10.2.2 SuprafaĠa elicoidală strâmbă generată de o dreaptă care
nu intersectează axa
10.2.2 SuprafaĠa elicoidală strâmbă generată de o dreaptă care
nu intersectează axa
Fie dat segmentul de dreaptă, în poziĠie iniĠială AB (ab, a’b’) tangent
Fie dat segmentul de dreaptă, în poziĠie iniĠială AB (ab, a’b’) tangent
la cilindrul indicat în Fig. 10.5, a cărui rază este perpendiculara comună
la cilindrul indicat în Fig. 10.5, a cărui rază este perpendiculara comună
dintre axă úi generatoare. Elicea generată de punctul de tangenĠă A ( a, a’ )
dintre axă úi generatoare. Elicea generată de punctul de tangenĠă A ( a, a’ )
poartă numele de elice colier. Dreapta generatoare nu este tangentă la linia
poartă numele de elice colier. Dreapta generatoare nu este tangentă la linia
elicoidală a punctului A ( a, a’ ).
elicoidală a punctului A ( a, a’ ).
Trasarea suprafeĠei elicoidale se poate face ca úi în cazul precedent
Trasarea suprafeĠei elicoidale se poate face ca úi în cazul precedent
sau trasând liniile elicoidale ale punctelor A úi B, diferitele poziĠii ale
sau trasând liniile elicoidale ale punctelor A úi B, diferitele poziĠii ale
generatoarei úi apoi, înfăúurătoarea acestora.
generatoarei úi apoi, înfăúurătoarea acestora.
Deoarece generatoarea, în diferitele ei poziĠii, făcând acelaúi unghi D
Deoarece generatoarea, în diferitele ei poziĠii, făcând acelaúi unghi D
cu un plan perpendicular pe axa suprafeĠei (planul >H@) are con director de
cu un plan perpendicular pe axa suprafeĠei (planul >H@) are con director de
rotaĠie. În Fig.10.5 se arată modul de găsire a mărimii unghiului D úi se
rotaĠie. În Fig.10.5 se arată modul de găsire a mărimii unghiului D úi se
pune în evidenĠă conul director cu vârful în S (s, s’). De asemenea se vede
pune în evidenĠă conul director cu vârful în S (s, s’). De asemenea se vede
în proiecĠie orizontală secĠiunea cu planul >H1@, care, de data aceasta nu
în proiecĠie orizontală secĠiunea cu planul >H1@, care, de data aceasta nu
este o spirală Arhimede.
este o spirală Arhimede.
108
108
Fig. 10.5
Fig. 10.6
Fig. 10.5
Fig. 10.6
SuprafeĠele elicoidale, în general, nu sunt desfăúurabile. În cazul
SuprafeĠele elicoidale, în general, nu sunt desfăúurabile. În cazul
special când dreapta generatoare este tangentă la elicea colier, suprafaĠa
special când dreapta generatoare este tangentă la elicea colier, suprafaĠa
care apare poate fi desfăúurată úi este prezentată în Fig. 10.6.
care apare poate fi desfăúurată úi este prezentată în Fig. 10.6.
10.2.3 SuprafaĠa elicoidală dreaptă generată de un segment a
10.2.3 SuprafaĠa elicoidală dreaptă generată de un segment a
cărui dreaptă face un unghi de 900 cu axa úi este
cărui dreaptă face un unghi de 900 cu axa úi este
concurentă cu aceasta
concurentă cu aceasta
Fie pe Fig. 10.7 segmentul AB ( ab, a’b’ ), punctul A fiind pe
Fie pe Fig. 10.7 segmentul AB ( ab, a’b’ ), punctul A fiind pe
suprafaĠa cilindrului miez de diametru d. În deplasarea lui elicoidală,
suprafaĠa cilindrului miez de diametru d. În deplasarea lui elicoidală,
segmentul rămâne tot timpul paralel cu planul >H@, deci, va genera o
segmentul rămâne tot timpul paralel cu planul >H@, deci, va genera o
suprafaĠă cu plan director, care, în cazul de faĠă, este un conoid elicoidal.
suprafaĠă cu plan director, care, în cazul de faĠă, este un conoid elicoidal.
109
109
Fig. 10.7
Fig. 10.8
Fig. 10.7
Fig. 10.8
Reprezentarea este mai simplă decât la suprafeĠele elicoidale simple
Reprezentarea este mai simplă decât la suprafeĠele elicoidale simple
ca la suprafeĠe elicoidale strâmbe. Când segmentul generator ajunge în
ca la suprafeĠe elicoidale strâmbe. Când segmentul generator ajunge în
poziĠie de capăt, cele două linii elicoidale ale punctelor A úi B, în proiecĠie
poziĠie de capăt, cele două linii elicoidale ale punctelor A úi B, în proiecĠie
verticală, trec prin proiecĠia segmentului, care este un punct situat pe axă.
verticală, trec prin proiecĠia segmentului, care este un punct situat pe axă.
SecĠiunea cu un plan perpendicular pe axă este după o poziĠie a
SecĠiunea cu un plan perpendicular pe axă este după o poziĠie a
generatoarei. De exemplu, planul >H1@ intersectează suprafaĠa elicoidală
generatoarei. De exemplu, planul >H1@ intersectează suprafaĠa elicoidală
după A8B8 (a8b8, a’8b’8).
după A8B8 (a8b8, a’8b’8).
10.2.4. SuprafaĠa elicoidală generată de o dreaptă care nu este
concurentă cu axa, dar face un unghi de 900 cu aceasta
Dreapta rămâne în toate poziĠiile paralelă cu un plan perpendicular
Dreapta rămâne în toate poziĠiile paralelă cu un plan perpendicular
pe axă úi se reazemă tot timpul pe două linii elicoidale. Pe elicea colier
pe axă úi se reazemă tot timpul pe două linii elicoidale. Pe elicea colier
generată de punctul A de tangenĠă a generatoarei cu cilindrul úi pe elicea
generată de punctul A de tangenĠă a generatoarei cu cilindrul úi pe elicea
punctului B, a doua extremitate a segmentului generator, suprafaĠa obĠinută
punctului B, a doua extremitate a segmentului generator, suprafaĠa obĠinută
este un cilindroid elicoidal (Fig. 10.8).
este un cilindroid elicoidal (Fig. 10.8).
110
110
În cazul de faĠă, în proiecĠie verticală, când generatoarea ajunge în
În cazul de faĠă, în proiecĠie verticală, când generatoarea ajunge în
poziĠie de capăt, apar trecând prin aceste puncte (pe generatoarele de
poziĠie de capăt, apar trecând prin aceste puncte (pe generatoarele de
contur aparent ale cilindrului) úi cele două linii elicoidale.
contur aparent ale cilindrului) úi cele două linii elicoidale.
În baza celor prezentate, conoidul úi cilindroidul elicoidal pot fi
În baza celor prezentate, conoidul úi cilindroidul elicoidal pot fi
recunoscute úi numai după proiecĠiile lor verticale. SecĠiunea cu un plan
recunoscute úi numai după proiecĠiile lor verticale. SecĠiunea cu un plan
>H@ perpendicular pe axă se face după poziĠia generatoarei care se află în
>H@ perpendicular pe axă se face după poziĠia generatoarei care se află în
acel plan. Pe figură se observă indicat planul >H1@ prin urma verticală úi
acel plan. Pe figură se observă indicat planul >H1@ prin urma verticală úi
intersecĠia acestuia cu suprafaĠa elicoidală după poziĠia generatoarei A3B3
intersecĠia acestuia cu suprafaĠa elicoidală după poziĠia generatoarei A3B3
(a3b3, a’3b’3).
(a3b3, a’3b’3).
10.3 Corpuri elicoidale (elipsoide)
10.3 Corpuri elicoidale (elipsoide)
Corpurile elicoidale sunt generate de suprafeĠe ale căror puncte se
Corpurile elicoidale sunt generate de suprafeĠe ale căror puncte se
rotesc după linii elicoidale. De cele mai multe ori acestea fac corp comun
rotesc după linii elicoidale. De cele mai multe ori acestea fac corp comun
cu un cilindru miez, aúa cum este în cazul filetelor, al roĠilor dinĠate
cu un cilindru miez, aúa cum este în cazul filetelor, al roĠilor dinĠate
cilindrice cu dinĠi elicoidali, al stâlpilor cu nervură elicoidală pentru
cilindrice cu dinĠi elicoidali, al stâlpilor cu nervură elicoidală pentru
fundaĠii, etc.
fundaĠii, etc.
Uneori, un corp adus sub formă elicoidală este lipit de un cilindru
Uneori, un corp adus sub formă elicoidală este lipit de un cilindru
miez, formând un organ pentru o anumită instalaĠie de transport (încărcare,
miez, formând un organ pentru o anumită instalaĠie de transport (încărcare,
descărcare). Alteori pentru acelaúi scop, se întrebuinĠează úuruburi cu pas
descărcare). Alteori pentru acelaúi scop, se întrebuinĠează úuruburi cu pas
sau cu diametru variabil. Apoi sunt cazuri când corpurile elicoidale se
sau cu diametru variabil. Apoi sunt cazuri când corpurile elicoidale se
întrebuinĠează fără a fi rigid fixate de un cilindru (arcuri úi conducte
întrebuinĠează fără a fi rigid fixate de un cilindru (arcuri úi conducte
elicoidale, etc.).
elicoidale, etc.).
Alteori, elementul generator are un anumit profil, determinat
Alteori, elementul generator are un anumit profil, determinat
hidrodinamic sau aerodinamic, pentru a asigura o rezistenĠă minimă la
hidrodinamic sau aerodinamic, pentru a asigura o rezistenĠă minimă la
înaintare úi o tracĠiune sau o împingere maximă. Este cazul elicelor de
înaintare úi o tracĠiune sau o împingere maximă. Este cazul elicelor de
vapoare úi de avioane, unde, pentru a obĠine un randament maxim,
vapoare úi de avioane, unde, pentru a obĠine un randament maxim,
elementul generator îúi schimbă mărimea úi pasul.
elementul generator îúi schimbă mărimea úi pasul.
111
111
O suprafaĠă elicoidală generată de un dreptunghi, cu dimensiuni
O suprafaĠă elicoidală generată de un dreptunghi, cu dimensiuni
corespunzătoare, în cazul când panta este mică, poate servi la urcarea úi
corespunzătoare, în cazul când panta este mică, poate servi la urcarea úi
coborârea autovehiculelor la garajele colective cu 1 – 4 nivele sau chiar
coborârea autovehiculelor la garajele colective cu 1 – 4 nivele sau chiar
mai multe. Când panta depăúeúte o anumită limită, pe partea superioară pot
mai multe. Când panta depăúeúte o anumită limită, pe partea superioară pot
fi practicate trepte pentru urcare úi coborâre (la scările elicoidale sau la
fi practicate trepte pentru urcare úi coborâre (la scările elicoidale sau la
racordarea a două pante orientate în direcĠii opuse).
racordarea a două pante orientate în direcĠii opuse).
La corpurile elicoidale generate de suprafeĠe poligonale, problema
La corpurile elicoidale generate de suprafeĠe poligonale, problema
revine la a intersecta suprafeĠele elicoidale generate de dreptele din care
revine la a intersecta suprafeĠele elicoidale generate de dreptele din care
fac parte laturile poligonului.
fac parte laturile poligonului.
Fig. 10.9
112
Fig. 10.9
112
Astfel, nervura elicoidală generată de triunghiul (DEJ, D’E’J’) –
Astfel, nervura elicoidală generată de triunghiul (DEJ, D’E’J’) –
Fig.10.9 are faĠa generată de latura (DE,D’E’) identică, tot timpul, cu
Fig.10.9 are faĠa generată de latura (DE,D’E’) identică, tot timpul, cu
suprafaĠa laterală a cilindrului úi limitată de liniile elicoidale ale
suprafaĠa laterală a cilindrului úi limitată de liniile elicoidale ale
extremităĠilor segmentului generator. Celelalte două suprafeĠe elicoidale
extremităĠilor segmentului generator. Celelalte două suprafeĠe elicoidale
sunt generate de dreptele din care fac parte laturile (DJ, D’J’) úi (EJ, E’J’)
sunt generate de dreptele din care fac parte laturile (DJ, D’J’) úi (EJ, E’J’)
ale triunghiului generator úi au, ca linie de intersecĠie, linia elicoidală a
ale triunghiului generator úi au, ca linie de intersecĠie, linia elicoidală a
vârfului (J, J’).
vârfului (J, J’).
De cele mai multe ori, în cazul acestui profil, pasul este egal cu
De cele mai multe ori, în cazul acestui profil, pasul este egal cu
latura triunghiului, rezultând filetul triunghiular cu un început – Fig. 10.10.
latura triunghiului, rezultând filetul triunghiular cu un început – Fig. 10.10.
Fig. 10.10
Fig. 10.11
Fig. 10.10
Fig. 10.11
Uneori, se cere ca filetele să aibă două începuturi, pasul fiind de
Uneori, se cere ca filetele să aibă două începuturi, pasul fiind de
două ori un plin úi un gol. Trasarea úi secĠionarea se fac la fel ca la figurile
două ori un plin úi un gol. Trasarea úi secĠionarea se fac la fel ca la figurile
anterioare. Având în vedere însă că sunt două nervuri elicoidale, fiecare
anterioare. Având în vedere însă că sunt două nervuri elicoidale, fiecare
nervură va fi mărginită în secĠiune de două arce, deci în total de patru arce
nervură va fi mărginită în secĠiune de două arce, deci în total de patru arce
de spirală Arhimede, Fig. 10.11.
de spirală Arhimede, Fig. 10.11.
113
113
10.4 Profilul filetelor
10.4 Profilul filetelor
După cum se útie, profilul filetelor este de mai multe forme.
După cum se útie, profilul filetelor este de mai multe forme.
În Fig. 10.12 este prezentat un filet pătrat pe stânga, cu un început,
În Fig. 10.12 este prezentat un filet pătrat pe stânga, cu un început,
nervura elicoidală fiind limitată de două porĠiuni de suprafeĠe cilindrice,
nervura elicoidală fiind limitată de două porĠiuni de suprafeĠe cilindrice,
cuprinse între liniile elicoidale respective úi de două suprafeĠe elicoidale
cuprinse între liniile elicoidale respective úi de două suprafeĠe elicoidale
drepte. În tot timpul miúcării, pătratul generator se găseúte într-un plan care
drepte. În tot timpul miúcării, pătratul generator se găseúte într-un plan care
trece prin axa cilindrului, iar două dintre laturile pătratului generează
trece prin axa cilindrului, iar două dintre laturile pătratului generează
suprafeĠe elicoidale drepte.
suprafeĠe elicoidale drepte.
Fiind vorba de un filet cu un singur început, pasul p este un plin úi
Fiind vorba de un filet cu un singur început, pasul p este un plin úi
un gol. SecĠiunea cu un plan perpendicular pe axă este după poziĠiile
un gol. SecĠiunea cu un plan perpendicular pe axă este după poziĠiile
generatoarelor celor două suprafeĠe elicoidale, care sunt cuprinse în acest
generatoarelor celor două suprafeĠe elicoidale, care sunt cuprinse în acest
plan.
plan.
Fig. 10.12
Fig. 10.13
Fig. 10.12
Fig. 10.13
Fig. 10.14
114
Fig. 10.14
114
Profilul filetelor poate să fie úi trapez dreptunghic (Fig. 10.13). La
Profilul filetelor poate să fie úi trapez dreptunghic (Fig. 10.13). La
un astfel de filet pe dreapta cu două începuturi, pasul p cuprinde două
un astfel de filet pe dreapta cu două începuturi, pasul p cuprinde două
plinuri úi două goluri. Cele două suprafeĠe elicoidale, care mărginesc
plinuri úi două goluri. Cele două suprafeĠe elicoidale, care mărginesc
nervurile, sunt una dreaptă úi una strâmbă.
nervurile, sunt una dreaptă úi una strâmbă.
În secĠiunea cu planul >H1@, suprafeĠele elicoidale drepte sunt
În secĠiunea cu planul >H1@, suprafeĠele elicoidale drepte sunt
mărginite de segmentele AB (ab, a’b’) úi CD (cd, c’d’). În ceea ce priveúte
mărginite de segmentele AB (ab, a’b’) úi CD (cd, c’d’). În ceea ce priveúte
suprafeĠele elicoidale strâmbe, secĠiunea lor cu un plan perpendicular pe
suprafeĠele elicoidale strâmbe, secĠiunea lor cu un plan perpendicular pe
axă este mărginită de arcele de spirală Arhimede EI (ei, e’i’) úi FG (fg,
axă este mărginită de arcele de spirală Arhimede EI (ei, e’i’) úi FG (fg,
f’g’). În Fig. 10.14 este indicat un filet cu profil trapez isoscel cu trei
f’g’). În Fig. 10.14 este indicat un filet cu profil trapez isoscel cu trei
începuturi, adică pasul p cuprinde trei plinuri úi trei goluri, suprafeĠe
începuturi, adică pasul p cuprinde trei plinuri úi trei goluri, suprafeĠe
elicoidale care mărginesc nervurile sunt suprafeĠe elicoidale strâmbe.
elicoidale care mărginesc nervurile sunt suprafeĠe elicoidale strâmbe.
Pe figură este executată úi secĠiunea cu planul de nivel >H1@,
Pe figură este executată úi secĠiunea cu planul de nivel >H1@,
perpendicular pe axă fiind indicate pentru una dintre nervuri, punctele A
perpendicular pe axă fiind indicate pentru una dintre nervuri, punctele A
(a, a’), B (b, b’), C (c, c’) úi D (d, d’), unde liniile elicoidale
(a, a’), B (b, b’), C (c, c’) úi D (d, d’), unde liniile elicoidale
corespunzătoare intersectează planul >H@. Numărul de începuturi se poate
corespunzătoare intersectează planul >H@. Numărul de începuturi se poate
citi cu mare uúurinĠă în proiecĠie orizontală, unde apar, pentru fiecare
citi cu mare uúurinĠă în proiecĠie orizontală, unde apar, pentru fiecare
nervură, câte două arce de spirală Arhimede.
nervură, câte două arce de spirală Arhimede.
În Fig. 10.15 este prezentat corpul elicoidal care rezultă prin
În Fig. 10.15 este prezentat corpul elicoidal care rezultă prin
înfăúurarea unei bare cilindrice sau sârme de oĠel pe un cilindru,
înfăúurarea unei bare cilindrice sau sârme de oĠel pe un cilindru,
asigurându-se acelaúi pas p între spire. În acest mod s-a obĠinut arcul
asigurându-se acelaúi pas p între spire. În acest mod s-a obĠinut arcul
elicoidal cilindric, care poate fi considerat úi ca rezultatul deplasării
elicoidal cilindric, care poate fi considerat úi ca rezultatul deplasării
centrului unei sfere, de diametru egal cu diametrul barei cilindrice
centrului unei sfere, de diametru egal cu diametrul barei cilindrice
(sârmei), după linia elicoidală de pas p úi de diametru corespunzător.
(sârmei), după linia elicoidală de pas p úi de diametru corespunzător.
ProiecĠiile
diferitelor
poziĠii
sunt
trasate
cu
linii
subĠiri.
ProiecĠiile
diferitelor
poziĠii
sunt
trasate
cu
linii
subĠiri.
Înfăúurătoarea acestora va fi reprezentarea cilindrului adus sub formă
Înfăúurătoarea acestora va fi reprezentarea cilindrului adus sub formă
elicoidală. Ea este tangentă la fiecare sferă după cercul mare care aparĠine
elicoidală. Ea este tangentă la fiecare sferă după cercul mare care aparĠine
planului ce trece prin centrul sferei úi este normal la axa elicoidală.
planului ce trece prin centrul sferei úi este normal la axa elicoidală.
115
115
Pe planul cu care este paralelă axa, după fiecare 1800, înfăúurătoarea
Pe planul cu care este paralelă axa, după fiecare 1800, înfăúurătoarea
are puncte de întoarcere. Conturul corespunzător semispirelor din spatele
are puncte de întoarcere. Conturul corespunzător semispirelor din spatele
planului de front dus prin axă, pe porĠiunea suprapusă a înfăúurătoarei,
planului de front dus prin axă, pe porĠiunea suprapusă a înfăúurătoarei,
precum úi arcele dintre cele două puncte de întoarcere sunt nevăzute.
precum úi arcele dintre cele două puncte de întoarcere sunt nevăzute.
Fig. 10.15
Fig. 10.15
În proiecĠie orizontală, înfăúurătoarea sferelor arată cele două cercuri
În proiecĠie orizontală, înfăúurătoarea sferelor arată cele două cercuri
concentrice. Tot aici se vede conturul secĠiunii făcute cu planul de nivel
concentrice. Tot aici se vede conturul secĠiunii făcute cu planul de nivel
>H1@. Acest plan secĠionează unele sfere după cercuri de raze r, r1, r2, etc.,
>H1@. Acest plan secĠionează unele sfere după cercuri de raze r, r1, r2, etc.,
care, în proiecĠie orizontală, apar în mărime reală. Înfăúurătoarea acestor
care, în proiecĠie orizontală, apar în mărime reală. Înfăúurătoarea acestor
cercuri dă în această proiecĠie conturul secĠiunii. SecĠiunea cu planul >H@ se
cercuri dă în această proiecĠie conturul secĠiunii. SecĠiunea cu planul >H@ se
trasează la fel, însă cu linie întreruptă, fiind nevăzută. SuprafeĠele care iau
trasează la fel, însă cu linie întreruptă, fiind nevăzută. SuprafeĠele care iau
naútere prin înfăúurarea sferelor de acelaúi diametru, trasate din centre
naútere prin înfăúurarea sferelor de acelaúi diametru, trasate din centre
situate pe o curbă plană sau spaĠială se mai numesc úi suprafeĠe canal.
situate pe o curbă plană sau spaĠială se mai numesc úi suprafeĠe canal.
116
116
CONSTRUCğII
GEOMETRICE
CONSTRUCğII
GEOMETRICE
11. NOTIUNI GEOMETRICE FUNDAMENTALE
11. NOTIUNI GEOMETRICE FUNDAMENTALE
11.1 Originea noĠiunilor geometrice fundamentale
11.1 Originea noĠiunilor geometrice fundamentale
Desenul geometric stă la baza geometriei descriptive úi a desenului
Desenul geometric stă la baza geometriei descriptive úi a desenului
tehnic prin aplicarea construcĠiilor geometrice din cadrul geometriei plane.
tehnic prin aplicarea construcĠiilor geometrice din cadrul geometriei plane.
NoĠiunile geometriei plane, postulatele úi teoremele s-au format de-a
NoĠiunile geometriei plane, postulatele úi teoremele s-au format de-a
lungul timpului prin abstractizarea unor realităĠi obiective. S-a convenit ca
lungul timpului prin abstractizarea unor realităĠi obiective. S-a convenit ca
obiectele din spaĠiul tridimensional ( lumea înconjurătoare ) să nu se
obiectele din spaĠiul tridimensional ( lumea înconjurătoare ) să nu se
deosebească în ceea ce priveúte masa, culoarea, forma, úi prin neglijarea
deosebească în ceea ce priveúte masa, culoarea, forma, úi prin neglijarea
neregularităĠilor corpurilor s-a ajuns la forme spaĠiale care se întind în trei
neregularităĠilor corpurilor s-a ajuns la forme spaĠiale care se întind în trei
dimensiuni: lungime, lăĠime úi înălĠime. Astfel un corp în spaĠiu are trei
dimensiuni: lungime, lăĠime úi înălĠime. Astfel un corp în spaĠiu are trei
dimensiuni, o suprafaĠă plană are două dimensiuni, o dreaptă are o singură
dimensiuni, o suprafaĠă plană are două dimensiuni, o dreaptă are o singură
dimensiune, iar punctul geometric nu are dimensiuni.
dimensiune, iar punctul geometric nu are dimensiuni.
“ Punctul geometric ” este o noĠiune matematică abstractă
“ Punctul geometric ” este o noĠiune matematică abstractă
(latinescul abstractus – îndepărtat de realitate) care nu poate fi văzut úi
(latinescul abstractus – îndepărtat de realitate) care nu poate fi văzut úi
nici desenat [p.21].
nici desenat [p.21].
NoĠiunile fundamentale ( care nu se definesc ) ale geometriei plane sunt
NoĠiunile fundamentale ( care nu se definesc ) ale geometriei plane sunt
constituite de punct , dreaptă, plan úi distanĠă. Prin intermediul acestora
constituite de punct , dreaptă, plan úi distanĠă. Prin intermediul acestora
se definesc noĠiunile de: semidreaptă, segment, linie frântă, unghi, etc.
se definesc noĠiunile de: semidreaptă, segment, linie frântă, unghi, etc.
11.2 Punctul úi mulĠimea de puncte
11.2 Punctul úi mulĠimea de puncte
Punctul ( A ) este determinat úi reprezentat prin intersecĠia a două
drepte ('1 úi '2 ); A '1 '2
Punctul ( A ) este determinat úi reprezentat prin intersecĠia a două
drepte ('1 úi '2 ); A '1 '2
Reprezentarea cea mai precisă a punctului este atunci când unghiul
0
Reprezentarea cea mai precisă a punctului este atunci când unghiul
rezultat din intersecĠia celor două drepte are valoarea de 90 . Pe planul foii
rezultat din intersecĠia celor două drepte are valoarea de 900. Pe planul foii
punctul se reprezintă printr-un cerc mic trasat cu balustrul úi care are
punctul se reprezintă printr-un cerc mic trasat cu balustrul úi care are
centrul situat la intersecĠia imaginară a două drepte conform Fig.11.1.
centrul situat la intersecĠia imaginară a două drepte conform Fig.11.1.
119
119
Orice mulĠime de puncte formează o figură geometrică.
Orice mulĠime de puncte formează o figură geometrică.
MulĠimea face parte din noĠiunile fundamentale ale întregii
MulĠimea face parte din noĠiunile fundamentale ale întregii
matematici.
matematici.
2
1
2
A
1
A
Fig. 11.1
Fig. 11.1
11.3 Linii úi tipuri de linii
11.3 Linii úi tipuri de linii
11.3.1 Linia dreaptă, linia frântă úi linia curbă
11.3.1 Linia dreaptă, linia frântă úi linia curbă
Dreapta sau linia dreaptă este determinată úi se reprezintă ca urma
Dreapta sau linia dreaptă este determinată úi se reprezintă ca urma
punctului care se miúcă în plan (orizontal), urmând drumul cel mai scurt
punctului care se miúcă în plan (orizontal), urmând drumul cel mai scurt
dintre două puncte úi fără să-úi schimbe direcĠia.
dintre două puncte úi fără să-úi schimbe direcĠia.
Dreapta se reprezintă precis atunci când punctele sunt suficient de
Dreapta se reprezintă precis atunci când punctele sunt suficient de
depărtate astfel încât să poată determina o dimensiune măsurabilă conform
depărtate astfel încât să poată determina o dimensiune măsurabilă conform
Fig.11.2.
Fig.11.2.
B
A
Fig. 11.2
Dreapta se mai reprezintă ca “urma” intersecĠiei a două plane [H] úi [V]
conform Fig.11.2; AB [H] [V]
B
A
Fig. 11.2
Dreapta se mai reprezintă ca “urma” intersecĠiei a două plane [H] úi [V]
conform Fig.11.2; AB [H] [V]
[V]
[V]
B
B
A
A
[H]
[H]
Fig. 11.3
120
Fig. 11.3
120
Numărul dreptelor prin mai multe puncte:
Numărul dreptelor prin mai multe puncte:
x Prin două puncte diferite trece o dreaptă úi numai una,
x Prin două puncte diferite trece o dreaptă úi numai una,
x Prin trei puncte diferite care nu sunt situate pe aceeaúi dreaptă trec
x Prin trei puncte diferite care nu sunt situate pe aceeaúi dreaptă trec
trei úi numai trei drepte care unesc fiecare câte două puncte
trei úi numai trei drepte care unesc fiecare câte două puncte
determinând un plan,
determinând un plan,
x Printr-un punct se pot duce în plan o infinitate de drepte; mulĠimea
x Printr-un punct se pot duce în plan o infinitate de drepte; mulĠimea
tuturor dreptelor din plan care au numai un singur punct comun
tuturor dreptelor din plan care au numai un singur punct comun
costituie un fascicul de drepte.
costituie un fascicul de drepte.
Semidreapta conĠine mulĠimea tuturor punctelor unei drepte care se
Semidreapta conĠine mulĠimea tuturor punctelor unei drepte care se
găsesc de aceeaúi parte a unui punct O situat pe această dreaptă, inclusiv
găsesc de aceeaúi parte a unui punct O situat pe această dreaptă, inclusiv
punctul O.
punctul O.
Semidreptei aparĠin numai acele puncte care pot fi atinse din O printr-o
Semidreptei aparĠin numai acele puncte care pot fi atinse din O printr-o
miúcare rectilinie fără nici o schimbare de sens.
miúcare rectilinie fără nici o schimbare de sens.
Segmentul AB conĠine mulĠimea tuturor punctelor unei drepte care
se găsesc între punctele A úi B, inclusiv aceste puncte.
Segmentul AB conĠine mulĠimea tuturor punctelor unei drepte care
se găsesc între punctele A úi B, inclusiv aceste puncte.
Segmentul este cea mai scurtă legătură dintre punctele A úi B din
Segmentul este cea mai scurtă legătură dintre punctele A úi B din
plan; lungimea segmentului AB reprezintă distanĠa dintre punctele A úi B.
plan; lungimea segmentului AB reprezintă distanĠa dintre punctele A úi B.
Când se ia în considerare sensul segmentului, atunci se notează prin AB
Când se ia în considerare sensul segmentului, atunci se notează prin AB
segmentul care începe în A úi se termină în B.
segmentul care începe în A úi se termină în B.
Linia frântă este de două tipuri: - Linie frântă deschisă;
- Linie frântă închisă.
Linia frântă este de două tipuri: - Linie frântă deschisă;
- Linie frântă închisă.
Linia frântă deschisă reprezintă reuniunea a două sau mai multe
Linia frântă deschisă reprezintă reuniunea a două sau mai multe
segmente de dreaptă, astfel încât capătul fiecărui segment (înafară de al
segmente de dreaptă, astfel încât capătul fiecărui segment (înafară de al
ultimului) este originea următorului segment, fără ca segmentele alăturate
ultimului) este originea următorului segment, fără ca segmentele alăturate
să se afle pe aceeaúi dreaptă (Fig.11.4 úi Fig.11.5).
să se afle pe aceeaúi dreaptă (Fig.11.4 úi Fig.11.5).
121
121
A3
A2
A1
A6
A4
A2
A1
A2
A1
A6
A5
A3
A3
A4
A5
A4
Fig. 11.4
Fig. 11.5
A3
A2
A1
A6
A5
A5
A4
Fig. 11.4
A6
Fig. 11.5
Linia frântă închisă reprezintă reuniunea a trei sau mai multe
Linia frântă închisă reprezintă reuniunea a trei sau mai multe
segmente de dreaptă, astfel încât capătul ultimului segment este originea
segmente de dreaptă, astfel încât capătul ultimului segment este originea
primului segment (Fig.11.5 úi Fig.11.6)
primului segment (Fig.11.5 úi Fig.11.6)
Linia frântă închisă simplă reprezintă reuniunea a trei sau mai
Linia frântă închisă simplă reprezintă reuniunea a trei sau mai
multe segmente de dreaptă, astfel încât capătul ultimului segment este
multe segmente de dreaptă, astfel încât capătul ultimului segment este
originea primului segment fără ca acestea să se intersecteze (Fig.6).
originea primului segment fără ca acestea să se intersecteze (Fig.6).
A4
A5
A2
A4
A5
A3
A5
A1
A1
A3
Fig. 11.6
A2
A4
A3
A1
A1
A2
A4
A5
A2
Fig. 11.7
Linia curbă este de două tipuri: - Linie curbă deschisă;
A3
Fig. 11.6
Fig. 11.7
Linia curbă este de două tipuri: - Linie curbă deschisă;
- Linie curbă închisă.
- Linie curbă închisă.
Linia curbă deschisă reprezintă schimbarea succesivă a poziĠiei punctului
Linia curbă deschisă reprezintă schimbarea succesivă a poziĠiei punctului
după o direcĠie fără ca traictoria acestuia să formeze unghiuri (Fig.11.8).
după o direcĠie fără ca traictoria acestuia să formeze unghiuri (Fig.11.8).
B
A
A
B
A
B
B
Fig. 11.8
122
Fig. 11.8
122
A
Linie curbă
închisă reprezintă schimbarea succesivă a poziĠiei
Linie curbă
închisă reprezintă schimbarea succesivă a poziĠiei
punctului după o direcĠie fără ca traictoria acestuia să formeze unghiuri
punctului după o direcĠie fără ca traictoria acestuia să formeze unghiuri
astfel încât punctul de capăt să coincidă cu originea (Fig.11.9).
astfel încât punctul de capăt să coincidă cu originea (Fig.11.9).
A=B
A=B
Fig. 11.9
Fig. 11.9
Paralelele sunt dreptele care nu au nici un punct comun (sau nu se
Paralelele sunt dreptele care nu au nici un punct comun (sau nu se
intersectează niciodată).
intersectează niciodată).
Paralela ('’) la dreapta (') se obĠine prin translaĠia în acelaúi sens a
Paralela ('’) la dreapta (') se obĠine prin translaĠia în acelaúi sens a
unui echer de-a lungul unei rigle cu distanĠa l astfel încât toate punctele
unui echer de-a lungul unei rigle cu distanĠa l astfel încât toate punctele
dreptei (') se translatează într-o nouă poziĠie ('’) cum se prezintă în
dreptei (') se translatează într-o nouă poziĠie ('’) cum se prezintă în
Fig.11.10.
Fig.11.10.
P
( )
P
A
L
A
L
( )
( )
( )
A
A
P
P
Fig. 11.10
Fig. 11.10
11.3.2.1 Paralela la o dreată printr-un punct dat
11.3.2.1 Paralela la o dreată printr-un punct dat
Pentru trasarea unei paralele la o dreaptă printr-un punct O exterior
Pentru trasarea unei paralele la o dreaptă printr-un punct O exterior
dreptei (') se procedează ca în Fig.11.11: cu vârful compasului în O úi cu
dreptei (') se procedează ca în Fig.11.11: cu vârful compasului în O úi cu
o răză oarecare “r” se trasează un arc de cerc care intersectează dreapta
o răză oarecare “r” se trasează un arc de cerc care intersectează dreapta
(') în punctul A, iar din acest punct cu aceeaúi rază “r” se trasează un arc
(') în punctul A, iar din acest punct cu aceeaúi rază “r” se trasează un arc
de cerc care trece prin punctul O úi intersectează dreapta (') în punctul B.
de cerc care trece prin punctul O úi intersectează dreapta (') în punctul B.
123
123
Cu vârful compasului în B se ia raza r’ = OB iar din punctul A se duce
Cu vârful compasului în B se ia raza r’ = OB iar din punctul A se duce
un arc de cerc care intersectează primul arc de cerc în punctul P.
un arc de cerc care intersectează primul arc de cerc în punctul P.
Fig. 11.11
Fig. 11.12
Fig. 11.11
Fig. 11.12
ConstrucĠie cu rigla úi echerul conform Fig.11.12: se suprapune una
ConstrucĠie cu rigla úi echerul conform Fig.11.12: se suprapune una
din laturile echerului (ipotenuza) pe o riglă, iar pe o altă latură se trasează
din laturile echerului (ipotenuza) pe o riglă, iar pe o altă latură se trasează
dreapta ('), după care acesta se translatează de-a lungul riglei în aceeaúi
dreapta ('), după care acesta se translatează de-a lungul riglei în aceeaúi
direcĠie până când aceeaúi latură trece prin punctul A, după care se trasează
direcĠie până când aceeaúi latură trece prin punctul A, după care se trasează
dreapta ('’) de-a lungul acestei laturi a echerului.
dreapta ('’) de-a lungul acestei laturi a echerului.
11.3.2.2 Paralela la o dreaptă cu o distanĠă dată
11.3.2.2 Paralela la o dreaptă cu o distanĠă dată
Pentru trasarea unei paralele la o dreaptă (') cu o distanĠă dată “d”
Pentru trasarea unei paralele la o dreaptă (') cu o distanĠă dată “d”
se procedează ca în Fig.11.13: se aleg două puncte oarecare A úi B situate
se procedează ca în Fig.11.13: se aleg două puncte oarecare A úi B situate
pe dreapta (') din care se trasează arce de cerc cu raza egală cu distanĠa
pe dreapta (') din care se trasează arce de cerc cu raza egală cu distanĠa
“d” de aceeaúi parte a dreptei ('). Dreapta ('’) tangentă la arcele de cerc
“d” de aceeaúi parte a dreptei ('). Dreapta ('’) tangentă la arcele de cerc
în punctele O úi P reprezintă paralela la o dreaptă cu o distanĠă dată.
în punctele O úi P reprezintă paralela la o dreaptă cu o distanĠă dată.
Fig. 11.13
124
Fig. 11.13
124
11.3.3 Drepte perpendiculare
11.3.3 Drepte perpendiculare
Perpendiculara este acea dreaptă care face cu o altă dreaptă în
Perpendiculara este acea dreaptă care face cu o altă dreaptă în
punctul de intersecĠie un unghi drept (900).
punctul de intersecĠie un unghi drept (900).
Dacă se uneúte un punct comun al dreptei (') cu toate punctele
Dacă se uneúte un punct comun al dreptei (') cu toate punctele
dreptei ('’), (') ll ('’), printre aceste segmente de legătură există unul care
dreptei ('’), (') ll ('’), printre aceste segmente de legătură există unul care
este cel mai scurt AA ' ; acest segment reprezintă distanĠa dintre paralelele
este cel mai scurt AA ' ; acest segment reprezintă distanĠa dintre paralelele
(') úi ('’) formând cu (') în A úi cu ('’) în A’ câte o pereche de unghiuri
(') úi ('’) formând cu (') în A úi cu ('’) în A’ câte o pereche de unghiuri
drepte, Fig.11.14.
drepte, Fig.11.14.
A
A
( )
L
L
( )
L
L
( )
( )
A
A
Fig. 11.14
Fig. 11.14
13.3.3.1 Perpendiculara pe o dreaptă într-un punct dat
13.3.3.1 Perpendiculara pe o dreaptă într-un punct dat
Pentru trasarea unei perpendiculare pe dreapta (') în punctul O se
Pentru trasarea unei perpendiculare pe dreapta (') în punctul O se
procedează ca în Fig.11.15: cu vârful compasului în O se trasează un arc de
procedează ca în Fig.11.15: cu vârful compasului în O se trasează un arc de
cerc (oarecare) care intersectează dreapta (') în punctele A úi B, după care
cerc (oarecare) care intersectează dreapta (') în punctele A úi B, după care
cu o rază mai mare decât OA (sau OB) se trasează din punctul A úi
cu o rază mai mare decât OA (sau OB) se trasează din punctul A úi
respectiv B arce de cerc care se intersectează în punctul P. Se uneúte
respectiv B arce de cerc care se intersectează în punctul P. Se uneúte
punctul P cu O obĠinându-se segmentul de dreaptă OP perpendicular pe
punctul P cu O obĠinându-se segmentul de dreaptă OP perpendicular pe
dreapta (') în punctul O.
dreapta (') în punctul O.
125
125
P
( )
P
A
B
0
( )
A
B
0
Fig. 11.15
Fig. 11.15
11.3.3.2 Perpendiculara dintr-un punct exterior pe o dreaptă
11.3.3.2 Perpendiculara dintr-un punct exterior pe o dreaptă
Pentru trasarea unei perpendiculare dintr-un punct O (exterior
Pentru trasarea unei perpendiculare dintr-un punct O (exterior
dreptei) pe dreapta (') se procedează ca în Fig.11.16: cu vârful compasului
dreptei) pe dreapta (') se procedează ca în Fig.11.16: cu vârful compasului
în O se trasează un arc de cerc (oarecare) care intersectează dreapta (') în
în O se trasează un arc de cerc (oarecare) care intersectează dreapta (') în
punctele A úi B, după care cu rază oarecare (mai mare decât jumătatea
punctele A úi B, după care cu rază oarecare (mai mare decât jumătatea
distanĠei dintrea A úi B) se trasează din punctul A úi respectiv B arce de
distanĠei dintrea A úi B) se trasează din punctul A úi respectiv B arce de
cerc care se intersectează de o parte úi de alta a dreptei (') în punctele C úi
cerc care se intersectează de o parte úi de alta a dreptei (') în punctele C úi
D. Unind punctele C úi D se obĠine perpendiculara pe dreapta (') care
D. Unind punctele C úi D se obĠine perpendiculara pe dreapta (') care
trece prin punctul O exterior dreptei.
trece prin punctul O exterior dreptei.
( )
0
0
C
C
A
B
D
( )
Fig. 11.16
A
B
D
Fig. 11.16
11.3.3.3 Perpendiculara la capătul dreptei
11.3.3.3 Perpendiculara la capătul dreptei
Pentru trasarea unei perpendiculare în punctul A situat la
Pentru trasarea unei perpendiculare în punctul A situat la
extremitatea dreptei (') se procedează ca în Fig.11.17: cu vârful
extremitatea dreptei (') se procedează ca în Fig.11.17: cu vârful
compasului în punctul (oarecare) C exterior dreptei (') se trasează un arc
compasului în punctul (oarecare) C exterior dreptei (') se trasează un arc
126
126
de cerc care trece prin punctul A úi intersectează dreapta (') în punctul B,
de cerc care trece prin punctul A úi intersectează dreapta (') în punctul B,
după care se uneúte punctul B cu C úi se prelungeúte până intersectează
după care se uneúte punctul B cu C úi se prelungeúte până intersectează
cercul în punctul D. Unind punctele D úi A se obĠine perpendiculara la
cercul în punctul D. Unind punctele D úi A se obĠine perpendiculara la
capătul dreptei (').
capătul dreptei (').
D
D
C
C
B
(
B
)
A
Fig. 11.17
11.3.3.4 Perpendiculara dintr-un punct dat situat deasupra úi în
afara dreptei
(
)
A
Fig. 11.17
11.3.3.4 Perpendiculara dintr-un punct dat situat deasupra úi în
afara dreptei
Pentru trasarea unei perpendiculare în punctul O situat deasupra úi
Pentru trasarea unei perpendiculare în punctul O situat deasupra úi
înafara dreptei se procedează ca în Fig.11.18: se aleg două puncte A úi B
înafara dreptei se procedează ca în Fig.11.18: se aleg două puncte A úi B
situate pe dreapta ('), iar cu vârful compasului în aceste puncte se trasează
situate pe dreapta ('), iar cu vârful compasului în aceste puncte se trasează
arce de cerc ce trec prin punctul O de o parte úi de alta a dreptei la
arce de cerc ce trec prin punctul O de o parte úi de alta a dreptei la
intersecĠia lor rezultând punctul P. Unind punctele O úi P se obĠine
intersecĠia lor rezultând punctul P. Unind punctele O úi P se obĠine
perpendiculara dintr-un punct dat situat deasupra úi în afara dreptei.
perpendiculara dintr-un punct dat situat deasupra úi în afara dreptei.
0
0
A
B
P
(
)
A
Fig. 11.18
127
B
P
(
)
Fig. 11.18
127
11.3.4 ÎmpărĠirea unui segment de dreaptă
11.3.4 ÎmpărĠirea unui segment de dreaptă
11.3.4.1 Determinarea mijlocului unui segment
Pentru determinarea mijlocului unui segment se procedează conform
11.3.4.1 Determinarea mijlocului unui segment
Pentru determinarea mijlocului unui segment se procedează conform
Fig.11.19: din fiecare extremitate a segmentului (punctele A úi B) se
Fig.11.19: din fiecare extremitate a segmentului (punctele A úi B) se
trasează cu aceeaúi rază mai mare decât jumătatea segmentului câte un arc
trasează cu aceeaúi rază mai mare decât jumătatea segmentului câte un arc
de cerc care se intersectează în punctele O úi P. Unind aceste puncte printr-
de cerc care se intersectează în punctele O úi P. Unind aceste puncte printr-
o dreaptă se obĠine axa de simetrie ('’), care intersectează segmentul AB
o dreaptă se obĠine axa de simetrie ('’), care intersectează segmentul AB
în punctul S care determină mijlocul segmentului.
în punctul S care determină mijlocul segmentului.
( )
( )
0
( )
A
0
( )
B
S
P
A
B
S
Fig. 11.19
Mediatoarea este dreapta care împarte un segment de dreapră în
părĠi egale úi este perpendiculară pe acesta.
P
Fig. 11.19
Mediatoarea este dreapta care împarte un segment de dreapră în
părĠi egale úi este perpendiculară pe acesta.
11.3.4.2 ÎmpărĠirea unui segment în mai multe părĠi egale
11.3.4.2 ÎmpărĠirea unui segment în mai multe părĠi egale
Pentru a împărĠi un segment de dreaptă AB în cinci părĠi egale se
Pentru a împărĠi un segment de dreaptă AB în cinci părĠi egale se
procedează ca în Fig.11.20: se trasează prin punctul A o semidreaptă
oarecare (') pe care, cu ajutorul distanĠierului din trusa de compas, plecând
oarecare (') pe care, cu ajutorul distanĠierului din trusa de compas, plecând
din acelaúi punct, A se marchează cinci segmente egale: A – 1 = 1 – 2 = 2
din acelaúi punct, A se marchează cinci segmente egale: A – 1 = 1 – 2 = 2
– 3 = 3 – 4 = 4 – C. Unind punctele B cu C iar prin punctele 1, 2, 3, 4
– 3 = 3 – 4 = 4 – C. Unind punctele B cu C iar prin punctele 1, 2, 3, 4
ducând paralele la segmentul BC acestea intersectează segmentul AB în
ducând paralele la segmentul BC acestea intersectează segmentul AB în
punctele a, b, c, d, puncte care împart segmentul AB în cinci părĠi egale.
punctele a, b, c, d, puncte care împart segmentul AB în cinci părĠi egale.
128
128
(
)
(
C
C
4
4
3
2
3
2
1
1
a
A
)
c
b
d
B
a
A
Fig. 11.20
c
b
d
B
Fig. 11.20
ConstrucĠie cu rigla úi echerul, Fig.11.21: se trasează prin punctul A o
ConstrucĠie cu rigla úi echerul, Fig.11.21: se trasează prin punctul A o
semidreaptă oarecare (') pe care cu ajutorul distanĠierului din trusa de
semidreaptă oarecare (') pe care cu ajutorul distanĠierului din trusa de
compas plecând din acelaúi punct A se marchează cinci segmente egale: A
compas plecând din acelaúi punct A se marchează cinci segmente egale: A
– 1 = 1– 2 = 2 – 3 = 3 – 4 = 4 – 5; se unesc punctele 5 cu B, iar cu ajutorul
– 1 = 1– 2 = 2 – 3 = 3 – 4 = 4 – 5; se unesc punctele 5 cu B, iar cu ajutorul
unei rigle úi al unui echer se trasează paralele la segmentul 5B prin
unei rigle úi al unui echer se trasează paralele la segmentul 5B prin
punctele 1, 2, 3, 4, 5, prin traslaĠia echerului pe riglă într-un singur sens
punctele 1, 2, 3, 4, 5, prin traslaĠia echerului pe riglă într-un singur sens
rezultând punctele 1’, 2’, 3’, 4’, 5’ care împart segmentul AB în cinci părĠi
rezultând punctele 1’, 2’, 3’, 4’, 5’ care împart segmentul AB în cinci părĠi
egale.
egale.
4’
1’
2’
5’
4’
B
3’
1’
A
2’
5’
B
3’
A
1
2
3
4
1
( )
5
2
3
4
( )
5
Fig. 11.21
11.3.4.3 Reducerea unui segment de dreaptă într-un raport dat
Fig. 11.21
11.3.4.3 Reducerea unui segment de dreaptă într-un raport dat
Pentru reducerea unui segment de dreaptă AB într-un raport dat de 3/4 se
Pentru reducerea unui segment de dreaptă AB într-un raport dat de 3/4 se
oarecare (') pe care cu ajutorul distanĠierului din trusa de compas plecând
oarecare (') pe care cu ajutorul distanĠierului din trusa de compas plecând
din acelaúi punct A se marchează trei segmente egale: A – 1, 1 – 2, 2 - 3,
din acelaúi punct A se marchează trei segmente egale: A – 1, 1 – 2, 2 - 3,
iar segmentul AB se împarte în patru părĠi egale cu primele: A – 1’, 1’ – 2’,
iar segmentul AB se împarte în patru părĠi egale cu primele: A – 1’, 1’ – 2’,
2’ – 3’, 3’ – 4’, 4’ – B. Se uneúte punctul 3 cu 4’ iar prin punctul B se duce
2’ – 3’, 3’ – 4’, 4’ – B. Se uneúte punctul 3 cu 4’ iar prin punctul B se duce
o paralelă la 34' care intersectează semidreaptă (') în punctul C.
o paralelă la 34' care intersectează semidreaptă (') în punctul C.
129
129
Segmentul AC reprezintă segmentul redus cu raportul 3/4 faĠă de
Segmentul AC reprezintă segmentul redus cu raportul 3/4 faĠă de
segmentul AB .
segmentul AB .
( )
( )
C
3
2
1
2’
3’
4’
B
Fig. 11.22
11.3.4.4 ÎmpărĠirea unui segment de dreaptă în părĠi
proporĠionale cu două segmente date
3
2
1
1’
A
C
1’
A
2’
3’
4’
B
Fig. 11.22
11.3.4.4 ÎmpărĠirea unui segment de dreaptă în părĠi
proporĠionale cu două segmente date
Pentru a împărĠi un segment de dreaptă AC în părĠi proporĠionale cu
Pentru a împărĠi un segment de dreaptă AC în părĠi proporĠionale cu
două segmente date se procedează ca în Fig.11.23: se trasează prin punctul
două segmente date se procedează ca în Fig.11.23: se trasează prin punctul
A o semidreaptă oarecare (') pe care se măsoară din punctul A segmentele
A o semidreaptă oarecare (') pe care se măsoară din punctul A segmentele
s úi u obĠinându-se extremităĠile lor în punctele B’ úi C’. Unind punctele C’
s úi u obĠinându-se extremităĠile lor în punctele B’ úi C’. Unind punctele C’
cu C úi ducând prin punctul B’ o paralelă la CC ' care
cu C úi ducând prin punctul B’ o paralelă la CC ' care
intersectează
intersectează
segmentul AC în punctul B se obĠine împărĠirea acestui segment în
segmentul AC în punctul B se obĠine împărĠirea acestui segment în
segmentele AB úi BC proporĠionale cu segmentele s repectiv u.
segmentele AB úi BC proporĠionale cu segmentele s repectiv u.
S
U
C’
S
( )
C’
U
B’
( )
U
B’
S
A
U
S
B
C
Fig. 11.23
A
B
C
Fig. 11.23
11.4. Plan. Semiplan
11.4. Plan. Semiplan
Planul notat cu [ P ] este suprafaĠa care care conĠine odată cu două
Planul notat cu [ P ] este suprafaĠa care care conĠine odată cu două
puncte oarecare ale sale, dreapta care trece prin aceste puncte, Fig.11.24;
puncte oarecare ale sale, dreapta care trece prin aceste puncte, Fig.11.24;
planul este nemărginit (nu are limite sau margini)
planul este nemărginit (nu are limite sau margini)
130
130
În geometria euclidiană ((plană) Euclid – matematician grec, anul
În geometria euclidiană ((plană) Euclid – matematician grec, anul
300 î.c.) noĠiunile fundamentale sunt punctul, dreapta úi planul care
300 î.c.) noĠiunile fundamentale sunt punctul, dreapta úi planul care
reprezintă un cadru geometric fundamental mai larg faĠă de care se fac
reprezintă un cadru geometric fundamental mai larg faĠă de care se fac
toate consideraĠiile geometrice.
toate consideraĠiile geometrice.
Semiplanul este suprafaĠa care care conĠine mulĠimea nedivizibilă a
punctelor situate de o parte a unei drepte din plan (Fig.11.25).
Semiplanul este suprafaĠa care care conĠine mulĠimea nedivizibilă a
punctelor situate de o parte a unei drepte din plan (Fig.11.25).
În cadrul geometriei în spaĠiu care este o subdiviziune a geometriei
În cadrul geometriei în spaĠiu care este o subdiviziune a geometriei
euclidiene planul este unul din elementele de bază ale formelor
euclidiene planul este unul din elementele de bază ale formelor
tridimensionale. În practică se folosesc porĠiuni plane ca suprafeĠe ce
tridimensionale. În practică se folosesc porĠiuni plane ca suprafeĠe ce
mărginesc diferite forme geometrice.
mărginesc diferite forme geometrice.
Planul în spaĠiu se obĠine prin rotirea unei drepte ǻ în jurul unui
Planul în spaĠiu se obĠine prin rotirea unei drepte ǻ în jurul unui
punct A al ei, astfel încât să se sprijine pe a altă dreaptă ǻ’ care nu conĠine
punct A al ei, astfel încât să se sprijine pe a altă dreaptă ǻ’ care nu conĠine
pe A (Fig.11.26).
pe A (Fig.11.26).
În practică pentru uúurinĠa lucrului planul se consideră delimitat sau
mărginit.
În practică pentru uúurinĠa lucrului planul se consideră delimitat sau
mărginit.
PoziĠia unui plan în spaĠiu este perfect determinată prin:
PoziĠia unui plan în spaĠiu este perfect determinată prin:
’
- o dreaptă ǻ úi un punct A care nu se găseúte pe dreaptă;
- o dreaptă ǻ’ úi un punct A care nu se găseúte pe dreaptă;
- două drepte care se intersectează ǻ úi ǻ’;
- două drepte care se intersectează ǻ úi ǻ’;
- două drepte paralele ( caz particular când ǻ Œ ǻ’;
- două drepte paralele ( caz particular când ǻ Œ ǻ’;
- trei puncte care nu se găsesc pe aceeaúi dreaptă ( A úi două puncte
- trei puncte care nu se găsesc pe aceeaúi dreaptă ( A úi două puncte
ce determină pe ǻ’).
ce determină pe ǻ’).
[P]
[P]
C
C
B
A
[P]
0
N
A
M
( )
Fig. 11.25
131
( )
B
0
M
Fig. 11.24
A
[P]
( )
B
( )
B
N
A
Fig. 11.24
Fig. 11.25
131
( )
( )
( )
( )
( ‘)
( ‘)
( )
( )
[P]
A
[P]
A
Fig. 11.26
Fig. 11.26
11.5. Unghiuri
11.5. Unghiuri
Se pot defini două tipuri de unghiuri: - unghiul plan, Fig.11.27;
Se pot defini două tipuri de unghiuri: - unghiul plan, Fig.11.27;
- unghiul în spaĠiu, Fig.11.28.
- unghiul în spaĠiu, Fig.11.28.
Unghiul (plan) este figura geometrică formată din două semidrepte
Unghiul (plan) este figura geometrică formată din două semidrepte
Punctul comun formează vârful unghiului O, iar semidreptele OA úi OB -
Punctul comun formează vârful unghiului O, iar semidreptele OA úi OB -
laturile lui, (Fig.11.27). Deschiderea unghiului notată în grade ( 0 ) este
laturile lui, (Fig.11.27). Deschiderea unghiului notată în grade ( 0 ) este
spaĠiul cuprins între laturile acestuia.
spaĠiul cuprins între laturile acestuia.
( )
cu originea comună úi dintr-una din părĠile planului mărginită de ele.
( )
cu originea comună úi dintr-una din părĠile planului mărginită de ele.
A
[V]
B
1
A
[V]
B
ȕ
0
1
ȕ
0
2
( )
0
2
B
A
Fig. 11.27
Fig. 11.28
Punctul comun formează vârful unghiului, A, iar dreptele '1 úi '2 –
B
( )
[H]
0
[H]
A
Fig. 11.27
Fig. 11.28
Punctul comun formează vârful unghiului, A, iar dreptele '1 úi '2 –
laturile lui. Deschiderea unghiului măsurată în grade ( 0 ) este
laturile lui. Deschiderea unghiului măsurată în grade ( 0 ) este
reprezentată de spaĠiul cuprins între laturile unghiului. Se notează cu trei
reprezentată de spaĠiul cuprins între laturile unghiului. Se notează cu trei
litere ( ¬ AOB ) astfel încât litera cu care s-a notat vârful să fie la mijloc.
litere ( ¬ AOB ) astfel încât litera cu care s-a notat vârful să fie la mijloc.
Unghiul în spaĠiu este determinat de două semiplane (Fig.11.28).
Unghiul în spaĠiu este determinat de două semiplane (Fig.11.28).
11.5.1. ConstrucĠia unui unghi dat
Pentru trasarea unui unghi dat (270) se procedează ca în Fig.11.29:
Pentru trasarea unui unghi dat (270) se procedează ca în Fig.11.29:
se alege un punct O reprezentând vârful unghiului úi un alt punct A care se
se alege un punct O reprezentând vârful unghiului úi un alt punct A care se
132
132
uneúte cu O, rezultând astfel una din laturile unghiului (ex: OA = 100
uneúte cu O, rezultând astfel una din laturile unghiului (ex: OA = 100
mm.). În punctul A se ridică o perpendiculară la OA pe care se măsoară
mm.). În punctul A se ridică o perpendiculară la OA pe care se măsoară
valoarea AB = OA x tg 270 = 100 x 0,51 = 51. Unind punctul O cu punctul
valoarea AB = OA x tg 270 = 100 x 0,51 = 51. Unind punctul O cu punctul
B rezultă cea de a doua latură a unghiului (OB); unghiul astfel format
B rezultă cea de a doua latură a unghiului (OB); unghiul astfel format
( ¬ AOB ) este cel căutat.
( ¬ AOB ) este cel căutat.
B
0
27
0
100
A
R=
B
57
R’
0
17
0
=
17
A
Fig. 11.29
100 x tg 27 = 51
100 x tg 27 = 51
B
0
0
27
100
A
R=
B
R’
0
0
17
Fig. 11.29
Fig. 11.30
57
=
17
A
Fig. 11.30
ConstrucĠia aproximativă - Metoda coardelor
ConstrucĠia aproximativă - Metoda coardelor
Are la bază observaĠia că pentru unghiuri de până la 300 lungimea
Are la bază observaĠia că pentru unghiuri de până la 300 lungimea
corzii este cu suficientă aproximaĠie, proporĠională cu valoarea unghiului
corzii este cu suficientă aproximaĠie, proporĠională cu valoarea unghiului
pe care îl subântide; pe de altă parte coarda corespunzătoare unghiului de
pe care îl subântide; pe de altă parte coarda corespunzătoare unghiului de
1 este egală cu 1/57 din valoarea razei învecinate. În concluzie pentru “n”
10 este egală cu 1/57 din valoarea razei învecinate. În concluzie pentru “n”
grade (n 300 ) lungimea coardei are valoarea de n/57 din lungimea razei
grade (n 300 ) lungimea coardei are valoarea de n/57 din lungimea razei
(unde R = 57 mm.).
(unde R = 57 mm.).
0
Pentru trasarea unghiului mai mic de 30 (de exemplu 17 conform
Pentru trasarea unghiului mai mic de 300 (de exemplu 170 conform
Fig.11.30) trasăm un arc de cerc cu raza de 57 mm. pe care se alege un
Fig.11.30) trasăm un arc de cerc cu raza de 57 mm. pe care se alege un
punct A. Cu vârful compasului în A úi cu o rază egală cu valoarea unghiului
punct A. Cu vârful compasului în A úi cu o rază egală cu valoarea unghiului
pe care dorim să îl construim trasăm un arc de cerc care intersectează arcul
pe care dorim să îl construim trasăm un arc de cerc care intersectează arcul
de cerc iniĠial în punctul B. Unind centrul arcului de cerc iniĠial cu raza de
de cerc iniĠial în punctul B. Unind centrul arcului de cerc iniĠial cu raza de
57 mm. cu punctele A úi B se obĠine unghiul de 170 căutat ¬ AOB.
57 mm. cu punctele A úi B se obĠine unghiul de 170 căutat ¬ AOB.
0
0
11.5.2. ConstrucĠia unui unghi oarecare egal cu un unghi dat
Metoda arcelor de cerc: pentru trasarea unui unghi oarecare egal cu
Metoda arcelor de cerc: pentru trasarea unui unghi oarecare egal cu
un unghi dat ¬ AOB se procedează ca în Fig.11.31: cu vârful compasului
un unghi dat ¬ AOB se procedează ca în Fig.11.31: cu vârful compasului
133
133
în punctul O úi cu o rază oarecare R se intersectează semidreapta Ox în
în punctul O úi cu o rază oarecare R se intersectează semidreapta Ox în
punctul A iar semidreapta Oy în punctul B rezultând segmentele OA = OB .
punctul A iar semidreapta Oy în punctul B rezultând segmentele OA = OB .
Se alege punctul O’ úi se trasează o semidreaptă oarecare O’x’ după care
Se alege punctul O’ úi se trasează o semidreaptă oarecare O’x’ după care
cu vârful compasului în O’ úi cu o rază egală cu OA se descrie un arc de
cu vârful compasului în O’ úi cu o rază egală cu OA se descrie un arc de
cerc care intersectează semidreapta O’x’ în punctul A’. Din punctual A’ se
cerc care intersectează semidreapta O’x’ în punctul A’. Din punctual A’ se
trasează un arc de cerc cu raza egală cu AB care intersectează primul cerc
trasează un arc de cerc cu raza egală cu AB care intersectează primul cerc
în punctul B’. Unind punctul O’ cu B’ úi prelungind construcĠia se obĠine
în punctul B’. Unind punctul O’ cu B’ úi prelungind construcĠia se obĠine
semidreapta O’y’ astfel încât unghiul ¬ A’O’B’ astfel format este egal cu
semidreapta O’y’ astfel încât unghiul ¬ A’O’B’ astfel format este egal cu
unghiul oarecare ¬ AOB dat iniĠial.
unghiul oarecare ¬ AOB dat iniĠial.
B’
0’
B
R
0
X
R
R’
R’
R
R’
A
B’
0’
B
A’
X’
R’
R
Fig. 11.31
A
0
X
A’
X’
Fig. 11.31
Metoda paralelelor: pentru trasarea unui unghi oarecare egal cu un
Metoda paralelelor: pentru trasarea unui unghi oarecare egal cu un
unghi dat ¬ AOB se procedează ca în Fig.11.32: prin punctul O’’ se
unghi dat ¬ AOB se procedează ca în Fig.11.32: prin punctul O’’ se
trasează paralele O’’A’’ úi O’’B’’ la segmentele de dreaptă OA úi respectiv
trasează paralele O’’A’’ úi O’’B’’ la segmentele de dreaptă OA úi respectiv
OB, unghiul astfel format ¬ A’’O’’B’’ este egal ca mărime cu unghiul dat
OB, unghiul astfel format ¬ A’’O’’B’’ este egal ca mărime cu unghiul dat
iniĠial ¬ AOB.
iniĠial ¬ AOB.
B’’
B’’
B
B
A’’
A
A’’
Fig.11.32
A
Fig.11.32
Metoda perpendicularelor: pentru trasarea unui unghi oarecare egal
Metoda perpendicularelor: pentru trasarea unui unghi oarecare egal
cu un unghi dat ¬ AOB se procedează ca în Fig.11.33: se prelungesc
cu un unghi dat ¬ AOB se procedează ca în Fig.11.33: se prelungesc
laturile OA úi OB până depăúesc poziĠia punctului O’, după care din
laturile OA úi OB până depăúesc poziĠia punctului O’, după care din
punctul O’ se coboară perpendiculare pe prelungirile laturilor OA úi OB
punctul O’ se coboară perpendiculare pe prelungirile laturilor OA úi OB
134
134
ulterior rezultând unghiul ¬ A’O’B’ egal ca mărime cu unghiul dat iniĠial
ulterior rezultând unghiul ¬ A’O’B’ egal ca mărime cu unghiul dat iniĠial
¬ AOB.
¬ AOB.
B
B’
B
A’
A
B’
A’
A
Fig. 11.33
Fig. 11.33
11.5.3 ÎmpărĠirea unghiului în două părĠi egale
11.5.3 ÎmpărĠirea unghiului în două părĠi egale
11.5.3.1 ConstrucĠia bisectoarei unui unghi cu ajutorul
11.5.3.1 ConstrucĠia bisectoarei unui unghi cu ajutorul
compasului
compasului
Bisectoarea unui unghi este linia dreaptă OP care trece prin vârful
Bisectoarea unui unghi este linia dreaptă OP care trece prin vârful
unghiului ¬ AOB=¬ Į úi împarte spaĠiul cuprins între laturi în două spaĠii
unghiului ¬ AOB=¬ Į úi împarte spaĠiul cuprins între laturi în două spaĠii
egale, adică împarte unghiul ¬ Į în două unghiuri egale ¬ Į1 = ¬ Į2.
egale, adică împarte unghiul ¬ Į în două unghiuri egale ¬ Į1 = ¬ Į2.
Pentru construcĠia bisectoarei unui unghi, ¬ Į, se procedează ca în
Pentru construcĠia bisectoarei unui unghi, ¬ Į, se procedează ca în
Fig.11.34: din punctul O se trasează un arc de cerc cu o rază oarecare R úi
Fig.11.34: din punctul O se trasează un arc de cerc cu o rază oarecare R úi
care taie laturile unghiului în punctele A úi B. Din aceste puncte cu o rază
care taie laturile unghiului în punctele A úi B. Din aceste puncte cu o rază
oarecare R’ se trasează arce de cerc în interiorul unghiului care se
oarecare R’ se trasează arce de cerc în interiorul unghiului care se
intersectează în punctul P. Unind punctele O úi P se obĠine dreapta OP
intersectează în punctul P. Unind punctele O úi P se obĠine dreapta OP
care reprezintă bisectoarea unghiului Į.
care reprezintă bisectoarea unghiului Į.
A
2
0
A
R’
M
P
D1
1
R’
2
0
M
P
D1
1
A
Q
R’
R
B
F
Fig. 11.34
B
R
N
Fig. 11.35
135
A
Q
R’
R
B
F
D2
Fig. 11.34
B
R
N
Fig. 11.35
135
D2
11.5.3.2 ÎmpărĠirea în două părĠi egale a unghiului al cărui vârf
se situează în afara desenului
11.5.3.2 ÎmpărĠirea în două părĠi egale a unghiului al cărui vârf
se situează în afara desenului
Pentru împărĠirea în două părĠi egale a unui unghi al cărui vârf se
Pentru împărĠirea în două părĠi egale a unui unghi al cărui vârf se
află în afara desenului se procedează conforn Fig.11.35 astfel: fiind date
află în afara desenului se procedează conforn Fig.11.35 astfel: fiind date
laturile D1 úi D2 ale unghiului respectiv printr-un punct F situat pe dreapta
laturile D1 úi D2 ale unghiului respectiv printr-un punct F situat pe dreapta
D2 se trasează paralela FR la latura D1; ca atare, această paralelă formează
D2 se trasează paralela FR la latura D1; ca atare, această paralelă formează
cu latura D2 un unghi egal cu unghiul dat. Cu vârful compasului în punctul
cu latura D2 un unghi egal cu unghiul dat. Cu vârful compasului în punctul
F úi cu o rază oarecare se descrie un arc de cerc care intersectează
F úi cu o rază oarecare se descrie un arc de cerc care intersectează
semidreapta FR în punctul Q úi latura D2 în punctul N astfel încât coarda
semidreapta FR în punctul Q úi latura D2 în punctul N astfel încât coarda
NQ intersectează latura D1 în punctul M. Se construieúte mediatoarea AB a
NQ intersectează latura D1 în punctul M. Se construieúte mediatoarea AB a
segmentului MN care este în acelaúi timp úi bisectoarea unghiului dat
segmentului MN care este în acelaúi timp úi bisectoarea unghiului dat
(unghiul dintre laturile D1 úi D2).
(unghiul dintre laturile D1 úi D2).
11.5.4 ConstrucĠia unghiurilor cu valori consacrate:
0
0
0
0
0
15 , 30 , 45 , 60 , 75 , 90
0
11.5.4 ConstrucĠia unghiurilor cu valori consacrate:
150, 300, 450, 600, 750, 900
ConstrucĠia unghiului de 900
Pentru construcĠia cu echerul unghiul de 900 se poate obĠine prin
Pentru construcĠia cu echerul unghiul de 900 se poate obĠine prin
ridicarea unei perpendiculare pe o dreaptă, deoarece în punctul de
ridicarea unei perpendiculare pe o dreaptă, deoarece în punctul de
intersecĠie al perpendicularei cu aceea dreaptă se formează unghiuri drepte,
intersecĠie al perpendicularei cu aceea dreaptă se formează unghiuri drepte,
adică unghiuri a căror valoare este de 900. Pentru aceasta se aúează echerul
adică unghiuri a căror valoare este de 900. Pentru aceasta se aúează echerul
(având catetele neegale) cu cateta mică suprapusă pe o riglă urmând să
(având catetele neegale) cu cateta mică suprapusă pe o riglă urmând să
trasăm o dreaptă de-a lungul ipotenuzei echerului úi o altă dreaptă de-a
lungul riglei, conform Fig.11.36.
lungul riglei, conform Fig.11.36.
0
Pentru construcĠia cu compasul unghiul de 90 se poate obĠine prin
trasarea mediatoarei conform paragrafului 11.2.4.1.
136
Pentru construcĠia cu compasul unghiul de 900 se poate obĠine prin
trasarea mediatoarei conform paragrafului 11.2.4.1.
136
Fig. 11.36
Fig. 11.36
Pentru construcĠia cu echerul (având catetele neegale) conform
Fig.11.37, acesta se aúează cu cateta mică suprapusă pe o riglă urmând să
Fig.11.37, acesta se aúează cu cateta mică suprapusă pe o riglă urmând să
0
lungul riglei. Unghiul mai mic de 90 format de cele două drepte este
unghiul de 600.
unghiul de 600.
Pentru construcĠia cu compasul conform Fig.11.38 din punctele A úi B ale
Pentru construcĠia cu compasul conform Fig.11.38 din punctele A úi B ale
unui segment de dreaptă se trasează arcele oarecare de cerc 1 respectiv 2
unui segment de dreaptă se trasează arcele oarecare de cerc 1 respectiv 2
care se intersectează în punctul O.
care se intersectează în punctul O.
Unind punctul O cu punctul A se obĠine unghiul de 600.
Unind punctul O cu punctul A se obĠine unghiul de 600.
Fig. 11.37
Fig. 11.38
Fig. 11.37
Fig. 11.38
Fig.11.39, acesta se aúează cu latura mare suprapusă pe o riglă urmând să
Fig.11.39, acesta se aúează cu latura mare suprapusă pe o riglă urmând să
0
unghiul de 300.
unghiul de 300.
137
137
ConstrucĠie prin ridicarea perpendicularei din vărful unghiului de 600
ConstrucĠie prin ridicarea perpendicularei din vărful unghiului de 600
Conform Fig.11.40 după ridicarea perpendicularei din vărful
Conform Fig.11.40 după ridicarea perpendicularei din vărful
unghiului de 600 se face diferenĠa: 900 - 600 = 300, acesta fiind unghiul
unghiului de 600 se face diferenĠa: 900 - 600 = 300, acesta fiind unghiul
căutat.
căutat.
ConstrucĠie prin ridicarea bisectoarei unghiului de 60
0
ConstrucĠie prin ridicarea bisectoarei unghiului de 600
Conform Fig.41 úi a descrierii din paragraful 11.5.3 se construieúte
0
0
bisectoarea unghiului de 600, rezultând astfel unghiul de 300.
bisectoarea unghiului de 60 , rezultând astfel unghiul de 30 .
Fig. 11.39
Conform Fig.41 úi a descrierii din paragraful 11.5.3 se construieúte
Fig. 11.40
Fig. 11.41
Fig. 11.39
Fig. 11.40
Fig. 11.41
ConstrucĠie prin împărĠirea unghiului drept ( 900) în trei părĠi egale
ConstrucĠie prin împărĠirea unghiului drept ( 900) în trei părĠi egale
Pentru construcĠie, conform Fig.11.42, cu vârful compasului în
Pentru construcĠie, conform Fig.11.42, cu vârful compasului în
punctul O úi cu o rază oarecare se trasează un arc de cerc care intersectează
punctul O úi cu o rază oarecare se trasează un arc de cerc care intersectează
0
laturile unghiului ¬ POR = 90 în punctele A úi B, după care cu aceeaúi
laturile unghiului ¬ POR = 900 în punctele A úi B, după care cu aceeaúi
rază úi succesiv se descriu două arce de cerc care intersectează arcul AB în
rază úi succesiv se descriu două arce de cerc care intersectează arcul AB în
punctele C úi respectiv D. Unind punctul O cu punctele C úi D rezultă
punctele C úi respectiv D. Unind punctul O cu punctele C úi D rezultă
semidreptele OC úi OD care împart unghiul drept ¬ POR în trei unghiuri
semidreptele OC úi OD care împart unghiul drept ¬ POR în trei unghiuri
egale.
egale.
C
C
B
B
0
0
90
D
Fig. 11.42
138
90
0
0
0
0
0
60
30
D
A
Fig. 11.43
Fig. 11.42
138
60
30
0
A
Fig. 11.43
ConstrucĠia unghiurilor de 300, 600 úi 900 cu vârfurile pe cerc
ConstrucĠia unghiurilor de 300, 600 úi 900 cu vârfurile pe cerc
Pentru construcĠia cu compasul a unghiurilor de 300, 600 úi 900 se
Pentru construcĠia cu compasul a unghiurilor de 300, 600 úi 900 se
procedează conforn Fig.11.43: se trasează un cerc cu raza oarecare R pe
procedează conforn Fig.11.43: se trasează un cerc cu raza oarecare R pe
care se alege un punct A; din acest punct se trasează pe circumferinĠa
care se alege un punct A; din acest punct se trasează pe circumferinĠa
cercului de trei ori valoarea razei rezultând punctele B, C úi D.
cercului de trei ori valoarea razei rezultând punctele B, C úi D.
Unind punctul A cu D rezultă diametrul cercului, iar unind punctul B cu
punctele A úi D se obĠin unghiurile de 300, 600 úi 900 astfel; ¬ ADB = 300,
¬ DAB = 600 iar ¬ABD = 900.
¬ DAB = 600 iar ¬ABD = 900.
0
0
Unind punctul A cu D rezultă diametrul cercului, iar unind punctul B cu
punctele A úi D se obĠin unghiurile de 30 , 60 úi 90 astfel; ¬ ADB = 30 ,
0
0
Pentru construcĠia cu echerul (având catetele egale úi două unghiuri
Pentru construcĠia cu echerul (având catetele egale úi două unghiuri
de 450) conform Fig.11.44, acesta se aúează cu una din catete pe o riglă
de 450) conform Fig.11.44, acesta se aúează cu una din catete pe o riglă
urmând să trasăm o dreaptă de-a lungul ipotenuzei echerului úi o altă
urmând să trasăm o dreaptă de-a lungul ipotenuzei echerului úi o altă
dreaptă de-a lungul riglei. Unghiul astfel format, mai mic de 900, este
dreaptă de-a lungul riglei. Unghiul astfel format, mai mic de 900, este
unghiul căutat de 450.
unghiul căutat de 450.
Pentru construcĠia cu compasul unghiul de 450 rezultă úi în urma
construcĠiei bisectoarei unghiului de 900.
Fig.11.44
Pentru construcĠia cu compasul unghiul de 450 rezultă úi în urma
construcĠiei bisectoarei unghiului de 900.
Fig. 11.45
Fig.11.44
Fig. 11.45
Pentru construcĠia cu echerul conform Fig.11.45 se folosesc două
0
echere, unul având catetele egale ( cu unghiurile ascuĠite de 45 ) úi un altul
echere, unul având catetele egale ( cu unghiurile ascuĠite de 450) úi un altul
având catetele neegale (cu unghiurile ascuĠite de 300 úi respectiv 600).
având catetele neegale (cu unghiurile ascuĠite de 300 úi respectiv 600).
Echerul oarecare se aúează cu cateta mai mare suprapusă pe o riglă iar pe
Echerul oarecare se aúează cu cateta mai mare suprapusă pe o riglă iar pe
ipotenuza acestuia se suprapune ipotenuza echerului isoscel urmănd să
ipotenuza acestuia se suprapune ipotenuza echerului isoscel urmănd să
139
139
trasăm o dreaptă de-a lungul catetei echerului isoscel úi o altă dreaptă de-a
trasăm o dreaptă de-a lungul catetei echerului isoscel úi o altă dreaptă de-a
lungul riglei. Unghiul mai mic de 900 astfel format este unhiul căutat cu
lungul riglei. Unghiul mai mic de 900 astfel format este unhiul căutat cu
valoarea de: 300 + 450 = 750.
valoarea de: 300 + 450 = 750.
Pentru construcĠia cu compasul se trasează bisectoarea unghiului de
0
Pentru construcĠia cu compasul se trasează bisectoarea unghiului de
0
30 .
30 .
echere, unul având catetele egale úi unghiurile ascuĠite de câte 450 iar altul
echere, unul având catetele egale úi unghiurile ascuĠite de câte 450 iar altul
cu catetele neegale úi unghiurile ascuĠite de 300 úi respectiv 600. Echerul
cu catetele neegale úi unghiurile ascuĠite de 300 úi respectiv 600. Echerul
oarecare se aúează cu cateta mare suprapusă pe o riglă după care echerul
oarecare se aúează cu cateta mare suprapusă pe o riglă după care echerul
isoscel se aúează cu ipotenuza suprapusă pe ipotenuza echerului oarecare .
isoscel se aúează cu ipotenuza suprapusă pe ipotenuza echerului oarecare .
Unghiul format de catetele celor două echere are valoarea: 300 + 450 = 750,
Unghiul format de catetele celor două echere are valoarea: 300 + 450 = 750,
iar prin ridicarea unei perpendiculare la dreaptă úi făcând diferenĠa 900 –
iar prin ridicarea unei perpendiculare la dreaptă úi făcând diferenĠa 900 –
750 = 150 rezultă unghiul căutat.
750 = 150 rezultă unghiul căutat.
Fig. 11.46
11.5.5. ConstrucĠia unghiurilor ca sumă sau diferenĠă de
unghiuri
Fig. 11.46
11.5.5. ConstrucĠia unghiurilor ca sumă sau diferenĠă de
unghiuri
Se pot trasa sau construi o serie se alte unghiuri ca sumă sau ca
diferenĠă de unghiuri.
Se pot trasa sau construi o serie se alte unghiuri ca sumă sau ca
diferenĠă de unghiuri.
140
140
15.5.5.1 ConstrucĠia unui unghi ca sumă a două unghiuri
15.5.5.1 ConstrucĠia unui unghi ca sumă a două unghiuri
Pentru construcĠia unghiului ¬ AOD = ș din Fig.11.49 ca sumă a
Pentru construcĠia unghiului ¬ AOD = ș din Fig.11.49 ca sumă a
unghiurilor ¬ AOB= Į (Fig.11.48) úi ¬COD = ȕ (Fig.11.47) se
unghiurilor ¬ AOB= Į (Fig.11.48) úi ¬COD = ȕ (Fig.11.47) se
procedează prin suprapunerea laturii OC a unghiului ¬ COD peste latura
procedează prin suprapunerea laturii OC a unghiului ¬ COD peste latura
OB a unghiului ¬ AOB.
OB a unghiului ¬ AOB.
D
D
D
D
B=C
B
B=C
B
T
E
0
T
E
C
0
Fig. 11.47
0
A
Fig. 11.48
E
0
A
Fig. 11.49
E
C
0
Fig. 11.47
0
A
A
Fig. 11.48
Fig. 11.49
11.5.5.2 ConstrucĠia unui unghi ca diferenĠă a două unghiuri
11.5.5.2 ConstrucĠia unui unghi ca diferenĠă a două unghiuri
Pentru construcĠia unghiului ¬ BOD = ș din Fig.11.52 ca diferenĠă a
Pentru construcĠia unghiului ¬ BOD = ș din Fig.11.52 ca diferenĠă a
unghiurilor ¬COD = ȕ (Fig.11.50) úi ¬AOB= Į (Fig.11.51) se procedează
unghiurilor ¬COD = ȕ (Fig.11.50) úi ¬AOB= Į (Fig.11.51) se procedează
prin suprapunerea laturii OC a unghiului ¬COD peste latura OA
prin suprapunerea laturii OC a unghiului ¬COD peste latura OA
a
unghiului ¬ AOB.
unghiului ¬ AOB.
D
D
D
T
B
0
a
C
Fig. 11.50
0
A
Fig. 11,51
0
C=A
Fig. 11.52
11.5.5.3 ÎmpărĠirea unghiului într-un număr oarecare de părĠi
egale
T
B
B
E
E
D
0
B
E
E
C
Fig. 11.50
0
A
Fig. 11,51
0
C=A
Fig. 11.52
11.5.5.3 ÎmpărĠirea unghiului într-un număr oarecare de părĠi
egale
Pentru a împărĠi un unghi oarecare ¬ AOB într-un număr oarecare
Pentru a împărĠi un unghi oarecare ¬ AOB într-un număr oarecare
de părĠi egale se procedează conform Fig.11.53: cu centrul în vârful O úi cu
de părĠi egale se procedează conform Fig.11.53: cu centrul în vârful O úi cu
141
141
o rază oarecare se descrie semicercul ABA1, iar cu centrele în punctele A úi
o rază oarecare se descrie semicercul ABA1, iar cu centrele în punctele A úi
A1, cu raza AA1 se descriu două arce de cerc care se intersectează în
A1, cu raza AA1 se descriu două arce de cerc care se intersectează în
punctul C. Dreapta BC intersectează latura OA în punctul D. Segmentul
punctul C. Dreapta BC intersectează latura OA în punctul D. Segmentul
AD se împarte într-un număr de părĠi egale (spre exemplu în 7 părĠi egale).
AD se împarte într-un număr de părĠi egale (spre exemplu în 7 părĠi egale).
Dreptele ce unesc punctul C cu punctele 1, 2, 3, 4, 5, 6, se prelungesc până
Dreptele ce unesc punctul C cu punctele 1, 2, 3, 4, 5, 6, se prelungesc până
ce intersectează semicercul ABA1 în punctele a, b, c, d, e, f úi care unite cu
ce intersectează semicercul ABA1 în punctele a, b, c, d, e, f úi care unite cu
vârful O împart unghiul oarecare ¬ AOB în úapte părĠi egale.
vârful O împart unghiul oarecare ¬ AOB în úapte părĠi egale.
H
B
I J
G
F
E
A 1 234 5
H
0
6
A1
D
C
G
F
E
A 1 234 5
dreaptă
0
6
A1
D
C
Fig. 11.53
11.5.6. ConstrucĠia unei drepte cu o înclinaĠie dată faĠă de o altă
B
I J
Fig. 11.53
11.5.6. ConstrucĠia unei drepte cu o înclinaĠie dată faĠă de o altă
dreaptă
Pentru construcĠia unei drepte (D2) cu o înclinaĠie dată (1:4) faĠă de
Pentru construcĠia unei drepte (D2) cu o înclinaĠie dată (1:4) faĠă de
o altă dreaptă (D1) comform Fig.11.54 se procedează astfel: pe dreaptă D1
o altă dreaptă (D1) comform Fig.11.54 se procedează astfel: pe dreaptă D1
se alege un punct O din care se trasează patru segmente egale unul în
se alege un punct O din care se trasează patru segmente egale unul în
prelungirea celuilalt rezultând punctul A. Din acest punct se ridică o
prelungirea celuilalt rezultând punctul A. Din acest punct se ridică o
perpendiculară pe care se trasează un segment egal cu cel iniĠial rezultând
perpendiculară pe care se trasează un segment egal cu cel iniĠial rezultând
punctul B. Unind punctul O cu punctul B úi prelungind construcĠia rezultă
punctul B. Unind punctul O cu punctul B úi prelungind construcĠia rezultă
dreapta căutată D2 a cărei inclinaĠie faĠă de dreaptă D1 este de 1:4.
dreapta căutată D2 a cărei inclinaĠie faĠă de dreaptă D1 este de 1:4.
142
142
In
0
B
e 1:4
r
a
n
i
l
c
D2
In
900
1
2
3
0
D1
A
Fig. 11.54
B
e 1:4
r
a
n
i
l
c
D2
900
1
2
3
A
D1
Fig. 11.54
11.5.7 ConstrucĠia unghiului de 1800
Pentru construcĠia unghiului de 1800 se alege un punct oarecare O,
Pentru construcĠia unghiului de 1800 se alege un punct oarecare O,
care reprezintă vârful unghiului ¬ AOB, pe dreapta AB conform Fig.11.55.
care reprezintă vârful unghiului ¬ AOB, pe dreapta AB conform Fig.11.55.
ConstrucĠia se demonstrează prin ridicarea perpendicularei D1 în punctul O
ConstrucĠia se demonstrează prin ridicarea perpendicularei D1 în punctul O
0
úi însumarea celor două unghiuri de 900 (Fig.11.56).
úi însumarea celor două unghiuri de 90 (Fig.11.56).
D1
A
B A
0
Fig. 11.55
0
D1
B
Fig. 11.56
A
B A
0
Fig. 11.55
0
B
Fig. 11.56
Pentru construcĠia unghiului de 3600 conform Fig.11.57 se
Pentru construcĠia unghiului de 3600 conform Fig.11.57 se
procedează la construcĠia unui cerc cu centrul în O úi de rază oarecare
procedează la construcĠia unui cerc cu centrul în O úi de rază oarecare
R = OA începând din punctul A.
R = OA începând din punctul A.
0
0
360
360
0
0
A
A
Fig. 11.57
Fig. 11.57
143
143
12. CERCUL
12. CERCUL
Cercul este locul geometric al tuturor punctelor din plan care se
Cercul este locul geometric al tuturor punctelor din plan care se
găsesc la o distanĠă constantă de un punct fix.
găsesc la o distanĠă constantă de un punct fix.
Această linie curbă închisă se mai numeúte úi circumferinĠă,
noĠiunea de cerc deosebindu-se de noĠiunea de suprsfaĠă a cercului.
Această linie curbă închisă se mai numeúte úi circumferinĠă,
noĠiunea de cerc deosebindu-se de noĠiunea de suprsfaĠă a cercului.
Locul geometric este curba sau suprafaĠa ale căror puncte au toate
aceeaúi proprietate geometrică, definite de anumite relaĠii matematice.
Locul geometric este curba sau suprafaĠa ale căror puncte au toate
aceeaúi proprietate geometrică, definite de anumite relaĠii matematice.
12.1 Elementele cercului
12.1 Elementele cercului
Elementele cercului conform figurilor 12.1, 12.2, 12.3 úi 12.4 sunt
Elementele cercului conform figurilor 12.1, 12.2, 12.3 úi 12.4 sunt
următoarele:
următoarele:
Centrul cercului ( O ) este punctul fix egal depărtat de toate
punctele cercului.
Centrul cercului ( O ) este punctul fix egal depărtat de toate
punctele cercului.
Raza cercului este oricare segment de dreaptă care uneúte centrul
Raza cercului este oricare segment de dreaptă care uneúte centrul
cercului cu un punct de pe cerc.
cercului cu un punct de pe cerc.
Secanta cercului este oricare dreaptă care uneúte două puncte de pe cerc.
Secanta cercului este oricare dreaptă care uneúte două puncte de pe cerc.
Coarda cercului este oricare segment de dreaptă care uneúte două
puncte de pe cerc.
Coarda cercului este oricare segment de dreaptă care uneúte două
puncte de pe cerc.
Diametrul cercului este coarda care trece prin centrul cercului (cu
Diametrul cercului este coarda care trece prin centrul cercului (cu
cea mai mare valoare).
cea mai mare valoare).
Tangenta cercului este dreapta care are un singur punct comun cu cercul.
Tangenta cercului este dreapta care are un singur punct comun cu cercul.
Secanta
Perimetru
E
Suprafata
cercului
Raza
A
A
0
C
Cerc (circumferinta)
Fig. 12.1
F
Raza
A
D
144
A
0
C
Tangenta
Cerc (circumferinta)
T
Fig. 12.2
E
Suprafata
cercului
B
etru
Diam
0
Coarda
Secanta
Perimetru
Fig. 12.1
F
B
etru
Diam
0
Coarda
D
T
Fig. 12.2
144
Tangenta
Unghiul ( înscris ) în cerc este unghiul care are vârful pe cerc úi
laturile secante ale cercului.
laturile secante ale cercului.
Unghiul la centru ( unghiul cu vârful în centrul cercului) este
unghiul care are vârful în centrul cercului úi laturile raze ale cercului.
Arcul de cerc este partea de pe cerc (circumferinĠă) care este
delimitată de un unghi la centru.
Unghiul la centru ( unghiul cu vârful în centrul cercului) este
unghiul care are vârful în centrul cercului úi laturile raze ale cercului.
Arcul de cerc este partea de pe cerc (circumferinĠă) care este
delimitată de un unghi la centru.
Sectorul circular este partea din suprafaĠa cercului delimitată de
două raze úi un arc de cerc.
Sectorul circular este partea din suprafaĠa cercului delimitată de
două raze úi un arc de cerc.
Segmentul de cerc este partea din suprafaĠa cercului delimitată de
un arc úi coarda corespunzătoare lui.
Segmentul de cerc este partea din suprafaĠa cercului delimitată de
un arc úi coarda corespunzătoare lui.
Sector circular
Unghi inscris
Un
la ghi
ce
ntr
u
0
0
Segment
circular
Fig. 12.3
Sector circular
Unghi inscris
0
0
Arc de cerc
Unghiul ( înscris ) în cerc este unghiul care are vârful pe cerc úi
Arc de cerc
Un
la ghi
ce
ntr
u
Fig. 12.4
Segment
circular
Fig. 12.3
Fig. 12.4
12.2. ConstrucĠia grafică a cercului
12.2. ConstrucĠia grafică a cercului
ConstrucĠia grafică a cercului este determinată de elementele date
ConstrucĠia grafică a cercului este determinată de elementele date
ale cercului:
ale cercului:
- poziĠia centrului úi raza sau diametrul cercului;
- poziĠia centrului úi raza sau diametrul cercului;
- două puncte situate pe cerc úi raza cercului;
- două puncte situate pe cerc úi raza cercului;
- trei puncte situate pe cerc.
- trei puncte situate pe cerc.
12.2.1 ConstrucĠia cercului când se cunosc poziĠia centrului úi
12.2.1 ConstrucĠia cercului când se cunosc poziĠia centrului úi
raza
raza
Pentru construcĠia cercului când se cunosc poziĠia centrului úi raza
Pentru construcĠia cercului când se cunosc poziĠia centrului úi raza
se procedează conform Fig.12.5: cu vârful compasului în centrul cercului
se procedează conform Fig.12.5: cu vârful compasului în centrul cercului
145
145
O de poziĠie dată (se cunosc coordonatele cercului) úi cu deschiderea egală
O de poziĠie dată (se cunosc coordonatele cercului) úi cu deschiderea egală
cu raza R (dată ca valoare) se trasează cercul căutat.
cu raza R (dată ca valoare) se trasează cercul căutat.
12.2.2 ConstrucĠia cercului când se cunosc două puncte situate pe
cerc úi raza
12.2.2 ConstrucĠia cercului când se cunosc două puncte situate pe
cerc úi raza
Pentru construcĠia cercului când se cunosc două puncte situate pe
Pentru construcĠia cercului când se cunosc două puncte situate pe
cerc úi raza se procedează conform Fig.12.6: cu centrul în punctele date A
cerc úi raza se procedează conform Fig.12.6: cu centrul în punctele date A
úi B úi cu raza R cunoscută ca valoare se descriu două arce de cerc care se
úi B úi cu raza R cunoscută ca valoare se descriu două arce de cerc care se
intersectează în punctul O numit centrul cercului. În continuare cu vârful
intersectează în punctul O numit centrul cercului. În continuare cu vârful
compasului în centrul cercului O úi cu deschiderea egală cu raza R (dată ca
compasului în centrul cercului O úi cu deschiderea egală cu raza R (dată ca
valoare) se trasează cercul căutat.
valoare) se trasează cercul căutat.
ObservaĠie: în cazul în care punctele A úi B sunt situate pe o coardă
se obĠin două soluĠii: - două cercuri fiecare cu centrul opus faĠă de coardă;
- un singur cerc atunci când punctele A úi B sunt situate diametral
opus.
ObservaĠie: în cazul în care punctele A úi B sunt situate pe o coardă
se obĠin două soluĠii: - două cercuri fiecare cu centrul opus faĠă de coardă;
- un singur cerc atunci când punctele A úi B sunt situate diametral
opus.
R
R
R
R
A
R
0
0
Fig. 12.5
A
R
B
0
Fig. 12.6
0
Fig. 12.5
B
Fig. 12.6
12.2.3 ConstrucĠia cercurilor care trec prin două puncte
12.2.3 ConstrucĠia cercurilor care trec prin două puncte
Pentru construcĠia cercurilor care trec prin două puncte se
Pentru construcĠia cercurilor care trec prin două puncte se
procedează conform Fig.12.7: se unesc punctele date A úi B rezultând
procedează conform Fig.12.7: se unesc punctele date A úi B rezultând
segmentul de dreaptă AB prin mijlocul căruia (punctul O) se ridică o
segmentul de dreaptă AB prin mijlocul căruia (punctul O) se ridică o
perpendiculară pe care se ia un punct C pentru delimitarea lungimii
perpendiculară pe care se ia un punct C pentru delimitarea lungimii
acesteia. În continuare pe dreapta OC se alege O1 centrul cercului, iar cu
acesteia. În continuare pe dreapta OC se alege O1 centrul cercului, iar cu
raza O1 A sau O1 B se trasează cercul de rază R1. Pe aceeaúi dreaptă OC se
raza O1 A sau O1 B se trasează cercul de rază R1. Pe aceeaúi dreaptă OC se
146
146
alege O2 centrul cercului, iar cu raza O2 A sau O2 B se trasează cercul de
alege O2 centrul cercului, iar cu raza O2 A sau O2 B se trasează cercul de
rază R2; continuând raĠionamentul rezultă că prin două puncte date se pot
rază R2; continuând raĠionamentul rezultă că prin două puncte date se pot
duce o infinitate de cercuri.
duce o infinitate de cercuri.
R2
R1
R2
R1
C
F
A R
1 0 0
1 2
0 02
C
R
B
0
R
A
Fig. 12.7
E
B
Fig. 12.8
12.2.4 ConstrucĠia cercului care trece prin trei puncte necoliniare
C
F
A R
1 0 0
1 2
0 02
C
R
B
0
R
A
Fig. 12.7
E
B
Fig. 12.8
12.2.4 ConstrucĠia cercului care trece prin trei puncte necoliniare
Pentru construcĠia cercului care trece prin trei puncte necoliniare se
Pentru construcĠia cercului care trece prin trei puncte necoliniare se
procedează conform Fig.12.8: se unesc cele trei puncte cunoscute A, cu B
procedează conform Fig.12.8: se unesc cele trei puncte cunoscute A, cu B
úi C , iar pe segmentele AB úi AC astfel obĠinute se ridică mediatoarele lor
úi C , iar pe segmentele AB úi AC astfel obĠinute se ridică mediatoarele lor
care se întâlnesc în punctul O numit centrul cercului. Din punctul O cu
care se întâlnesc în punctul O numit centrul cercului. Din punctul O cu
raza OA se trasează cercul căutat.
raza OA se trasează cercul căutat.
12.3 Determinarea grafică a unora din elementele cercului
12.3 Determinarea grafică a unora din elementele cercului
12.3.1 Determinarea centrului unui cerc dat
12.3.1 Determinarea centrului unui cerc dat
Pentru determinarea centrului unui cerc dat se procedează conform
Pentru determinarea centrului unui cerc dat se procedează conform
Fig.12.9: se trasează două coarde AB úi CD cu recomandarea ca mărimea
Fig.12.9: se trasează două coarde AB úi CD cu recomandarea ca mărimea
unghiului format prin prelungirea lor să fie cât mai apropiată de 900, după
unghiului format prin prelungirea lor să fie cât mai apropiată de 900, după
care se trasează mediatoarele lor EF úi GH. Punctul de intersecĠie O al
care se trasează mediatoarele lor EF úi GH. Punctul de intersecĠie O al
mediatoarelor reprezintă centrul cercului căutat.
mediatoarelor reprezintă centrul cercului căutat.
147
147
E
E
B
A
H
A
0
G
F
B
C
C
E
F
A
B
H
A
0
G
F
0
D
Fig. 12.9
C
C
E
F
0
D
Fig. 12.10
B
Fig. 12.9
Fig. 12.10
12.3.2 Determinarea centrului unui cerc când se dă arcul AB
12.3.2 Determinarea centrului unui cerc când se dă arcul AB
Pentru determinarea centrului unui cerc când se dă arcul AB se
Pentru determinarea centrului unui cerc când se dă arcul AB se
procedează conform Fig.12.10: se trasează două coarde AC úi CB cu
procedează conform Fig.12.10: se trasează două coarde AC úi CB cu
recomandarea ca mărimea unghiului format de ele să fie cât mai apropiată
recomandarea ca mărimea unghiului format de ele să fie cât mai apropiată
de 900, după care se trasează mediatoarele lor prin punctele E úi F. Punctul
de 900, după care se trasează mediatoarele lor prin punctele E úi F. Punctul
de intersecĠie O al mediatoarelor este centrul cercului căutat.
de intersecĠie O al mediatoarelor este centrul cercului căutat.
12.3.3 Determinarea arcului de cerc cu centrul în afara planului
de lucru cunoscând o coardă úi săgeata
12.3.3 Determinarea arcului de cerc cu centrul în afara planului
de lucru cunoscând o coardă úi săgeata
Pentru determinarea unui arc de cerc de rază mare al cărui centru se
Pentru determinarea unui arc de cerc de rază mare al cărui centru se
află înafara planului de lucru (foii de hârtie) cunoscând o coardă AB úi
află înafara planului de lucru (foii de hârtie) cunoscând o coardă AB úi
săgeata CD se procedează conform Fig.12.11: se unesc punctele A úi B cu
săgeata CD se procedează conform Fig.12.11: se unesc punctele A úi B cu
C după care se trasează două arce de cerc de rază oarexare R, dar mai mică
C după care se trasează două arce de cerc de rază oarexare R, dar mai mică
decât AC, din punctele A úi B. Pe aceste arce se iau diviziuni egale astfel:
decât AC, din punctele A úi B. Pe aceste arce se iau diviziuni egale astfel:
se împarte arcul cuprins între AC úi AD în patru părĠi egale rezultând
se împarte arcul cuprins între AC úi AD în patru părĠi egale rezultând
punctele 1, 2 úi 3 după care pe celălalt arc de cerc înafara dreptei CB se ia
punctele 1, 2 úi 3 după care pe celălalt arc de cerc înafara dreptei CB se ia
’
’
trei arce de cerc egale unul în prelungirea celuilalt rezultând punctele 1’, 2’
úi 3’. Se uneúte punctul A cu punctele 1, 2 úi 3, iar punctul B cu punctele 1’,
úi 3’. Se uneúte punctul A cu punctele 1, 2 úi 3, iar punctul B cu punctele 1’,
2’ úi 3’, după care aceste semidrepte se prelungesc până se intersectează
2’ úi 3’, după care aceste semidrepte se prelungesc până se intersectează
148
148
trei arce de cerc egale unul în prelungirea celuilalt rezultând punctele 1 , 2
rezultând punctele E, F úi G. Unind punctele C, E, F úi G printr-o linie
rezultând punctele E, F úi G. Unind punctele C, E, F úi G printr-o linie
curbă continuă obĠinem arcul de cerc căutat.
Metoda a-II-a de determinare a unui arc de cerc de rază mare al
Metoda a-II-a de determinare a unui arc de cerc de rază mare al
cărui centru se află înafara planului cunoscând o coardă AB úi săgeata CD
cărui centru se află înafara planului cunoscând o coardă AB úi săgeata CD
constă conform Fig.12.12 în: construcĠia dreptei BH perpendiculară pe CB
constă conform Fig.12.12 în: construcĠia dreptei BH perpendiculară pe CB
după care segmentul DB (este jumătatea corzii AB) úi CH se împarte în
după care segmentul DB (este jumătatea corzii AB) úi CH se împarte în
acelaúi număr de părĠi egale (ex: 4 părĠi egale) rezultând punctele 1, 2 úi 3
acelaúi număr de părĠi egale (ex: 4 părĠi egale) rezultând punctele 1, 2 úi 3
(4 { B) úi 1’, 2’ úi 3’ (4’ { H) care se unesc între ele două câte două 1 cu 1’, 2
(4 { B) úi 1’, 2’ úi 3’ (4’ { H) care se unesc între ele două câte două 1 cu 1’, 2
cu 2’ úi 3 cu 3’. În continuare se ridică o perpendiculară din B pe CH úi se
cu 2’ úi 3 cu 3’. În continuare se ridică o perpendiculară din B pe CH úi se
împarte în patru părĠi egale rezultând punctele a, b, c úi d care se unesc cu
împarte în patru părĠi egale rezultând punctele a, b, c úi d care se unesc cu
punctul C; la intersecĠia acestor drepte (Ca, Cb, Cc) cu dreptele 11’, 22’ úi
punctul C; la intersecĠia acestor drepte (Ca, Cb, Cc) cu dreptele 11’, 22’ úi
33’ rezultă punctele E, F úi G. Unind punctele C, E, F úi G printr-o linie
33’ rezultă punctele E, F úi G. Unind punctele C, E, F úi G printr-o linie
C
E
C
F
G
R
A
D
E
F
G
R
B
Fig.12.11
C
A
c
B
Fig.12.11
C
d
E
D
d
E
H
F
c
F
b
b
G
G
a
A
H
B
D
a
Fig. 12.12
A
B
D
Fig. 12.12
12.3.4 Determinarea lungimii unui semicerc
12.3.4 Determinarea lungimii unui semicerc
Pentru determinarea lungimii unui semicerc se procedează conform
Pentru determinarea lungimii unui semicerc se procedează conform
Fig.12.13: se duc două diametre perpendiculare AB úi DE după care cercul
Fig.12.13: se duc două diametre perpendiculare AB úi DE după care cercul
se intersectează în punctul F cu un arc de cerc cu centrul în punctul D úi cu
se intersectează în punctul F cu un arc de cerc cu centrul în punctul D úi cu
raza egală cu cea a cercului dat. În continuare se duce tangenta AG la cerc
raza egală cu cea a cercului dat. În continuare se duce tangenta AG la cerc
149
149
în punctul A, după care se uneúte centrul cercului O cu punctul F úi se
în punctul A, după care se uneúte centrul cercului O cu punctul F úi se
prelungeúte dreapta până intersectează tangenta în punctul C. Din acest
prelungeúte dreapta până intersectează tangenta în punctul C. Din acest
punct se ia pe tangentă un segment egal cu de trei ori raza cercului dat
punct se ia pe tangentă un segment egal cu de trei ori raza cercului dat
rezultând punctul H care se uneúte cu punctul B. Segmentul HB este egal
rezultând punctul H care se uneúte cu punctul B. Segmentul HB este egal
cu ʌR (jumătatea lungimii cercului dat) ceea ce reprezintă valoarea
cu ʌR (jumătatea lungimii cercului dat) ceea ce reprezintă valoarea
semicercului căutat.
semicercului căutat.
B
B
R
C
0
D
R
E
D
E
F
C
30
F
H
A
GA
Fig. 12.13
D
B
Fig. 12.14
12.3.5 Determinarea săgeĠii când se cunoaúte coarda úi un punct
de pe cerc
E
E
F
0
C
0
C
30
F
0
H
A
GA
Fig. 12.13
D
B
Fig. 12.14
12.3.5 Determinarea săgeĠii când se cunoaúte coarda úi un punct
de pe cerc
Pentru determinarea săgeĠii când se cunoaúte coarda AB úi un punct
Pentru determinarea săgeĠii când se cunoaúte coarda AB úi un punct
E de pe cerc (al cărui centru se află înafara planului) se procedează
E de pe cerc (al cărui centru se află înafara planului) se procedează
conform Fig.12.14: se uneúte punctul E cu A úi B după care se ia pe AE
conform Fig.12.14: se uneúte punctul E cu A úi B după care se ia pe AE
segmentul EF = EB.
segmentul EF = EB.
Se uneúte punctul F cu punctul B úi se obĠine Į = ¬ EBF. În
Se uneúte punctul F cu punctul B úi se obĠine Į = ¬ EBF. În
continuare se construieúte pe latura AB unghiul ¬ ABC = Į = Į1, iar din
continuare se construieúte pe latura AB unghiul ¬ ABC = Į = Į1, iar din
punctul D care se găseúte la jumătatea coardei AB se ridică perpendiculara
punctul D care se găseúte la jumătatea coardei AB se ridică perpendiculara
DC. Prin intersecĠia perpendicularei DC cu BC se obĠine punctul C astfel
DC. Prin intersecĠia perpendicularei DC cu BC se obĠine punctul C astfel
încât segmentul DC va fi săgeata căutată pentru arcul ACB.
încât segmentul DC va fi săgeata căutată pentru arcul ACB.
12.3.6 Determinarea lungimii unui arc oarecare AB al unui cerc
de rază R
12.3.6 Determinarea lungimii unui arc oarecare AB al unui cerc
de rază R
Pentru determinarea lungimii unui arc oarecare AB al unui cerc de
Pentru determinarea lungimii unui arc oarecare AB al unui cerc de
rază R se procedează conform Fig.12.15: prin punctele A úi B ale arcului de
rază R se procedează conform Fig.12.15: prin punctele A úi B ale arcului de
150
150
cerc AB se duce coarda AB subântinsă arcului. Se determină punctul D ca
cerc AB se duce coarda AB subântinsă arcului. Se determină punctul D ca
mijlocul segmentului AB după care se uneúte cu centrul cercului O úi se
mijlocul segmentului AB după care se uneúte cu centrul cercului O úi se
prelungeúte până intersectează arcul AB în punctul C punct prin care se
prelungeúte până intersectează arcul AB în punctul C punct prin care se
duce tangenta la cerc. Pe prelungirea dreptei OC se ia din punctul C de trei
duce tangenta la cerc. Pe prelungirea dreptei OC se ia din punctul C de trei
ori lungimea razei R până în punctul O1. În continuare se duc dreptele AO
ori lungimea razei R până în punctul O1. În continuare se duc dreptele AO
úi BO1 care determină pe tangentă segmentul EF care are o lungime
úi BO1 care determină pe tangentă segmentul EF care are o lungime
aproximativ egală cu lungimea arcului de cerc AB. ConstrucĠia este
aproximativ egală cu lungimea arcului de cerc AB. ConstrucĠia este
suficient de exactă pentru arce de cerc cu unghiul la centru ȕ până la 800.
suficient de exactă pentru arce de cerc cu unghiul la centru ȕ până la 800.
01
01
A
F
R
0
R
0
D
C
B
E
A
Fig. 12.15
F
D
C
B
E
Fig. 12.15
12.4 ÎmpărĠirea cercului în părĠi egale
12.4 ÎmpărĠirea cercului în părĠi egale
12.4.1 ÎmpărĠirea cercului în două, în patru úi în opt părĠi egale
12.4.1 ÎmpărĠirea cercului în două, în patru úi în opt părĠi egale
Pentru împărĠirea unui cerc în două părĠi egale conform Fig.12.16
Pentru împărĠirea unui cerc în două părĠi egale conform Fig.12.16
este suficient să construim diametul cercului AB.
Pentru împărĠirea unui cerc în patru părĠi egale conform Fig.12.17
se vor construi două diametre perpendiculare între ele.
este suficient să construim diametul cercului AB.
Pentru împărĠirea unui cerc în patru părĠi egale conform Fig.12.17
se vor construi două diametre perpendiculare între ele.
La împărĠirea unui cerc în opt părĠi egale conform Fig.12.18 după
La împărĠirea unui cerc în opt părĠi egale conform Fig.12.18 după
construcĠia celor două diametre perpendiculare din punctele A, C, E úi G cu
construcĠia celor două diametre perpendiculare din punctele A, C, E úi G cu
o rază oarecare R se descriu arce de cerc care se intersectează în punctele I,
o rază oarecare R se descriu arce de cerc care se intersectează în punctele I,
K, L úi M. Unind punctele I cu L úi K cu M se obĠine a doua pereche de
K, L úi M. Unind punctele I cu L úi K cu M se obĠine a doua pereche de
diametre perpendiculare care împart cercul în opt părĠi egale.
diametre perpendiculare care împart cercul în opt părĠi egale.
151
151
A
A
A
I
H
0
0
C
D
Fig. 12.16
Fig. 12.17
A
0
0
0
C
D
0
G
L
Fig. 12.18
12.4.2 ÎmpărĠirea cercului în trei, în úase úi în douăsprezece
B
M
B
Fig. 12.16
Fig. 12.17
K
E
C
F
B
A
I
H
C
M
B
A
E
G
B
K
F
B
L
Fig. 12.18
12.4.2 ÎmpărĠirea cercului în trei, în úase úi în douăsprezece
părĠi egale
părĠi egale
Pentru împărĠirea cercului în trei părĠi egale se procedează conform
Pentru împărĠirea cercului în trei părĠi egale se procedează conform
Fig.12.19: se trasează diametrul cercului AB, după care din punctul A cu
Fig.12.19: se trasează diametrul cercului AB, după care din punctul A cu
raza R egală cu raza cercului se duc două arce de cerc de o parte úi de alta a
raza R egală cu raza cercului se duc două arce de cerc de o parte úi de alta a
punctului A până intersectează cercul în punctele C úi D. Punctele A, C úi
punctului A până intersectează cercul în punctele C úi D. Punctele A, C úi
D împart cercul dat de rază R în trei părĠi egale.
D împart cercul dat de rază R în trei părĠi egale.
Pentru împărĠirea cercului în úase
părĠi egale se procedează
Pentru împărĠirea cercului în úase
conform Fig.12.20: se trasează diametrul cercului AB, după care din
conform Fig.12.20: se trasează diametrul cercului AB, după care din
punctele A úi B cu raza R egală cu raza cercului se duc arce de cerc de o
punctele A úi B cu raza R egală cu raza cercului se duc arce de cerc de o
parte úi de alta a punctelor A úi B până intersectează cercul în punctele C,
parte úi de alta a punctelor A úi B până intersectează cercul în punctele C,
D, E úi F. Punctele A, B, C, D, E úi F împart cercul dat de rază R în úase
D, E úi F. Punctele A, B, C, D, E úi F împart cercul dat de rază R în úase
părĠi egale.
părĠi egale.
Pentru împărĠirea cercului în douăsprezece părĠi egale se procedează
Pentru împărĠirea cercului în douăsprezece părĠi egale se procedează
conform Fig.12.21: pornind de la construcĠia anterioară se împart arcele
conform Fig.12.21: pornind de la construcĠia anterioară se împart arcele
AE, AF, BC úi BD în câte două părĠi egale. Pentru arcul AF se procedează
AE, AF, BC úi BD în câte două părĠi egale. Pentru arcul AF se procedează
astfel: din punctele A úi F cu o rază oarecare R’< AF se duc arce de cerc
astfel: din punctele A úi F cu o rază oarecare R’< AF se duc arce de cerc
care se intersectează în punctul I. Unind punctul I cucentrul cercului O
care se intersectează în punctul I. Unind punctul I cucentrul cercului O
printr-o dreaptă aceasta intersectează cercul în punctul 2, punct care
printr-o dreaptă aceasta intersectează cercul în punctul 2, punct care
împarte arcul de cerc AF în două părĠi egale. Procedând similar úi pentru
împarte arcul de cerc AF în două părĠi egale. Procedând similar úi pentru
152
152
arcele de cerc FD, DB, BC, CE, úi EA se obĠin punctele de pe cerc 4, 6, 8,
arcele de cerc FD, DB, BC, CE, úi EA se obĠin punctele de pe cerc 4, 6, 8,
10 úi 12. Renumerotând punctele A, F, D, B, C úi E cu 1, 3, 5, 7, 9 úi 11
10 úi 12. Renumerotând punctele A, F, D, B, C úi E cu 1, 3, 5, 7, 9 úi 11
obĠinem punctele pe cerc 1, 2, 3, ..... 12 puncte care împart cercul dat de
obĠinem punctele pe cerc 1, 2, 3, ..... 12 puncte care împart cercul dat de
rază R în douăsprezece părĠi egale.
rază R în douăsprezece părĠi egale.
A
A
E
0
C
R
C
B
Fig. 12.19
R
B
Fig. 12.20
D
A
I
A
F
E
0
0
C
L
D
B
K
Fig. 12.21
C
R
D
C
B
Fig. 12.19
R
B
Fig. 12.20
D
I
F
E
F
0
0
J
M
A
N
R
E
F
0
D
A
N
R
J
M
C
L
D
B
K
Fig. 12.21
12.4.3 ÎmpărĠirea cercului în cinci úi în zece părĠi egale
12.4.3 ÎmpărĠirea cercului în cinci úi în zece părĠi egale
Pentru împărĠirea cercului în cinci părĠi egale se procedează
Pentru împărĠirea cercului în cinci părĠi egale se procedează
conform Fig.12.22: se trasează două diametre perpendiculare AB úi CD
după care se determină punctul E ca mijlocul razei (mijlocul segmentului
după care se determină punctul E ca mijlocul razei (mijlocul segmentului
OB). În continuare cu vârful compasului în punctul E úi cu o rază egală ca
OB). În continuare cu vârful compasului în punctul E úi cu o rază egală ca
valoare cu segmentul EC se trasează un arc de cerc care intersectează
valoare cu segmentul EC se trasează un arc de cerc care intersectează
diametrul AB în punctul F. Segmentul CF este egal cu coarda care
diametrul AB în punctul F. Segmentul CF este egal cu coarda care
subântinde arcul căutat; acest segment se ia de cinci ori pe cerc, unul în
subântinde arcul căutat; acest segment se ia de cinci ori pe cerc, unul în
preluhgirea celuilalt, rezultând punctele 1, 2, 3, 4 úi 5 puncte care împart
preluhgirea celuilalt, rezultând punctele 1, 2, 3, 4 úi 5 puncte care împart
cercul dat în cinci părĠi egale.
cercul dat în cinci părĠi egale.
Pentru împărĠirea cercului în zece părĠi egale se procedează conform
Pentru împărĠirea cercului în zece părĠi egale se procedează conform
Fig.12.23: se porneúte de la construcĠia anterioară (împărĠirea cercului în
Fig.12.23: se porneúte de la construcĠia anterioară (împărĠirea cercului în
cinci părĠi egale – Fig.12.22) unde s-a obĠinut segmentul OF. Acest
cinci părĠi egale – Fig.12.22) unde s-a obĠinut segmentul OF. Acest
segment se ia de zece ori pe cerc, unul în prelungirea celuilat, rezultând
segment se ia de zece ori pe cerc, unul în prelungirea celuilat, rezultând
punctele 1, 2, 3, .... 10 puncte care împart cercul dat în zece părĠi egale.
punctele 1, 2, 3, .... 10 puncte care împart cercul dat în zece părĠi egale.
153
153
C 5
1
4
1
A
F
E
0
2
B A
C 5
C 10
8
5
10
0 E
F
4
3
D
Fig. 12.22
A
F
E
0
2
B A
C 10
9
8
5
10
0 E
F
B
7
3
6
2
5
D
4
1
B
7
3
2
1
9
D
Fig. 12.23
4
3
Fig. 12.22
6
5
D
Fig. 12.23
12.4.4 ÎmpărĠirea cercului în úapte părĠi egale
12.4.4 ÎmpărĠirea cercului în úapte părĠi egale
Pentru împărĠirea cercului în úapte părĠi egale se procedează
Pentru împărĠirea cercului în úapte părĠi egale se procedează
conform Fig.12.24: se trasează diametrul AB, după care cu vârful
conform Fig.12.24: se trasează diametrul AB, după care cu vârful
compasului în punctul B úi cu o rază egală cu raza cercului R se trasează un
compasului în punctul B úi cu o rază egală cu raza cercului R se trasează un
arc de cerc care intersectează cercul în punctele C úi D. Unind punctele C
arc de cerc care intersectează cercul în punctele C úi D. Unind punctele C
úi D cu un segment, acesta intersectează raza OB în punctul E. Segmentul
úi D cu un segment, acesta intersectează raza OB în punctul E. Segmentul
CE se ia de úapte ori pe cerc, unul în prelungirea celuilat, rezultând
CE se ia de úapte ori pe cerc, unul în prelungirea celuilat, rezultând
punctele 1, 2, 3, .... 7 puncte care împart cercul dat în úapte părĠi egale.
punctele 1, 2, 3, .... 7 puncte care împart cercul dat în úapte părĠi egale.
A 7
1
1
C 9
A 7
8
1
6
2
A
0
2
5
D
7
C
E
3
B
1
4
6
4
Fig. 12.24
D
5
Fig. 12.25
154
F
2
A
0
2
E
3
8
6
7
B G
9 H 20 O
C 9
5
D
7
C
E
3
B
7
B G
9 H 20 O
E
3
4
6
4
Fig. 12.24
D
5
Fig. 12.25
154
F
12.4.5 ÎmpărĠirea cercului în nouă úi în douăzeci de părĠi egale
12.4.5 ÎmpărĠirea cercului în nouă úi în douăzeci de părĠi egale
Pentru împărĠirea cercului în nouă
Pentru împărĠirea cercului în nouă
după care cu vârful compasului în punctul D úi cu o rază egală cu raza
după care cu vârful compasului în punctul D úi cu o rază egală cu raza
cercului R se trasează un arc de cerc care intersectează cercul în punctele E
cercului R se trasează un arc de cerc care intersectează cercul în punctele E
úi F. În continuare cu centrul în punctul C úi cu raza CF se descrie un arc
úi F. În continuare cu centrul în punctul C úi cu raza CF se descrie un arc
de cerc care intersectează prelungirea diametrului AB în punctul G, după
de cerc care intersectează prelungirea diametrului AB în punctul G, după
care din acest punct cu raza CG se duce un alt arc de cerc care
care din acest punct cu raza CG se duce un alt arc de cerc care
intersectează diametrul AB în interiorul cercului în punctul H. Segmentul
intersectează diametrul AB în interiorul cercului în punctul H. Segmentul
AH este egal cu coarda care subântinde arcul căutat; acest segment se ia de
AH este egal cu coarda care subântinde arcul căutat; acest segment se ia de
nouă ori pe cerc, unul în preluhgirea celuilalt, rezultând punctele 1, 2, 3, 4
nouă ori pe cerc, unul în preluhgirea celuilalt, rezultând punctele 1, 2, 3, 4
.... 9 puncte care împart cercul dat în nouă părĠi egale.
.... 9 puncte care împart cercul dat în nouă părĠi egale.
Pentru împărĠirea cercului în douăzeci de părĠi egale se procedează
Pentru împărĠirea cercului în douăzeci de părĠi egale se procedează
conform Fig.12.25: se porneúte de la construcĠia anterioară (împărĠirea
conform Fig.12.25: se porneúte de la construcĠia anterioară (împărĠirea
cercului în nouă părĠi egale) unde s-a obĠinut segmentul OH. Acest
cercului în nouă părĠi egale) unde s-a obĠinut segmentul OH. Acest
segment se ia de douăzeci de ori pe cerc, unul în prelungirea celuilat,
segment se ia de douăzeci de ori pe cerc, unul în prelungirea celuilat,
rezultând punctele 1, 2, 3, .... 20 puncte care împart cercul dat în douăzeci
rezultând punctele 1, 2, 3, .... 20 puncte care împart cercul dat în douăzeci
de părĠi egale.
de părĠi egale.
12.4.6 ÎmpărĠirea cercului într-un număr oarecare de
părĠi
egale
12.4.6 ÎmpărĠirea cercului într-un număr oarecare de
părĠi
egale
Pentru împărĠirea cercului în într-un număr oarecare de părĠi egale
Pentru împărĠirea cercului în într-un număr oarecare de părĠi egale
se procedează conform Fig.12.26: se consideră spre exemplificare un
se procedează conform Fig.12.26: se consideră spre exemplificare un
număr de unsprezece părĠi. Se trasează diametrul AB care se împarte în
număr de unsprezece părĠi. Se trasează diametrul AB care se împarte în
unsprezece părĠi egale ( punctele 1, 2, 3, 4 .... 11 ) după care din punctele A
unsprezece părĠi egale ( punctele 1, 2, 3, 4 .... 11 ) după care din punctele A
úi B se duc două arce de cerc, cu raza egală ca valoare cu diametrul AB,
úi B se duc două arce de cerc, cu raza egală ca valoare cu diametrul AB,
care se intersectează în punctele C úi D. Din punctele C úi D de duc drepte
care se intersectează în punctele C úi D. Din punctele C úi D de duc drepte
prin diviziunile cu număr par (sau impar) ale diametrului AB până
prin diviziunile cu număr par (sau impar) ale diametrului AB până
155
155
intersectează cercul în punctele 1’, 2’, 3’, 4’, 5’…11’. Aceste puncte impart
intersectează cercul în punctele 1’, 2’, 3’, 4’, 5’…11’. Aceste puncte impart
cercul dat într-un număr (în exemplul arătat de 11 părĠi) de părĠi egale.
cercul dat într-un număr (în exemplul arătat de 11 părĠi) de părĠi egale.
A
A
P
P
E
N
N
F
C
D
0
G
M
H
L
K
B
E
F
C
D
0
G
M
H
L
J
K
Fig. 12.26
B
J
Fig. 12.26
12.5 Tangenta. Cercuri tangente
12.5 Tangenta. Cercuri tangente
12.5.1 Tangenta la cerc
12.5.1 Tangenta la cerc
Tangenta la un cerc (în oricare punct al cercului) este
Tangenta la un cerc (în oricare punct al cercului) este
perpendiculara pe rază care trece prin acel punct (Fig.12.27).
perpendiculara pe rază care trece prin acel punct (Fig.12.27).
Tangenta la un cerc se mai poate defini úi ca poziĠia limită a unei
Tangenta la un cerc se mai poate defini úi ca poziĠia limită a unei
secante care trece prin două puncte ale unei curbe atunci când secanta se
secante care trece prin două puncte ale unei curbe atunci când secanta se
roteúte úi cele două puncte se confundă.
roteúte úi cele două puncte se confundă.
ConstrucĠia cu echerul a tangentei la cerc constă conform Fig.12.28
ConstrucĠia cu echerul a tangentei la cerc constă conform Fig.12.28
în aúezarea echerului cu latura cea mai mare pe o riglă astfel încât una din
în aúezarea echerului cu latura cea mai mare pe o riglă astfel încât una din
laturile echerului care formează unghiul drept să treacă prin centrul
laturile echerului care formează unghiul drept să treacă prin centrul
cercului dat, după care echerul se translatează de-a lungul riglei până când
cercului dat, după care echerul se translatează de-a lungul riglei până când
cea de a doua latură a echerului care formează unghiul drept intersectează
cea de a doua latură a echerului care formează unghiul drept intersectează
cercul într-un singur punct ( T ). Linia trasată de-a lungul acestei laturi a
cercul într-un singur punct ( T ). Linia trasată de-a lungul acestei laturi a
echerului este tangenta la cerc căutată.
echerului este tangenta la cerc căutată.
156
156
Tangenta
Tangenta
T
T
2
0
1
Fig. 12.27
Fig. 12.28
0
1
Fig. 12.27
2
Fig. 12.28
12.5.2 Tangenta dintr-un punct exterior la cerc
12.5.2 Tangenta dintr-un punct exterior la cerc
Pentru construcĠia tangentei dintr-un punct exterior la cerc se
Pentru construcĠia tangentei dintr-un punct exterior la cerc se
procedează conform Fig.12.29: din punctul O2 exterior cercului dat cu
procedează conform Fig.12.29: din punctul O2 exterior cercului dat cu
centrul O se duce o dreaptă care uneúte aceste două puncte. În continuare
centrul O se duce o dreaptă care uneúte aceste două puncte. În continuare
se determină punctul O1 situat la jumătatea segmentului OO2, după care se
se determină punctul O1 situat la jumătatea segmentului OO2, după care se
trasează un cerc cu centrul în punctul O1 cu raza R = O1O2 care
trasează un cerc cu centrul în punctul O1 cu raza R = O1O2 care
’
intersectează cercul dat iniĠial în punctele T úi T . Unind aceste puncte cu
intersectează cercul dat iniĠial în punctele T úi T’. Unind aceste puncte cu
punctul O2 se obĠin tangentele la cerc O2T úi O2T’ căutate.
punctul O2 se obĠin tangentele la cerc O2T úi O2T’ căutate.
ConstrucĠia cu echerul a tangentei dintr-un punct exterior la cerc
ConstrucĠia cu echerul a tangentei dintr-un punct exterior la cerc
constă conform Fig.12.30 în aúezarea echerului cu latura cea mai mare pe o
riglă care uneúte centrul cercului O cu punctul exterior cercului O2 astfel
riglă care uneúte centrul cercului O cu punctul exterior cercului O2 astfel
încât una din laturile echerului care formează unghiul drept să treacă prin
încât una din laturile echerului care formează unghiul drept să treacă prin
centrul cercului dat, după care echerul se translatează de-a lungul riglei
centrul cercului dat, după care echerul se translatează de-a lungul riglei
până când cea de a doua latură a echerului care formează unghiul drept
până când cea de a doua latură a echerului care formează unghiul drept
trece prin punctul O2 úi intersectează cercul într-un singur punct ( T ). Linia
trece prin punctul O2 úi intersectează cercul într-un singur punct ( T ). Linia
trasată de-a lungul acestei laturi a echerului este tangenta dintr-un punct
trasată de-a lungul acestei laturi a echerului este tangenta dintr-un punct
exterior la cerc căutată.
exterior la cerc căutată.
157
157
T
T
Tangenta
Tangenta
0
02
01
2
T
1
02
0
02
01
02
0
2
T
1
0
T’
T’
Fig. 12.29
Fig. 12.30
Fig. 12.29
Fig. 12.30
Dreapta (OO2) care uneúte centrul cercului (O) cu un punct exterior
Dreapta (OO2) care uneúte centrul cercului (O) cu un punct exterior
acestuia (O2) din care sunt duse tangente la cerc împarte unghiul format de
acestuia (O2) din care sunt duse tangente la cerc împarte unghiul format de
acestea în două părĠi egale (Fig.88).
acestea în două părĠi egale (Fig.88).
Coarda ( TT’ ) care uneúte punctele de tangenĠă ( T úi T’ ) la
R
01
0
intersecĠia (O1) cu dreapta OO2 formează un unghi drept (Fig.12.31).
R
intersecĠia (O1) cu dreapta OO2 formează un unghi drept (Fig.12.31).
Coarda ( TT’ ) care uneúte punctele de tangenĠă ( T úi T’ ) la
02
Fig. 12.31
0
Fig. 12.32
01
02
Fig. 12.31
Fig. 12.32
12.5.3 Tangente exterioare la două cercuri
12.5.3 Tangente exterioare la două cercuri
Pentru construcĠia tangentelor exterioare la două cercuri date de rază
Pentru construcĠia tangentelor exterioare la două cercuri date de rază
r úi R conforn Fig.12.32 se procedează astfel: din centrul O cu o rază R – r
r úi R conforn Fig.12.32 se procedează astfel: din centrul O cu o rază R – r
se trasează un cerc ajutător úi se construiesc tangentele din O la acest cerc
se trasează un cerc ajutător úi se construiesc tangentele din O’ la acest cerc
în punctele C úi D. În continuare se duc paralele la distanĠa r la aceste
în punctele C úi D. În continuare se duc paralele la distanĠa r la aceste
’
tangente ( AA úi BB’ ); acestea sunt tangentele exterioare la cercurile date.
tangente ( AA’ úi BB’ ); acestea sunt tangentele exterioare la cercurile date.
158
158
’
12.5.4 Tangente interioare la două cercuri
12.5.4 Tangente interioare la două cercuri
Pentru construcĠia tangentelor interioare la două cercuri date de rază
Pentru construcĠia tangentelor interioare la două cercuri date de rază
r úi R conforn Fig.12.33 se procedează astfel: din centrul O cu o rază R + r
r úi R conforn Fig.12.33 se procedează astfel: din centrul O cu o rază R + r
în punctele C úi D. În continuare se construiesc paralele la distanĠa r la
în punctele C úi D. În continuare se construiesc paralele la distanĠa r la
’
aceste tangente ( AA úi BB’ ); acestea sunt tangentele interioare la cercurile
aceste tangente ( AA’ úi BB’ ); acestea sunt tangentele interioare la cercurile
date.
date.
ConstrucĠia cu echerul a tangentelor interiore la două cercuri
ConstrucĠia cu echerul a tangentelor interiore la două cercuri
riglă care uneúte centrele cercurilor ( O úi O’ ) astfel încât una din laturile
riglă care uneúte centrele cercurilor ( O úi O’ ) astfel încât una din laturile
echerului care formează unghiul drept să treacă prin centrul O. În locul în
echerului care formează unghiul drept să treacă prin centrul O. În locul în
care această latură a echerului intersectează cercul (cu centrul în O) se
care această latură a echerului intersectează cercul (cu centrul în O) se
marchează punctul A. În continuare se translatează echerul de-a lungul
marchează punctul A. În continuare se translatează echerul de-a lungul
riglei până când aceeaúi latură a echerului trece prin centrul celui de al
riglei până când aceeaúi latură a echerului trece prin centrul celui de al
’
doilea cerc (O ) úi se marchează locul unde aceasta intersectează cercul
doilea cerc (O’) úi se marchează locul unde aceasta intersectează cercul
prin punctul A’. Unind punctele A cu A’ se obĠine tangenta interioară la cele
prin punctul A’. Unind punctele A cu A’ se obĠine tangenta interioară la cele
două cercuri.
două cercuri.
1
Fig. 12.33
2
1
3
Fig. 12.34
Fig. 12.33
2
3
Fig. 12.34
12.5.5 Cercuri tangente interior
12.5.5 Cercuri tangente interior
Pentru construcĠia a două cercuri tangente interioare date de rază R1
Pentru construcĠia a două cercuri tangente interioare date de rază R1
úi R2 conform Fig.12.35 se procedează astfel: se ia o dreaptă pe care se
úi R2 conform Fig.12.35 se procedează astfel: se ia o dreaptă pe care se
159
159
poziĠionează centrul O1; din acest punct cu raza R1 se trasează un cerc care
intersectează dreapta iniĠială în punctul T. Pe aceeaúi dreaptă úi de aceeaúi
intersectează dreapta iniĠială în punctul T. Pe aceeaúi dreaptă úi de aceeaúi
parte a punctului T se măsoară raza R2 obĠinându-se centrul celui de al
parte a punctului T se măsoară raza R2 obĠinându-se centrul celui de al
doilea cerc ( O2 ). Din acest punct se trasează un cerc cu raza R2 care se
doilea cerc ( O2 ). Din acest punct se trasează un cerc cu raza R2 care se
intersectează cu primul cerc într-un singur punct ( T ) care este punctul de
intersectează cu primul cerc într-un singur punct ( T ) care este punctul de
tangenĠă.
tangenĠă.
Dacă din punctul T se ridică o perpendiculară pe dreapta O1T se
obĠine tangenta comună la cele două cercuri.
R1
R2
T
R1
R2
Tangenta
01
Fig. 12.35
R1
R2
Tangenta
R1
02 01
Dacă din punctul T se ridică o perpendiculară pe dreapta O1T se
T
R2
02
T
R1
R2
Tangenta
R1
02 01
Fig. 12.36
Tangenta
01
Fig. 12.35
T
R2
02
Fig. 12.36
12.5.6 Cercuri tangente exterior
12.5.6 Cercuri tangente exterior
Pentru construcĠia a două cercuri tangente exterior date de rază R1 úi
Pentru construcĠia a două cercuri tangente exterior date de rază R1 úi
R2 conform Fig.12.36 se procedează astfel: se ia o dreaptă pe care se
R2 conform Fig.12.36 se procedează astfel: se ia o dreaptă pe care se
intersectează dreapta iniĠială în punctul T. Pe aceeaúi dreaptă dar de
intersectează dreapta iniĠială în punctul T. Pe aceeaúi dreaptă dar de
cealaltă parte a punctului T se măsoară raza R2 obĠinându-se centrul celui
cealaltă parte a punctului T se măsoară raza R2 obĠinându-se centrul celui
de al doilea cerc (O2). Din acest punct se trasează un cerc cu raza R2 care
de al doilea cerc (O2). Din acest punct se trasează un cerc cu raza R2 care
se intersectează cu primul cerc într-un singur punct ( T ) care este punctul
se intersectează cu primul cerc într-un singur punct ( T ) care este punctul
de tangenĠă.
de tangenĠă.
160
160
Dacă din punctul T se ridică o perpendiculară pe dreapta O1O2 se
Dacă din punctul T se ridică o perpendiculară pe dreapta O1O2 se
12.6 Cercuri concentrice
12.6 Cercuri concentrice
12.6.1 Cercuri concentrice interior
12.6.1 Cercuri concentrice interior
Pentru construcĠia unui cerc concentric interior cu cerc dat conform
Pentru construcĠia unui cerc concentric interior cu cerc dat conform
Fig.12.37 se procedează astfel: la cercul dat de rază R úi cu centrul în
punctul O se construiesc mai multe cercuri de rază r < R tangente interior
punctul O se construiesc mai multe cercuri de rază r < R tangente interior
la cercul dat. Unind centrele cercurilor de rază r se obĠine cercul cu centrul
în O de rază R – r concentric interior cu cercul dat.
în O de rază R – r concentric interior cu cercul dat.
12.6.2 Cercuri concentrice exterior
12.6.2 Cercuri concentrice exterior
Pentru construcĠia unui cerc concentric exterior cu cerc dat conform
Pentru construcĠia unui cerc concentric exterior cu cerc dat conform
punctul O se construiesc mai multe cercuri de rază r < R tangente exterior
punctul O se construiesc mai multe cercuri de rază r < R tangente exterior
în O de rază R + r concentric interior cu cercul dat.
în O de rază R + r concentric interior cu cercul dat.
Fig. 12.37
Fig. 12.38
161
Fig. 12.37
Fig. 12.38
161
13. RACORDARI
13. RACORDARI
Racordarea este operaĠia de legătură prin intermediul a unu sau
Racordarea este operaĠia de legătură prin intermediul a unu sau
două arce de cerc între: două linii, o linie úi un cerc, două cercuri.
Racordarea este operaĠia prin care două linii dintr-un plan sunt unite
printr-un arc de curbă tangent la fiecare dintre cele două linii [20].
două arce de cerc între: două linii, o linie úi un cerc, două cercuri.
Racordarea este operaĠia prin care două linii dintr-un plan sunt unite
printr-un arc de curbă tangent la fiecare dintre cele două linii [20].
Racordările au la baza construcĠiilor geometrice următoarea
Racordările au la baza construcĠiilor geometrice următoarea
proprietate pe care o are tangenta comună la două cercuri tangente:
proprietate pe care o are tangenta comună la două cercuri tangente:
tangenta este perpendiculară pe razele celor două cercuri în punctul de
tangenta este perpendiculară pe razele celor două cercuri în punctul de
contact, respectiv pe dreapta care uneúte centrele lor.
contact, respectiv pe dreapta care uneúte centrele lor.
Regulile racordărilor:
Regulile racordărilor:
x La racordarea unei drepte cu un arc de cerc, punctul de
x La racordarea unei drepte cu un arc de cerc, punctul de
racordare T se găseúte la intersecĠia perpendicularei trasate
racordare T se găseúte la intersecĠia perpendicularei trasate
din centrul cercului pe dreapta respectivă conform Fig.13.1;
din centrul cercului pe dreapta respectivă conform Fig.13.1;
x La racordarea a două cercuri sau arce de cerc, punctul de
x La racordarea a două cercuri sau arce de cerc, punctul de
racordare T se găseúte pe dreapta care uneúte centrele celor
racordare T se găseúte pe dreapta care uneúte centrele celor
două cercuri conform Fig.13.2.
două cercuri conform Fig.13.2.
0
0
T
T
90
90
01
T
01
02
Fig. 13.1
T
02
Fig. 13.2
Fig. 13.1
Fig. 13.2
13.1 Elementele racordării
13.1 Elementele racordării
Elementele racordării conform Fig.13.2 sunt:
Elementele racordării conform Fig.13.2 sunt:
x Centrul de racordare ( O ) este centrul arcului de racordare;
x Centrul de racordare ( O ) este centrul arcului de racordare;
x Punctul de racordare ( A ) este punctul de contact între elementele
x Punctul de racordare ( A ) este punctul de contact între elementele
ce se racordează;
ce se racordează;
162
162
x Arcul de racordare ( AB) este arcul de cerc cu care se execută
racordarea.
x Arcul de racordare ( AB) este arcul de cerc cu care se execută
racordarea.
A
Arc de
racordare
Centru de
racordare
0
B
A
Arc de
racordare
Punct de racordare Fig. 13.3
Centru de
racordare
0
B
Punct de racordare Fig. 13.3
13.2 Racordarea a două drepte
13.2 Racordarea a două drepte
13.2.1 Racordarea a două drepte cu un arc de cerc de rază dată
13.2.1 Racordarea a două drepte cu un arc de cerc de rază dată
13.2.1.1 Metoda paralelelor
13.2.1.1 Metoda paralelelor
Pentru racordarea a două drepte (ǻ1) úi (ǻ2) cu un arc de racordare de
rază dată R conform Fig.13.4 se procedează astfel: se trasează câte o
rază dată R conform Fig.13.4 se procedează astfel: se trasează câte o
paralelă la dreptele (ǻ1) úi (ǻ2), la o distanĠă R, la intersecĠia lor
paralelă la dreptele (ǻ1) úi (ǻ2), la o distanĠă R, la intersecĠia lor
determinându-se centrul de racordare O din care se ridică câte o
determinându-se centrul de racordare O din care se ridică câte o
perpendiculară pe cele două drepte pe care le intersectează în punctele A
perpendiculară pe cele două drepte pe care le intersectează în punctele A
respectiv B rezultând punctele de racordare. În continuare cu vârful
respectiv B rezultând punctele de racordare. În continuare cu vârful
compasului în O úi cu o rază R = OA = OB se trasează arcul de racordare
compasului în O úi cu o rază R = OA = OB se trasează arcul de racordare
AB căutat.
AB căutat.
Fig. 13.4
Fig. 13.5
163
Fig. 13.4
Fig. 13.5
163
13.2.1.2 Metoda bisectoarei
13.2.1.2 Metoda bisectoarei
rază dată R conform Fig.13.5 se procedează astfel: se împarte unghiul
rază dată R conform Fig.13.5 se procedează astfel: se împarte unghiul
format de cele două drepte în părĠi egale úi se trasează bisectoarea după
format de cele două drepte în părĠi egale úi se trasează bisectoarea după
care se trasează o paralelă la una din cele două drepte la distanĠa R. În locul
care se trasează o paralelă la una din cele două drepte la distanĠa R. În locul
de intersecĠie al paralelei cu bisectoarea rezultă punctul O numit úi centru
de intersecĠie al paralelei cu bisectoarea rezultă punctul O numit úi centru
de racordare. În continuare se trasează din punctul O câte o perpendiculară
de racordare. În continuare se trasează din punctul O câte o perpendiculară
pe cele două drepte iniĠiale în punctele A respectiv B numite úi puncte de
pe cele două drepte iniĠiale în punctele A respectiv B numite úi puncte de
racordare, după care cu vârful compasului în O úi cu o rază R=OA=OB se
racordare, după care cu vârful compasului în O úi cu o rază R=OA=OB se
trasează arcul de racordare AB.
trasează arcul de racordare AB.
13.2.2 Racordarea a două drepte cu un arc de cerc fiind dat unul
din punctele de racordare
13.2.2 Racordarea a două drepte cu un arc de cerc fiind dat unul
Pentru racordarea a două drepte (ǻ1) úi (ǻ2) cu un arc de cerc fiind
Pentru racordarea a două drepte (ǻ1) úi (ǻ2) cu un arc de cerc fiind
dat unul din punctele de racordare (punctul B) conform Fig.13.6 se
dat unul din punctele de racordare (punctul B) conform Fig.13.6 se
procedează astfel: se prelungesc dreptele (ǻ1) úi (ǻ2) până se intersectează
procedează astfel: se prelungesc dreptele (ǻ1) úi (ǻ2) până se intersectează
în punctul A, după care se trasează bisectoarea unghiului format de cele
în punctul A, după care se trasează bisectoarea unghiului format de cele
două drepte. În continuare se ridică o perpendiculară pe dreapta (ǻ1) în
două drepte. În continuare se ridică o perpendiculară pe dreapta (ǻ1) în
punctul B până se intersectează cu bisectoarea trasată anterior rezultând
punctul B până se intersectează cu bisectoarea trasată anterior rezultând
punctul O care este centrul de racordare. Din punctul O se duce o
punctul O care este centrul de racordare. Din punctul O se duce o
perpendiculară pe dreapta (ǻ2) iar piciorul acesteia se notează cu C, care
perpendiculară pe dreapta (ǻ2) iar piciorul acesteia se notează cu C, care
este cel de al doilea punct de racordare. În continuare cu vârful compasului
este cel de al doilea punct de racordare. În continuare cu vârful compasului
în punctul O úi cu raza R = OB = OC se trasează un arc de cerc din punctul
în punctul O úi cu raza R = OB = OC se trasează un arc de cerc din punctul
B până în punctul C, arcul AB fiind arcul de racordare căutat pentru
B până în punctul C, arcul AB fiind arcul de racordare căutat pentru
racordarea dreptelor (ǻ1) úi (ǻ2).
racordarea dreptelor (ǻ1) úi (ǻ2).
164
164
Fig. 13.6
13.2.3 Racordarea a două drepte paralele cu un arc de cerc fiind
date punctele de racordare
Fig. 13.6
13.2.3 Racordarea a două drepte paralele cu un arc de cerc fiind
Pentru racordarea a două drepte paralele (ǻ1) úi (ǻ2) cu un arc de
Pentru racordarea a două drepte paralele (ǻ1) úi (ǻ2) cu un arc de
cerc conform Fig.13.7 se procedează astfel: se aleg punctele de racordare A
cerc conform Fig.13.7 se procedează astfel: se aleg punctele de racordare A
pe dreapta (ǻ1) úi B pe dreapta (ǻ2), după care se duce dreapta (ǻ’1) paralelă
pe dreapta (ǻ1) úi B pe dreapta (ǻ2), după care se duce dreapta (ǻ’1) paralelă
la dreapta (ǻ1) la distanĠa R = AB. În continuare din punctul B se duce un
la dreapta (ǻ1) la distanĠa R = AB. În continuare din punctul B se duce un
arc de cerc cu raza R = AB care intersectează dreapta (ǻ’1) în punctul O
arc de cerc cu raza R = AB care intersectează dreapta (ǻ’1) în punctul O
numit centru de racordare. Din acest punct O, cu aceeaúi rază R = AB se
numit centru de racordare. Din acest punct O, cu aceeaúi rază R = AB se
trasează un arc de cerc care uneúte punctele de racordare A úi B rezultând
trasează un arc de cerc care uneúte punctele de racordare A úi B rezultând
arcul de racordare AB căutat.
Caz particular: unul din punctele de racordare (B) conform Fig.13.8 poate
Caz particular: unul din punctele de racordare (B) conform Fig.13.8 poate
să fie un punct al unei muchii; este cel mai frecvent caz întâlnit în practica
să fie un punct al unei muchii; este cel mai frecvent caz întâlnit în practica
construcĠiilor de maúini la strunjitra suprafeĠelor. ConstrucĠia este
construcĠiilor de maúini la strunjitra suprafeĠelor. ConstrucĠia este
asemănătoare cazului prezentat anterior (Fig.13.7).
Fig. 13.7
165
Fig. 13.7
165
Fig. 13.8
13.2.4 Racordarea a două drepte perpendiculare cu un arc de
cerc de rază dată
Fig. 13.8
13.2.4 Racordarea a două drepte perpendiculare cu un arc de
cerc de rază dată
Pentru racordarea a două drepte perpendiculare (ǻ1) úi (ǻ2) cu un arc
Pentru racordarea a două drepte perpendiculare (ǻ1) úi (ǻ2) cu un arc
de racordare de rază dată R conform Fig.13.9 se procedează astfel: cu
de racordare de rază dată R conform Fig.13.9 se procedează astfel: cu
vârful compasului în punctul de intersecĠie P úi cu raza R se trasează arce
vârful compasului în punctul de intersecĠie P úi cu raza R se trasează arce
de cerc care intersectează dreptele în punctele A respectiv B care sunt
de cerc care intersectează dreptele în punctele A respectiv B care sunt
centrele de racordare. În continuare cu aceeaúi rază R din punctele A úi B se
centrele de racordare. În continuare cu aceeaúi rază R din punctele A úi B se
duce câte un arc de cerc care se intersectează în punctul O numit centru de
duce câte un arc de cerc care se intersectează în punctul O numit centru de
racordare. Din punctul O úi cu o rază R = OA = OB se trasează arcul de
racordare. Din punctul O úi cu o rază R = OA = OB se trasează arcul de
racordare AB căutat.
racordare AB căutat.
Fig. 13.9
Fig. 13.10
166
Fig. 13.9
Fig. 13.10
166
13.2.5 Racordarea a două drepte paralele prin două arce de cerc
13.2.5 Racordarea a două drepte paralele prin două arce de cerc
fiind date punctele de racordare
Pentru racordarea a două drepte paralele (ǻ1) úi (ǻ2) prin două arce
Pentru racordarea a două drepte paralele (ǻ1) úi (ǻ2) prin două arce
de cerc fiind date punctele de racordare A1 úi A2 conform Fig.13.10 se
de cerc fiind date punctele de racordare A1 úi A2 conform Fig.13.10 se
procedează astfel: se trasează dreapta A1A2 pe care se alege un punct
procedează astfel: se trasează dreapta A1A2 pe care se alege un punct
oarecare A3, după care se ridică mediatoarele segmentelor A1A2 úi A2A3 de o
oarecare A3, după care se ridică mediatoarele segmentelor A1A2 úi A2A3 de o
parte úi de alta a dreptei în sens invers. În continuare se ridică
parte úi de alta a dreptei în sens invers. În continuare se ridică
perpendiculare în punctul A1 pe dreapta (ǻ1) úi în punctul A2 pe dreapta
perpendiculare în punctul A1 pe dreapta (ǻ1) úi în punctul A2 pe dreapta
(ǻ2) care intersectează mediatoarele în centrele de racordare O1 úi O2 . Din
(ǻ2) care intersectează mediatoarele în centrele de racordare O1 úi O2 . Din
punctul O1 cu raza R1=O1A1 se trasează arcul de racordare A1A3, iar din
punctul O1 cu raza R1=O1A1 se trasează arcul de racordare A1A3, iar din
punctul O2 cu raza R2=O2A2 se trasează arcul de racordare A2A3, acestea
punctul O2 cu raza R2=O2A2 se trasează arcul de racordare A2A3, acestea
fiind arcele de racordare căutate pentru racordarea celor două drepte
fiind arcele de racordare căutate pentru racordarea celor două drepte
paralele.
paralele.
13.2.6 Racordarea a două perechi de drepte paralele egal
13.2.6 Racordarea a două perechi de drepte paralele egal
depărtate între ele prin două arce de cerc fiind date
depărtate între ele prin două arce de cerc fiind date
punctele de racordare
punctele de racordare
Pentru racordarea a două perechi de drepte paralele egal depărtate între
Pentru racordarea a două perechi de drepte paralele egal depărtate între
ele (ǻ1)úi (ǻ2) cu (ǻ’1) úi (ǻ’ 2) prin două arce de cerc fiind date două puncte
ele (ǻ1)úi (ǻ2) cu (ǻ’1) úi (ǻ’ 2) prin două arce de cerc fiind date două puncte
de racordare C1 úi C2 conform Fig.13.11 se procedează astfel: se trasează
de racordare C1 úi C2 conform Fig.13.11 se procedează astfel: se trasează
iniĠial dreapta C1C2, după care se determină mijlocul acesteia prin
iniĠial dreapta C1C2, după care se determină mijlocul acesteia prin
construcĠia punctului C3; în continuare se ridică mediatoarele segmentelor
construcĠia punctului C3; în continuare se ridică mediatoarele segmentelor
C1C2 úi C2C3 în sens invers rezultând punctele A respectiv B. Din punctele
C1C2 úi C2C3 în sens invers rezultând punctele A respectiv B. Din punctele
C1 úi C2 se ridică perpendiculare care intersectează mediatoarele în centrele
C1 úi C2 se ridică perpendiculare care intersectează mediatoarele în centrele
de racordare O1 úi O2. Perpendiculara ridicată din punctul C1 pe dreapta
de racordare O1 úi O2. Perpendiculara ridicată din punctul C1 pe dreapta
’
’
(ǻ1) intersectează paralela (ǻ 1) în C 1 iar prelungirea perpendicularei în C2
(ǻ1) intersectează paralela (ǻ’1) în C’1 iar prelungirea perpendicularei în C2
pe dreapta (ǻ2) intersectează dreapta (ǻ’2) în C’2. În continuare se unesc
pe dreapta (ǻ2) intersectează dreapta (ǻ’2) în C’2. În continuare se unesc
punctele C’1 cu C’2 rezultând dreapta C’1C’2 úi O1 cu O2 rezultând dreapta
punctele C’1 cu C’2 rezultând dreapta C’1C’2 úi O1 cu O2 rezultând dreapta
167
167
O1O2 care se intersectează în punctul C’3. Din punctul O1 cu raza egală cu
O1O2 care se intersectează în punctul C’3. Din punctul O1 cu raza egală cu
O1C1 se trasează arcul de cerc C1C3 iar din O2 cu raza egală cu O2C2 se
O1C1 se trasează arcul de cerc C1C3 iar din O2 cu raza egală cu O2C2 se
trasează arcul de cerc C2C3 , arce prin care se racordează paralele (ǻ1)úi
trasează arcul de cerc C2C3 , arce prin care se racordează paralele (ǻ1)úi
(ǻ2). Din punctul O1 cu raza egală cu O1C’1 se trasează arcul de cerc C’1C’3
(ǻ2). Din punctul O1 cu raza egală cu O1C’1 se trasează arcul de cerc C’1C’3
iar din O2 cu raza egală cu O2C’2 se trasează arcul de cerc C’2C’3, arce prin
iar din O2 cu raza egală cu O2C’2 se trasează arcul de cerc C’2C’3, arce prin
care se racordează dreptele paralele (ǻ’1) úi (ǻ’ 2) care sunt paralele cu
care se racordează dreptele paralele (ǻ’1) úi (ǻ’ 2) care sunt paralele cu
dreptele (ǻ1)úi (ǻ2).
dreptele (ǻ1)úi (ǻ2).
Fig.13.11
Fig.13.12
Fig.13.11
Fig.13.12
13.3 Racordarea unei drepte cu un cerc dat
13.3 Racordarea unei drepte cu un cerc dat
13.3.1 Racordarea unei drepte cu un cerc de rază dată
13.3.1 Racordarea unei drepte cu un cerc de rază dată
Pentru racordarea unei drepte cu un cerc de rază dată R conform
Pentru racordarea unei drepte cu un cerc de rază dată R conform
Fig.13.12 se procedează astfel: se trasează o paralelă (ǻ1) la dreapta (ǻ) la
Fig.13.12 se procedează astfel: se trasează o paralelă (ǻ1) la dreapta (ǻ) la
o distanĠă egală cu valoarea razei R, după care din centrul cercului O1 se
o distanĠă egală cu valoarea razei R, după care din centrul cercului O1 se
trasează un arc de cerc cu raza egală cu R1+R care intersectează dreapta
trasează un arc de cerc cu raza egală cu R1+R care intersectează dreapta
(ǻ1) în punctul O numit úi centru de racordare. În continuare din punctul O
(ǻ1) în punctul O numit úi centru de racordare. În continuare din punctul O
se duce o perpendiculară pe dreapta (ǻ) rezultând punctul de racordare B
se duce o perpendiculară pe dreapta (ǻ) rezultând punctul de racordare B
iar unind punctul O cu O1 dreapta rezultată intersectează cercul în punctul
iar unind punctul O cu O1 dreapta rezultată intersectează cercul în punctul
de racordare A. În final cu vârful compasului în O úi cu deschiderea egală
de racordare A. În final cu vârful compasului în O úi cu deschiderea egală
cu raza R se trasează un arc de cerc care uneúte punctele A úi B rezultând
cu raza R se trasează un arc de cerc care uneúte punctele A úi B rezultând
168
168
13.3.2. Racordarea unei drepte cu un cerc fiind dat punctul de
racordare de pe dreaptă
Pentru racordarea unei drepte (ǻ) cu un cerc de rază oarecare R1
fiind dat punctul de racordare de pe dreapta A conform Fig.13.13 se
fiind dat punctul de racordare de pe dreapta A conform Fig.13.13 se
procedează astfel: se ridică o perpendiculară pe dreapta (ǻ) în punctual A
procedează astfel: se ridică o perpendiculară pe dreapta (ǻ) în punctual A
pe care se trasează segmental AB=R1 úi se uneúte punctul B astfel
pe care se trasează segmental AB=R1 úi se uneúte punctul B astfel
determinat cu centrul cercului O1. Din punctul A se duce o perpendiculară
determinat cu centrul cercului O1. Din punctul A se duce o perpendiculară
la AB care intersectează cercul în punctul de racordare C. Unind punctul O1
la AB care intersectează cercul în punctul de racordare C. Unind punctul O1
cu C rezultă dreapta O1C care prelungită se intersectează cu prelungirea
cu C rezultă dreapta O1C care prelungită se intersectează cu prelungirea
perpendicularei AB în centrul de racordare O2. Cu centrul în punctul O2 úi
perpendicularei AB în centrul de racordare O2. Cu centrul în punctul O2 úi
cu raza R = O2A se descrie arcul de racordare AC care racordează dreapta
cu raza R = O2A se descrie arcul de racordare AC care racordează dreapta
(ǻ) cu cercul dat.
(ǻ) cu cercul dat.
Fig.13.13
Fig.13.14
13.3.3 Racordarea unei drepte cu un cerc fiind dat punctul de
racordare de pe cerc
Fig.13.13
Fig.13.14
13.3.3 Racordarea unei drepte cu un cerc fiind dat punctul de
fiind dat punctul de racordare A de pe cerc se procedează conform
fiind dat punctul de racordare A de pe cerc se procedează conform
Fig.13.14 astfel: se construieúte tangenta în punctul A la cercul cu centrul
Fig.13.14 astfel: se construieúte tangenta în punctul A la cercul cu centrul
în O1 úi de rază R1 care se intersectează cu prelungirea dreptei (ǻ) în
în O1 úi de rază R1 care se intersectează cu prelungirea dreptei (ǻ) în
punctul B. Se construieúte bisectoarea unghiului format de dreapta (ǻ) úi
punctul B. Se construieúte bisectoarea unghiului format de dreapta (ǻ) úi
169
169
tangenta la cerc care se intersectează cu prelungirea razei O1A în centrul de
tangenta la cerc care se intersectează cu prelungirea razei O1A în centrul de
racordare O2. Din punctul O2 se coboară o perpendiculară pe dreapta (ǻ)
racordare O2. Din punctul O2 se coboară o perpendiculară pe dreapta (ǻ)
rezultând punctul de racordare C. Cu vârful compasului în O2 se descrie un
rezultând punctul de racordare C. Cu vârful compasului în O2 se descrie un
arc de cerc cu raza R2=O2C care este arcul de cerc care racordează dreapta
arc de cerc cu raza R2=O2C care este arcul de cerc care racordează dreapta
(ǻ) cu cercul dat.
(ǻ) cu cercul dat.
13.3.4 Racordarea unei drepte cu un cerc printr-un arc de cerc
tangent exterior într-un punct dat de pe cerc
printr-un arc de cerc de rază dată R tangent exterior la punctul B dat pe
printr-un arc de cerc de rază dată R tangent exterior la punctul B dat pe
cerc conform Fig.13.15 se procedează astfel: se trasează o paralelă (ǻ1) la
dreapta (ǻ) la distanĠa dată R după care din punctul O1 se trasează un arc
de cerc cu raza egală cu R+r care intersectează paralela în centrul de
de cerc cu raza egală cu R+r care intersectează paralela în centrul de
racordare O. Coborând o perpendiculară din O pe dreapta (ǻ) se obĠine
punctul de racordare A de pe dreaptă iar unind punctul O cu O1; dreapta
punctul de racordare A de pe dreaptă iar unind punctul O cu O1; dreapta
OO1 intersectează cercul în punctul de racordare B. Cu centrul în O úi cu
OO1 intersectează cercul în punctul de racordare B. Cu centrul în O úi cu
raza egală cu R se trasează arcul de racordare AB care racordează dreapta
raza egală cu R se trasează arcul de racordare AB care racordează dreapta
(ǻ) cu cercul dat printr-un arc de cerc tangent exterior într-un punct dat de
(ǻ) cu cercul dat printr-un arc de cerc tangent exterior într-un punct dat de
pe cerc.
pe cerc.
r
Pentru racordarea unei drepte (ǻ) cu un cerc dat de rază oarecare r
r
r
Fig. 13.15
Fig. 13.16
170
r
Fig. 13.15
Fig. 13.16
170
Caz particular: unul din punctele de racordare (A) conform Fig.13.16
Caz particular: unul din punctele de racordare (A) conform Fig.13.16
poate să fie un punct al unei muchii; este cazul frecvent întâlnit în practica
poate să fie un punct al unei muchii; este cazul frecvent întâlnit în practica
construcĠiilor de maúini la strunjitra articulaĠiilor sferice. ConstrucĠia este
construcĠiilor de maúini la strunjitra articulaĠiilor sferice. ConstrucĠia este
tangent interior într-un punct dat de pe cerc
printr-un arc de cerc de rază dată R tangent interior la punctul B dat pe
printr-un arc de cerc de rază dată R tangent interior la punctul B dat pe
de cerc cu raza egală cu R-r care intersectează paralela în centrul de
de cerc cu raza egală cu R-r care intersectează paralela în centrul de
punctul de racordare A de pe dreaptă iar unind punctul O cu O1,
punctul de racordare A de pe dreaptă iar unind punctul O cu O1,
prelungirea dreaptei OO1 intersectează cercul în punctul de racordare B. Cu
prelungirea dreaptei OO1 intersectează cercul în punctul de racordare B. Cu
centrul în O úi cu raza egală cu R se trasează arcul de racordare AB care
centrul în O úi cu raza egală cu R se trasează arcul de racordare AB care
racordează dreapta (ǻ) cu cercul dat printr-un arc de cerc tangent interior
racordează dreapta (ǻ) cu cercul dat printr-un arc de cerc tangent interior
într-un punct dat de pe cerc.
într-un punct dat de pe cerc.
r
r
Fig. 13.17
Fig. 13.17
171
171
13.4 Racordarea a două cercuri
13.4 Racordarea a două cercuri
13.4.1 Racordarea a două cercuri cu un arc de cerc de rază dată
tangent exterior la cercurile date
Pentru racordarea a două cercuri ( cercul O1 de rază r’ úi cercul O2 de
rază r ) cu un arc de cerc (racordare) dat de rază R tangent exterior la cele
rază r ) cu un arc de cerc (racordare) dat de rază R tangent exterior la cele
două cercuri conform Fig.13.18 se procedează astfel: din punctul O1 se
’
trasează un arc de cerc cu raza R+r iar din punctul O2 se trasează un alt
trasează un arc de cerc cu raza R+r’ iar din punctul O2 se trasează un alt
arc de cerc cu raza R+r care se intersectează în centrul de racordare O.
arc de cerc cu raza R+r care se intersectează în centrul de racordare O.
Unind punctul O cu O2 rezultă punctul de racordare A iar unind punctul O
Unind punctul O cu O2 rezultă punctul de racordare A iar unind punctul O
cu O1 rezultă punctul de racordare B. În continuare cu centrul în O úi cu
cu O1 rezultă punctul de racordare B. În continuare cu centrul în O úi cu
raza egală cu R se trasează arcul de racordare AB care racordează cercurile
raza egală cu R se trasează arcul de racordare AB care racordează cercurile
O1 úi O2 în punctele A úi B úi este tangent exterior la cercurile date.
O1 úi O2 în punctele A úi B úi este tangent exterior la cercurile date.
r
r
r’
r
r’
r
r’
r’
Fig. 13.18
Fig. 13.19
tangent interior la cercurile date
Fig. 13.18
Fig. 13.19
’
Pentru racordarea a două cercuri ( cercul O1 de rază r úi cercul O2 de
rază r ) cu un arc de cerc (racordare) dat de rază R tangent interior la cele
rază r ) cu un arc de cerc (racordare) dat de rază R tangent interior la cele
trasează un arc de cerc cu raza R-r’ iar din punctul O2 se trasează un alt arc
trasează un arc de cerc cu raza R-r’ iar din punctul O2 se trasează un alt arc
de cerc cu raza R-r care se intersectează în centrul de racordare O. Unind
de cerc cu raza R-r care se intersectează în centrul de racordare O. Unind
172
172
punctul O cu O2 úi prelungind dreapta OO2 aceasta intersectează cercul O2
punctul O cu O2 úi prelungind dreapta OO2 aceasta intersectează cercul O2
în punctul de racordare A iar unind punctul O cu O1 úi prelungind dreapta
în punctul de racordare A iar unind punctul O cu O1 úi prelungind dreapta
OO1 aceasta intersectează cercul O2 în punctul de racordare B. În
OO1 aceasta intersectează cercul O2 în punctul de racordare B. În
continuare cu centrul în O úi cu raza egală cu R se trasează arcul de
continuare cu centrul în O úi cu raza egală cu R se trasează arcul de
racordare AB care racordează cercurile O1 úi O2 în punctele A úi B úi este
racordare AB care racordează cercurile O1 úi O2 în punctele A úi B úi este
tangent interior la cercurile date.
tangent interior la cercurile date.
13.4.3 Racordarea a două cercuri cu un arc de cerc de rază
dată, tangent interior la unul úi exterior la celălalt cerc
13.4.3 Racordarea a două cercuri cu un arc de cerc de rază
dată, tangent interior la unul úi exterior la celălalt cerc
rază r ) cu un arc de cerc (racordare) dat de rază R tangent interior la unul
rază r ) cu un arc de cerc (racordare) dat de rază R tangent interior la unul
úi exterior la celălalt se procedează conform Fig.13.20 astfel: din punctul
úi exterior la celălalt se procedează conform Fig.13.20 astfel: din punctul
O1 se trasează un arc de cerc cu raza R+ r iar din punctul O2 se trasează un
O1 se trasează un arc de cerc cu raza R+ r iar din punctul O2 se trasează un
’
alt arc de cerc cu raza R- r care se intersectează în centrul de racordare O.
alt arc de cerc cu raza R- r’care se intersectează în centrul de racordare O.
Unind punctul O cu O2 úi prelungind dreapta OO2 aceasta intersectează
Unind punctul O cu O2 úi prelungind dreapta OO2 aceasta intersectează
cercul O2 în punctul de racordare A iar unind punctul O cu O1 dreapta OO1
cercul O2 în punctul de racordare A iar unind punctul O cu O1 dreapta OO1
intersectează cercul O1 în punctul de racordare B. În continuare cu centrul
intersectează cercul O1 în punctul de racordare B. În continuare cu centrul
în O úi cu raza egală cu R se trasează arcul de racordare AB care racordează
în O úi cu raza egală cu R se trasează arcul de racordare AB care racordează
cercurile O1 úi O2 în punctele A úi B tangent interior la unul úi tangent
cercurile O1 úi O2 în punctele A úi B tangent interior la unul úi tangent
exterior la celălalt.
exterior la celălalt.
r
r
r’
r’
Fig. 13.20
173
Fig. 13.20
173
14. CURBE
14. CURBE
14.1 Curbe plane
14.1 Curbe plane
14.1.1 Curbe definite prin arce de cerc
14.1.1 Curbe definite prin arce de cerc
14.1.1.1 ConstrucĠia ovoidului când se cunoaúte axa mică
14.1.1.1 ConstrucĠia ovoidului când se cunoaúte axa mică
Curba ovoid este o curbă plană închisă definită de arce de cerc
Curba ovoid este o curbă plană închisă definită de arce de cerc
racordate úi cu centrele situate pe două axe (axa mică úi axa mare) a cărei
racordate úi cu centrele situate pe două axe (axa mică úi axa mare) a cărei
formă este asemănătoare cu secĠiunea centrală a unui ou.
formă este asemănătoare cu secĠiunea centrală a unui ou.
Obs: a nu se confunda cu ovoidul ca úi corp solid care are forma unui ou.
Obs: a nu se confunda cu ovoidul ca úi corp solid care are forma unui ou.
Pentru construcĠia ovoidului atunci când se cunoaúte axa mică
conform Fig.14.1 se procedează astfel: fiind dată axa mică
AA1 se
Pentru construcĠia ovoidului atunci când se cunoaúte axa mică
conform Fig.14.1 se procedează astfel: fiind dată axa mică
AA1 se
determină punctul O ca fiind mijlocul acesteia din care se ridică o
determină punctul O ca fiind mijlocul acesteia din care se ridică o
perpendiculară de o parte úi de alta a acesteia reprezentând axa mare. Din
perpendiculară de o parte úi de alta a acesteia reprezentând axa mare. Din
punctul O cu raza r = OA = OA1 se duce un cerc care intersectează axa
punctul O cu raza r = OA = OA1 se duce un cerc care intersectează axa
mare în punctele B úi B1 astfel arcul ABA1 formează un prim arc de cerc a
mare în punctele B úi B1 astfel arcul ABA1 formează un prim arc de cerc a
curbei ovoid, după care din punctele de racordare A úi A1 se duc arce de
curbei ovoid, după care din punctele de racordare A úi A1 se duc arce de
cerc cu raza R = AA1 de cealaltă parte parte a axei mici. Unind punctele A
cerc cu raza R = AA1 de cealaltă parte parte a axei mici. Unind punctele A
cu B1 úi A1 cu B1 úi prelungind dreptele astfel obĠinute până intersectează
cu B1 úi A1 cu B1 úi prelungind dreptele astfel obĠinute până intersectează
arcele de cerc anterior construite se obĠin punctele de racordare C úi C1.
arcele de cerc anterior construite se obĠin punctele de racordare C úi C1.
Din centrul de racordare B1 úi cu raza r’ = B1C = B1C1 se trasează un arc
Din centrul de racordare B1 úi cu raza r’ = B1C = B1C1 se trasează un arc
(cerc) de racordare la arcele de cerc construite anterior. Figura formată din
(cerc) de racordare la arcele de cerc construite anterior. Figura formată din
arcele de cerc ABA1, A1 C, CC1 úi CA reprezintă curba ovoid căutată.
arcele de cerc ABA1, A1 C, CC1 úi CA reprezintă curba ovoid căutată.
B
B
A1
A
0
A
0
A
A1
B1
C
A1
A
A1
B1
Fig. 14.1
C1
174
C
Fig. 14.1
C1
174
14.1.1.2 ConstrucĠia ovalului când se cunoaúte axa mare
14.1.1.2 ConstrucĠia ovalului când se cunoaúte axa mare
Ovalul este curba convexă închisă care are o axă de simetrie úi curba
Ovalul este curba convexă închisă care are o axă de simetrie úi curba
maximă în punctul de pe axă.
maximă în punctul de pe axă.
Curba convexă este curba a cărei formă reprezintă în secĠiune dosul
Curba convexă este curba a cărei formă reprezintă în secĠiune dosul
unei scobituri / este arcul de curbă faĠă de care un punct este situat într-o
unei scobituri / este arcul de curbă faĠă de care un punct este situat într-o
parte a curbei opusă celei a punctelor faĠă de care arcul este concav.
parte a curbei opusă celei a punctelor faĠă de care arcul este concav.
Curba concavă conform Fig.14.2 este definită prin calitatea unui arc
Curba concavă conform Fig.14.2 este definită prin calitatea unui arc
de curbă, faĠă de un punct exterior A, de a avea, între două puncte P1 úi P2
de curbă, faĠă de un punct exterior A, de a avea, între două puncte P1 úi P2
de pe el, o coardă care să fie intersectată de segmentul de dreaptă care
de pe el, o coardă care să fie intersectată de segmentul de dreaptă care
uneúte punctul A cu orice punct P de pe arc dintre P1 úi P2, într-un punct M
uneúte punctul A cu orice punct P de pe arc dintre P1 úi P2, într-un punct M
situat între A úi P.
situat între A úi P.
A1
A
P1
P
M
P1
0’3
C2
0
C’2
P2
01
C2
A1
P
M
Fig. 14.3
C1
02
AA
0
C’2
C’1
03
Fig. 14.2
0’3
C1
02
AA
A1
A
P2
01
A1
C’1
03
Fig. 14.2
Fig. 14.3
Pentru construcĠia ovalului atunci când se cunoaúte axa mare,
Pentru construcĠia ovalului atunci când se cunoaúte axa mare,
conform Fig.14.3, se procedează astfel: fiind dată axa mare AA1 aceasta se
conform Fig.14.3, se procedează astfel: fiind dată axa mare AA1 aceasta se
împarte în patru părĠi rezultând punctele O, O1 úi O2. Din punctele O1 úi O2
împarte în patru părĠi rezultând punctele O, O1 úi O2. Din punctele O1 úi O2
se trasează câte un cerc cu raza r = O1 A1 = O2 A = OO1 = OO2, cercuri ce
se trasează câte un cerc cu raza r = O1 A1 = O2 A = OO1 = OO2, cercuri ce
sunt tangente în punctul O. Din aceleaúi puncte O1 úi O2 se trasează de o
sunt tangente în punctul O. Din aceleaúi puncte O1 úi O2 se trasează de o
parte úi de alta a axei mari două cerce de cerc cu raza R = O1 O2 care se
parte úi de alta a axei mari două cerce de cerc cu raza R = O1 O2 care se
175
175
intersectează în punctele O3 úi O4 (centre de racordare). Prelungiind
intersectează în punctele O3 úi O4 (centre de racordare). Prelungiind
dreptele ce unesc centrul O1 cu O3 úi O4 acestea intersectează cercul în
dreptele ce unesc centrul O1 cu O3 úi O4 acestea intersectează cercul în
punctele C1 úi C1’ iar prelungind dreptele ce unesc centrul O2 cu O3 úi O4
punctele C1 úi C1’ iar prelungind dreptele ce unesc centrul O2 cu O3 úi O4
acestea intersectează cel de al doilea cerc în punctele C2 úi C2’ obĠinând
acestea intersectează cel de al doilea cerc în punctele C2 úi C2’ obĠinând
astfel punctele de racordare C1, C1’, C2 úi C2’.
astfel punctele de racordare C1, C1’, C2 úi C2’.
Din punctele O3 úi O4 se trasează arcele C1’ C2’ úi C1C2 care racordează
Din punctele O3 úi O4 se trasează arcele C1’ C2’ úi C1C2 care racordează
arcele de cerc C1’A1C1 úi C2’AC2 obĠinând astfel ovalul căutat.
arcele de cerc C1’A1C1 úi C2’AC2 obĠinând astfel ovalul căutat.
14.1.1.3 ConstrucĠia ovalului când se cunosc axele
14.1.1.3 ConstrucĠia ovalului când se cunosc axele
Pentru construcĠia ovalului atunci când se cunosc cele două axe (AA1
úi BB1) conform Fig.14.4 se procedează astfel: din punctul O (prin care s-a
úi BB1) conform Fig.14.4 se procedează astfel: din punctul O (prin care s-a
notat punctul de intersecĠie a axelor perpendiculare AA1 úi BB1 situat la
notat punctul de intersecĠie a axelor perpendiculare AA1 úi BB1 situat la
mijlocul celor două axe) se trasează un cerc cu raza R = OA = OB care
mijlocul celor două axe) se trasează un cerc cu raza R = OA = OB care
intersectează prelungirea axei mici BB1 în punctele D úi E. Din punctul B
intersectează prelungirea axei mici BB1 în punctele D úi E. Din punctul B
se trasează un arc de cerc cu raza r = BD care intersectează dreptele AB úi
se trasează un arc de cerc cu raza r = BD care intersectează dreptele AB úi
A1B în punctele F respectiv G, după care pe dreptele AF úi A1G la mijlocul
A1B în punctele F respectiv G, după care pe dreptele AF úi A1G la mijlocul
acestora se ridică perpendiculare de o parte úi de alta a acestora
acestora se ridică perpendiculare de o parte úi de alta a acestora
intersectând axa mare în punctele O1 úi O2, iar axa mică în punctul O3
intersectând axa mare în punctele O1 úi O2, iar axa mică în punctul O3
respectiv O4 (pentru o construcĠie similară celei din punctul B în punctul
respectiv O4 (pentru o construcĠie similară celei din punctul B în punctul
B1). În continuare se procedează la construcĠia ovalului prin arce de cerc
B1). În continuare se procedează la construcĠia ovalului prin arce de cerc
construind din punctele O1 úi O2 cu raza O1A = O2A arce de cerc care
construind din punctele O1 úi O2 cu raza O1A = O2A arce de cerc care
intersectează perpendicularele ridicate anterior în punctele de racordare C1,
intersectează perpendicularele ridicate anterior în punctele de racordare C1,
C’1 respective C2, C’2, după care din centrele de racordare O3 úi O4 se
C’1 respective C2, C’2, după care din centrele de racordare O3 úi O4 se
trasează arce de cerc cu raza O3B = O4B1. Curba alcătuită din arcele de
trasează arce de cerc cu raza O3B = O4B1. Curba alcătuită din arcele de
cerc C’2AC2, C2BC1, C1A1C’1 úi C’1B1C’2 reprezintă ovoidul căutat atunci
cerc C’2AC2, C2BC1, C1A1C’1 úi C’1B1C’2 reprezintă ovoidul căutat atunci
când se cunosc cele două axe.
când se cunosc cele două axe.
176
176
A
A1
B
A
B1
D
C2
F
04
B G
01
C’2
A
0
B1
03
A1
B
04
G
C1
02
A1
A
C’1
01
F
C
B
0
A1
02
B1
E
03
E
Fig. 14.4
C2
D
Fig. 14.5
A
B1
D
F
04
B G
01
C’2
0
B1
03
04
G
C1
02
A1
A
C’1
01
F
C
D
B
0
A1
02
B1
E
03
E
Fig. 14.4
Fig. 14.5
14.1.1.4 ConstrucĠia ovalului prin metoda dreptunghiului
14.1.1.4 ConstrucĠia ovalului prin metoda dreptunghiului
úi BB1) se mai poate folosi úi metoda dreptunghiului pentru care conform
úi BB1) se mai poate folosi úi metoda dreptunghiului pentru care conform
Fig.14.5 se procedează astfel: se notează cu O punctul de intersecĠie a celor
Fig.14.5 se procedează astfel: se notează cu O punctul de intersecĠie a celor
două axe perpendiculare la mijlocul lor. Din puctele B úi A1 se ridică către
două axe perpendiculare la mijlocul lor. Din puctele B úi A1 se ridică către
o perpendiculară care se intersectează în punctul C formând dreptunghiul
o perpendiculară care se intersectează în punctul C formând dreptunghiul
A1OBC, după care se trasează diagonala A1B úi bisectoarele unghiurilor
A1OBC, după care se trasează diagonala A1B úi bisectoarele unghiurilor
CBA1 úi BA1C care se intersectează în punctul de racordare D din care se
CBA1 úi BA1C care se intersectează în punctul de racordare D din care se
ridică o perpendiculară pe diagonala A1B care intersectează axa nare în
ridică o perpendiculară pe diagonala A1B care intersectează axa nare în
punctul O2 iar axa mică în punctul O3. Celelalte centre (O1 úi O4) úi
punctul O2 iar axa mică în punctul O3. Celelalte centre (O1 úi O4) úi
punctele de racordare (E, F úi G) se determină prin construcĠii similare
punctele de racordare (E, F úi G) se determină prin construcĠii similare
(dreptunghi) faĠă de axele avalului cu care sunt simetrice.
(dreptunghi) faĠă de axele avalului cu care sunt simetrice.
14.1.2 Spirale
14.1.2 Spirale
14.1.2.1 Spirale definite prin arce de cerc
14.1.2.1 Spirale definite prin arce de cerc
Spiralele definite prin arce de cerc sunt curbe plane construite dintr-
Spiralele definite prin arce de cerc sunt curbe plane construite dintr-
o succesiune de arce de cerc racordate între ele úi a cărei formă este
o succesiune de arce de cerc racordate între ele úi a cărei formă este
asemănătoare cu secĠiunea centrală făcută printr-o cochilă de melc.
asemănătoare cu secĠiunea centrală făcută printr-o cochilă de melc.
177
177
14.1.2.1.1 ConstrucĠia spiralei cu două centre
14.1.2.1.1 ConstrucĠia spiralei cu două centre
Pentru construcĠia spiralei cu două centre atunci când se cunoaúte
Pentru construcĠia spiralei cu două centre atunci când se cunoaúte
pasul spiralei pe dreapta (ǻ) se procedează conform Fig.14.6 astfel: se
pasul spiralei pe dreapta (ǻ) se procedează conform Fig.14.6 astfel: se
determină punctul O1 ca fiind mijlocul segmentului O2A (pasul spiralei),
determină punctul O1 ca fiind mijlocul segmentului O2A (pasul spiralei),
după care cu vârful compasului în O1 se trasează un arc de cerc cu raza
după care cu vârful compasului în O1 se trasează un arc de cerc cu raza
O1O2 până în punctul A după care cu vârful compasului în O2 úi cu raza
O1O2 până în punctul A după care cu vârful compasului în O2 úi cu raza
O2A se trasează un arc de cerc care intersectează dreapta (ǻ) în punctul C,
O2A se trasează un arc de cerc care intersectează dreapta (ǻ) în punctul C,
după care cu vârful compasului în O2 úi cu raza O2C se trasează un alt arc
după care cu vârful compasului în O2 úi cu raza O2C se trasează un alt arc
de cerc până intersectează dreapta (ǻ) în punctul D úi tot aúa prin
de cerc până intersectează dreapta (ǻ) în punctul D úi tot aúa prin
alternarea centrelor O1 úi O2 úi prin adăugarea la raza existentă anterior a
alternarea centrelor O1 úi O2 úi prin adăugarea la raza existentă anterior a
unei mărimi echivalente cu jumătate de pas se continuă construcĠia elicei.
unei mărimi echivalente cu jumătate de pas se continuă construcĠia elicei.
Fig. 14.6
Fig. 14.7
Fig. 14.6
Fig. 14.7
14.1.2.1.2 ConstrucĠia spiralei cu trei centre
14.1.2.1.2 ConstrucĠia spiralei cu trei centre
Pentru construcĠia spirslei cu trei centre stunci când se cunoaúte
Pentru construcĠia spirslei cu trei centre stunci când se cunoaúte
pasul spiralei se procedează conform Fig.14.7 astfel: se trasează un
pasul spiralei se procedează conform Fig.14.7 astfel: se trasează un
triunghi echilateral cu latura egală cu pasul elicei úi cu vârfurile O1, O2, O3,
triunghi echilateral cu latura egală cu pasul elicei úi cu vârfurile O1, O2, O3,
după care se prelungesc laturile acestuia rezultând semidreptele ǻ1, ǻ2 úi
după care se prelungesc laturile acestuia rezultând semidreptele ǻ1, ǻ2 úi
ǻ3. Din punctul O1 cu raza O1O2 = O1O3 se trasează un arc de cerc care
ǻ3. Din punctul O1 cu raza O1O2 = O1O3 se trasează un arc de cerc care
intersectează dreapta ǻ1 în punctul A, după care cu centrul în punctul O2 úi
intersectează dreapta ǻ1 în punctul A, după care cu centrul în punctul O2 úi
cu raza egală cu O2A se trasează un arc de cerc care intersectează dreapta
cu raza egală cu O2A se trasează un arc de cerc care intersectează dreapta
ǻ2 în punctul B continuându-se cu un arc de cerc cu centrul în O3 úi raza
ǻ2 în punctul B continuându-se cu un arc de cerc cu centrul în O3 úi raza
178
178
egală cu OB care intersectează dreapta ǻ3 în punctul C. ConstrucĠia spiralei
egală cu OB care intersectează dreapta ǻ3 în punctul C. ConstrucĠia spiralei
se poate continua prin trasarea de arce de cerc succesive din centrele O1,
se poate continua prin trasarea de arce de cerc succesive din centrele O1,
O2, O3 cu raze egale cu O1C,O2D,O3E respectiv O1F,O2G,O3H.
O2, O3 cu raze egale cu O1C,O2D,O3E respectiv O1F,O2G,O3H.
14.1.2.1.3 ConstrucĠia spiralei cu patru centre
14.1.2.1.3 ConstrucĠia spiralei cu patru centre
Pentru construcĠia spiralei cu patru centre atunci când se cunoaúte
Pentru construcĠia spiralei cu patru centre atunci când se cunoaúte
pasul spiralei se procedează conform Fig.14.8 astfel: se construieúte un
pasul spiralei se procedează conform Fig.14.8 astfel: se construieúte un
pătrat cu latura egală cu pasul spiralei úi cu vârfurile O1, O2, O3 úi O4, iar
pătrat cu latura egală cu pasul spiralei úi cu vârfurile O1, O2, O3 úi O4, iar
laturile pătratului se prelungesc obĠinând semidreptele ǻ1, ǻ2 , ǻ3 úi ǻ4. Cu
laturile pătratului se prelungesc obĠinând semidreptele ǻ1, ǻ2 , ǻ3 úi ǻ4. Cu
vârful compasului din punctul O1 se trasează un arc de cerc cu raza egală
vârful compasului din punctul O1 se trasează un arc de cerc cu raza egală
cu pasul elicei, din punctul O4 până unde arcul intersectează dreapta ǻ1 în
cu pasul elicei, din punctul O4 până unde arcul intersectează dreapta ǻ1 în
punctul A, după care cu vârful compasului în O2 úi cu raza O2A se trasează
punctul A, după care cu vârful compasului în O2 úi cu raza O2A se trasează
un arc de cerc din punctul A până când arcul intersectează dreapta ǻ2 în
un arc de cerc din punctul A până când arcul intersectează dreapta ǻ2 în
punctul B urmând ca din punctul O3 cu raza O3B să se traseze un arc de
punctul B urmând ca din punctul O3 cu raza O3B să se traseze un arc de
cerc din punctul B până când arcul intersectează dreapta ǻ3 în punctul C ca
cerc din punctul B până când arcul intersectează dreapta ǻ3 în punctul C ca
în continuare din punctul O4 cu raza O4C să se traseze un arc de cerc din
în continuare din punctul O4 cu raza O4C să se traseze un arc de cerc din
punctul C până când arcul intersectează dreapta ǻ4 în punctul D.
punctul C până când arcul intersectează dreapta ǻ4 în punctul D.
ConstrucĠia spiralei se poate continua prin trasarea de arce de cerc
ConstrucĠia spiralei se poate continua prin trasarea de arce de cerc
succesive din centrele O1, O2, O3 úi O4 cu raze egale cu O1D, O2E, O3F,
succesive din centrele O1, O2, O3 úi O4 cu raze egale cu O1D, O2E, O3F,
O4G respectiv O1H, O2J, O3K, O4L.
O4G respectiv O1H, O2J, O3K, O4L.
Fig. 14.8
179
Fig. 14.8
179
14.1.2.2 Spiralele definite ca rotaĠii
14.1.2.2 Spiralele definite ca rotaĠii
Spirala este locul geometric al poziĠiilor ocupate în plan de un punct
Spirala este locul geometric al poziĠiilor ocupate în plan de un punct
mobil care înaintează după o lege anumită, pe o dreaptă, aceasta având o
mobil care înaintează după o lege anumită, pe o dreaptă, aceasta având o
miúcare de rotaĠie determinată, în acelaúi sens, în jurul unui punct fix.
miúcare de rotaĠie determinată, în acelaúi sens, în jurul unui punct fix.
Spirala este o curbă plană deschisă a cărei spiră corespunde unei
Spirala este o curbă plană deschisă a cărei spiră corespunde unei
rotaĠii complete a dreptei, iar distanĠa dintre două spire consecutive se
rotaĠii complete a dreptei, iar distanĠa dintre două spire consecutive se
numeúte pas.
numeúte pas.
14.1.2.2.1 ConstrucĠia spiralei lui Arhimede când se cunoaúte
14.1.2.2.1 ConstrucĠia spiralei lui Arhimede când se cunoaúte
pasul spiralei
pasul spiralei
Spirala lui Arhimede este o curbă plană deschisă úi descrisă de un
Spirala lui Arhimede este o curbă plană deschisă úi descrisă de un
punct care se miúcă pe o dreaptă cu o viteză constantă, dreapta rotindu-se
punct care se miúcă pe o dreaptă cu o viteză constantă, dreapta rotindu-se
în acelaúi timp în jurul unui centru cu viteza unghiului constantă Ȧ ; altfel
în acelaúi timp în jurul unui centru cu viteza unghiului constantă Ȧ ; altfel
spus deplasarea punctului pe dreaptă este proporĠională cu unghiul de
spus deplasarea punctului pe dreaptă este proporĠională cu unghiul de
rotaĠie al dreptei.
rotaĠie al dreptei.
Expresia analitică a spiralei lui Arhimede este dată de relaĠia:
Expresia analitică a spiralei lui Arhimede este dată de relaĠia:
r = aĳ
unde:
r = aĳ
ĳ – este unghiul de rotire al razei;
a
v
Z
unde:
ct , unde v este viteza periferică a punctului.
ĳ – este unghiul de rotire al razei;
a
v
Z
ct , unde v este viteza periferică a punctului.
Pentru construcĠia spiralei lui Arhimede când se cunoaúte pasul
Pentru construcĠia spiralei lui Arhimede când se cunoaúte pasul
spiralei, se procedează conform Fig.14.9 astfel: se trasează un cerc cu raza
spiralei, se procedează conform Fig.14.9 astfel: se trasează un cerc cu raza
egală cu pasul spiralei, (OA = r0 = 2ʌ ra , unde ra este drumul parcurs de
egală cu pasul spiralei, (OA = r0 = 2ʌ ra , unde ra este drumul parcurs de
0
un punct pe dreaptă în timp ce aceasta se roteúte cu 360 (pasul spiralei).
un punct pe dreaptă în timp ce aceasta se roteúte cu 3600 (pasul spiralei).
Acest cerc se împarte într-un număr de părĠi egale (de exemplu opt)
Acest cerc se împarte într-un număr de părĠi egale (de exemplu opt)
punctele de împărĠire notându-se cu A1, A2 ........ A8, după care se împarte úi
punctele de împărĠire notându-se cu A1, A2 ........ A8, după care se împarte úi
raza cercului OA în acelaúi număr (opt) de părĠi egale rezultând punctele de
raza cercului OA în acelaúi număr (opt) de părĠi egale rezultând punctele de
intersecĠie 1, 2........ 8. Din centrul cercului (O) se duc raze în punctele de
intersecĠie 1, 2........ 8. Din centrul cercului (O) se duc raze în punctele de
180
180
intersecĠie A1, A2 .......A8. Cu piciorul compasului în centrul O úi cu raza O1
intersecĠie A1, A2 .......A8. Cu piciorul compasului în centrul O úi cu raza O1
se descrie un arc de cerc ce intersectează raza OA1 în punctul a1, după care
se descrie un arc de cerc ce intersectează raza OA1 în punctul a1, după care
se descrie un arc de cerc cu raza OA2 în punctul a2 ú.a.m.d. pentru toate
se descrie un arc de cerc cu raza OA2 în punctul a2 ú.a.m.d. pentru toate
cele opt puncte, iar în final prin unirea punctelor O, a1, a2 ..... a8 se obĠine
cele opt puncte, iar în final prin unirea punctelor O, a1, a2 ..... a8 se obĠine
spirala căutată (spirala lui Arhimede).
spirala căutată (spirala lui Arhimede).
A6
A5
a4
A5
A7
a6
a7
a5
A4
A6
0 123456 7 8 A8
a
a
a3 a2
A7
a6
a7
a5
1
A4
a4
A3
A1
1
8
A3
Fig. 14.9
A2
0 123456 7 8 A8
a
a
a3 a2
8
14.1.2.2.2 ConstrucĠia spiralei hiperbolice când se cunoaúte
A1
Fig. 14.9
A2
14.1.2.2.2 ConstrucĠia spiralei hiperbolice când se cunoaúte
distanĠa asimptotei faĠă de originea coordonatelor
distanĠa asimptotei faĠă de originea coordonatelor
Spirala hiperbolică rezultă din miúcarea unui punct pe o rază astfel
Spirala hiperbolică rezultă din miúcarea unui punct pe o rază astfel
încât distanĠa acestuia faĠă de centrul de rotire este tot timpul invers
încât distanĠa acestuia faĠă de centrul de rotire este tot timpul invers
proporĠională cu unghiul de rotire M al razelor, măsurat faĠă de o poziĠie
proporĠională cu unghiul de rotire M al razelor, măsurat faĠă de o poziĠie
iniĠială.
iniĠială.
EcuaĠia spiralei hiperbolice este:
EcuaĠia spiralei hiperbolice este:
rM = a
unde: a – determină distanĠa asimptotei acestei spirale faĠă de
originea coordonatelor,
rM = a
unde: a – determină distanĠa asimptotei acestei spirale faĠă de
originea coordonatelor,
Pentru construcĠia spiralei hiperbolice conform Fig. 14.10 se
Pentru construcĠia spiralei hiperbolice conform Fig. 14.10 se
procedează astfel: din punctul O, ca centru, se trasează un cerc cu o rază
procedează astfel: din punctul O, ca centru, se trasează un cerc cu o rază
oarecare, care se împarte la un număr de părĠi egale. Punctele 1, 2, 3, ...
oarecare, care se împarte la un număr de părĠi egale. Punctele 1, 2, 3, ...
etc., astfel obĠinute se unesc prin raze cu punctul O. Spre exemplu dacă
etc., astfel obĠinute se unesc prin raze cu punctul O. Spre exemplu dacă
cercul se împarte în 12 părĠi egale atunci unghiul M1 corespunzător primei
cercul se împarte în 12 părĠi egale atunci unghiul M1 corespunzător primei
raze este egal cu zero iar r1 = f .
raze este egal cu zero iar r1 = f .
181
181
M2 = S/6 r2 = 6a/S ,
Pentru:
M2 = S/6 r2 = 6a/S ,
Pentru:
M3 = 2S/6 r3 = 6a/2S ,
M4 = 3S/6 r4 = 6a/3S ,
M3 = 2S/6 r3 = 6a/2S ,
M4 = 3S/6 r4 = 6a/3S ,
........................................
Caz general
rn = 6a/(n-1)S.
........................................
Caz general
rn = 6a/(n-1)S.
Segmentele astfel obĠinute se iau pe razele corespunzătoare
Segmentele astfel obĠinute se iau pe razele corespunzătoare
rezultând punctele II, III, IV, ... etc., prin unirea cărora se obĠine spirala
rezultând punctele II, III, IV, ... etc., prin unirea cărora se obĠine spirala
hiperbolică căutată.
hiperbolică căutată.
Când M o 0, curba asimptotică se apropie de dreapta CB, iar când M o f,
Când M o 0, curba asimptotică se apropie de dreapta CB, iar când M o f,
curba asimptotică se apropie de polul O.
curba asimptotică se apropie de polul O.
R
V
VI
6
0
VIII
R 12 12
A
VI
M2
R1 1
8
R
VIII
8
R
8
11
9
11
R10
Fig. 14.10
6
VII 7 R7
R 12 12
9
R10
R6
V
10
R9
11
5
2 M
3
R9
R
IV
0
8
10
4
3
R2
6
VII 7 R7
11
B
III
R4
5
M2
R1 1
Asimptota
R
D
IV
2 M
3
II
R3
R3
R2
A
4
3
C
R5
B
III
D
Asimptota
R5
II
R4
C
Fig. 14.10
14.1.3 Curbe conice
14.1.3 Curbe conice
14.1.3.1 Elipsa. ConstrucĠia elipsei când se cunosc axele
14.1.3.1 Elipsa. ConstrucĠia elipsei când se cunosc axele
Elipsa este locul geometric al curbelor din plan pentru care suma
Elipsa este locul geometric al curbelor din plan pentru care suma
distanĠelor fiecăruia din punctela sale cu două puncte fixe (F úi F’ ) este
distanĠelor fiecăruia din punctela sale cu două puncte fixe (F úi F’ ) este
constantă (Fig.14.11).
constantă (Fig.14.11).
Punctele F, F’ se numesc focare, iar distanĠele MF respectiv MF’ de
Punctele F, F’ se numesc focare, iar distanĠele MF respectiv MF’ de
la un punct M al elipsei la focare se numesc raze vectoare. DistanĠa
la un punct M al elipsei la focare se numesc raze vectoare. DistanĠa
constantă 2a trebuie să fie mai mare decât distanĠa dintre focare. Punctele
constantă 2a trebuie să fie mai mare decât distanĠa dintre focare. Punctele
M1, M2, M3, M4 ca úi întreaga elipsă admit ca axă de simetrie
M1, M2, M3, M4 ca úi întreaga elipsă admit ca axă de simetrie
perpendiculara pe mijlocul segmentului ce leagă focarele. Punctul de
perpendiculara pe mijlocul segmentului ce leagă focarele. Punctul de
intersecĠie al celor două axe de simetrie notat cu O se numeúte centrul de
intersecĠie al celor două axe de simetrie notat cu O se numeúte centrul de
182
182
simetrie al elipsei (centru). DistanĠa de la focare la centru, OF1=O2F= e,
simetrie al elipsei (centru). DistanĠa de la focare la centru, OF1=O2F= e,
se numeúte excentricitate liniară sau distanĠă focală.
se numeúte excentricitate liniară sau distanĠă focală.
ProprietăĠi:
ProprietăĠi:
x Elipsa are două axe de simetrie: AA’- axa mare úi BB’- axa mică;
x Elipsa are două axe de simetrie: AA’- axa mare úi BB’- axa mică;
x Suma razelor vectoare este egală cu AA’;
x Suma razelor vectoare este egală cu AA’;
x BF=BF’=AA’/2; cu această proprietate se pot determina focarele
x BF=BF’=AA’/2; cu această proprietate se pot determina focarele
elipsei atunci când se cunosc axele ei AA’ úi BB’;
x Tangenta într-un punct M este bisectoarea exterioară a unghiului
FMF’.
elipsei atunci când se cunosc axele ei AA’ úi BB’;
x Tangenta într-un punct M este bisectoarea exterioară a unghiului
FMF’.
Tangenta într-un punct oarecare M al elipsei se obĠine dacă se uneúte
Tangenta într-un punct oarecare M al elipsei se obĠine dacă se uneúte
punctul de intersecĠie L al dreptelor AB cu B1M cu punctul E úi se
punctul de intersecĠie L al dreptelor AB cu B1M cu punctul E úi se
prelungeúte dreapta EL până intersectează dreapta BD în punctul de
prelungeúte dreapta EL până intersectează dreapta BD în punctul de
intersecĠie T, care aparĠine tangentei (Fig.14.12). Al doilea punct P al
intersecĠie T, care aparĠine tangentei (Fig.14.12). Al doilea punct P al
tangentei se situează la intersecĠia paralelei duse prin punctul L la dreapta
tangentei se situează la intersecĠia paralelei duse prin punctul L la dreapta
OA cu segmental AD. Normala este perpendiculara MN dusă în punctul M
OA cu segmental AD. Normala este perpendiculara MN dusă în punctul M
pe tangenta PT.
pe tangenta PT.
Pentru construcĠia elipsei când se cunosc axele AA1 úi BB1 se
Pentru construcĠia elipsei când se cunosc axele AA1 úi BB1 se
procedează conform Fig.14.12 astfel: se trasează cele două axe
procedează conform Fig.14.12 astfel: se trasează cele două axe
perpendiculare la mijlocul lor, după care se construieúte dreptunghiul
perpendiculare la mijlocul lor, după care se construieúte dreptunghiul
CDEF úi se împart segmentele OA1 úi A1C în acelaúi număr de părĠi egale
CDEF úi se împart segmentele OA1 úi A1C în acelaúi număr de părĠi egale
(de exemplu cinci) rezultând punctele de împărĠire 1, 2, 3, 4 pe OA1 úi 1’,
(de exemplu cinci) rezultând punctele de împărĠire 1, 2, 3, 4 pe OA1 úi 1’,
2’, 3’, 4’ pe A1C. La intersecĠia dreptelor ce unesc punctul B1 cu 1, 2, 3, 4
2’, 3’, 4’ pe A1C. La intersecĠia dreptelor ce unesc punctul B1 cu 1, 2, 3, 4
úi punctul B cu 1’, 2’, 3’, 4’ rezultă punctele G, H, J, C. Se unesc punctele
úi punctul B cu 1’, 2’, 3’, 4’ rezultă punctele G, H, J, C. Se unesc punctele
B, G, H, J, K úi A printr-o dreaptă curbă obĠinându-se astfel un sfert de
B, G, H, J, K úi A printr-o dreaptă curbă obĠinându-se astfel un sfert de
elipsă. Se procedează la construcĠii similare (simetrice) faĠă de celelalte
elipsă. Se procedează la construcĠii similare (simetrice) faĠă de celelalte
semiaxe obĠinând în final elipsa căutată. ConstrucĠia este cu atât mai exactă
semiaxe obĠinând în final elipsa căutată. ConstrucĠia este cu atât mai exactă
cu cât axele se împart într-un număr mai mare de părĠi.
cu cât axele se împart într-un număr mai mare de părĠi.
183
183
B
T
G
M
B
A
0
F
F’
0
L
A
A1
1
2
N
R
2b
P
E
MF+MF’=AA’=2a
C
H
1’
I 2’
3’
K 4’
3
4 A1
A1
B1
D
B
T
G
M
M
B
P
A
0
F
F’
B1
0
L
A
A1
C
1’
I 2’
3’
K 4’
4 A1
H
3
1
2
N
R
D
M
A
B
A1
B1
2b
A
B
E
MF+MF’=AA’=2a
B1
2a
E
B1
Fig. 14.11
2a
F
Fig. 14.12
E
Fig. 14.11
B1
F
Fig. 14.12
14.1.3.2 Parabola
14.1.3.2 Parabola
Parabola este locul geometric al punctelor din plan egal depărtate de
Parabola este locul geometric al punctelor din plan egal depărtate de
un punct fix (F) úi de o dreaptă fixă (d) din plan (Fig.14.13).
un punct fix (F) úi de o dreaptă fixă (d) din plan (Fig.14.13).
Parabola este o curbă deschisă cu o singură ramură.
Parabola este o curbă deschisă cu o singură ramură.
Punctul F se numeúte focar, iar dreapta fixă (d) se numeúte
Punctul F se numeúte focar, iar dreapta fixă (d) se numeúte
directoare. DistanĠa de la focar la directoare se notează cu p úi se numeúte
directoare. DistanĠa de la focar la directoare se notează cu p úi se numeúte
parametrul hiperbolei. Orice paralelă la dreapta directoare pentru o
parametrul hiperbolei. Orice paralelă la dreapta directoare pentru o
distanĠă mai mare de p/2 este intersectată de un cerc oarecare cu centrul în
distanĠă mai mare de p/2 este intersectată de un cerc oarecare cu centrul în
F în două puncte ale parabolei T úi T’ ..... M úi M’. Aceste puncte sunt
F în două puncte ale parabolei T úi T’ ..... M úi M’. Aceste puncte sunt
simetrice faĠă de perpendiculara pe directoare prin focar. Axa de simetrie
simetrice faĠă de perpendiculara pe directoare prin focar. Axa de simetrie
se numeúte axa para-bolei úi atinge parabola în punctul A care are distanĠa
se numeúte axa para-bolei úi atinge parabola în punctul A care are distanĠa
de la directoare la focar egală cu p/2.
de la directoare la focar egală cu p/2.
ProprietăĠi:
ProprietăĠi:
’
x Parabola are o singură axă de simetrie AA ;
x Parabola are o singură axă de simetrie AA’;
x Vârful A este la gală depărtare de focar úi de directoare;
x Vârful A este la gală depărtare de focar úi de directoare;
x Tangenta într-un punct M este bisectoarea unghiului PMP.
x Tangenta într-un punct M este bisectoarea unghiului PMP.
184
184
R
R
5’
M
Q
2’
P
Fig. 14.13
3
2
1
P
1’
B
N
4
Q
2’
1’
B
5
M
4’
3’
R
4’
3’
R
5’
A
Fig. 14.14
14.1.3.2.1 ConstrucĠia parabolei când se cunosc vârful A, axa
AX úi un punct M
5
N
4
Fig. 14.13
3
2
1
A
Fig. 14.14
14.1.3.2.1 ConstrucĠia parabolei când se cunosc vârful A, axa
AX úi un punct M
Pentru construcĠia parabolei atunci când se cunoaúte vârful A, axa
Pentru construcĠia parabolei atunci când se cunoaúte vârful A, axa
AX úi un punct oarecare M se procedează conform Fig.14.14 astfel: se
AX úi un punct oarecare M se procedează conform Fig.14.14 astfel: se
trasează o dreaptă AY perpendiculară pe axa AX în vârful parabolei A, după
trasează o dreaptă AY perpendiculară pe axa AX în vârful parabolei A, după
care din punctul M coborâm perpendiculara MB pe AY. DistanĠele AB úi
care din punctul M coborâm perpendiculara MB pe AY. DistanĠele AB úi
MB se împart în acelaúi număr de părĠi egale (de exemplu în patru)
MB se împart în acelaúi număr de părĠi egale (de exemplu în patru)
rezultând punctele de împărĠire 1, 2, 3, 4 pe AB úi 1’, 2’, 3’, 4’ pe MB
rezultând punctele de împărĠire 1, 2, 3, 4 pe AB úi 1’, 2’, 3’, 4’ pe MB
(segmentele de pe cele două perpendiculare nu sunt egale ca mărime
(segmentele de pe cele două perpendiculare nu sunt egale ca mărime
1A B1’ ). Prin punctele 1, 2, 3 se duc paralele la AX după care se uneúte
1A B1’ ). Prin punctele 1, 2, 3 se duc paralele la AX după care se uneúte
punctul A cu punctele 1’, 2’, 3’ rezultând N, P, Q.
punctul A cu punctele 1’, 2’, 3’ rezultând N, P, Q.
Unind punctele A, N, P, Q, M rezultă o latură a parabolei căutate. Aceeaúi
Unind punctele A, N, P, Q, M rezultă o latură a parabolei căutate. Aceeaúi
construcĠie se execută simetric faĠă de axa AX rezultând parabola căutată.
construcĠie se execută simetric faĠă de axa AX rezultând parabola căutată.
ConstrucĠia este cu atât mai exactă cu cât axele se împart într-un număr
ConstrucĠia este cu atât mai exactă cu cât axele se împart într-un număr
mai mare de părĠi.
mai mare de părĠi.
185
185
14.1.3.2.2 ConstrucĠia parabolei când se cunosc directoarea úi
14.1.3.2.2 ConstrucĠia parabolei când se cunosc directoarea úi
focarul
focarul
Pentru construcĠia parabolei atunci când se cunosc focarul F úi
Pentru construcĠia parabolei atunci când se cunosc focarul F úi
directoarea (d) conform Fig.14.15 se procedesză astfel: din punctul F se
directoarea (d) conform Fig.14.15 se procedesză astfel: din punctul F se
coboară perpendiculara BF pe directoarea (d), după care această distanĠă se
coboară perpendiculara BF pe directoarea (d), după care această distanĠă se
împarte în două părĠi egale rezultând vârful parabolei A.
împarte în două părĠi egale rezultând vârful parabolei A.
Se prelungeúte dreapta BF care devine axa parabolei, aceasta împărĠindu-se
Se prelungeúte dreapta BF care devine axa parabolei, aceasta împărĠindu-se
într-un număr oarecare de părĠi egale cu FB rezultând punctele de împărĠire
într-un număr oarecare de părĠi egale cu FB rezultând punctele de împărĠire
1, 2, 3, 4, 5, 6. Prin punctul F se trasează o perpendiculară pe axa parabolei
1, 2, 3, 4, 5, 6. Prin punctul F se trasează o perpendiculară pe axa parabolei
úi se ia FC = FC’ = FB rezultând punctele C úi C’ ale parabolei.
úi se ia FC = FC’ = FB rezultând punctele C úi C’ ale parabolei.
L
P
C
A
B
R
C
A
N
X
K’
L
P
K
1
C’
P
M O
B
2 3 4 5 6
L’ M’
O’ P’ R’
Fig. 14.15
R
K
N
X
1
C’
P
M O
K’
2 3 4 5 6
L’ M’
O’ P’ R’
Fig. 14.15
Pentru determinarea altor puncte ale parabolei, prin punctele de
Pentru determinarea altor puncte ale parabolei, prin punctele de
împărĠire se trasează perpendiculare pe axă, după care cu centrul în focarul
împărĠire se trasează perpendiculare pe axă, după care cu centrul în focarul
F úi cu raze egale cu distanĠa de la punctele de împărĠire (1, 2, 3, 4, 5, 6) la
F úi cu raze egale cu distanĠa de la punctele de împărĠire (1, 2, 3, 4, 5, 6) la
punctul B se trasează arce de cerc care determină pe perpendiculare
punctul B se trasează arce de cerc care determină pe perpendiculare
punctele de intersecĠie K, L, M, O, P, R úi K’, L’, M’, O’, P’, R’. Prin
punctele de intersecĠie K, L, M, O, P, R úi K’, L’, M’, O’, P’, R’. Prin
unirea punctelor R’, P’, O’, M’, L’, K’, C’, A, C, K, L, M, O, P, R se obĠine
unirea punctelor R’, P’, O’, M’, L’, K’, C’, A, C, K, L, M, O, P, R se obĠine
parabola căutată. ConstrucĠia este cu atât mai exactă cu cât axele se împart
parabola căutată. ConstrucĠia este cu atât mai exactă cu cât axele se împart
într-un număr mai mare de părĠi.
într-un număr mai mare de părĠi.
186
186
14.1.3.3 Hiperbola. ConstrucĠia hiperbolei când se cunosc
14.1.3.3 Hiperbola. ConstrucĠia hiperbolei când se cunosc
distanĠele dintre focare úi dintre vârfuri.
distanĠele dintre focare úi dintre vârfuri.
Hiperbola este locul geometric al punctelor din plan pentru care
Hiperbola este locul geometric al punctelor din plan pentru care
diferenĠa distanĠelor a două puncte fixe ( F úi F’ ) este constantă
diferenĠa distanĠelor a două puncte fixe ( F úi F’ ) este constantă
(Fig.14.16).
(Fig.14.16).
Punctele fixe F úi F’ se numesc focare, iar segmentele R úi r care
Punctele fixe F úi F’ se numesc focare, iar segmentele R úi r care
unesc un punct de pe hiperbolă cu focarele se numesc raze vectoare.
unesc un punct de pe hiperbolă cu focarele se numesc raze vectoare.
DistanĠa 2a trebuie să fie mai mică decât distanĠa dintre focare. Hiperbola
DistanĠa 2a trebuie să fie mai mică decât distanĠa dintre focare. Hiperbola
are două axe de simetrie, axa XX’ care trece prin focarele F úi F’ úi axa YY’
are două axe de simetrie, axa XX’ care trece prin focarele F úi F’ úi axa YY’
care este mediatoarea segmentului FF’. Punctul lor de intersecĠie notat cu
care este mediatoarea segmentului FF’. Punctul lor de intersecĠie notat cu
O se numeúte centrul de simetrie al hiperbolei. DistanĠa de la fiecare focar
O se numeúte centrul de simetrie al hiperbolei. DistanĠa de la fiecare focar
la centrul de hiperbolă ( OF = OF’= e ) se numeúte excentricitate.
la centrul de hiperbolă ( OF = OF’= e ) se numeúte excentricitate.
Hiperbola intersectează axa principală XX’ în vârfurile principale A úi A’.
Hiperbola intersectează axa principală XX’ în vârfurile principale A úi A’.
Hiperbola are două asimptote ZZ’ úi WW’ ; aceasta taie perpendicularele pe
Hiperbola are două asimptote ZZ’ úi WW’ ; aceasta taie perpendicularele pe
axa principală în vârfurile A úi A’.
axa principală în vârfurile A úi A’.
P
R
T
1 2 3 4
T
N
2a
P’
R’
Q’
R
1 2 3 4
2a
P’
S’
R
R
M
r
M
N
R
Q
S
r
R
P
Q
S
R’
S’
Q’
Fig. 14.16
Fig. 14.16
187
187
ProprietăĠi:
ProprietăĠi:
x Hiperbola are două axe de simetrie XX’ úi YY’;
x Hiperbola are două axe de simetrie XX’ úi YY’;
x Hiperbola are două vârfuri A úi A’ astfel încât A A’ = MF’ – MF =
x Hiperbola are două vârfuri A úi A’ astfel încât A A’ = MF’ – MF =
2a ;
2a ;
x Hiperbola este o curbă deschisă cu două ramuri, care are vârfurile
x Hiperbola este o curbă deschisă cu două ramuri, care are vârfurile
pe axa principală úi ramurile se apropie la infinit de două asimptote
pe axa principală úi ramurile se apropie la infinit de două asimptote
ZZ’ úi WW’ ;
ZZ’ úi WW’ ;
x Tangenta într-un punct M al hiperbolei este bisectoarea interioară a
unghiului FMF’.
x Tangenta într-un punct M al hiperbolei este bisectoarea interioară a
unghiului FMF’.
Tangenta într-un punct oarecare al hiperbolei este bisectoarea MT a
Tangenta într-un punct oarecare al hiperbolei este bisectoarea MT a
unghiului FMF’ format de dreptele ce unesc focarele F úi F’ cu punctul de
unghiului FMF’ format de dreptele ce unesc focarele F úi F’ cu punctul de
tangenĠă, iar normala MN este perpendiculara dusă pe tangenta MT în
tangenĠă, iar normala MN este perpendiculara dusă pe tangenta MT în
punctul M.
punctul M.
Pentru construcĠia hiperbolei când se cunosc distanĠa FF’ dintre
Pentru construcĠia hiperbolei când se cunosc distanĠa FF’ dintre
focare úi distanĠa A A’ dintre vârfuri se procedează conform Fig.14.16
focare úi distanĠa A A’ dintre vârfuri se procedează conform Fig.14.16
astfel: se uneúte punctul F cu F’ úi se prelungeúte acest segment rezultând
astfel: se uneúte punctul F cu F’ úi se prelungeúte acest segment rezultând
axa principală a hiperbolei XX’. Se duce mediatoarea segmentului FF’
axa principală a hiperbolei XX’. Se duce mediatoarea segmentului FF’
notată cu YY’ rezultând ce-a de a doua axă de simetrie, iar punctul de
notată cu YY’ rezultând ce-a de a doua axă de simetrie, iar punctul de
intersecĠie se notează cu O úi reprezintă centrul de simetrie al hiperbolei.
intersecĠie se notează cu O úi reprezintă centrul de simetrie al hiperbolei.
ùtiind că vârfuile sunt simetrice, acestea se trasează de o parte úi de alta a
ùtiind că vârfuile sunt simetrice, acestea se trasează de o parte úi de alta a
punctului O pe axa XX’ astfel încât OA = OA’ = A A’ /2. Pe semidreptele
punctului O pe axa XX’ astfel încât OA = OA’ = A A’ /2. Pe semidreptele
F’X’ se ia un număr de segmente egale (de exemplu patru) obĠinându-se
F’X’ se ia un număr de segmente egale (de exemplu patru) obĠinându-se
punctele de intersecĠie 1, 2, 3, 4, după care se trasează perechi de arce de
punctele de intersecĠie 1, 2, 3, 4, după care se trasează perechi de arce de
cerc cu centrul în F’ de rază A’1 (A’2, A’3, A’4) úi în F de rază A1 (A2, A3,
cerc cu centrul în F’ de rază A’1 (A’2, A’3, A’4) úi în F de rază A1 (A2, A3,
A4) care se intersectează de o parte úi de alta a axei XX’. Unind punctele
A4) care se intersectează de o parte úi de alta a axei XX’. Unind punctele
Q’, S’, R’, P’, A’, P, R, S, Q rezultă ramura dreaptă a hiperbolei. Ramura
Q’, S’, R’, P’, A’, P, R, S, Q rezultă ramura dreaptă a hiperbolei. Ramura
din stânga se construieúte în mod similar cu observaĠia că arcele de cerc
din stânga se construieúte în mod similar cu observaĠia că arcele de cerc
188
188
descrise cu centrul în F’ au razele egale cu A1 (A2, A3, A4), iar cele
descrise cu centrul în F’ au razele egale cu A1 (A2, A3, A4), iar cele
descrise cu centrul în punctul F au razele egale cu A’1 (A’2, A’3, A’4).
descrise cu centrul în punctul F au razele egale cu A’1 (A’2, A’3, A’4).
Unind punctele de intersecĠie ale arcelor de cerc rezultă ramura stângă a
Unind punctele de intersecĠie ale arcelor de cerc rezultă ramura stângă a
hiperbolei. Întraga construcĠie prezentată reprezintă hiperbola căutată.
hiperbolei. Întraga construcĠie prezentată reprezintă hiperbola căutată.
14.1.4 Curbe ciclice
14.1.4 Curbe ciclice
Curbele ciclice (de rostogolire) sunt curbe descrise fie de un punct
Curbele ciclice (de rostogolire) sunt curbe descrise fie de un punct
fix ce aparĠine unei drepte úi care se rostogoleúte fără alunecare pe
fix ce aparĠine unei drepte úi care se rostogoleúte fără alunecare pe
circumferinĠa unui cerc fie de un punct fix ce aparĠine unui cerc úi care se
circumferinĠa unui cerc fie de un punct fix ce aparĠine unui cerc úi care se
rostogoleúte fără alunecare pe o dreaptă sau pe un arc de cerc.
rostogoleúte fără alunecare pe o dreaptă sau pe un arc de cerc.
Dreapta (cercul) pe care se găseúte punctul (fix) care descrie curba
Dreapta (cercul) pe care se găseúte punctul (fix) care descrie curba
se numeúte element generator (dreaptă generatoare sau cerc generator), iar
se numeúte element generator (dreaptă generatoare sau cerc generator), iar
dreapta (cercul) pe care se rostogoleúte elementul generator se numeúte
dreapta (cercul) pe care se rostogoleúte elementul generator se numeúte
element director (dreaptă directoare sau cerc director).
element director (dreaptă directoare sau cerc director).
ConstrucĠia curbelor ciclice are ca aplicaĠii în tehnică trasarea
ConstrucĠia curbelor ciclice are ca aplicaĠii în tehnică trasarea
profilului danturii roĠilor dinĠate ce formează angrenaje de transmitere a
profilului danturii roĠilor dinĠate ce formează angrenaje de transmitere a
miúcării de rotaĠie sau la trasarea profilelor camelor.
miúcării de rotaĠie sau la trasarea profilelor camelor.
14.1.4.1 ConstrucĠia evolventei
14.1.4.1 ConstrucĠia evolventei
Evolventa sau desfăúurata cercului este curba descrisă de un punct
Evolventa sau desfăúurata cercului este curba descrisă de un punct
al unei drepte (tangentă) generatoare care se rostogoleúte fără alunecare pe
al unei drepte (tangentă) generatoare care se rostogoleúte fără alunecare pe
un cerc director (fix).
un cerc director (fix).
Pentru construcĠia evolventei conform Fig. 14.17 a. se procedează
Pentru construcĠia evolventei conform Fig. 14.17 a. se procedează
astfel: se împarte cercul director (O) într-un număr de părĠi egale, de
astfel: se împarte cercul director (O) într-un număr de părĠi egale, de
exemplu în 12 părĠi rezultând punctele de împărĠire 1, 2, .... 12, prin care se
exemplu în 12 părĠi rezultând punctele de împărĠire 1, 2, .... 12, prin care se
trasează tangente la cerc. Din punctele de contact se trasează pe tangente
trasează tangente la cerc. Din punctele de contact se trasează pe tangente
segmente egale cu lungimile arcelor de cerc 0 -1, 0 -2, .... 0 -12, (Fig.
segmente egale cu lungimile arcelor de cerc 0 -1, 0 -2, .... 0 -12, (Fig.
14.17.b) rezultând pe tangente punctele 1’, 2’, …12’.
14.17.b) rezultând pe tangente punctele 1’, 2’, …12’.
189
189
N
N
9
8
9
8
T
0
T
0
a.
0
1’
3’
2’
0
4’
1
2
3
4
a.
5
6
R
0
1’
0
4’
1
2
3
4
5
6
R
1
1
2
3
4
6
3’
2’
2
5’
90
11’ = arc 01
22’ = arc 02
0
5
6’
Fig. 14.17 b.
Prin unirea acestor puncte printr-o linie curbă continuă trasată cu
ajutorul florarului se obĠine evolventa căutată sau desfăúurata cercului.
3
4
6
5’
90
11’ = arc 01
22’ = arc 02
0
5
6’
Fig. 14.17 b.
Prin unirea acestor puncte printr-o linie curbă continuă trasată cu
ajutorul florarului se obĠine evolventa căutată sau desfăúurata cercului.
În punctul de împărĠire 5 din Fig. 14.17 a. s-a trasat tangenta la
În punctul de împărĠire 5 din Fig. 14.17 a. s-a trasat tangenta la
cercul director care este normala la evolventa construită, iar perpendiculara
cercul director care este normala la evolventa construită, iar perpendiculara
pe această normală în punctul 5’ este tangenta la evolventă.
pe această normală în punctul 5’ este tangenta la evolventă.
14.1.4.2 ConstrucĠia cicloidei
14.1.4.2 ConstrucĠia cicloidei
Cicloida este curba descrisă de un punct al unui cerc prin rostogolire
Cicloida este curba descrisă de un punct al unui cerc prin rostogolire
fără alunecare pe o dreaptă fixă situată în planul cercului.
fără alunecare pe o dreaptă fixă situată în planul cercului.
Pentru construcĠia cicloidei atunci când se cunosc cercul generator úi
Pentru construcĠia cicloidei atunci când se cunosc cercul generator úi
dreapta directoare conform Fig. 14.18 se procedează astfel: pe dreapta
dreapta directoare conform Fig. 14.18 se procedează astfel: pe dreapta
directoare AA’ se trasează segmentul A0A8 egal cu lungimea cercului
directoare AA’ se trasează segmentul A0A8 egal cu lungimea cercului
generator (SD) după care atât segmentul A0A8 cât úi cercul generator de
generator (SD) după care atât segmentul A0A8 cât úi cercul generator de
190
190
centru O0 se împart în acelaúi număr de părĠi egale (de exemplu 8)
centru O0 se împart în acelaúi număr de părĠi egale (de exemplu 8)
rezultând punctele de împărĠire 1, 2, ... 8, respectiv 1’, 2’, … 8’.
rezultând punctele de împărĠire 1, 2, ... 8, respectiv 1’, 2’, … 8’.
Se ridică perpendiculare în punctele de împărĠire 1’, 2’, … 8’ după
Se ridică perpendiculare în punctele de împărĠire 1’, 2’, … 8’ după
care se trasează prin centrul cercului generator (O0) o paralelă la AA’ care
care se trasează prin centrul cercului generator (O0) o paralelă la AA’ care
intersectează aceste perpendiculare în punctele O1, O2, ... O8. În continuare
intersectează aceste perpendiculare în punctele O1, O2, ... O8. În continuare
prin punctele de împărĠire 1, 2, ... 8 ale cercului generator (O0) se trasează
prin punctele de împărĠire 1, 2, ... 8 ale cercului generator (O0) se trasează
’
paralele la dreapta AA ; astfel: arcul de cerc cu centrul în punctul O1 úi cu
paralele la dreapta AA’; astfel: arcul de cerc cu centrul în punctul O1 úi cu
raza O11’ intersectează paralela prin punctul 1 la AA’ în punctul A1 (punct
raza O11’ intersectează paralela prin punctul 1 la AA’ în punctul A1 (punct
al cicloidei) úi tot aúa luând ca centre succesive punctele O2, O3, ... O8, se
al cicloidei) úi tot aúa luând ca centre succesive punctele O2, O3, ... O8, se
procedează în mod similar pentru obĠinerea celorlalte puncte ale cicloidei
procedează în mod similar pentru obĠinerea celorlalte puncte ale cicloidei
A2, A3, ... A8. Unind aceste puncte printr-o linie curbă continuă trasată cu
A2, A3, ... A8. Unind aceste puncte printr-o linie curbă continuă trasată cu
ajutorul florarului se obĠine cicloida căutată.
ajutorul florarului se obĠine cicloida căutată.
0
3
A
00 A2
2
1
A4
A3
5
6 02 03
01
A1 7
1’
8
04
4
A5
05
A6 08
06
07
2’
3’
4’
5’
6’ 7’ 8’
A7
A8
ʌd
Fig. 14.18
A
00 A2
2
1
A4
A3
5
3
0
4
6 02 03
01
A1 7
1’
8
04
A5
05
A6 08
06
07
2’
3’
4’
5’
6’ 7’ 8’
A7
A8
ʌd
Fig. 14.18
14.1.4.3 ConstrucĠia epicicloidei
14.1.4.3 ConstrucĠia epicicloidei
Epicicloida este curba descrisă de un punct fix de pe cercul
Epicicloida este curba descrisă de un punct fix de pe cercul
generator, cerc care se rostogoleúte fără alunecare pe un cerc director.
generator, cerc care se rostogoleúte fără alunecare pe un cerc director.
Pentru construcĠia epicicloidei atunci când se cunosc D0 diametrul
Pentru construcĠia epicicloidei atunci când se cunosc D0 diametrul
cercului generator úi R raza cercului director conform Fig. 14.19 se
cercului generator úi R raza cercului director conform Fig. 14.19 se
procedează astfel: se trasează cercul de rază R cu centrul în O úi tangent
procedează astfel: se trasează cercul de rază R cu centrul în O úi tangent
exterior cu acesta în punctul A0 se trasează cercul de rază R0 = D0 /2 cu
exterior cu acesta în punctul A0 se trasează cercul de rază R0 = D0 /2 cu
191
191
centrul în O0. Pe cercul de rază R se determină arcul (A0A8 = SD0 ) de cerc
centrul în O0. Pe cercul de rază R se determină arcul (A0A8 = SD0 ) de cerc
egal cu lungimea cercului generator; pentru aceasta se determină unghiul la
egal cu lungimea cercului generator; pentru aceasta se determină unghiul la
centru D0 = 3600 Ro /R. În continuare arcul A0A8 se împarte într-un număr
centru D0 = 3600 Ro /R. În continuare arcul A0A8 se împarte într-un număr
de părĠi egale (de exemplu 8) rezultând punctele de împărĠire 1’, 2’, … 8’
de părĠi egale (de exemplu 8) rezultând punctele de împărĠire 1’, 2’, … 8’
după care acestea se unesc prin raze cu centrul O.
după care acestea se unesc prin raze cu centrul O.
Se trasează un nou arc de cerc cu raza R + R0 cu centrul în O iar
Se trasează un nou arc de cerc cu raza R + R0 cu centrul în O iar
prelungirile razelor trasate anterior intersectează acest cerc în punctele O1,
prelungirile razelor trasate anterior intersectează acest cerc în punctele O1,
O2, ... O8. De asemenea se împarte cercul de rază R0 în opt părĠi egale
O2, ... O8. De asemenea se împarte cercul de rază R0 în opt părĠi egale
rezultând punctele de intersecĠie 1, 2, ... 8, după care se construiesc cerc-
rezultând punctele de intersecĠie 1, 2, ... 8, după care se construiesc cerc-
urile concentrice de rază 01, 02, 03, 04 care trec prin punctele 4, 5, 6, 7.
urile concentrice de rază 01, 02, 03, 04 care trec prin punctele 4, 5, 6, 7.
’
Cercul cu centrul în O1 úi cu raza O11 , intersectează cercul cu
Cercul cu centrul în O1 úi cu raza O11’, intersectează cercul cu
centrul în punctul O úi cu raza O1 în punctul A1 (punct ce aparĠine
centrul în punctul O úi cu raza O1 în punctul A1 (punct ce aparĠine
elipsoidului) úi tot aúa rezultă punctele A2, ... A8. Unind aceste puncte
elipsoidului) úi tot aúa rezultă punctele A2, ... A8. Unind aceste puncte
printr-o linie curbă continuă trasată cu ajutorul fluorarului rezultă
printr-o linie curbă continuă trasată cu ajutorul fluorarului rezultă
epicicloida căutată.
epicicloida căutată.
A4
A3
03 04 05 06
A6
A2
02
0
7
6 01
4
4’ 5’ 6’
7
2’ 3’
7’
A7 0 8
1
A
1’
3
8’
00
A8
A0=8
2
1
R
D0
5
0
A4
A5
A3
A5
03 04 05 06
A6
A2
02
0
7
6 01
4
4’ 5’ 6’
7
2’ 3’
7’
A7 0 8
1
A
1’
3
8’
00
A8
A0=8
2
1
R
D0
5
0
Fig. 14.19
Fig. 14.19
192
192
14.1.4.4 ConstrucĠia hipocicloidei
14.1.4.4 ConstrucĠia hipocicloidei
Hipocicloida este curba descrisă de un punct fix de pe cercul
Hipocicloida este curba descrisă de un punct fix de pe cercul
generator care se rostogoleúte fără alunecare pe interiorul unui cerc
generator care se rostogoleúte fără alunecare pe interiorul unui cerc
director.
director.
ConstrucĠia hipocicloidei atunci când se cunoaúte D0 diametrul
ConstrucĠia hipocicloidei atunci când se cunoaúte D0 diametrul
cercului generator úi R raza cercului director conform Fig. 14.20 este
cercului generator úi R raza cercului director conform Fig. 14.20 este
asemănătoare epicicloidei cu deosebirea că după trasarea cercului de rază
asemănătoare epicicloidei cu deosebirea că după trasarea cercului de rază
R cu centrul în O úi a celui tangent interior cu acesta în punctul A0 de rază
R cu centrul în O úi a celui tangent interior cu acesta în punctul A0 de rază
R0 = D0 /2 cu centrul în O0 se trasează un cerc cu centrul în O de rază
R0 = D0 /2 cu centrul în O0 se trasează un cerc cu centrul în O de rază
R – R0 pentru determinarea punctelor O1, O2, ... O8.
R – R0 pentru determinarea punctelor O1, O2, ... O8.
1’
A0=8
1
2
2’ 3’
5’
4’
6’
7’
A8=8’
A7
A6
1’
A0=8
1
2
D0
D0
06
7 6 02 04
A1
03 05 07
A2 01
08
A5
00
A3=5 A4
R
3 4
2’ 3’
6’
7’
A8=8’
A7
A6
06
7 6 02 04
A1
03 05 07
A2 01
08
A5
00
A3=5 A4
R
3 4
0
Fig. 14.20
5’
4’
0
Fig. 14.20
14.2 Curbe în spaĠiu. Elicea
14.2 Curbe în spaĠiu. Elicea
Elicea este o curbă în spaĠiu descrisă de un punct situat într-un plan
Elicea este o curbă în spaĠiu descrisă de un punct situat într-un plan
meridian care are o miúcare uniformă de translaĠie de-a lungul unei cilindru
meridian care are o miúcare uniformă de translaĠie de-a lungul unei cilindru
circular drept, sau a unui con, aflat în miúcare uniformă de rotaĠie.
circular drept, sau a unui con, aflat în miúcare uniformă de rotaĠie.
Pasul elicei notat cu p este distanĠa dintre două puncte consecutive
ale elicei măsurată pe aceeaúi generatoare.
193
Pasul elicei notat cu p este distanĠa dintre două puncte consecutive
ale elicei măsurată pe aceeaúi generatoare.
193
14.2.1 ConstrucĠia elicei cilindrice
14.2.1 ConstrucĠia elicei cilindrice
Pentru construcĠia elicei cilindrice când se cunosc diametrul d al
Pentru construcĠia elicei cilindrice când se cunosc diametrul d al
cilindrului úi pasul A’B al elicei conform Fig. 14.21 úi 14.22 se procedează
cilindrului úi pasul A’B al elicei conform Fig. 14.21 úi 14.22 se procedează
astfel: se construieúte cercul de diametru d cât úi proiecĠia verticală a
astfel: se construieúte cercul de diametru d cât úi proiecĠia verticală a
cilindrului, după care se continuă din punctul A cu construcĠia triunghiului
cilindrului, după care se continuă din punctul A cu construcĠia triunghiului
dreptunghic AA’B care are ca laturi lungimea cercului úi pasul elicei iar
dreptunghic AA’B care are ca laturi lungimea cercului úi pasul elicei iar
’
unghiul D = AA’B = Pas / S d.
unghiul D = AA B = Pas / S d.
Se împarte atât cercul cât úi lungimea cercului într-un număr de părĠi
Se împarte atât cercul cât úi lungimea cercului într-un număr de părĠi
egale (de exemplu 8) rezultând punctele de impărĠire 1, 2, ... 8. Prin
egale (de exemplu 8) rezultând punctele de impărĠire 1, 2, ... 8. Prin
punctele de împărĠire a cercului se trasează paralele la generatoarea
punctele de împărĠire a cercului se trasează paralele la generatoarea
cilindrului, iar prin punctele de împărĠire ale lungimii cercului (AA’ ) se
cilindrului, iar prin punctele de împărĠire ale lungimii cercului (AA’ ) se
ridică perpendiculare care intersectează dreapta AB cu înclinaĠia D faĠă de
ridică perpendiculare care intersectează dreapta AB cu înclinaĠia D faĠă de
orizontală în punctele 1’, 2’, …8’.
orizontală în punctele 1’, 2’, …8’.
Prin punctele de împărĠire 1’, 2’, …8’ se duc paralele la AA’ care
Prin punctele de împărĠire 1’, 2’, …8’ se duc paralele la AA’ care
intersectează paralelele la generatoare în punctele 1”, 2”, …8” puncte care
intersectează paralelele la generatoare în punctele 1”, 2”, …8” puncte care
aparĠin elicei. Unind aceste puncte printr-o linie curbă continuă trasată cu
aparĠin elicei. Unind aceste puncte printr-o linie curbă continuă trasată cu
ajutorului florarului se obĠine elicea cilindrică căutată.
ajutorului florarului se obĠine elicea cilindrică căutată.
3’
3
2
2’
1
6
5
1’
1 2 3 4 5 6 7
0=8
tg Į
7
Pas
ʌd
Fig. 14.21
2
6
4
3
5’
0=8
7
6
5
4
3
2
1
0
tg Į
6
7
Pas
ʌd
1
3
8’
ʌd
7
4
4’
7’
2’
1’
1 2 3 4 5 6 7
1
6
5
5
8
0
Fig. 14.22
194
3’
3
1
2
6’
6
5
4
7
1
3
8
7
6
5
4
3
2
1
0
ʌd
7
4
4’
5’
8’
Pas
6’
6
5
4
7’
Pas
8
7
8
0
4
1
2
Fig. 14.21
Fig. 14.22
194
5
3
14.2.2 ConstrucĠia elicei conice
14.2.2 ConstrucĠia elicei conice
Elicea conică este curba trasată prin intersecĠia unei drepte antrenate
Elicea conică este curba trasată prin intersecĠia unei drepte antrenate
într-o miúcare elicoidală care alunecă fără frecare în lungul axei unui con
într-o miúcare elicoidală care alunecă fără frecare în lungul axei unui con
de revoluĠie coaxială cu mărimi proporĠionale unghiului de rotaĠie.
de revoluĠie coaxială cu mărimi proporĠionale unghiului de rotaĠie.
Pentru construcĠia elicei conice când se cunosc conul pe care este
Pentru construcĠia elicei conice când se cunosc conul pe care este
trasată elicea, pasul úi sensul acesteia, conform Fig. 14.23 se procedează
trasată elicea, pasul úi sensul acesteia, conform Fig. 14.23 se procedează
astfel: se reprezintă conul în cele două vederi, după care cercul de diametru
astfel: se reprezintă conul în cele două vederi, după care cercul de diametru
AB se împarte într-un număr oarecare de părĠi egale (de exemplu 8)
AB se împarte într-un număr oarecare de părĠi egale (de exemplu 8)
împreună cu raza OB. În planul de bază (care cuprinde cercul de bază al
împreună cu raza OB. În planul de bază (care cuprinde cercul de bază al
conului) proiecĠia elicei conice este o spirală arhimedică ale cărei puncte I,
conului) proiecĠia elicei conice este o spirală arhimedică ale cărei puncte I,
II, … VIII rezultă din intersecĠia razelor O1, O2,…O8 duse prin diviziunile
II, … VIII rezultă din intersecĠia razelor O1, O2,…O8 duse prin diviziunile
razei OB. În continuare se coboară din vârful S înălĠimea O’S a conului
razei OB. În continuare se coboară din vârful S înălĠimea O’S a conului
egală cu pasul elicei care se împarte în acelaúi număr de părĠi egale (de
egală cu pasul elicei care se împarte în acelaúi număr de părĠi egale (de
exemplu 8), rezultând punctele 1”, 2’, …8”. Prin aceste puncte se duc
exemplu 8), rezultând punctele 1”, 2’, …8”. Prin aceste puncte se duc
perpendiculare la axa conului care prin intersectare (perpendicularele úi
perpendiculare la axa conului care prin intersectare (perpendicularele úi
paralelele de acelaúi număr) determină punctele de intersecĠie I”, II”,
paralelele de acelaúi număr) determină punctele de intersecĠie I”, II”,
…VIII”. Unind aceste puncte printr-o curbă continuă trasată cu ajutorul
…VIII”. Unind aceste puncte printr-o curbă continuă trasată cu ajutorul
fluorarului obĠinem elicea conică căutată.
fluorarului obĠinem elicea conică căutată.
S
IV’
S
1 I’
2
3 II’
III’4
IV’
V’ 5
V’ 5
6
VI’ 7
H
A’
6’ VI
B’
H’
H
A’
7’
0
IV
III
1
I23 456 7
6’ VI
S’
A
0
IV
III
1’
195
H’
7’
B
1
I23 456 7
II
3’
Fig. 14.23
2’
B’
VII
V
B
II
3’
VII’
0’
VII
V
A
6
VI’ 7
VII’
0’
S’
1 I’
2
3 II’
III’4
1’
Fig. 14.23
2’
195
Bibliografie
Bibliografie
1. Kh.A.Arustamov, Problems in Descriptive Geometrie, Moscou,
1. Kh.A.Arustamov, Problems in Descriptive Geometrie, Moscou,
1972;
1972;
2. M.St.Botez, , Geometrie descriptivă, Bucureúti, Ed. Didactică úi
Pedagogică, 1965;
2. M.St.Botez, , Geometrie descriptivă, Bucureúti, Ed. Didactică úi
Pedagogică, 1965;
3. V.Bunjulov, Desfăúuratele pieselor din tablă, Bucureúti, Ed.
Tehnică, 1965;
3. V.Bunjulov, Desfăúuratele pieselor din tablă, Bucureúti, Ed.
Tehnică, 1965;
4. N.F.Cetveruhin, Geometrie proiectivă, Bucureúti, Ed. Tehnică,
1956;
4. N.F.Cetveruhin, Geometrie proiectivă, Bucureúti, Ed. Tehnică,
1956;
5. V.Dragomir, St. Teodorescu, Geometrie descriptivă, Bucureúti,
Ed. Didactică úi Pedagogică, 1963;
6. J.Earle, Engineering design graphics, Massachusetts, Addison –
Wesley Publishing Co., 1970;
7. A. Ene, Curs de geometrie descriptivă, Craiova, Ed. Sitech,
1995, Vol.I úi Vol.II;
5. V.Dragomir, St. Teodorescu, Geometrie descriptivă, Bucureúti,
Ed. Didactică úi Pedagogică, 1963;
6. J.Earle, Engineering design graphics, Massachusetts, Addison –
Wesley Publishing Co., 1970;
7. A. Ene, Curs de geometrie descriptivă, Craiova, Ed. Sitech,
1995, Vol.I úi Vol.II;
8. C.Florea, ú.a., Geometrie descriptivă. SuprafeĠe úi corpuri cu
aplicaĠii in tehnică, Cluj-Napoca, Ed. UTPres, 2002;
8. C.Florea, ú.a., Geometrie descriptivă. SuprafeĠe úi corpuri cu
aplicaĠii in tehnică, Cluj-Napoca, Ed. UTPres, 2002;
9. S.Gordon, Geometrie descriptivă, Bucureúti, Ed. Tehnică, 1952;
9. S.Gordon, Geometrie descriptivă, Bucureúti, Ed. Tehnică, 1952;
10. R.P.Hoelscher, ú.a., Graphics for engineers, Illinois, Willey
10. R.P.Hoelscher, ú.a., Graphics for engineers, Illinois, Willey
International Edition, 1968;
11. T.Ivăceanu, ú.a., Geometrie descriptivă úi desen tehnic,
Bucureúti, Ed. Didactică úi Pedagogică, 1982;
12. A.Javary, Traité de Géométrie Descriptive, Paris, Ed. Delagrave,
1921;
International Edition, 1968;
11. T.Ivăceanu, ú.a., Geometrie descriptivă úi desen tehnic,
12. A.Javary, Traité de Géométrie Descriptive, Paris, Ed. Delagrave,
1921;
196
196
13. Al.Matei, V.Gaba, T.Tacu, Geometrie descriptivă, Bucureúti, Ed.
Tehnică, 1982;
Tehnică, 1982;
14. Al.Matei, ú.a., Geometrie descriptivă. Culegere de probleme,
15. J.Moncea, Geometrie descriptivă úi desen tehnic. Geometrie
descriptivă, Bucureúti, Ed. Didactică úi Pedagogică, 1982;
16. J.Moncea,
13. Al.Matei, V.Gaba, T.Tacu, Geometrie descriptivă, Bucureúti, Ed.
ú.a., Desfăúurarea suprafeĠelor, Bucureúti, Ed.
Tehnică, 1966;
14. Al.Matei, ú.a., Geometrie descriptivă. Culegere de probleme,
15. J.Moncea, Geometrie descriptivă úi desen tehnic. Geometrie
descriptivă, Bucureúti, Ed. Didactică úi Pedagogică, 1982;
16. J.Moncea,
ú.a., Desfăúurarea suprafeĠelor, Bucureúti, Ed.
Tehnică, 1966;
17. A.I.Ostrovski, Geometrie descriptivă, Bucureúti, Ed. Tehnică,
1953;
17. A.I.Ostrovski, Geometrie descriptivă, Bucureúti, Ed. Tehnică,
1953;
18. P.PrecupeĠu, C.Dale, ú.a. Geometrie descriptivă úi desen tehnic,
Partea I. Geometrie descriptivă, Bucureúti, Litografia IPB, 1980;
19. P.PrecupeĠu, C.Dale, Probleme de geometrie descriptivă cu
aplicaĠii in tehnică, Bucureúti, Ed. Tehnică, 1987;
20. R.ğiĠeica, ú.a., DicĠionar politehnic, Bucureúti, Ed. Tehnică,
1967;
18. P.PrecupeĠu, C.Dale, ú.a. Geometrie descriptivă úi desen tehnic,
Partea I. Geometrie descriptivă, Bucureúti, Litografia IPB, 1980;
19. P.PrecupeĠu, C.Dale, Probleme de geometrie descriptivă cu
aplicaĠii in tehnică, Bucureúti, Ed. Tehnică, 1987;
20. R.ğiĠeica, ú.a., DicĠionar politehnic, Bucureúti, Ed. Tehnică,
1967;
21. R. RăduleĠ, ùt. Bălan, Lexiconul Tehnic Român, Bucureúti, Ed.
Tehnică, 1952, Vol. I .... V;
22. A.Tănăsescu, Geometrie descriptivă, Bucureúti, Ed. Didactică úi
Pedagogică, 1965;
21. R. RăduleĠ, ùt. Bălan, Lexiconul Tehnic Român, Bucureúti, Ed.
Tehnică, 1952, Vol. I .... V;
22. A.Tănăsescu, Geometrie descriptivă, Bucureúti, Ed. Didactică úi
Pedagogică, 1965;
23. A.Tănăsescu, Geometrie descriptivă, perspectivă, axonometrie,
23. A.Tănăsescu, Geometrie descriptivă, perspectivă, axonometrie,
24. I.Simion, Geometrie descriptivă, Bucureúti, Ed. Bren, 2002;
24. I.Simion, Geometrie descriptivă, Bucureúti, Ed. Bren, 2002;
25. H.W.Yankee, Engineering graphics, Boston, PWS Publishers,
25. H.W.Yankee, Engineering graphics, Boston, PWS Publishers,
1985;
1985;
26. *** Mică Enciclopedie Matematică, traducere după Klaine
Enzyklopädie der Mathematik, Bucureúti, Ed. Tehnică, 1980;
197
26. *** Mică Enciclopedie Matematică, traducere după Klaine
Enzyklopädie der Mathematik, Bucureúti, Ed. Tehnică, 1980;
197
CUPRINS
CUPRINS
Introducere
7
Introducere
7
Cap. 1 Sisteme de proiecĠie
1.1. GeneralităĠi
1.2. Sisteme de referinĠă
1.3. Sisteme de reprezentare
8
10
12
Cap. 1 Sisteme de proiecĠie
1.1. GeneralităĠi
1.2. Sisteme de referinĠă
1.3. Sisteme de reprezentare
8
10
12
Cap. 2 Punctul
2.1. Reprezentarea punctului in epură
2.2. Punctul in diedre
2.3. Punctul in triedre
2.4. Puncte situate in planele bisectoare
2.5. Puncte situate pe linia de pămint
2.6. Puncte situate in planele de proiecĠie
2.7. Alfabetul punctului
18
18
19
21
22
22
23
Cap. 2 Punctul
2.1. Reprezentarea punctului in epură
2.2. Punctul in diedre
2.3. Punctul in triedre
2.4. Puncte situate in planele bisectoare
2.5. Puncte situate pe linia de pămint
2.6. Puncte situate in planele de proiecĠie
2.7. Alfabetul punctului
18
18
19
21
22
22
23
26
26
26
28
29
30
31
31
31
32
Cap. 3 Dreapta
3.1. Urmele dreptei
3.2. PoziĠiile remarcabile (particulare) ale unei drepte
3.2.1. Drepte paralele cu planele de proiecĠie
3.2.2. Drepte perpendiculare pe planele de proiecĠie
3.2.3. Drepte conĠinute in planele de proiecĠie
3.2.4. Drepte ce coincid cu una din axele de proiecĠie
3.3. PoziĠia relativă a două drepte
3.3.1. Drepte paralele
3.3.2. Drepte concurente
3.3.3. Drepte disjuncte (necoplanare, oarecare)
26
26
26
28
29
30
31
31
31
32
Cap. 3 Dreapta
3.1. Urmele dreptei
3.2. PoziĠiile remarcabile (particulare) ale unei drepte
3.2.1. Drepte paralele cu planele de proiecĠie
3.2.2. Drepte perpendiculare pe planele de proiecĠie
3.2.3. Drepte conĠinute in planele de proiecĠie
3.2.4. Drepte ce coincid cu una din axele de proiecĠie
3.3. PoziĠia relativă a două drepte
3.3.2. Drepte concurente
3.3.3. Drepte disjuncte (necoplanare, oarecare)
Cap.4 Planul
4.1. Reprezentarea úi urmele planului
4.2. PoziĠiile planului în raport cu planele de proiecĠie
4.2.1. Plan de poziĠie generală
4.2.2. Plane proiectante pe unul din planele de proiecĠie
4.2.3. Plane paralele cu un plan de proiecĠie úi perpendiculare
pe celelalte două
4.3. Drepte particulare ale planului
198
33
34
34
35
36
38
Cap.4 Planul
4.1. Reprezentarea úi urmele planului
4.2. PoziĠiile planului în raport cu planele de proiecĠie
4.2.1. Plan de poziĠie generală
4.2.2. Plane proiectante pe unul din planele de proiecĠie
4.2.3. Plane paralele cu un plan de proiecĠie úi perpendiculare
pe celelalte două
4.3. Drepte particulare ale planului
198
33
34
34
35
36
38
4.3.1.
4.3.2.
4.3.3.
4.3.4.
4.3.5.
4.4.
4.4.1.
4.4.2.
Orizontala planului
Frontala planului
Dreapta de profil a unui plan
Dreapta de cea mai mare pantă
Dreapta de cea mai mare inclinaĠie
PoziĠiile relative a două plane
Plane concurente
Plane paralele
38
38
39
39
40
40
40
41
4.3.1.
4.3.2.
4.3.3.
4.3.4.
4.3.5.
4.4.
4.4.1.
4.4.2.
Cap.5 IntersecĠia de plane úi plăci
5.1. Vizibilitate
5.2. IntersecĠia figurilor plane
5.2.1. IntersecĠia unei drepte cu o placă triunghiulară
5.2.2. IntersecĠia a două plane definite de urmele lor
5.3. IntersecĠia a două plăci
5.3.1. Pătrunderea
5.3.2. Smulgerea
5.3.3. Intersec Ġia a două plăci triunghiulare
42
42
43
43
44
44
45
46
Cap.5 IntersecĠia de plane úi plăci
5.1. Vizibilitate
5.2. IntersecĠia figurilor plane
5.2.1. IntersecĠia unei drepte cu o placă triunghiulară
5.2.2. IntersecĠia a două plane definite de urmele lor
5.3. IntersecĠia a două plăci
5.3.1. Pătrunderea
5.3.2. Smulgerea
5.3.3. Intersec Ġia a două plăci triunghiulare
42
42
43
43
44
44
45
46
Cap.6 Metodele geometriei descriptive
6.1. Metoda schimbării de plan
6.1.1. GeneralităĠi
6.1.2. Metoda schimbării de plan orizontal de proiecĠie
6.1.3. Metoda schimbării de plan vertical de proiecĠie
6.2. Metoda rotaĠiei
6.2.2. RotaĠia de nivel
6.2.3. RotaĠia de front
6.2.4. Adevărata mărime a unei figuri plane prin metoda rotaĠiei
6.3.2. Robaterea unui plan pe planul orizontal de proiecĠie
6.3.3. Robaterea unui plan pe planul vertical de proiecĠie
6.3.4. Adevărata mărime a unei figuri plane prin metoda rabaterii
48
48
48
50
52
52
53
55
58
60
60
61
63
63
Cap.6 Metodele geometriei descriptive
6.1. Metoda schimbării de plan
6.1.2. Metoda schimbării de plan orizontal de proiecĠie
6.1.3. Metoda schimbării de plan vertical de proiecĠie
6.2. Metoda rotaĠiei
6.2.2. RotaĠia de nivel
6.2.3. RotaĠia de front
6.2.4. Adevărata mărime a unei figuri plane prin metoda rotaĠiei
6.3.2. Robaterea unui plan pe planul orizontal de proiecĠie
6.3.3. Robaterea unui plan pe planul vertical de proiecĠie
6.3.4. Adevărata mărime a unei figuri plane prin metoda rabaterii
48
48
48
50
52
52
53
55
58
60
60
61
63
63
65
70
71
73
75
Cap.7 Poliedre
7.1. Reprezentare
7.2. SecĠiuni plane in poliedre
7.2.1. IntersecĠia unui plan cu o prismă
7.2.2. IntersecĠia unui plan cu o piramidă
7.3. Desfăúuratele unor poliedre mai importante
65
70
71
73
75
Cap.7 Poliedre
7.1. Reprezentare
7.2. SecĠiuni plane in poliedre
7.2.1. IntersecĠia unui plan cu o prismă
7.2.2. IntersecĠia unui plan cu o piramidă
7.3. Desfăúuratele unor poliedre mai importante
199
Orizontala planului
Frontala planului
Dreapta de profil a unui plan
Dreapta de cea mai mare pantă
Dreapta de cea mai mare inclinaĠie
PoziĠiile relative a două plane
Plane concurente
Plane paralele
199
38
38
39
39
40
40
40
41
Cap.8 Corpuri de rotaĠie
8.1. Reprezentare
8.2. SecĠiuni plane în solide de rotaĠie
8.2.2. SecĠiunnea într-un con circular drept
8.3. Desfăúuratele unor corpuri de rotaĠie mai importante
Cap.9 IntersecĠii de corpuri; desfăúuratele lor
9.1. IntersecĠia dintre doi cilindrii cu diametre diferite úi axe
perpendiculare
9.2. IntersecĠia sub un unghi oarecare a doi cilindri de
diametre diferite
9.3. IntersecĠia dintre un cilindru úi o prismă
9.4. IntersecĠia dintre un cilindru úi un con ce pătrunde oblic
în cilindru
9.5. IntersecĠia dintre un cilindru úi un poliedru
9.6. IntersecĠia unui cilindru cu o sferă
9.7. IntersecĠia dintre un con cu o sferă
9.8. Racordarea unei secĠiuni circulare la o secĠiune pătrată
79
83
83
84
85
90
90
92
93
94
95
97
98
Cap.8 Corpuri de rotaĠie
8.1. Reprezentare
8.2. SecĠiuni plane în solide de rotaĠie
8.2.2. SecĠiunnea într-un con circular drept
8.3. Desfăúuratele unor corpuri de rotaĠie mai importante
Cap.9 IntersecĠii de corpuri; desfăúuratele lor
9.1. IntersecĠia dintre doi cilindrii cu diametre diferite úi axe
perpendiculare
9.2. IntersecĠia sub un unghi oarecare a doi cilindri de
diametre diferite
9.3. IntersecĠia dintre un cilindru úi o prismă
9.4. IntersecĠia dintre un cilindru úi un con ce pătrunde oblic
în cilindru
9.5. IntersecĠia dintre un cilindru úi un poliedru
9.6. IntersecĠia unui cilindru cu o sferă
9.7. IntersecĠia dintre un con cu o sferă
9.8. Racordarea unei secĠiuni circulare la o secĠiune pătrată
79
83
83
84
85
90
90
92
93
94
95
97
98
Cap.10 Linii, suprafeĠe úi corpuri elicoidale
102
10.1.1. Elicea cilindrică
102
10.1.2. Elicea conică
103
10.1.3. Elicea sferică
104
10.2. SuprafeĠe elicoidale
105
10.2.1. SuprafaĠa elicoidală strâmbă
106
10.2.2. SuprafaĠa elicoidală strâmbă generată de o dreaptă
108
care nu intersectează axa
10.2.3. SuprafaĠa elicoidală dreaptă generată de un segment a
109
cărui dreaptă face un unghi de 900 cu axa úi este concurentă cu aceasta
110
10.3. Corpuri elicoidale (elipsoide)
111
10.4. Profilul filetelor
114
Cap.10 Linii, suprafeĠe úi corpuri elicoidale
102
10.1.1. Elicea cilindrică
102
10.1.2. Elicea conică
103
10.1.3. Elicea sferică
104
10.2. SuprafeĠe elicoidale
105
10.2.1. SuprafaĠa elicoidală strâmbă
106
10.2.2. SuprafaĠa elicoidală strâmbă generată de o dreaptă
108
care nu intersectează axa
10.2.3. SuprafaĠa elicoidală dreaptă generată de un segment a
109
cărui dreaptă face un unghi de 900 cu axa úi este concurentă cu aceasta
110
10.3. Corpuri elicoidale (elipsoide)
111
10.4. Profilul filetelor
114
200
200
CONSTRUCTII GEOMETRIE
CONSTRUCTII GEOMETRIE
Cap.11 NoĠiuni geometrice fundamentale
11.1.
Originea noĠiunilor geometrice fundamentale
11.2.
Punctul úi mulĠimea de puncte
11.3.
Linii úi tipuri de linii
11.3.1. Linia dreaptă, linia frintă úi linia curbă
11.3.2.1. Paralela la o dreaptă printr-un punct dat
11.3.2.2. Paralela la o dreaptă cu o distanĠă dată
11.3.3. Drepte perpendiculare
11.3.3.1. Perpendiculara pe o dreptă într-un punct dat
11.3.3.2. Perpendiculara dintr-un punct exterior pe o dreaptă
11.3.3.3. Perpendiculara la capătul dreptei
11.3.3.4. Perpendiculara dintr-un punct dat situat deasupra úi
înafara dreptei
11.3.4. ÎmpărĠirea unui segment de dreaptă
11.3.4.1. Determinarea mijlocului unui segment
11.3.4.2. ÎmpărĠirea unui segment în mai multe părĠi egale
11.3.4.3. Reducerea unui segment de dreaptă într-un raport dat
11.3.4.4. ÎmpărĠirea unui segment în părĠi proporĠionale cu două
segmente date
11.4
Plan.Semiplan
11.5
Unghiuri
11.5.3. ÎmpărĠirea unghiului în două părĠi egale
11.5.3.1. ConstrucĠia bisectorei unui unghi cu ajutorul
compasului
11.5.3.2. ÎmpărĠirea unghiului în două părĠi egale a unghiului
al cărui vârf se situează în afara desenului
11.5.4. ConstrucĠia unghiurilor cu valori consacrate
11.5.5. ConstrucĠia unghiurilor ca sumă sau diferenĠă de unghiuri
11.5.5.1. ConstrucĠia unui unghi ca sumă a două unghiuri
11.5.5.2. ConstrucĠia unui unghi ca diferenĠă a două unghiuri
11.5.5.3. ÎmpărĠirea unghiului într-un număr oarecare de părĠi egale
11.5.6. ConstrucĠia unei drepte cu o inclinaĠie dată faĠă de o
altă dreaptă
11.5.7. ConstrucĠia unghiului de 1800
201
119
119
120
120
123
123
124
125
125
126
126
127
128
128
128
129
130
130
132
132
133
135
135
136
136
140
141
141
141
142
143
143
Cap.11 NoĠiuni geometrice fundamentale
11.1.
Originea noĠiunilor geometrice fundamentale
11.2.
Punctul úi mulĠimea de puncte
11.3.
Linii úi tipuri de linii
11.3.1. Linia dreaptă, linia frintă úi linia curbă
11.3.2.1. Paralela la o dreaptă printr-un punct dat
11.3.2.2. Paralela la o dreaptă cu o distanĠă dată
11.3.3. Drepte perpendiculare
11.3.3.1. Perpendiculara pe o dreptă într-un punct dat
11.3.3.2. Perpendiculara dintr-un punct exterior pe o dreaptă
11.3.3.3. Perpendiculara la capătul dreptei
11.3.3.4. Perpendiculara dintr-un punct dat situat deasupra úi
înafara dreptei
11.3.4. ÎmpărĠirea unui segment de dreaptă
11.3.4.1. Determinarea mijlocului unui segment
11.3.4.2. ÎmpărĠirea unui segment în mai multe părĠi egale
11.3.4.3. Reducerea unui segment de dreaptă într-un raport dat
11.3.4.4. ÎmpărĠirea unui segment în părĠi proporĠionale cu două
segmente date
11.4
Plan.Semiplan
11.5
Unghiuri
11.5.3. ÎmpărĠirea unghiului în două părĠi egale
11.5.3.1. ConstrucĠia bisectorei unui unghi cu ajutorul
compasului
11.5.3.2. ÎmpărĠirea unghiului în două părĠi egale a unghiului
al cărui vârf se situează în afara desenului
11.5.4. ConstrucĠia unghiurilor cu valori consacrate
11.5.5. ConstrucĠia unghiurilor ca sumă sau diferenĠă de unghiuri
11.5.5.1. ConstrucĠia unui unghi ca sumă a două unghiuri
11.5.5.2. ConstrucĠia unui unghi ca diferenĠă a două unghiuri
11.5.5.3. ÎmpărĠirea unghiului într-un număr oarecare de părĠi egale
11.5.6. ConstrucĠia unei drepte cu o inclinaĠie dată faĠă de o
altă dreaptă
201
119
119
120
120
123
123
124
125
125
126
126
127
128
128
128
129
130
130
132
132
133
135
135
136
136
140
141
141
141
142
143
143
Cap.12
12.1
12.2
12.2.1.
12.2.2.
12.2.3.
12.2.4.
12.3.
12.3.1.
12.3.2.
12.3.3.
12.3.4.
12.3.5.
12.3.6.
12.4.
12.4.1.
12.4.2.
12.4.3.
12.4.4.
12.4.5.
12.4.6.
12.5.
12.5.1.
12.5.2.
12.5.3.
12.5.4.
12.5.5.
12.5.6.
12.6.
12.6.1.
12.6.2.
Cercul
Elementele cercului
ConstrucĠia grafică a cercului
ConstrucĠia cercului când se cunosc poziĠia centrului úi raza
ConstrucĠia cercului când se cunosc două puncte situate
pe cerc úi raza
ConstrucĠia cercurilor care trec prin două puncte
ConstrucĠia cercului care trece prin trei puncte necoliniare
Determinarea grafică a unora din elementele cercului
Determinarea centrului unui punct dat
Determinarea centrului unui cerc când se dă arcul AB
Determinarea arcului de cerc cu centrul în afara
planului de lucru cunoscând o coardă úi săgeata
Determinarea lungimii unui semicerc
Determinarea săgeĠii când se cunoaúte coarda úi un punct
de pe cerc
Determinarea lungimii unui arc oarecare AB al unui cerc
de rază R
ÎmpărĠirea cercului în părĠi egale
ÎmpărĠirea cercului în două în patru úi în opt părĠi egale
ÎmpărĠirea cercului în trei, în úase úi în douăsprezece
părĠi egale
ÎmpărĠirea cercului în cinci úi în zece părĠi egale
ÎmpărĠirea cercului în úapte părĠi egale
ÎmpărĠirea cercului în nouă úi în douăzeci de părĠi egale
ÎmpărĠirea cercului într-un număr oarecare de părĠi egale
Tangenta. Cercuri tangente
Tangenta la cerc
Tangenta dintr-un punct exterior la cerc
Tangente exterioare la două cercuri
Tangente interioare la două cercuri
Cercuri tangente interior
Cercuri tangente exterior
Cercuri concentrice
Cercuri concentrice interior
Cercuri concentrice exterior
Cap.13 Racordări
13.1. Elementele racordării
13.2.
Racordarea a două drepte
13.2.1. Racordarea a două drepte cu un arc de cerc de rază dată
202
144
145
145
146
Cap.12
12.1
12.2
12.2.1.
12.2.2.
Cercul
Elementele cercului
ConstrucĠia grafică a cercului
ConstrucĠia cercului când se cunosc poziĠia centrului úi raza
ConstrucĠia cercului când se cunosc două puncte situate
pe cerc úi raza
ConstrucĠia cercurilor care trec prin două puncte
ConstrucĠia cercului care trece prin trei puncte necoliniare
Determinarea grafică a unora din elementele cercului
Determinarea centrului unui punct dat
Determinarea centrului unui cerc când se dă arcul AB
Determinarea arcului de cerc cu centrul în afara
planului de lucru cunoscând o coardă úi săgeata
Determinarea lungimii unui semicerc
Determinarea săgeĠii când se cunoaúte coarda úi un punct
de pe cerc
Determinarea lungimii unui arc oarecare AB al unui cerc
de rază R
ÎmpărĠirea cercului în părĠi egale
ÎmpărĠirea cercului în două în patru úi în opt părĠi egale
ÎmpărĠirea cercului în trei, în úase úi în douăsprezece
părĠi egale
ÎmpărĠirea cercului în cinci úi în zece părĠi egale
ÎmpărĠirea cercului în úapte părĠi egale
ÎmpărĠirea cercului în nouă úi în douăzeci de părĠi egale
ÎmpărĠirea cercului într-un număr oarecare de părĠi egale
Tangenta. Cercuri tangente
Tangenta la cerc
Tangenta dintr-un punct exterior la cerc
Tangente exterioare la două cercuri
Tangente interioare la două cercuri
Cercuri tangente interior
Cercuri tangente exterior
Cercuri concentrice
Cercuri concentrice interior
Cercuri concentrice exterior
146
147
147
147
148
148
12.2.3.
12.2.4.
12.3.
12.3.1.
12.3.2.
12.3.3.
149
150
12.3.4.
12.3.5.
150
12.3.6.
151
151
152
12.4.
12.4.1.
12.4.2.
153
154
155
155
156
156
157
158
159
159
160
161
161
161
12.4.3.
12.4.4.
12.4.5.
12.4.6.
12.5.
12.5.1.
12.5.2.
12.5.3.
12.5.4.
12.5.5.
12.5.6.
12.6.
12.6.1.
12.6.2.
162
163
163
Cap.13 Racordări
13.1. Elementele racordării
13.2.
Racordarea a două drepte
13.2.1. Racordarea a două drepte cu un arc de cerc de rază dată
202
144
145
145
146
146
147
147
147
148
148
149
150
150
151
151
152
153
154
155
155
156
156
157
158
159
159
160
161
161
161
162
163
163
13.2.1.1. Metoda paralelelor
163
13.2.1.2. Metoda bisectoarei
164
13.2.2. Racordarea a două drepte cu un arc de cerc fiind dat unul
164
13.2.3. Racordarea a două drepte paralele cu un arc de cerc fiind
165
13.2.4. Racordarea a două drepte perpendiculare cu un arc de cerc 166
de rază dată
13.2.5. Racordarea a două drepte paralele prin două arce de cerc
167
13.2.6. Racordarea a două perechi de drepte paralele egal depărtate 167
între ele prin două arce de cerc fiind date punctele de racordare
13.3.
Racordarea unei drepte cu un cerc dat
168
13.3.1. Racordarea unei drepte cu un cerc de rază dată
168
169
13.3.3. Racordarea unei drepte cu un cerc fiind dat punctual de
169
13.3.4. Racordarea unei drepte cu un cerc printr-un arc de cerc
170
171
13.4.
Racordarea a două cercuri
172
13.4.1. Racordarea a două cercuri cu un arc de cerc de rază dată
172
172
173
tangent interior la unul úi exterior la celălalt cerc
13.2.1.1. Metoda paralelelor
163
13.2.1.2. Metoda bisectoarei
164
13.2.2. Racordarea a două drepte cu un arc de cerc fiind dat unul
164
13.2.3. Racordarea a două drepte paralele cu un arc de cerc fiind
165
13.2.4. Racordarea a două drepte perpendiculare cu un arc de cerc 166
de rază dată
13.2.5. Racordarea a două drepte paralele prin două arce de cerc
167
13.2.6. Racordarea a două perechi de drepte paralele egal depărtate 167
între ele prin două arce de cerc fiind date punctele de racordare
13.3.
Racordarea unei drepte cu un cerc dat
168
13.3.1. Racordarea unei drepte cu un cerc de rază dată
168
169
13.3.3. Racordarea unei drepte cu un cerc fiind dat punctual de
169
170
171
13.4.
Racordarea a două cercuri
172
172
172
173
tangent interior la unul úi exterior la celălalt cerc
Cap.14 Curbe
14.1.
Curbe plane
14.1.1. Curbe definite prin arce de cerc
14.1.1.1. ConstrucĠia ovoidului când se cunoaúte axa mică
14.1.1.2. ConstrucĠia ovalului când se cunoaúte axa mare
14.1.1.3. ConstrucĠia ovalului când se cunosc axele
14.1.1.4. ConstrucĠia ovalului prin metoda dreptunghiului
14.1.2.
Spirale
14.1.2.1. Spirale definite prin arce de cerc
14.1.2.1.1. ConstrucĠia spiralei cu două centre
14.1.2.1.2. ConstrucĠia spiralei cu trei centre
Cap.14 Curbe
14.1.
Curbe plane
14.1.1. Curbe definite prin arce de cerc
14.1.1.1. ConstrucĠia ovoidului când se cunoaúte axa mică
14.1.1.2. ConstrucĠia ovalului când se cunoaúte axa mare
14.1.1.3. ConstrucĠia ovalului când se cunosc axele
14.1.1.4. ConstrucĠia ovalului prin metoda dreptunghiului
14.1.2.
Spirale
14.1.2.1. Spirale definite prin arce de cerc
14.1.2.1.1. ConstrucĠia spiralei cu două centre
14.1.2.1.2. ConstrucĠia spiralei cu trei centre
203
174
174
174
175
176
177
177
177
178
178
203
174
174
174
175
176
177
177
177
178
178
14.1.2.1.3. ConstrucĠia spiralei cu patru centere
14.1.2.2. Spirale definite ca rotaĠii
14.1.2.2.1. ConstrucĠia spiralei lui Arhimede când se cunoaúte
pasul spiralei
14.1.2.2.1. ConstrucĠia spiralei hiperbolice când se cunoaúte distanĠa
asimptotei faĠă de originea coordonatelor
14.1.3.
Curbe conice
14.1.3.1. Elipsa. ConstrucĠia elipsei când se cunosc axele
14.1.3.2. Parabola
14.1.3.2.1. ConstrucĠia parabolei când se cunosc vârful A,
axa AX úi un punct M
14.1.3.2.2. ConstrucĠia parabolei când se cunosc directoarea
úi focarul
14.1.3.3. Hiperbola. ConstrucĠia hiperbolei când se cunosc
distanĠele dintre focare úi dintre vârfuri
14.1.4. Curbe ciclice
14.1.4.1. ConstrucĠia evolventei
14.1.4.2. ConstrucĠia cicloidei
14.1.4.3. ConstrucĠia epicicloidei
14.1.4.4. ConstrucĠia hipocicloidei
14.2.
Curbe în spaĠiu. Elicea
14.2.1. ConstrucĠia elicei cilindrice
14.2.2. ConstrucĠia elicei conice
189
189
190
191
193
193
194
195
14.1.2.1.3. ConstrucĠia spiralei cu patru centere
14.1.2.2. Spirale definite ca rotaĠii
14.1.2.2.1. ConstrucĠia spiralei lui Arhimede când se cunoaúte
pasul spiralei
14.1.2.2.1. ConstrucĠia spiralei hiperbolice când se cunoaúte distanĠa
asimptotei faĠă de originea coordonatelor
14.1.3.
Curbe conice
14.1.3.1. Elipsa. ConstrucĠia elipsei când se cunosc axele
14.1.3.2. Parabola
14.1.3.2.1. ConstrucĠia parabolei când se cunosc vârful A,
axa AX úi un punct M
14.1.3.2.2. ConstrucĠia parabolei când se cunosc directoarea
úi focarul
14.1.3.3. Hiperbola. ConstrucĠia hiperbolei când se cunosc
distanĠele dintre focare úi dintre vârfuri
14.1.4. Curbe ciclice
14.1.4.1. ConstrucĠia evolventei
14.1.4.2. ConstrucĠia cicloidei
14.1.4.3. ConstrucĠia epicicloidei
14.1.4.4. ConstrucĠia hipocicloidei
14.2.
Curbe în spaĠiu. Elicea
14.2.1. ConstrucĠia elicei cilindrice
14.2.2. ConstrucĠia elicei conice
Bibliografie
196
Bibliografie
196
Cuprins
198
Cuprins
198
204
179
180
180
181
182
182
184
185
186
187
204
179
180
180
181
182
182
184
185
186
187
189
189
190
191
193
193
194
195

Traian Valeriu Popescu GEOMETRIE DESCRIPTIVA

Transcripción

Documentos relacionados

Ministerul Educatiei Nationale Societatea de Stiinte Matematice din

celular base omnidirec. gt-900/1800