Unidad_12a_sol4¼A_ESO

12
1
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 1
Página 166
Justifica que 1 cm del plano corresponde a 1 m en la vivienda real.
Cada medida del plano hay que multiplicarla por 100 para obtener la medida real.
1 cm × 100 = 100 cm = 1 m
123
14243
PLANO
MEDIDA REAL
Averigua las dimensiones reales —largo y ancho— del salón, la cocina y una
de las habitaciones. Calcula la superficie de cada una de ellas.
MEDIDAS EN EL PLANO
SALÓN
COCINA
HABIT.
1
HABIT. 2
HABIT. 3
MEDIDAS REALES
LARGO
ANCHO
LARGO
ANCHO
3 cm
4 cm
3,8 cm
3,1 cm
2,8 cm
3,6 cm
2,5 cm
3,5 cm
2,3 cm
2,3 cm
2,5 cm
2,5 cm
3m
4m
3,8 m
3,1 m
2,8 m
3,6 m
2,5 m
3,5 m
2,3 m
2,3 m
2,5 m
2,5 m
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1 Este es el plano de una
parte de una ciudad, a escala 1:10 000.
a) Justifica que 1 cm en el
plano corresponde a 100
m en la realidad.
Unidad 12. Semejanza
SUPERFICIE
21,5 m 2
8,74 m 2
7,13 m 2
7 m2
9 m2
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1
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 2
b) Amalia vive en A y Benito vive en B. Escoge un itinerario para ir de una casa
a la otra y calcula la distancia que tienen que recorrer.
¿Cuánto se tarda, aproximadamente, si se recorre paseando a 3 km/h?
c) Calcula la superficie real del parque.
a) Como la escala es 1:10 000, 1 cm del plano corresponde a 10 000 cm en la realidad y 10 000 cm = 100 m.
b) Respuesta abierta, dependiendo del itinerario escogido.
c) Largo del parque: 25 mm = 2,5 cm → 250 m
Ancho del parque: 15 mm = 1,5 cm → 150 m
Superficie del parque: 250 · 150 = 37 500 m 2
2 Sabemos que la distancia desde Punta Rodríguez hasta Punta Pacheco es de
10,5 km. Averigua la escala a que está construido el mapa y halla la distancia
entre Cabo Dampier y Punta Gissler.
Cabo
Dampier
Punta Barreto
Punta
Pacheco
Ba
h
Punta
Rodríguez
I
ía
sias
gle
Punta Ibdes
Bahía Wafer
Cabo Descubierto
Punta Gissler
La distancia, en el mapa, entre Punta Rodríguez y Punta Pacheco es de 10,5 cm.
Por tanto, la escala es:
10,5 cm =
1
→ 1:100 000
1 050 000 cm 100 000
Página 169
3 Este mapa está a escala 1:20 000 000.
a) Justifica que 1 cm en el mapa corresponde a 200 km en la realidad.
b) Halla la distancia de Lanzarote a San Sebastián.
c) Sitúa tu localidad en el mapa y halla su distancia a Argel y a Marrakech.
Unidad 12. Semejanza
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
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A
N
O
A
T
L
Á
N
T
I
C
O
Pág. 3
É
Burdeos
Santiago de Compostela A Coruña
Gijón
Pontevedra Lugo Oviedo Santander
San Sebastián Toulouse
Vigo
Ourense León Bilbao
Burgos Vitoria
Palencia
Pamplona ANDORRA
Oporto
Logroño
Zamora Valladolid
Huesca Andorra la Vella
Soria
Zaragoza Lleida Girona
P O R T U G A L Salamanca Segovia
Guadalajara
Barce
Ávila
Tarragona
Madrid
Teruel
Lisboa
Cáceres Toledo
Cuenca
Castellón de la Pla
Ciudad Real
Badajoz
Valencia
E S P A Ñ A Albacete
Mal
Huelva
Córdoba
Murcia Alicante Ibiza
Sevilla
Jaén
Málaga
Granada
Cádiz
Almería
Tánger Ceuta
Argel
Tetuán
Melilla
Orán
Rabat
Nador
Fez
Casablanca
C
O
M A R R U E C O S
La Palma Canarias
Marrakech
(ESPAÑA)
El Hierro
Tenerife
La Gomera
Gran Canaria
Lanzarote
Fuerteventura
Agadir
Sidi Ifni
a) La escala es 1:20 000 000, luego 1 cm son 20 000 000 cm, es decir, 200 km.
b) Sobre el mapa hay 10,6 cm, que corresponden, en la realidad, a:
10,6 · 200 km = 2 120 km
c) Respuesta abierta, dependiendo de la localidad elegida.
TENERIFE
LA LAGUNA
0
10
20
PUERTO DE
LA CRUZ
30 km
SANTA CRUZ
DE TENERIFE
ESCALA GR FICA
Parque Nal. de
Las Cañadas del Teide
Teide
3718
LA GOMERA
Parque
Nacional de
Garajonay
Garajonay
1487
San Sebasti n
de la Gomera
Granadilla
de Abona
4 a) Comprueba que la escala es 1:1 000 000.
b) Halla la distancia recorrida por un barco que va de Santa Cruz de Tenerife a
San Sebastián de la Gomera (itinerario rojo).
Unidad 12. Semejanza
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1
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
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c) Estima la distancia recorrida por un yate de recreo (itinerario azul) en un
viaje desde Santa Cruz de Tenerife al Puerto de la Cruz, bordeando la costa
sur de la isla.
d) ¿Qué distancia recorrerá un avión desde el aeropuerto de Los Rodeos, próximo a La Laguna, hasta sobrevolar el Parque Nacional de Garajonay, en el
centro de La Gomera?
e) Calcula la distancia en línea recta y por carretera entre Santa Cruz y Granadilla de Abona.
a) En la escala gráfica que se da, 1 cm equivale a 10 km en la realidad; como
10 km = 1 000 000 cm → la escala es 1:1 000 000.
b) Distancia en el mapa = 3,6 + 1,9 + 1,4 + 4,4 = 11,3 cm
Distancia real = 11,3 · 10 km = 113 km
c) Distancia en el mapa = 3,6 + 1,9 + 1,1 + 0,7 + 4,6 + 1,3 + 2,6 = 15,8 cm
Distancia real = 15,8 · 10 km = 158 km
d) Distancia en el mapa = 10 cm
Distancia real recorrida = 10 · 10 km = 100 km
e) En el plano hay una distancia en línea recta de 5 cm, que en la realidad son
50 km. Por carretera hay una distancia aproximada de 6,3 cm en el plano, que
en la realidad corresponden a 63 km.
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1 Halla, midiendo, las longitudes de los segmentos MN, M'N' y N'P'. Averigua, sin medir, la longitud de NP.
—
—
—
MN = 12 mm; M'N' = 8 mm; N'P' = 12 mm
—
—
—
MN = NP ; 12 = NP
—
—
M'N' N'P' 8
12
P
N
—
→ NP = 144 = 18 mm
8
M
r
s
M'
N'
P'
2 Halla, midiendo, las longitudes de OR, RS y OR'. Averigua, sin medir, la
longitud de R'S'.
—
—
—
OR = 25 mm; RS = 50 mm; OR' = 15 mm
—
—
OR = RS ; 25 = 50 →
—
—
—
OR' R'S' 15 R'S'
—
→ R'S' = 15 · 50 = 30 mm
25
Unidad 12. Semejanza
S
R
O
R'
S'
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
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Pág. 5
Página 171
1 Comprueba si son semejantes dos triángulos ABC y A'B'C' que cumplen las
condiciones siguientes:
a) AB = 10; BC = 18; CA = 12
A'B' = 25; B'C' = 45; C'A' = 30
b) AB = 20; BC = 30; CA = 40
A'B' = 40; B'C' = 50; C'A' = 60
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
c) A = 43°; B = 58°
A' = 43°; B' = 58°
d) A = 58°; B = 97°
A' = 58°; C' = 35°
a) AB = 10; BC = 18; CA = 12; A'B' = 25; B'C' = 45; C'A' = 30
—
—
—
A'B' = 25 = 2,5
B'C' = 45 = 2,5
C'A' = 30 = 2,5
—
—
—
10
18
12
AB
BC
CA
Sí son semejantes.
b) AB = 20; BC = 30; CA = 40; A'B' = 40; B'C' = 50; C'A' = 60
—
—
—
A'B' = 40 = 2
B'C' = 50 = 5
C'A' = 60 = 1,5
—
—
—
20
30 3
40
AB
BC
CA
No son semejantes.
∧
∧
∧
∧
c) A = 43°; B = 58°; A' = 43°; B' = 58°
∧
∧
∧
∧
∧
∧
Como A = A' y B = B' → C = C' ; los ángulos respectivos son iguales.
Son semejantes los triángulos.
∧
∧
∧
∧
d) A = 58°; B = 97°; A' = 58°; C' = 35°
∧
∧
∧
∧
∧
∧
C = 180 – A – B = 180° – 58° – 97° = 25°
B' = 180 – A' – C' = 180° – 58° – 35° = 87°
No son semejantes.
Página 172
1 a) Comprueba que 3, 4 y 5 son “números pitagóricos”, es decir, que pueden
ser longitudes de los lados de un triángulo rectángulo (o sea, que
52 = 32 + 42). Haz lo mismo para:
b) 0,6; 0,8 y 1
c) 5, 12 y 13
e) 8, 15 y 17
f ) 1; 1,875 y 2,125
Unidad 12. Semejanza
d) 7, 24 y 25
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SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 6
a) 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5 2 → 3, 4, 5 son números pitagóricos.
b) 0,6 2 + 0,8 2 = 0,36 + 0,64 = 1 = 1 2
c) 5 2 + 12 2 = 25 + 144 = 169 = 13 2
d) 7 2 + 24 2 = 49 + 576 = 625 = 25 2
e) 8 2 + 15 2 = 64 + 225 = 289 = 17 2
f ) 1 2 + 1,875 2 = 4,515625 = 2,125 2
2 Calcula el área y la altura sobre la hipotenusa de los seis triángulos rectángulos
descritos en el ejercicio anterior.
a)
5
3
h
4
b)
1
0,6
h
0,8
c)
13
5
h
12
d)
25
7
h
24
e)
17
8
h
A= 3·4 =6
2
A = h · 5 → 6 = h · 5 → h = 12 → h = 2,4
2
2
2
A = 0,6 · 0,8 = 0,24
2
A = 1 · h → 0,24 = h → h = 2 · 0,24 → h = 0,48
2
2
A = 12 · 5 = 30
2
A = h · 13 → 30 = h · 13 → h = 60 → h ≈ 4,62
2
2
13
A = 7 · 24 = 84
2
A = h · 25 → 84 = h · 25 → h = 168 → h = 6,72
2
2
25
A = 8 · 15 = 60
2
A = 17 · h → 60 = 17 · h → h = 120 → h ≈ 7,06
2
2
17
15
f)
2,125
1
h
1,875
Unidad 12. Semejanza
A = 1 · 1,875 = 0,9375
2
A = 2,125 · h → 0,9375 = 2,125 · h →
2
2
→ h = 0,9375 · 2 → h ≈ 0,88
2,125
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SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 7
3 Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 28°. Otro triángulo rectángulo
tiene un ángulo de 62°. Explica por qué son semejantes.
En un triángulo rectángulo, la suma de los dos ángulos agudos es 90°. Así:
• Si un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 28°, el otro ángulo medirá:
90° – 28° = 62°
• Si otro triángulo rectángulo tiene un ángulo de 62°, el otro ángulo medirá:
90° – 62° = 28°
De este modo, los dos triángulos tienen sus ángulos respectivamente iguales.
Aplicando el criterio II se deduce que ambos triángulos son semejantes.
Página 173
1 Halla el área y el perímetro de un triángulo sabiendo que dos de sus lados miden 450 m y 580 m y el ángulo que forman es de 40°. (Construye un triángulo semejante a este y toma sobre él las medidas que convenga).
• Construimos un triángulo semejante al dado de la siguiente forma:
450 m reales equivalen a 4,5 cm 
 →
580 m reales equivalen a 5,8 cm 
Razón de semejanza = 45 000 cm = 10 000
4,5 cm
Medimos h y c: h = 2,9 cm, c = 3,7 cm
5,8 cm
c
h
A = 5,8 · 2,9 = 8,41 cm 2
2
Perímetro P = 4,5 + 5,8 + 3,7 = 14 cm
40°
4,5 cm
• Calculamos el área y el perímetro del triángulo grande:
La razón de semejanza entre las áreas es 10 000 2.
Áreas = 8,41 · 10 000 2 = 84 100 000 cm 2 = 8 410 m 2
Perímetro = 14 · 10 000 = 140 000 = 1 400 m
2 En el mismo instante y lugar del ejercicio resuelto 2, una casa arroja una sombra de 17,4 m.
a) ¿Cuál es su altura real?
b) ¿De qué longitud será la sombra de un poste telefónico de 5,4 m?
a) Por la semejanza de triángulos tenemos:
h = 17,4 → h = 17,4 · 1,60 ≈ 41,55 m
1,60 0,67
0,67
La altura real de la casa es de 41,55 m.
Unidad 12. Semejanza
h
1,60 m
17,4 m
0,67 m
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SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 8
b) Llamamos l a la longitud de la sombra del poste.
Por la semejanza de triángulos se tiene:
5,4 = l
→ l = 5,4 · 0,67 ≈ 2,26 m
1,60 0,67
1,6
5,4 m
1,60 m
0,67 m
l
La sombra del poste medirá 2,26 m.
Página 174
1 Dibuja un cuadrado de lado 2 cm y otro de lado 3 cm. Calcula sus áreas.
Comprueba que la razón de semejanza entre ellos es 3/2 y la razón de sus áreas, 9/4.
l' = 3 cm
l = 2 cm
A' 9
—=—
A 4
l' 3
—=—
l 2
A = 22 = 4 cm2
A' = 32 = 9 cm2
2 El área de cierto hexágono regular es 80 cm2. ¿Cuál será el área de otro hexágono regular cuyo lado es la mitad que el del anterior?
Si el lado es la mitad, la razón de semejanza es r = 1 , por lo que la razón de las
2
1
2
áreas es R = r = .
4
El área del nuevo hexágono es A = 80 = 20 cm 2.
4
3 Barnizar el suelo de una habitación de 2 m × 3 m nos ha costado 90 €. ¿Cuánto nos costará barnizar el suelo de un salón de 6 m × 9 m?
Área del suelo barnizado: 2 · 3 = 6 m 2
Área del que queremos barnizar: 6 · 9 = 54 m 2
La razón entre las áreas es 3 2 = 9.
Nos costará 9 · 90 = 810 €.
4 Calcula el volumen de un ortoedro de dimensiones 3 cm × 4,5 cm × 6 cm y el
de otro ortoedro de dimensiones 2 cm × 3 cm × 4 cm. Comprueba que la razón de semejanza entre los dos ortoedros es 2/3 mientras que la de sus volúmenes es 8/27.
V1 = 3 · 4,5 · 5 = 81 cm 3
V2 = 2 · 3 · 4 = 24 cm 3
Unidad 12. Semejanza
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SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 9
Razón de semejana: 2 = 3 = 4 → r = 2
3 4,5 6
3
Razón de los volúmenes:
V1 24
=
= 8
V2 81 27
5 En una cisterna de 3 m de alto caben 90 000 litros de agua. ¿Cuántos litros cabrán en otra cisterna semejante a la anterior de 2,5 m de altura?
V = 90 000 l = 90 000 dm 3 = 90 m 3
La razón de semejanza de ambas cisternas es r = 2,5
3
( )
La razón entre los volúmenes es r 3 = 2,5
3
3
= 0,5787
El volumen de la otra cisterna es 90 · 0,5787 = 52,0833 m 3 = 52 083,3 l.
Unidad 12. Semejanza