Interferencia y Socavamiento en Engranes.

Interferencia y Socavamiento en Engranes.

Interferencia y Socavamiento en Engranes.
José Marı́a Rico Martı́nez
Departamento de Ingenierı́a Mecánica.
Universidad de Guanajuato, F. I. M. E. E.
Calle Tampico No. 912, Col. Bellavista.
CP 36730, Salamanca, Gto., México
Tel. +52-464-6480911, Fax: +52-464-6472400.
E-mail: [email protected]
Estas notas tienen como objetivo analizar, a la luz de la estandarización de engranes, dos
fenómenos que ocurren durante la operación y corte de los engranes, la interferencia y el
socavamiento que tienen un fundamento en común: El incumplimiento de la ley fundamental de los engranes. Para que dos engranes transmitan movimiento de rotación uniforme
mediante deslizamiento, es necesario que el contacto entre los dientes de los engranes ocurra
siempre en las partes del perfil del diente, donde se tiene un perfil de involuta. Cuando esta
ley no se cumple se presentan los fenómenos indicados. Si los engranes ya han sido construidos y los materiales de ambos engranes son de dureza aproximadamente igual, se presenta el
fenómeno de interferencia que consiste basicamente en que los engranes se “traban”. Si el
incumplimiento de la ley fundamental del engranage ocurre durante la fabricación de uno de los
engranes, donde usualmente el engrane que hace las veces de cortador es de una dureza mucho
mayor que el engrane que se va a cortar, se presenta el fenómeno de socavamiento o undercutting que ocasiona que el engrane que se corta tiene dientes que presentan un “cuello”. Esta
caracterı́stica reduce la resistencia del diente a la fatiga y además reduce la relación de contacto,
evidentemente estas situaciones van en detrimento de la capacidad de carga del engranage.
1
Interferencia y socavamiento entre un engrane y una
cremallera.
En esta sección analizaremos el problema de la interferencia entre un engrane y una cremallera,
posteriormente estos resultados se extenderán al problema de socavamiento cuando un engrane
se corta por el método de hobbing que es cinemáticamente equivalente al corte de un engrane
mediante una cremallera en el método empleado por la compañia alemana Maag.
La figura 1 muestra el apareamiento entre un engrane y una cremallera, una cremallera
es equivalente a un engrane de radio de paso infinito, como el adendo de ambos, engrane y
cremallera es el mismo y el radio de paso de la cremallera es infinito, la posibilidad de que el
contacto entre engrane y cremallera ocurra en una porción del perfil del diente donde el perfil
no sea de involuta, ocurrirá siempre en el flanco del diente del engrane de menor radio, en este
caso el engrane.
La figura 1 muestra la razón del problema de interferencia y socavamiento, el contacto de la
lı́nea de adendo de la cremallera, con el flanco del diente del engrane, ocurre para un valor del
radio del engrane menor al radio base del engrane, determinado por el punto de interferencia
E. Es necesario recordar que por la propiedades de la curva involuta de un cı́rculo, por debajo
del radio base no hay perfil de involuta. De manera que es posible enunciar el siguiente resultado
Teorema. Una condición necesaria y suficiente para evitar la interferencia o el socavamiento
1
Figure 1: Apareamiento entre un engrane y una cremallera.
entre un engrane y una cremallera es que la intersección de lı́nea de adendo de la cremallera
con la lı́nea de acción, sea por “debajo” del punto de interferencia E.
Figure 2: Interferencia y socavamiento entre un engrane y una cremallera.
La condición numérica para evitar la interferencia o el socavamiento se muestra en la figura
2. La condición necesaria para evitar la interferencia y socavamiento está dada por
k
= a ≤ CP
Pd
=
O1 P − O1 C = Rp1 − Rb1 Cos φ = Rp1 − Rp1 Cos2 φ
=
N1 Rp1 1 − Cos2 φ =
1 − Cos2 φ
2 Pd
(1)
donde, k es la constante que dividida entre en el paso diametral, Pd 1 proporciona el adendo, en
el caso de la interferencia, y el dedendo, en el caso del socavamiento. Despejando el número de
1 El
mismo resultado se obtiene para engranes métricos, pero en este caso, la constante k se multiplica por el
2
dientes en esta desigualdad, se tiene que
N1 ≥
2k
2k
=
2
1 − Cos φ
Sen2 φ
(2)
La siguiente tabla 1 muestra, para cada uno de los diferentes estandares, el número mı́nimo
de dientes necesarios para que una cremallera no presente interferencia con un engrane.
Table 1: Número mı́nimo de dientes necesarios para que un engrane no presente interferencia
cuando se aparea con una cremallera.
k
N1
N1min
AGMA
201.02
φ = 20◦
1
17.09
18
AGMA
201.02
φ = 25◦
1
11.19
12
AGMA
207.06
φ = 20◦
1
17.09
18
ASA
Stub
BS
DIN
φ = 14.5◦
1
31.90
32
φ = 20◦
0.8
13.67
14
φ = 20◦
1
17.09
18
φ = 20◦
1
17.09
18
El mismo análisis puede emplearse para analizar el número mı́nimo de dientes que pueden
cortarse por el método de hobbing o el método Maag sin que los dientes se socaven. Es
importante señalar que estos procesos de corte son equivalentes al apareamiento del engrane
que se desea cortar con una cremallera. Sin embargo, debe notarse que en este caso la constante
k que debe emplearse es aquella que al dividirse entre el paso diametral, Pd , —o multiplicarse por
el módulo m— se obtiene el dedendo, b, del engrane. Para aceptar este resultado, es importante
notar que durante el proceso de corte, la herramienta de corte debe tener un adendo igual al
dedendo indicado en el estándar con el objeto de que el hueco del engrane acomode no solo el
adendo, a, del engrane con el que se aparea, sino además el huelgo del engrane, “clearance”, c,
y puesto que
b = a + c.
el resultado es obvio.
La siguiente tabla 2 muestra, para cada uno de los diferentes estandares, el número mı́nimo
de dientes necesarios para que un engrane que se produce por el método de hobbing o el
método Maag, que es equivalente al apareamiento del engrane con una cremallera, no presente
socavamiento en sus dientes.
2
Interferencia y socavamiento entre engranes del mismo
tamaño.
En esta sección analizaremos el problema de la interferencia entre dos engranes, posteriormente
estos resultados se extenderán al problema de socavamiento cuando un engrane se corta por
módulo, m, de manera que la desigualdad se escribe como
m k = a ≤ CP
=
=
O1 P − O1 C = Rp1 − Rb1 Cos φ = Rp1 − Rp1 Cos2 φ
m N1 Rp1 1 − Cos2 φ =
1 − Cos2 φ
2
por lo tanto, el resultado es exactamente igual al caso de estándares que emplean un sistema de unidades inglés
N1 ≥
2k
2k
=
.
1 − Cos2 φ
Sen2 φ
3
Table 2: Número mı́nimo de dientes necesarios para que un engrane que se va cortar por el
método de hobbing o Maag no presente socavamiento.
k
N1
N1min
AGMA
201.02
φ = 20◦
1.25
21.37
22
AGMA
201.02
φ = 25◦
1.25
13.99
14
AGMA
207.06
φ = 20◦
1.2∗
20.51
21
ASA
Stub
BS
DIN
DIN
φ = 14.5◦
1.157
36.91
37
φ = 20◦
1.0
17.09
18
φ = 20◦
1.25
21.37
22
φ = 20◦
1.157
18.78
19
φ = 20◦
1.167
19.95
20
Nota: El resultado marcado con un ∗ es aproximado pues el dedendo incluye, en este estándar,
un término constante de 0.002.
el método de shaping o Fellows que es cinemáticamente equivalente al corte de un engrane
mediante otro engrane.
La figura 3 muestra el apareamiento entre dos engranes de diferente tamaño, la posibilidad
de que el contacto entre los engranes ocurra en una porción del perfil del diente donde el perfil
no sea de involuta, ocurrirá siempre en el flanco del diente del engrane de menor radio, conocido
como piñon.
Figure 3: Apareamiento entre dos engranes.
Teorema. Una condición necesaria y suficiente para evitar la interferencia o el socavamiento
entre dos engranes es que la intersección de radio de adendo del engrane mayor, este localizado
en el segmento determinado por los puntos de interferencia E1 y E2 .
En un primer análisis, se determinará el número mı́nimo de dientes que dos engranes del
4
mismo tamaño, y por lo tanto del mismo número de dentes, deben tener para que no se presente
interferencia. Posteriormente, este análisis se extenderá al análisis de socavamiento durante el
proceso de corte mediante el método de shaping o Fellows que es cinemáticamente equivalente
al corte de un engrane mediante otro engrane.
Figure 4: Interferencia y socavamiento entre dos engranes del mismo tamaño.
La condición numérica para evitar la interferencia o el socavamiento se muestra en la figura
4. La condición necesaria para evitar la interferencia y socavamiento está dada por
2
(Rp2 + a)2 = Ro2
≤ O 2 E1
2
=
2
2
2
2
2
2
O2 E2 + E2 E1 = Rb2
+ (C Sen φ) = Rb2
+ [(Rp1 + Rp2 )Sen φ] .
(3)
Sin embargo, en este caso los engranes son del mismo tamaño, por lo que Rp1 = Rp2 = Rp , de
manera semejante Rb1 = Rb2 = Rb y la desigualdad puede escribirse como
2
2
(Rp + a)2 ≤ Rb2
+ (2 Rp Sen φ) = (Rp Cos φ)2 + (2 Rp Sen φ)2 = Rp2 (1 + 3 Sen2 φ).
(4)
p
1 + 3 Sen2 φ.
(5)
ó
1 + 3 Sen2 φ − 1 .
(6)
o
Rp + a ≤ Rp
o
a ≤ Rp
Sustituyendo
îp
k
N
y
a=
2 Pd
Pd
donde, k es la constante que dividida entre en el paso diametral, Pd proporciona el adendo, en
el caso de la interferencia, y el dedendo, en el caso del socavamiento, la condición se reduce a2
ó
N îp
k
1 + 3 Sen2 φ − 1 .
≤
(9)
Pd
2Pd
Rp =
2 El mismo resultado se obtiene para engranes métricos, pero en este caso, la constante k se multiplica por el
módulo, m, de manera que la desigualdad dada por (9) se escribe como
ó
N m îp
1 + 3 Sen2 φ − 1 .
2
de manera que despejando el número de dientes, se tiene que
km ≤
N ≥
2k
p
1 + 3 Sen2 φ − 1
5
(7)
(8)
Despejando el número de dientes en esta desigualdad, se tiene que
N≥p
2k
(10)
1 + 3 Sen2 φ − 1
La siguiente tabla 3 muestra, para cada uno de los diferentes estandares, el número mı́nimo
de dientes necesarios para que dos engranes del mismo tamaño puedan aparearse sin interferencia.
Table 3: Número mı́nimo de dientes necesarios para que dos engranes del mismo tamaño no
presenten interferencia cuando se aparean.
k
N2
N2min
AGMA
201.02
φ = 20◦
1
12.32
13
AGMA
201.02
φ = 25◦
1
8.35
9
AGMA
207.06
φ = 20◦
1
12.32
13
ASA
Stub
BS
DIN
φ = 14.5◦
1
22.22
23
φ = 20◦
0.8
9.85
10
φ = 20◦
1
12.32
13
φ = 20◦
1
12.32
13
La siguiente tabla 4 muestra, para cada uno de los diferentes estandares, el número mı́nimo
de dientes necesarios para que un engrane que se produce por el método de shapping o
el método Fellows, que es equivalente al apareamiento entre dos engranes, no presente socavamiento en sus dientes, cuando el engrane que hace las veces de cortador y el engrane que
se va a cortar tienen el mismo número de dientes. De nueva cuenta, en este caso la constante
k que debe emplearse es la correspondiente al dedendo, b.
Table 4: Número mı́nimo de dientes necesarios para que un engrane no presente socavamiento
cuando se corte mediante el método de shapping o Fellows que emplea un cortador formado
por un engrane del mismo tamaño.
k
N2
N2min
AGMA
201.02
φ = 20◦
1.25
15.40
16
AGMA
201.02
φ = 25◦
1.25
10.44
11
AGMA
207.06
φ = 20◦
1.2∗
14.78
15
ASA
Stub
BS
DIN
DIN
φ = 14.5◦
1.157
25.71
26
φ = 20◦
1.0
12.32
13
φ = 20◦
1.25
15.40
16
φ = 20◦
1.157
14.25
15
φ = 20◦
1.167
14.38
15
Nota: El resultado marcado con un ∗ es aproximado pues el dedendo incluye, en este estándar,
un término constante de 0.002.
3
Determinación del número máximo de dientes con el
que un piñon puede aparearse sin interferencia.
Los resultados obtenidos en las dos últimas secciones generan un nuevo análisis. El mı́nimo
número de dientes que dos engranes del mismo tamaño pueden tener para que no exista interferencia es menor al mı́nimo número de dientes que un engrana debe tener para que se
pueda aparearse con una cremallera sin interferencia. Entonces, es necesario determinar, para
los piñones cuyo número de dientes se encuentran entre estos dos lı́mites, cual es el número
máximo de dientes con el que un piñon puede aparearse sin que se presente interferencia.
6
Como ya se indicó, la interferencia se presenta en el engrane más pequeño, la figura 5
muestra un espuema del engrane y el piñon. Puede observarse que que el final del contacto
entre la pareja de dientes ocurre en el punto de interferencia B = E2 localizado en el radio base
del piñon.
Figure 5: Interferencia y socavamiento entre dos engranes de diferente tamaño.
La condición numérica para evitar la interferencia se muestra en la figura 5 y está dada por
2
(Rp1 + a)2 = Ro1
≤ O 1 E2
2
=
2
2
2
2
2
2
O1 E1 + E2 E1 = Rb1
+ (C Sen φ) = Rb1
+ [(Rp1 + Rp2 )Sen φ] .
(11)
Sin embargo, sustituyendo los valores del radio base, de los radios de paso y del adendo, la
desigualdad puede escribirse como
2
2
2
2
(Rp1 + a)2 ≤ Rb1
+ [(Rp1 + Rp2 )Sen φ] = [Rp1 Cos φ] + [(Rp1 + Rp2 )Sen φ] .
o
ï
o
N1 + 2 k
2 Pd
ò2
≤
ï
N1
Cos φ
2 Pd
2
ò2
+
ï
N1 + N 2
Sen φ
2 Pd
2
ò2
.
2
(12)
(13)
[N1 + 2 k] ≤ [N1 Cos φ] + [(N1 + N2 )Sen φ] .
(14)
N12 + 4 N1 k + 4 k 2 ≤ N12 Cos2 φ + N12 Sen2 φ + 2 N1 N2 Sen2 φ + N22 Sen2 φ
(15)
4 N1 k + 4 k 2 ≤ 2 N1 N2 Sen2 φ + N22 Sen2 φ
(16)
o
o
o, finalmente
N1 ≤
N22 Sen2 φ − 4 k 2
4 k − 2 N2 Sen2 φ
(17)
Para ilustrar el empleo de esta desigualdad, considere el caso del estándar AGMA 201.02
que considera un ángulo de fase φ = 20◦ , la Tabla 1, se sabe que el número mı́nimo de dientes
7
que un engrane debe tener para que pueda aparearse con una cremallera, sin que se presente
interferencia es de 18. Por otro lado, la Tabla 3, muestra que el número mı́nimo de dientes
que una pareja de engranes iguales debe tener para que puedan aparearse entre si, sin que se
presente interferencia, es de 13. Entonces, una pregunta salta a la vista, cual es el número
máximo de dientes con los que pueden aparearse los engranes que tienen 13, 14, 15, 16, 17.
Table 5: Número máximo de dientes necesarios para que un piñón de 13 a 17 dientes diseñado
mediante el estandar AGMA 201.02, φ = 20◦ y k = 1 pueda aparearse sin interferencia.
N1
N1max
N2 = 13
16.45
16
N2 = 14
26.12
26
N2 = 15
45.48
45
8
N2 = 16
101.07
101
N2 = 17
1309.86
1309