Flujo Compresible - Operaciones Unitarias I

OPERACIONES UNITARIAS 1 PROF. PEDRO VARGAS UNEFM DPTO. ENERGÉTICA Disponible en: www.operaciones1.wordpress.com FLUJO COMPRESIBLE 2.1 Consideraciones básicas y relaciones P‐V‐T Al considerar el movimiento de un fluido compresible a lo largo de una tubería horizontal, es de hacer notar que si se experimenta un cambio de presión a lo largo de su trayectoria, por efecto de la perdida de energía por fricción, la densidad del fluido deja de ser constante. Esto le otorga un carácter especial a este tipo de flujo que lo diferencia de una manera clara de lo estudiado en flujo compresible a través de la ecuación de Bernoulli. Por ejemplo la ecuación de continuidad escrita en estado estacionario entre los puntos 1 y 2 (Figura 1), establece lo siguiente: 1 2 Figura 1. Flujo compresible a través de una tubería horizontal .
.
mE  m S (1) Flujo másico de entrada es igual al flujo másico de salida, lo cual escrito en función de sus variables constituyentes VA E  VA S (2) Si la tubería es de sección transversal constante, entonces: V E  V S  G (3)  kg 
G: Flujo másico por unidad de área de flujo  2  m s 
El producto ρV es conocido como el flujo másico por unidad de área. Es de hacer notar que ahora el producto VA (flujo volumétrico), ahora varia a lo largo de la tubería por efecto de la expansión del gas. Antes de seguir en análisis de las ecuaciones involucradas, es necesario introducir las consideraciones relacionadas con las relaciones Presión, volumen y temperatura para flujo compresible. El comportamiento P‐V‐T de los gases en un rango considerable de presiones, puede ser descrito por la Ley de gases ideales. PV  nRT 
m
RT PM
(4) MP
Densidad RT
RT

Volumen específico MP
Donde: M: Peso molecular del gas T: Temperatura absoluta P: Presión Absoluta Número de Reynolds Otro parámetro importante que es necesario analizar, es el número de Reynolds para flujo compresible, el cual en cualquier punto de la tubería se puede escribir como sigue: VD GD
Re 
(5) 


Ahora es conveniente expresarlo en función del flujo másico por unidad de área, dado que esta variable permanece constante. Viendo la expresión para el número de Reynolds se puede observar que si la viscosidad del fluido no varía considerablemente a lo largo de la tubería se puede suponer que el número de Reynolds es constante a lo largo de la misma. Retomando el análisis de la figura 1, a medida que el gas se mueve entre 1 y 2, experimenta una pérdida de energía que se traduce en una caída de presión, la cual dependiendo del largo de la tubería puede ser considerablemente alta, lo cual modificaría de manera proporcional de acuerdo a la ecuación 4 al valor de la densidad. Por esta razón la velocidad en el punto 2, queda expresada como 
V2  V1 1 2
A medida que la presión cae más, más pequeño será el valor de la densidad en dos y por consiguiente más alto será el valor de la velocidad en este punto. Sin embargo, la velocidad no aumenta de manera indefinida. La condición límite para la elevación de la velocidad se consigue, cuando el gas alcanza la velocidad del sonido, la cual por definición es: 
Flujo crítico y velocidad del sonido  P 
(6) V*       s
Número de Match Con frecuencia para referir cuan cerca o lejos se está de la condición de flujo sónico, se utiliza una relación entre la velocidad y la velocidad del sonido a las mismas condiciones. A esta nueva variable se le denomina número de Match. V
(7) Nm 
V*
Nm<1 Flujo subsónico Nm=1 Flujo sónico Nm>1 Flujo supersónico Cuando el flujo alcanza las condiciones de la velocidad del sonido, se dice que se está bajo condiciones de flujo sónico. Para estimar la relación entre las variables entre el punto 1 y 2, se debe introducir una información adicional, acerca de la forma como ocurre el proceso entre 1 y 2 (adiabáticamente, isotérmicamente o politrópicamente). 2.6 Balance de energía en flujo compresible Generalmente la mayoría de los casos de flujo compresible con aplicaciones prácticas se pueden englobar en uno de estos tres casos: P  cte Flujo Isotérmico P   cte Flujo Adiabático   Cp Cv Flujo Politrópico Pk  cte La ecuación de balance de energía sobre un elemento diferencial dL establece que d
dz dP
dL
(8) G2
g 
 G2 f
0 
 
2D
Para poder integrar esta ecuación a lo largo de todo el recorrido, es necesario incorporar información relacionada con el proceso. La selección de un proceso u otro, estará relacionada con las características físicas cerca del proceso: Flujo Isotérmico: Tubería larga (L/D>1000) en la que el tiempo de residencia es lo suficientemente largo como para que la tubería alcance el equilibrio térmico con los alrededores. Al sustituir en las ecuaciones 6 y 8 la condición de flujo isotérmico ( P  cte ), obtenemos las siguientes expresiones: V* 
P
RT
 1 Flujo Isotérmico 1
M
(9) 

1/ 2


M
P12  P22


RT
G
(10)   f (L / D)  2Ln P1  
 P 

2 

f: Factor de fricción de Darcy‐Weisbach Donde las pérdidas de energía están incluidas esencialmente en el termino (fL/D), por esta razón, si el tramo de tubería, tuviera algún accesorio, al termino (fL/D) se le debe añadir las perdidas por accesorios como ΣK. Flujo adiabático: Tuberías cortas y bien aisladas. Al sustituir en las ecuaciones 6 y 8 la condición de flujo adiabático ( P   cte ), obtenemos las siguientes expresiones: V* 
RT
M
Flujo adiabático   1  



    P2     

 1   
2

   1   P1 


G  P1  1
2  P1 
f(L / D)  Ln P 
  2
P1 NM2

P2 NM1
f
2
1    1NM
2 /2
2
1    1NM
1 /2
(11) (12) 2 
2
 
1    1NM
L 1 1
1
(  1)  NM
1 /2 
 (13)   2  2 
ln 2 2 
2
 1    1N / 2  
2D   NM1 NM2
2
N

M
1
M
2






Cuando NM2=1 la L se corresponde a L* Figuras del comportamiento de las Variables Análisis dimensional de las ecuaciones Métodos aproximados Si la perdida de presión estimada es menor del 10 % de la presión de entrada, se obtiene una exactitud razonable, si la densidad que se introduce en la formula se basa en las condiciones de entrada o en las de salida (cualquiera que se conozca). Si la caída de presión es mayor a un 10 %, pero menor a un 40 % que la presión de entrada, la ecuación de Darcy puede aplicarse con razonable precisión utilizando la densidad promediada entre la entrada y la salida. Medidores de Flujo para flujo compresible La ecuación base de diseño, es la obtenida para flujo incompresible, pero con un factor de corrección que cuantifica la expansión del fluido. W  YCA 0 2P1 (6) Q 1  YCA 0
2P
1
A0: Área de flujo en la restricción A 0   4 d2 C: Coeficiente de Flujo, función del Reynolds y del  (Figuras 4 y 5). CD
C
1  4
CD: Coeficiente de descarga del medidor [‐‐] Y: Factor de expansión y es función de   Cp
(7) Donde: D: Diámetro de la tubería [m] d: Diámetro de la restricción [m] : Relación entre el diámetro de la restricción y diámetro de la tubería. (=d/D). 
P
P1
P1 y  Aire, H2 , O 2 , N2 , CO, NO, HCl

Orificio
Y‐Factor de expansión
Y‐Factor de expansión
Venturi
P
(Figura 2 y 3). Cp y Cv: Calores específicos a presión y volumen constante P : Caída de presión temporal en el medidor [Pa] 1 : Densidad del fluido justo antes de la restricción. W: Flujo másico que pasa por el medidor [kg s‐1] CO, SO, H2 O, H2 S, N2 O, Cl2 , C2 H2 , C2 H4
Orificio
Cv , 
Venturi

P
γ=1.3
P1
γ=1.4
Coeficiente de flujo (C)
Coeficiente de flujo (C)
Figura 2 y 3. Factores de expansión para medidores, en flujo compresible (Crane, 1976). Re (Basado en el diámetro de la tubería)
Re (Basado en el diámetro de la tubería)
Figura 4 y 5. Coeficientes de flujo para los medidores de flujo placa orificio (Crane, 1976). La diferencia básica entre la ecuación del medidor para flujo incompresible y compresible está en la presencia del factor de expansión Y expresado en las figuras 2 y 3. Cuando la caída pe presión temporal en el medidor es muy pequeña, la ecuación tiende a ser similar a la de flujo incompresible, dado que como se observa en las figuras, el factor de expansión tiende a uno. Procedimiento de diseño para medidores de flujo Las condiciones de P , P1 ,D, d, W, Q1, C, …, mantienen una relación expresada de diversas formas: Ecuación del diseño del medidor, relación PVT y figuras para los factores de expansión y coeficiente de flujo. Los diversos casos para determinar la relación entre estas variables se determinan generalmente mediante procesos iterativos, dado que existe una mezcla entre expresiones matemáticas y figuras que relacionan variables. Existe una combinación específica de variables que constituye la solución a los problemas de diseño en estos medidores de flujo. La forma como se encuentre las combinaciones de las variables que hacen que se satisfagan simultáneamente las ecuaciones y relaciones graficas, no tienen un camino único. En esta sección se muestra un procedimiento posible para cada caso planteado. Caso 1: Flujo másico y volumétrico Conocidos: P , P1 ,D, d W  YCA 0 2P1 1. Asumir C=0.6 2. Con P P y γ, Determinar el factor de expansión Y. 1
3. Estimar el flujo másico de la ecuación del medidor 4. Determinar Q 1  W  y con el caudal volumétrico en 1, 1
determinar la velocidad en 1. 5. Con la velocidad en 1, estimar el Re basado en el diámetro de la tubería. 6. Con Re1 y  estimar el coeficiente de flujo, si es igual al supuesto en el paso 1. Fin, si no comenzar nuevamente con el C calculado. Caso 2: Diámetro del medidor Conocidos: P , P1 ,D, W d
4Q 1
2P
CY
1
1. Suponer =0.7 2. Con P P y γ, Determinar el factor de expansión Y. 1
3. Calcular el Número de Reynolds 4. Leer el coeficiente de flujo C en función de  y Re. 5. Estimar el diámetro del orificio de la ecuación del medidor. 6. Calcular el valor de . 7. Comparar  supuesto con el calculado. Si los valores son razonablemente cercanos, fin, si no, volver al paso 1. Caso 2: Caída de presión Conocidos:, P1 ,D, d, W 2
 W  1

P  
 YCA 0  21
1. Estimar la densidad en el punto 1 a través de la ecuación de gases ideales (papa presiones inferiores a 10 atm). 2. Estimar  y Re. 3. Leer el coeficiente de flujo. 4. Suponer Y=1. 5. Estimar P de la ecuación del medidor. 6. Determinar el factor de expansión y comparar con el supuesto en el paso 4. Si no es razonablemente igual, volver al paso 4. BIBLIOGRAFIA  Crane. Flujo de Fluidos en válvulas accesorios y tuberías  Darby. Chemical Engineering Phluid Dynamics.  Geankoplis C., Procesos de transporte y operaciones unitarias. Tercera edición. Compañía editorial continental.  Ocon Tojo.  Shames I. Mecánica de fluidos. Tercera edición. Mc Graw Hill. Ejercicio 1.(8.5 McCabe pag 241) Gas natural, con una densidad relativa al aire de 0,60 y una viscosidad de 0,011 cP, circula a través de una tubería de acero de 6 pulg, Catálogo 40, en la que se ha instalado un orificio normalizado de bordes rectos provisto de tomas a la brida. En la toma situada aguas arriba el gas está a 100 ºF y 20 psia. La lectura del manómetro es 46,3 pulg de agua a 60 ºF. La relación de calores específicos para el gas natural es 1,30. El diámetro del orificio es de 2,00 pulg. Calcúlese la velocidad de flujo de gas a través de la línea, en pies cúbicos por minuto, a la presión de 14,4 psia y a la temperatura de 60 ºF. Ejercicio 2. (2.11‐I Geankoplis, pag 117) Se está bombeando gas natural, que es esencialmente metano, a través de una tubería de acero de 1.016 m DI por una distancia de 1,609 x l05 m (Dl) a una velocidad de 2,077 kgmol/s. Puede suponerse que la línea es isotérmica a 289 K. La presión P2 en el extremo de descarga de la línea es 170,3x103 Pa y es absoluta. Calcule la presión P1 en la admisión de la línea. La viscosidad del metano a 289 K es de 1,04x10‐5 Pa .s. Ejercicio 3 (6.2 McCabe, pag 145) A través de un gaseoducto de 20 pulg de diámetro interior, situado sobre un terreno llano y horizontal, se transporta gas natural, que está constituido esencialmente por metano. Cada estación de bombeo aumenta la presión hasta 100 psia, y la presión experimenta una caída de 25 psi entre dos bombas consecutivas separadas entre sí una distancia de 50 millas. ¿Cuál será el flujo de gas en pies cúbicos por hora, medido a 60 º F y 30 pulg Hg de presión? Ejercicio 4 (2.11‐2 Geankoplis pag 128) Se está bombeando metano gaseoso a través de 305 m de una tubería de acero de 52.5 mm de diámetro interior, a velocidad de 41,0 kg/m2s. La presión de entrada es P1=345 kPa abs. Suponga un flujo isotérmico a 289 K. a) Calcule la presión P2 al final de la tubería. La viscosidad es 1,04xl0‐5 Pa.s. b) Calcule la velocidad máxima que se puede alcanzar en esas condiciones y compárela con la velocidad del inciso a. Ejercicio 5 (2.11‐3 Geankoplis pag 128) Entra aire a 288 K y 275 kPa absolutos en una tubería y fluye en flujo isotérmico compresible por una tubería comercial que tiene un DI de 0,080 m. La longitud de la tubería es de 60 m. La velocidad de masa ala entrada de la tubería es de 165,5 kg/m2s. Considere que el peso molecular del aire es 29. Calcule la presión en la salida, así como la velocidad máxima permisible que puede alcanzarse, y compárela con la real. Ejercicio 6.(8.6 McCabe pag 241) Un medidor de venturi horizontal, cuyo diámetro del estrechamiento es de 20 mm, está situado en una tubería de 75 mm de diámetro interior. A través de la línea circula agua a 15 ºC. Un manómetro, que contiene mercurio bajo agua, mide la presión diferencial en el instrumento. Cuando la lectura del manómetro es 500 mm, ¿Cuál es la velocidad de flujo en galones por minuto? Si el 12 por 100 de la presión diferencial corresponde a pérdida permanente, ¿Cuál es el consumo de potencia del medidor? Parcial (I‐2009) Por una tubería de acero comercial de 4 pulg de diámetro nominal cat 40 circula Aire a 25 ºC. La presión de entrada del aire es de 200 psig. A que longitud se alcanzan las condiciones del flujo sónico si la velocidad en el punto 1 es de xx m/s? ¿Cuál es la presión en el punto donde se alcanzan las condiciones de flujo sónico? Suponga válida la ecuación de gases ideales a las condiciones especificadas del ejercicio.