Unidad 1 - Departamento de Matemática

Geometría Diferencial - Unidad I
Fabián Levis - Julio C. Barros
Departamento de Matemática - Facultad de Ciencias
Exactas Físico-Químicas y Naturales - Universidad
Nacional de Río Cuarto
Abstract
De la idea familiar de las funciones de valores reales y usando
nociones del álgebra lineal se construirán objetos que serán las
herramientas básicas para la exploración de objetos geométricos.
Dos conceptos fundamentales lo constituyen la idea de vector tangente y campo vectorial. Los conceptos de curva y función difernciable son generalizadas a la noción de mapeo. Se construyen
operaciones adecuadas de diferenciación para estos objetos como:
derivada direcional de una función, velocidad de una curva, mapa
de derivadas de un mapeo. Todas estas operaciones se reducen a
derivadas (ordinarias o parciales) de las funciones coordenadas.
La idea de esta unidad es dotar de un conjunto de herramientas
y uni…car la notación que utilizaremos.
Temas: Espacio Euclídeo. Funcines Diferenciables. Vectores
tangentes. Espacio tangente. Campo vectorial. Derivadas direccionales. Curvas regulares. Parametrizaciones. 1-formas. Diferencial de una función. Mapeos. Mapa de derivadas. Mapeo
regular. Teorema de la función inversa.
1
El Cálculo en el espacio Euclídeo
De…nition 1 El espacio Euclídeo de 3 dimensiones R3 , es el conjunto
de todas las ternas ordenadas de números reales. Si denotamos por p =
(p1 ; p2 ; p3 ) 2 R3 entonces, p es denominado un punto de R3 .
Remark 2 Recordemos que si p = (p1 ; p2 ; p3 ) y q = (q1 ; q2 ; q3 ) son puntos de R3 de…nimos la suma como p + q = (p1 + q1 ; p2 + q2 ; p3 + q3 ) y si
2 R entonces, se de…ne p = ( p1 ; p2 ; p3 ) . Con estas dos operaciones (R3 ; +; R; :) resulta un R-espacio vectorial con elemento neutro
de la suma 0 = (0; 0; 0) .
1
En el Cálculo Diferencial se estudian las funciones diferenciables de
valores reales en R3 . Haremos un breve raconto de las nociones fundamentales.
De…nition 3 Sean x1 ; x2 ; x3 las funciones de valores reales en R3 tales
que para cada punto p = (p1 ; p2 ; p3 ), estas funciones cumplen, x1 (p) =
p1 ; x2 (p) = p2 ; x3 (p) = p3 . Estas funciones se llaman funciones
coordenadas naturales de R3 . De esta forma p = (p1 ; p2 ; p3 ) =
(x1 (p) ; x2 (p) ; x3 (p)) para cada punto de R3 .
De…nition 4 Se dice que f : U
R3 ! R es diferenciable en el
abierto U , (C 1 (U )) siempre que existen las derivadas parciales de f , de
todos los órdenes y son continuas.
Remark 5 Recordemos que la diferenciación es siempre una operación
@f
(p) es necesario conocer los valores de f en una
local. Para calcular @x
i
vecindad de p.
2
Vectores tangentes
De…nition 6 Un vector Tangente vp a R3 consiste en dos puntos de
R3 , su parte vectorial v y su punto de aplicación p.
5
4
3
z
2
1
0
0 0
1
2
1
2
y
3
4
x
3
Vector tangente a R3
De…nition 7 Diremos que dos vectores tangentes son iguales, vp = wq
si y sólo si tienen la misma parte vectorial, v = w y el mismo punto de
aplicación p = q.
2
Remark 8 Los vectores vp ; wq con la misma parte vectorial pero con
puntos de aplicación distintos se llaman paralelos. Es importante recordar que vp ; wq son vectores tangentes diferentes si p 6= q.
5
4
3
z
2
1
0
00
1
2
1
2
3
4
y
x
3
Vectores paralelos
De…nition 9 Sea p 2 R3 , el conjunto Tp (R3 ) formado por todos los
vectores que tienen a p como punto de aplicación se denomina Espacio
Tangente de R3 en p.
Remark 10 Así R3 tiene espacio tangente distinto en todos y cada uno
de sus puntos. Hay que observar que Tp (R3 ) es un espacio vectorial con
las operaciones, (v + w)p = vp + wp y ( v)p = vp . Para la adición vale
la regla del paralelogramo con origen en p.
3
Regla del paralelogramo
Las operaciones antes citadas en cada espacio tangente Tp (R3 ) lo
hacen un espacio vectorial isomorfo a R3 , pues la aplicación v ! vp
es un isomor…smo de R3 en Tp (R3 ).
De…nition 11 Un campo vectorial V en R3 es una función que asigna
a cada punto p 2 R3 un vector tangente V (p) 2 Tp (R3 ).
Remark 12 Es posible sumar dos campos vectoriales V y W . En cada
punto p se tiene que V (p) y W (p) están en el mismo espacio tangente
Tp (R3 ) y por ende podemos sumarlos en la forma, (V + W ) (p) = V (p)+
W (p). En forma análoga se puede extender la multiplicación por un
escalar real.
De…nition 13 Si f es una función de valores reales en R3 y si V es un
campo vectorial en R3 entonces, se de…ne f V como el campo vectorial
en R3 tal que (f V ) (p) = f (p) V (p) ,8p 2 R3 .
De…nition 14 Sean U1 ; U2 ; U3 los campos vectoriales en R3 tales que,
U1 (p) = (1; 0; 0)p ; U2 (p) = (0; 1; 0)p ; U3 (p) = (0; 0; 1)p para cada p 2
R3 . Denominaremos a U1 ; U2 ; U3 El campo natural de sistemas de
referencia en R3 . Por lo tanto Ui ; i = 1; 2; 3 es el campo vectorial
unitario en la dirección positiva xi .
2.0
1.5
z
1.0
0.5
0.0
0.0 0.0
0.5
0.5
1.0
1.5
1.0
y
1.5
2.0
x
2.0
Lemma 15 Si V es un campo vectorial en R3 hay tres funciones de valores reales que se determinan de manera única, v1 ; v2 ; v3 en R3 tales
que,
V = v1 U1 + v2 U2 + v3 U3
4
Las funciones v1 ; v2 ; v3 se llaman coordenadas Euclideanas de V .
Proof. Puesto que V es campo vectorial, asigna a cada punto p un vector
tangente V (p) en p. De esta forma la parte vectorial de V (p) depende
de p, por lo cual la expresamos como (v1 (p) ; v2 (p) ; v3 (p)). Observamos
que esto de…ne a v1 ; v2 ; v3 como funciones de valores reales en R3 . Por
lo tanto se tiene,
V (p) = v1 (p) (1; 0; 0)p + v2 (p) (0; 1; 0)p + v3 (p) (0; 0; 1)p
=
3
X
vi (p) Ui (p)
i=1
Los campos vectoriales V y
3
X
vi Ui asumen los mismos valores en
i=1
cada punto. En consecuencia V =
3
X
vi Ui
i=1
Notation 16 La identidad de vectores tangentes (a1 ; a2 ; a3 )p =
3
X
ai Ui (p)
i=1
será de uso frecuente. También
3
X
3
X
3
X
wi Ui =
(vi + wi ) Ui y
i=1 !
i=1
3
3
X
X
vi Ui =
f v i Ui .
v i Ui +
i=1
la multiplicación por una función f
i=1
i=1
2.0
1.5
z
1.0
0.5
0.0
0.0 0.0
0.5
0.5
1.0
y
1.0
1.5
x
2.0
Campo Vectorial
5
1.5
2.0
De…nition 17 Un campo vectorial es diferenciable cuando sus funciones coordenedas Euclídeas lo son. De ahora en más cuando digamos
campo vectorial, entenderemos campo vectorial diferenciable.
3
Derivadas Direccionales
De…nition 18 Sea f : R3
Tp (R3 ) entonces,
vp [f ] =
! R una función diferenciable y vp 2
d
(f (p + tv))
dt
t=0
se llama la derivada de f con respecto a vp . El vector vp no es necesariamente unitario.
Example 19 Sea f (x; y; z) = xy + cos (z) ; p = (1; 1; ) y v = (2; 1; 0).
Entonces, dtd (f (p + tv)) = 3 + 4t y por lo tanto, vp [f ] = 3 .
El siguiente es un resultado conocido para funciones de varias variables.
Lemma 20 Si vp = (v1 ; v2 ; v3 )p 2 Tp (R3 ). Entonces,
vp [f ] =
3
X
vi
i=1
@f
(p) = rf (p) v
@xi
Proof. Sea p = (p1 ; p2 ; p3 ) entonces p+tv = (p1 + tv1 ; p2 + tv2 ; p3 + tv3 )
y f (p + tv) = f (p1 + tv1 ; p2 + tv2 ; p3 + tv3 ) de esta forma,
X @f
d
d
(f (p + tv)) =
(p + tv) (pi + tvi )
dt
@xi
dt
i=1
3
3
X
@f
=
(p + tv) vi
@xi
i=1
por lo tanto, vp [f ] =
3
X
@f
vi @x
(p)
i
i=1
Theorem 21 Sean f; g : R3
Tp (R3 ) y a; b 2 R entonces,
! R funciones diferenciables y vp ; wp 2
1) (avp + bwp ) [f ] = avp [f ] + bwp [f ]
2) vp [af + bg] = avp [f ] + bvp [g]
6
3) vp [f g] = vp [f ] g (p) + f (p) vp [g]
Proof. Se pueden deducir las tres propiedades usando el Lema anterior. Vamos a demostrar la propiedad (3) y las otras dos se dejan como
Ejercicio. Si v = (v1 ; v2 ; v3 ) entonces,
vp [f g] =
=
3
X
i=1
3
X
i=1
3
X
vi
@ (f g)
(p)
@xi
@f
@g
(p) g (p) + f (p)
(p)
@xi
@xi
vi
@f
@g
(p) g (p) + f (p) vi
(p)
@xi
@xi
i=1
!
!
3
3
X
X
@f
@g
=
vi
(p) g (p) + f (p)
vi
(p)
@xi
@xi
i=1
i=1
=
vi
= vp [f ] g (p) + f (p) vp [g]
De…nition 22 Sea V un campo vectorial y sea f una función, de…nimos,
V [f ] (p) = V (p) [f ]
es decir la derivada de f con respecto al vector tangente V (p) en p.
Remark 23 En particular si U1 ; U2 ; U3 son los campos vectoriales es@f
.
tandar del sistema de referencia en R3 , se tiene que Ui [f ] = @x
i
Corollary 24 Si V; W son campos vectoriales en R3 y f; g; h : R3 ! R
funciones diferenciables entonces,
1) (f V + gW ) [h] = f V [h] + gW [h]
2) V [af + bg] = aV [f ] + bV [g]
3) V [f g] = V [f ] g + f V [g]
Proof. Es una consecuencia del teorema anterior, hay que tener cuidado
en la ubicación de los paréntesis. Por ejemplo probemos (3), las otras
dos propiedades quedan cono ejercicio. Por de…nición,
V [f g] (p) = V (p) [f g]
= V (p) [f ] g (p) + f (p) V (p) [g]
= V [f ] (p) g (p) + f (p) V [g] (p)
= (V [f ] g + f V [g]) (p)
7
Notation 25 De ahora en más v; w denotan vectores tangentes (se omite
el punto de aplicación) y p; q puntos en R3 .
4
Curvas en R3
De…nition 26 Una curva en R3 es una función diferenciable,
: I ! R3
de un intervalo abierto I en R3 .
: R ! R3 , de…nida por
Example 27 La recta
(t) = p + tq
pasa por p =
(0) y tiene dirección q.
-2
z
10
8
6
4 12 -2
2
0
-20 0
-4
2
-6
2
-8
4
y
4
x
6
8
Recta
Example 28 Si
: R ! R3 , es de…nida por,
(t) = (a cos t; a sin t; bt)
donde a > 0; b 6= 0. se llama Hélice circular.
8
6
8
-1.0
4
-1.0
-0.5
2
-0.5
z
y
0
0.0 0.0
-2
-4
0.5
0.5
x
1.0
1.0
Hélice circular
De…nition 29 Sea : I ! R3 una curva con = ( 1 ; 2 ; 3 ). Para
cada t 2 I, el vector velocidad de en t, es el vector tangente,
0
en el punto
(t) =
d 1
d 2
d 3
(t) ;
(t) ;
(t)
dt
dt
dt
(t)
(t) 2 R3 .
Remark 30 Observamos que el vector velocidad de una curva se expresa
en términos de los campos naturales de referencia en la forma,
0
(t) =
3
X
d i
dt
(t) Ui ( (t))
i=1
Example 31 1) En la recta
( a sin t; a cos t; b) (t)
0
(t) = q
(t)
. 2) En la hélice
0
(t) =
De…nition 32 Sean I; J intervalos abiertos en R,
: I ! R3 una
curva y h : J ! I una función diferenciable. Entonces la función
compuesta
= (h) : J ! R3
es una curva que llama Reparametrización de
Lemma 33 Si
es la reparametrización de
0
(s) =
dh
ds
(s)
9
0
por h.
por h entonces,
(h (s))
Proof. Sea = ( 1 ;
luego por de…nición,
0
2;
3 ),
entonces (s) =
(h (s)) = (
1
(h (s)) ;
2
(h (s)) ;
d 1
d 2
d 3
(h (s)) h0 (s) ;
(h (s)) h0 (s) ;
(h (s)) h0 (s)
dt
dt
dt
d 2
d 3
d 1
(h (s)) ;
(h (s)) ;
(h (s))
= h0 (s)
dt
dt
dt
= h0 (s) 0 (h (s))
dh
=
(s) 0 (h (s))
ds
(s) =
Remark 34 Puesto que las velocidades son vestores tangentes, esto es,
0
(t) 2 T (t) (R3 ) se puede tomar la derivada de una función con respecto
a la velocidad. Tenemos el siguiente,
Lemma 35 Sea
en R3 . Entonces
:I
! R3 una curva y f una función diferenciable
0
(t) [f ] =
df ( )
(t)
dt
Proof. Como 0 (t) = ddt1 (t) ; ddt2 (t) ; ddt3 (t) (t) por el Lema (20),
3
X
@f
0
( (t)) ddti (t). Pero f ( ) = f ( 1 ; 2 ; 3 ) y al aplicar
(t) [f ] =
@xi
i=1
la regra de la cadena nos da el mismo resultado. Luego
df ( )
(t)
dt
0
(t) [f ] =
Remark 36 Por de…nición 0 (t) [f ] es la rapidez de variación de f a
lo largo de la recta que pasa por (t) en la dirección 0 (t). Si 0 (t) 6= 0
esta es la recta tangente a en (t). El Lema muestra que esta rapidez
de variación es lo mismo que lo de f a lo largo de la curva .
De…nition 37 Diremos que una curva es Regular si 0 (t) 6= 0; 8t 2
I. Una curva con esta propiedad no presenta puntas ni esquinas.
Remark 38 Los siguientes comentarios para curvas de R2 , se usarán
en unidades posteriores, no se demuestran los hechos aquí citados. Si
f : R2 ! R es una función diferenciable, de…nimos
C:f =a
es el conjunto de todos los puntos p 2 R2 , tales que, f (p) = a. Si
las derivadas parciales @f
y @f
no son simultáneamente cero (nunca)
@x
@y
en ningún punto de C entonces, C consta de una o más componentes
separadas a las que llamaremos curvas.
10
3
(h (s)))
Example 39 C : x2 + y 2 = 4 es la circunferencia de radio dos centrada
en el origen.
3
y
2
1
-3
-2
-1
-1
1
2
3
x
-2
-3
Circunferencia
Example 40 C : x2
y 2 = 1 Hipérbola.
y
4
2
-4
-2
2
4
-2
x
-4
Hipérbola
Remark 41 Toda curva C es la trayectoria de muchas curvas regulares
que se llaman parametrizaciones de C. Si C es una curva cerrada
entonces, tiene una parmetrización periódica : R ! C por ejemplo,
(t) = (2 cos t; 2 sin t)
es una parametrización de la circunferencia de radio dos y centrada en
el origen. Si C no es una curva cerrada (Arcos) entonces, toda parametrización : I ! C es uno a uno.
5
1-Formas
De…nition 42 Una 1-forma en R3 es una función de valores reales
en el conjunto de todos los vectores tangentes a R3 , tal que es lineal
en cada punto, es decir,
(av + bw) = a (v) + b (w)
8a; b 2 R; 8v; w 2 Tp R3
11
Remark 43 Para cada vector tangente v a R3 , una 1-forma , de…ne
un número real (v) y para cada p 2 R3 , la función,
p
: Tp R3
!R
es lineal. En consecuencia en cada punto p, p es un elemento del espacio dual de Tp (R3 ). En este sentido el concepto de 1-forma es el dual
de los campos vectoriales.
De…nition 44 La suma de las 1-formas
( + ) (v) =
Si f : R3 ! R y
(v) +
y
se de…ne como,
(v) ; 8v 2 Tp R3
es una 1-forma entonces, f
es la 1-forma tal que,
(f ) (vp ) = f (p) (vp ) ; 8vp 2 Tp R3
De…nition 45 Hay una forma de valuar una 1-forma en un campo
vectorial V , para obtener una función (V ) de valores reales,
(V ) (p) =
(V (p))
Esta es una 1-forma que manda campos vectoriales en funciones de valores reales. Si (V ) es diferenciable siempre que V lo es, decimos que
es diferenciable.
Remark 46 Se puede ver que
decir,
(V ) es lineal tanto en
como en V es
(f V + gW ) = f (V ) + g (W )
(f + g ) (V ) = f (V ) + g (V )
Donde f; g , funciones, ;
De…nition 47 Si f : R3
f es la 1-forma tal que,
son 1-formas y V campo vectorial.
! R es diferenciable, la diferencial df de
df (vp ) = vp [f ] ; 8vp 2 Tp R3
Example 48 Las diferenciales dx1 ; dx2 ; dx3 de las funciones coordenadas naturales son
X
X @xi
(p) =
vj ij = vi
dxi (vp ) = vp [xi ] =
vj
@x
j
j
j
Por lo tanto el valor de dxi en un vector tangente vp , es la coordenada
i-ésima vi de su parte vectorial y no depende del punto de aplicación.
12
Example 49 Sea = f1 dx1 + f2 dx2 + f3 dx3 es una 1-forma cuyo valor
en un vector tangente vp es,
(vp ) =
X
fi dxi (vp ) =
Remark 50 Recordar que,
X
fi (p) dxi (v) =
dxi (Uj ) =
X
fi (p) vi
ij
X
Lemma 51 Si es una 1-forma en R3 entonces, =
fi dxi donde
i
fi = (Ui ). Estas funciones f1 ; f2 ; f3 se llaman las funciones coordenadas.
Proof. Por de…nición de una
X 1-forma es una función de vectores tangentes, por lo tanto
y
fi dxi son iguales si y sólo si tienen el
i
X
mismo valor en cada vector tangente vp =
vi Ui (p). Hemos visto
que
X
fi dxi (vp ) =
(vp ) =
X
X
fi (p) vi . Por otra parte
!
vi Ui (p)
i
puesto que, fi =
i
=
X
vi (Ui (p)) =
i
(Ui ). De esta forma
=
X
i
X
vi fi (p)
fi dxi
Corollary 52 Si f : R3 ! R es diferenciable entonces,
df =
X @f
dxi
@xi
i
Proof. Puesto que
!
X @f
X @f
dxi (vp ) =
(p) vi = vp [f ] = df (vp ) ; 8vp 2 Tp R3
@x
@x
i
i
i
i
entonces, df =
X
@f
dxi
i @xi
Remark 53 Se deduce en forma inmediata que, d (f + g) = df + dg
Lemma 54 Si f; g : R3 ! R son diferenciables entonces,
d (f g) = gdf + f dg
13
Proof.
d (f g) =
X @ (f g)
i
@xi
dxi =
X
i
g
@f
@g
+f
@xi
@xi
dxi
X @f
X @g
=g
dxi + f
dxi = gdf + f dg
@xi
@xi
i
i
Donde se ha usado el corolario anterior.
Lemma 55 Sean f : R3 ! R y h : R ! R diferenciables tal que,
h (f ) : R3 ! R es diferenciable entonces,
d (h (f )) = h0 (f ) df
Proof.
d (h (f )) =
X @ (h (f ))
i
= h0 (f )
@xi
X @f
i
dxi =
@xi
X
h0 (f )
i
@f
dxi
@xi
dxi = h0 (f ) df
Example 56 Si f (x; y; z) = x3 z 2 + sin (xy) entonces su diferencial es
df = 3x2 dxz 2 + x3 2zdz + y cos (xy) dx + x cos (xy) dy
= 3x2 z 2 + y cos (xy) dx + x cos (xy) dy + 2x3 zdz
Si p = (p1 ; p2 ; p3 ) y vp = (v1 ; v2 ; v3 ) entonces,
vp [f ] = df (vp ) =
X @f
vi
@xi
i
= 3p21 p23 + p2 cos (p1 p2 ) v1 + p1 cos (p1 p2 ) v2 + 2p31 p3 v3
6
Mapeos
De…nition 57 Dada una función F : Rn ! Rm denotemos por f1 ; :::; fm
las funciones en Rn de valores reales tales que,
F (p) = ( f1 (p) ; :::; fm (p)) ; 8p 2 Rn
Estas funciones se llaman coordenadas Euclideanas de F y escribimos F = ( f1 ; :::; fm ). La función F es diferenciable siempre que cada
fi lo sea. Una función F : Rn ! Rm diferenciable se denomina Mapeo
de Rn en Rm .
14
Remark 58 Observar que fi = xi (F ) donde xi son las funciones coordenadas.
De…nition 59 Si : I ! Rn es una curva en Rn y F : Rn ! Rm es
un mapeo entonces,
= F ( ) : I ! Rm
es una curva en Rm .
Example 60 Sean F : R2 ! R2 de…nida por F (u; v) = (u2
y : [0; 2 ] ! R2 , (t) = (r cos t; r sin t) entonces,
v 2 ; 2uv)
(t) = F ( (t)) = r2 cos 2t; r2 sin 2t
y
4
2
-4
-2
2
4
x
-2
-4
Curvas
y
=F( )
De…nition 61 Sea F : Rn ! Rm un Mapeo. Si v 2 Tp (Rn ) es un
vector tangente a Rn en p, sea F (v) la velocidad inicial de la curva
(t) = F (p + tv) en Rm . Es decir,
0
(0) = F (v) =
d
F (p + tv)
dt
t=0
La función resultante F que lleva vectores tangentes de Rn a vectores
tangentes de Rm se llama Mapa de Derivadas.
Remark 62 La posición inicial en t = 0 de la curva t ! F (p + tv)
es F (p), por lo tanto el punto de aplicación de su velocidad inicial es
F (p). Luego F transforma un vector tangente a Rn en p en un vector
tangente a Rm en F (p).
Example 63 Por ejemplo si F (u; v) = (u2
v = (v1 ; v2 ) entonces,
0
(0) = F (v) =
d
F (p + tv)
dt
= 2 (p1 v1
t=0
15
v 2 ; 2uv) ; p = (p1 ; p2 ) y
p 2 v 2 ; p2 v 1 + p 1 v 2 )
Theorem 64 Sea F : Rn
v 2 Tp (Rn ) entonces,
! Rm un Mapeo, F = ( f1 ; :::; fm ). Si
F (v) = (v [ f1 ] ; :::; v [fm ])F (p)
Proof. Sea v 2 Tp (Rn ) ; (t) = F (p + tv) = ( f1 (p + tv) ; :::; fm (p + tv)),
por de…nicion 0 (0) = F (v),
0
(0) =
d f1 (p + tv)
dt
; :::;
t=0
d fm (p + tv)
dt
t=0
(0)
= (v [ f1 ] ; :::; v [fm ])F (p)
Remark 65 Para cada punto p 2 Rn , el mapa de derivadas F da lugar
a la función,
F ;p : Tp (Rn ) ! TF (p) (Rm )
Llamado el Mapa de Derivadas de F en el punto p.
Corollary 66 Sea F : Rn
transformación lineal.
! Rm un Mapeo entonces, F
;p
es una
Remark 67 Al ser F ;p una transformación lineal podemos calcular su
matriz asociada respecto del par de bases naturales (en los respectivos espacios), fUi (p)g1 i n para Tp (Rn ) y Ui (F (p)) 1 i m para TF (p) (Rm ).
Esta Matriz se denomina Matriz Jacobiana de F en p.
Corollary 68 Si F : Rn
tonces,
! Rm es un Mapeo, F = ( f1 ; :::; fm ) en-
m
X
@fi
F (Uj (p)) =
(p) Ui (F (p)) ; 1
@xj
i=1
j
Por lo tanto la matriz Jacobiana de F en p es,
@fi
(p)
@xj
0 @f1
1
@f1
@f1
(p) @x
(p)
:::
(p)
@x1
@x
n
2
::: ::: :: A
JF (p) = @ :::
@fm
m
m
(p) @f
(p) ::: @f
(p)
@x1
@x2
@xn
JF (p) =
16
n
Proof. Puesto que Uj (p) [fi ] =
@fi
@xj
(p) entonces,
F (Uj (p)) = (Uj (p) [ f1 ] ; :::; Uj (p) [fm ])F (p)
@f1
@fm
(p) ; :::;
(p)
@xj
@xj
=
F (p)
m
X
@fi
=
(p) Ui (F (p))
@xj
i=1
Notation 69 Usaremos la siguiente notación:
Donde Uj y
@fi
@xj
m
X
@fi
F (Uj ) =
Ui
@xj
i=1
se evaluan en p y Ui se evalua en F (p).
Example 70 Si F : R2 ! R2 está de…nida por F (u; v) = (u2
entonces,
2u 2v
JF =
2v 2u
v 2 ; 2uv)
Si p = (p1 ; p2 ) entonces,
JF (p) =
2p1 2p2
2p2 2p1
Theorem 71 Sea F : Rn ! Rm un Mapeo. Si
de la curva : I ! Rn . Entonces,
0
= F ( ) es la imagen
= F ( 0)
Esto nos dice que F conserva las velocidades de las curvas.
Proof. Si F = ( f1 ; :::; fm ) entonces, = F ( ) = ( f1 ( ) ; :::; fm ( ))
por lo tanto, las funciones coordenadas de son i = fi ( ), puesto que
0
es un vector tangente de Rn tenemos,
0
F (
Por otro lado,
0
F (
(t)) = (
(t) [ fi ] =
0
(t)) =
0
0
(t) [ f1 ] ; :::;
dfi ( )
dt
(t) =
d i
dt
(t) [fm ])F (
(t) por lo cual,
d 1
d
(t) ; :::; m (t)
dt
dt
de esta forma obtenemos:
F (
0
(t)) =
17
0 (t))
0
(t)
F(
0 (t))=
(t)
De…nition 72 Un Mapeo F : Rn ! Rm es Regular cuando para cada
p 2 Rn , F ;p es uno a uno (inyectivo).
Proposition 73 Son equivalentes las siguientes a…rmaciones:
1) F
;p
es uno a uno.
2) F (vp ) = 0 , vp = 0
3) La matriz Jacobiana de F en p tiene rango n:
De…nition 74 Si un Mapeo tiene Mapeo inverso se llama Difeomor…smo.
Remark 75 Un difeomor…smo es una aplicación diferenciable uno a
uno y sobre. Pero un Mapeo que sea uno a uno y sobre no necesariamente
es un difeomor…smo.
Remark 76 Podemos hablar de difeomor…smos que están de…nidos sobre un conjunto abierto de Rn . Enuncimos el siguiente teorema (sin
demostración).
Theorem 77 Teorema de la Funcion Inversa : Sea F : Rn ! Rm
un Mapeo tal que F ;p es uno a uno en p. Entonces existe un conjunto
abierto U
Rn que contiene a p tal que, F jU es un difeomor…smo sobre
un conjunto abiero N Rm .
18