SISTEMAS DE CONTROL DIGITAL

Transcripción

SISTEMAS DE CONTROL
DIGITAL
LUIS EDO GARCÍA JAIMES
Luis Edo García Jaimes
SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
Los sistemas de tiempo discreto, son sistemas dinámicos en los
cuales una o más variables pueden variar únicamente en ciertos
instantes. Estos instantes, llamados de muestreo y que se indican por
𝑘𝑇 (𝑘 = 0, 1, 2. . . ) pueden especificar el momento en el cual se realiza
una medición física o el tiempo en el cual se lee la memoria del
computador.
Los sistemas de tiempo continuo, se describen o modelan mediante
un conjunto de ecuaciones diferenciales, los sistemas de tiempo
discreto se describen mediante un conjunto de ecuaciones de
diferencias.
SISTEMAS CONTINUOS VS SISTEMAS DISCRETOS





SISTEMAS CONTINUOS
Señales continuas. (Analógicas)
Ecuaciones diferenciales
Transformada de Laplace
Función de transferencia
Variables de estado continuas





SISTEMAS DISCRETOS
Señales discretas. (Digitales)
Ecuaciones en diferencias
Transformada z
Función de transferencia de pulso
Variables de estado discretas
LAZO DE CONTROL DIGITAL BÁSICO
1. Se mide la variable controlada mediante el sensor adecuado.
2. La salida del sensor se lleva al convertidor de análogo a digital (A/D)
3. La salida del convertidor A/D se compara con el valor del Set-Point (SP).
4. El computador establece la diferencia (error) entre éstos valores y ejecuta un
programa en el cual se ha establecido el algoritmo de control deseado.
5. El computador proporciona una señal de salida discreta que es convertida
en una señal continua mediante un convertidor de digital a análogo (D/A).
6. La salida del convertidor D/A, previamente acondicionada es aplicada al
elemento final de control para corregir el error.
EJEMPLO: CONTROL DE PRESIÓN
P: Variable controlada
PI: Indicador de presión
PT: Transmisor de presión
PCV: Válvula control de presión
V1: Válvula de descarga manual
V/P: Convertidor Voltaje a Presión
∩ : Convertidor Análogo a Digital
#
# : Convertidor de Digital a Análogo
∩
DEFINICIÓN DE TÉRMINOS
Planta: es cualquier objeto físico que se va a controlar. Ejemplos de plantas: un
intercambiador de calor, un reactor químico, una caldera, una torre de destilación.
Proceso: es una operación progresiva en la cual se presenta una serie de cambios
que se suceden uno a otro de manera relativamente fija y que conducen a un
resultado determinado. Los procesos pueden ser químicos, biológicos, económicos
Elemento sensor primario: Es el elemento que está en contacto con la variable
que se mide y utiliza o absorbe energía de ella para dar al sistema de medición una
indicación que depende de la cantidad medida. La salida de este elemento es una
variable física que puede ser un desplazamiento, una corriente, un voltaje etc.
DEFINICIÓN DE TÉRMINOS (2)
Transmisor: Es un dispositivo que capta la variable del proceso a través del
elemento sensor primario y la transmite en forma de señal estándar. Esta señal
puede ser neumática (3 a 15 PSI) o electrónica (4 a 20 mA, 0 a 5 V).
Transductor: Convierte una señal de entrada en una señal de salida cuya
naturaleza puede ser o no ser diferente de la correspondiente a la señal de entrada.
Son transductores: un elemento sensor primario, un transmisor, un convertidor de
PP/I (Presión de proceso a corriente).
Convertidor: Es un dispositivo que recibe una señal de entrada neumática (3-15
PSI) o electrónica (4-20 mA), procedente de un instrumento y, después de
modificarla, genera una señal de salida estándar.
Ejemplo: un convertidor P/I
(Señal de entrada neumática a señal de salida electrónica).
DEFINICIÓN DE TÉRMINOS (3)
Controlador: Es el dispositivo que compara el valor de la variable controlada
(presión, temperatura, nivel, velocidad, pH) con el valor deseado
(Set-Point) y
utiliza la diferencia entre ellos (error) para ejercer, automáticamente, la acción
correctiva con el fin de reducir el error a cero o a un valor mínimo aceptable.
Elemento final de control: Recibe la señal del controlador y modifica el caudal
del agente o fluido de control. En sistemas de control, el elemento final de control
puede ser una válvula neumática, un elemento de estado sólido como relés etc.
MUESTREADORES
El muestreador es el elemento fundamental en un sistema de control de tiempo
discreto. Consiste en un interruptor que se cierra cada T segundos para admitir
una señal de entrada.
La función del muestreador es convertir una señal
continua en el tiempo (análoga) en un tren de pulsos en los instantes de muestreo
0, T, 2T… en donde T es el periodo de muestreo. Entre dos instantes de muestreo
no se transmite información.
SEÑAL DE SALIDA DEL MUESTREADOR
Si la señal continua es muestreada en forma periódica, la señal de salida del
muestreador se puede expresar como:
∞
𝑥∗ 𝑡 =
𝑥 𝑘𝑇 𝛿 𝑡 − 𝑘𝑇
𝑘=0
𝑥 ∗ 𝑡 = 𝑥 0 𝛿 𝑡 + 𝑥 𝑇 𝛿 𝑡 − 𝑇 + 𝑥 2𝑇 𝛿 𝑡 − 2𝑇 + ⋯
La transformada de Laplace de la ecuación anterior es:
𝑋 ∗ 𝑆 = 𝑥 0 + 𝑥 𝑇 𝑒 −𝑆𝑇 + 𝑥 2𝑇 𝑒 −2𝑆𝑇 + 𝑥 3𝑇 𝑒 −3𝑆𝑇 + ⋯
Es decir:
∞
𝑋∗ 𝑆 =
𝑥(𝑘𝑇)𝑒 −𝑘𝑇𝑆
𝑘=0
RETENEDORES
Su finalidad es convertir la señal muestreada en una señal continua de tal forma
que sea igual o lo más aproximada posible a la señal aplicada al muestreador.
El retenedor más elemental convierte la señal muestreada en una señal que es
constante entre dos instantes de muestreo consecutivos, este tipo de retenedor
se conoce como “retenedor de orden cero” y es comúnmente el más utilizado.
La exactitud del retenedor de orden cero en la reconstrucción de la señal depende
de la magnitud del periodo de muestreo 𝑇.
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DEL RETENEDOR DE
ORDEN CERO (ZOH)
La entrada al retenedor es el tren de pulsos:
∞
𝑥∗ 𝑡 =
𝑥 𝑘𝑇 𝛿 𝑡 − 𝑘𝑇
𝑘=0
∞
𝑋∗ 𝑆 =
𝑥(𝑘𝑇)𝑒 −𝑘𝑇𝑆
𝑘=0
La salida del muestreador se puede expresar como:
∞
𝑚 𝑡 =
𝑥(𝑘𝑇) 𝑢 𝑡 − 𝑘𝑇 − 𝑢(𝑡 − 𝑘 + 1 𝑇
𝑘=0
𝑀(𝑆) 1 − 𝑒 −𝑆𝑇
𝐻 𝑆 = ∗
=
𝑋 (𝑆)
𝑆
CIRCUITO BÁSICO PARA MUESTREO Y RETENCIÓN
Cuando el interruptor de estado sólido (S) se cierra, C se carga al voltaje de
entrada V1. Cuando el interruptor de estado sólido se abre el condensador sigue
cargado al voltaje existente en el momento de la apertura puesto que la
impedancia de entrada al amplificador operacional A 2 es muy elevada. Como el
amplificador A2 está configurado como un seguidor de voltaje, su tensión de salida
también sigue fija en el valor que tenía el voltaje del condensador en el momento
que reprodujo el muestreo.
EJEMPLO
La función 𝑥(𝑡) = 𝑒 −2𝑡 + 3 se muestrea cada 0.5 𝑠𝑒𝑔. Calcular: a) La función
muestreada 𝑥 ∗ 𝑡 . b) La transformada de Laplace 𝑋 ∗ (𝑆) de 𝑥 ∗ 𝑡 . c) Si 𝑥 ∗ (𝑡) se
hace pasar por un retenedor de orden cero, obtenga una expresión para la señal
de salida del retenedor 𝑚(𝑡).
SOLUCIÓN:
a) Utilizando la ecuación:
∞
𝑓∗ 𝑡 =
𝑓 𝑘𝑇 𝛿 𝑡 − 𝑘𝑇
𝑘=0
Pero:
𝑥 𝑘𝑇 = 𝑒 −2𝑘𝑇 + 3 = 𝑒 −𝑘 + 3
Por lo tanto:
𝑥∗ 𝑡 =
∞
𝐾=0
𝑒 −𝑘 + 3 𝛿 𝑡 − 𝑘𝑇
𝑥 ∗ 𝑡 = 4𝛿 𝑡 + 3.3678𝛿 𝑡 − 𝑇 + 3.1353𝛿 𝑡 − 2𝑇 + 3.0497𝛿 𝑡 − 3𝑇 + 3.0183𝛿 𝑡 − 4𝑇 + ⋯
CONTINUACIÓN EJEMPLO
b) Tomando la transformada de Laplace a cada término de la ecuación anterior:
𝑋 ∗ 𝑆 = 4 + 3.3678𝑒 −𝑆𝑇 + 3.1353𝑒 −2𝑆𝑇 + 3.0497𝑒 −3𝑆𝑇 + 3.0183𝑒 −4𝑆𝑇 + ⋯
c) Utilizando la ecuación:
∞
𝑚 𝑡 =
𝑥(𝑘𝑇) 𝑢 𝑡 − 𝑘𝑇 − 𝑢(𝑡 − 𝑘 + 1 𝑇
𝑘=0
Se obtiene:
𝑚 𝑡 = 𝑒 0 + 3 𝑢 𝑡 − 𝑢(𝑡 − 𝑇) + 𝑒 −1 + 3 𝑢 𝑡 − 𝑇 − 𝑢(𝑡 − 2𝑇)
+ 𝑒 −2 + 3 𝑢 𝑡 − 2𝑇 − 𝑢(𝑡 − 3𝑇) + ⋯
Simplificando resulta:
𝑚 𝑡 = 4𝑢 𝑡 − 0.632𝑢 𝑡 − 𝑇 − 0.2325𝑢 𝑡 − 2𝑇 − 0.0855𝑢 𝑡 − 3𝑇 − 0.0314𝑢(𝑡 − 4𝑇) ⋯
SELECCIÓN DEL PERIODO DE MUESTREO
El periodo de muestreo 𝑇 es un parámetro de diseño muy importante que debe
seleccionarse en función de un compromiso entre varios factores:

El tiempo de cálculo del procesador: Cuanto menor sea el periodo más
potente debe ser el procesador, y por lo tanto más caro.

Precisión numérica en la implementación: Cuanto menor sea el periodo
más problemas de precisión y redondeo aparecen en la implementación,
especialmente si se utiliza un procesador de coma fija.

Pérdida de información en el muestreo: Si el periodo es demasiado elevado
comparado con la dinámica del proceso, se pierde mucha información de la
señal muestreada.

Respuesta a perturbaciones: Entre una medición de la salida y la siguiente
el proceso funciona en lazo abierto. Si actúa una perturbación su efecto no se
podrá compensar hasta que se vuelva a medir la salida.
CRITERIOS PARA SELECCIONAR EL PERIODO DE MUESTREO
Para estimar el periodo de muestreo se puede aplicar uno de los siguientes
criterios:

Si 𝑤𝑐 es el ancho de banda del sistema en lazo cerrado, la frecuencia de
muestreo se puede estimar dentro del intervalo:
8𝑤𝑐 ≤ 𝑤𝑠 ≤ 12𝑤𝑐

2𝜋
𝑇=
𝑤𝑠
El periodo de muestreo se puede evaluar a partir de la constante de tiempo
equivalente del sistema en lazo cerrado 𝜏𝑒𝑞
tomando como base el criterio:
0.2 𝜏𝑒𝑞 + 𝜃 ′ ≤ 𝑇 ≤ 0.6(𝜏𝑒𝑞 + 𝜃 ′ )

Si 𝑡𝑠 es el tiempo de establecimiento del sistema en lazo cerrado el periodo de
muestreo puede seleccionarse dentro del intervalo:
0.05𝑡𝑠 ≤ 𝑇 ≤ 0.15𝑡𝑠
EJEMPLO
Para el sistema de control de la figura con 𝐾 = 1, determine a) El ancho de banda
del sistema en lazo cerrado b) El rango dentro del cual se puede seleccionar el
periodo de muestreo utilizando dos métodos diferentes. Los tiempos en s.
R(S)
+
k
T
-
8
S(S+10)
zoh
C(S)
a) La función de transferencia del sistema continuo en lazo cerrado es:
𝐺𝑤
𝐺(𝑆)
𝑆 =
1 + 𝐺(𝑆)
𝐺𝑤
8
𝑆 = 2
𝑆 + 10𝑆 + 8
Haciendo 𝑆 = 𝑗𝑤 se obtiene, después de simplificar:
𝐺𝑤 𝑗𝑤 =
8
8−
𝑤2
Para 𝑤 = 0 se obtiene:
+ 𝑗10𝑤
𝐺𝑤 (𝑗𝑤) =
8
(8 − 𝑤 2 )2 + 100𝑤 2
𝐺𝑤 (𝑗𝑤) = 1
El ancho de banda 𝑤𝑐 se calcula haciendo 𝐺𝑤 (𝑗𝑤𝑐 ) = 0.707 𝐺𝑤 (0)
8
(8 −
𝑤𝑐4 + 84𝑤𝑐2 − 64 = 0
𝑤𝑐2 )2
+
100𝑤𝑐2
= 0.707
𝑤𝑐 = 0.869 𝑟𝑎𝑑/𝑠
b) La frecuencia de muestreo 𝑤𝑐 debe estar en el intervalo:
8𝑤𝑐 ≤ 𝑤𝑠 ≤ 12
2𝜋
𝑇=
𝑤𝑠
6.95 ≤ 𝑤𝑠 ≤ 10.42 𝑟𝑎𝑑/𝑠
0.602 ≤ 𝑇 ≤ 0.903 𝑠.
Utilizando el criterio de la constante de tiempo equivalente en lazo cerrado:
0.2(𝜏𝑒𝑞 + 𝜃 ′ ) ≤ 𝑇 ≤ 0.6(𝜏𝑒𝑞 + 𝜃 ′ )
La función de transferencia del sistema en lazo es de segundo orden para el cual:
𝑤𝑛2 = 8
2𝜉𝑤𝑛 = 10
𝑤𝑛 = 2.82 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝜉 = 1.77
𝜏𝑒𝑞
2𝜉
=
= 1.25 𝑠.
𝑤𝑛
El rango para el periodo de muestreo es, entonces: 0.25 ≤ 𝑇 ≤ 0.75 𝑠.
PROGRAMA EN MATLAB PARA CALCULAR ANCHO DE BANDA
n=input('ENTRE EL NUMERADOR DEL SISTEMA=');
d=input('ENTRE EL DENOMINADOR DEL SISTEMA=');
[nw,dw]=cloop(n,d,-1); %Calcula FT en lazo cerrado
[mag,fase,w]=bode(nw,dw); %Calcula Magnitud, y fase
mag1=mag(1,1);
% Magnitud a baja frecuencia
mag2=0.707*mag1;
%Calcula el valor de la magnitud para wc
wc=interp1(mag,w,mag2,'spline'); %Interpolacion para cálculo exacto
wmin=8*wc;
wmax=12*wc;
Tmin=2*pi/wmax;
Tmax=2*pi/wmin;
fprintf(' RANGO PARA EL PERIODO : Tmin=%3.2f Tmax=%3.2f',Tmin, Tmax)
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE PULSO (FTP)
Para un sistema continuo, la función de transferencia se define como la relación
entre la Transformada de Laplace de la salida y la Transformada de Laplace de la
entrada, asumiendo las condiciones iniciales iguales a cero.
𝑌(𝑆)
𝐺 𝑆 =
𝑋(𝑆)
Para un sistema discreto, la función de transferencia de pulso (FTP), se define
como la relación entre la Transformada z de la salida y la Transformada z de la
entrada, asumiendo las condiciones iniciales iguales a cero.
𝑌(𝑧)
𝐺 𝑧 =
𝑋(𝑧)
PROCEDIMIENTO PARA HALLAR LA FTP

Conocida la función 𝑓(𝑡), la 𝐹(𝑧) se puede calcular utilizando tablas de
transformadas y las propiedades de la transformada

Conocida la función 𝐹(𝑆), la 𝐹(𝑧) se puede calcular utilizando tablas de
transformadas, las propiedades de la transformada y expansión en fracciones
parciales

Método computacional, con un software especializado. En este caso pueden
citarse programas como el MATLAB, el ACS, el CC entre otros.
EJEMPLO
Hallar la función de transferencia de pulso del sistema mostrado en la figura
Sistema
X(S)
T
6
(S+1)(S+4)
X*(S)
Y(S)
SOLUCIÓN: La función de transferencia para el sistema continuo es:
𝐺 𝑆 =
𝑌(𝑆)
6
=
𝑋(𝑆)
𝑆 + 1 (𝑆 + 4)
Expandiendo en fracciones parciales resulta:
𝐺 𝑆 =
𝑌(𝑆)
2
2
=
−
𝑋(𝑆) 𝑆 + 1 𝑆 + 4
De tablas se obtiene:
2
2𝑧
ℑ
=
𝑆+1
𝑧 − 0.60653
2
2𝑧
ℑ
=
𝑆+4
𝑧 − 0.13533
Así, la función de transferencia de pulso para el sistema es:
𝐺 𝑧 =
𝑌(𝑧)
2𝑧
2𝑧
0.94239𝑧
=
−
=
𝑋(𝑧) 𝑧 − 0.60653 𝑧 − 0.13533
𝑧 − 0.60653 (𝑧 − 0.13533)
FTP PARA SISTEMAS CON RETENEDOR DE ORDEN CERO (ZOH)
La figura muestra un sistema en el cual se incluye, además del muestreador, un
retenedor de orden cero precediendo a la función continua 𝐺𝑃 (𝑆).
𝑌(𝑧)
𝐻𝐺 𝑧 =
= ℑ 𝐻 𝑆 𝐺𝑝 (𝑆)
𝑋(𝑧)
x(t)
X(S)
x*(t)
T
GP(S)
H(S)
X*(S)
y(t)
Y(S)
Retenedor
Planta
La función de transferencia del retenedor de orden cero es: 𝐻 𝑆 =
1−𝑒 −𝑆𝑇
𝑆
𝐺𝑝 (𝑆)
𝑌(𝑧)
1 − 𝑒 −𝑆𝑇
−𝑆𝑇
𝐻𝐺 𝑧 =
=ℑ
𝐺𝑝 (𝑆) = ℑ 1 − 𝑒
𝑋(𝑧)
𝑆
𝑆
𝐺𝑝 (𝑆)
𝐺𝑝 (𝑆) −𝑆𝑇
𝐺𝑝 (𝑆)
𝐺𝑝 (𝑆)
−1
𝐻𝐺 𝑧 = ℑ
−ℑ
𝑒
=ℑ
−𝑧 ℑ
𝑆
𝑆
𝑆
𝑆
𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧
−1
𝐺𝑝 𝑆
ℑ
𝑆
EJEMPLO
Hallar la función de transferencia de pulso para el sistema de la figura.
Asuma que el periodo de muestreo es 𝑇 = 1 𝑠 y que el retenedor 𝐻(𝑆)
es de orden cero.
x(t)
x*(t)
X(S)
T
3
S(S+2)
H(S)
X*(S)
Retenedor
y(t)
Y(S)
Planta
SOLUCIÓN: La función de transferencia de pulso para un sistema con
ZOH es:
𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧
−1
𝐺 𝑆
ℑ
𝑆
𝐻𝐺 𝑧 = (1 − 𝑧
con
−1
3
𝐺 𝑆 =
𝑆(𝑆 + 2)
3
)ℑ 2
𝑆 (𝑆 + 2)
EJEMPLO (CONTINUACIÓN)
Utilizando tablas se encuentra que:
𝑎2
ℑ 2
=
𝑆 (𝑆 + 𝑎)
𝑎𝑇 − 1 + 𝑒 −𝑎𝑇 𝑧 + 1 − 𝑒 −𝑎𝑇 − 𝑎𝑇𝑒 −𝑎𝑇 𝑧
𝑧 − 1 2 (𝑧 − 𝑒 −𝑎𝑇 )
Con 𝑎 = 2 y 𝑇 = 1 𝑠 resulta:
3
4
−1
𝐻𝐺 𝑧 = (1 − 𝑧 )ℑ 2
4
𝑆 (𝑆 + 2)
𝑧−1
4
𝐻𝐺 𝑧 = 0.75
ℑ 2
𝑧
𝑆 (𝑆 + 2)
0.75(1.13533𝑧 + 0.59401)
0.8549(𝑧 + 0.5232)
𝐻𝐺 𝑧 =
=
𝑧 − 1 (𝑧 − 0.13533)
𝑧 − 1 (𝑧 − 0.13533)
FUNCIÓN DE TRANSFRENCIA DE PULSO PARA UN SISTEMA CON
ELEMENTOS EN CASCADA
Para el sistema de la figura en el cual cada una de las funciones 𝐺1 (𝑆) y 𝐺2 (𝑆)
están precedidas por un muestreador y con el mismo periodo de muestreo, resulta:
𝑈 𝑆 = 𝐺1 𝑆 𝑋 ∗ (𝑆)
𝑌 𝑆 = 𝐺2 𝑆 𝑈 ∗ (𝑆)
De las ecuaciones anteriores se obtiene:
𝑈 ∗ 𝑆 = 𝐺1∗ 𝑆 𝑋 ∗ (𝑆)
𝑌 ∗ 𝑆 = 𝐺2∗ 𝑆 𝑈 ∗ (𝑆)
𝑌 ∗ 𝑆 = 𝐺2∗ 𝑆 𝐺1∗ 𝑆 𝑋 ∗ (𝑆)
La función de transferencia de pulso es, entonces:
𝑌(𝑧)
𝐺 𝑧 =
= 𝐺1 𝑧 𝐺2 𝑧 = ℑ 𝐺1 (𝑆) ∗ ℑ 𝐺2 (𝑆)
𝑋(𝑧)
FUNCIÓN DE TRANSFRENCIA DE PULSO PARA UN SISTEMA CON
ELEMENTOS EN CASCADA (2)
Para el sistema de la figura en la cual los elementos en cascada 𝐺1 (𝑆) y 𝐺2 (𝑆) no
presentan muestreador entre ellos, se obtiene:
𝑌 𝑆 = 𝐺1 (𝑆)𝐺2 𝑆 𝑋 ∗ 𝑆 = 𝐺1 𝐺2 𝑆 𝑋 ∗ (𝑆)
De la ecuación anterior se obtiene:
𝑌 ∗ 𝑆 = 𝐺1 𝐺2 𝑆
∗
𝑋 ∗ (𝑆)
Escribiendo la última ecuación en términos de la transformada z resulta:
𝑌 𝑧 = 𝐺1 𝐺2 𝑧 𝑋(𝑧)
La función de transferencia de pulso es:
𝑌(𝑧)
𝐺 𝑧 =
= 𝐺1 𝐺2 𝑧 = ℑ 𝐺1 𝐺2 𝑆
𝑋(𝑧)
Se concluye que: 𝐺1 𝑧 𝐺2 (𝑧) ≠ 𝐺1 𝐺2 (𝑧)
EJEMPLO
Determinar la respuesta 𝑏(𝑘𝑇) del sistema discreto de la figura. Asuma que 𝑚(𝑡)
es un escalón unitario y que el periodo de muestreo es 𝑇 = 0.5 𝑠. 𝐻(𝑆) es un
retenedor de orden cero.
m(t)
m*(t)
1.6
2S+1
,
H(S)
b*(t)
b(t)
0.5
4S+1
c(t)
1.25
SOLUCIÓN: Debido a la presencia del retenedor de orden cero, la función de
transferencia de pulso del sistema está dada por:
𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧
−1
𝐺 𝑆
ℑ
𝑆
1
0.125
𝐺 𝑆 =
=
2𝑆 + 1 (4𝑆 + 1)
𝑠 + 0.5 (𝑆 + 0.25)
𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧
−1
0.125
ℑ
𝑆 𝑆 + 0.5 (𝑆 + 0.25)
Expandiendo en fracciones parciales se obtiene:
𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧
−1
1
1
2
ℑ +
−
𝑆 𝑆 + 0.5 𝑆 + 0.25
De tablas de transformada 𝑧 y con periodo de muestreo 𝑇 = 0.5 𝑠, resulta:
𝑧−1 𝑧
𝑧
2𝑧
𝐻𝐺 𝑧 =
+
−
𝑧 𝑧 − 1 𝑧 − 0.7788 𝑧 − 0.8825
Pero:
𝐵(𝑧)
𝐻𝐺 𝑧 =
𝑀(𝑧)
𝐵 𝑧 = 𝐻𝐺 𝑧 . 𝑀(𝑧)
La entrada 𝑚(𝑡) es un escalón unitario, entonces 𝑀(𝑧) = 𝑧/(𝑧 − 1) , por lo tanto:
𝑧
𝑧
2𝑧
𝐵 𝑧 =
+
−
𝑧 − 1 𝑧 − 0.7788 𝑧 − 0.8825
Tomando la transformada inversa 𝑧 a la expresión anterior se obtiene:
𝑏 𝑘𝑇 = 1 + 0.7788
𝑘
− 2 0.8825
𝑘
𝑘 = 0, 1, 2 …
EJEMPLO
Hallar la salida 𝑥(𝑘𝑇) para el sistema mostrado en la figura. Asuma un periodo de
muestreo 𝑇 = 1 𝑠 y que la entrada 𝑒(𝑡) es un escalón unitario.
8
𝐺1 𝑆 =
5𝑆 + 1
E(S)
G1(S)
3
𝐺2 𝑆 =
6𝑆 + 1
A(S)
A*(S)
T
G2(S)
X*(S)
X(S)
T
SOLUCION: Para el sistema de la figura 3.8 se cumple:
𝑋 𝑆 = 𝐺2 𝑆 𝐴∗ (𝑆)
𝐴 𝑆 = 𝐺1 𝑆 𝐸 𝑆 = 𝐺1 𝐸(𝑆)
𝐴∗ 𝑆 = 𝐺1 𝐸(𝑆)
∗
Por lo tanto:
𝑋 𝑆 = 𝐺2 (𝑆) 𝐺1 𝐸(𝑆)
∗
𝑋 ∗ 𝑆 = 𝐺2∗ (𝑆) 𝐺1 𝐸(𝑆)
Es decir:
𝑋 𝑧 = 𝐺2 𝑧 𝐺1 𝐸(𝑧)
∗
8
1.45𝑧
𝐺1 𝐸 𝑧 = ℑ 𝐺1 𝐸(𝑆) = ℑ
=
𝑆(5𝑆 + 1)
𝑧 − 1 (𝑧 − 0.81873)
3
0.5𝑧
𝐺2 𝑧 = ℑ 𝐺2 (𝑆) = ℑ
=
6𝑆 + 1
𝑧 − 0.84648
0.5𝑧
1.45𝑧
0.725𝑧 2
𝑋 𝑧 =
∗
=
𝑧 − 0.84648
𝑧 − 1 (𝑧 − 0.81873)
𝑧 − 1 𝑧 − 0.84648 (𝑧 − 0.81873)
Expandiendo 𝑋(𝑧)/𝑧 en fracciones parciales, se obtiene:
26.05𝑧
118𝑧
144.05𝑧
𝑋 𝑧 =
+
−
𝑧−1
𝑧 − 0.81873 𝑧 − 0.84648
Finalmente, la transformada inversa z, permite obtener la salida 𝑥(𝑘𝑇) del sistema:
𝑥 𝑘𝑇 = 26.05 + 118(0.81873)𝑘 − 144.05(0.84648)𝑘
𝑥(0) = 0.00000
𝑥(5) = 6.85870
𝑥 1 = 0.72523
𝑥(6) = 8.60107
. . . . .
𝑥 2 = 1.93275
𝑥(7) = 10.29432
. . . . .
𝑥 3 = 3.44091
𝑥(8) = 11.90643
. . . . .
𝑥 4 = 5.11545
𝑥 9 = 13.41792
𝑘 = 0, 1, 2, 3 …
𝑥(10) = 14.81630
𝑥 ∞ = 26.0555
SISTEMAS DE LAZO ABIERTO CON FILTROS DIGITALES
La figura 𝑎. representa un sistema de lazo abierto en el cual, el convertidor A/D
convierte la señal de tiempo continuo 𝑒(𝑡) en un secuencia de números 𝑒(𝑘𝑇), el
filtro digital procesa esa secuencia de números y genera otra secuencia de
números 𝑚(𝑘𝑇), la cual es convertida en una señal continua 𝑚(𝑡) en el convertidor
D/A. La figura 𝑏. es el modelo equivalente de la figura 𝑎.
De la figura 𝑏. se obtiene:
𝑀 𝑧 = 𝐷 𝑧 .𝐸 𝑧
𝐶 𝑧 = 𝐻𝐺 𝑧 . 𝑀 𝑧
𝐶 𝑧 = 𝐷 𝑧 . 𝐻𝐺 𝑧 . 𝐸 𝑧
𝐸𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: :
𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧
−1
ℑ
𝐺𝑝 𝑆
𝑆
EJEMPLO
Determinar la respuesta del sistema de la figura ante una entrada en escalón
unitario. Asumir que el periodo de muestreo es 𝑇 = 0.2 𝑠, que el filtro digital está
descrito por la ecuación de diferencias:
𝑚 𝑘 = 2𝑒 𝑘 − 𝑒 𝑘 − 1
y que
1
𝐺𝑝 𝑆 =
𝑆+1
SOLUCIÓN: De acuerdo con la figura 𝐷(𝑧) = 𝑀(𝑧)/𝐸(𝑧). Tomando la
transformada 𝑧 a la ecuación que describe el filtro:
𝑀 𝑧 = 2 − 𝑧 −1 𝐸(𝑧)
𝑀(𝑧)
2𝑧 − 1
−1
𝐷 𝑧 =
=2−𝑧 =
𝐸(𝑧)
𝑧
CONTINUACIÓN DEL EJEMPLO
La función de transferencia para la planta es:
𝐺𝑝 (𝑆)
𝐻𝐺 𝑧 = (1 − 𝑧 )ℑ
𝑆
1
0.18127
−1
𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧 ℑ
=
𝑆 𝑆+1
𝑧 − 0.81873
−1
Como la entrada es un escalón unitario:
𝑧
𝐸 𝑧 =
𝑧−1
2𝑧 − 𝑧
0.18127
𝑧
𝐶 𝑧 = 𝐷 𝑧 . 𝐻𝐺 𝑧 . 𝐸 𝑧 =
∗
∗
𝑧
𝑧 − 0.81873 𝑧 − 1
0.18127(2𝑧 − 1)
𝐶 𝑧 =
𝑧 − 1 (𝑧 − 0.81873)
Expandiendo 𝐶(𝑧) en fracciones parciales resulta:
1
0.63746
𝐶 𝑧 =
−
𝑧 − 1 𝑧 − 0.81873
Tomando la transformada inversa z a la expresión anterior se obtiene:
𝑘−1
1
−
0.6376(0.81873)
𝑐 𝑘𝑇 =
0
𝑘 = 1, 2, 3 …
𝑘=0
A continuación se presentan valores de 𝑐(𝑘𝑇) para 0 ≤ 𝑘 ≤ 10, obtenidos
utilizando MATLAB.
𝑐 0 = 0.0000
𝑐 3 = 0.6500
𝑐 6 = 0.8079
𝑐(9) = 0.8946
𝑐 1 = 0.4779
𝑐 4 = 0.7135
𝑐 7 = 0.8427
𝑐(10) = 0.9137
𝑐 2 = 0.5726
𝑐 5 = 0.7654
𝑐 8 = 0.8712
𝑐 ∞ = 1.000La
ganancia DC del sistema está dada por:
𝐾𝐷𝐶 = lim 𝐷 𝑧 ∗ lim ℎ𝐺𝑝 (𝑆)
𝑧→1
𝐾𝐷𝐶
𝑆→0
2𝑧 − 1
1
= lim
∗ lim
=1
𝑧→1
𝑆→0 𝑆 + 1
𝑧
TRANSFORMADA Z MODIFICADA
Se utiliza cuando el sistema presenta tiempo muerto o retardo 𝜃 ′ . Sea la FT:
𝐺𝑝 𝑆) = 𝐺 𝑆 𝑒 −𝜃
′𝑆
𝐺(𝑆) no contiene tiempo muerto y  ' es el tiempo muerto. Sea:
𝜃 ′ = 𝑁𝑇 + 𝜃
𝑇 : es el periodo de muestreo y 𝑁 la parte entera del cociente: 𝑁 =
𝜃′
𝑇
entonces:
𝐺𝑝 𝑆) = 𝐺 𝑆 𝑒 −(𝑁𝑇+𝜃 )𝑆
Tomando la transformada 𝑧 a la ecuación anterior:
𝐺𝑝 𝑧 = ℑ 𝐺 𝑆 𝑒 − 𝑁𝑇+𝜃
El término ℑ 𝐺 𝑆 𝑒 −𝜃𝑆
𝑆
𝐺𝑝 𝑧 = 𝑧 −𝑁 ℑ 𝐺 𝑆 𝑒 −𝜃𝑆
se define como la transformada 𝑧 modificada de 𝐺(𝑆) y se
denota por: ℑ𝑚 𝐺(𝑆) = 𝐺(𝑧, 𝑚). Entonces:
𝐺𝑝 𝑧 = 𝑧 −𝑁 ℑ𝑚 𝐺 𝑆
En donde:
𝑚 = 1−
= 𝑧 −𝑁 𝐺 𝑧, 𝑚
𝜃
𝑇
Si el sistema tiene retenedor de orden cero, la transformada z modificada es:
𝐺𝑃 𝑧 = 1 − 𝑧
−1
𝑧
−𝑁
ℑ𝑚
𝐺(𝑆)
𝑆
EJEMPLO
Para el sistema de la figura hallar: a) La función de transferencia 𝑌(𝑧) 𝑅(𝑧). b) La
salida 𝑦(𝑘𝑇) si la entrada es 𝑟 𝑡 = 2𝑢(𝑡)
r(t)
T=2 s
2e-3S
10S+1
H(S)
y(t)
HG(z)
𝑌(𝑧)
a) La función de transferencia del sistema es: 𝐻𝐺 𝑧 = 𝑅(𝑧)
𝜃′
3
𝑁=
= = 1 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎
𝑇
2
𝐺(𝑆)
−1
−𝑁
′
𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧
𝑧 ℑ𝑚
𝜃 = 𝜃 − 𝑁𝑇 = 3 − 1 ∗ 2
𝜃=1
𝑆
𝜃
1
𝑚 =1− = 1−
𝑚 = 0.5
𝑇
2
2
2(𝑧 − 1)
0.1
𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧 −1 𝑧 −1 ℑ𝑚
=
ℑ
𝑚
𝑆(10𝑆 + 1)
𝑧2
𝑆(𝑆 + 0.1)
ℑ𝑚
𝑎
1
𝑒 −𝑎𝑚𝑇
=
−
𝑆(𝑆 + 𝑎)
𝑧 − 1 𝑧 − 𝑒 𝑎𝑇
2(𝑧 − 1) 1
0.9048
𝐻𝐺 𝑧 =
−
𝑧2
𝑧 − 1 𝑧 − 0.8187
𝑒 −𝑎𝑚𝑇 = 0.9048
𝑒 −𝑎𝑇 = 0.8187
𝑌(𝑧) 0.1904𝑧 + 0.1722
𝐻𝐺 𝑧 =
= 2
𝑅(𝑧)
𝑧 𝑧 − 0.8187
b) Si 𝑟(𝑡) = 2𝑢(𝑡) entonces 𝑅 𝑧 =
2𝑧
𝑧−1
0.1904𝑧 + 0.1722
2𝑧
0.3808𝑧 + 0.3444
𝑌 𝑧 = 2
∗
=
𝑧 𝑧 − 0.8187
𝑧−1
𝑧(𝑧 − 1)(𝑧 − 0.8187)
Se expande 𝑌(𝑧) en fracciones parciales y se obtiene:
0.42066
4
4.42066
𝑌 𝑧 =
+
−
𝑧
𝑧 − 1 𝑧 − 0.8187
ℑ
−1
ℑ−1
1
= 𝛿(𝑘 − 1)
𝑧
1
= 𝑎 𝑘−1
𝑧−𝑎
Tomando la transformada 𝑧 inversa resulta:
𝑦 𝑘𝑇 = 0.42066𝛿 𝑘 − 1 + 4(1)𝑘−1 − 4.42066(0.8187)𝑘−1
𝑦 0 =0
𝑦 3 = 1.03696
𝑦 1 =0
𝑦 4 = 1.5741
𝑦 2 = 0.3808
𝑦 5 = 2.0139
𝑦 6 = 2.3740
⋯
⋯
𝑦 ∞ = 4.0000
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE PULSO DE UN
SISTEMA EN LAZO CERRADO
La figura muestra el diagrama en bloques de un sistema de control digital en lazo
cerrado, en el cual se incluye la dinámica de todos los elementos. A éste sistema
se le pueden efectuar algunas simplificaciones. Por ejemplo, si el modelo del
sistema es obtenido experimentalmente, la función de transferencia del proceso
𝐺𝑝 (𝑆) incluye la dinámica del elemento final de control y la del sistema de
medición. En este caso, el diagrama de la figura 𝑎 se reduce al de la figura 𝑏.
𝐺𝑤 𝑧 =
𝐶 𝑧
𝐷 𝑧 𝐻𝐺 𝑧
=
𝑅 𝑧
1 + 𝐷 𝑧 𝐻𝐺 𝑧
𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧 −1 ℑ
𝐺𝑝 𝑆
𝑆
𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧 −1 𝑧 −𝑁 ℑ𝑚
𝐺𝑝 𝑆
𝑆
EJEMPLO
Para el sistema de control discreto mostrado en la figura, hallar a) La función de
transferencia de pulso en lazo cerrado. b) La respuesta 𝑐(𝑘𝑇) si 𝑟(𝑡) es un escalón
unitario. Asuma que el periodo de muestreo es 𝑇 = 1 𝑠 , que 𝐻(𝑆) es un retenedor
de orden cero y que 𝐷(𝑧) es un controlador digital con función de transferencia:
1.5𝑧 − 1.2
𝐷 𝑧 =
𝑧−1
r(t)
e(t)
+
-
e(kT)
D(z)
Retenedor
Planta
H(S)
2
S(S+4)
m(kT)
T
c(t)
HG(S)
SOLUCIÓN: a) La función de transferencia de pulso para el sistema plantaretenedor está dada por la ecuación:
𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧
−1
𝐻𝐺 𝑧 = (1 − 𝑧 −1 )ℑ
𝐺𝑝 𝑆
ℑ
𝑆
2
𝑆 2 (𝑆 + 4)
De tablas se encuentra que:
𝑎2
ℑ 2
=
𝑆 (𝑆 + 𝑎)
𝑎𝑇 − 1 + 𝑒 −𝑎𝑇 𝑧 + 1 − 𝑒 −𝑎𝑇 − 𝑎𝑇𝑒 −𝑎𝑇 𝑧
𝑧 − 1 2 (𝑧 − 𝑒 −𝑎𝑇 )
Con 𝑇 = 1 𝑠 y 𝑎 = 4 se obtiene, después de simplificar:
0.37728(𝑧 + 0.30096)
𝐻𝐺 𝑧 =
𝑧 − 1 (𝑧 − 0.01831)
La función de transferencia del sistema en lazo cerrado es:
𝐺𝑤
𝐺𝑤
𝐶(𝑧)
𝐷 𝑧 𝐻𝐺(𝑧)
𝑧 =
=
𝑅(𝑧) 1 + 𝐷 𝑧 𝐻𝐺(𝑧)
0.37728(𝑧 + 0.30096) (1.5𝑧 − 1.2)
∗
𝐶(𝑧)
𝑧−1
𝑧 − 1 (𝑧 − 0.01831)
𝑧 =
=
0.37728(𝑧 + 0.30096) (1.5𝑧 − 1.2)
𝑅(𝑧)
1+
∗
𝑧−1
𝑧 − 1 (𝑧 − 0.01831)
𝐺𝑤
𝐺𝑤
𝐶(𝑧)
0.37728 𝑧 + 0.30096 1.5𝑧 − 1.2
𝑧 =
=
𝑅(𝑧) 𝑧 3 − 1.45238𝑧 2 + 0.75421𝑧 − 0.15457
𝐶(𝑧)
0.37728 𝑧 + 0.30096 (1.5𝑧 − 1.2)
𝑧 =
=
𝑅(𝑧)
𝑧 − 0.67298 (𝑧 2 − 0.77939𝑧 + 0.22969)
Si 𝑟(𝑡) es un escalón unitario, 𝑅(𝑧) = 𝑧/(𝑧 − 1), por lo tanto:
𝐶 𝑧 = 𝐺𝑤
0.37728𝑧 𝑧 + 0.30096 (1.5𝑧 − 1.2)
𝑧 𝑅(𝑧) =
(𝑧 − 1) 𝑧 − 0.67298 (𝑧 2 − 0.77939𝑧 + 0.22969)
Al expandir 𝐶(𝑧)/𝑧 en fracciones parciales se obtiene:
𝐶(𝑧)
1
2.354𝑧 − 0.48948
1.3544
=
− 2
+
𝑧
𝑧 − 1 𝑧 − 0.77939𝑧 + 0.22969 𝑧 − 0.67298
Utilizando tablas se obtiene la transformada inversa 𝑧 de 𝐶(𝑧) así:
𝑐 𝑘𝑇 = 1 + 1.3544(0.67298)𝑘 − 2.3542 cos 0.621𝑘 + 1.5339 sin 0.621𝑘 (0.4792)𝑘
EJEMPLO
La figura representa el diagrama en bloques de un sistema de calefacción de una
habitación. La salida 𝑐(𝑡) es la temperatura de la habitación en grados centígrados
y la señal de voltaje 𝑚(𝑡) es la salida del sensor de temperatura. La perturbación
𝑑(𝑡) se presenta cuando se abre la puerta de la habitación. Con la puerta cerrada
𝑑(𝑡) = 0 pero, si la puerta se abre en 𝑡 = 𝑡0 entonces
𝑑(𝑡) = 𝑢(𝑡 − 𝑡0 ).
a)
Deduzca la función de transferencia 𝐶(𝑧)/𝐸(𝑧). b) Si se aplica un voltaje constante
𝑒(𝑡) = 10𝑉 durante un largo periodo de tiempo, cuál será la temperatura de estado
estable en la habitación con la puerta está cerrada? c) Estime el efecto que
produce, sobre la temperatura, la apertura permanente de la puerta.
SOLUCIÓN EJEMPLO
a) La función de transferencia 𝐶(𝑧) 𝐸(𝑧) es:
𝐺 𝑧 =
𝐶(𝑧)
= 𝐻𝐺 𝑧
𝐸(𝑧)
𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧 −1 ℑ
𝐶(𝑧)
2
−1
𝐺 𝑧 =
= 1−𝑧 ℑ
𝐸(𝑧)
𝑆(𝑆 + 0.5)
𝐺 𝑆
𝑆
𝑎
ℑ
𝑆 𝑆+𝑎
𝐶(𝑧) 2(𝑧 − 1)
0.5
𝐺 𝑧 =
=
ℑ
𝐸(𝑧)
0.5𝑧
𝑆(𝑆 + 0.5)
𝐺 𝑆 =
2
𝑆 + 0.5
1 − 𝑒 −𝑎𝑇 𝑧
=
(𝑧 − 1)(𝑧 − 𝑒 −𝑎𝑇 )
𝐶(𝑧)
0.8848
𝐺 𝑧 =
=
𝐸(𝑧) 𝑧 − 0.7788
La entrada 𝑒(𝑡) es un escalón de valor 𝑒(𝑡) = 10, entonces 𝐸 𝑧 = 10𝑧 (𝑧 − 1)
La salida 𝐶(𝑧) es:𝐶 𝑧 = 𝐻𝐺 𝑧 . 𝐸(𝑧)
0.8848
10𝑧
8.848𝑧
𝐶 𝑧 =
∗
=
𝑧 − 0.7788 𝑧 − 1 (𝑧 − 1)(𝑧 − 0.7788)
Expandiendo en fracciones parciales 𝐶(𝑧) 𝑧 se obtiene:
40𝑧
40𝑧
𝐶 𝑧 =
−
𝑧 − 1 𝑧 − 0.7788
𝑐 𝑘𝑇 = 40 − 40 0.7788
𝑘
ℑ
−1
𝑧
= 𝑎𝑘
𝑧−𝑎
𝑐𝑆𝑆 = 40 °𝐶
SOLUCIÓN EJEMPLO, CONTINUACIÓN
b) Al abrir la puerta aparece la perturbación y la salida correspondiente a ella es:
2.5
2
5
𝐶𝑃 𝑆 =
∗
=
𝑆 + 0.5 𝑆
𝑆(𝑆 + 0.5)
𝐶𝑃 𝑆 = 𝐺𝑃 𝑆 ∗ 𝐷 𝑆
5
5
0.5
𝐶𝑃 𝑧 = ℑ
=
ℑ
𝑆(𝑆 + 0.5)
0.5 𝑆(𝑆 + 0.5)
2.212𝑧
𝐶𝑃 𝑧 =
(𝑧 − 1)(𝑧 − 0.7788)
Expandiendo 𝐶𝑃 (𝑧) 𝑧 en fracciones parciales y despejando 𝐶𝑃 𝑧 resulta:
10𝑧
10𝑧
𝐶𝑃 𝑧 =
−
𝑧 − 1 𝑧 − 0.7788
ℑ
−1
𝑧
= 𝑎𝑘
𝑧−𝑎
Por tanto:
𝐶𝑃 𝑘𝑇 = 10 − 10 0.7788
𝑘
𝐶𝑃𝑆𝑆 = 10 ℃
c) Si la puerta se deja largo tiempo abierta, la temperatura final será:
𝐶𝑆𝑆 = 40℃ − 10℃ = 30℃
Se restan debido al signo que tiene la entrada de la perturbación.
EJEMPLO FTP EN LAZO CERRADO
La figura representa el sistema de control para una de las articulaciones de un
robot. a) Si la entrada al sensor es el ángulo 𝜃𝑎 en grados y el movimiento de la
articulación está restringido de 0º a 270º, determinar el rango de la salida del
sensor. b) Determinar la función de transferencia del sistema en lazo cerrado
cuando 𝐾 = 2.4 𝑦 𝐷 𝑧 = 1 Asuma que 𝑇 = 0.1 𝑠. c) Obtener 𝜃𝑎 (𝑘𝑇) cuando la
entrada es 𝜃𝑐= 5 𝑉. Cuál será el valor final de 𝜃𝑎 ?
c
+
-
Control
Retenedor
D(Z)
H(S)
Servomotor
K
Ea
T
200
S(0.5S+1)
Engranajes
m
1
100
a
Sensor
VS
a) Para 𝜃𝑎 = 0°
𝑉𝑆 = 0.07 ∗ 0 = 0
0.07
Para 𝜃𝑎 = 270°
El rango de la salida del sensor es de 0 𝑎 18.9 𝑉
𝑉𝑆 = 0.07 ∗ 270 = 18.9 𝑉
SOLUCIÓN DEL EJEMPLO
b) La FTLC del sistema es:
𝐺𝑤
𝐷(𝑧) ∗ 𝐾 ∗ 𝐻𝐺 𝑧
𝑧 =
1 + 𝐷(𝑧) ∗ 𝐾 ∗ 𝐻𝐺 𝑧 ∗ 0.07
𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧
−1
𝐺(𝑆)
ℑ
𝑆
𝐾 = 2.4
200
1
2
𝐺 𝑆 =
∗
=
𝑆(0.5𝑆 + 1) 100 𝑆(0.5𝑆 + 1)
𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧 −1 ℑ
𝑎2
ℑ 2
=
𝑆 (𝑆 + 𝑎)
𝐷 𝑧 =1
2
𝑆 2 0.5𝑆 + 1
𝑎𝑇 − 1 + 𝑒 −𝑎𝑇 𝑧 + (1 − 𝑒 −𝑎𝑇 − 𝑎𝑇𝑒 −𝑎𝑇 ) 𝑧
𝑧 − 1 2 (𝑧 − 𝑒 −𝑎𝑇 )
2 𝑧−1
4
𝐻𝐺 𝑧 =
ℑ 2
0.5
𝑧
𝑆 𝑆+2
0.01873𝑧 + 0.01752
𝐻𝐺 𝑧 =
(𝑧 − 1)(𝑧 − 0.8187)
0.01873𝑧 + 0.01752
𝜃𝑎 (𝑧)
(𝑧 − 1)(𝑧 − 0.8187)
𝑧 =
=
𝜃𝑐 (𝑧) 1 + 1 ∗ 2.4 ∗ 0.01873𝑧 + 0.01752 ∗ 0.07
𝑧 − 1 𝑧 − 0.8187
1 ∗ 2.4 ∗
𝐺𝑤
𝐺𝑤 𝑧 =
𝜃𝑎 (𝑧)
0.04495𝑧 + 0.04205
0.04495𝑧 + 0.04205
= 2
=
𝜃𝑐 (𝑧) 𝑧 − 1.8155𝑧 + 0.8218 (𝑧 − 0.9569)(𝑧 − 0.8586)
CONTINUACION DEL EJEMPLO
Despendo 𝜃𝑎 𝑧 :
0.04495𝑧 + 0.04205
𝜃𝑎 𝑧 =
∗ 𝜃𝑐 (𝑧)
(𝑧 − 0.9569)(𝑧 − 0.8586)
Al aplicar un escalón con 𝜃𝑐 = 5 𝑉 resulta:
0.04495𝑧 + 0.04205
5𝑧
𝜃𝑎 𝑧 =
∗
(𝑧 − 0.9569)(𝑧 − 0.8586) 𝑧 − 1
Expandiendo 𝜃𝑎 𝑧 /𝑧 en fracciones parciales y despejando 𝜃𝑎 𝑧 se obtiene:
71.3777𝑧
29.0095𝑧
100.387𝑧
𝜃𝑎 𝑧 =
+
−
𝑧−1
𝑧 − 0.8586 𝑧 − 0.9569
Tomando la transformada inversa 𝑧 resulta:
𝜃𝑎 𝑘𝑇 = 71.3777 + 29.0095(0.8586)𝑘 − 100(0.9569)𝑘
c) El valor del ángulo en estado estable al aplicar el escalón de 5 V es:
𝜃𝑎 = 71.3777°
EL PLANO Z Y SU RELACIÓN CON EL PLANO S
En los sistemas de control en tiempo continuo, la localización de los polos y de los
ceros en el plano 𝑆 permite establecer el comportamiento dinámico del sistema.
En los sistemas de control en tiempo discreto, la ubicación de los polos y de los
ceros en el plano 𝑧 posibilita analizar el desempeño del sistema discreto.
TRANSFORMADA DE LAPLACE
∞
ℒ 𝑓 𝑡
=𝐹 𝑆 =
𝑓 𝑡 𝑒 −𝑆𝑡 𝑑𝑡
0
TRANSFORMADA z
∞
ℑ 𝑡
= ℑ 𝑘𝑇
𝑓 𝑘𝑇 𝑧 −𝑘
=𝐹 𝑧 =
0
𝑡
𝑘𝑇
𝑒 −𝑆𝑡
𝑧 −𝑘
𝑒 𝑆𝑇
𝑧
Cuando en el proceso se involucra un muestreo por impulsos, las variables
complejas 𝑧 y 𝑆 se relacionan, mediante la ecuación:
𝑧 = 𝑒 𝑆𝑇
MAPEO DE POLOS Y CEROS EN EL PLANO S Y Z
Im
Im
Plano Z
Plano S
x
x
x
x
-4
x
Re
x
Re
0.449
Para un polo en el plano 𝑆 ubicado en 𝑆 = −4, y periodo de muestreo 𝑇 = 0.2 𝑠, la
ubicación del polo correspondiente en el plano 𝑧 es 𝑧 = 0.449
𝑧 = 𝑒 𝑆𝑇 = 𝑒 −4∗0.2
𝑧 = 0.449
SISTEMA DE PRIMER ORDEN
La función de transferencia de un sistema de primer orden con retardo es:
𝐾𝑒 −𝜃𝑆
𝐺𝑃 𝑆 =
𝜏𝑆 + 1
𝐾 = Ganancia del sistema
𝜏 = Constante de tiempo
𝜃 = Retardo o tiempo muerto
La ecuación característica es:
1
𝑆=−
𝜏
𝜏𝑆 + 1 = 0
Por lo tanto:
𝑧=
𝑇
−
𝑒 𝜏
𝑇
𝜏=−
𝑙𝑛 𝑧
SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN
Para un sistema de segundo orden, con función de transferencia dada por:
𝐾𝑤𝑛2
𝐺 𝑆 = 2
𝑆 + 2𝜉𝑤𝑛 𝑆 + 𝑤𝑛2
𝑤𝑛 = 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙
𝜉 = 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
𝐾 = 𝐺𝑎𝑛𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
Las raíces de la ecuación característica: 𝑆 2 + 2𝜉𝑤𝑛 𝑆 + 𝑤𝑛2 = 0 son:
𝑆1,2 = −𝜉𝑤𝑛 ± 𝑗𝑤𝑛 1 − 𝜉 2
Utilizando la ecuación 𝑧 = 𝑒 𝑆𝑇 y teniendo en cuenta que 𝑒 ±𝑗 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 ± 𝑗𝑠𝑒𝑛𝛼 :
𝑧 = 𝑒 −𝜉𝑤 𝑛 𝑇 ∠ ± 𝑤𝑛 𝑇 1 − 𝜉 2 = 𝑧 ∠ ± 𝜃
Haciendo 𝑤𝑑 = 𝑤𝑛 1 − 𝜉 2 , la ecuación anterior se transforma en:
𝑧 = 𝑒 −𝜉𝑤 𝑛 𝑇 ∠ ± 𝑤𝑑 𝑇
El ángulo 𝑤𝑑 𝑇 está dado en radianes. Para darlo en grados:
𝑧 = 𝑒 −𝜉𝑤 𝑛 𝑇
𝜃 = 57.3𝑤𝑛 𝑇 1 − 𝜉 2
EJEMPLO
Para los sistemas de control de tiempo discreto, con periodo de muestreo 𝑇 = 1.5 𝑠
2
𝑎) 𝐺1 𝑧 =
𝑧 − 0.5
0.6𝑧
𝑏) 𝐺2 𝑧 = 2
𝑧 − 1.2𝑧 + 0.4
0.2𝑧
𝑐) 𝐺3 (𝑧) =
(𝑧 − 0.6)(𝑧 2 − 1.4𝑧 + 0.6)
Determinar la constante de tiempo y la ganancia DC.
2
a) Para el sistema: 𝐺1 𝑧 =
𝑧−0.5
Ecuación característica: 𝑧 − 0.5 = 0
Raices de la ecuación característica:
𝑇
Constante de tiempo: 𝜏 = − 𝑙𝑛
1.5
𝜏 = − 𝑙𝑛
𝑧
𝐾𝐷𝐶 = lim 𝑧−0.5
𝑧→1
b) Para el sistema: 𝐺2 𝑧 =
𝑧→1
𝑧 2 −1.2𝑧+0.4
𝑅𝑒 2 + 𝐼𝑚2
𝑇
Constante de tiempo: 𝜏 = − 𝑙𝑛 𝑧
Ganancia DC
𝐾𝐷𝐶 = lim
𝐾𝐷𝐶 = 4
0.6𝑧
Ecuación Característica: 𝑧 2 − 1.2𝑧 + 0.4 = 0
𝑧 =
𝜏 = 2.16 𝑠.
0.5
2
Ganancia DC 𝐾𝐷𝐶 = lim 𝐺 𝑧
𝑧 = 0.5
𝑧 =
𝜏 = − 𝑙𝑛
0.6𝑧
𝑧→1 𝑧 2 −1.2𝑧+0.4
Raíces: 𝑧 = 0.6 ± 𝑗0.2
0.62 + 0.22
1.5
0.632
𝐾𝐷𝐶 = 3
𝑧 = 0.632
𝜏 = 3.26 𝑠.
c) Para el sistema: 𝐺3 (𝑧) =
0.2𝑧
(𝑧−0.6)(𝑧 2 −1.4𝑧+0.6)
Ecuación característica: 𝑧 − 0.6 𝑧 2 − 1.4𝑧 + 0.6 = 0 Raíces: 𝑧 = 0.6
1.5
1.5
Constante de tiempo: 𝜏 = − 𝑙𝑛 0.6 − 𝑙𝑛 0.8943
𝑧 = 0.7 ± 0.5567
𝜏 = 16.36 𝑠
Ganancia: 𝐾𝐷𝐶 = 2.5
ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS DISCRETOS
Para el sistema de control en tiempo discreto de la figura, la función de transferencia
de pulso en lazo cerrado está dada por:
𝐺𝑤
𝐶(𝑧)
𝐺(𝑧)
𝑧 =
=
𝑅(𝑧) 1 + 𝐺𝐻(𝑧)
La ecuación característica del sistema es:
1 + 𝐺𝐻 𝑧 = 0
Si 𝑧 es una raíz de la ecuación característica y teniendo en cuenta que
Si 𝑆 < 0
Entonces:
𝑧<1
El sistema es estable
Si 𝑆 = 0
Entonces:
𝑧=1
El sistema es críticamente estable
Si 𝑆 > 0
Entonces:
𝑧>1
El sistema es inestable
CONDICIONES DE ESTABILIDAD DE UN SISTEMA DISCRETO

El sistema es estable si todos sus polos de lazo cerrado están ubicados dentro
del círculo unitario del plano 𝑧. Cualquier polo de lazo cerrado localizado fuera
del círculo unitario genera un sistema inestable.

Un polo simple o un solo par de polos complejos conjugados ubicados sobre el
círculo unitario ( 𝑧 = 1), hace que el sistema sea críticamente estable. Polos
múltiples ubicados sobre el círculo unitario hacen que el sistema sea inestable.

Los ceros de lazo cerrado no afectan la estabilidad del sistema.
CRITERIO DE ESTABILIDAD DE JURY
Para aplicar esta prueba a la ecuación característica 𝑄(𝑧) = 0, se construye una
tabla cuyos elementos están determinados por los coeficientes de 𝑄(𝑧).
Para construir la tabla la ecuación característica se debe escribir en la forma:
𝑄 𝑧 = 𝑎𝑛 𝑧 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑧 𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 𝑧 𝑛−2 + ⋯ 𝑎1 𝑧 + 𝑎0 = 0
𝑎𝑛 > 0
El arreglo de Jury se construye como se indica en la tabla
CONSTRUCCIÓN DE LA TABLA DE JURY
Los coeficientes del arreglo de Jury se calculan así:
𝑎 0 𝑎𝑛
𝑎0 𝑎𝑛−1
𝑎0 𝑎𝑛−2
𝑏0 = 𝑎
𝑏1 = 𝑎
𝑏2 = 𝑎
𝑎0
𝑎1
𝑎2
𝑛
𝑛
𝑛
𝑏0
𝑐0 =
𝑏𝑛−1
𝑝0
𝑝𝑗 = 𝑝
3
𝑏𝑛−1
𝑏0
𝑏0
𝑐1 =
𝑏𝑛−1
𝑏𝑛−2
𝑏1
𝑏0
𝑐𝑗 =
𝑏𝑛−1
𝑎0
𝑏𝑗 = 𝑎
𝑛
𝑎𝑛−𝑗
𝑎𝑗
𝑏𝑛−1−𝑗
𝑏𝑗
𝑝3−𝑗
𝑝𝑗
Para que el sistema sea estable, se requiere el cumplimiento de 𝑛 + 1 condiciones,
en donde 𝑛 es el orden de la ecuación característica. Dichas condiciones son:
1. 𝑄 1 > 0
2. −1 𝑛 𝑄(−1) > 0
3. 𝑎0 < 𝑎𝑛
4. 𝑏0 > 𝑏𝑛−1
5. 𝑐0 > 𝑐𝑛−2
. . . . .
𝑛 + 1. 𝑞0 > 𝑞2
PROCEDIMIENTO PARA REALIZAR LA PRUEBA DE JURY
El procedimiento para efectuar la prueba es el siguiente:
Paso1: Determinar si se cumplen las condiciones 1, 2 y 3. Si no se cumplen, el
sistema es inestable, si se cumplen se efectúa el paso 2
Paso 2: Determinar el máximo valor de 𝑗, así:
𝑗𝑚𝑎𝑥 = 𝑛 − 2
Si 𝑗𝑚𝑎𝑥 = 0, no se continúa el procedimiento pues la información del paso 1 es
suficiente para determinar la estabilidad del sistema.
Paso 3: El máximo número de filas que ha de tener el arreglo está dado por:
𝐹𝑚𝑎𝑥 = 2𝑗𝑚𝑎𝑥 + 1 = 2𝑛 − 3
Paso 4: Se completa el arreglo. A cada fila se le aplica la restricción. Si ésta no se
cumple, no se continúa y el sistema es inestable
EJEMPLO 1 CRITERIO DE JURY
Determinar la estabilidad del sistema de control discreto cuya función de
transferencia en lazo cerrado es:
𝐺𝑤
𝐶(𝑧)
𝑧 2 (𝑧 + 0.5)
𝑧 =
=
𝑅(𝑧) 𝑧 4 − 0.8𝑧 3 + 0.5𝑧 2 + 0.2𝑧 − 0.1
SOLUCIÓN: La ecuación característica del sistema es:
𝑧 4 − 0.8𝑧 3 + 0.5𝑧 2 + 0.2𝑧 − 0.1 = 0
𝑎4 = 1
𝑎3 = −0.8
𝑎2 = 0.5
𝑎1 = 0.2
𝑎0 = −0.1
Para evaluar la estabilidad el procedimiento se inicia así:
Número de condiciones: 𝑛 + 1 = 4 + 1 = 5
Paso 1: Verificación de las condiciones 1, 2 y 3.
1. 𝑄 1 > 0
2.
−1 4 𝑄 −1 > 0
3.
𝑎0 < 𝑎𝑛
𝑄 1 = 1 − 0.8 + 0.5 + 0.2 − 0.1 = 0.8 > 0
𝑄 −1 = 1 + 0.8 + 0.5 − 0.2 − 0.1 = 2 > 0
−0.1 < 1
Las condiciones 1, 2 y 3 se cumplen.
Paso 2. Máximo valor de 𝑗
𝑗𝑚𝑎𝑥 = 𝑛 − 2 = 4 − 2 = 2
Paso 3: Máximo número de filas del arreglo:
𝐹𝑚𝑎𝑥 = 2𝑗𝑚𝑎𝑥 + 1 = 2𝑛 − 3 = 5
Paso 4: Se completa el arreglo chequeando las condiciones respectivas.
𝒋
0
1
2
𝑭𝒊𝒍𝒂
𝒛𝟎
𝒛𝟏
𝒛𝟐
𝒛𝟑
𝒛𝟒
1
−0.1
0.2
0.5
−0.8
1
2
1
−0.8
0.5
0.2
−0.1
3
−0.99
0.78
−0.55
−0.12
4
−0.12
−0.55
0.78
−0.99
5
0.9657
−0.8382
0.6831
−0.1
1
= −0.99
1
−0.1
−0.1 0.5
𝑏2 =
= −0.55
1
0.5
𝑏0 =
𝑏0 > 𝑏3
−0.99 > −0.12
−0.1 −0.8
= 0.78
1
0.2
−0.1 0.2
𝑏3 =
= −0.12
1
−0.8
𝑏1 =
Cumple
𝑐0 =
−0.99
−0.12
−0.12
= 0.9657
−0.99
−0.99
𝑐2 =
−0.12
𝑐0 > 𝑐2
𝑐1 =
−0.99 −0.55
= −0.8382
−0.12 0.78
0.78
= 0.6381
−0.55
0.9657 > 0.6381
Cumple
Dado que se cumplen todas las condiciones el sistema es estable.
Utilizando el Matlab se obtienen las raíces de la ecuación característica:
𝑧 4 − 0.8𝑧 3 + 0.5𝑧 2 + 0.2𝑧 − 0.1 = 0
Así
𝑧 = 0.4521 ± 𝑗0.7257
𝑧 = −0.4256
𝑧 = 0.855
𝑧 = 0.3213
Se observa entonces que todas las raíces de la ecuación característica están
ubicadas dentro del círculo unitario, con lo cual se cumple la condición de
estabilidad.
EJEMPLO 2
Para el sistema de control discreto de la figura, determinar el valor o valores de la
ganancia 𝐾 para los cuales el sistema es estable. Asumir como periodo de
muestreo 𝑇 = 1 𝑠 y que 𝐻(𝑆) es un retenedor de orden cero.
SOLUCIÓN: La función de transferencia de pulso para el sistema está dada por :
𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧 −1 ℑ
𝐺 𝑆
𝑆
= 1 − 𝑧 −1 ℑ
3
𝑆 2 (𝑆 + 5)
Con un periodo de muestreo 𝑇 = 1 𝑠 se obtiene:
𝐻𝐺 𝑧 =
0.4808(𝑧 + 0.2394)
𝑧 − 1 (𝑧 − 0.00673)
La función de transferencia en lazo cerrado es:
𝐺𝑤 𝑧 =
𝐺𝑤 𝑧 =
𝐶(𝑧)
𝐾. 𝐻𝐺(𝑧)
=
𝑅(𝑧) 1 + 𝐾. 𝐻𝐺(𝑧)
𝐶(𝑧)
0.4808𝐾(𝑧 + 0.2394)
=
𝑅(𝑧)
𝑧 − 1 𝑧 − 0.00673 + 0.4808𝐾(𝑧 + 0.2394)
La ecuación característica del sistema es:
𝑧 − 1 𝑧 − 0.00673 + 0.4808𝐾 𝑧 + 0.2394 = 0
Reorganizando términos:
𝑧 2 − 1.00673 − 0.4808𝐾 𝑧 + 0.00673 + 0.1151𝐾 = 0
Número de condiciones: 𝑛 + 1 = 3
1. 𝑄 1 = 1 − 1.00673 − 0.4808𝐾 + 0.00673 + 0.1151𝐾 > 0
0.5959𝐾 > 0
2.
𝐾>0
−1 2 𝑄 −1 = 1 − 1.00673 − 0.4808𝐾 −1 + 0.00673 + 0.1151𝐾 > 0
2.01346 − 0.3657𝐾 > 0
3. 𝑎0 < 𝑎𝑛
𝐾 < 5.5
0.00673 + 0.1151𝐾 < 1
−8.7446 < 𝐾 < 8.6296
Los resultados obtenidos indican que el sistema es estable si:
0 < 𝐾 < 5.5
CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH PARA SISTEMAS DISCRETOS
Un método muy utilizado en el análisis de estabilidad de sistemas discretos es el
uso de la transformación bilineal junto con el criterio de Routh. La transformación
bilineal permite transformar el plano 𝑧 en otro plano 𝑤 y está definida por:
𝑇𝑤
2
𝑧=
𝑇𝑤
1− 2
1+
𝑤=
2 𝑧−1
𝑇 𝑧+1
Lo cual posibilita transformar la ecuación característica:
𝑄 𝑧 = 𝑎𝑛 𝑧 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑧 𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 𝑧 𝑛−2 + ⋯ 𝑎1 𝑧 + 𝑎0 = 0
𝑎𝑛 > 0
En otra ecuación característica de la forma:
𝑄 𝑤 = 𝛼𝑛 𝑤 𝑛 + 𝛼𝑛−1 𝑤 𝑛−1 + ⋯ 𝛼1 𝑤 + 𝛼0
Así, el arreglo de Routh toma la forma:
𝛼𝑛
𝑤𝑛
𝑤 𝑛−1 𝛼𝑛 −1
𝑤 𝑛−2 𝑏1
𝑤 𝑛−3 𝑐1
⋮
⋮
𝑝1
𝑤2
𝑞1
𝑤1
𝑟1
𝑤0
𝛼𝑛−2
𝛼𝑛−3
𝑏2
𝑐2
⋮
𝑝2
𝛼𝑛−4
𝛼𝑛−5
𝑏3
𝑐3
⋮
⋯
⋯
…
⋯
⋮
COEFICIENTES DEL ARREGLO DE ROUTH
En donde:
(𝛼𝑛−1 )(𝛼𝑛−2 ) − 𝛼𝑛 (𝛼𝑛−3 )
𝑏1 =
𝛼𝑛−1
𝑏1 𝛼𝑛−3 − 𝑏2 (𝛼𝑛−1 )
𝑐1 =
𝑏1
(𝛼𝑛−1 )(𝛼𝑛−4 ) − 𝛼𝑛 (𝛼𝑛−5 )
𝑏2 =
𝛼𝑛−1
𝑏1 𝛼𝑛−5 − 𝑏3 (𝛼𝑛−1 )
𝑐2 =
𝑏1
(𝛼𝑛−1 )(𝛼𝑛−6 ) − 𝛼𝑛 (𝛼𝑛−7 )
𝑏3 =
𝛼𝑛−1
. . . . . . .
El criterio de Routh-Hurwist establece que: el sistema es estable sí y solo sí todos
los coeficientes de la primera columna del arreglo son positivos.
“El número de raíces de la ecuación característica con parte real positiva es igual
al número de cambios de signo que se presentan en los coeficientes de la primera
columna del arreglo”.
EJEMPLO ESTABILIDAD SEGÚN CRITERIO DE ROUTH
Determinar el valor de 𝐾 para el cual el sistema de control discreto de la figura es
estable. 𝐻(𝑆) es un retenedor de orden cero. Periodo de muestreo 𝑇 = 2 𝑠.
SOLUCIÓN: Como la función de transferencia del proceso presenta retardo, es
necesario trabajar con la transformada 𝑧 modificada. Por lo tanto:
𝜃′ 3
𝑁 = = = 1 (𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎)
−3𝑆
𝑇 2
𝐺𝑝 𝑆
5𝑒
−1 −𝑁
𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧 𝑧 ℑ𝑚
𝐺𝑝 (𝑆) =
𝜃 = 𝜃 ′ − 𝑁𝑇 = 3 − 2
𝜃=1
𝑆
10𝑆 + 1
𝜃
1
𝑚 =1− =1−
𝑚 = 0.5
𝑇
2
5
5(𝑧 − 1)
0.1
−1 −1
=
ℑ𝑚
𝑆 10𝑆 + 1
𝑧2
𝑆 𝑆 + 0.1
ℑ𝑚
𝑎
1
𝑒 −𝑎𝑚𝑇
=
−
𝑆(𝑆 + 𝑎)
𝑧 − 1 𝑧 − 𝑒 −𝑎𝑇
𝐻𝐺 𝑧 =
5(𝑧 − 1)
1
0.9048
−
𝑧2
𝑧 − 1 𝑧 − 0.8187
0.476(𝑧 + 0.9044)
𝐻𝐺 𝑧 =
𝑧 2 (𝑧 − 0.8187)
Utilizando la transformación bilineal con 𝑇 = 2 𝑠, se obtiene:
1+𝑤
0.476 1 − 𝑤 + 0.9044
𝐻𝐺 𝑤 =
1+𝑤 2 1+𝑤
1−𝑤
1 − 𝑤 − 0.8187
0.025 1 − 𝑤 2 (𝑤 + 19.9205)
𝐻𝐺 𝑤 =
1 + 𝑤 2 (𝑤 + 0.09968)
La función de transferencia de lazo cerrado para el sistema es:
𝐺𝑤
𝐾. 𝐻𝐺(𝑤)
𝑤 =
1 + 𝐾. 𝐻𝐺(𝑤)
La ecuación característica es: 1 + 𝐾. 𝐻𝐺 𝑤 = 0
0.025 1 − 𝑤 2 (𝑤 + 19.9205)
1+
=0
1 + 𝑤 2 (𝑤 + 0.09968)
1 + 0.025𝐾 𝑤 3 + 2.0996 + 0.448𝐾 𝑤 2 + 1.1993 − 0.971𝐾 𝑤 + 0.0996 + 0.498𝐾 = 0
El arreglo de Routh para la ecuación anterior es:
1 + 0.025𝐾
𝑤3
2.0996 + 0.448𝐾
𝑤2
𝑤 1 2.4184 − 2.006𝐾 − 0.446𝐾 2
2.0996 + 0.448𝐾
0.0996 + 0.498𝐾
𝑤0
1.1993 − 0.971𝐾
0.0996 + 0.498𝐾
0
Para que el sistema sea estable, se debe cumplir:
1 + 0.025𝐾 > 0
𝐾 > −40
2.0996 + 0.448𝐾 > 0
𝐾 > −4.686
2.4184 − 2.006𝐾 − 0.446𝐾 2
>0
2.0996 + 0.448𝐾
𝐾 < 0.998
0.0996 + 0.498𝐾 > 0
𝐾 > −0.2
Considerando los resultados anteriores, se deduce que el sistema es estable si:
−0.2 < 𝐾 < 0.988
La frecuencia de oscilación para 𝐾 = 0.988 se puede determinar a partir de la fila
de 𝑤 2 en el arreglo. En esta fila, se reemplaza 𝐾 y se resuelve la ecuación resultante
para 𝑤𝑤 , cuyo valor corresponde a la parte imaginaria de 𝑤.
Para el caso del ejemplo que se analiza, la ecuación para evaluar a 𝑤𝑤 es:
2.0996 + 0.448(0.988) 𝑤𝑤2 + 0.0996 + 0.498 0.988 = 0
2.542𝑤𝑤2 + 0.591 = 0
𝑤𝑤 = ±𝑗0.482
Si se desea hallar la frecuencia real 𝑤 en el plano 𝑆 se debe utilizar la ecuación:
2
𝑤𝑇
𝑤𝑤 = tan
𝑇
2
2
𝑤𝑤 𝑇
2
0.482 ∗ 2
−1
−1
𝑤 = tan
𝑤 = tan
𝑇
2
2
2
𝑤 = 0.449 𝑟𝑎𝑑/𝑠
ANÁLISIS DE RESPUESTA TRANSITORIA Y DE ESTADO ESTABLE
Con frecuencia, las características de funcionamiento del sistema se especifican en
función de su respuesta transitoria ante un escalón unitario, ya que éste tipo de
entrada es fácil de generar y permite obtener información útil del sistema.
La figura muestra las especificaciones de respuesta transitoria, de un sistema de
segundo orden subamortiguado, ante una entrada en escalón unitario.
ESPECIFICACIONES DE RESPUESTA TRANSITORIA
Tiempo de retardo (𝒕𝒅 ): Es el tiempo necesario para que la respuesta del sistema
alcance por primera vez, el 50% de su valor final.
𝑡𝑑 =
1 + 0.7𝜉
𝑤𝑛
1.1 + 0.125𝜉 + 0.46𝜉 2
𝑡𝑑 =
𝑤𝑛
0<𝜉<1
0<𝜉<1
Tiempo de crecimiento (𝒕𝒓 ): Es el tiempo que requiere la respuesta al escalón
para pasar del 10% al 90% de su valor final.
0.8 + 2.5𝜉
𝑡𝑟 =
𝑤𝑛
0<𝜉<1
1 − 0.4167𝜉 + 2.9𝜉 2
𝑡𝑟 =
𝑤𝑛
0<𝜉<1
Tiempo de pico (𝒕𝒑 ): Es el tiempo necesario para que la respuesta al escalón
alcance su máximo sobreimpulso.
𝜋
𝑡𝑝 =
𝑤𝑛 1 − 𝜉 2
0<𝜉<1
ESPECIFICACIONES DE RESPUESTA TRANSITORIA
Máximo sobreimpulso (𝑴𝒑 ): Es el valor máximo de la curva de respuesta al
escalón medido partir del valor de estado estable.
𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 =
𝑐 𝑡𝑝 − 𝑐(∞)
∗ 100%
𝑐(∞)
En donde 𝑐(𝑡𝑝 ) representa el valor máximo alcanzado por la respuesta y 𝑐(∞)
representa el valor de estado estable de la misma. En términos de 𝜉 y 𝑤𝑛 el valor
del máximo sobreimpulso está dado por:
𝑀𝑝 = 𝑒 −𝜋𝜉
1−𝜉 2
0<𝜉<1
Tiempo de establecimiento (𝒕𝒔 ): Es el tiempo requerido para que la curva de
respuesta al escalón alcance y se quede variando, alrededor de su valor final dentro
2% del valor absoluto de su valor final.
4
𝑡𝑠 =
𝜉𝑤𝑛
0<𝜉<1
Para sistemas con 𝜉 ≥ 1, el tiempo de establecimiento está dado por:
8𝜉
𝑡𝑠 =
𝑤𝑛
𝜉≥1
ERROR EN ESTADO ESTABLE EN SISTEMAS DISCRETOS
Para el sistema de control de la figura, la señal de error 𝑒(𝑡), está dada por:
𝑒 𝑡 =𝑟 𝑡 −𝑐 𝑡
Tomando la transformada 𝑧 se obtiene:
𝐸 𝑧 =𝑅 𝑧 −𝐶 𝑧
La función de transferencia de pulso de lazo cerrado para el sistema es:
𝐺𝑤 𝑧 =
𝐶(𝑧)
𝐻𝐺(𝑧)
=
𝑅(𝑧) 1 + 𝐻𝐺(𝑧)
Al despejar 𝐶(𝑧) y llevar el resultado a la ecuación de 𝐸(𝑧) se obtiene:
𝐻𝐺 𝑧 . 𝑅 𝑧
𝐸 𝑧 =𝑅 𝑧 −
1 + 𝐻𝐺 𝑧
𝑅(𝑧)
𝐸 𝑧 =
1 + 𝐻𝐺(𝑧)
El error de estado estable se puede evaluar aplicando el teorema del valor final:
𝑒𝑠𝑠
𝑅 𝑧
𝑘𝑇 = lim 𝑧 − 1 𝐸 𝑧 = lim 𝑧 − 1
𝑧→1
𝑧→1
1 + 𝐻𝐺 𝑧
ERROR DE ESTADO ESTABLE ANTE DIFERENTES ENTRADAS
Entrada escalón: Para una entrada en escalón 𝑟(𝑡) = 𝐴 se tiene:
𝐴𝑧
𝑅(𝑧) =
𝑧−1
𝑒𝑠𝑠 𝑘𝑇 = lim 𝑧 − 1
𝑧→1
𝐴𝑧
𝐴
= lim
𝑧→1 1 + 𝐻𝐺(𝑧)
𝑧 − 1 (1 + 𝐻𝐺(𝑧)
Se define la Constante de error de posición estática como:
𝑘𝑝 = lim 𝐻𝐺 𝑧 = lim(𝐹𝑇𝐿𝐴)
𝑧→1
𝑧→1
𝐴
𝑒𝑠𝑠 =
1 + 𝑘𝑝
Entrada rampa: Para una entrada rampa 𝑟(𝑡) = 𝐴𝑡 se tiene:
𝐴𝑇𝑧
𝑅 𝑧 =
𝑧−1
2
𝑒𝑠𝑠 𝑘𝑇 = lim 𝑧 − 1
𝑧→1
𝐴𝑇𝑧
𝑧 − 1 2 1 + 𝐻𝐺(𝑧)
𝐴𝑇
= lim
𝑧→1 𝑧 − 1 𝐻𝐺(𝑧)
Si se define la Constante de error de velocidad estática como:
𝑘𝑣 =
1
1
lim 𝑧 − 1 𝐻𝐺 𝑧 = lim 𝑧 − 1 . 𝐹𝑇𝐿𝐴
𝑇 𝑧→1
𝑇 𝑧→1
𝑒𝑠𝑠 𝑘𝑇 =
𝐴
𝑘𝑣
ERROR DE ESTADO ESTABLE ANTE DIFERENTES ENTRADAS
Entrada parábola: Para una entrada parábola 𝑟 𝑡 = 𝐴𝑡 2 2, se tiene:
𝐴𝑇 2 (𝑧 + 1)
𝑅 𝑧 =
2(𝑧 − 1)3
Si se define la Constante de error de aceleración estática como:
𝑘𝑎 =
1
lim 𝑧 − 1 2 . 𝐹𝑇𝐿𝐴
2
𝑇 𝑧→1
𝑒𝑠𝑠 𝑘𝑇 =
𝐴
𝑘𝑎
La función de transferencia en lazo abierto 𝐻𝐺(𝑧) se puede escribir en la forma:
𝑘 (𝑧 − 𝑧𝑖 )
𝐻𝐺 𝑧 =
(𝑧 − 1)𝑁 (𝑧 − 𝑝𝑖 )
𝑁 indica el tipo del sistema y representa el número de integradores. 𝑁 = 0 Sistema
tipo cero, 𝑁 = 1 Sistema tipo 1, para 𝑁 = 2 el sistema es tipo 2, etc.
𝑻𝒊𝒑𝒐
𝑬𝒔𝒄𝒂𝒍ó𝒏
𝑹𝒂𝒎𝒑𝒂
𝑷𝒂𝒓á𝒃𝒐𝒍𝒂
0
𝐴
∞
∞
1 + 𝑘𝑝
1
0
2
0
𝐴
𝑘𝑣
0
∞
𝐴
𝑘𝑎
EJEMPLO RESPUESTA Y ERROR DE ESTADO ESTABLE
Considerando el sistema de control de lazo cerrado que se muestra en la figura
Calcular a) La respuesta 𝑐(𝑘𝑇) del sistema ante una entrada en escalón unitario
con 𝐷(𝑧) = 1 y 𝑇 = 0.5 𝑠. b) La respuesta 𝑐(𝑡) del sistema continúo al escalón
unitario (es decir, removiendo el muestreador, el controlador digital y el retenedor).
c) Calcular el error de estado estable del sistema discreto ante entradas escalón,
rampa y parábola unitarias.
0.5
𝐺𝑝 𝑆 =
𝑆 + 0.5
SOLUCIÓN: a) La función de transferencia de pulso para la planta es:
𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧
−1
𝐺 𝑆
ℑ
𝑆
= 1−𝑧
−1
0.5
0.2212
ℑ
=
𝑆(𝑆 + 0.5)
𝑧 − 0.7788
CONTINUACION EJEMPLO
La función de transferencia de lazo cerrado es:
𝐺𝑤
𝐶(𝑧)
0.2212
𝑧 =
=
=
𝑅(𝑧) 1 + 𝐷 𝑧 𝐻𝐺(𝑧) 𝑧 − 0.5576
Si la entrada es un escalón unitario:
𝑧
𝑅 𝑧 =
y 𝐶 𝑧 = 𝐺𝑤 𝑧 . 𝑅(𝑧)
𝑧−1
0.2212𝑧
𝐶 𝑧 =
𝑧 − 1 (𝑧 − 0.5576)
Si se expande 𝐶(𝑧)/𝑧 en fracciones parciales se obtiene, al despejar 𝐶(𝑧):
0.5𝑧
0.5𝑧
𝐶 𝑧 =
−
𝑧 − 1 𝑧 − 0.5576
𝑐 𝑘𝑇 = 0.5 − 0.5(0.5576)𝑘
b) La función de transferencia de lazo cerrado para el sistema continuo es:
𝐺𝑤
𝐶(𝑆)
𝐺(𝑆)
0.5
𝑆 =
=
=
𝑅(𝑆) 1 + 𝐺(𝑆) 𝑆 + 1
Si la entrada es un escalón unitario 𝑅(𝑆) = 1/𝑆 y 𝐶(𝑆) = 𝐺𝑤 (𝑆). 𝑅(𝑆) es decir:Luis Edo García Jaimes
𝐶 𝑆 = 𝐺𝑤
0.5
0.5
0.5
𝑆 𝑅 𝑆 =
=
−
𝑆(𝑆 + 1)
𝑆
𝑆+1
𝑐 𝑡 = 0.5 − 0.5𝑒 −𝑡
c) El error actuante de estado estable ante una entrada en escalón es:
𝑒𝑠𝑠 =
𝑘𝑝 = lim
𝑧→1
𝐴
1 + 𝑘𝑝
𝑘𝑝 = lim(𝐹𝑇𝑃𝐿𝐴)
𝑧→1
0.2212
=1
𝑧 − 0.7788
𝑒𝑠𝑠 =
1
1+1
𝑒𝑠𝑠 = 0.5
El error actuante de estado estable para una entrada rampa es:
𝑒𝑠𝑠 =
𝐴
𝑘𝑣
𝑘𝑣 =
1
lim(𝑧 − 1) 𝐹𝑇𝑃𝐿𝐴
𝑇 𝑧→1
1
0.2212
𝑘𝑣 =
lim (𝑧 − 1)
=0
0.5 𝑧→1
𝑧 − 0.7788
𝑒𝑠𝑠
1
=
0
𝑒𝑠𝑠 = ∞
El error actuante de estado estable para una entrada parábola es:
𝑒𝑠𝑠
𝐴
=
𝑘𝑎
1
𝑘𝑎 = 2 lim(𝑧 − 1)2 𝐹𝑇𝑃𝐿𝐴
𝑇 𝑧→1
1
0.2212
2
𝑘𝑎 =
lim (𝑧 − 1)
=0
0.25 𝑧→1
𝑧 − 0.7788
𝑒𝑠𝑠
1
=
0
𝑒𝑠𝑠 = ∞
EJEMPLO
Para el sistema de control discreto de lazo cerrado mostrado en la figura hallar: a)
La constante de tiempo para 𝑇 = 0.5 𝑠 b) El tiempo requerido para que la respuesta
del sistema, a una entrada en escalón, alcance el 98% de su valor final. c) Repita
las partes a y b para el sistema continuo, es decir, si se remueven el retenedor, y
el controlador digital.
𝐺𝑝 𝑆 =
0.5
𝑆 + 0.5
SOLUCIÓN: a) La función de transferencia de pulso para la planta es:
𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧
−1
𝐺 𝑆
ℑ
𝑆
= 1−𝑧
−1
0.5
0.2212
ℑ
=
𝑆(𝑆 + 0.5)
𝑧 − 0.7788
La función de transferencia de lazo cerrado es:
𝐺𝑤
𝐶(𝑧)
0.2212
𝑧 =
=
=
𝑅(𝑧) 1 + 𝐷 𝑧 𝐻𝐺(𝑧) 𝑧 − 0.5576
La ubicación de un polo en el plano 𝑧 está dada por:
𝑧 = 𝑒 −𝜉𝑤 𝑛 𝑇
𝜃 = 57.3𝑤𝑛 𝑇 1 − 𝜉 2
De las ecuaciones anteriores se obtiene:
ln 𝑧
𝜉𝑤𝑛 = −
𝑇
pero:
1
𝑇
𝜏=
=−
𝜉𝑤𝑛
ln 𝑧
El sistema en lazo cerrado tiene un polo en 𝑧 = 0.5576, entonces:
0.5
𝜏=−
ln 0.5576
𝜏 = 0.856 𝑠.
b) El sistema alcanza el 98% del valor final de la respuesta al escalón cuando el
tiempo transcurrido es 𝑡 = 4𝜏, en este caso 𝑡 = 4 ∗ 0.856
𝑡 = 3.42 𝑠.
c) La función de transferencia de lazo cerrado para el sistema continuo es:
𝐺𝑤
𝐺(𝑆)
𝑆 =
1 + 𝐺(𝑆)
𝐺𝑤
0.5
𝑆 =
𝑆+1
𝜏 =1𝑠
RAICES DOMINANTES Y RAICES NO DOMINANTES
En el plano 𝑆, las raíces más cercanas al eje imaginario en el semiplano izquierdo
son las raíces dominantes. Las raíces que están más alejadas del eje imaginario
corresponden a raíces no dominantes.
En el plano 𝑧 las raíces dominantes están dentro del círculo unitario y más cercanas
a éste. Las raíces cercanas al origen del plano 𝑧 son raíces no dominantes.
Para el diseño se recomienda seleccionar las raíces dominantes con coeficiente de
amortiguamiento 𝜉 = 0.707 y ubicadas en la región derecha del círculo unitario.
La figura muestra las regiones en las que se recomienda ubicar las raíces.
MÉTODO DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAICES
El método del LGM de las raíces permite encontrar los polos de la función de
transferencia de lazo cerrado a partir de la función de transferencia de lazo abierto.
Condición de ángulo y condición de módulo: Para un sistema de control discreto
como el de la figura, la ecuación característica es:
1 + 𝐺𝐻 𝑧 = 0
𝐺𝐻 𝑧 = −1
Como 𝐺𝐻(𝑧) es una cantidad compleja, debe cumplir dos condiciones a saber:
Condición de ángulo:
Condición de módulo:
∡𝐺𝐻 𝑧 = 𝜃 = ±180 2𝑞 + 1
𝑞 = 0, 1, 2, ⋯
𝐺𝐻(𝑧) = 1
Los valores de 𝑧 que cumplen simultáneamente las dos condiciones, son las raíces
de la ecuación característica, es decir, son los polos de lazo cerrado del sistema.
EJEMPLO TRAZADO LGR
Para el sistema de control discreto mostrado en la figura, a) Trazar el lugar
geométrico de las raíces para tiempo de muestreo 𝑇 = 1 𝑠. b) Para qué valor de
𝐾 el sistema tiene un polo de lazo cerrado en 𝑧 = 0.6967 ± 𝑗0.549.
SOLUCIÓN: la función de transferencia de pulso del sistema con 𝑡 = 1𝑠 es:
𝐻𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧 −1 ℑ
𝐾
𝑆 2 𝑆 + 0.5
𝐻𝐺 𝑧 =
0.4261𝐾(𝑧 + 0.8467)
𝑧 − 1 (𝑧 − 0.6065)
La función de transferencia de lazo cerrado para el sistema es:
𝐺𝑤 𝑧 =
𝐷 𝑧 . 𝐻𝐺(𝑧)
𝐻𝐺(𝑧)
=
1 + 𝐷 𝑧 . 𝐻𝐺(𝑧) 1 + 𝐻𝐺(𝑧)
La ecuación característica del sistema es: 1 + 𝐻𝐺(𝑧) = 0 es decir:
0.4261𝐾(𝑧 + 0.8467)
1 + 𝐻𝐺 𝑧 = 1 +
=0
𝑧 − 1 (𝑧 − 0.6065)
% Programa para obtener el LGR del ejemplo
clc
n=[1];
d=[1 0.5 0];
%Planta continua
[nd,dd]=c2dm(n,d,1,'zoh');
%Discretización con T=1 seg
x=0:0.1:2*pi;
figure(1)
plot(sin(x),cos(x),'.')
%Dibuja el circulo unitario
hold
rlocus(nd,dd)
%Grafica del lugar geométrico de las raíces
axis([-3 1.5 -2 2])
%Escala para los ejes
GRÁFICA DEL LGR DEL EJEMPLO
CÁLCULO DE LA GANANCIA PARA UN POLO
DETERMINADO
b) Para obtener el valor de la ganancia 𝐾 de modo que la ecuación característica
contenga un polo específico se procede así: polo deseado 𝑧 = 0.6967 ± 𝑗0.549.
0.4261𝐾(𝑧 + 0.8467)
1+
=0
𝑧 − 1 (𝑧 − 0.6065)
Reemplazando 𝑧 por 𝑧 = 0.6967 ± 𝑗0.549 en la ecuación característica resuta:
0.4261𝐾 0.6967 + 𝑗0.549 + 0.8467
1+
=0
0.6967 + 𝑗0.549 − 1 0.6967 + 0.549 − 0.6065
0.4261𝐾(1.5464 + 𝑗0.549)
1+
=0
(−0.3033 + 𝑗0.549)(0.0902 + 𝑗0.549)
0.65892𝐾 + 𝑗0.23392
1+
=0
−0.32875 − 𝑗0.11699
𝐾 = 0.5
LGR (EJEMPLO 2)
Obtener el LGR al variar 𝐾 desde 0 hasta ∞ y hallar la ganancia crítica para el
sistema de control discreto cuya función de transferencia de lazo abierto es:
0.5𝐾(𝑧 + 0.5)
𝐻𝐺 𝑧 =
𝑧 𝑧 − 0.8 (𝑧 2 − 0.8𝑧 + 0.41)
% Programa para obtener el LGR del ejemplo
clc
nd=[0.5 0.25];
dd=[1 -1.6 1.05 -0.328 0]; %Planta discreta
x=0:0.1:2*pi;
figure(1)
plot(sin(x),cos(x),'.')
%Dibuja el circulo unitario
hold
rlocus(nd,dd)
%Grafica del lugar geométrico de las raíces
axis([-1.2 1.2 -1.2 1.2]) %Escala para los ejes
GRÁFICA DEL LGR (EJEMPLO 2)
CÁLCULO DE LA GANACIA CRÍTICA (MÁXIMA)
El valor de la ganancia crítica se obtiene haciendo 𝐾𝐻𝐺(𝑧) = 1. En el punto en
donde se interceptan el LGR y el círculo unitario o sea 𝑧 = 0.821 + 𝑗0.587:
0.5𝐾(𝑧 + 0.5)
𝑧 𝑧 − 0.8 (𝑧 2 − 0.8𝑧 + 0.41)
=1
𝑧=0.821+𝑗 0.587
0.5𝐾 0.821 + 𝑗0.587 + 0.5
=1
0.821 + 𝑗0.587 (0.821 + 𝑗0.587 − 0.8) 0.821 + 𝑗0.587 2 − 0.8 0.821 + 𝑗0.587 + 0.41
0.5𝐾 1.321 + 𝑗0.587
=1
0.821 + 𝑗0.587 (0.021 + 𝑗0.587) 0.0827 + 𝑗0.4942
0.5 ∗ 1.4455 ∗ 𝐾
=1
1 ∗ 0.5873 ∗ 0.501
𝐾 = 0.41
RESPUESTA EN FRECUENCIA: DIAGRAMAS DE BODE
Un diagrama de Bode consta de dos trazados, uno el diagrama del logaritmo del
módulo de la función de transferencia senoidal y el otro, el diagrama del ángulo de
fase. Los dos en función de la frecuencia en escala logarítmica.
Margen de ganancia (MG): es la magnitud del recíproco de la función de
transferencia de lazo abierto, calculada a la frecuencia de cruce de fase 𝑣𝜋 , mide
cuanto se puede incrementar la ganancia del sistema, antes que se haga inestable.
𝑀𝐺 =
1
𝐺(𝑗𝑣𝜋 )
𝑀𝐺 𝑑𝑏 = 20 log
1
𝐺(𝑗𝑣𝜋 )
Frecuencia de cruce de fase (𝑣𝜋 ): Es la frecuencia a la cual el ángulo de fase de
la función de transferencia de lazo abierto alcanza −180º, es decir:
𝜃𝑐 = ∡𝐺 𝑗𝑣𝜋 = −180𝑜
Margen de fase (𝜙𝑃𝑀 ): Se define como la suma de 180º al ángulo 𝜃𝑐 , medido a la
frecuencia de cruce de ganancia.
𝜙𝑃𝑀 = 180𝑜 + 𝜃𝑐
MÁRGEN DE GANANCIA Y MARGEN DE FASE
Frecuencia de cruce de ganancia (𝑣𝑐 ): Se define como la frecuencia a la cual la
magnitud de la función de transferencia de lazo abierto es igual a 1 es decir 0 db.
𝐺(𝑗𝑣𝑐 ) = 1
20 log 𝐺(𝑗𝑣𝑐 ) = 0
La figura indica cómo determinar, el margen de ganancia y el margen de fase.
Sistema estable
Sistema inestable
EJEMPLO DIAGRAMA DE BODE
Para el sistema de control digital de la figura con 𝑇 = 0.8 𝑠, obtener el diagrama de
Bode correspondiente para 𝐾 = 1 y determinar: a) El margen de ganancia y el
margen de fase. b) El valor crítico de 𝐾 para estabilidad del sistema.
SOLUCIÓN: utilizando la transformada 𝑧 modificada se obtiene:
𝜃 ′ 0.8
𝑁= =
=1
𝑇
0.8
𝐺𝑝 𝑆
−1 −𝑁
𝜃 = 𝜃 ′ − 𝑁𝑇 = 0
𝑆
𝜃
𝑚 =1− =1
𝑇
2
0.2
−1 −1
−1 −1
= 2 1 − 𝑧 𝑧 ℑ𝑚
𝑆 5𝑆 + 1
𝑆(𝑆 + 0.2)
0.2957
𝐻𝐺 𝑧 =
𝑧(𝑧 − 0.8521)
PROGRAMA EN MATLAB PARA EL DIAGRAMA DE BODE
% Programa para obtener diagrama de Bode.
clc
n=[2];
d=[5 1];
[a,b,c,d]=tf2ss(n,d);
% Obtención de variables de estado
[ad,bd,cd,dd]=c2dt(a,b,c,0.8,0.8);
% Discretiza sistemas con retardo
[nd1,dd1]=ss2tf(ad,bd,cd,dd);
% Función de transferecia de pulso
printsys(nd1,dd1,'z');
pause
w=0.01:0.05:3;
[mag,fase,w]=dbode(nd1,dd1,0.8,w);
imargin(mag,fase,w)
% Calcula margen de ganancia y de fase
DIAGRAMA DE BODE PARA EL EJEMPLO
SINTONÍA DE CONTROLADORES DIGITALES
Los procedimientos de sintonía de controladores requieren del conocimiento de la
dinámica del proceso la cual se obtiene generalmente, por medio de un modelo
identificado mediante métodos experimentales.
Los pasos para la puesta en servicio del lazo de control se pueden resumir así:

Identificar el proceso a controlar (modelado).

Establecer las características de comportamiento deseadas para el sistema
de control realimentado (criterio de diseño).

Seleccionar el método de sintonía de controlador.

Calcular los parámetros del controlador.

Analizar el comportamiento del lazo de control con el modelo (simulación).

verificar la función de transferencia del controlador a sintonizar.

ajustar el controlador (parametrizacion).

verificar el comportamiento del controlador en el proceso real.
APROXIMACIÓN DISCRETA DE LOS MODOS DE CONTROL P, PI Y PID
Control Proporcional (P): Este tipo de controlador genera una salida que es
proporcional al error actuante. En el control proporcional existe una relación lineal
entre el valor de la variable controlada y la posición del elemento final de control.
La ecuación de un controlador proporcional continuo está dada por:
𝑚 𝑡 = 𝐾𝑐 𝑒 𝑡 + 𝑀0
𝑚(𝑡) = Salida del controlador.
𝑒(𝑡) = Señal de error actuante.
𝐾𝐶 =Ganancia del controlador. (Parámetro de ajuste).
𝑀0 = Salida del controlador para error nulo.
La forma discreta de la ecuación del controlador P es:
𝑚 𝑘 = 𝐾𝑐 𝑒 𝑘 + 𝑀0
La función de transferencia del controlador P es:
𝑀(𝑧)
𝐷 𝑧 =
= 𝑞𝑜
𝐸(𝑧)
𝑞𝑜 = 𝐾𝑐
Control Proporcional más Integral (PI): En este controlador, la señal de salida
experimenta un salto inicial proporcional al error actuante y a continuación presenta
una variación gradual a una velocidad proporcional al error.
La ecuación de un controlador proporcional más integral continuo está dada por:
𝑚 𝑡 = 𝐾𝑐 𝑒 𝑡 +
1
𝜏𝑖
𝑒 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑀𝑜
𝐾𝑐 = Ganancia del controlador. (Parámetro de ajuste).
𝜏𝑖 =Tiempo Integral en min/repetición o repeticiones/min. (Parámetro de ajuste).
La forma discreta de la ecuación del controlador PI es:
𝑚 𝑘 = 𝑞𝑜 𝑒 𝑘 + 𝑞1 𝑒 𝑘 − 1 + 𝑚 𝑘 − 1
𝑇
𝑞𝑜 = 𝐾𝑐 1 +
2𝜏𝑖
𝑇
𝑞1 = −𝐾𝑐 1 −
2𝜏𝑖
La función de transferencia de pulso del controlador PI es:
𝑀(𝑧) 𝑞𝑜 + 𝑞1 𝑧 −1 𝑞𝑜 𝑧 + 𝑞1
𝐷 𝑧 =
=
=
𝐸(𝑧)
1 − 𝑧 −1
𝑧−1
Control Proporcional más Integral más Derivativo (PID): La ecuación de un
controlador PID continuo es:.
1
𝑚 𝑡 = 𝐾𝑐 𝑒 𝑡 +
𝜏𝑖
𝑑𝑒(𝑡)
𝑒 𝑡 𝑑𝑡 + 𝜏𝑑
+ 𝑀𝑜
𝑑𝑡
𝐾𝑐 = Ganancia del controlador. (Parámetro de ajuste)
𝜏𝑖 =Tiempo integral en min/repetición o repeticiones/min. (Parámetro de ajuste).
𝜏𝑑 =Tiempo derivativo en min. (Parámetro de ajuste).
La forma discreta de la ecuación del controlador PID es:
𝑚 𝑘 = 𝑞𝑜 𝑒 𝑘 + 𝑞1 𝑒 𝑘 − 1 + 𝑞2 𝑒 𝑘 − 2 − 𝑚 𝑘 − 1
La función de transferencia del controlador PID es:
𝑀(𝑧) 𝑞𝑜 + 𝑞1 𝑧 −1 + 𝑞2 𝑧 −2 𝑞𝑜 𝑧 2 + 𝑞1 𝑧 + 𝑞2
𝐷 𝑧 =
=
=
−1
𝐸(𝑧)
1−𝑧
𝑧(𝑧 − 1)
𝑇
𝜏𝑑
𝑞𝑜 = 𝐾𝑐 1 +
+
2𝜏𝑖 𝑇
𝑇
2𝜏𝑑
𝑞1 = −𝐾𝑐 1 −
+
2𝜏𝑖
𝑇
𝐾𝑐 𝜏𝑑
𝑞2 =
𝑇
PONDERACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE LOS
CONTROLADORES P, PI Y PID
Factor de peso: El controlador genera una señal de control como respuesta a un
error. Es posible manipular el valor del error introduciendo un factor de peso con
el fin de mejorar la respuesta del sistema de manera que tenga menor sobreimpulso
ante los cambios en el valor de la referencia sacrificando en parte su velocidad de
respuesta, pero obteniendo más flexibilidad para satisfacer los compromisos de
diseño. Para casos prácticos se recomienda considerar los siguientes valores
para 𝐾𝐶 :
𝐾𝐶 = 𝐾𝐶
Para controladores rápidos
𝐾𝐶 = 0.75 ∗ 𝐾𝐶
Para controladores moderados
𝐾𝐶 = 0.5 ∗ 𝐾𝐶
Para controladores lentos
AJUSTE DE CONTROLADORES P, PI Y PID POR GANANCIA LÍMITE
Para determinar los parámetros de ajuste del controlador utilizando este método se
trabaja con el sistema en lazo cerrado es decir, con el controlador en automático y
se procede experimentalmente así:
a) Eliminar las acciones integral y derivativa del controlador, es decir trabajar con
el controlador como proporcional únicamente.
b) Con el controlador en automático, colocar una ganancia pequeña e irla
incrementando paso a paso hasta que el sistema empiece a oscilar con amplitud
constante. Se anota el valor de la ganancia 𝐾𝑢 con la cual se produce la oscilación.
Esta ganancia se denomina ganancia última.
c) En la gráfica que se obtiene de la variable con el registrador o con los datos
adquiridos en el proceso, se mide el período de oscilación o período último 𝑇𝑢
GANANCIA LÍMITE
Una vez estimados la ganancia última (𝐾𝑢 ) y el periodo último (𝑇𝑢 ), se utiliza la tabla
adjunta para calcular los parámetros de ajuste del controlador.
𝑪𝒐𝒏𝒕𝒓𝒐𝒍𝒂𝒅𝒐𝒓
𝑲𝒄
𝝉𝒊
𝝉𝒅
𝑃
0.5𝐾𝑢
−
−
𝑃𝐼
0.45𝐾𝑢
0.83𝑇𝑢
−
𝑃𝐼𝐷
0.6𝐾𝑢
0.5𝑇𝑢
0.125𝑇𝑢
MÉTODO DE ZIEGLER-NICHOLS (CURVA DE REACCIÓN)
Ziegler y Nichols propusieron un método de ajuste de controladores asumiendo que
la función de transferencia de lazo abierto de la planta se puede aproximar a un
modelo de primer orden con retardo.
Entonces, dada la función de transferencia en lazo abierto:
−𝜃 ′ 𝑆
𝐾𝑒
𝐺𝑝 𝑆 =
𝜏𝑆 + 1
En donde 𝐾 es la ganancia, 𝜏 la constante de tiempo y 𝜃 ′ es el retardo, los
parámetros de ajuste del controlador se estiman a partir de la tabla (𝜃 = 𝜃 ′ + 𝑇 2)
𝑪𝒐𝒏𝒕𝒓𝒐𝒍𝒂𝒅𝒐𝒓
𝑲𝒄
𝝉𝒊
𝝉𝒅
𝑷
𝜏
𝐾𝜃
−
−
𝑷𝑰
0.9𝜏
𝐾𝜃
3.33𝜃
−
𝑷𝑰𝑫
1.2𝜏
𝐾𝜃
2𝜃
0.5𝜃
AJUSTE DE CONTROLADORES MEDIANTE CRITERIOS DE LA
INTEGRAL DEL ERROR
Una de las exigencias que debe cumplir un sistema de control es la exactitud. Esto
implica que el error, es decir, la diferencia entre el Set-point y el valor de la variable
controlada se debe minimizar.
A continuación se presentan algunos índices de desempeño basados en integrales
del error y utilizados ampliamente en el diseño de sistemas de control.
Integral del valor absoluto del error:
𝐼𝐴𝐸 =
∞
0
Integral del cuadrado del error:
𝐼𝐶𝐸 =
∞ 2
𝑒
0
Integral del error absoluto del error por el tiempo:
Integral del cuadrado del error por el tiempo:
𝑒(𝑡) 𝑑𝑡
𝑡 𝑑𝑡
𝐼𝐴𝐸𝑇 =
𝐼𝐶𝐸𝑇 =
∞
𝑡
0
∞
2
𝑡𝑒
0
𝑒(𝑡) 𝑑𝑡
𝑡 𝑑𝑡
AJUSTE DE CONTROLADORES MEDIANTE CRITERIOS DE LA
INTEGRAL DEL ERROR
Si el sistema se puede aproximar a un modelo de primer orden con retardo
′
𝐾𝑒 −𝜃 𝑆
𝐺𝑝 𝑆 =
𝜏𝑆 + 1
Ajustes para el controlador P.
𝑪𝒐𝒏𝒕𝒓𝒐𝒍 𝑷
𝑎 𝜃
𝐾𝑐 =
𝐾 𝜏
𝑏
𝑰𝑪𝑬
𝑎 = 1.411
𝑏 = −0.917
𝑰𝑨𝑬
𝑎 𝜃
𝐾𝑐 =
𝐾 𝜏
𝑏
𝜏 𝜃
𝜏𝑖 =
𝑎 𝜏
𝑏
𝜃
𝜏𝑑 = 𝑎𝜏
𝜏
𝑏
𝑰𝑨𝑬𝑻
0.902
0.940
−0.985
−1.084
Ajustes para el controlador PID.
𝑪𝒐𝒏𝒕𝒓𝒐𝒍 𝑷𝑰𝑫
𝜃 = 𝜃′ + 𝑇 2
𝜃 = 𝜃′ + 𝑇 2
𝑰𝑪𝑬
𝑰𝑨𝑬
𝑎 = 1.495
1.435
1.357
𝑏 = −0.945
−0.921
−0.947
𝑎 = 1.101
0.878
0.842
𝑏 = 0.771
0.749
0.738
𝑎 = 0.560
0.482
0.381
𝑏 = 1.006
1.137
0.995
Ajustes para el controlador PI.
𝑪𝒐𝒏𝒕𝒓𝒐𝒍 𝑷𝑰
𝑎 𝜃
𝐾𝑐 =
𝐾 𝜏
𝑏
𝜏 𝜃
𝜏𝑖 =
𝑎 𝜏
𝑏
𝑰𝑪𝑬
𝜃 = 𝜃′ + 𝑇 2
𝑰𝑨𝑬
𝑰𝑨𝑬𝑻
𝑎 = 1.305
0.984
0.859
𝑏 = −0.959
−0.986
−0.977
𝑎 = 0.492
0.608
0.674
𝑏 = 0.739
0.707
0.680
𝑰𝑨𝑬𝑻
EJEMPLO
La función de transferencia de lazo abierto de un sistema térmico resultó ser:
2.38𝑒 −0.45𝑆
𝐺𝑝 𝑆 =
1.39𝑆 + 1
Obtener para este sistema: a) Un controlador PI por ganancia límite. b) Un
controlador PI utilizando el método de Ziegler-Nichols. c) Un controlador PI a partir
del método de la integral IAE. (Los tiempos están en min.) .
SOLUCIÓN: Para calcular los controladores es necesario estimar, inicialmente, el
período de muestreo adecuado. Prescindiendo del tiempo de retardo, la función de
transferencia de lazo cerrado es:
𝐺𝑤
𝐺𝑝 (𝑆)
0.704
𝑆 =
=
1 + 𝐺𝑝 (𝑆) 0.411𝑆 + 1
𝜏𝑒𝑞 = 0.411 𝑚𝑖𝑛
El periodo de muestreo se puede seleccionar dentro del intervalo:
0.2 𝜏𝑒𝑞 + 𝜃 ′ ≤ 𝑇 ≤ 0.6 𝜏𝑒𝑞 + 𝜃 ′
0.2 0.411 + 0.45 ≤ 𝑇 ≤ 0. 0.411 + 0.45
𝑇 = 0.32 𝑚𝑖𝑛
a) CONTROLADOR PI POR GANANCIALÍMITE
a) Control PI por ganancia límite: se deben calcular 𝐾𝑢 y 𝑇𝑢 .Las expresiones para
evaluar la magnitud y el ángulo de fase del sistema continuo son respectivamente:
𝐺𝑝 (𝑗𝑤) =
2.38
𝜃 = −25.8𝑤 − tan−1 (1.39𝑤)
1.932𝑤 2 + 1
El margen de ganancia se calcula con 𝑤𝜋 cuando 𝜃 = −180𝑜 es decir:
−180𝑜 = −25.8𝑤𝜋 − tan−1 1.39𝑤𝜋
𝑀𝐺 =
1
𝐺𝑝 (𝑗𝑤𝜋 )
=
2.38
1.932 ∗
1
𝐾𝑢 =
𝑀𝐺
1
𝐾𝑢 =
= 2.31
0.432
𝑤𝜋 = 3.89 𝑟𝑎𝑑/𝑚𝑖𝑛
3.892
+1
𝑀𝐺 = 0.432
2𝜋
𝑇𝑢 =
𝑤𝜋
2𝜋
𝑇𝑢 =
= 1.61 𝑚𝑖𝑛
3.89 𝑟𝑎𝑑/𝑚𝑖𝑛
Con los resultados obtenidos, los parámetros para el ajuste del controlador PI son:
𝐾𝑐 = 0.45𝐾𝑢 = 1.0395
𝜏𝑖 = 0.83𝑇𝑢 = 1.336 𝑚𝑖𝑛
CONTROLADOR PI POR GANANCIA LÍMITE (CONT)
Los parámetros del controlador PI discreto se obtienen con las ecuaciones:
𝑞𝑜 = 𝐾𝑐 1 +
𝑇
0.32
= 1.0395 1 +
= 1.164
2𝜏𝑖
2 ∗ 1.336
𝑇
0.32
𝑞1 = −𝐾𝑐 1 −
= −1.0395 1 −
− 0.915
2𝜏𝑖
2 ∗ 1.336
La ecuación del controlador PI es:
𝐷 𝑧 =
𝑀(𝑧)
𝑈(𝑧)
=
𝑞 𝑜 𝑧+𝑞 1
𝑧−1
𝑀(𝑧) 1.164 − 0.915𝑧 −1 1.164𝑧 − 0.915
𝐷 𝑧 =
=
=
𝐸(𝑧)
1 − 𝑧 −1
𝑧−1
b) CONTROLADOR PI UTILIZANDO ZIEGLER- NICHOLS
De la función de transferencia del sistema se obtiene:  = 1.39 𝑚𝑖𝑛, 𝜃′ = 0.45 𝑚𝑖𝑛
y 𝐾 = 2.38. Según la tabla de Ziegler-Nichols y con  = 𝜃′ + 𝑇/2 = 0.61 𝑚𝑖𝑛.
0.9𝜏
0.9 ∗ 1.39
𝐾𝑐 =
=
= 0.8616
𝜏𝑖 = 3.33𝜃 = 3.33 ∗ 0.61 = 2.031 𝑚𝑖𝑛
𝐾𝜃
2.38 ∗ 0.61
𝑇
0.32
𝑞𝑜 = 𝐾𝑐 1 +
= 0.8616 1 +
= 0.9294
2𝜏𝑖
2 ∗ 3.031
𝑞1 = −𝐾𝑐 1 −
𝑇
0.32
= −0.8616 1 −
= −0.7937
2𝜏𝑖
2 ∗ 3.031
𝑀(𝑧) 0.9294 − 0.7937𝑧 −1 0.9294𝑧 − 0.7937
∴ 𝐷 𝑧 =
=
=
𝐸 𝑧
1 − 𝑧 −1
𝑧−1
C) CONTROLADOR PI UTILIZANDO EL CRITERIO IAE
De tablas y con 𝜏 = 1.39𝑚𝑖𝑛, 𝜃 ′ = 0.45 𝑚𝑖𝑛 , 𝐾 = 2.38 y 𝜃 = 𝜃 ′ + 𝑇 2 = 0.61 𝑚𝑖𝑛:
𝑎 𝜃
𝐾𝑐 =
𝐾 𝜏
𝜏 𝜃
𝜏𝑖 =
𝑎 𝜏
𝑞𝑜 = 𝐾𝑐 1 +
𝑏
𝑏
0.984 0.61
=
2.38 1.39
1.39 0.61
=
0.608 1.39
𝑇
= 1.0479
2𝜏𝑖
−0.986
𝐾𝑐 = 0.9313
0.707
𝜏𝑖 = 1.277 𝑚𝑖𝑛
𝑞1 = −𝐾𝑐 1 −
𝑇
= −0.8146
2𝜏𝑖
𝑀(𝑧) 1.0479 − 0.8146𝑧 −1 1.0479𝑧 − 0.8146
𝐷 𝑧 =
=
=
−1
𝐸 𝑧
1−𝑧
𝑧−1
DISEÑO DE CONTROLADORES PI Y PID POR
CANCELACIÓN DE CEROS Y POLOS
Este método consiste en obtener los parámetros del controlador cancelando ceros
del controlador con polos de la planta. Para llevar a cabo el diseño, se asume que
las funciones de transferencia de los controladores son:
Controlador PI
𝑀(𝑧)
𝐷 𝑧 =
=
𝐸(𝑧)
𝐾 𝑇 − 2𝐾
𝐾𝑖 𝑇 + 2𝐾𝑐 𝑧 + 𝐾𝑖 𝑇 + 2𝐾𝑐
𝑖
𝑐
2(𝑧 − 1)
Controlador PID
𝐾𝑖 𝑇 2 − 2𝐾𝑐 𝑇 − 4𝐾𝑑
2𝐾𝑑
𝐾
𝑇
+
2𝐾
+
2𝐾
𝑇
𝑧
+
𝑧
+
𝑖
𝑑
𝑐
𝑀(𝑧)
𝐾𝑖 𝑇 2 + 2𝐾𝑑 + 2𝐾𝑐 𝑇
𝐾𝑖 𝑇 2 + 2𝐾𝑑 + 2𝐾𝑐 𝑇
𝐷 𝑧 =
=
𝐸(𝑧)
2𝑇𝑧(𝑧 − 1)
2
2
En donde: 𝐾𝑐 =ganancia proporcional, 𝐾𝑖 =ganancia integral 1 𝜏𝑖 , 𝐾𝑑 =tiempo
derivativo y 𝑇 = periodo de muestreo.
PROCEDIMIENTO PARA EL DISEÑO DEL CONTROLADOR
a) Seleccionar inicialmente un error de estado estable 𝑒𝑠𝑠 adecuado. Esto permite
calcular el parámetro 𝐾𝑖
b) Controlador PI: se cancela el cero del controlador con un polo de la planta.
Esto permite calcular el parámetro 𝐾𝑐 .
c) Controlador PID: Se cancelan los dos ceros del controlador con dos polos de
la planta. Esto permite calcular los parámetros 𝐾𝑐 y 𝐾𝑑 .
Los errores de estado estable para escalón, rampa y parábola unitarias, son:

Para entrada escalón:
1
𝑒𝑠𝑠 =
1 + 𝐾𝑝

𝑧→1
𝐾𝑝 = Coeficiente de error de posición
Para entrada rampa:
𝑒𝑠𝑠 =

𝐾𝑝 = lim 𝐷 𝑧 𝐻𝐺(𝑧)
1
𝐾𝑣
𝐾𝑣 =
1
lim 𝑧 − 1 𝐷 𝑧 𝐻𝐺(𝑧)
𝑇 𝑧→1
𝐾𝑣 = Coeficiente de error de velocidad
Para entrada parábola:
1
𝑒𝑠𝑠 =
𝐾𝑎
1
𝐾𝑎 = 2 lim 𝑧 − 1
𝑇 𝑧→1
2
𝐷 𝑧 𝐻𝐺 𝑧
𝐾𝑎 = Coeficiente de error de aceleración

SISTEMAS DE CONTROL DIGITAL

Transcripción

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