EXPERIMENTO ALEATORIO. Es aquel que al repetirlo en análogas

EXPERIMENTO ALEATORIO. Es aquel que al repetirlo en análogas

►EXPERIMENTO ALEATORIO.
Es aquel que al repetirlo en análogas condiciones, da resultados diferentes, es decir, no se puede predecir el resultado
que se va a obtener. Ej: -Lanzar una moneda al aire y observar si sale cara o cruz. Sacar una carta de una baraja.
Lanzar un dado para observar los posibles resultados de sus caras.
►ESPACIO MUESTRAL DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO:
Es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento. Ej: El experimento consistente en lanzar dos
monedas al aire y anotar los resultados producidos tiene el siguiente espacio muestral: E ={cc, cx, xc, xx}.
►SUCESO ALEATORIO: es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E. Ej: En el experimento que
consiste en lanzar un dado con las caras numeradas del 1 al 6, el espacio muestral es E ={1, 2, 3, 4, 5, 6} y como
ejemplos de sucesos tenemos: A ={2,4,6} que es el suceso “salir número par” B ={3,6}, suceso “salir múltiplo de 3”.
TIPOS DE SUCESOS
OPERACIONES CON SUCESOS
Sucesos elementales: Están formados por un solo UNIÓN ∪ : Es el suceso que se verifica cuando se
elemento.
cumple al menos uno de los dos. Se expresa: A U B
“se cumple A o B”
Suceso seguro: Es el que se verifica siempre (propio INTERSECCIÓN ∩: Es el suceso que se verifica
espacio muestral).
cuando “se cumple a la vez A y B”. Se expresa como
A∩B
Suceso imposible: Es el que no se verifica nunca. Se Ejemplos: Expresar como ∪ y ∩:
expresa por φ.
-Ni A ni B → 𝐴𝐴̅ ⋂ 𝐵𝐵�
-Al menos uno de los dos
Ejemplo: En el experimento de lanzar un dado, tenemos: → 𝐴𝐴 𝐵𝐵
⋃
E ={1, 2, 3, 4, 5, 6}(Suceso seguro), C = {4} (suceso
-“A” y “B “→𝐴𝐴 ⋂ 𝐵𝐵
elemental).
-“A” o “B” →𝐴𝐴 ⋃ 𝐵𝐵
El suceso imposible sería no obtener ninguno de los
DIFERENCIA (B – A):
números que figuran en sus caras.
Es el suceso que se verifica cuando se cumple A y no
B. “ se cumple A pero no B”. A – B = 𝐴𝐴 ⋂ 𝐵𝐵�
►ESPACIO DE SUCESOS: S
El conjunto de todos los sucesos de un espacio muestral recibe el nombre de espacio de sucesos , S. Estará formado
por todos los subconjuntos que puedan formarse de E.
Ejemplo: Si consideramos el experimento consistente en lanzar una moneda el espacio muestral será E = {c, x}y el
espacio de sucesos S = {Φ, {c}, {x}, E}.
• Sucesos contrarios o complementarios.
Dado un suceso cualquiera A, se llama suceso contrario al que se
realiza cuando no se realiza A. Se expresa por 𝐴𝐴̅ , A’ o bien por 𝐴𝐴𝑐𝑐
En el ejemplo anterior de lanzar el dado: 𝐴𝐴𝑐𝑐 = {1,3,5} y 𝐶𝐶 𝑐𝑐 = {1,2,3,5,6}
Nota: La unión de un suceso y de su complementario da siempre el espacio muestral.
𝐴𝐴 ⋂ 𝐴𝐴̅ = Φ; 𝐴𝐴 ⋃ 𝐴𝐴̅ = 𝐸𝐸
• Sucesos incompatibles.
Son aquellos que no se pueden verificar simultáneamente. Cuando pueden verificarse ambos a la vez se llaman
compatibles.
►PROPIEDADES: LEYES DE MORGAN:
�����
(𝐴𝐴̅) = 𝐴𝐴
����������
(𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵) = 𝐴𝐴̅ ∩ 𝐵𝐵�
����������
(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) = 𝐴𝐴̅ ∪ 𝐵𝐵�
►PROBABILIDAD
Definición clásica de probabilidad (REGLA DE LAPLACE)
La probabilidad de un suceso A, es el cociente entre el número de casos favorables al suceso y el número de casos
posibles.
PROPIEDADES:
1º) La probabilidad de un suceso cualquiera es siempre:
2ª) La probabilidad del suceso seguro es 1. P(E) = 1
Y La probabilidad del suceso imposible es 0.
3º) Si dos sucesos A y B son incompatibles A ∩ B = Φ; P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
4º) Si dos sucesos son compatibles A ∩ B ≠Φ; entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P( A ∩ B)
5ª) Si dos sucesos son complementarios
►PROBABILIDAD CONDICIONADA
Si sabemos que ha ocurrido un suceso A y queremos saber la probabilidad de que ocurra otro suceso B, pueden
ocurrir dos casos:
1.- A y B sucesos dependientes: 𝑷𝑷�𝑩𝑩�𝑨𝑨� =
𝑷𝑷(𝑨𝑨 ⋂ 𝑩𝑩)
𝑷𝑷(𝑨𝑨)
𝒚𝒚 𝑷𝑷(𝑨𝑨 ⋂ 𝑩𝑩) = 𝑷𝑷(𝑩𝑩⁄𝑨𝑨) ∙ 𝑷𝑷(𝑨𝑨)
2.- A y B sucesos independientes: 𝑷𝑷�𝑩𝑩�𝑨𝑨� = 𝑷𝑷(𝑩𝑩) 𝒚𝒚 𝑷𝑷(𝑨𝑨 ⋂ 𝑩𝑩) = 𝑷𝑷(𝑨𝑨) ∙ 𝑷𝑷(𝑩𝑩)
Ejemplo Se extraen sucesivamente dos cartas de una baraja. Calcula la probabilidad de que sabiendo que en la
primera extracción ha salido una sota, la segunda sea otra sota.
Solución: Sea R1=”sacar sota en la 1ª extracción” y R2=”sacar sota en la 2ª extracción. Se pide la probabilidad del
suceso R1∩ R2 .
Observamos que ambos sucesos son dependientes y la probabilidad pedida es una probabilidad condicionada, que
se expresa: P(R2/R1) = 3/39
Ejemplo Se lanza un dado dos veces, probabilidad de que supuesto que ha salido en el primer lanzamiento un 6, el
segundo lanzamiento salga otro.
Solución: Los sucesos son independientes, luego P(6_2º/6_1º)=P(6_2º)=1/6
►TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL.
Sean A1, A2, ............,An un sistema completo de sucesos y S un suceso cualquiera. Se tiene entonces:
Ejemplo:.
Tenemos tres urnas. La primera contiene 4 bolas rojas y 4 negras, la segunda 3 rojas y 1 negra y la tercera 2 rojas y 4
negras. Elegimos una urna al azar y después extraemos una bola. Calcula la probabilidad de que la bola extraída sea
negra.
En este tipo de probabilidad es recomendable utilizar el diagrama del árbol como se muestra en el siguiente ejercicio:
Solución:
Roja
4/8
1/3
1/3
1/3
4/8
3/4
Negra
Roja
1/4
Negra
2/6
Roja
4/6
Negra
Las probabilidades son las que se muestran en el diagrama. Teniendo en cuenta que hay tres caminos para llegar a la
bola negra, podemos escribir:
►TEOREMA DE BAYES.
Sean A1, A2, ............,An un sistema completo de sucesos y S un suceso cualquiera. Se tiene entonces que para cada
suceso Ai se verifica: P(S ∩ Ai ) = P(Ai ∩ S) = P(S) . P (Ai / S) = P (Ai ) . P(S / Ai)
siendo P(S) el valor de la probabilidad total del suceso S
Ejemplo: En el ejercicio anterior, supongamos que realizamos el experimento que se indica y la bola extraída ha
resultado roja. Calcula la probabilidad de que proceda de la 1ª urna.
Para resolver el problema hemos de calcular, en primer lugar, la probabilidad de obtener bola roja por un
procedimiento análogo al utilizado para obtener bola negra, es decir,
Entonces resulta:
EJERCICIOS RESUELTOS:
1.- Lanzamos un dado y consideramos los sucesos: A = {Número par} = {2, 4 ,6}, B = {Múltiplo de 3} = {3, 6}.
� , 𝑩𝑩,
� �����
� ) , �����������
� ∩ 𝑩𝑩
� , ����������
� ∪ 𝑩𝑩
�
(𝑨𝑨
(𝑨𝑨 ∪ 𝑩𝑩), 𝑨𝑨
(𝑨𝑨 ∩ 𝑩𝑩) , 𝑨𝑨
Calcula los sucesos A ∩ B, A ∪ B, A – B, B – A, 𝑨𝑨
Solución:
A ∩ B = A y B = {Número par y múltiplo de 3}= {6}
A ∪ B = A o B = {Número par o múltiplo de 3} = {2, 3, 4, 6}
A – B = A pero no B = {2, 4}
B – A = B pero no A = {3}
�����
(𝐴𝐴̅) = 𝐸𝐸 − 𝐴𝐴̅ = {2,4,6}
𝐴𝐴̅ = 𝐸𝐸 − 𝐴𝐴 = {1,3,5}
𝐵𝐵� = 𝐸𝐸 − 𝐵𝐵 = {1,2,4,5}
����������
����������
�
�
{1,5}
{1,5}
(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) = {1,2,3,4,5} 𝐴𝐴̅ ∪ 𝐵𝐵� = {1,2,3,4,5}
(𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵) = 𝐸𝐸 − (𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵) =
𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 =
2.- En una ciudad existen dos periódicos A y B. El 50% de sus habitantes son lectores del diario A y el 30% del
diario B. Un 20% de ciudadanos leen ambos periódicos. Se elige un ciudadano al azar. Calcula la probabilidad de
que dicho ciudadano:
a) Sea lector de algún diario
b) Lea sólo el diario A
c) No lea la prensa
d) Lea sólo uno de los diarios
Solución:
Llamamos a los sucesos:
A = {El ciudadano elegido lee el diario A}
B = {El ciudadano elegido lee el diario B}
P(A) =0’5 (50% leen el diario A)
P(B) = 0’3 (30% leen el diario B)
P(A∩B) = 0’2 ( 20% leen ambos diarios)
a) Sea lector de algún diario = lea A o lea B
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0’5 + 0’3 -0’2 = 0’6
b) Lea sólo el diario A= Lea A pero no B
P(A – B) = P(A) - P(A∩B) = 0’5 – 0’2 = 0’3
c) No lea la prensa = no lea A y no lea B
P (No lea la prensa) = 1- P(Lea algún diario) = 1- 0’6 = 0’4
d) Lea sólo uno de los diarios= “Lee A y no B” o “Lee B y no A”
P (A – B) = P (A) - P(A∩B) = 0’5 – 0’2 = 0’3
P (B – A) = P (B) - P(A∩B) = 0’3 – 0’2 = 0’1
P ((A – B)∪ (B – A))= P(A – B)+ P(B – A) - P((A – B)∩(A – B))= 0’3 + 0’1 – 0 = 0’4
3.- Un determinado día, cierto individuo tiene una probabilidad 0.1, de ir al cine de su barrio y un 0.85 de que se
proyecte una película bélica en él. Si no va al cine, la probabilidad de que emitan una película de ese género en la
televisión es 0.05.
a) ¿Cuál es la probabilidad de qué no vaya al cine y vea una película bélica?
b) ¿Y de que no vea una película bélica ese día?
Solución:
P (Ir al cine) =0’1
P (no ir al cine) = 1 – 0’1 = 0’9
P (película bélica en el cine) = 0’85
P (película no bélica en el cine) = 1 – P (película bélica en el cine) = 1 – 0’85 = 0’15
P (película bélica en televisión)=0’05
P (película no bélica en televisión) = 1 – P (película bélica en televisión) = 1 – 0’05 = 0’95
Si realizamos el árbol de sucesos observamos que:
0’1
0’9
0’85
Película bélica
0’15
Película no bélica
Ir al cine
0’05
Película bélica
No ir al cine
0’95
Película no bélica
Llamaremos a los sucesos: C = “Ir al cine”
B =“Película bélica”
a) P (no vaya al cine y vea una bélica)
𝑃𝑃(𝐵𝐵 ∩ 𝐶𝐶̅ )
𝑃𝑃(𝐵𝐵 ∩ 𝐶𝐶̅ )
→ 0′ 05 =
→ 𝑃𝑃(𝐵𝐵 ∩ 𝐶𝐶̅ ) = 0′ 05 ∙ 0′ 9 = 0′045
𝑃𝑃(𝐵𝐵⁄𝐶𝐶̅ ) =
0′9
𝑃𝑃(𝐶𝐶̅ )
b) P(no ver una película bélica) = P ( ir al cine y no ver una bélica o no ir al cine y no ver una bélica ) =
= 𝑃𝑃�(𝐶𝐶 ∩ 𝐵𝐵�) ∪ (𝐶𝐶̅ ∩ 𝐵𝐵�)� = 𝑃𝑃(𝐶𝐶 ∩ 𝐵𝐵�) + 𝑃𝑃(𝐶𝐶̅ ∩ 𝐵𝐵�) − 𝑃𝑃�(𝐶𝐶 ∩ 𝐵𝐵�) ∩ (𝐶𝐶̅ ∩ 𝐵𝐵�)�
= 0′ 1 ∙ 0′ 15 + 0′ 9 ∙ 0′ 95 − 0 = 0′ 015 + 0′ 855 = 0′87
4.-Una fábrica de enlatados produce 5000 envases diarios. La máquina A produce 3000 de estos envases, de los
que el2% son defectuosos y la máquina B produce los 2000 restantes de los que sabe que el 4% son defectuosos.
Determina:
a) Probabilidad de que un embase elegido al azar sea defectuoso
b) ¿Si el envase seleccionado es defectuosos, qué probabilidad hay de que proceda de la máquina A? ¿ y de la B?
Solución
a) Si llamamos D= “elegir un embase defectuoso”
3000
5000
2000
5000
0’02
y elaboramos el árbol de sucesos observamos que:
Defectuoso (D)
A
0’98
0’04
No defectuoso
Defectuoso (D)
B
0’96
No defectuoso
Utilizando el teorema de la probabilidad total sabemos que:
P(D)= P(A) P(D/A)+P(B) P(D/B) =
3000
5000
∙ 0′ 02 +
2000
5000
b) Utilizando el Teorema de BAYES sabemos que:
𝑃𝑃(𝐴𝐴∩𝐷𝐷)
0´012
P(A/D)=
=
= 0′4286
𝑃𝑃(𝐷𝐷)
𝑃𝑃(𝐵𝐵∩𝐷𝐷)
P(B/D)=
𝑃𝑃(𝐷𝐷)
=
0′028
0´016
=
0′028
0′5714
∙ 0′ 04 = 0′ 012 + 0′ 016 = 0′028