RAZONAMIENTO CUANTITATIVO

Transcripción

Guía
Examen psicométrico de ingreso a las universidades
RAZONAMIENTO CUANTITATIVO
En esta área se analizan las capacidades de utilización de números y términos matemáticos para
resolver problemas cuantitativos, y la capacidad de analizar datos presentados bajo diversas formas
tales como tablas y gráficos. El conocimiento matemático exigido es de nivel elemental (los temas
se estudian hasta el noveno y décimo grado de la mayoría de las escuelas del país).
Todas las preguntas de esta área tienen la estructura de las preguntas de alternativa - una pregunta y
después de ella cuatro opciones de respuesta, de las cuales una sola es la respuesta correcta.
Las preguntas de la sección de razonamiento cuantitativo son de dos tipos: preguntas y problemas,
y preguntas de inferencia a partir de la comprensión de un gráfico o de una tabla.
Preguntas y problemas - Estas preguntas tratan acerca de una variedad de temas del álgebra y de
la geometría. Algunas preguntas son presentadas en términos matemáticos; otras preguntas son de
formulación verbal y en ellas hay que traducir primeramente el problema a términos matemáticos.
Preguntas de inferencia a partir de la comprensión de un gráfico o de una tabla. Estas
preguntas se refieren a la información suministrada por medio de un gráfico o de una tabla. En los
gráficos se exhiben datos en forma gráfica, por ejemplo, por medio de un diagrama de barras, de un
gráfico, de un diagrama de dispersión, etc. En las tablas se presentan datos ordenados en columnas
y filas.
En cada una de estas clases las preguntas están ordenadas por lo general en un orden creciente
de dificultad. Al principio las preguntas son fáciles y el tiempo requerido para responderlas es
relativamente corto; paulatinamente se van haciendo más difíciles y requieren más tiempo.
Los dibujos que acompañan a algunas de las preguntas, no están necesariamente a escala. No
hay que inferir sólo del aspecto del dibujo acerca de longitudes de segmentos, de la magnitud de
ángulos, etc. No obstante lo cual, si una línea parece recta en el dibujo, se puede suponer que es
efectivamente recta.
Al comienzo de la sección hay una "hoja de fórmulas": en dicha hoja hay instrucciones,
indicaciones y fórmulas diversas. Uds. podrán hacer uso de ella durante el examen. La "hoja de
fórmulas" está incluida también en esta guía (en la página 40) y en las secciones de razonamiento
cuantitativo del examen de práctica. Es conveniente que conozcan su contenido y que sepan
manejarla antes del momento del examen.
En las páginas 41-64 hay un repaso de conceptos básicos de matemática, que refleja en gran
medida los contenidos temáticos en los que se basan las preguntas de las secciones de razonamiento
cuantitativo. Con todo, en el examen mismo podrían aparecer preguntas, cuya resolución demanda
conceptos y teoremas matemáticos adicionales, que no aparecen en dichas páginas.
En las páginas 65-82 hay algunos ejemplos de los diversos tipos de preguntas, y para cada ejemplo
se suministra la solución con una explicación detallada.
39
a
as a C
CC
Razonamiento cuantitativo
HOJA DE FÓRMULAS
Esta sección incluye 20 preguntas.
El tiempo a tu disposición es de 20 minutos.
En esta sección aparecen preguntas y problemas que exigen razonamiento cuantitativo. Para cada pregunta se
proponen cuatro respuestas. Deben elegir la respuesta correcta y señalar su número en el lugar correspondiente en la
hoja de respuestas.
Observaciones generales
* Los dibujos que aparecen junto a una parte de las preguntas están destinados a ayudar a resolverlas, pero no están
trazados necesariamente a escala. A partir del dibujo solo, no deben sacarse conclusiones respecto a longitudes de
segmentos, magnitudes de ángulos, etc.
* Si una línea parece recta en el dibujo se puede suponer que es efectivamente recta.
* Cuando en una pregunta aparezca un término geométrico (lado, radio, área, volumen, etc) como dato, se tratará de
un término cuyo valor es mayor que cero, a menos bque se haga indicación expresa de lo contrario.
bb
* Cuando en una pregunta aparece escrito a (a >h 0), se trata de la raíz positiva de a.
hh
* "0" es un número que no es ni positivo ni negativo.
a
* "0" es un número par.
aa
* "1" no es un número primo.
h
a
Fórmulas
r
a $x
1. Porcentajes : a% de x es 100
x° r r
r xx°°
2. Potencias : Para todo a distinto de 0, y para todo nrry
m enteros -
1 an
a.a n =
b.
am + n
c. a m = _m a i (0 < a, 0 < m)
d. an · m = (an)m
−
n
=
am · an
n
h
r hh
rr
3. Producto de binomios :
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
(a + b)(a – b) =
a2
–
c
cc b
bb
a
aa
h
hh
r
rr
6. Factorial : n! = n(n – 1)(n – 2) · ... · 2 · 1
7.Proporciones : Si AD || BE || CF
AB = BC y también AB = DE
entonces DE
EF
AC DF
A
BAA
BB
C
CC
D
D
ED
EE
F
FF
8. Triángulo :
a. El área de un triángulo cuya base es ‫ספרדית‬
h
a y la altura correspondiente a dicha base
hh
‫רוסית‬
‫ משולב‬a $ h
‫צרפתית‬
a
es h,‫משולב‬
es
‫רוסית‬
‫צרפתית‬
‫רוסית‬
‫ משולב‬2
‫צרפתית‬
A aa
hi
b.Teorema de Pitágoras :
po
ten
A u
A triángulo rectángulo
A ABC
A
En
un
cateto
us
h
h
bg
yp
yp
a
ote
AA u jnt
AA
AA h o2té
AA ‫תר‬
2
2
hhyy n AC = ABcôté
hyy nu
‫י‬
bugbg ye
se
cumple:
+
BC
leg
‫ניצב‬
rfntn
B
u
ppoo se
ppoo se
jnjn pf
‫ר‬
‫ר‬
cateto
‫ת‬
‫ת‬
t
tetnen
étnén
tyty
‫יי‬
côté
leg
‫ניצב‬
côté
rfntn
epep
uus s
leg
‫ניצב‬
rfntn
uus s
f f Cc. En todo
ee C
e e C rectángulo
triángulo
cuyos
B
B
B
B
rfntn
‫ניצב‬
côté
leg
BB
BB
BB
CC ángulos
CC
son
deCC30°, 60° ByB 90°,
rfntn
rfntn
‫ניצב‬
côté
‫ניצב‬
côté
leg
leg
la longitud del cateto opuesto al
ángulo de 30° es igual
a la mitad
‫ספרדית‬
‫רוסית‬
de la longitud de la hipotenusa.
40
b
bb
9. El área de un rectángulo de largo a
A
y de ancho b es a · b
hi
p
cateto
B
‫ספרדית‬
ot
en
us
cateto
a
A u
baga
rfntn
a
C
B
‫רוסית‬
ty
ep
rfntn
a
11. a. Ángulos interiores de un polígono de n lados
La suma de los ángulos interiores del polígono
b
es (180n – 360) grados.
r
b. Si el polígono es regular, la magnitud deh
cada uno de los ángulos interiores es a r x°
a 180nn− 360 k = a180 − 360
n k grados.
f
a
b
h
a. El área de un círculo de radio r
es πr2 (π = 3.14...)
b.El perímetro de una circunferencia
de radio r es 2πr
c. El área de un sector circular
con ángulo al centro de x°
x
es πr2 $ 360
13. Caja, cubo :
a. El volumen de una caja de
longitud a, de ancho b y de
altura c es a · b · c
b.El área de la superficie total
de la caja es 2ab + 2bc + 2ac
c.
En un cubo, a = b‫משולב‬
=c
‫רוסית‬
b
b rc
b
haa x°
r
ha
a
rch
x°
b
ar r r
x°
r
r
x°
r
c
h b
a
c
rh
b
a
c
b
a
r
‫צרפתית‬
h
14.Cilindro :
A
A uárea de la superficie
A
A h r hD
a. El
lateral
hy
bg
B ypoh
po
E
j
Ade unntcilindro
delegradio rtenyu de
rténu h
ye
côté
rfntn
pf
se
se
C
altura
h
es
2
π
r
·
h
F
BAA ‫ وﺗﺮ‬C
rr C
B
B
C
C
‫ﻗﺎﺋﻢ‬
rfntn
côté
‫ﺮ‬
leg
‫ﺮ‬
‫ وﺗوﺗ‬de la superficie total del
b.El área
‫ﻗﺎﺋﻢ‬
‫ﻗﺎﺋﻢ‬
C
B cilindro
esC 2πr2 + 2πr · h = 2πr(r + h)
‫ﻗﺎﺋﻢ‬
BB
CC
CC
‫ﻗﺎﺋﻢ‬
‫ﻗﺎﺋﻢ‬
c. El volumen del cilindro es πr 2· h
A
D
A
B
C
A
‫ניצב‬
B
hh
15. El‫משולב‬
volumen de un cono‫צרפתית‬
cuya base es
πr 2 $ h
de radio r y cuya altura es h es
3
A
jn
h
12. El círculo y la circunferencia :
b2
4. Problemas de recorrido : distancia = velocidad
tiempo
5. Problemas de rendimiento :
cantidad de trabajo = rendimiento
tiempo
b
10. El área de un trapecio una de
cuyas bases es a, la otra base es b
]a + bg $ h
y la altura es h, es
2
A h
h
B
C
A
leg
côté
‫צרפתית‬
A ‫ניצב‬
CB
a
A
b
F
r
h
r
yp
yp
‫תר‬
otécuya área de
ote
16. El
volumen
de la pirámide
‫י‬
nu
nu
côté
leg
‫ ניצב‬A
se
se
S
h
$
la
base
es
S
y
su
altura
es
h
es
h
B
B
BB
C
C
C3
‫משולב‬
E
ah
A
r
D
E C
D
FE
D
‫ﻗﺎﺋﻢ‬
B
‫ﻢ‬
Guía
REPASO DE CONCEPTOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA
SIGNOS
a || b
las rectas a y b son paralelas
a⊥b
la recta a es perpendicular a la recta b
Ángulo de 90°, ángulo recto
El ángulo convexo formado entre los segmentos AB y BC
«ABC
x=y
x es igual a y
x≠ y
x es distinto de y
x<y
x es menor que y
x≤ y
x es menor o igual que y
b
h
a
a < x, y
x e y son mayores que a
x=+a
x puede ser igual a a o a -a
|x|
el valor absoluto de x
x:y
r
la relación entre
xey
x°
r
CLASES DE NÚMEROS
c
Un número
b entero es un número compuesto de unidades enteras. Un número
a
entero puede ser positivo, negativo, o 0.
Por ejemplo: ... , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ...
Presten atención: 0 es un número entero que no es ni positivo ni negativo.
No entero:
r
Número
Por ejemplo: 1.37, 2 12 , -1 12 ,
Consecutivos:
Son números enteros que vienen uno a continuación del otro con diferencia
de una unidad. Por ejemplo, el 4 y el 5 son números consecutivos, 2, 3 y 4, y
h (-3) y (-2) son números consecutivos.
también
En general, si n es un entero entonces n y (n + 1) son números consecutivos.
A vecesr se dice: (n + 1) es el sucesor de n.
Entero:
h
Par:
Impar:
A
leg
B
hy
po
ten
leg
A h
Primo:
y
us
côté
e
C
Es un número entero, tal que si se lo divide por 2, se obtiene un número no
enteroh (es decir, cuando se lo divide por 2 el resto es 1).
a
En general,
si n es un número entero, entonces 2n + 1 es un número impar.
‫צרפתית‬
B
2
Es un número entero tal que si se lo divide por 2 se obtiene un número entero
A
D
(esB decir,Ees divisible por 2 sin resto).
En
general,
si n es entero entonces 2n es par.
C
F
Presten atención: 0 es un número par.
‫משולב‬
que no puede ser expresado en unidades enteras.
po
tén
côté
us
e
C
A positivo que se divide sin resto por dos números
EsA un número entero
‫תר‬
‫ وﺗﺮ‬y por 1.
‫י‬
solamente: por sí‫ﻗﺎﺋﻢ‬mismo,
‫ניצב‬
Por
ejemplo,
B
B un número
C 13 es
C primo, puesto que no puede divirse sin resto
‫ניצב‬
‫ﻗﺎﺋﻢ‬
más que por 13 y por 1.
Presten atención: el 1 no se define como número primo.
b
a
41
Opuestos:
Un par de números cuya suma es igual a cero se dicen opuestos.
Por ejemplo: 4 y (-4) son opuestos.
En general: a y (-a) son opuestos, a + (-a) = 0 o, dicho de otro modo, (-a) es
el número opuesto de a.
Inversos:
Un par de números cuyo producto es igual a 1 se dicen inversos.
Por ejemplo: 3 y 13 son inversos y también 27 y 27 .
En general: Para a, b ≠ 0:
1 son inversos aa $ 1 = 1k , o en otras palabras 1 es el inverso de a.
a y a
a
a
a b
a $ b = 1 , o en otras palabras b es el inverso de a .
y son inversos b b
l
a
a
b a
b
Valor absoluto:
si x > 0 entonces | x | = x
si x < 0 entonces | x | = -x
|0| = 0
OPERACIONES ARITMÉTICAS CON NÚMEROS PARES E IMPARES
par
+
par
=
par
impar
+
impar
=
par
impar
+
par
=
impar
par
–
par
=
par
impar
–
impar
=
par
par
–
impar
=
impar
impar
–
par
=
impar
par
×
par
=
par
impar
×
impar
=
impar
impar
×
par
=
par
No existen reglas parecidas para la operación de la división. Por ejemplo, el cociente de dos
números pares puede ser impar b 62 = 3l , par b 24 = 2 l o número no entero b 64 = 1 12 l .
42
Guía
FACTORES (DIVISORES) Y MÚLTIPLOS
Factor (divisor) de un número entero y positivo es todo número entero positivo por el cual dicho
número puede ser dividido sin resto. Por ejemplo, los números 24, 12, 8, 6, 4, 3, 2, y 1 son factores
(divisores) de 24.
Factor común de x y de y es un número que es factor (divisor) de x y también de y. Por ejemplo, 6
es un factor común de 24 y de 30.
Factor primo es un factor que además es un número primo. Por ejemplo, 2 y 3 son factores
primos de 24. Todo número entero y positivo (mayor que 1) puede escribirse como el producto de
sus factores primos. Por ejemplo, 24 = 3 · 2 · 2 · 2 = 3 · 23.
Múltiplo de un número entero x es cualquier número entero que es divisible por x sin dejar resto.
Por ejemplo, 16, 32 y 88 son múltiplos de 8.
Cuando en una pregunta esté escrito "divisible" se entenderá "divisible sin resto".
OPERACIONES ARITMÉTICAS CON FRACCIONES
Simplificación
Cuando el numerador y el denominador de una fracción tienen un factor común, se los
puede dividir sin resto por ese número y obtener una fracción equivalente a la original, pero
con numerador y denominador más pequeños. Por ejemplo, si dividimos el numerador y el
16 por 4 se obtendrá 4 , 16 = 4 .
denominador de la fracción 12
3 a 12 3 k
Multiplicación
Para multiplicar dos fracciones hay que multiplicar los dos numeradores entre sí y los dos
denominadores entre sí.
Por ejemplo:
2 $ 5 = 2 $ 5 = 10 3 7 3 $ 7 21
División
Para dividir un número (entero o fracción) por una fracción hay que multiplicar ese número por la
fracción inversa de la fracción divisor.
2
2 3 2 8 2 $ 8 16
5
Por ejemplo:
3 = 5 : 8 = 5 $ 3 = 5 $ 3 = 15 8
Para multiplicar o dividir un número entero por una fracción, se puede tomar al número entero
como si fuera una fracción cuyo denominador es 1, por ejemplo: 2 = 21 .
Suma y resta
Para sumar o restar fracciones, hay que convertirlas en fracciones con denominador común. El
denominador común es un número que es divisible, sin resto, por los denominadores de cada una
de las fracciones dadas. Una vez que se ha encontrado un número adecuado que pueda hacer de
denominador común, se deben "traducir" las fracciones dadas a las equivalentes con denominador
común. Para ello basta multiplicar numerador y denominador por el mismo número entero, de
modo que en el denominador se obtenga el número que se ha elegido para hacer de denominador
común. Puesto que se ha multiplicado el numerador y el denominador por un mismo número, la
fracción obtenida es equivalente a las dadas pues de hecho se las ha multiplicado por 1. Una vez
que todas las fracciones han sido "traducidas" a denominador común se pueden sumar o restar los
nuevos numeradores obtenidos y, de ser posible, se puede simplificar el resultado.
43
EJEMPLO
3 1 5
4+6+8=?
Un denominador común posible es el 24, pues es divisible por cada uno de los denominadores
24
24
= 6;
= 4;
=3
de las fracciones dadas sin resto: 24
4
6
8
"Traduciremos" cada una de las fracciones a fracciones con ese denominador común:
3 = 18 ,
4 24
1 = 4 , 5 = 15
6 24 8 24
Y obtendremos:
18 4 15 18 + 4 + 15 = 37
3 1 5
4 + 6 + 8 = ?24 + 24 + 24 =
24
24
PORCENTAJES
a
$ x.
El porcentaje es un modo de indicar centésimos: a% de x son a centésimas de x, o sea, 100
En las preguntas en las que aparezcan porcentajes, se los debe traducir a fracciones centesimales y
proceder con ellos como si se tratara de fracciones comunes.
EJEMPLO
¿Cuánto es el 60 por ciento de 80?
En lugar de 60 por ciento podemos escribir 60 centésimos, resuélvanla como un producto de
fracciones:
60 $ 80 = 60 $ 80 = 6 $ 8 = 48
100
100
Es decir: 60% de 80 es 48.
En las preguntas que se refieren al cambio de porcentajes, hay que entender que se trata de un
porcentaje del valor inicial, a menos que se indique expresamente otra cosa.
EJEMPLO
El precio de un artículo que costaba 80 pesos se aumentó en un 25%. ¿Cuál es su nuevo precio?
Dado que se ha agregado un 25% al precio antiguo, su nuevo precio será entonces el 125% del
precio original (100% + 25%). Por lo tanto, se debe calcular cuánto es el 125% de 80 pesos.
Escribamos centésimas en lugar de porcentajes:
125
100 $ 80 = 100 , es decir, el nuevo precio del artículo será 100 pesos.
EJEMPLO
El precio de un artículo que costaba 15 pesos bajó a 12 pesos. ¿En qué porcentaje fue rebajado
el precio?
En este ejemplo se da el cambio de precio de un artículo y hay que calcular el porcentaje del
cambio.
La variación del precio es de 3 pesos de un total de 15. Hay que calcular qué porcentaje de 15 es
3 (como en el ejemplo 2).
x $ 15 = 3 y resolviendo
Traducimos la pregunta a su expresión matemática: 100
100 = 20 , o sea, que el precio se rebajó en un 20%.
la ecuación resulta que x = 3 $15
44
Guía
PROPORCIONES (RELACIONES)
La relación o proporción en la que se encuentran x e y se escribe x : y.
EJEMPLO
La relación entre el número de pares de medias de Pedro y el número de sus camisas es 3 : 2.
Eso quiere decir que Pedro tiene 3 pares de medias por cada 2 camisas. O, lo que es lo mismo: el
número de pares de medias de Pedro es 23 veces mayor que el número de sus camisas.
PROMEDIO
Se llama promedio (o media aritmética) de un conjunto de valores a la suma de todos esos valores
dividido por el número de valores que se toman en cuenta.
Cuando en una pregunta aparezca simplemente la palabra "promedio" hay que entender que se trata
de la media aritmética.
Por ejemplo, la media aritmética del grupo de valores 1, 3, 5, 10 y 21 es 8, pues
1 + 3 + 5 + 10 + 21 = 40 = 8
5
5
Si se da el promedio de un conjunto de valores, se puede calcular la suma de esos valores
multiplicando el promedio por el número de dichos valores.
EJEMPLO
Dani compró 5 artículos cuyo precio promedio es 10 pesos. ¿Cuánto pagó Dani por todos esos
artículos? En esta pregunta hay que encontrar la suma sobre la base del promedio, por lo tanto,
multiplicamos el promedio por el número de artículos, y obtenemos 10 · 5 = 50, es decir Dani
pagó en total 50 pesos por todos los artículos que compró.
La media ponderada es un promedio que considera el peso relativo de cada uno de los valores del
conjunto.
EJEMPLO
En el examen parcial la nota de Pepe fue 75, y en el examen final obtuvo 90. Si el peso del
examen final es 2 veces mayor que el peso del parcial, ¿cuál será la nota final que obtendrá
Pepe en el curso?
El conjunto de valores en este caso es 75 y 90. Pero cada uno de ellos tiene un peso diferente en
la nota final del curso. La nota 75 tiene un peso de 1, mientras que la nota 90 tiene un peso de 2.
Para calcular el promedio ponderado hay que multiplicar cada nota por el peso que se le dio y
dividir por la suma de dichos pesos. 1 $ 751 ++ 22 $ 90 = 85 . Por lo tanto, la nota de Pepe en el curso es
de 85.
Este cálculo equivale al cálculo de la media común de tres números: 75, 90 y 90.
45
POTENCIAS Y RAÍCES
La elevación de un número a la potencia n (con n entero y positivo), es la multiplicación del
número por sí mismo n veces: a $ ... $ a $ a = an
1 44 2 44 3
n veces
Por ejemplo: (-3)3 = (-3) · (-3) · (-3) = -27
an es una potencia; n es el exponente y a es la base de la potencia.
Todo número distinto de cero elevado a la potencia 0 equivale a 1, es decir, para todo a ≠ 0 a0 = 1.
Elevar a una potencia con exponente negativo es lo mismo que elevar el inverso de la base a la
n
potencia de exponente opuesto: a-n = b a1 l = 1n
a
3
2-3 = b 1 l = 1 $ 1 $ 1 = 1
2
2 2 2 8
Por ejemplo:
La raíz enésima de un número positivo a, lo cual se indica
n
a , es un número positivo b tal que si
lo elevamos a la potencia n obtendremos a:
n
a = b pues bn = a
Por ejemplo:
4
81 = 3 pues 34 = 81
Cuando no se escriba el índice de la raíz se tratará de la raíz de índice 2. La raíz de índice 2 se
llama también raíz cuadrada.
Por ejemplo:
81 = 2 81 = 9
Se puede también expresar una raíz como potencia de exponente fraccionario. La fracción es el
1
número inverso del índice de la raíz: n a = a n (0 < a).
Es importante señalar: Cuando se escribe a ]a > 0g se quiere indicar la raíz positiva de a.
Reglas básicas para operar con potencias (para todo m y n):
Producto: Para multiplicar potencias de igual base hay que sumar los exponentes de las
potencias: am · an = am + n
División: Para dividir potencias de igual base hay que restar el exponente del denominador del
m
exponente del numerador: a n = a]m − ng
a
Presten atención: Cuando las bases no son iguales no es posible sumar o restar los exponentes.
Elevación de una potencia a una potencia: Para elevar una potencia a una potencia hay que
multiplicar los exponentes entre sí _ami = a]m $ ng
n
m
m
Potencia de un producto o de un cociente: (a · b)m = am · bm ; c ba m = am . b
Puesto que las raíces pueden ser expresadas como potencias, se pueden aplicar las leyes de la
potenciación a las operaciones con raíces. Por ejemplo, para calcular
expresar primeramente las raíces como producto de potencias:
m
m
a $ n a ]0 < ag hay que
1
1
a $ n a = a m $ a n , y operamos
1
1
luego como en el producto de potencias, o sea, sumando los exponentes: a m $ a n = a
46
1 1l
bm
+n
.
Guía
Desigualdades entre potencias:
Si
Si
Si
Si
0<b<a
0<b<a
1<a y
0<a<1
y 0 < n, entonces bn < an
y n < 0, entonces an < bn
m < n, entonces am < an
y m < n entonces an < am
PRODUCTO SIMPLIFICADO
Para multiplicar dos expresiones que se hallan entre paréntesis, cada una de las cuales es una
suma de términos, hay que multiplicar cada uno de los términos de la primera por cada uno de los
términos de la segunda expresión y y luego sumar los productos.
Por ejemplo: (a + b)⋅(c + d) = ac + ad + bc + bd
Esta regla general se aplica para los siguientes casos especiales que conviene recordar para ahorrar
tiempo:
(a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = (a – b) · (a – b) = a2 – 2ab + b2
(a – b) · (a + b) = a2 – b2
COMBINATORIA
Experimento de múltiples etapas
EJEMPLO
Arrojamos un dado y luego de ello arrojamos una moneda, ¿cuál será el número de resultados
posibles de este experimento?
Este experimento tiene dos etapas: la etapa del lanzamiento del dado y la etapa del lanzamiento
de la moneda.
El número de resultados posibles de arrojar un dado es 6 y el número de resultados posibles de
arrojar una moneda es 2. El número de resultados posibles de la totalidad de este experimento
será 6 · 2 = 12. Uno de los doce resultados posibles es: 3 en el dado y "cara" en la moneda.
De hecho, el experimento no cambia si se arroja primero la moneda y después el dado o si se
arrojan el dado y la moneda al mismo tiempo. El número de resultados posibles es siempre 12.
A continuación nos referiremos a un experimento compuesto en el que se da un grupo de n objetos,
y se elige de él un objeto al azar r veces. Cada elección de un objeto del grupo es una etapa del
experimento y en total hay en el experimento r etapas. El número de resultados posibles de cada
una de las r etapas depende de la manera en que sean elegidos los objetos. El número de resultados
posibles en el experimento total es el producto de número de resultados posibles que se obtienen en
las r etapas. Todo resultado posible en el experimento se llama muestra.
Muestras ordenadas con restitución
El modo de elección de los objetos: Un objeto elegido es restituido al conjunto inmediatamente
después de haber sido elegido, y tiene importancia el orden en que son elegidos los objetos.
Número de resultados posibles: en cada etapa el número de resultados posibles es n, por lo tanto, el
número de resultados posibles en las r etapas, es decir, en el experimento total es n · n · ... · n = nr.
Presten atención: En este modo de elección, un objeto puede ser elegido más de una vez.
El número de muestras ordenadas con restitución es nr
47
EJEMPLO
En una caja hay nueve bolas numeradas del 1 al 9. Se extrae al azar una bola de la caja, se
la restituye, y se repite la operación dos veces más. Se registra (de izquierda a derecha) los
números de las bolas que van saliendo, según el orden de salida de modo que resulte un número
de tres cifras. ¿Cuántos números diferentes de tres cifras pueden obtenerse de este modo?
En este experimento el orden tiene importancia: Por ejemplo, si los número extraídos son 3, 8
y 3, se obtiene el número 383, pero si fueran extraídos en el orden 3, 3 y 8, el número que se
obtiene es 338, y éstos son dos números distintos.
El número de etapas del experimento es 3 y en cada etapa el número de resultados posibles es 9,
por lo tanto, el número de resultados posibles del experimento total es 93 = 729, es decir, que se
pueden obtener 729 números diferentes de tres cifras.
Muestras ordenadas sin restitución
El modo de elección de los objetos: un objeto que ha sido elegido no es restituido al conjunto
después de haber sido elegido, y tiene importancia el orden en que son elegidos los objetos.
Número de resultados posibles: el número de resultados posibles en la primera etapa es n, el
número de resultados posibles en la segunda etapa es n - 1 (pues el objeto elegido en la primera
etapa no fue restitutido, y quedan, por lo tanto, sólo n - 1 objetos para elegir entre ellos) y así
siguiendo hasta la última etapa, la etapa r en la que el número de resultados posibles será n – r + 1.
Por lo tanto, el numero de resultados posibles del experimento total es n · (n – 1) · ... · (n – r + 1).
El número de muestras ordenadas sin restitución es n · (n – 1) · ... · (n – r + 1)
EJEMPLO
En una caja hay nueve bolas numeradas del 1 al 9. Se extraen al azar, una tras otra, tres bolas,
sin restituir la bola que ha sido extraída, y se registran (de izquierda a derecha) los números de las
bolas que van saliendo, según el orden de salida de modo que resulte un número de tres cifras.
¿Cuántos números diferentes de tres cifras pueden obtenerse de este modo?
También en este experimento el orden en que fueron extraídas las bolas tiene importancia, pero a
diferencia del ejemplo anterior, en este experimento no se restituye a la caja la bola extraída, y
por lo tanto, el número de resultados posibles en la primera etapa es 9, en la segunda etapa es 8
y en la tercera etapa es 7. El número de resultados posibles para el experimento total es
9 · 8 · 7 = 504, es decir, se pueden obtener 504 números diferentes de tres cifras.
Permutaciones (ordenaciones internas)
Cuando producimos una muestra ordenada sin restitución de la totalidad de los n objetos de un
conjunto (es decir, cuando n = r), cada resultado posible describe una permutación de los objetos:
cuál es el primer objeto, cuál es el segundo, etc. La pregunta es: ¿cuántas permutaciones son
posibles?
Establezcamos r = n en la fórmula para obtener el número de las muestras ordenadas sin restitución
y obtendremos n · (n – 1) ·...· 3 · 2 · 1. A este número se lo llama "factorial de n" y se indica n!.
El número de permutaciones (ordenaciones internas) de n objetos es n!
EJEMPLO
La abuela, la madre y la hija quieren ordenarse en línea para una fotografía. ¿De cuántas
maneras diferentes pueden hacerlo?
Se puede pensar que quien se halla ubicada a la derecha es la primera, la del medio es la segunda
y la que está a la izquierda es la tercera, y entonces la pregunta es cuántas permutaciones de
abuela, madre e hija son posibles. La abuela, la madre y la hija constituyen un conjunto de tres
objetos, y por lo tanto, el número de permutaciones entre ellas 3! = 3 · 2 · 1 = 6. Detallaremos las
permutaciones posibles: abuela-madre-hija, abuela-hija-madre, madre-abuela-hija, madre-hija,
abuela, hija-abuela-madre, hija-madre-abuela.
48
Guía
Combinaciones (muestras no ordenadas)
Modo de elección de los objetos: un objeto que ha sido elegido no es restituido al conjunto
después de haber sido elegido, y no tiene importancia el orden en que son elegidos los objetos.
Cuando el orden no tiene importancia, todas las muestras en las que hay los mismos r objetos (sólo
el orden de elección varía en cada muestra) se consideran como el mismo resultado. El número de
tales muestras es en realidad el número de permutaciones de r objetos, es decir r!.
Para calcular el número de resultados posibles de combinaciones (muestras no ordenadas) se
calcula el número de resultados posibles como si tuviera importancia el orden y se lo divide por el
número de permutaciones de r objetos.
Número de combinaciones =
Número de muestras ordenadas sin restitución n · (n–1) ·...· (n–r+1)
=
Número de permutaciones en la muestra
r!
EJEMPLO
En una caja hay nueve bolas numeradas del 1 al 9. Se extraen al azar, una tras otra, tres bolas,
sin restituir la bola que ha sido extraída, y se las coloca en un sombrero.
¿Cuántas combinaciones posibles de bolas pueden darse en el sombrero?
En esta pregunta importa la combinación de bolas en el sombrero y no el orden en que fueron
extraídas de la caja. Por ejemplo, si las bolas fueron extraídas en el orden 5, 1 y 4, la
combinación en el sombrero es 1, 4 y 5 y ésta será la combinación en el sombrero también si el
orden de la extracción fue 4, 5, y 1 o cualquier otra de las 3! permutaciones posibles: 1-4-5, 1-54, 4-1-5, 4-5-1, 5-1-4 y 5-4-1 (en realidad no tiene ninguna importancia el hecho de que las bolas
sean extraídas una tras otra, y pueden ser extraídas todas a la vez sin que esto afecte al resultado).
Por lo tanto, el número de combinaciones posibles es 9 $ 38! $ 7 , es decir hay 84 posibilidades
distintas de combinaciones de bolas en el sombrero.
PROBABILIDADES
La teoría de las probabilidades es un modelo matemático para fenómenos (experimentos) cuya
ocurrencia es incierta. A cada resultado posible del experimento se lo llama "evento simple" y al
conjunto de todos los resultados se lo llama "evento" (para simplificar, utilizaremos la palabra
"evento" también para los "eventos simples"). A cada evento se asigna un número entre 0 y 1,
que representa la probabilidad (la eventualidad, la medida de la plausibilidad) de que el evento
acontezca. Cuanto mayor es la probabilidad mayor es la plausibilidad de que el evento acontezca.
Cuando la ocurrencia del evento es cierta la probabilidad de dicha ocurrencia es 1, y cuando el
evento es imposible la probabilidad de su ocurrencia es 0.
La suma de las probabilidades de todos los eventos simples del experimento es 1
Cuando todos los n resultados de un experimento son igualmente plausibles, se dicen equiprobables
En este caso la probabilidad de cada resultado es n1 .
EJEMPLO
El experimento: Lanzamiento de una moneda.
Los resultados posibles: las caras de la moneda. Se las indica 1 o 0 (cara o ceca).
Si la moneda es equilibrada los dos resultados son equiprobables, es decir que la probabilidad
de que la moneda caiga sobre el "1" es la misma que la probabilidad de obtener "0" , y por lo
tanto, la probabilidad de cada resultado posible es 12 .
49
EJEMPLO
El experimento: lanzamiento de un dado equilibrado.
Los resultados posibles: los números 1, 2 ,3, 4, 5, y 6 impresos en las caras del dado.
Si el dado es equilibrado, la probabilidad de cada uno de los resultados posibles es 16 .
Cuando todos los resultados posibles son equiprobables,
la probabilidad de que acontezca el evento es :
Número de resultados del evento particular
Totalidad de los resultados posibles del experimento
EJEMPLO
El experimento: lanzamiento de un dado equilibrado.
Evento : el resultado es menor que 4.
Resultados del evento: los números 1, 2 y 3:
La probabilidad del evento 63 = 12
EJEMPLO
El experimento: La extracción de un bolillero de bolillas en el que hay 5 bolillas blancas y 5
bolillas negras.
Evento: extracción de una bolilla negra.
Probabilidad del evento:
Número de bolillas negras
Número total de bolillas en el bolillero
5 =1
= 10
2
Probabilidad de la ocurrencia de dos eventos
Cuando ocurren dos eventos en paralelo, o uno después del otro, pueden presentarse dos casos:
A. Eventos independientes, es decir, aquellos en los que la probabilidad de la ocurrencia de un
evento no está influida por la ocurrencia del otro evento.
B. Eventos dependientes, es decir, aquellos en los que la probabilidad de la ocurrencia de un
evento está influida por la ocurrencia de otro. En otras palabras, la probabilidad de que ocurra
un determinado evento después (o con la condición) de que haya ocurrido otro evento, es
diferente de la probabilidad de ese determinado evento (cuando no existe la condición).
50
Guía
EJEMPLO
En un bolillero hay 10 bolillas: 5 bolillas blancas y 5 bolillas negras. Se extraen dos bolillas del
bolillero una tras otra.
Se sabe que la primera bolilla ha sido negra.
¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bolilla sea también negra?
Se dan dos situaciones (A) Se restituye la primera bolilla al bolillero.
Puesto que hemos restituido la bolilla al bolillero, no se ha producido ningún cambio en el
número de bolillas en el bolillero, y en particular no se ha producido ningún cambio en el
número de bolillas negras.
5 = 1 y es igual a la probabilidad
La probabilidad de extraer una segunda bolilla negra es 10
2
de extraer una primera bolilla negra.
No se ha producido ningún cambio en la probabilidad como resultado del conocimiento de
que la primera bolilla extraída fue negra, es decir, los eventos fueron independientes.
(B) No se restituye la primera bolilla al bolillero.
Después de haber extraído una bolilla negra, quedaron en el bolillero 9 bolillas en total, de
las cuales 4 son negras.
Por lo tanto, la probabilidad de extraer una segunda bolilla negra es 94 .
Esta probabilidad es distinta de la probabilidad de extraer una primera bolilla negra, o sea,
que los eventos son dependientes.
La probabilidad de la ocurrencia de dos eventos independientes (paralelamente o uno tras
otro) es el producto de las probabilidades de cada uno de los eventos por separado.
EJEMPLO
El experimento: lanzamiento de dos dados equilibrados, uno rojo y uno amarillo.
Indicaremos el evento "obtención un número menor que 3 en el dado rojo" con la letra A.
La probabilidad del evento A es 26 = 13 .
Indicaremos el evento "obtención un número par en el dado amarillo" con la letra B.
La probabilidad del evento B es 63 = 12 .
Puesto que el resultado del lanzamiento de un dado no influye sobre la probabilidad del
resultado del lanzamiento de otro dado, el evento A y el evento B son independientes.
La probabilidad de la ocurrencia del evento A y también del evento B (conjuntamente) es, por
probabilidad
probabilidad
1 1 1
×
lo tanto del evento A del evento B , es decir 3 $ 2 = 6 .
Definiremos dos eventos dependientes A y B (en un experimento cualquiera).
La probabilidad de la ocurrencia del evento B con la condición de que el evento A haya ocurrido
es: El número de resultados comunes a B y a A
El número de resultados de A
51
EJEMPLO
El experimento: lanzamiento de un dado.
¿Cuál es la probabilidad de obtener un resultado menor que 4 si se sabe que se ha obtenido un
resultado par?
Indicaremos el evento "obtención un resultado par" con la letra A.
Indicaremos el evento "obtención un resultado menor que 4" con la letra B.
Reformulemos la pregunta por medio de los eventos: ¿Cuál es la probabilidad de B si se sabe
que (con la condición de que) A ha ocurrido?
Hay 3 resultados para el evento A: 2, 4, y 6.
Hay 3 resultados para el evento B: 1, 2, y 3.
Pero si se sabe que el evento A ha ocurrido, hay un sólo resultado posible para B: 2.
O en otras palabras, el resultado "2" es el único resultado común a A y a B.
Por lo tanto, la probabilidad de B si se sabe que A ha ocurrido es 13 .
Esta probabilidad es diferente de la probabilidad de B (sin la condición) que es igual a 12 .
RECORRIDO, VELOCIDAD, TIEMPO
La velocidad de un cuerpo es la distancia recorrida por el cuerpo en una unidad de tiempo.
La fórmula que vincula entre la velocidad , la distancia recorrida por un cuerpo y el tiempo
empleado por el cuerpo en recorrerla es: v = st
Siendo: v= velocidad
s = distancia recorrida
t=tiempo
De esta fórmula se pueden derivar todas las relaciones entre distancia, tiempo y velocidad:
s=v·t
, t = vs
EJEMPLO
Un tren recorrió 240 km a una velocidad de 80 km/h. ¿Cuánto tiempo llevó realizar el viaje?
Están dados v (80 km/h), y s (240 km). Hay que calcular t.
Puesto que la velocidad está dada en km/h el tiempo de recorrido se calculará en horas.
Utilizando la fórmula t = vs , t = 240
= 3.
80
Es decir, el viaje llevó 3 horas.
Las unidades de medida de dos de las magnitudes determinan las unidades de medida de la
magnitud restante.
Por ejemplo: Si la distancia se indica en kilómetros, (km), y el tiempo en horas, la velocidad se
medirá entonces en kilómetros por hora (km/h). Si la distancia estuviera expresada en metros y el
tiempo en segundos, la velocidad se expresará en metros por segundo.
Se pueden convertir los metros a kilómetros, y los segundos a horas, y viceversa.
1 de km).
En cada km hay 1,000 metros (1 metro es 1, 000
1 de hora)
En una hora hay 3,600 segundos (1 segundo es 3, 600
La velocidad de 1km/h equivale a la velocidad de 5 metros por segundo, c 1, 000 = 5 m .
18
3, 600 18
La velocidad de 1metro por segundo equivale a la velocidad de 3.6 km/h
52
1
3, 600
1, 000
= 1, 000 = 3.6 .
1
3, 600
Guía
RENDIMIENTO, TRABAJO, TIEMPO
El rendimiento es la cantidad de trabajo por unidad de tiempo.
La fórmula que relaciona entre rendimiento, cantidad de trabajo y el tiempo necesario para
realizarlo es: p = wt
y
Siendo: p = rendimiento
w = cantidad de trabajo
t = tiempo x
De esta fórmula se pueden derivar todas las relaciones entre rendimiento, cantidad de trabajo, y
tiempo: w = p · t , t = w
p
y
x
z
w
EJEMPLO
Un albañil termina de construir una pared en 3 horas. ¿Cuánto tiempo les demandará a 2
albañiles, trabajando al mismo ritmo, construir 5 paredes?
En la pregunta están dados la cantidad de trabajo de un albañil (una pared) y el tiempo insumido
(3 horas). Por lo tanto, su rendimiento es 13 de pared por hora. Tratándose de dos albañiles su
rendimiento será 2 $ 13 = 23 de pared por hora.
a b
c d
Se nos ha dado también la cantidad de trabajo que deberán hacer los dos albañiles: 5 paredes,
= 7 12
por lo tanto, se puede calcular el tiempo que les demandará levantarlas: t = 25 = 5e $ 23f = 15
g h 2
3
horas. O sea, les demandará 7 12 horas.
p
q
a b
c d
e
f
g h
RECTAS PARALELAS (LÍNEAS PARALELAS)
Rectas paralelas que cortan a dos rectas cualesquiera dividen a estas dos
rectas en segmentos de longitudes proporcionales.
c
a
a = c , a = b y también, a = c
Por ejemplo, en el dibujo: b
d c d
a+b c+d
Se pueden encontrar relaciones adicionales entre los segmentos a partir de
las relaciones dadas.
d
b
ÁNGULOS
El ángulo recto es el ángulo de 90˚. En los dibujos se lo indicará
El ángulo agudo es el ángulo de menos de 90˚.
El ángulo obtuso es el ángulo de más de 90˚.
El ángulo llano es de 180˚.
.
A
α
δ β
Ángulos suplementarios
Dos ángulos adyacentes generados por una recta y una semirrecta que tiene
origen en la recta se llaman suplementarios. Conjuntamente forman un
"ángulo llano" (ángulo de medio giro) y su suma es de 180˚. Por ejemplo,
en el dibujo x e y son ángulos adyacentes y por lo tanto x + y = 180˚
γ
b
B
C
h
a
y
x
A
A
h
h
r
r
B
x°
C
c
A
C
z
w
a
B
y
x
b
53
A
y
y
x
y
x
x
Ángulos opuestos por el vértice
‫פתית‬
y
x
Dos rectas que se cortan determinan cuatro ángulos. Los pares de ángulos
x y
que no son adyacentes se llaman opuestos por el vértice y son de igual
w z
magnitud.
Por ejemplo, en el dibujo, x y z son ángulos opuestos por el vértice, y
también y y w. Según lo afirmado, x = z e y = w.
zy
xw
y
A
z
w
x
côté
Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal se generan
ocho ángulos. Por ejemplo, en el dibujo, a, b, c, d, e, f, g y h.
y
Ángulos correspondientes
x
A
B
a b
x ca ydb β
B
wc zd a b
ep f c d
ge hf
g h e
q
a b
c d
Son los ángulos que estando del mismo lado de la transversal están
también del mismo lado en relación a las rectas paralelas. Los ángulos
correspondientes entre paralelas son de igual magnitud.
f
e
g h
Así, en el dibujo: a = e , b = f , c = g , d = h
Ángulos alternos
w
γ
Cp
p
a b
ca db
c
e
q
f
g h
‫צרפתית‬
y
x
β
B
q
a
A
z
a b
Son los ángulos que estando a distintos lados de la transversal están en
c d
hypoténuse
c
lados distintos en relación a las rectas paralelas (son ambos internos o
acôté
c
ambos externos).
c
ae f
a
g h
d
Los ángulos alternos entre paralelas son iguales entre sí: a = h , b = g , c = f y d = eb
d b B
b
EJEMPLO
e
q
C
d
côté
a b
c d
p
a b
Dadas las rectas p y q paralelas.
c d
d+f=?
e f
c y d son suplementarios y por lo tanto c + d = g180°.
h
c y f son alternos internos y por lo tanto c = f.
Por lo tanto, d + f = d + c = 180°, y la respuesta es 180°. A
p
a b
c d
e
q
f
g hA
A
α
δ β
γ
γ
γ
C
C
A
d
b
A
El ángulo adyacente a un ángulo interior se llama ángulo exterior del
triángulo, y es igual a la suma de los otros dos ángulos en el triángulo.
B
Por ejemplo, en el dibujo, d es un ángulo adyacente a b y, por lo tanto,
d = a + g.
A
B
δ β
C BB
α
En todo triángulo, a mayor ángulo se opone
siempre un mayor lado. Por
ejemplo, en el dibujo, g < a < b. Se sigue de esto que el lado AC (que se
β (que se γopone al ángulo a) y
δ BC
opone al ángulo b) es mayor que el lado
A
C g).
B
el lado BC es mayor que el lado AB (que se opone al ángulo
a
h
B
a
A
C
τ
B
B
A
α
h 60°AA
β
B 60°
45°
CC
C
A
B
h
γ
C
60°
D
C
60°
A
C
B
D
B
C
C
ε BF
D
B
C
A
60°
B
A
δ
h
τ
A
a 2
h
γC
B
La mediana del triángulo es el segmento que une el vértice del triángulo con
60° E
B
el punto medio del lado opuesto a dicho ángulo. Por ejemplo, en el60°triángulo
60°
B60°
A
A
B
C
45°
A
60°
E
A
A A
h
α
h
h
En todo triángulo, la suma de sus ángulos interiores es 180°. En el Adibujo
a + b + g = 180°
h
β
B
c
a
B
60°
a
CB
h
54
2a
d
δ β
B
δ β
B
Ángulos de un triángulo
c
a 3
αb
α
TRIÁNGULOS
30°
a
A
C
D
E
y
x
w
z
A
dA
b
Guía
α
δ β hypoténuseγ
côté
del dibujo AD es la mediana para el lado BC y, por lo tanto BD = DC.
Altura de un triángulo
A
La altura correspondiente a uno de los
el
α
c dlados de un triángulo es
a b
p
segmento perpendicular a dicho lado que va desde el vértice
opuesto
al
c d
f
e
lado (o a su prolongación). Por ejemplo, en cada uno de los triángulos
del γ
δ β
g h
dibujo, h es la altura correspondiente al lado
BC.
B e f
q
A
A
h
CB
g h
α
h
30°
C
β
B B
2a
a 3
Área de un triángulo
E
El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de su base
A por su
altura.
A
Por ejemplo, el área de cada uno de los triángulos ABC del dibujohes:
h
a
BC $ h
2
c
τ
60°
a
δ
A
A
D
60°
C
B
b
B
d
Desigualdad triangular
a
B
En todo triángulo, la longitud de un lado es siempre menor que la suma
de los otros dos.
Por ejemplo en los triángulos dibujados más arriba (AB + BC) > AC.A
Triángulos congruentes
C
côté
A
a b
C
B
B
45°
a
A
C
45°
60°
a 260°
C
B
D
45°
a
‫ת‬
B
C
‫ניצב‬
40°
B
A
60°
A
α
A
D
α
60°
60°
B
Dos formas geométricas se dicen congruentes cuando es posible
B llevar
C
δ β
una sobre la otra hasta hacer coincidir
todasγsus partes. La congruencia
C En triángulos
B de congruencia.
de triángulos es un caso particular
β
B
congruentes los lados y los ángulos son respectivamente iguales.
Por ejemplo: en el dibujo, si el triángulo ABC es congruente con el
triángulo DEF entonces sus lados A
son respectivamente
iguales:
A
AB = DE, BC = EF, AC = DF, y también sus ángulos son
correspondientemente iguales a = d,
h b = t , g = e.h
E
γ
C. Si dos triángulos tienen sus tres lados correspondientemente iguales,
entonces son congruentes. (lado-lado-lado. l. l. l.).
E
40°
C
τ
F
ε
‫ﺋﻢ‬
δ
D
Hay cuatro teoremas que nos permiten inferir, si dos triángulos son
C
B
congruentes o no:
B
C
A. Si dos triángulos tienen dos lados y el ángulo comprendido
correspondientemente congruentes, entonces son congruentes
(l.a.l. - lado-ángulo-lado).
Por ejemplo, los triángulos del dibujo son congruentes si AB = DE, AC = DF, y a = d.
A
A
B. Si dos triángulos tienen un lado y dos ángulos adyacentes
60°
correspondientemente congruentes, entonces son congruentes. (ángulo-lado-ángulo, a. l. a.).
60° congruentes
Por ejemplo, los triángulos del60°dibujo son
si
B
D AB =CDE, y
B
C
a = d, b = t.
C
A
80°
B
40°
60°
C
D
rfn
80°
E
40°
60°
F
D. Si dos triángulos tienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor de
ellos correspondientemente congruentes, entonces son congruentes
(lado-lado-ángulo, l. l. a.).
Por ejemplo, los triángulos del dibujo son congruentes si AB = DE,
AC = DF, y también g = e (siendo DE > DF y AB > AC).
55
τ
A
h
h
δ
A
C
B
B
D
α
C
Semejanza de triángulos
δ β
Dos triángulos se dicen semejantes si los tres ángulos de uno de ellos son
iguales a los tres ángulos del segundo.
En los triángulos semejantes, la relación entre dos lados cualequiera
de uno de los triángulos es igual a la Arelación entre los lados
A
correspondientes en el otro triángulo.60°
B
D
A
B
40°
B
C
60°
A
C
r
80°
h
40°
E
B
A
D
h
C
γ
80°
Por ejemplo, el triángulo ABC y el triángulo DEF del dibujo son
DE .
60°
semejantes y por lo tanto, AB = 60°
C
ACB DF
De aquí se sigue también que AB = AC = BC
DE DF EF
F
ε
A
C
60°
B
F
Los triángulos congruentes son también, necesariamente, semejantes.
Tipos de triángulos
El triángulo equilátero es un triángulo cuyos tres lados son de igual
longitud. Por ejemplo, en el dibujo: AB = BC = AC. En este triángulo, sus
tres ángulos son de igual magnitud (60°).
Además, si la longitud del lado de un triángulo equilátero es a, entonces
la altura es a 23 , y su área es a2 43 .
El triángulo isósceles es un triángulo yquextiene un par de lados de igual
y x
longitud. Por ejemplo, en el dibujo: AB = AC.
El tercer lado del triángulo
isósceles se llama base. Los ángulos que se oponen a los lados iguales, son
x
de igual magnitud. Por ejemplo, en elydibujo:
b = g.
El triángulo acutángulo es el triángulo en el que todos sus ángulos son
agudos.
x y
x yz
w en el que uno de sus ángulos es
El triángulo obtusángulo es el triángulo
w z
obtuso.
x y
w z que
triángulo
Triángulo rectángulo es aquel
tieneAuno de sus ángulos
recto (90°). El lado AC (en el dibujo) opuesto al ángulo recto se llama
"hipotenusa", y los otros dos (en el dibujo AB y BC) se llaman "catetos".
rectángulo
"el cuadrado
ySegún
x el teorema de Pitágoras: En un triángulo
γ
β
de la hipotenusa es igual a la suma adeblosBcuadrados de los C
catetos", o sea:
a c bd
AC2 = AB2 + BC2 .
a b
p a b
d
d
ctercer
Con ayuda de esta fórmula, es posiblec encontrar la longitudp del
c d
f
b edos.
lado conociendo la longitud de losaotros
e f
c d
g h
q a b
g h
‫צרפתית‬
e
a
C
En el triángulo rectángulo isósceles, las magnitudes
B
côtédde los ángulos son de
b
45°, 45° y 90°. Los dos catetos son abde igual longitud
d y la hipotenusa es
c
a b 2 veces la longitud del cateto (según el teorema de Pitágoras). Si,
c d
b los catetos es a entonces la longitud de la
a de
por ejempo, la longitud
p
d
b
c d
hipotenusa
en el dibujo es igual a a 2 .
e f
g h
56
q
e
f
g h
A
A
A
30°
2a
a 3
α
α
60°
a
β
γ
A
60°
B
60°
A
β
β
B
B
B
A
A
60°
B
C
γ
γ
γ
β
C
C
D
C
c
C
‫צרפתית‬
‫צרפתית‬
A
‫צרפתית‬
A
‫ספרדית‬
AA
côté
côté
hypoténuse
hypoténuse
hipotenusa
hypoténuse
C
côté
C
côté
cateto
côté
B
B
BB
CC
cateto
côté
f
eg fh
En el triángulo rectángulo que tiene ángulos de 30°, 60°, pyq90°c lad longitud
g h
e f a la mitad de la longitud de la
y cateto opuesto al ángulo de 30° es igual
x del
g Ah
e f
z
q
w hipotenusa.
g h
Por ejemplo, en el dibujo, la longitud de la hipotenusa es 2a y por lo
tanto, la longitud del cateto opuesto al ángulo de 30°
es a. Asimismo,
hypoténuse
côtédel cateto opuesto al ángulo de
según el teorema de Pitágoras, la longitud
60° es igual a a 3 .
c
a
c
A
30°
30°
2a
2a
a 3
a 3
30°
2a 60°
a 60°
a
a 3
‫אנגלית‬
60°
a
A
leg aa
45°
45°
45°
Ba
a 2
hypotenuse
a 2
45°
aa 245°
C
a
leg
a
A
αA
α
45°
‫ב‬
a
Guía
A
b
a
2 b
a+ b
Se llama cuadrilátero a un polígono de cuatro lados. Por ejemplo:
El perímetro del cuadrado es, por lo tanto, (ver dibujo) 4a.
La longitud de la diagonal del cuadrado del dibujo es
Ca
B
b
C
B
b
D
D
a
a
α
A
C
C
D
a
D
aa
D
h2 a
a 2h
a
C
ba
b
a
D
D
A
a
a
C
C
C
C
A A a
D
Daαα
Aα α
D
A
a
h
D
A
β β
β
h β
B B PP
QQh
CCC
B
B
b
B
b
A AA
A
α
iguales
Aα
α
βB B
B
P β
B β P
B A P
A
b
bA h
B
B
B
La altura del paralelogramo es el segmento perpendicular que une dos
lados opuestos o sus prolongaciones.
b
h
B
El rombo es un cuadrilátero que tiene sus cuatro lados de igual longitud.
En el rombo los lados opuestos son paralelos, por lo tanto, puede decirse
que el rombo es un paralelogramo cuyos lados son iguales.
B
a a
a
a
B
D
D
b
b
b
C
C
a
D
A
aa
C
D
a
AC
h
C
C
D
C
a
a
h
a
a
b
D
bD
C
A
h
B
D
CC
a
h
ah
B
B
DD
D
a
b
b
a
Las diagonales del rombo
Puesto que el rombo es un tipo de paralelogramo sus diagonales se cortan
en partes iguales. Las diagonales son además perpendiculares.
a
b
C
C
D
αD
αC
βC
Q
C β
Q β C
Q D C
a
a
A
A
A
El área del paralelogramo es igual al producto de un lado por su altura.
Por ejemplo, el paralelogramo del dibujo el área es a · h.
D
α
A
A
h
B B
El perímetro del paralelogramo del dibujo será 2a + 2b.
B
B
D
b
A
Las diagonales de un paralelogramo se cortan mutuamente en partes
iguales.
El perímetro del rombo del dibujo es 4a.
a
D
El área del cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de su lado.
Por ejemplo, en el dibujo, es a2.
El paralelogramo es un cuadrilátero que tiene sus lados opuestos
y paralelos. Por ejemplo, en el paralelogramo del dibujo:
AB || DC, AD || BC
AB = DC, AD = BC
a
A
a
A a
A A
Aa 2
a
a
a
B
a
B
B
B
B
a2 + a2 = a 2
PARALELOGRAMO Y ROMBO
2
D
b
A
2
AA b2 a b
D
2
2 a
aa
a
a a+
b
2
a
a+2
2 2 +b
aa
a
a
C
B
ba
B B a b C
BB
a b
C
La longitud de la diagonal del rectángulo del dibujo es, (según el
teorema de Pitágoras), a2 + b2 .
El cuadrado es un rectángulo en el que todos sus lados son de igual
longitud.
D
B a
A
El perímetro del rectángulo del dibujo es 2a +2b o 2(a + b).
El área del rectángulo es el producto de las longitudes de dos lados
consecutivos, o sea, en el dibujo, a · b.
a
ba2 +b
RECTÁNGULO Y CUADRADO
El rectángulo es un cuadrilátero que tiene todos sus ángulos rectos.
Los lados opuestos del rectángulo son de igual longitud.
A
b
D
2
CUADRILÁTEROS
B
a
a h
aA
A
57
a
D
a
B
b
A
a+
Área del rombo
a
Puesto que el rombo es una especie de paralelogramo también su área
puede determinarse como producto del lado por la altura de dicho lado. BA
Por ejemplo en el rombo del dibujo el área es a · h.
Asimismo, se puede calcular el área del rombo como la mitad del
a
producto de las longitudes de sus dos diagonales. Por ejemplo, el área del A
bb
CD
2
2 b
a +b
a
D
a2 b2
a b+
TRAPECIO
a
B
2
a b
El área del trapecio es igual a la mitad del producto de la altura por la
suma de las bases.
Por ejemplo en el dibujo, el área del trapecio Ses= h $ ]a2+ bg
aA
2
aa
aD
BaA
a2
aa
D Ca
h
B
D
β
C
C
P
A
Cβ
Q
C
D
D
a
A
CD
b
A
h
CC
a
a
A
b
h
A
B
b
h
a
a
C
A
a
D
b
a
C
P
b
A
D
b
a
B
D
b
a
C
h
D
a
a
a
a
Q
b D
α
DDβ
α
Q
C
B
a
C
A
A
Pα
B
aa
B
A
D
αD
a
de sus diagonales. Por ejemplo, la superficie del romboide del dibujo es
AC $ BD .
2
h
a
P
A
α
BB
C
D
bh
B
b
La diagonal que une los vértices de los dos triángulos isósceles corta por
el punto medio a la diagonal que es la base de estos dos triángulos y es
perpendicular a ella.
A partesbiguales D
B
Por ejemplo, en el dibujo AC corta a BD en dos
y es
perpendicular a BD. AC ⊥ BD
2
El área del romboide es igual a la mitad delBproductob de las longitudes
C
C
ab
A
A
α
El romboide es el cuadrilátero que se forma al unir por la base dos
triángulos isósceles.
Por ejemplo, en el dibujo, el romboide ABCD está compuesto por los
triángulos isósceles ABD y BCD (CB = CD , AB = AD).
El perímetro del romboide del dibujo es 2a + 2b.
a
A
ROMBOIDE
b
a C
D
C
B
Trapecio rectángulo es un trapecio tal que uno de los ángulos de su base
mayor es recto (y, también, por supuesto, uno de los ángulos de su base
menor).
2
Ca
a
a
B
a+
D
A
B
Trapecio isósceles es un trapecio en el que los lados no paralelos son
β
iguales. Por ejemplo, en el dibujo AB = DC.
BB
En un trapecio isósceles, los ángulos de la base mayor son iguales entre
sí y los ángulos de la base menor son iguales entre sí. Por ejemplo, en el
dibujo, «ABC = «DCB = β, «BAD = «CDA = α.
β
Un trapecio isósceles puede dividirse en un rectángulo y dos triángulos B
rectángulos congruentes trazando las alturas desde los extremos de la
Bβ
base menor a la base mayor.
B
Se obtiene un rectángulo y dos triángulos rectángulos ABP y DCQ
congruentes.
a
B
a
A
Ba
La altura del trapecio es la longitud de un segmento perpendicular a las
bases y que une una a la otra.
58
2
b
2
rombo del dibujo es: AC2$ BD .
El trapecio es un cuadrilátero que tiene solamente un par de lados
paralelos. Los lados paralelos se llaman bases del trapecio. Puesto que las
bases no son iguales, hablamos de "la base mayor" y de "la base menor"
del trapecio.
B
D
CA
α
h
A
h
a
D
aa
C
a
D
a
C
a
a
B
A
Guía
Examen psicométrico deaingresoa a las universidades
b
B
b
A
POLÍGONO REGULAR
D
B
b
b
C
α
C
b
2
Un octágono regular esaun polígono
regular
2 b
a de 8 lados.
a+
Un pentágono regular es un polígono regular de 5 lados.
Un cuadrado es un polígono regular de 4 lados.
C
B
b
Un triángulo equilátero es unApolígono
a regular
D de 3 lados.
Se puede calcular la magnitud del ángulo interior a de
2 un
a
a
D
polígono regular de n lados, mediante la A
fórmulaa siguiente:
c
180cn − 360c k
α = a180c − 360
n k=a
n
a
a
B 2
a
B
c = 120c
de cada uno de sus ángulos interiores es 120°, pues, α = 180c − 360
6
a
B
C
LA CIRCUNFERENCIA, EL CÍRCULO
a
A
B
βB
b
b
α
β
C
a
D
a C
h
A
D
A
α
A
A
α B
β
α
A
B
A
α
β
B
α
A
B
β
α
B
β
A
B
β
xº
α
r
r
xº
r
B
r
A
B
B
A A
β
D
Ángulo central es el ángulo cuyo vértice está en el centro
A de la
B circunferencia.
circunferencia y cuyos lados son radios de la
a
aC El ángulo
h
central equivale al doble del ángulo inscripto
B que se apoya sobreDel
mismo arco. Por ejemplo, en el dibujo, a es el ángulo
central y b el
aA a
a
ángulo inscripto que se apoyan sobre el mismo
a A arco AB,
a y porDlo tanto,
C
h
a = 2b.
B
D
b
a
B
B
β
Un ángulo inscripto es un ángulo cuyo vértice bes un punto
b
h
del perímetro de la circunferencia y sus Blados son cuerdas de la C
ab
A
D
circunferencia.
C
B
a
Ángulos inscriptos que están apoyados sobre
un
mismo
arco
son de igual
b h
b
D
A
magnitud.
α ángulosαinscriptos
Por ejemplo, en el dibujo, los ángulos a yBb son
C
a
apoyados sobre un mismo arco AB, y por loβ tanto son iguales
a = b.
β
Un ángulo inscripto que se apoya sobre Bel diámetro,
(es decir,
apoyado
P
Q
C
sobre un arco de medio giro) es un ángulo recto.
Ángulo central
D
α
h
2
Ángulo inscripto
A
B
a
P
D
D
2 b
a con un punto
Radio es el segmento que une el centro de
a la circunferencia
aa+
BA
C
D
cualquiera de su perímetro.
b
Cuerda es un segmento que une dos puntos
de
C la
B del perímetro
b h
circunferencia.
B
C
D
A la circunferencia.
Diámetro es una cuerda que pasa por el centro de
La
αb
longitud del diámetro es el doble de la longitud del
radio. αSi indicamos la
a
D diámetro
longitud del radio por medio de r, entonces,A laβ longitud
del
es 2r.
β
D
A
El perímetro de una circunferencia de radio
π es
B r es P2πr (el valor
Q de C
α
α
2
aproximadamente 3.14).
a
a
a
El área del círculo de radio r es πr2.
β
β
B
P
Q
C de sus
Una parte del perímetro de la circunferencia
que está
entre
dos
Aa
B
C D
puntos se llama un arco.
Una parte del círculo que está entre dos radios y un arco se llama sector
B
C
circular o simplemente sector.
A
D
A
AA
a
C
a
α
a
Por ejemplo, en el dibujo se muestra un hexágono regular. La magnitud
A b
C
b
2
2
b
D
P
a igual
a sus lados
a+
Polígono regular es el polígono tal que todos
son de
b magnitud.
D
longitud y todos sus ángulos interiores A
son de igual
Por ejemplo:
D
P
αA α
β
B B
β
α
B
b
h
a
C
a
C
xº
r
r
59
A
B
a
A
D
2
a
a
a
B
a
B
β
A
A
P a
C
BA
Longitud del arco
α
α
D
bα
A
Bα
Pa
A
a b
2
C
B
β B
Qa C
α
DD
β
A
bD
a
a
Dos puntos cualesquiera A y B, sobre una circunferencia
determinan
dos
a
C
arcos. Por ejemplo,
en elDdibujo, uno corresponde
al
ángulo
central
a
y
A
B
C
B
a
C
b
el otro Acorresponde
al ángulo
central
b.
El
arco
más
corto
AB
es
el
que
hD
corresponde al ángulo
más pequeño, a.
A
2
C
α
+b la circunferencia
a
a arco
Si r es aelBradioa2 de
la longitud
A de este
D 2πrB$ 360 .
β es
α
b
b
C
B sector
b circular
Área del
a
hA
β
a
2
A
D
Tangente
a circunferencia
B a una
C
A
B
β
P
β
C
β
β Q
A
r
C
B
A
B
C
β
α
r
AB
β
A
Aa
D
h
B
C
b C
B
xº
A
A
D
r β
aC
D
Un polígono inscripto en una
circunferencia es un polígono
cuyos
A
vértices seb encuentran sobre
el
perímetro
de
la
circunferencia.
a
a
b
h
Triángulo
B inscripto
a
h
B
C
a
a
A
a
h
B
C
b
A
60
D
a
a
C
B
D
No todo cuadrilátero puede ser inscripto en una circunferencia.
β
En un cuadrilátero inscripto en una circunferencia la sumaαde los ángulos
B
opuestos vale siempre 180º. Por ejemplo, en el cuadrilátero del dibujo:
A
a + g = 180ºa
a
b + d = 180º h
B
α
a
D
r
C
Todo triángulo puede inscribirse en una circunferencia.
xº
Todo triángulo tiene una única circunferencia que lo circunscribe.
r
Si el triángulo fuera rectángulo puede ser inscripto en una
circunferencia que tiene por centro el punto medio de la hipotenusa.
Cuadrilátero inscripto en una circunferencia
B
B
a
Polígono inscripto
en auna circunferencia
A
r
r
α
D
C
B
β
α
B que
Un polígono que circunscribe
una circunferencia es un polígono
tal
A
a
a
todos susBlados son tangentes a la circunferencia.
β
h
a
α
C
Polígono que circunscribe una circunferencia
B
A
B
α
B
β se cortan
Dos rectas tangentes
misma circunferencia y que
en un
B
b aa una C
r
punto son también dos tangentes a la circunferencia
que
salen
de
un
a
A
xº D
mismo punto. La longitud
de
cada
una
de
las
tangentes
es
la
longitud
del
D
α
A
r
segmento que
une
el
punto
de
intersección
de
las
dos
rectas
con
su
punto
b h
b
α
α
de tangencia. Las tangentes a la circunferencia que salen de un mismo
β de igual longitud.
β Por ejemplo, en el
C punto de
B dibujo, A
a es el
punto son
B
P
Q
C de tangencia, por lo tanto, AB = AC.
intersección, B y C son puntos
A
A
βxº
r
A
α
α
B
B circunferencia
C es una recta que tiene como intersección
Tangente a una
con la circunferencia un único punto. Dicho punto se llama "punto
A (en el punto de
de tangencia". Elaángulo entre la tangente y el radio
a
a
A
a
D
A ángulo
D recto. D
tangencia)Aes un
h
B tangente a la circunferencia
D
Por ejemplo, en el dibujo
la recta a es una
de
h
b h
b
B
C
a
aA
radio r.
B
α
Db
D
Bα
A
A
α
a
B
β
El sector
es la
de círculo BencerradaaentreCdos radios y un
C
arco. Por ejemplo, el sector sombreado enBel dibujo es el sector circular
β
β
b
cuyo ángulo
central
deDx°.
a
A
B
P
Q
C
2 x
El área del sector circular es πr $ 360 .
a
B
hα
D
α
porción
A
α
circular
α
A
a
Guía
a
Cuadrilátero que circunscribe una circunferencia
a
d
b
No todo cuadrilátero puede circunscribir una circunferencia Si un
cuadrilátero circunscribe a una circunferencia la suma de cada par de
lados opuestos debe ser de igual longitud. Por ejemplo, en el cuadrilátero
del dibujo, a + c = b + d
Cuando el cuadrilátero que circunscribe una circunferencia es un
cuadrado, la longitud del lado del cuadrado es igual al diámetro de la
circunferencia.
a
d
b
d
c
b
c
c
a
d
b
FORMAS TRIDIMENSIONALES (CUERPOS)
ca
Caja y cubo
Una caja es un cuerpo tridimensional con seis caras rectangulares. Las
tres dimensiones de la caja son el largo, el ancho y la altura (a, b y c en
correspondencia con el dibujo).
Cada cara es perpendicular a las contiguas.
El área de la caja es la suma de las áreas de cada una de sus caras.
El área de la caja del dibujo es ab + ac + bc + ab + ac + bc =
2ab + 2ac + 2bc
c
d
b
a
El área de la superficie total del cilindro es la suma de las áreas de
las dos bases más el área de la superficie lateral. El área de cada una de
las bases es πr2 y el área de la superficie lateral es 2pr · h, el área de la
superficie total será, entonces, 2πr · h + 2πr2 = 2πr · (h + r).
El volumen del cilindro es el producto del área de una de sus bases por
la altura; es decir: πr2 · h.
II
d
d
a
d
d
d
3
2
1
c
db
b
d
-4
-3 -2
III
c
h
d
-4
b
h
h
r
r
-1 -
-3
a d
d
r
-1
-2
-4
c
-4
d
d
d
h
c
h
b
a h
-4
m
r
h
-4
r
r
-3 -2
h
r d
r
d
d
-
h
r
h
h
r
r
-4
Cono
Un cono recto es un cuerpo tridimensional que se forma al unir todos los
puntos de una circunferencia con un punto exterior al plano de ésta.
Dicho punto se llama vértice del cono y está sobre una recta
perpendicular al plano de la circunferencia y pasa por su centro (ver
dibujo).
2
El volumen del cono de base de radio r y altura hVes= πr 3 $ h .
4
B
a
d
d
y
b
b
d
Cilindro
El área de la superficie lateral del cilindro de base de radio r y de altura
h es el producto del perímetro de la base por la altura del cilindro, o sea,
2πr · h.
c
a
El cubo es una caja en la que largo, alto y ancho son de igual longitud.
En el cubo las superficies de las caras son iguales entre sí.
Un cilindro recto es un cuerpo tridimensional que posee dos bases
que son círculos congruentes y se hallan en planos paralelos y una
envoltura que une las bases. La línea que une los centros de las bases es
perpendicular a cada una de ellas.
c
a
El volumen de la caja es el producto del largo por el ancho por el alto. El
volumen de la caja del dibujo es a · b · c
El área de cada cara del cubo del dibujo es d2 y, por lo tanto, área del
cubo es 6d2 y su volumen es d3.
b
c
h
r
61
-3 -2
h
r
h
r
Prisma
El prisma recto es un cuerpo tridimensional cuyas dos bases son
polígonos congruentes que se encuentran en planos paralelos y cuyas
caras son rectangulares. Todo prisma recibe su nombre de la forma
de la base. Por ejemplo, el prisma triangular es el prisma cuya base
es un triángulo; un prisma cuadrilátero es un prisma cuyas bases son
cuadriláteros, etc. (ver dibujos).
La altura del prisma es la longitud del segmento que une las bases y
que es perpendicular a ellas. Es decir, es la distancia entre las bases del
prisma.
El área de la superficie lateral del prisma es la suma de las áreas de
las superficies de todas las caras laterales del prisma. Se calcula también
como el producto del perímetro de la base por la altura.
El área de la superficie total del prisma es la suma de las áreas de las
dos bases más el área de la superficie lateral.
El volumen del prisma es el producto del área de una de sus bases por la
altura del prisma.
Pirámide
La pirámide recta es el cuerpo tridimensional que resulta de unir los
vértices de un polígono regular cualquiera con un punto que no pertenece
al plano del polígono y que se llama el "vértice de la pirámide". El
polígono se llama "base de la pirámide".
Las caras laterales de la pirámide son triangulares. Cada pirámide recibe
su nombre del número de ladosa de su base. Así, se habla de pirámides
triangulares cuando la base es un triángulo, pirámides cuadriláteras,
d
cuando su base es un cuadrilátero,
etc.
a
b (ver dibujos).
c longitud
La altura de la pirámide
del segmento que une el vértice
d es la
b
de la pirámide con la base y que es perpendicular a ella. Es decir, es la
c
distancia entre la base de la pirámide
y su vértice (ver dibujo).
h
Si S es el área de la base de la pirámide y su altura es h, entonces, el
volumen de la pirámideVes= S3$ h
h
Arista
c
La arista de un cuerpo tridimensional
es una línea recta formada por
la intersección de dos caras. En la pirámide
del dibujo, el segmento
b
a
y
destacado es una de sus aristas. c
La caja tiene 12 aristas.
II
b
a
d
-4
d
d
III
y
r
r
III
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y
A
I
42
-1
2
1-1
-2
-1-3
1
1
2
2
3
4
A
IV
3
4
y
A
x
x
42
31
-4
-3 -2
-1
-4 -3 -2 -1
IV
-2-4
4
3
A
31
-4 -3 -2 -1
h
62
-3 -2
-3
I
3
B
d d
-4
4
IIB
d
-5
B
2
1-1
-2
-1-3
-2-4
-3
B
-4
h
-3
-4
y
k
y
Guía
EL EJE DE LOS NÚMEROS
h
El eje de los números permite dar una presentación geométrica de las
relaciones entre los números.
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Los números sobre el eje crecen cuando se aavanza de izquierda a derecha.
La distanciay entre dos puntos sobre eld eje numérico es proporcional a la
b
II
I
y
a
diferencia
4entre los valores numéricos que corresponden a los puntos.
Por ejemplo,
corresponden
a los valores
4
3 la distancia entre los puntos que
A
c
B y (-2) es igual a distancia entre
d
(-4)
los
puntos
que
corresponden
a los
b
3
2
A
valores 3 y1 5.
2
-4
-3 -2
-1
1
2
3
4
x
c
Sistema -1de ejes cartesianos
III
-4
IV
-2
h
1
-3 -2
-1
-1
1
2
3
4
x
En un sistema de ejes cartesianos en el plano hay dos ejes numéricos ortogonales. El eje horizontal h
-2
-3
o de abscisas se denomina el eje x, y el eje vertical o eje de ordenadas se denomina eje y. En el eje
-3
-4
-5 -4 se
-3 -2
x los números crecen cuando se avanza hacia la B
derecha y en el eje y los números crecen cuando
-4
avanza hacia arriba.
c
Los dos ejes dividen al plano en cuatro cuadrantes que se numeran
-5 -4 -3 -2 -1
como en el dibujo con números romanosa I, II, III by IV. y
y
k
y
c
II
4
Cada punto del 4plano se corresponde
con unbpar de valores
x e yE
a
3
que describen la3 posición en relación a los ejes.
II
d A es 4,
2 y su valor y
Pormejemplo, en2el dibujo, el valor x del punto
F
es 1. El valor x del
punto B es (-3) y el valor y des 2. 1
1
d un
x
-4 punto
-3 -2 dando
-1
1 2par3 4
Se conviene
de
un
-4 -3 -2 indicar
-1
1las2 coordenadas
3 4
-1
1
-1
d valor de x se halla a la
de valores entre paréntesis de modo que el
III
-2
-2
izquierda del valor
de y, así: (x , y).d A veces se indican los valores-4 -3 -2 -1
-3
-1
del punto junto-3a la letra que lo representa; por ejemplo, el punto
-4
III
-2
-4 , 1) y el punto B, B(-3 , 2).
h
A se indicará A(4
I
2
2
2
3
A
1
3
-3 -2
2
1
1
4
3
4
B
x -4
d
y
0
0
I
4
B
-1
-1
1
-1
2
A
IV
x
4
-2
1-3 2
-4
3
3
A
x
4
-4
-4
IV
-3
-3 -2
-1
-
-3
A veces se llama a los valores del punto (xr ,h y) "coordenadas del
y
punto".
El punto del plano que corresponde al
r (0 , 0) es el punto
4
de intersecciónD de los ejes y se
llama
"origen de los ejes
C
3
coordenados".
1
B
-4
y
m
k
2
-4
-3 -2
2
-1
1
-4
-3 -2
-1
4
1
3
m
y
3
4
-2
-3
k
4
y
h
Por ejemplo, en el dibujo la recta k es paralela al eje y y por lo
r
-4
tanto, todos los puntos de la recta k tienen el mismo valor x. (En el
dibujo es x = 1.5)
-
-
2
Todos los puntos sobre la recta paralela al eje x tienen el mismo
x
-2 -1 los puntos
1 2 3sobre
4
valor-4y, -3y todos
la recta paralela al eje y tienen el
-1
h
mismo valor x.
r
-
3
1
-1
2
3
-4
1-3 2
3
4
x
-4
-3 -2
-4
-2
-2
y
4
C
y D3
2
4
1
D3
-3 -2
2
1
-4
-3 -2
-1
-1
-1
-4
-4
-4
-1
-3
-3
La recta m es paralela al eje x, y por lo tanto, todos los puntos de
la recta m tienen el mismo valor y. (En el dibujo es y = 2.5)
-3 -2
2
1
-2
-1
4
x
-1
-1
C
1
2
-2
1-3 2
3
4
3
x
4
x
63
-5
c
c
a
a
-4
-5
-3
-4
-2
-3
-1
-2
0
-1
1
0
2
1
3
2
5
4
5
b
y
y unaIsola recta.
II
Por dos puntos cualesquiera del plano pasa
4
II
La parte de esa recta que está entre dos puntos seI llama segmento.
b
y
A
A
34
B
3
2
dSi el segmento es paralelo al ejeBy, su longitud
es la diferencia
A
2
1
d
d
valor absoluto) entre los valores y de los1puntos.
A
x
d
d Por ejemplo,
-4 segmento
-3 -2 -1 AB es
1 para
2 3lelo
4 al eje y.
en el dibujo, el
x
d
-4 -3 -2 -1-1
1 2 3 4
(en
y
34
12
-4
-3 -2
-4
1
-1
-3 -2
-1-1
-2-1
B
B
-3-2
-4
h
4
23
El valor y del punto A es 4 y el valor y del
punto B es (-3).
III
IV
-2-1
La diferencia entre ambos en valor
absoluto
es 4IV
- (-3) = 7 y por
III
-3-2
lo tanto, la longitud del segmento AB es-37.
r
4
3
-4
Análogamente
se calcula la longitud de un segmento paralelo al
h
eje x.
1
2
1
3
2
x
4
3
4
-4-3
-4
r
Si el segmento no es paralelo a ninguno de losy ejes (por ejemplo,
k
el segmento EF del dibujo), se puede calcular su
y longitud
k
4
utilizando el teorema de Pitágoras: se dibuja un triángulo
34
m
rectángulo cuya hipotenusa es dicho
segmento, y sus catetos son
23
m x e y.
hsegmentos paralelos a los dos ejes,
12
h longitud del cateto paralelo al eje x equivale
La
a la diferencia
1
x
entre los valores x de los dos puntos
E
y
F
(4
–
2
-4 -3 -2 -1
1 = 22), 3 y la
4
r
x
-3 -2 -1-1a la diferencia
1 2 3 4 de los
longitud
del cateto paralelo al eje -4
y equivale
r
-1
-2
valores y de los puntos E y F (3 – 1 = 2). Con
ayuda del teorema
-3-2
de Pitágoras se puede calcular, por lo tanto, la longitud de la
2
-4-3
2
hipotenusa: EF = 2 + 2 = 8
4
y
C
C
D 34
D2 3
12
-4
-4
-3 -2
-3 -2
-1
1
-1-1
-2-1
-3-2
-4-3
-4
64
4
1
2
1
3
2
x
4
3
4
x
y
E
E
34
23
F
F
12
-4
-4
-3 -2
-3 -2
-1
1
-1-1
-2-1
-3-2
-4-3
-4
-4
y
y
1
2
1
3
2
x
4
3
4
x
x
Guía
PREGUNTAS Y PROBLEMAS
Las preguntas del área de álgebra tratan de un cierto número de temas tales como: resolución de
ecuaciones, problemas de camino recorrido y de rendimiento, combinatoria, probabilidad, etc.
Las preguntas de geometría tratan de características de figuras geométricas como superficies,
volúmenes, ángulos, etc. Algunas de las preguntas son verbales, y en ellas hay que traducir
primeramente el problema a términos matemáticos; otras son preguntas no verbales en las que el
problema está expresado desde un principio en términos matemáticos. A continuación ofrecemos
preguntas de ejemplo, acompañadas de sus soluciones y explicaciones.
Presten atención: los ejemplos de esta guía están clasificados según las clases diferentes de
problemas, pero el examen no está dividido de esta manera.
PREGUNTAS VERBALES DE ÁLGEBRA
1. Un conductor viajó de Haifa a Eilat. Un tercio del camino lo recorrió a una velocidad de
75 km/h. Un quinto del resto del camino lo recorrió en una hora, y el tramo restante lo recorrió
a una velocidad de 80 km/h. La distancia entre Haifa y Eilat es de 450 km. Si hubiera viajado a
una velocidad constante a lo largo de todo el recorrido, ¿cuál debería haber sido esa velocidad
para que el viaje entre Haifa y Eilat le insumiera el mismo tiempo?
(1)
(2)
(3)
(4)
70 km/h
75 km/h
80 km/h
90 km/h
Esta pregunta está presentada en forma verbal, y por lo tanto, primeramente hay que traducirla
a términos matemáticos. Primero, definan qué es lo que se debe averiguar: o sea, la velocidad
a la que hay que viajar para recorrer la distancia entre Haifa y Eilat en el mismo tiempo que le
insumió al conductor de la pregunta.
Siendo así, se trata de un problema de recorrido, y se puede aplicar la fórmula que vincula
distancia con velocidad y con tiempo: v = st , pues la distancia (s) está dada y el tiempo (t) se
puede calcular, mientras que la velocidad (v) es la incógnita que hay que despejar.
Se anuncia en la pregunta que la distancia entre Haifa y Eilat es de 450 km.
El tiempo total en el que el conductor debía recorrer toda la distancia entre Haifa y Eilat se
puede calcular así:
El camino está dividido en la pregunta en tres segmentos. Veamos en cuánto tiempo el conductor
recorrió cada uno de ellos:
A. Un tercio del camino son 150 km pues 450 $ 13 son 150 km. Este segmento del camino lo
recorrió el conductor en dos horas, pues es lo que se requiere para recorrer 150 km a una
= 2l.
velocidad de 75 km/h b 150
75
B. Un quinto del resto del camino son 60 km. Esto se puede calcular sabiendo que la longitud
del resto del camino es 450 – 150 = 300 km, y 15 de 300 km son 60 km. Se informa en la
pregunta que el conductor recorrió este tramo del camino en una hora.
C. El resto del camino son 240 km, pues 450 – 150 – 60 = 240. Este tramo lo recorrió el
conductor en tres horas pues se requieren tres horas para recorrer 240 km a una velocidad
de 80 km/h.
Es decir que el viaje desde Haifa hasta Eilat insumió un total de 6 horas (dos horas más una hora
más tres horas). Ahora se puede calcular la velocidad constante a la que hay que recorrer los
450 km para recorrerlos en 6 horas, reemplazando los datos en la fórmula: t = 6 ; s = 450 km ;
v = st = 450
6 = 75 . O sea: la velocidad v = 75 km/h y la respuesta correcta es la (2).
65
2. A los diez días de vida un elefantito comió 5 caramelos. A partir de entonces su apetito creció y
cada día comió dos veces el número de caramelos que comió el día anterior.
¿Cuántos caramelos comió en el día 14 de vida?
(1) 40
(2) 80
(3)100
(4)120
En su décimo día de vida el elefantito comió 5 caramelos. Puesto que de aquí en más comerá
cada día 2 veces el número de caramelos que comió el día anterior, en su día 11 de vida, comerá
10 caramelos (5 · 2); en el día 12 de vida comerá 20 caramelos (5 · 2 · 2), y así sucesivamente.
En general, si n es un número entero positivo, entonces, en el día (10 + n) de vida el elefantito
comerá 5 · 2n caramelos. Por lo tanto, en el día 14 de vida comerá 80 caramelos (5·24 = 80),
y la respuesta correcta es la (2).
3. En el marco de un menú de almuerzos de trabajo, en un restaurante se puede elegir uno de 3
platos de entrada y uno de 4 platos principales diferentes. Además de la entrada y del plato
principal, se puede optar, como plato adicional, entre una sopa o un postre. ¿Cuántas
posibilidades diferentes de almuerzo de trabajo de 3 platos se pueden formar en ese restaurante?
(1)12
(2)14
(3)18
(4)24
Hay tres posibilidades para la elección de la entrada, y por cada una de las entradas se puede
combinar uno de los cuatro platos principales. Es decir, hay 3 · 4 combinaciones diferentes
de entrada y plato principal y a cada una de las 12 combinaciones se le puede agregar o sopa
o postre, es decir 12 · 2, o sea, 24 combinaciones diferentes de una comida de 3 platos. Por lo
tanto, la respuesta correcta es la (4).
4. Un estudiante recibe su primer título sólo si pasa todos sus exámenes y presenta todos sus
trabajos. De 300 estudiantes, 250 pasaron todos los exámenes y 215 presentaron todos los
trabajos. ¿Cuántos estudiantes recibieron su primer título?
66
(1) Por lo menos 215
(2) A lo sumo 185
(3) Exactamente 215
(4) Por lo menos 165
Guía
Se pueden definir dos conjuntos de estudiantes: el conjunto de los estudiantes que pasaron
todos los exámenes y el conjunto de los estudiantes que presentaron todos los trabajos. Todo
estudiante que se encuentre a la vez en ambos conjuntos se ha hecho acreedor al título. El
grado de coincidencia de los dos conjuntos es desconocido, pero hay dos situaciones extremas
posibles que representaremos en un dibujo:
‫ספרדית‬
‫צרפתית‬
- En el caso de coincidencia máxima entre los dos conjuntos
de estudiantes, el número de acreedores al título será300
también máximo.
La coincidencia máxima se producirá si los 215 estudiantes que
entregaron todos los trabajos han pasado tambiénseront
todos los exámenes.
reçus
Es decir, 215 estudiantes a lo sumo pueden recibir título.
- En el caso de una coincidencia mínima entre los dos
215 conjuntos de
estudiantes, el número de acreedores al título será mínimo.Cincuenta
250
(50) estudiantes, (300 – 250), no son acreedores al título
300 por no haber
50 son165
85
pasado todos los exámenes, y 85 (300 – 215) no
acreedores
al
título por no haber presentado todos los trabajos. Es decir, el número
seront
de estudiantes que no son acreedores al título debido
a -por lo menosreçus
una de las causas es, 50 + 85 = 135. Este es el número máximo de
estudiantes no acreedores al título. Por lo tanto, el215número mínimo de
acreedores a título es 300 – 135 = 165, es decir, por lo250
menos 165
estudiantes son acreedores al título.
‫אנגלית‬
300
300
acreedores
al título
entitled to
a degree
215
215
250
250
300
50
300
165
85
50
165
acreedores
al título
entitled to
a degree
215
215
250
250
Siendo así, el número de acreedores al título puede fluctuar entre 165 y 215. Por lo tanto, la
respuesta correcta es la (4).
A
B
C
‫ م‬400
A
‫ م‬300
C
‫ م‬100
5. Una fábrica que trabaja a un ritmo constante produce 20 automóviles
‫ م‬700 en 4 días. ¿Cuántos
automóviles es posible fabricar en tres fábricas similares, que trabajan al mismo ritmo, en 6
días?
(1) 60
(2) 80
(3) 90
(4)120
C
‫ م‬300
Esta es una pregunta de rendimiento. Uno de los caminos para dar respuesta a preguntas de
este tipo es encontrar el rendimiento de una unidad de producción (en este caso de una fábrica)
en la unidad de tiempo (en este caso un día) y luego multiplicar por el número de unidades
A
B
de producción (3 fábricas) y por el número de unidades de tiempo requeridas (6 días). Si la
fábrica produce 20 automóviles en 4 días, produce 5 automóviles
‫ م‬400 por día a 204 = 5k. Por lo
tanto, 3 fábricas en 6 días producirán 5 · 6 · 3 automóviles, o sea, 90 automóviles, y la respuesta
correcta es la (3).
A
B
400 M
700 M
C
A
A
300 M
C
100 M
cjjndtncndetn jndtne !3@
cjjn
C
67
6. En una caja había 20 sombreros blancos y 13 sombreros negros. Jorge extrajo al azar de la caja
tres sombreros uno tras otro sin restituirlos a la caja, y los tres sombreros extraídos resultaron
negros.
¿Cuál es la probabilidad de que el cuarto sombrero extraído al azar sea también negro?
(1) 13
33
(2) 10
33 (3) 13
1
(4) 33
Deben ustedes calcular la probabilidad de que Jorge extraiga un sombrero negro, luego de haber
extraído con anterioridad otros tres sombreros negros. La probabilidad de ello está dada por el
número de sombreros negros que quedaron en la caja dividido por el número total de sombreros
restantes (blancos y negros) en la caja. Por lo tanto, luego de haber extraído tres sombreros
negros, quedan en la caja 10 sombreros negros y 20 blancos. Es decir, de 30 sombreros en la
caja, 10 son negros. Por lo tanto, la probabilidad de que Jorge extraiga un sombrero negro es de
10 , o sea, 1 , y la respuesta correcta es, por lo tanto, la (3).
30
3
68
Guía
PREGUNTAS NO VERBALES
1. Dato: 2x · 2y = 32
x+y=?
(1)8
(2)7
(3)5
(4)4
Según las reglas de la potenciación, en el producto de potencias de igual base se pueden sumar
los exponentes, de modo que 2x · 2y = 2x+y. Según el dato 2x+y = 32. Para poder encontrar el
valor de la expresión x + y, expresaremos 32 como una potencia de base 2 así: 25 = 32. Por lo
tanto 2x+y = 25. Dado que si dos potencias de igual base son iguales, sus exponentes también son
iguales, concluiremos que x + y = 5.
La respuesta correcta será entonces la (3).
2. El promedio de tres números x, y, y z es x · y.
z=?
(1) 3 · x · y – x – y
(2)
x · y – x – y
(3) 3 · x · y + x + y
(4) 3 · x · y – (x – y)
El promedio es la suma de los términos dividida por el número de términos. Por lo tanto, la
media aritmética de x, y, y z es
x+y+z
.
3
Pongamos los datos del problema en una ecuación:
x+y+z
= x$y
3
Multiplicando ahora por 3 a ambos lados de la igualdad resulta:
x + y + z = 3 · x · y
Y despejando z: z = 3 · x · y – x – y.
La respuesta correcta es entonces la (1).
69
3. Para dos números a y b cualesquiera se ha definido la operación $ del siguiente modo:
$ (a , b) = a · (a + b)
$($(2 , 0), 1) = ?
(1)20
(2)12
(3)10
(4) 4
En la expresión $($(2 , 0), 1), cuyo valor se debe encontrar, a = $(2 , 0) y b = 1.
Según la definición de la operación $($(2 , 0), 1) = $(2 , 0) · ($(2 , 0) + 1)
Siendo así, para calcular el valor de la expresión buscado hay que calcular primeramente
$(2 , 0).
Según la definición de la operación $(2 , 0) = 2 · (2 + 0) = 4.
Reemplazando el valor obtenido para $(2 , 0) en la expresión buscada obtendremos
$($(2 , 0), 1) = $(4 + 1).
Según la definición de la operación $(4 , 1) = 4 · (4 + 1) = 20, y la respuesta correcta es la (1).
4.Dato:B < C
B<D<A
¿Cuál de las siguientes opciones es necesariamente cierta?
(1)
C<D
(2)
D<C
(3)
C<A
(4) Ninguna de las opciones anteriores es necesariamente cierta
De los datos no se puede inferir nada sobre las relaciones de las magnitudes entre C y A y D.
Tres situaciones son posible según los datos:
i. B < C < D < A
ii. B < D < C < A
iii.B < D < A < C
La opción (1) es cierta en el caso i, pero no es cierta los casos ii y iii. La opción (2) es cierta
en el caso ii y iii, pero no en el caso i. La opción (3) es cierta en los casos i y ii, pero no en el
caso iii. Por lo tanto, cada una de las opciones presentadas puede ser cierta en algunos casos y
falsa en otros. En consecuencia ninguna de las opciones (1) - (3) es necesariamente cierta y la
70
Guía
5. K es un número par y P es un número impar.
¿Cuál de las siguientes proposiciones no es cierta?
(1)
P – K – 1 es un número impar
(2)
P + K + 1 es un número par
(3)
P · K + P es un número impar
(4)
P2 + K2 + 1 es un número par
Analicemos cada una de las proposiciones:
(1)
(2)
(3)
La diferencia entre un número impar (P) y un número par (K) es impar. Por lo tanto
P – K es impar y si le restamos 1 obtendremos un número par. Por lo tanto, (P – K – 1) es
un número par y la proposición de (1), por lo tanto, no es cierta.
La suma de un número impar P más un número par K es impar, de modo que
P + K es impar y si le sumamos 1 al impar obtenido, obtendremos un número par. Por lo
tanto, (P + K + 1) es par y la proposición de (2) es cierta.
El producto de un número par por un número entero cualquiera es par, por lo tanto,
P · K es siempre par. Si a eso le sumamos el número impar P, obtenemos un número
impar. P · K + P es en consecuencia impar y la proposición de (3) es cierta.
El cuadrado de un número impar (P2) es impar, pues es el producto de impar por impar
(P · P); y el cuadrado K2 de un número par es par, pues es el producto de par por par
(K · K). La suma de los dos cuadrados, (P2 + K2) será impar, pues es la suma de un par
más un impar, por lo tanto, cuando le sumemos 1, obtendremos un número par. P2 + K2
+ 1 es por lo tanto un número par y la proposición (4) es cierta.
(4)
En la pregunta se nos ha pedido indicar la proposición que no es cierta, por lo tanto la respuesta
correcta es la (1).
71
D
0
'‫ מ‬8
'‫ מ‬1
GEOMETRÍA
C
B
1. En el dibujo que les presentamos hay un trapecio rectángulo (AD || BC).
Según estos datos y los datos del dibujo ¿cuál es el área del trapecio (en m2)?
]
g
2
B
B
2
12 v
a=?
C
D
D
C
8v
A AB
2β
B
C
B
A(0,3)
(x,y) (11,4)
‫م‬8
α
‫ م‬12
A
B
‫م‬8
a
E
α
C‫ م‬12
D
B
x
β
B(4,3)
D
C
‫ م‬10
(1)60°
(2)45°
(3)30°
(4)25°
B
(1,4)
1.5a
B
y
A
‫ م‬10
C
C
v
v
C
A
‫ م‬12
10
10
C
B
β y los datos del dibujo,
Según estos datos
B
D
y
2. ABC es un triángulo rectángulo y ABD es un triángulo isósceles (AB=AD).
12 v
A
E
10 − 8 = 6
Despejando EC : EC = DC − DE
La longitud de la base mayor es entonces 18 m, (12m + 6m).
^12 + 18h $ 812 v
A
= 120 D
Calculamos el área del trapecio: S = A 2
2
Por lo tanto, el área del trapecio es 120 m y la respuesta correcta es la (2).
8v
D
D
‫ م‬88 m
8m
m
C
B
EC =
C
C
E
12 m
‫ م‬12
B
A
m 10
10 ‫م‬
10
2
D
D
8 '‫מ‬
v8
'‫ מ‬8
0
2
'‫ מ‬12
12 v
0
'‫ מ‬110 v
'‫ מ‬1
En el triángulo rectángulo DEC,
DC2 = DE2 + EC2.
8m
8m
m
C
B
La fórmula del área del trapecio es S = a +2b $ h siendo a la base
'‫ מ‬12
D dado
A
mayor, b la base menor y h la altura delA trapecio. El trapecio
A
es rectángulo y por lo tanto el lado perpendicular a las bases es igual
a la altura del trapecio. En el dibujo se dan la altura 8 m, la longitud
de la base menor 12 m, pero falta la longitud de la base mayor. Para
calcularla trazamos por D una perpendicular
a la base BC (DECver
B
B
B
dibujo). Obtenemos un rectángulo ABED cuyo largo es 12 m y su
ancho es 8 m. De aquí sabemos, entonces, que BE es 12 y DE es
8. Debemos ahora calcular la longitud de
12 msaber cuál
A EC para
D es la
A
longitud de la base mayor del trapecio. La longitud de EC la podemos A
calcular por medio del teorema de Pitágoras.
12 m
A
10
(1)150
(2)120
(3)108
(4) 96
D
8v
12 m
A
C
B
‫م‬8
'‫ מ‬12
A
'‫ מ‬8
'‫ מ‬12
A
E
C(4,0)
C
La suma de los ángulos interiores de un triángulo vale 180°. Por lo tanto,‫משולב‬
en el triángulo ABC ‫עברית‬
se cumple la ecuación 90° + 2b + b = 180°.
Resolviendo la ecuación se llega a que b = 30°.
Se sabe que el triángulo ABD es isósceles. De aquí se infiere que «ADB = «ABD.
«ABD = 2b = 60°, y por lo tanto, también «ADB = 60°.
O
y = 180°, esOdecir,
y «BAD + «ADB + «ABD
En el triángulo ABD se cumple que
60°
y60°
x°
x°
«BAD = 180° - «ABD - «ADB
10 cm
‫ ס"מ‬10
Reemplazando por los valores de los ángulos ya calculados obtenemos que
B(4,3)
«BAD = 180° – 60° – 60° = 60° (1,4) (x,y) (11,4)
A(0,3)
A(0;3)
Según el dibujo, «BAD + a = «BAC.
los valores de los ángulos
A Reemplazando
B
C
calculados obtenemos 60° + a = 90°. Por lo tanto, a = 30°, y la respuesta correcta es la (3).
C
C
x
72
y
C(4,0)
x
D
x
B(4;3
y
C(4;0
(1,4)
Guía
B(4,3)
A(0,3)
(x,y) (11,4)
A de B
C a las universidades
Examen psicométrico
ingreso
x
x
C(4,0)
3. En el dibujo que les presentamos, hay una circunferencia de centro O y de 10 cm de radio.
Dato: El área sombreada equivale a 16 del área del círculo.
Según estos datos y los del dibujo, ¿cuál es la longitud del arco destacado (en cm)?
(1)30π
‫עברית‬
‫משולב‬
O
40π
(2)
3
10 cm
20π
(3)
3
O
60°
x°
60°
x°
‫ ס"מ‬10
(4)20π
La longitud del arco destacado equivale al perímetro de la circunferencia, menos la longitud
y
del arco que no está destacado. Para encontrar la longitud del arco que no está destacado se
debe encontrar la magnitud del ángulo al centro que se apoya sobre él. Este ángulo esDx° + 60°
(como se da en el dibujo). x es el ángulo al centro del sector sombreado y su magnitud se puede
x . A(0,2)
calcular a partir de la fórmula del área del sector circular : πr2 $ 360
y
A(0;2)
2
Se sabe que ese sector sombreado equivale a 16 del área del círculo, es decir π6r (pues el área
C
completa del círculo es pr2).
x
B(1,0)
2
B(1;
x = πr , simplificando pr2 de ambos miembros:
Por lo tanto, se obtendrá la ecuación: πr2 $ 360
6
x = 1 y despejando x: x = 360 = 60
A
360 6
6
A
Siendo así, el ángulo que comprende al arco que no está destacado es
x° + 60° = 60° + 60° = 120°.
1D
1
La longitud del arco que se apoya sobre dicho ángulo es 2πr $ 120
360 = 2πr $ 3 , o sea 3 del
D
1 cm
perímetro de la circunferencia. Por lo tanto, la longitud del arco destacado es 23 del perímetro
60°
de la circunferencia. El perímetro de la circunferencia (en cm) es 2prB= 2p · 10 = 20p
C : y por
lo tanto 23 del perímetro de la circunferencia es 23 $ 20π = 403π . Es decir, la longitud del arco
destacado es 40π
3 cm, y la respuesta correcta es la (2).
B
‫ס"מ‬
60°
C
‫רוסית‬
A(0;2)
A(0,2)
(0,0)
2
5
2
1
B(1,0)
(0;0)
73
1
100 M
300 M
400 M
jjndtncndetn jndtne !3@
400
M
B 300
cjjndtncndetn
jndtne
!3@ M
700 M
‫רוסית‬
C
C
‫רוסית‬
y
A
‫ م‬12 C
(x,y) (11,4)
M
(1,4)
400 M
B
dtncndetn yb jlyjve
jndtnjd
400 M !1@-!3@
tncndetn yb jlyjve
jndtnjd !1@-!3@
300
M 300
5
4. La distancia entre los puntos
A y B es de 400 m. La distancia entre los puntos AB y CB es de
C
B
M
300 m. De aquí que la distancia
entre los puntos A y C es necesariamente −
00
5
(1)
(2)
(3)
(4)
B B
A
A
B
100 metros
400 M
500 metros cjjndtncndetn jndtne !2@
A
B
400 M
700 metros
jndtne
!2@
no se puedecjjndtncndetn
determinar
a partir
de los datos
A
400 M
A
A(0,3)
C
x
0
50
0M
B
50
A
B
yt cjjndtncndetn yb jlyjve
bp jndtnjd
400 M !1@-!3@
400
cjjndtncndetn
400 M
A
yt cjjndtncndetn yb jlyjve
bp jndtnjd !1@-!3@
cjjndtncndet
D
C
‫م‬8
300 M 300 M
M
00
y
‫ م‬10
300 3
M 00 M
C
C
100 M
B
cjjndtncnd
400
C
‫م‬8
400 M
300 M
cjjndtncndetn
700 Mjndtne !3@
cjjndtncndetn j
‫עברית‬
‫משולב‬
y
y
Los datos de esta pregunta no proporcionan información respecto a la ubicación relativa de los
tres puntos y podría presentarse una variedad de casos, como por ejemplo:
C
C
300 m
400 m
400 m
B
400O
m
'‫ מ‬300
'‫ מ‬400
‫ ס"מ‬10
Ax
(4)4
'‫ מ‬400
B
'‫מ‬
A
'‫ מ‬400
B
A
'‫ מ‬300
'
'‫ מ‬40
'‫מ‬
'‫ מ‬400
'‫ מ‬100
D C
A(0,2)
D
C
A
A
60°
B
B
'‫ מ‬400
'‫ מ‬400
C
C
B(1,0)
D
5
'‫מ‬
50
60°
0
B ‫ מ‬50
'
B(
x
'‫ מ‬400
‫ת‬
'‫ מ‬400
A
5
5 , y de aquí, el áreaA(0,2)
del cuadrado será
2
0
1 cm
A
A
A(0,2)
2
A(0;2)
A
B
El origen de coordenadas y los puntos A y B forman un triángulo
1 cm
rectángulo en el que AB es la hipotenusa. La longitud de un cateto es
60°
la distancia entre el origen de coordenadas (0 , 0) y el punto A (0 , 2),
B
(0,0) C
1
es decir, 2, y la longitud del otro cateto es la distancia entre el origen
de coordenadas (0 , 0) y el punto B (1 , 0), es decir, 1.
Según el teorema de Pitágoras la longitud de la hipotenusa AB es 22 + 12 = 4 + 1 = 5
Siendo así, la longitud del lado del cuadrado es
2
^ 5h = 5
Por lo tanto, la respuesta correcta será la (3).
'‫ מ‬100
C
y
00
00 '‫ מ‬30
0
50
0
(3)5
A
C
y
C
'‫מ‬
A(0
60°
x°
C
10 cm
Para calcular el área del cuadrado se debe encontrar la longitud
de su lado. La longitud del lado es la distancia entre dos vértices
consecutivos cualesquiera, por ejemplo, el A y el B. Puesto que el
segmento AB no es paralelo a ninguno de los ejes, calcularemos su
longitud utilizando el teorema de Pitágoras.
74
B
A
A(0,2)
400 m
O B
no corresponde a ninguna 60° de las respuestas (1) a (3)x°
(1) No se puede saber a partir de los datos
(2)6
300 m
C(4,0)
A
D
B
muchas
0
50
700 m
‫עברית‬
B
400 m
Según este dato y los datos del dibujo,
¿cuál es el área del cuadrado?
C
A
‫ מ‬400
‫משולב‬
y
00 '‫ מ‬3
C
‫ ס"מ‬10
400 m
A
corresponde a la respuesta (2) '‫ מ‬100
C
B
m
'‫ מ‬3
'‫ מ‬400
x
60m
300
x°
700 m
B
A
C
0
50
'‫ מ‬700
5. En el sistema de ejes que
les presentamos se da un cuadrado ABCD.
'‫ מ‬400
B
400 m
C
0m
'‫ מ‬300 '‫ מ‬300
'‫ מ‬300
'‫ מ‬700
'‫ מ‬3
400
(3)
(4,3)
B BO
A(0,3)
A
Todas
estas
son posibles y
más además
de éstas, peroBninguna de
ellas
es
A
C
C
B(1,0)
‫עברית‬
necesariamente '‫מ‬
cierta.
Por lo'‫מ‬tanto,
la respuesta correcta es la (4).
'‫ מ‬400
'‫ מ‬300
100
300
A
C
B
C
'‫ מ‬700
A
B
C
‫עברית‬
'‫ מ‬400
'‫ מ‬300
B
'‫ מ‬700
300 m
corresponde400
a lam respuesta
50
A
C
situaciones
B
400
100 m
A
B
B
400 m
60°
B
C x°
B
10 cm
300 m
A
400 m
m
400 m
A
B
(x,y) (11,4)O
(1,4)
300
B
B
400 m
300 m
A
300 m
0m
50
C
700 m
C
100 m
A
C
‫ספרדית‬
corresponde a la respuesta (1) ‫צרפתית‬
‫ספרדית‬
‫משולב‬
C
‫צרפתית‬
80% ‫הקטנה‬
‫משולב‬
C
80% ‫הקטנה‬
400 m
m
700 m
B
A
A
C
300 m
300 m
B
300 m
400 m
0
50
B
400 m
m
0m
A
300 m
B
300 m
400 m
300
C
00 m
C
D
B(1,0) B
‫מ‬
60°
C
(0;
‫רוסית‬
A(0;2)
2
y
Guía
y
Examen psicométrico de ingresoD a las universidades
A(0,2)
D
A(0;2)
C
x
6. En el dibujo que les presentamos ABC es un triángulo rectángulo. BD es la bisectriz
B(1,0) del ángulo
B(1;0)
ABC. Según estos datos y los datos del dibujo,
A
AD = ?
(1) 1 cm
(2) 2 cm
(3)3 cm
A
D
D
1 cm
B
60°
C
(4)4 cm
3
B
‫ ס"מ‬1
60°
‫רוסית‬
A(0,2)
Según la suma de los ángulos interiores del triángulo ABC, «BAD = 30°. A partir del dato de
que BD es la bisectriz del «ABC, resulta que «ABD = 30°.
En el triángulo ADB, «BAD = «ABD y en consecuencia el triángulo ADB 2es un triángulo
5
isósceles en el que AD = BD.
BD es también la hipotenusa del triángulo BDC. Este triángulo es un triángulo con ángulos de
(0,0) tambien B(1,0)
30°, 60° y 90° y, por lo tanto, BD = 2 · DC = 2 · 1 = 2. Y dado que AD = BD,
1
AD = 2 cm. La respuesta correcta es la (2).
A(0;2)
2
(0;0)
7. Un líquido, que llena una caja cuyas dimensiones son 2 cm × 10 cm × 20 cm, se vierte en su
B
C
totalidad en un recipiente cilíndrico cuya base es de 5 cm de radio.
¿Qué altura (en cm) alcanzará el nivel del líquido en el recipiente cilíndrico?
16 (1)
π
40 (2)
π
(3)8π
(4)8
El volumen de la caja es el producto de sus tres dimensiones; por lo tanto, el volumen del
líquido en el recipiente es igual a 20 cm · 10 cm · 2 cm, o sea, 400 cm3.
Luego de haber sido vertido en el recipiente cilíndrico, el volumen del líquido no se altera.
Ahora se debe encontrar la altura de dicho cilindro del que se sabe que tiene base de 5 cm de
radio, y 400 cm3 de volumen. Dicha altura será la altura que alcance el líquido en el cilindro.
La fórmula del volumen del cilindro es V = πr2 · h. Hay que determinar h sabiendo que
r = 5 cm, y que V = 400 cm3.
Reemplacemos los datos en la fórmula para calcular el volumen: 400 = π · 52 · h = π · 25 · h .
Dividiendo por 25π a ambos lados de la igualdad para despejar h se llega a que
h = 400 = 16
, y la respuesta correcta es, por lo tanto, la (1).
25π π
75
5
1
B(
PREGUNTAS DE COMPRENSIÓN DE GRÁFICOS Y TABLAS
Estas preguntas tratan sobre la información suministrada en gráficos o tablas. El gráfico o la
tabla están, por lo general, acompañados de una explicación breve. En la tabla se presentan los
datos ordenados en filas y columnas. En los gráficos se presentan los datos en algún tipo de
forma gráfica, por ejemplo, por medio de un gráfico, por medio de un diagrama de barras, etc. A
continuación, les presentamos un gráfico y una tabla a modo de ejemplo y a continuación de ellos
un cierto número de preguntas acompañadas de sus explicaciones.
COMPRENSIÓN DE GRÁFICOS
Estudien atentamente el siguiente gráfico y respondan a las preguntas que aparecen a
continuación.
En el gráfico siguiente se presentan datos de cuatro diferentes tecnologías para la producción de un
cierto tipo de motor.
Cada tecnología está representada en el gráfico por medio de una letra (A-D) y por un campo
cerrado. Todo punto del campo describe el rendimiento y el costo de un motor fabricado según la
tecnología adecuada.
Por ejemplo, por medio de la tecnología A se puede fabricar un motor que tenga un rendimiento de
750 HP (HP = caballos de fuerza) a un costo de 8,500 dólares; pero es imposible fabricar un motor
con un rendimiento igual a un costo de 5,000 dólares.
Nota: Las tecnologías A y B comparten un área común, y lo mismo ocurre con las tecnologías
B y C.
4
3
D
C
Costo del motor
(en miles de dólares)
10
2
1
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Rendimiento de la motor
(en caballos de fuerza)
‫ספרדית‬
9
8
A
7
Costo de la motor
6
10
9
8
A
7
6
3
2
00 1000
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Costo de la motor
Presten
10
Costo del motor
9
8
A
7
6
5
100 300 300 400 500 600 700 800 900 1000
Rendimiento del motor
(en caballos de fuerza - HP)
atención: Al responder
cadadepregunta
(en amiles
dólares) no debes tomar en cuenta los datos que aparecen
en otras preguntas.
10
9
76
D
1
(650,2)
1
C
2
D
C
4
3
B
5
4
B
5
B
8
A
7
6
5
B
4
D
3
prix du moteur
(en milliers de dollars)
10
500 600 700 800 900 1000
u moteur (en CV)
2
Guía
D
Costo del motor
miles de dólares) de ingreso a las universidades
‫ספרדית‬
Examen(en
psicométrico
10
1
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
9
8
7
C
A
PREGUNTAS Y EXPLICACIONES:
6
9
8
A
7
Costo de la motor
6
B
1. ¿Cuál es el intervalo
de los rendimiento de los motores (en "caballos
de fuerza" - HP)Bque se
5
5
10
pueden fabricar tanto con la tecnología9 A como con la tecnología B?
4
A
3
B
D
D
(650.2)
500 600 700 800
2
1 500 600 700 800 900 1000
u moteur (en CV)
9
8
6
(1)400-500
5
(2)500-600
4
(3)600-700
3
4
2
(4) ninguna de las opciones es correcta
A
5
4
3
B D
2
0.3) D
1
500 600 700
800 900 1000
(650.2)
u moteur (en CV)
500 600 700 800 900 1000
u moteur (en CV)
B D
D
500 600 700 800 900 1000
0.3)
u moteur (en CV)
A
B
D
500 600 700 800 900 1000
u moteur (en CV)
A
10
7
9
6
8
5
7
4
6
3
5
2
4
1
3
C
D
2
C
D
C
D
1
(650,2)
100 200 300 400 500 600 700
Costo del motor
100 300 300 400 500 600 700 800 900 1000
(en miles de dólares) Rendimiento del motor
800 900 1000
10
A
9
8
Dibujo I
A
Costo del motor
7(en miles de dólares)
6
10
9
5
8
4
6
3
‫ספרדית‬
B
7
5
C
4
2
3
1
1
B
A
D
D
C
2
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
100 300 300
400 500 600
700 800 900 1000
Rendimiento
del motor
del-motor
(enRendimiento
caballos de fuerza
HP)
Costo del motor
Costo10del motor
(en miles9 de dólares)
10
8
9
7
8
6
57
A
2. ¿Cuál es el costo
mínimo
al que se puede fabricar un motor
con un rendimiento de 650
HP?
A
A
A
B
B
75
6
4
5
3
42
B
D
(1) 1,000C dólares
(2) 2,000C dólares
D (650.2)
3
1
(3)
1,500 dólares
2
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
1
(4)
2,500 dólares
puissance du moteur (en CV)
500 600 700 800 900 1000
u moteur (en CV)
1
B
9
10
8
9
7
68
A
A
3
1
2
4
3
10
pregunta
se ocupa de motores queCosto
se pueden
fabricar con la
10
de la motor
9
(en miles9B.
de Los
dólares)
tecnología
A y también
con
la
tecnología
motores de ese
B
108
8
A
A
tipo7 se representan en el gráfico en la intersección
de los campos
9
7
8
6
de 6las dos tecnologías
(El campo sombreado
en el dibujo
A I).
B
B
C
D
5
7
5
Ahora
deben
Uds.
encontrar
el
intervalo
de
rendimiento
6
4
4
B D
C
D
C
de 3esos motores.
Los
límites del campo 53de la intersección
4
2
2
sobre
el eje horizontal representan el intervalo
deC (500,3)
los D
3
1
1
rendimientos de los motores que se pueden
fabricar
con
2
100 200 300 400 500 600 700
800 900 1000
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
(650,2)
100 dos
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
las
tecnologías.
Se
puede
ver
que
la
1 zona común entre
du moteur
(en600
CV) y 700 HP; o100
(enque
caballos
de fuerza)
A y Bpuissance
está limitada
entre
sea
200 300
400 con
500 600 700 800 900 1000
ambas tecnologías A y B se puedenCosto
fabricar
motores
de la motor
(en caballoscuyos
de fuerza)
(enymiles
de dólares) correcta es
prix du moteur
rendimientos
van
de
600
a
700
HP
la
respuesta
10
la prix
(3).du moteur
Costo de
10
9 la motor
6
A
A
7
200
400de
500 gráficos
600
800 900 1000
(en300caballos
de700
fuerza)
Para dar respuesta a preguntas de inferencia100a partir
deben Uds. "traducir" la pregunta en términos
gráfico,
y
(en del
caballos
de fuerza)
prix du moteur
Costo de la motorsolicitada. La
A
luego
información
(en
milliersencontrar
de dollars) en el gráfico la (en
miles de dólares)
7
B
8
D
prix du moteur
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
900 1000
10
u moteur (en CV)
B
C
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
2
1
B
C
C
B
D
D
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
(500,3) de la motor
Rendimiento
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
El prix
punto
de partida en esta pregunta es un motor
con un
du moteur
Costo
de
la
motor
rendimiento
de 650 HP. Los rendimientos se representan en el
10 prix du moteur
gráfico
sobre
el eje horizontal, por lo tanto,
en la primera etapa
9 milliers
(en
de dollars)
10
8 que encontrar ese rendimiento de motor
10
9
hay
deseado sobre el
A
97
8
eje86horizontal (650 HP), y en una segunda
etapa
debemosA buscar
7
B
A
el costo
mínimo de un motor de ese rendimiento.
75
6
B
64
5
Tracemos
laC vertical
B D desde el punto que representa el
53
4
D
rendimiento
de 650 HP, hasta alcanzar uno
de losC campos
(ver
42
3
C (500,3) D
31
dibujo
II). Este punto de contacto es el punto
que representa el
2
2
1
100costo
200 300 400
500 600 700
800 900
menor
posible
de
un1000motor con rendimiento
de 650 HP.
(650.2)
1
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
El punto
de
contacto
inferior
está
en
el
borde
del
campo
de la
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
tecnología
D,duymoteur
representa
lo
(en caballosy,depor
fuerza)
puissance
(en CV) un costo de 2,000 dólares
prix duése
moteur
tanto,
es
el
costo
mínimo
de
un
motor
con
el
rendimiento
solicitado.
Siendo así, la respuesta correcta es la (2).
10
prix du moteur
(en 9milliers de dollars)
8
10
97
A
86
75
B
A
64
53
C
B D
42
31
C
D
2
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
(500,3)
6
4
5
3
24
3
1
2
1
C
B D
C
D
(650,2)
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
(en
HP)
100
200caballos
300 400 500de
600fuerza
700 800 -900
1000
Costo del motor
Dibujo II
Costo10del motor
8
10
79
A
68
57
46
35
24
13
2
1
A
B
C
B D
C (500,3) D
100 200 300 400 500 600 700
800 900 1000
(650,2)
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Costo del motor
10
Costo9del motor
8
10
7
9
6
8
5
7
4
6
3
5
2
4
1
3
A
B
C
B
C
A
D
D
2
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
1
(500,3)
77
s)
B
D
(500.3)
B
A
B
5
4
4
Razonamiento
3
3
2
D (en CV)
nce du moteur
(650.2)
400 500 600 700 800 900 1000
rs) du moteur (en CV)
nce
A
B
D
A
C
C
D
D
cuantitativo
1
2
400 500 600 700 800 900 1000
s)
B
6
5
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
1
6
10
5
9
4
8
3
7
2
6
1
5
4
3
2
B
D
C
A
(500,3)
B
D
C
Rendimiento
de la motor
B
5
4
4
3
2
3
D
C
C
D
1
2
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
B
6
5
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
1
(650,2)
300 400 500
3.100En200una
fabrica motores, se decidió
interrumpir100la 300
utilización
de600
la 700 800
300de
400las
500compañías
600 700 800 que
900 1000
Costo de la motor
1
8 du moteur
prix
Costo de la motor
A
milliers
de dollars)
(en (1)
500
7
(en miles 6de dólares)
6
105
10(2)
400
B
94
95
(3)
300
C
83
84
A
(4)
no seCpuedeDfabricar
un motor semejante
72
73
62
B
A
7
B
51
(650.2)
61
5
B
D
(500.3)
400 500 600 700 800 900 1000
nce du moteur (en CV)
s)
A
B
D
400 500 600 700 800 900 1000
nce du moteur (en CV)
prix
7 du moteur
(en milliers
de dollars)
6
10
8
Costo del
motor
(en miles7de dólares)
A
106
95
A
B
Puesto
que se ha dicho en la pregunta que
la fábrica
4
4
100 200 300
Rendimiento
de
D la motor
C 400 500 600D 700 800 900 1000
C
3
3 puissance du
interrumpirá
lamoteur
utilización
C,(ennos
caballos de fuerza)
(en CV) de la tecnología
2
2
desentenderemos
del campo de esta tecnología,
y(500,3)
nos
1
1
referiremos sólo a los otros campos (los campos
sombreados
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
300 400 500 600 700 800 900 1000
prix100du200moteur
que
aparecen
el dibujo
para
(en milliers
de dollars)
Rendimiento
de esta
la motor
puissance
duen
moteur
(en CV) III). El punto de partida
10
pregunta
está
en
un
motor
cuyo
precio
es
de
3,000
dólares.
Los
9
Costo de la motor
precios
de los motores
están
representados
sobre
el
eje
vertical,
8
A
prix du moteur
7 lo tanto debemos primeramente encontrar en el eje vertical
por
(en milliers
de dollars)
10
6
B
9
el10punto
que
representa
el
costo
de
3,000
dólares. A medida
5
9
8
que
A
4 avanzamos desde este punto hacia la derecha aumenta
8
C
7
D A
3
el 7rendimiento
del motor;
por lo tanto, si
trazamos
una
línea
6
B
2
6
5
(500,3)
horizontal
desde
B dicho punto (ver dibujo III), el primer punto
1
5
4
D
de4contacto
con uno de los campos de tecnologías
C representará
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
3
D
C
el 3rendimiento
más (en
bajo
puissance du moteur
CV)posible de un 2motor cuyo costo es
1
de23,000 dólares. El(650.2)
primer punto de contacto
es con el campo
1
100 línea
200 300 400
500 600 700 800
900 1000
deprixladutecnología
D.
Este
punto
está
sobre
la
vertical
que
moteur
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
corresponde
a 500 HP en el eje horizontal, y (en
éste
es ahora
el
caballos
de fuerza)
10 puissance du moteur (en CV)
rendimiento
más bajo de un motor cuyo precio es de 3,000
9
8
dólares.
Por lo tanto,A la respuesta correcta es la (1).
400 500 600 700 800 900 1000
D (en CV)
nce du moteur
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
B
B
84
62
B
51
4
3
2
1
D A
C
73
(650,2)
100 200 300
C 400 500 600D 700 800 900 1000
Dibujo III
200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Costo del100
motor
10
9
8
A
Costo del
motor
7
6
10
5
9
4
8
3
7
2
6
1
5
4
3
2
B
C
D A
(500,3)
B
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
D
C
Rendimiento
del motor
(650,2)
1
Costo del motor
(en miles de100
dólares)
200 300 400 500 600 700 800 900 1000
10
(en
caballos de fuerza - HP)
9
8
A
Costo 7del motor
B
105
4. A95 una compañía determinada le está prohibido fabricar motores de rendimiento
superior a los
94
4
D
C
D
83
8
550
HP. C
A
A
3
72
7
2
¿Cuáles
son
las
tecnologías
que
esa
compañía
puede
utilizar
para
fabricar
sus
motores?
61
6
1
B
5
(1)
sólo
100
200 300la
400C
500 600 700 800 900 1000
4
(en CV)
(2)la
B Cy dulamoteur
C Dsolamente
3 puissance
2
(3)la
C y(500,3)
la D solamente
1
(4)la B, la C y la D solamente
5
4
3
2
C
Rendimiento
Ddel motor
(500,3)
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Partimos de un motor cuyo rendimiento es de 550 HP.
Hallaremos el punto que representa el rendimiento de 550 HP
prix du moteur
(en
milliersel
deeje
dollars)
sobre
horizontal, y trazaremos desde él hacia arriba a
10
todo
lo alto del dibujo, la vertical que pasa por ese punto (ver
9
dibujo
IV). Todos losA motores que se encuentren a la derecha
8
de 7la línea poseen un rendimiento mayor que 550 HP, y todos
6
los5 motores queBse encuentren a la izquierda de la línea poseen
un4rendimiento
menor
que 550 HP. A la compañía mencionada
D
C
en 3la pregunta sólo le está permitido fabricar motores cuyo
2
rendimiento
es inferior a 550 HP, y por lo tanto, sólo puede
1
usar tecnologías
cuyo campo o parte de él se halla a la
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
puissance
du
moteur
CV) partes sombreadas en el dibujo IV).
izquierda de la línea(en(las
A la izquierda de la línea que trazamos está, todo el campo de
la tecnología C, una parte del campo de la tecnología B y una
parte del campo de la tecnología D. Por lo tanto, la compañía
puede utilizar las tecnologías B, C y D para la fabricación
de motores con rendimiento inferior a 550 HP, y la respuesta
correcta es la (4).
B
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
1
78
900 1000
puissance
du moteur (en CV)
Costo del motor
tecnología
C.
200 300 400 500 600 700 800 900 1000
(en miles de100
dólares)
prix
du moteur
10
¿Cuál
será ahora el rendimiento mínimo
(en(enHP)
de un motor cuyo costo
es de 3,000 dólares
caballos de fuerza)
10
10
9
que
la compañía podrá producir después
de implementar la decisión? 9
9
8
Dibujo IV
Costo del motor
10
9
8
A
7
6
B
5
4
3
C
D
2
1
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Guía
COMPRENSIÓN DE TABLAS
Estudien atentamente la siguiente tabla y respondan a las preguntas que aparecen a continuación.
EXPLICACIÓN DE LA TABLA:
En la tabla están los datos de 10 compañías que operan en rubros diferentes. Las compañías están
indicadas con las letras A a J.
Para cada compañía se indica: el rubro del que se ocupa, datos acerca del volumen de ventas, las
ganancias, el valor de su patrimonio y el número de sus trabajadores.
Por ejemplo: La compañía E trabaja en el rubro de electrónica, cuenta con 400,000 trabajadores
y su patrimonio es de 90 millones de dólares. Las ventas de la compañía E alcanzaron los 70 mil
millones de dólares durante este año (que son un 9% mayores que las ventas del año pasado) y las
ganancias fueron de 6,000 millones de dólares (que son un 60% mayores que las ganancias del año
pasado).
Un ejemplo para el cálculo del porcentaje de la variación: Si las ventas de cierta compañía fueron
de 40 mil millones de dólares durante el año pasado, y este año aumentaron a 50 mil millones
de dólares, entonces el porcentaje de la variación con respecto al año anterior es de un 25%
a
50 − 40 $ 100 .
k
40
Ventas
Ganancias
Nombre
de la
compañía
Rubro
Ventas
(en
miles de
millones
de
dólares)
A
automotor
125
-1.5 %
-2,000
-150 %
180
750
B
petróleo
110
25 %
6,500
0%
100
150
C
petróleo
105
22 %
5,000
40 %
390
100
D
automotor
100
1.5 %
900
-80 %
180
350
E
electrónica
70
9%
6,000
60 %
90
400
F
automotor
65
7%
3,000
15 %
55
100
G
metalurgia
60
25 %
1,000
-20 %
H
petróleo
60
20 %
3,000
-15 %
60
120
I
petróleo
55
15 %
2,000
7%
40
70
J
electrónica
50
6%
4,500
10 %
150
300
Porcentaje
de variación
respecto del
año anterior
Ganancias
(en
millones
de
dólares)
Porcentaje
de variación
respecto del
año anterior
Patrimonio
(en
Cantidad de
millones trabajadores
de
(en miles)
dólares)
No hay
datos
400
Presta atención: al responder a cada pregunta no debes tomar en cuenta los datos que aparecen en
otras preguntas.
79
LAS PREGUNTAS Y SUS SOLUCIONES:
1. ¿Cuál de las compañías pertenecientes al rubro automotor es la que tiene menor patrimonio?
(1)
A
(2)
D
(3)
F
(4)
A y también D
En la segunda columna desde la izquierda se encuentran los rubros a los que se dedica cada
una de las compañías. Se puede comprobar que las compañías A, D y F se ocupan del rubro
automotor. Comparamos ahora los valores de sus patrimonios (en la segunda columna desde
la derecha): la compañía A tiene un patrimonio de 180 millones de dólares y ése es también el
valor del patrimonio de la compañía D. La compañía F tiene un patrimonio de 55 millones de
dólares y, por lo tanto, el patrimonio de la compañía F es el menor en el rubro automotor. La
2. En el supuesto de que las ganancias se repartan en partes iguales entre todos los trabajadores de
la compañía, ¿en cuál de las siguientes compañías la ganancia por cada trabajador es máxima?
(1)
H (2)
B
(3)
C
(4)
F
La ganancia por cada trabajador es un dato que no está indicado en la tabla expresamente pero
se puede calcular a partir de los datos que aparecen en ella. Se da en la tabla la ganancia de
cada compañía, y también el número de sus trabajadores. La ganancia por cada trabajador de
una determinada compañía puede entonces determinarse dividiendo la ganancia total de esa
compañía por el número de sus trabajadores.
En todas las compañías la ganancia total está dada en millones de dólares y el número de
trabajadores está dado en miles. Por lo tanto, para comparar entre las compañías es posible
referirse sólo a los números que aparecen en la tabla y presentar la ganancia por trabajador, del
siguiente modo:
F
C
3, 000
5, 000
100
100
B
H
6, 500
150
3, 000
120
Por supuesto, es posible calcular la ganancia por cada trabajador y encontrar en qué compañía
se obtiene el valor mayor, pero es posible comparar las expresiones sin calcularlas:
Las compañías F y H tienen la misma ganancia (3,000), pero dicha ganancia se divide entre un
número menor de trabajadores en la compañía F (pues 100 < 120), y, por lo tanto, la ganancia
por trabajador en la compañía F es mayor.
El número de trabajadores en las compañías F y C es el mismo (100), pero en la compañía C
la ganancia general es mayor (3,000 < 5,000), y por lo tanto, la ganancia por trabajador en la
compañía C es mayor.
80
Guía
En las compañías B y C tanto las ganancias generales como el número de trabajadores difieren.
En la compañía B el número de trabajadores es 1,5 mayor que en la compañía C (150 contra
100). Si también las ganancias generales de B fuesen de 1,5 veces las de C, es decir, si las
ganancias de B fuesen 5000 ∙ 1.5 = 7500 entonces las ganancias por trabajador serían iguales en
las dos compañías. Pero las ganancias generales de B son menores que eso (6500 < 7500), por
lo tanto, la ganancia por trabajador en B son menores que en la compañía C.
Por lo tanto, la ganancia por trabajador en la compañía C es la mayor y la respuesta correcta es
la (3).
Se puede, por supuesto, calcular la ganancia por trabajador en las compañías B y C:
La ganancia por trabajador en la compañía C es de 50, b 100 = 50 l , y la ganancia por
6, 500
trabajador en la compañía B es menor que 50, b 150 < 50 l y por lo tanto, la ganancia por
5, 000
trabajador en la compañía C es mayor.
3. ¿Cuál fue el volumen de ventas de la compañía G el año pasado (en miles de millones de
dólares)?
(1)48
(2)50
(3)64
(4)76
El volumen de ventas del año pasado no está incluido en la tabla, pero se lo puede calcular por
medio del volumen de ventas del año en curso y del porcentaje de variación respecto del año
anterior. En la tabla se puede ver que la compañía G vendió este año por la suma de
60 mil millones de dólares y que sus ventas aumentaron en un 25% respecto del año anterior. Es
decir, que el volumen de ventas del año anterior es tal que si le agregamos un 25% obtenemos
los 60 mil millones. Llamaremos x al volumen de ventas del año anterior y expresaremos esto
25 $ x = 60 . Simplificando la expresión:
por medio de una ecuación del siguiente modo: x + 100
125 $ x = 60 , y despejando ahora x:
100
x = 60 $ 100 . Dividiendo el numerador y el denominador de la fracción por 25: x = 60 $ 4 = 48 .
125
5
O sea, el volumen de ventas del año anterior fue de 48 mil millones de dólares, y la respuesta
correcta es la (1).
81
4. Definiremos el volumen de gastos de una compañía en un año determinado del siguiente modo:
Volumen de gastos en
=
un año determinado
Volumen de ventas
–
en ese año
Volumen de ganancias
en ese año
¿En qué rubro se encuentra la compañía que tuvo el mayor volumen de gastos durante este año?
(1)Automotor
(2)Petróleo
(3)Electrónica
(4)Metalurgia
Para calcular el volumen de gastos de una compañía este año, hay que restar el volumen de
ganancias del volumen de ventas. En la tabla el volumen de ventas está dado en miles de
millones de dólares, mientras que el volumen de ganancias está dado en millones de dólares.
Para poder restar uno de otro hay que convertirlos a las mismas unidades. Si multiplicamos
el volumen de ventas indicado en la tabla por 1,000, obtendremos el volumen de ventas en
millones de dólares.
Así, por ejemplo, el volumen de ventas de la compañía C es de 105,000 millones de dólares.
El volumen de las ganancias de dicha compañía es 5,000 millones de dólares, y por lo tanto,
el volumen de gastos es de 100,000 millones de dólares. Se puede calcular de este modo el
volumen de gastos de todas las compañías que aparecen en la tabla, y encontrar la compañía con
mayor volumen de gastos.
Pero podemos ahorrarnos dicho cálculo: A partir de la fórmula que define el volumen de gastos
se infiere que a medida que el volumen de ventas crece, o a medida que volumen de ganancias
disminuye, el volumen de gastos es mayor. Por lo tanto, es conveniente estudiar primero las
compañías con los volúmenes de ventas mayores o con volúmenes de ganancias menores. Del
análisis de la tabla se puede ver que la compañía A es tanto la compañía con volumen de ventas
mayor, como la compañía con volumen de ganancias menor (es la única cuyo volumen de
ganancia es negativo, es decir que en realidad ha tenido pérdidas), y por lo tanto, es con certeza
la que ha tenido mayores gastos. El rubro al que pertenece la compañía A es el rubro automotor
y por lo tanto, la respuesta correcta es la (1).
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RAZONAMIENTO CUANTITATIVO

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